（概率论与数理统计专业论文）对汽车保险奖惩系统的研究.pdf

中文摘要 中文摘要：汽车保险是现代保险业的重要险种之一。在我国众多财产险公司中， 汽车保险业务的保费收入往往占到公司总保费收入的8 0 9 6 以上。因此，科学合理地 厘定汽车保险费率至关重要。汽车保险中的奖惩系统( b o n u s m a l u ss y s t e m ，简 称b m s ) 是广泛应用于世界各国保险公司的一种经验估费系统，主要是根据驾驶者 的历史索赔记录来确定其续期保费。在中国，各家保险公司也都分别制定了自己 的奖惩系统。 公平合理的续期保费不仅受初次投保人的关注，而且氲接影响投保人的数目。 因此，奖惩系统对投保人和保险人都很重要。 然而，我国机动车辆保险中的奖惩系统无论是在理论上，还是在应用上都存 在一些不足和有待完善的地方。因此，设计科学合理的奖惩系统已经成为一个重 要的课题，对汽车保险研究具有很现实的意义。 本文主要利用马尔可夫链的知识和数理统计理沦等来研究汽车保险奖惩系 统，重点是奖惩系统的设计与改进，主要研究内容和成果如下： 1 、从理论上研究汽车保险中的b m s ，用马尔可夫链对b m s 建模并做稳定性分析， 得出了任一b m s 都存在平稳分布的结论。 2 、将索赔额因素引入奖惩系统，建立一个考虑索赔大小的b m s 的应用模型，并 就此应用模型进行分析，包括转移矩阵、稳定分布、等级保费的确定等，最 后做了实证分析。 3 、初始的免赔模型存在明显的缺陷，构造一种新的弹性免赔模型，弥补了初始 免赔模型存在的不足。 4 、在有限数学期望、密度函数、分布函数等数学工具的基础上，分析了不同类 型的免赔额与赔偿限额的同时使用对纯保费的影响，对保险精算人员设计出 加更加合理、更加公平的保险险种有很大的意义。 5 、最后则提出了一些有待进一步研究的问题。 关键词：汽车保险；奖惩系统；马尔可夫链；索赔额；免赔额 j 匕立交适太堂亟堂僮途室旦墨! b 至 a b s t r a c t a b s t r a c t ：t h ea u t o m o b i l ei n s u r a n c ei si m p o r t a n ti nm o d e mi n s u r a n c ei n d u s t r y i n m o s to ft h ep r o p e r t yi n s u r a n c ec o m p a n i e si no u rc o u n t r y , a u t oi n s u r a n c eb u s i n e s s p r e m i u mi n c o m eu s u a l l yo c c u p i e s8 0 o ft h ec o m p a n y st o t a lp r e m i u mi n c o m e t h e r e f o r e ，p r i c i n gt h ea u t oi n s u r a n c er a t e ss c i e n t i f i c a l l ya n dr a t i o n a l l yi se s s e n t i a l t h e b o n u s m a l u ss y s t e m ( b m s ) i sw i d e l yu s e di na u t o m o b i l ei n s u r a n c e i ti sb a s e dm a i n l y o nt h ed r i v e r sr e c o r d so fh i s t o r i c a lc l a i m st od e t e r m i n et h e i rr e n e w a lp r e m i u m 。i n c h i n a ，m a n yi n s u r a n c ec o m p a n i e sh a v es e p a r a t e l yd e v e l o p e d i t so w nb m so rn oc l a i m d i s c o u n ts y s t e m ( n c ds y s t e m ) i n t h i sp a p e r , w ew i l lu s em a r k o vc h a i nk n o w l e d g ea n dm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c a l t h e o r yt os t u d ya u t oi n s u r a n c es y s t e m ，w i t haf o c u so nt h ed e s i g na n di m p r o v e m e n to f b m s t h ep r i m a r yr e s e a r c hc o n t e n ta n dr e s u l t sa r eo b t a i n e da sf o l l o w s ： 1 b m sw i l lb er e s e a r c h e db ym a r k o vc h a i n 1w i l ld r a wt h ec o n c l u s i o nt h a te v e r y b m sh a ss t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o n 2 。b e s i d e sc l a i mn u m b e r ，c l a i ma m o u n ti su s e di nb m s aa p p l i c a t i o nm o d e lo f b m sw i l lb ee s t a b l i s h e d ，c o n s i d e r i n gb o t hc l a i mn u m b e ra n dc l a i ma m o u n t a n dt h e a p p l i c a t i o n m o d e lw i l lb e a n a l y s i e d ，i n c l u d i n g t h et r a n s f e rm a t r i x ，s t a b i l i t y d i s t r i b u t i o n ，t h ed e t e r m i n a t i o no ft h ep r e m i u mg r a d e ，a n ds oo n f i n a l l y , t h ee m p i r i c a l a n a l y s i sw i l lb ed o n e 3 t h ei n i t i a ld e d u c t i b l em o d e lh a sp o o ro b v i o u sd e f e c t s t h ee s t a b l i s h m e n to fa n e wm o d e lo ff l e x i b l ed e d u c t i b l ec a nc o m p e n s a t ef o rt h ei n i t i a lm o d e l d e f i c i e n c i e s 4 b a s e do nt h e t h el i m i t e dm a t h e m a t i c a le x p e c t a t i o n ，t h ed e n s i t yf u n c t i o na n do t h e r m a t h e m a t i c a lt o o l s ，w ea n a l y z et h ei m p a c to ft h eu s eo fd i f f e r e n tt y p e so fd e d u c t i b l ea n d c o m p e n s a t i o nl i m i to nt h ep u r ep r e m i u m s i th a sg r e a ts i g n i f i c a n c ef o rt h ei n s u r a n c ea n d a c t u a r i a ls t a f ft od e s i g nm o r er a t i o n a la n dm o r ef a i ri n s u r a n c et y p e s 5 f i n a l l y , 1w i l le x p o u n ds o m ei s s u e sw h i c ha r ew o r t h yo fb e i n gf u r t h e rr e s e a r c h e d k e y w o r d s ：a u t o m o b i l ei n s u r a n c e ；b m s ；m a r k o vc h a i n ；c l a i ma m o u n t ；d e d u c t i b l e 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 高多枸 签字同期：，罗年易月 同 导师签名： 签字h 期： 月 抑1 仰 忻 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：高；和 签字同期：矽g年 多月f 同 致谢 本论文的工作是在我的导师付俐教授的悉心指导下完成的，付俐教授严谨的 治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响。 无论是在科研上还是平时的生活中，付老师都给了我无微不至的关怀与鼓励， 这都给了我很大的精神支持，使我顺利地度过两年的研究生学习和生活。她的为 人处事态度也使我终身受益，在此衷心地感谢两年来付俐老师对我的关心和指导。 在论文选题、研究、定稿的过程中，付俐老师自始至终给了我大力的支持和 无私的关怀，对于我的科研工作和论文都提出了许多的宝贵意见，在此向付老师 表示衷心的感谢。 另外，感谢我的家人，他们的理解和支持使我能够在学校专心完成我的学业。 1 引言 汽车保险是现代保险业的重要险种之一。在我国众多财产险公司中，汽车保 险业务的保费收入往往占到公司总保费收入的8 0 以上。因此，科学合理地厘定 汽车保险费率至关重要。汽车保险的奖惩系统( b o n u s m a l u ss y s t e m ，简称b m s ) 是广泛应用于世界各国保险公司的一种经验估费系统，主要足根据驾驶者的历史 索赔记录来确定其续期保费。在中国，各家保险公司也都分别制定了自己的奖惩 系统。 1 1 研究背景及意义 近年来我国汽车拥有量大幅度攀升，交通事故时有发生，造成的人身伤亡和 经济损失，使人们逐渐认识到汽车保险的重要性。中国即将成为汽车保险的大国。 目前，我国经营机动车辆保险业务的保险公司就有1 0 多家，汽车保险的保费 在非寿险公司中的份额已经达到6 0 左右。在2 0 0 3 年以前，我国实行全国汽车保 险统一费率，为了确保在不同地区、不同保险环境下各保险公司都能盈利，导致 了较高费率，这违背了费率厘定和市场竞争的公平原则。2 0 0 3 年中国保监会对车 险条款和费率管理体制进行了改革，沿用多年的全国机动车辆统一保险条款费率 不复存在，汽车保险费率全面市场化，各保险公司纷纷制订了各自有特色的条款 和定价体系。同时各家保险公司为了抢夺市场展开了激烈的竞争，并且随着中国 “入世 ，国外的保险公司进入中国，车险市场的竞争更加激烈，同时也为了与国 际接轨，保险公司逐渐认识n - 要想在竞争中获胜，除了加强管理，提高服务质 量外，必须科学、合理地厘定保费。 机动车辆保险的价格不仅事关投保人的利益，而且与保险公司的命运息息相 关。保费厘定涉及两个方面：一个是基本保费的确定，一个是续期保费的确定， 其中第二个方面由奖惩系统决定，更显重要。公平合理的续期保费不仅受初次投 保人的关注，而且直接影响投保人的数目。 然而，当前机动车辆保险中的奖惩系统无论是在理论上，还是在应用上都存 在一些不足和有待完善的地方。因此，设计科学合理的奖惩系统已经成为一个重 要的课题，对汽车保险定价具有很现实的意义。 1 2 奖惩系统简介 1 2 1 奖惩系统 “奖惩系统”的英文为“b o n u s m a l u ss y s t e m ”，是一种经验定价方法，奖惩 系统的本质是对于发生了一次或多次索赔的投保人合理地增收保险费或给予惩罚 “m a l u s ”，而对没有任何索赔发生的投保人合理地给予保费折扣或奖励“b o n u s ”， 并且力求使这种系统在某种意义上达到最优1 。 保险公司在对保险产品定价时，通常力图达到两个目标：一是在险种水平上， 收取的总保费应该足以支付所有未来赔付责任；二是尽可能地达到对每个被保险 人的公平，即对每一个投保人收取的保费应尽可能地反应其真实风险水平，从而 避免被保险人之间的“补贴 。在自由的市场中，如果某一公司的定价系统不能很 好的反映投保人的真实j x l 险水平，就必然导致逆选择风险“好的”司机将选 择其他保险公司，而高风险保单将可能留下来。奖惩系统的广泛使用i f 是为了达 到上述定价目标，尤其是为了达到在被保险入之间的公平。 在本文中我们将对汽车保险中第三者责任保险奖惩系统的稳定分布、考虑索 赔大小的b m s 和加入免赔额的b m s 的构造等问题进行分析和研究。汽车第三者 责任保险是指因使用被保险的汽车发生意外事故致使第三者人身伤亡或第三者财 产损害，被保险人依法应负经济赔偿责任时，保险人依照汽车责任保险条款的规 定，对被保险人依法应承担的经济赔偿责任进行赔偿。汽车保险的设计因各国国 情与社会需要的不同而不同，就第三者责任保险而言，各保险先进国家均在承保 内容上力求扩张，以使所有车祸受害人均能获得合理的赔偿，这已成为现代汽车 第三者责任保险的必然趋势。 1 2 2 奖惩系统在实践应用中被证明具有以下的作用n 1 ： 1 、有助于减少各费率组别中的风险非同质性现象 在厘定车险费率时，除了要考虑车辆型号、司机性别、年龄、婚姻状况等显 2 性因素外，还应该考虑到驾驶员的判断能力、反应敏捷性、超车欲望等隐性因素。 这些隐性因素往往难以判断和度量，但它却与风险质量有着非常直接的关系。所 以，保险人在综合考虑了这些因素的基础上，以被保险人以往的索赔记录作为调 整费率的依据，这样可以降低存在于各费率组别中的风险的不均匀性，使每个投 保人缴纳的保费与他的实际j x l 险相匹配，从而使保费的收取更趋于合理。 2 、可避免小额赔款的发生 由于奖惩制度的存在，当被保险车辆发生事故时，保单持有人会面临是否索 赔的问题。一般而言，保单持有人会把因索赔造成的多支付的保费与发生的损失 额进行比较，若前者大于后者，则为了得到下一年度续保时的保费优惠，驾驶员 往往会选择自己承担损失。这样来可以降低保险公司的索赔成本和管理费用。 3 、有利于鼓励司机安全行车 在采用了奖惩制度的车险市场中驾驶人员会自觉、主动地提高安全驾车的意 识，因为只有在记录“清白”的基础上，保户才可能享受更多的保费优惠。而索 赔次数越多，缴纳的保费就会越高。 1 3 研究现状与存在问题 在b m s 研究方面，美国宾夕法尼亚大学沃顿商学院的j e a nl e m a i r e 教授、中 国人民大学的袁卫教授、天津财经学院的孟生旺教授做出了巨大的贡献。正是因 为他们的研究使得现实的奖惩系统有了参考依据，大大促进了奖惩系统的研究和 应用。 对b m s 研究总结起来主要有三个方面：一是有关奖惩基础理论和对奖惩系统 的评价；二是有关奖惩系统的设计；三是奖惩系统带来的影响以及其相关研究。 其中第二方面是研究的核心，也是研究的热点。下面分别介绍奖惩系统在这三个 方面的研究现状，然后说明奖惩系统研究中存在的问题。 1 3 1 奖惩系统研究现状 ( 1 ) 奖惩系统基础性理论和对奖惩系统的评估 早在1 9 7 2 年，l o i m a r a n t a 2 1 就发表了一篇开拓性的文章，在此文中，l o i m a r a n t a 3 用马尔可夫链来研究b m s 的渐进属性( b m s 的效率、最小方差等级保费等) ，并系 统地研究了b m s 的转移规则、转移矩阵等。其它早期用马尔可夫链研究b m s 的 还有m o l n a r 和r o c k w e l l 3 1 ( 1 9 6 6 ) 、l e m a i r e ( 1 9 7 6 ) 等人。而在等级保费的确定 方面，有突出贡献的是n o r b e r g 、b o r g a n 等人( 1 9 8 1 ) 以及g i l d e 和s u n d t ( 1 9 8 9 ) 等，但总的来讲，这些等级保费的确定方法只适应于具有马尔可夫属性的b m s 。 b m s 投入使用后，很多精算师对其进行了分析和评估，在b m s 评估工作中 做出最大贡献的是l e m a i r e ，在他的专著l e m a i r e ( 1 9 9 5 ) 中，l e m a i r e 全面总结了 有关b m s 评价的方法与指标等，同时对包括台湾在内的3 0 个国家和地区的b m s 做了详细的分析与比较。另外，p a o l av e r i c o ( 2 0 0 2 ) 与f a b i ob a i o n e ( 2 0 0 2 ) 就基 于索赔次数b m s 的充分性与透明度做了极具意义的工作。 ( 2 ) 奖惩系统的设计 在理论上，根据转移舰则的不同，将现有文献中出现过的b m s 分为两类：一 方面是基于索赔次数的b m s 的理论研究；一方面是在考虑索赔次数的同时又考虑 索赔额的b m s 的理论研究。而且，在基于索赔次数的b m s 理论研究中也包括两 大类：一类是只利用后验信息( 索赔次数) 的b m s 研究；另一类是同时考虑先验 信息的b m s 理论研究。同样，考虑索赔额大小的b m s 的研究也包括这两类。下 面对研究现状分别作介绍。 基于索赔次数的b m s 理论研究 b i c h s e l 和b u h l m a n n ( 1 9 6 7 ) 等系统地提出了期望值保费原理，也就是每个投 保人所缴纳的保费应与其未知索赔次数成讵比。后来，l e m a i r e ( 1 9 7 9 ) 在假设投 保人的索赔次数服从负二项分布的基础上，根据期望值原理和g e r b e r ( 1 9 7 4 ) 提 出的指数效用原理，创建了奖惩系数表。在l e m a i r e “1 ( 1 9 9 5 ) 一文中，l e m a i r e 又用平方差损失函数和期望值保费计算原理，以及用负二项分布作为索赔频率的 拟合分布获得了一个最优b m s 。t r e m b l a y ( 1 9 9 2 ) 贝j j 认为利用二次误差损失函数， 零效用保费计算原理和泊松逆高斯分布作为索赔频率分布可以得到最优b m s 。后 来，j f w a l h i n 和j p a r i s ( 1 9 9 9 ) 仍然根据期望值原理和零效用原理，假设索赔次 数服从非参数分布模型创建了最优奖惩系统，同时将其与索赔次数服从复合分布 下的b m s 做了比较。在国内，有关b m s 的研究主要是基于后验信息，对此作出 大量工作的是孟生旺。孟生旺5 】呦根据期望值原理、半方差理、方差原理、标准 4 差原理、零效用原理等，同时假设索赔次数服从混合负二项模型、二项贝塔模型， 以及其它复合泊松模型，比较系统地创建了一系列最优b m s 。 以上这些工作，虽然采用了不同的定价原理，同时做了不同损失分斫j 的假设， 产生了不同效果的奖惩系统，但是它们的基本原理相同，都是基于后验信息索赔 次数的b m s 。 为了更好的奖励“好”司机，惩罚“坏”司机，g r e g t a y l o r ( 1 9 9 7 ) 试着将先 验信息纳入了基于索赔次数的b m s ，j e a np i n q u e t ( 1 9 9 8 ) 研究了有无过失事故的 b m s ，等等。 考虑索赔大小的奖惩系统的理论研究 虽然精算师们早就认识到了基于索赔次数的b m s 的不足，但是到目前为止， 有关考虑索赔大小的b m s 的研究工作还是不多。考虑索赔大小的b m s 颇有价值 的文献有p i c a r d ( 19 7 6 ) ，j e a np i n q u e t ( 19 9 7 ，19 9 8 ) ，n i c h o l a se f r a n g o s 和 s p y r i d o n d v r o n t o s ( 2 0 0 1 ) 的文章。p i n q u e t t 7 1 ( 1 9 9 7 ) 考虑事故严重程度设计奖 惩系统，按事故的严重程度分成两类：大损失和小损失。为了把大损失从小损失 中分离出来，有两种选择：一是规定一个限额，在这个限额以下的被认为是小损 失，其余的是大损失；二是对造成财产损失和人身伤害的事故进行细分，对造成 人身伤害事的被保险人惩罚更为严厉。而n i c h o l a se f r a n g o s 和s p y f i d o nd v r o n t o s 的主要工作也是将索赔次数与索赔额大小一同考虑在b m s 里，但是他们假设索赔 大小与索赔次数相互独立。另外，n i c h o l a s e f r a n g o s 跚还建立了一个广义b m s 模 型。在此模型中，他们同时考虑了投保人的先验信息，也就是投保人的个人特征。 在国内，孟生旺首先涉及到了这方面的工作，他侧重的是在不同分布、不同保费 原理下的考虑索赔大小的b m s 。他分别根据期望值原理、方差原理以及标准差原 理，研究了在负二项帕累托损失模型、负二项一对数正态损失模型以及负二项。伽 玛损失模型下的b m s 。 奖惩系统的影响以及其他相关研究 我们知道，基于索赔次数的b m s 有很多不足，其中一个关键问题是引起追逐 奖励行为。为此，h o l t a n 【9 1 认为是否向保险公司索赔是一个决策问题，决策行为取 决于投保人的索赔和不索赔这两种选择给投保人带来的预期回报的大小。由于追 逐奖励行为的存在，保险公司的索赔次数与索赔大小数据不能真实地反应投保人 5 的风险，为解决此问题，j e a n f r a n c o i sw a l h i n ( 2 0 0 0 ) 利用l e m a i r e 算子模拟出了 b m s 系统下索赔次数与索赔大小的真实分布。既然在基于索赔次数的b m s 下追 逐奖励行为不可避免，有人就提出，是否可以用其它办法来取代b m s 昵? 对此， j o nh o l t a n ( 1 9 9 4 ) 找到了一种替代办法，j o n h o l t a n 认为，高自负额奖惩系统可以 解决追逐奖励行为问题，同时也具备b m s 的某些优良特性。针对j o nh o l t a n 的观 点，l e m a i r e 和h o n g m i nz i ( 1 9 9 4 ) 马上给予了回应，并指出了高额免赔额系统存 在的优点与不足。s a n d r ap i t r e b o i s ( 2 0 0 5 ) 提出用不同等级的罚金来代替传统的 b m s 。 1 3 2b m s 研究中存在的问题 怎样提高损失数据的拟合精度 因为机动车辆保险中b m s 的研究是建立在投保人索赔历史记录的基础之上， 而索赔历史主要包括索赔额大小和索赔次数。而目前绝大部分保险公司的b m s 都 建立在历史索赔次数记录上，索赔次数拟合精度的高低直接影响b m s 的执行效果。 因此，如何提高索赔次数数据拟合精度一直是讨论的热点。 对考虑索赔次数b m s 的改进 现在的绝大多数b m s 只考虑到索赔次数，而且关于奖惩系统讨论的文献大部 分都是理论模型，与实际操作中的b m s 还有一定差距，数学理论上正确，但与现 行的保险条款不是很相符。比如，理论模型中假设奖惩系统中等级数是无限，但 实际中等级数是有限的，那么，根据不同索赔次数分布，建立最优准则，确定最 优的各等级费率系数，这是汽车保险定价的关键。 怎样在b m s 中考虑索赔额的大小 现有的b m s 只是考虑了索赔次数，而没有考虑索赔大小，这样的b m s 没有 全面利用投保人的风险信息。索赔次数固然反映了投保人的一部分风险，但它不 能全面衡量保单的风险，因为相同索赔次数带来的实际损失往往差别是很大的。 有人已经在这方面有所研究，但是他们的主要工作是考虑索赔大小b m s 的理论模 型。如何设计考虑索赔额的奖惩系统，建立其相应的应用模型，使其在保险实践 中简便可行，是有待解决的问题。 在b m s 中考虑自负额和先验变量 6 针对现有b m s 存在的不足，在b m s 中考虑自负额，即投保人也要负担部分 赔付责任，从长期看，高风险的投保人要比低风险的投保人多付自负额这部分费 用。从某种程度来说，自负额与b m s 有着同样的目的。 随着保险越来越细分和注重考查投保人的先验信息，所以我们有必要在自负 额模型中考虑投保人的先验信息，同时对保险公司考虑保费的收支平衡，使其自 负额的确定更加科学。 1 4 本文主要目的与研究内容 通过前面的分析和阐述，可以看到，奖惩系统与汽车保险定价密切相关，使 它成为现在精算学中的一个重要的研究课题。 本文的主要目的是对奖惩系统进行研究，包括奖惩系统的平稳分布研究，新 的弹性免赔模型的构建、以及考虑索赔大小的奖惩系统的构造。具体研究内容如 下： 笫二章从理论上研究汽车保险巾的b m s ，用马尔可夫链对b m s 建模并做稳 定性分析，得出了任一b m s 都存在平稳分布的结论。 第三章将索赔额因素引入奖惩系统，建立一个考虑索赔大小的b m s 的应用模 型，并就此应用模型进行分析，包括转移矩阵、稳定分布、等级保费的确定等， 最后做了实证分析。 第四章初始的免赔模型存在明显的缺陷，构造一种新的弹性免赔模型，弥补 了初始免赔模型存在的不足。并在有限数学期望、密度函数、分布函数等数学工 具的基础上，分析了不同类型的免赔额与赔偿限额的同时使用对纯保费的影响， 对保险精算人员设计出加更加合理、更加公平的保险险种有很大的意义。 第五章最后指出尚待研究的问题，提出建议。 本文对汽车保险中的奖惩系统做了研究，其逻辑结构如下： 7 b m s 研究绪论 1 5 小结 本章阐述了论文的研究背景和研究意义，简要地介绍了奖惩系统的概念和本 质，然后重点介绍了奖惩系统的研究现状和存在的问题，针对研究中存在的问题 指明了尝试研究的方向，最后指出了本文的研究目的和研究内容，其中主要创新 点如下： 1 、中国人民大学的成世学教授对n c d 系统做过稳态分析，本文第二章就是在他的 研究结果基础上，迸一步将研究范围拓展到b m s 中，用马尔可夫链对b m s 建 模并做稳定性分析，得出了任一b m s 都存在平稳分布的结论； 2 、建立一个考虑索赔大小的b m s 的应用模型，并就此应用模型进行分析，包括 转移矩阵、稳定分布、等级保费的确定等，并做了实证分析； 3 、构造一种新的弹性免赔模型，剖析了不同类型的免赔额与赔偿限额的同时使用 对纯保费的影响。 8 2 1 奖惩系统建模 2 奖惩系统的数学理论 b m s 是机动车辆保险中广泛采用的一种经验费率厘定机制，主要是根据驾驶 者的历史索赔记录来确定其续期保费。 一个完整的b m s 必须包括三个要素：保费水平、初始等级和转移规则。从数学 的角度来看b m s 就会发现，它事实上就是一个离散时i n j 、离散状念的马尔可夫链， 不同的保费等级就是状念空i n j ，而转移舰则可用相应的转移概率矩阵束描述。 n c d 系统事实上是b m s 的特例，它对被保险人只有奖励而没有惩罚。有学 者曾经研究过n c d 系统的数学建模，得出了任一n c d 系统都存在平稳分御的结 论 t o l 【。本章将在前人研究的基础上对b m s 进行建模，并对其做稳定性分析， 进一步得出任一b m s 都存在平稳分稚的结论。 下面就来具体讨论b m s 的建模。 2 1 1 保费等级 在b m s 中，被保险人缴纳的保费可以用仞始保费的折扣来表示。该折扣可 以是正值( 享受优待，缴纳较低保费) ，也可以是负值( 缴纳较高的保费) 。例如： 初始保费为1 0 0 ，则保费为8 0 的续保者就处在折扣水平为2 0 的折扣组中，而 保费为1 2 0 的续保者则处在折扣水平为2 0 折扣组中。 假设共有，1 个折扣组，分别用1 ，2 ，玎表示。又记第i 个折扣组的折扣水 平为，假定它们可按递增次序排列如下：_ 吃 ，其中某个吒= o 。现设初 始保费为a ，则位于折扣组i 的投保者在相应的保险年度缴纳0 一b 的保费。当 为正值时，表明投保人处在低风险组中，免交口的保费以示奖励；当为负值时， 表明投保人处在高风险组中，缴纳比初始保费更多的保费以示惩罚；乃= o 表示不享 受优惠，也不给予惩罚，缴纳全额的初始保费。 显然，该体系中位于折扣组，z 的投保人可享受最高的优惠，即在相应的保险 年度可免缴吒口的保费，以下称折扣组刀为最高折扣组；位于折扣组1 的投保人则要 9 受到最严厉的惩罚，多缴纳一口的保费，称折扣组1 为最低折扣组。 2 1 2 索赔发生的概率分布 在保险实务中总是约定，每相隔固定时间间隔t ，保险人向投保人收取保费。 不失一般性，本文以一年为时问间隔，这也是大多数保险实务中采用的标准。以 下恒以n ( 七= 1 , 2 ，) 表示投保人在一年中恰发生尼次索赔的概率，p 。+ 表示投保人 在一年中至少发生k 次索赔的概率： k i p 。+ = p ；= 1 一p ， ( 2 1 ) i = k扛o 全文假定0 p j ) 均可由特定的折扣组转移法则和索赔频数分布 p 女：k 0 ) 确定。此外，由于0 p 。 l ，从最高折扣组出发，总有可能( 即以正 概率) 经有限步转移后返至最低折扣组。 2 2 奖惩系统的平稳分布 定理1 对于任一由b m s 确定的马尔可夫链 x 髟：k 1 ) 来说，均存在唯一的平 稳分布万= ( 7 i ，7 1 2 ，万。) ，且有 l i mp r ( t = i ) = 乃，i = 1 , 2 ，n ( 2 1 5 ) k 证如前所述，由该马尔可夫链的一步转移矩阵q 所具有的特殊结构( 见( 2 5 ) 式) ， 总存在有限个折扣组：0 i 2 i m n ，使得位于最高折扣组，z 的投保者，可 逐次以正概率经由折扣组乙，乙- l ，返至折扣组1 。 又由( 2 3 ) 式知，自折扣组l 出发，可以相同的j 下概率依次经由折扣组 2 3 ，1 1 1 抵达最高折扣组n 。这表明诸状态之间是互通的，从而该马尔可夫链是 不可约的。 再由于该马尔可夫链仅含有限个状态，而不可约有限马尔可夫链必是正常返 的，且有唯一的平稳分布n2 1 。可知由b m s 确定的马尔可夫链必存在唯一的平稳 分布，且有( 2 1 5 ) 式成立。( 证毕) ( 2 1 5 ) 式表明，若某人购买附有b m s 条款的机动车辆保险，只要不中途退保， o o 0 o 肌反 一 一 o 艮 o o o 艮o o 0 鳓o o o o o 队 o 陬o o o 绯陬o o o o 则最终会以概率万：抵达折扣组i 。换言之，设最初共有m 位投保人购买该机动车辆 保险，再假定他们均不中途退保，则不论这坍位投保人最初各位于怎样的折扣组， 在经过一段充分长的时间后，分布在折扣组i 的人数将大致稳定在m x i 左右。这样， 对保险公司来说，在充分长的时间问隔后，每年度的总保费收入尸可由下式估算： p = m a 死( 1 一) ( 2 1 6 ) i = 1 由b m s 平稳分布的存在唯一性，借助平稳分钿所满足的线性方程组与规范化 条件，再结合( 2 2 ) 、( 2 3 ) 和( 2 。4 ) 式给出的一步转移矩阵的特定形式，即可导出b m s 平稳分和7 的结构与求解平稳分布的通用算法。 定理2求解b m s 的平稳分布y ，可得 y 女= b k r c 。，k = 1 , 2 ，n 一1 ， 死= ( 1 + b l + + 包一1 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 其中巩是仅依赖于索赔频数分布 p t ：k 0 的己知常数。 证首先，由平稳分布的定义知，7 是满足下述线性方程n ( 2 1 9 ) 季t l 规范化条 件( 2 2 0 ) 的非负解： 刀q = 7 ，( 2 1 9 ) x i + 万2 + + 万。= 1 ( 2 2 0 ) 其中，q 为转移概率矩阵。 其次，由定理l 知，任一b m s 仅有唯一的平稳分布，这表明，满足约束条件 ( 2 2 0 ) 的线性方程组( 2 1 9 ) 仅存在唯一的正解。故只要求出一个解，它便是该b m s 的平稳分布。 由于任一b m s 的转移矩阵q 皆具有如( 2 5 ) 式所示的结构，故可出方程组( 2 1 9 ) 的最后一个方程 p o t r n i + p 0 2 r n2 万n 解出 y 川= 盟死 ( 2 2 1 ) p o 一般而言，方程组( 2 1 9 ) 1 拘第i ( i = 2 , 3 ，n - 1 ) 个方程为 1 4 刀卜l p o + 7 r f x0 + t r “l g “i ，f + + t ”q 耐= 万f ( 2 2 2 ) 以下采用到归纳法来证明( 2 1 7 ) 式： 若令b 川= 堕，则由( 2 2 1 ) x - t 法1 1 ，当后= 以一1t i 寸( 2 1 7 ) 式成立； p o 假定当f k 刀一l 时( 2 1 7 ) 式成立，则当k = f 一1 时，t j d ( 2 2 2 ) 式解得 砟：生监纽! 堕业 p o 若令b 川= t， 4 一协+ l g j + i i 一一一l q 月一1 f g 月f ，显然b h 为仅依赖于索赔频数 p o 分布 p ：k 0 ) 的己知常数，故有k = f l 时，( 2 1 7 ) 式成立； 故对任何k = 1 , 2 ，l 一1 都有( 2 1 7 ) 式成立。 再由( 2 1 7 ) 式和规范化条件( 2 2 0 ) 式，易知( 2 1 8 ) 式成立。( 证毕) 一般而言，对任一b m s ，尽管具有不同的转移规则，都能按照上述定理经 过迭代计算得出它的平稳分布。下面一章中，b m s 的平稳分布即由此方法得到。 2 3 小结 用数学的角度来看b b t s 就会发现，它事实上就是一个离散状念的马尔可夫链， 不同的保费等级就是状态空间，而转移规则可用相应的转移概率矩阵来描述。中 国人民大学的成世学教授对n c d 系统做过稳态分析，本文第二章就是在他的研究 结果基础上，进一步将研究范围拓展到b m s 中，用马尔可夫链对b m 8 建模并做稳 定性分析，得出了任一b m s 都存在平稳分布的结论，并给出了经过迭代计算其平 稳分布的方法，以下b m s 的平稳分布即由此方法得到。 1 5 3 考虑索赔大小的奖惩系统 有关考虑索赔次数的b m s 的理论研究已经相对比较成熟，到目前为止，除了 韩国以外，世界上其他幽家的保险公司在设计汽车保险的b m s 时，都未考虑索赔 大小n 。通过系统分析，可以确定为以下两个主要原因：一是确定转移规则的困 惑。因为索赔大小可以认为是没有上限的，所以考虑索赔大小的理论模型的一个 共同特点就是所有b m s 的等级数是无限的，也就是既，投保人可能转入的风险等 级未知，这样一来，就无法确定个明确的转移规则，没有转移规则，与b m s 有 关的许多研究和操作就无法实现。二是确定等级保费的凼惑。保险之所以出现、 存在，是因为它是以共同承担风险为前提的。将索赔大小引入以后，如果等级保 费按期望损失原理来确定，高风险投保人出现的索赔完全由该投保人的保费来补 偿，这显然有悖于这个前提。当然，还有其他影响因素，如只考虑索赔次数的b m s 操作程序比较简单；保险双方已经习惯于当前的b m s 等等。 目前，很多精算人员和保险公司已经很清醒地认识到，不考虑索赔大小的b m s 存在很多的弊端。因此，将来会有越来越多的保险公司将采用考虑索赔大小的 b m s 。基于这样的考虑，本文试着为汽车保险建立一个比较合理的考虑索赔大小 的b m s 的应用模型。 3 1 考虑索赔大小的b m s 建模 假设投保人在一投保期内有n ( n = o ，1 ，2 ，3 ，) 次索赔，且每一次索赔的大小分别 n 为q i ( i - - 0 ，1 2 ，刀) ，则此投保人在该投保期内的索赔总额为q ( q = q ；) 。显然，q i = l 是一个非负数。现在取一组常数d l ，d 2 ，d 。，且满足o d f d ( 1 i m ) 。 为了便于保险公司操作，在此基础上，可以建立如下分段函数： q = q oq = 0 g0 q d