大学物理第五章

第5章刚体力学基础,刚体是一个理想模型，指物体受到力的作用时完全不会发生形变。因此运动过程中刚体内部任意两点之间的距离始终保持不变。,第一节刚体运动的描述,一、刚体运动基本形式和自由度,自由度：完全描述运动所需的独立坐标数,（决定物体空间位置）,1平动（平移）：刚体内任意两质点连线的方向保持不变,2转动：刚体上所有各点绕同一直线作圆周运动，这一直线称为转轴。,自由度,x,p,（1）定轴转动：转轴固定于参考系,j,如：门窗,（2）定点转动：转轴上有一点静止于参考系,如：玩具陀螺,（转轴方向2，绕轴转角1）,o,3平面平行运动：刚体上每一质元的运动都平行于某一固定平面,可以分解为刚体随质心的平移（2）和绕质心垂直于运动平面的定轴转动（1）,如：车轮滚动,4刚体的一般运动可以分解为随质心的平移和绕质心的定点转动,二、定轴转动的描述角量,x,p,j,转动平面,Q,线量与角量之关系：,对于匀角加度速转动，则有：,式中,是t=0时刻的角速度和角位置,角速度矢量,大小为,方向由右螺旋法则确定,规定顺着刚体转动的右螺旋前进方向为角速度矢量的方向,在定轴转动下,第二节定轴转动定理,刚体是一个质点系,描述质点系转动的动力学方程,取惯性坐标系,一、作用于定轴刚体的合外力矩,x,y,z,相对于定轴的合外力矩,即作用在各质元的力矩的z分量之和,二、刚体定轴转动定理,x,y,z,o,式中,称为刚体对转轴z的转动惯量,代入,得到,刚体定轴转动定理,推广到J可变情形,称为在t0到t时间内作用在刚体上的角冲量,例5-1定滑轮:,物体:,轻绳不能伸长，与滑轮间无相对滑动。,求滑轮转动的角加速度和绳的张力。,r,解：,解得:,结论:,1.由于考虑了滑轮的质量,使得,2.,解：,如图示，除力F外，系统还受重力、轴的支反力等。,但这两个力对轴的力矩0。,只有F对细杆的转动有影响，对转轴O的力矩为：,可通过转动定理求细杆的转动，再求质心加速度。利用质心运动定理求支反力。,细杆遵从如下动力学方程：,质心运动定律分量式：,讨论,打击中心,第三节刚体的转动惯量,一、刚体的转动惯量及其计算,定义：,1刚体为分裂的不连续结构,2刚体为连续体,单位：,J与质量，质量分布有关，与转轴有关,例：均质棒:m,l求它对通过中心与棒垂直的转轴的转动惯量。,o,x,dx,dm,解:,将轴移到棒的一端,o,x,例：均质圆盘：m,R计算它对通过盘心与盘面垂直的转轴的转动惯量。,o,r,R,m,dr,解：,二、平行轴定理,刚体对任一转轴的转动惯量J等于对通过质心的平行转轴的转动惯量Jc加上刚体质量m乘以两平行转轴间距离d的平方,c,d,o,例：设一薄板，已知对板面内两垂直轴的转动惯量分别为Jx，Jy。计算板对z轴的转动惯量Jz。,o,x,y,z,解：,例：圆盘：m,R，求以直径为轴的转动惯量,例：挂钟摆锤的转动惯量,例5-3一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初角速度为0，绕中心o旋转，问经过多长时间圆盘才停止？（设摩擦系数为）,解：,为其转过的角度。,第四节定轴转动的角动量守恒定律,定轴转动角动量定理：,定轴转动角动量守恒定律：刚体在定轴转动中，当对转轴的合外力矩为零时，刚体对转轴的角动量保持不变。,一、转动惯量可变物体的角动量守恒,当J增大，w就减小，当J减小，w就增大,演示,人与转台组成的系统对竖直轴的角动量守恒：,例5-4水平转台(m1、R)可绕竖直的中心轴转动，初角速度w0，一人(m2)立在台中心，相对转台以恒定速度u沿半径向边缘走去，计算经时间t，台转过了多少角度。,解：,台转过的角度：,二、物体系的角动量守恒,确若系统由几个物体组成，当系统受到的外力对轴的力矩的矢量和为零，则系统的总角动量守恒：,例5-5摩擦离合器飞轮1：J1、w1摩擦轮2：J2静止，两轮沿轴向结合，结合后两轮达到的共同角速度。,两轮对共同转轴的角动量守恒,解：,试与下例的齿轮啮合过程比较。,例5-6两圆盘形齿轮半径r1、r2，对通过盘心垂直于盘面转轴的转动惯量为J1、J2，开始1轮以w0转动，然后两轮正交啮合，求啮合后两轮的角速度。,两轮绕不同轴转动，故对两轴分别用角动量定理：,得：,解：,例5-7均质细棒：m1、l，水平轴O，小球：m2与棒相碰，碰前碰后如图，设碰撞时间很短，棒保持竖直，求碰后棒的角速度。,系统对O轴角动量守恒,注意：系统总动量一般不守恒，因为轴承处的外力不能忽略。只当碰撞在打击中心时，Nx=0，系统的水平动量守恒：,解：,例如图，小球用细绳挂于o，细棒挂于o，水平释放，与棒相碰，问碰撞过程系统对o点及o点角动量是否守恒？为什么？,o,o,T,mg,Mg,N,解：受力如图，重力冲量矩可忽略，对o点外力矩为零，角动量守恒。对o点外力矩不为零，角动量不守恒。,第5节定轴转动的功能原理,一、刚体定轴转动的动能,可分解为刚体绕质心转动的动能和质心携总质量绕定轴作圆周运动的动能,二、力矩的功,设作用在质元Dmi上的外力Fi位于转动平面内,z,p,三、刚体定轴转动的动能定理,四、刚体的重力势能,刚体和地球系统的重力势能：以地面为零势能点，质元i：,五、刚体定轴转动的功能原理,将重力矩作的功用重力势能差表示,得,其中，M为除重力以外的其它外力矩,若M=0,则,即刚体的机械能守恒,例5-8细杆A：m，L，轴O，水平静止，在竖直位置与静止物块B：m发生弹性碰撞，求碰后：,解：,例5-9圆锥体R，h，J，