（理论物理专业论文）基于格点qcd的相变研究.pdf

摘要 摘要 本论文应用格点q c d ( q u a n f u mc b r o m o d y n a m i c s ) 理论研究了s u ( 3 ) 规范 理论中相变的临界点，同时考察了褪禁闭相变与s u ( 3 ) 中心对称z ( 3 ) 破缺的 关系。首先，本文采用了改进的算符和m o m i n g s t a r 的改进作用量等优化措 施；在数值计算过程中，应用了赝热浴算法和过驰豫算法。为了精确确定相 变点，本文利用p o l y a k o v 线对z ( 3 ) 的投影，并对其进行了误差范围内的外 推。最终，我们定出体积为2 4 4 、各项异性参数f = 5 的格点对应相变的l 临界 耦合常数风= 2 8 0 8 ( 3 ) ，对有限体积效应的影响也进行了探讨。通过研究发 现，在近相变区域，s u ( 3 ) 规范理论相变的过程中，明显的伴随z ( 3 ) 中心对 称的破缺。 关键词格点规范s u ( 3 ) 相变 中心对称l 晦界耦合常数谱密度方法 p o l y a k o v 线 i i i a b s t r a c t i nt 1 1 l sd i s s e r t a t i o n ，t h ep h a s e - t r a n s j t i o np o i n to fs u ( 3 ) g a u g e 矗c l di h c o r yi ss t u d i e du s i n g1 a t t i c eq c d ( q u a n t u mc h r o l n o d y n a m l c s ) ，a i l dt h ec o l m e c t l o nb e t w e e nd e 。 c o n 五n e m e n tp h a s et r a n s i t i o na n dt h cz ( 3 ) s y m m e t r yb r o k e n ，w h i c hi st h es u ( 3 ) sc e n t e rs y m m e t 吼l sa n a l y z e d f l r s c ，af e wl m p r o v e dm e t h o d sa r ei n v 0 1 v e di nn u m c n c a l c o m p u t i n gp r o g r a m ，i n c l u d i n gi m p r 0 v e do p e m t o r sa n dm o m l n g s t a rl m p r o v e da c t i o n ； t h ep s e u d o - h e a t _ b a t l la l g o d t h m sa n dt h eo v e r r e l a x a t i o na l g o t h m sa r eu s e di nu p d a t j n gp m c e s s 1 no r d e rt oa c h l e v et h ee x a c tp 1 1 a s e - t r a n s l t i o np o n i t ，w em a k eu s eo f t h e z ( 3 ) p r o j e c t e dp o l y a k o vl m e ，a n de x l r a p o l a t et h es i m u l a t i o nr e s u l t su s i “gt h es p e c t r a l d e n s l t ym e t h o da tl a s i ，t h ec r i t i c a lc o u p i i n gc o n s t a n to fo u rl a t t i c e ，w h o s ev o l u m ci s 2 4 4a n da n i s o t m p i cp a r a m e t e s = 5 ，l sd e t e 丌r i m e d ，风= 2 8 0 8 ( 3 ) a c c o r d i n gt o a n a l y z i n gt h en u f n e “c a lr e s u l t s ，w e 丘n dt h a tt h c r ci saz ( 3 ) s y m m e n _ yb m k e n ，w h i c h i st h ec e n t e rs y m m e t r yo fs u ( 3 ) g r o u p ，a c c o m p a n y m gw i t ht h ep h a s eh a n s i t i o ni nt h e s u ( 3 ) g a u g et h e o 阱 k c yw o r d s 1 an i c 。g a “g e s u ( 3 ) p h a s e t r a l l s l t l o l l c e n t e rs y m m e t r y c r i t i c a l c o u p l i n g c o n s t a n ts p e c t r a ld c n s i t ym e t h o d p o l y a k o vl i n 8 l v 南扑大学坝j 学位论文使川授权书 南开大学硕士学位论文使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，同意如 下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保 存学位论文的印刷本和电予版，并采用影印、缩印、扫描、数字化或其它手 段保存论文：学校有权提供目录检索以及提供本学位论文全文或者部分的阅 览服务；学校有权按有关规定向国家有关部门或者机构送交论文的复印件和 电子版：在不以赢利为目的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部 内容用于学术活动。 学位论文作者签名 押辞s 勋s b 岳诨石 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 指导教师签名学位论文作者签名： 解密时间： 年月 目 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下 内部5 年( 最长5 年，可少于5 年) 秘密1 0 年( 最长l o 年，可少于1 0 年) 机密2 0 年( 最长2 0 年，可少于2 0 年) 南，i ：大学学位论文原创性声明 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工 作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不 包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公丌发表的作品的内容。对本论 文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。本学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名： ) 唰，年月细 。1 1 壶辉召 笫l 章绪论 第1 章绪论 量子场理论虽然是物理学的前沿学科，但是它在量子力学建立初期，就 已经开始发展了【1 2 1 。在量子场论发展的过程中出现了一个个里程碑式的人 物，h e i s e n b e r g ，p ：j o r d a n ，d i r a c ，p a u l i ，w e i s s k o p f ，f i e r z ，t b m o n a g a ，s c h w i n g e l f e y n m a n ，d y s o n ，t h o o r ，w e i n b e r g 等，他们为量子场论的建立和发展做出了卓 越贡献。 1 9 5 4 年杨振宁和m i l l s 利用核子同位旋模型，把规范不变的理论推广到 内部对称的n o n a b e l 群，利用定域规范不变的原理来研究物质相互作用，从 而标志规范场理论的确立【3 】。规范场理论的建立，不仅是量予场论的丰富， 而是将量子场论向前推进了一大步，使量子场论的研究迈向了更广阔更深 入的领域。随后的6 0 年代和7 0 年代，规范量子场论的研究取得了巨大的成 就。g l a s h o w s a l a l l l 一w e i n b e r g 模型基于s u ( 2 ) u ( 1 ) n o n a b e l i a n 规范对称性自 发破缺机制，使其破缺到严格的u ( 1 ) 对称的电磁相互作用；成功预言了矢量 介子并精确计算了它们的质量，真正的把电磁相互作用和弱相互作用进行了 统一【”。在另一方面，基于s u ( 3 ) n o n a b e l i a n 规范群的量子色动力学( q c d ) 也在强相互作用研究领域取得了突破性进展，被认为是研究强相互作用的基 本理论【5 6 1 。o c d 的两大理论基础是：渐进自由和夸克紧闭。作为一种可重 整化的理论，o c d 已经很好的利用微扰方式解决了渐进自由的问题( 在小距 离处，夸克的相互作用变弱，这是与实验事实相符的) ；而夸克紧闭( 在低 能情况下夸克将被束缚在强子中) 却无法从微扰论得到根本的解决。 1 9 7 4 年，k g w i l s o n 提出了格点o c d 理论【7 】，为利用非微扰方式来研究 夸克紧闭以及q c d 的其它问题开创了新途径。格点q c d 理论是基于4 维离 散的欧几里德时空格点和路径积分方法，利用统计力学的观点来解决q c d 的 物理问题，它充分体现了量子场论和统计力学的结合特征i ”。格点q c d 理论 己不仅仅局限于研究夸克紧闭问题，它在研究强子谱、衰变常数、有限温度 场论、o c d 相变及夸克胶子等离子体等等方面都做出了相当的贡献。 最近，相对论重离子碰撞实验数据和现象，带给我们很多惊喜的信息， 分析显示夸克胶子等离子体( 或说一种新的物质态) 可能已经被发现【9 】，而 且这些现象能很好的用流体动力学模型进行解释【l0 1 。同时，实验现象和分析 表明在高于临界温度正的一定范围内( 约为噩一2 正) ，夸克胶子等离子体并 不是一个弱相互作用的体系：m o l n a r 和g ”l a s s y 利用b o l t z m a n n 方程来研究 胶子散射的椭圆流发现，相应的散射截面要比由微扰论的大接近5 0 倍 。 】一 第1 章绪论 于是，现在非常需要利用非微扰的方式米研究0 c d 相变以及夸克胶予等离子 体的性质，特别是流体动力学性质。 我们的工作采用格点0 c d 理论来研究q c d 相变性质，通过数值计算确 定出了临界耦合常数倪和相变温度咒，这将为我们下步在相变点附近来研 究夸克胶子等离子体的流体动力学性质奠定基础。同时，我们也考察了o c d 相变与s u ( 3 ) 中心对称z ( 3 ) 的破缺之间的关系，发现q c d 相变是伴随着z ( 3 ) 这一分立中心对称的破缺的。本文的主要内容为：第二童，讨论如何从连续 理论过渡到格点规范理论，构建出格点理论模型；第三章，主要主要介绍本 文的数值计算和数据处理过程中所采用的方法：第四章，这里重点讨论我们 数值计算的结果：第五章，是工作的展望，我们现在的工作才只是个开始， 我们将进一步研究夸克胶子等离子体的相关性质。 ，2 一 第2 章格点规范理论 第2 章格点规范理论 2 1连续规范场理论初步 在物理学的研究中基本的物理规律所包含的对称性起着非常重要的作 用。对称性分为两大类：一类是时空对称性，他们与描述物理事件的时空坐 标的变换( 例如时空坐标的平移和l o r e n t z 变换) 相联系的；另一类是内部对 称性。在场论中，它们是与不改变时空坐标的场的变换相联系的。物理学中 的变换构成变换群。物理规律的对称性归结为基本方程在这些变换群下的不 变性。 对称性和变换群是与规范理论及规范场紧密相关的。规范变换最早是 1 9 2 1 年w e y l 在试图统一电磁场和引力场是引入的。量子力学建立后，人们 发现带电粒子与电磁场作用的量子力学是一种规范不变的理论，因为在这种 理论中运动方程在带电粒子波函数的定域位相变换下保持不变。位相变换 群是内部对称群，数学上它是种a b e l 群，即可交换群。1 9 5 4 年杨振宁和 m s 把规范不变的理论推一到内部对称的n o n a b e l 群，即不可交换群。杨 振宁和m i l l s 的文章中包含了这样一种思想：定域规范不变的原理应当在物质 相互作用的理论中起基本作用。这个理论的一个重要特点是，规范不变的要 求在相当大的程度上决定了相互作用的形式。在后来，弱电统一模型，和二 十世纪七十年代初提出的关于强相互作用的量子色动力学的巨大成功，使规 范场理论得到了巨大发展。 为了保持内容前后的一致性，连续规范场理论及格点规范场都将在四维 欧氏空间下进行讨论，相应的米氏空间与欧氏空间中量的刘应关系为 z 警一z ； z 舻= t + 一缸掌= 一打 p 警一p ； p 警；e t 磕 一3 。 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 4 p 刍= p ；= p 2 一e 2 = 一p ( 2 6 ) = l 为了更好的过渡到格点规范理论，下面的连续理论将以几何的观点来阐 述。而且，主要以n o n a b e l i a n 规范场为主。 2 1 1n o n a b e l i a n 规范场理论 在这里，将以一个分量为n 的复标量场咖( z ) 为例结合来研究规范场【”。 作用量为 咖= 万妒“ ( 2 7 ) s = d 4 z 咖( z ) ( 口+ m 2 ) 咖( z ) + u ( 西( 。) ，( z ) ) ) ( 2 8 ) 如果是在下述变换下是不变得 毋( z ) + 曲7 = 一1 ( z ) ， s u ( ) ( 2 9 ) 也就是 是一个n n 的矩阵，不依赖于x ，满足 t = 1 d 酣 = 1 ( 2 1 0 ) 则这样不依赖于时空坐标的规范变换称为整体规范变换。 如果变换形式为 咖( z ) + 西= ( 。) 一1 西( z ) ( 2 11 ) 其中 ( z ) 是随x 变化的，则这类变换称为规范变换( 也称为定域规范变 一d 换) 。 ?，、 九| | 图2 1 路径的组合与逆变换 在规范场中，一个重要的概念就是协变微商，在这里将从几何的基础 上，以平行输运的概念来构建它1 ”。一个矢量沿某一方向的平行输运按如 下方式来定义。让。来表示时空中从x 到y 的某个曲线。它可以参数化为 ( s ) ，s o ，1 ， ( o ) = 矿， ( 1 ) = 旷， ( 2 1 2 ) 其中我们把9 。与一个s u ( n ) 矩阵联系在一起 ( 2 1 3 ) 给出从矢量空问k 到k 的描述。这样，一个矢量( z ) u ( 。) k ( 2 - 1 4 ) 就定义成，由x 点延曲线，。平行输运到y 点。u ( v 。) 称为平行输运算子。 它需要满足如下自恰条件： 1 u ( ) = 1 其中o 表示一个长度为0 的曲线。 2 u ( 2 。1 ) = 【，( 2 ) u ( 如) 其中2o l ，表示延1 到2 组成的路径( 图2 1 ) 。 3 u ( 一) = u ( ) ，其中一表示路径延相反方向传播( 图2 1 ) 。 一5 第2 章格点规范理论 在定域规范变换下 平行算子变换为 咖( z ) + ( z ) = 一1 ( z ) ( z ) 咖( 掣) ，( ) = 一1 ( 可) 咖( 可) ( 2 15 ) ( 2 1 6 ) u ( 勺。) 一u ( f 。) = 一1 ( y ) u ( v 。) 扛) ( 2 1 7 ) 为了定义协变微商，我们需要把对应两个无穷近邻点x 和y = x + d x 的矢量相 减。我们只来考虑从x 到x + d x 的直线平行输运。由于对应无穷小，所以平行 输运算子为 其中 u ( + 出，。) = 1 一a p ( z ) 如” ( 2 1 8 ) a 。( z ) s u ( ) ( 2 1 9 ) 是s u ( n ) 李代数的一个元素，即一个无迹反厄米矩阵。如果我们定义 ( z ) 协变微商为 我们得到 d ( z ) = u 一1 ( 。+ 出# ) ( z + d z ) 一曲( z ) ( 2 2 0 ) 巩j 5 ( z ) = ( 钆+ ( z ) ) ( 。) ( 2 2 1 ) 凡( z ) 则对应的就是规范场。从平行传输算子的变换定律，我们可以得到规 范场的变换关系： a 。( 。) = 一1 ( z ) ( 钆+ a p ( z ) ) ( z ) ( 2 2 2 ) 这样定义的协变微商在下面情况下就是协变的 d 。妒( z ) = 一1d “咖( z ) ( 2 2 3 ) - 0 一 x d x 图2 2 连续条件下的无穷小平行四边形 相应的场强就是： 凡。( z ) = d 。，d 。】= a ，( z ) 一巩a “( z ) + 【a p ( z ) ，a ”( z ) 】 ( 2 - 2 4 ) 它的集合意义就是平行输运合起来围成了一个边长分别为d x 和d y 的无穷小 平行四边形( 图22 ) 。相应的平行转换算子为 u ( 。，。) = 1 一f _ 。( z ) d z p d ” ( 2 2 5 ) 在定域的规范变换下场强的变换为 下面引入分量表示 f ：。( z ) = 一1 ( z ) f - 。( z ) ( z ) ( 2 2 6 ) 这里i r 对应为s u ( n ) 群的生成元，它们满足： 州咒死) = ；“ 【瓦，死】= i 厶6 c 疋 一7 u o r ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 死 u n - l = a 厶6 。为结构常数。 对s u ( 2 ) 有： 其中丁n 为p a u l i 矩阵。 对s u ( 3 ) 瓦= l = 鲁 a 。为g e l i - m a n n 矩阵。 每一个s u ( n ) 的群元都可以表示为如下形式 则场分量和场强定义为 由此可得 = e l u 。 a “( z ) = 一i g a p 。( z ) 咒 e 。( z ) = 一i 9 f j 。( z ) l ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 。= 钆a ：( z ) 一巩a ：( z ) + 9 6 c a p 6 a v 。 ( 2 3 5 ) 其中g 为耦合常数。 这样，根据上面我们所得到的协变微商及相关结论，我们就可以把场 的作用量写成规范不变的形式： & = 厂如慨m ) 佴m ) + 嗍( 卅( 砂m ) ) ) ( 2 3 6 ) 规范场自身的动力学特征由y a n g m i l l sa c t i o n 决定【3 m = 一去厂d 4 ( z ) t r 。巳，= ；厂d 4 z 巳”。v 。 ( z 3 7 ) 在其中包含了规范场的自相互作用项。如果只考虑规范场自身的耦合，我们 一8 一 第2 章格点规范理论 称之为纯规范场。在本论文中我们研究的主要就是n o n a b e l i a n 的纯规范场 另一方面，有了规范场我们也可以构建出平行输运算子： r 、 u ( 。) 三p e x p 一以p d z “ ( 2 - 3 8 ) jf ， p 表示路径是有方向的。这样n o n a b e l i a n 的规范场就基本建立起来了。 2 1 2a b e l i a n 规范场 a b e l i a n 规范场，描述群为u ( 1 ) 群，与其相联系的场是电磁场。u ( 1 ) 群 的群元是模为l 的复数： u ( a ) = e 一缸， o 茎。s2 7 r( 2 3 9 ) 相应的定域u ( 1 ) 规范变换为 ( z ) ，( z ) = e 一2 。j 5 ( z ) ( 2 4 0 ) 由于只有一个生成元，所以场没有必要写成分量的形式。根据4 。我们可以 得到协变微商 规范变换为 场强为 d 。= 辞。一i 9 a p 扛) a 。= a ，一：钆a ( z ) ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) 巳，( z ) = 以屯( z ) 一巩( z ) ( 2 4 3 ) 它是规范不变的。而且它与a 。是线性的关系，也就是它的作用量中没有自 相互作用项 s a = = j ；ja z f 。f 。， 9 一 ( 2 4 4 ) ! 竺堡丝塑塑些一 图2 3 时空格点与链变量 u 。 由于u ( 1 ) 规范场对易，所以它的平行转换算子为 u ( ) ；e x p 卜。a 。d z “) ( 2 4 5 ) 这里不要求路径的具体方向。 2 2 格点规范场理论 1 9 7 4 年w i l s o n 构建起了欧氏空间下的格点规范理论【7 1 ，用来研究夸克禁 闭并进行量子色动力学( q c d ) 的非微扰分析。格点规范理论的建立主要包括 【1 6 ： 一对时空进行离散化。 一表示出离散时空中的规范和费米自由度( 在本论文中我们将集中讨论规范 自由度，费米自由度将暂不讨论) 。 一构建出作用量。 定义路径积分的积分方式。 一表示山与真实物理相关的算符。 在这其中，构建作用量和算符是最重要的。具体的操作是如下进行：首 先，将时空离散化不止有一种方式，这里主要讨论的是超立方( h y p e r c u b i c ) 格点方式( 图2 3 ) ，其他方式不在此讨论【1 7 m 】。超立方格点的间隔是相等的 o ：。：。，体积为s 肌眠肌。格点规范理论是要把场定义在定域的 一1 0 一 第2 章格点规范理论 格点上( 图23 ) ，其中最近邻的两点之间是一个链变量，它们之间的关系是 ( 图2 3 ) ： 在这里 u ( z ，。+ p ) = ( z ) = e i 。9 4 一( 。+ ) ( 2 4 6 ) 矿( z ，z 一肛) = u 一“= e i 。9 一扛一苦) = u + ( z p ，z ) = u p ( z p ) ( 2 4 7 ) 格点化以后，原来连续理论中的刘称群将简化为分立群。在一个超立方格点 上，只能进行9 0 0 的旋转。所以，在分立格点上所取的是超立方群【2 0 】，转换 至少要在一个格点单位上进行，所以相应的动量也是分立的 2 7 r 礼 82 瓦 定域规范变换的具体形式是 ( z ) ，v ( z ) ( z ) v + ( z + 芦) ( 2 4 9 ) 这里v ”( z ) 和u “( z ) 一样，都是s u ( n ) 矩阵。另外对格点规范变量，其对应 的作用量是在表2 1 中给出的宇称( p ) ，荷共轭( c ) 和时间翻转( t ) 变换下是不 变的。在进行格点规范场中物理量的定义时，最基本的单位是p l a q u e t t e ( 图 表2 1 在分立的e ，只t 变换下规范自由度的行为 pc t l 巩( x ，7 - ) 巩( 一x ，7 - )u + 4 ( x ，下)u 二4 ( x ，一下) l 以( x ，r )n 。( 一x ，t ) u + ，( x ，7 _ )以( x ，一r ) 2 4 ) ，也就是1 1w i l s o ni o o p ( w i l s o n1 0 0 p 还有其他形式，将在后面讨论) 对应的p l a q u e t t e 作用量 5 = r e t r ( ( z ) 以，( z + 声) u + p ( z + 莎) u + ，( z ) ) ( 2 5 0 ) 图24 格点中的p l a 小i e t t e 变量 这是一个严格规范不变的量。 t r ( u 。( z ) u 。( z + 茸) u 7 + “( 。+ 莎) u + ，( z ) ) 丁r ( v ( z ) ( z ) v + ( z + 声) v 扛+ 声) 巩( z + 互) v + ( z + 声+ 互) y ( z + 芦+ 声) u + p ( z + 伊) v + ( z + 秽) v ( z + 痧) u + v ( z ) ) 1 ，+ ( z ) ) t r ( y ( z ) ( z ) ( z + 芦) u + p ( z + 莎) u + ，扛) y + ) ) t r ( 乩( z ) 【0 ( z + 互) ，+ p ( z + 痧) u + v ( z ) ) ( 2 5 1 ) 格点规范理论中的规范作用量就是以这个量为基础构建起来的。在这里， 先看最简单的情况u ( 1 ) 模型，s u ( n ) 情况是类似的。考虑最简单的w i l s o n l o o p ，对应1 1p i a q u e n e ： 眈参1 = ( z ) 【0 ( 茁+ 互) u + p ( z + 痧) u + v ( z ) = e i 。9 【 p 扛+ g ) + a p ( z + 卢+ ；) 一a p ( z + 筘+ ；) 一a v ( z + ；) 。1 2 ( 2 5 2 ) ( 2 5 3 ) 第2 章格点规范理论 在z + 学展开可以得到 e x p 群粥a 一巩+ 鲁( 巩以，卅以) 川 ( 2 5 4 ) ：1 + i n 2 9 兄。一华一。+ 。( 。6 ) + ( 2 5 5 ) l o o p 的实部和虚部分别是： r e t ，( 1 一影) ：华耳，+ d ( n 6 ) ( 2 5 6 ) ，m ( i ，【o1 ) = 0 2 9 日。 ( 2 5 7 ) 在前面讨论连续规范场理论州，用平行输运算子定义的场强在几何上对应的 是一个平行四边形；而在格点中，当格距a 足够小时， l m ：孑1 1 + i 2 9 。 ( 2 5 8 ) 场强是和w i l s o nl o o p 对应的，也就是说，在理论上格点规范理论在n 一0 的 极限条件下，将恢复为连续规范场理论。到前面的讨论中，肛和还没进行 区分。在每个超立方格点中有6 个正定方向的p l a q u e n e s ，( p ) 。对w i l s o n l o 叩进行求和，并考虑由卢和”引入的重复操作，可以得到 去r e 丁r ( 1 一哪j ：1 ) = 筹目，f 胪 ( 2 5 9 ) o z “ p z p p ；厂d 4 z f _ ，f p ” ( z s o ) 所以，只保留到p l a q u e t t e 展开项实部中a 的最低阶就可以得到连续规范场的 作用量。 对于n o n a b e l i a n 情况，最终的表达式也只是常数因子的差别。例如对 s u ( 3 ) ，最终的w i l s o n 作用量为 s = 劳。岫脚r ；( 一略1 ) ( 2 6 1 ) 一1 3 第2 章格点规范理论 在这里我们引入另一个耦合常数卢；参，这是一个形式更普遍的量，因为在 统计力学和重整化卢一，札c “o n 中都使用。 基于前面构建的格点规范作用量，这里我们有如下四点需要指出 1 ) 作用量的领先阶修正是o ( n 2 ) 。竿( a 3 “屯一a 3 。a “) 项将会出现在所 有平面w i l s o nl o o p 中，通常消除掉它方法是，选择一个由1 1 和1 2 的 w i l s o nl o o d 线性组合的作用量。 2 ) 量子效应也会带来修正，它修正的是与格距误差相关的那些算符对应 的物理量的贡献，这就会引入非平面w i l s o nl o o p 。改进的作用量将相应的要 加入这些l o o p 。 3 ) 之所以选择最小的i o o p 来构建作用量是为了考虑计算速度和减小领先 阶的误差。例如对1 1 f o o p 领先阶误差是与n 2 6 成正比的，而对1x2 2 。0 p 领先阶误差是与5 n 2 1 2 成正比的( 要得到进一步的误差修正，两种1 0 0 p 都是 需要考虑的) ；而且模拟时间也会增大2 3 倍。 4 ) 场强f 。是由p i a q u e t t e 的虚部给出的。 完成格点规范理论的第四步，就是定义出合理的积分方式。与连续理论 不同，在格点理论中s u ( 3 ) 群元被限定在【0 ，1 范围内。w i i s o n 最早提出了 针对这一积分的h a a r 方法。对任意群元v 和w ，它定义为 d u ，( u ) = d u ，( u y ) d u ，( 1 v u ) ( 2 6 2 其中，( 是个任意的平方可积函数。它采用如下的规一化方式 d u = - ( 2 6 3 ) 这样，有了前面的这些理论，格点规范理论就基本建立起来了。 利用格点规范理论，可以对很多规范不变量进行计算。在零温条件下， 最重要的一个就是w i l s o n l 0 0 p 。考虑格点上沿着时间方向和空间方向宽度分 别为t 和r 的一个矩形封闭回路。将这个矩形回路上的规范场依次相乘并取 迹。这是一个规范不变量。它的系综平均称之为w i l s o n1 0 0 p ( 有时我们也把未 1 4 求系综平均以前的量成为w i l s o nl o o p ) ： 1 4 ，( r ，t ) = 去i 。u 丁r ( 明) e s 【巩l ( 2 6 4 ) 其中z 为配分函数，定义为 z = ，。u e s 【乩】( 2 6 5 ) w i l s o nl o o p 之所以重要，是凶为对于足够大的“时间”t ，它与相距为r 的 一对重的正反夸克之间的相互作用势能v ( r ) 是直接相联系的 w ( r ，t ) 亍；8 一y ( r ) t ( 2 6 6 ) 因此，通过计算w ( r ，t ) ，我们可以得到重夸克对的相互作用势能。正是基于 这一点，w i l s o n1 0 0 p 就可以作为一个判断夸克是否禁闭的序参数，当 夸克是禁闭的；而当 = o ( 2 6 7 ) ( 2 6 8 ) 夸克是非禁闭的。格点规范理论正是根据这一点首先得出了n o n a b e l i a n 规范 理论中正反夸克刘势能在大尺度上是线性增加的，也就是夸克是被囚禁的。 当然，也还有其它判断夸克紧闭的序参数，如th o f o f tl o o p 。 1 5 第3 章格点q c d 理论 j 的改进作用量和数值计算方法 第3 章格点q c d 理论中的改进作用量和数值计算方法 在这一章中，将主要讨论本论文的主要理论依据。第一节，介绍改进 的规范作用量，将主要论述规范作用量的改进，以及我们进行格点数值计 算所采取的规范作用量的具体形式。第二节，更新进程，在这里将来介绍 组态更新的基本要求和我们在数值计算时所采用的具体更新的方法。第三 节，p o l y a k o v 线及其z f 3 ) 投影，这一节所讨论的就是我们所要进行计算的量 一一p 0 1 y a k o v 线，及由它得到的z ( 3 ) 投影：这是下一章数据分析的的基础和 依据。第四节，谱密度方法，这里所讨论的是我们进行数据分析时所采用的 具体方法，应用该方法将帮助我们更精确的确定相变点。 3 1改进的格点q c d 作用量 在构建格点0 c d 理论中的作用量时已经指出，所有w i l s o nl o o p 的领先 项都是口( 4 ) = 。，f l 。，p ”，修正项都是0 ( 0 2 ) 。我们用最小w i l s o nl o o p 定义 的作用量也就存在这样领先项为o ( n 2 ) 系统误差。要消除或减小这种误差， 就需要对作用量进行改进。改进的初步思想就是，我们可以选取不止一个 w i l s o nl o o d ，适当的调节他们之间的相对系数，就可能部分的、或者全部的 消除作用量中的这种误差。在这里我们讨论的只是部分的消除0 ( n 2 ) 误差。 3 1 1 s y m a n z i k 改进 对于作用量的改进，我们需要两个方面的信息【2 2 ：第一，要有一个改进 条件，也就是能判断出我们的作用量确实改进了：最为完全的条件就是所谓 的在壳改进条件，这个条件要求理论中所有在壳物理量对于连续极限的偏差 获得改进。第二，当改进条件明确以后，我们必须能够计算与之相应的物理 量。 s v m a l l z i k 最早依据在壳改进条件，提出了利用裸微扰论计算来改进作用 量的方法，因为对于一个n o n a b e l i a n 的格点规范理论，要精确计算任何的 物理量都是复杂的。1 9 8 5 年l 赴s c e r 和e 拈z 利用裸微扰论，计算了准确 到一圈时改进的规范作用量的系数 2 3 】。他们选择了4 1 i n k 和6 1 i 1 1 l ( 的w i l s o n l o o p ，6 1 i n k w i l s o n l o o p 在拓扑一卜有三种独立结构( 看图3 1 ) 。此时改进作 1 6 一 用量的形式为 l ( 6 ) 1l ( 6 ) 2l ( 6 ) 3 图316 链1 0 0 p 的三种结构 岛= 兰c ( 9 2 ) l ( 4 ) + q 6 ( 9 2 ) 厶6 ( 3 1 ) o = 13 经过复杂的计算，他们得到了四个改进系数 c 0 ( 4 ) ( 9 2 ) 三一o 0 2 5 2 1 口2 1 2 。 。2 ( 6 ) ( 9 2 ) = 一o0 0 4 4 1 9 2 ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 这里只是计算到一阶，每个系数都忽略掉了0 ( 9 2 ) 项，这里g 是裸耦合常 数。在9 2 很小时，可以看出前两个是起主导作用的，此时结论是比较理想 的。但是，当o ( 9 2 ) 变大时，用微扰论得到的改进作用量可信度就不确定 了，事实也说明o ( 9 2 ) 变大时，这种改进得到结论是不理想的。于是，需要 更好的改进一一t a d p 0 1 e 改进。 一1 7 第3 章格点q c j ) 理论q 一的改进作川岔和数位计算方法 3 1 2t a d p o l e 改进 格点规范场指数形式的展开为 州垆扩 小棚睥( 圹竿础卅 ( 3 6 ) 由此我们发现，矿项对应出现了定域的a 。自相互作用，从f e y n m a n 图来说 就是同一点的规范场出现了缩并，这就是格点规范微扰论之所以在夕2 增大时 迅速发散的原因，即t a d p o l e 贡献。在格点上，这个t a d p o l e 图虽然不是发散 的( 因为离散网格提供了自然的紫外截断) ，但是它却贡献了一个很大的数 值系数，同时它也导致了格点计算小距离量与微扰论计算的不符f 蚓。 l e p a g e 和m a c k e n z i e 为解决上面这些问题，进行了t a d p o l e 改进【2 4 】。 他们发现将t a d p o l e 图除外的其他图的贡献是很小的，并且它们的微扰展 开具有很好的收敛性。而且，同样的t a d p o l e 图会出现在许多物理量中。因 此，要想某个物理量的微扰展开能够比较好，就必须将其中的t a d p o l e 的贡 献单独处理。具体来说，就是利用平均场的思想，模拟计算出的p l a q u e t t e 平 均值( t a d p o l e 的贡献也是主要部分) ，重新定义l i n k 变量，消除t a d p o l e 贡 献： ( 3 7 ) 这里“o 是一个待定参数。那么，显然相应的p l a q u e t t e 也会相应的除以一个因 子u 8 。u o 我们将从m o n t ec a r l o 数值计算中，而不是从微扰论中确定： ( 3 8 ) 也就是u o 的确定是非微扰的。由于微扰论中p l a q u e t t e 的贡献主要来自于 t a d p o l e ，因此导的展开中t a d p o l e 的贡献应该被基本消除，实际计算也证 实了这一点。 在实际的t a d p o l e 改进的应用中，对o 我们既需要其非微扰值，也需要 其1 一圈表达式。对w i l s o n 作用量 u o ： ：1 1 8 ( 3 9 ) 第3 章格点q c d 理论 j 的改进作j 1 j 握和数值计算方法 对于l 乱s c e r 一1 4 7 e 诂2 作用量为【2 5 旷 = 1 一( 瓣( 罕炉= 1 - 0 0 6 1 0 4 4 夕2 ( 3 1 0 ) 需要指出的一点就是，在t a d p o l e 改进的作用量中起主要作用的还是平面 6 1 i 1 1 l ( 1 0 0 p 也就是在( 3 1 ) 式中c 1 ( 6 ) 对应的项。在我们的工作中将只考虑 4 一l i n k 和平面6 一l i n kl o o p 。 3 1 3 各向异性格点 在我们实际的计算过程中，所用的作用量还有一点改进，就是在各向异 性的格点空间来构建作用量。在前面我们所讨论的理论都是在各向同性的格 点上，0 s = o ，= o ；所谓各向异性格点，就是n ，有时空间各维度也可 以取不同问距，在这里不做讨论。时问方向格点问距比空间方向小意味着， 我们将时间方向的分度提高，从而能提取出更加丰富的与时间相关参数的信 息。为了描述各向异性的程度，引入了各向异性参数 f = 尝 ( 3 1 1 ) s 为欧氏空间标度s = 1 ，2 ，3 。在裸的情况下，规范作用量就可以直接表述为 n 对应s u ( n ) 规范场，其中 岛= 器抄筹池 b 均 l 。= 只【1 一专r 册( ) 厶= r 【1 一嘉r e t r ( u 一) 】 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 这里和是空间和时间方向的p l a q u e t t e 变量。而在一般情况下，我们 知道，重整化的截断取得不同则对应的裸耦合常数9 0 是不同的。而在各向异 性格点中，由于我们的o 。n ，也就是说，在时间和空间方向上我们引入了 不同的截断。因此更一般的作用量形式为【2 6 】 s 9 = 8 s l s + 8 t l t 一1 9 ( 3 1 5 ) 其中 风：毒妥； ( 3 1 6 ) 52 丽享 u 1 0 厨：三妥； ( 3 1 7 ) 72 而i p 。“ 在这里，9 。2 ( 9 0 ，) 和g ，2 ( g o ，) 满足如下条件 因此 9 。2 ( 夕o ，1 ) = 9 ，2 ( 9 0 ，1 ) = 9 0 ( 3 1 8 ) 日二 2 | 阢商p2 ( 3 1 9 ) 之所以引入各向异性的格点，是因为在需要更多数据点时，我们不必把整个 时空格点的体积都增大，而只需要改变时间维度的o ，的大小来增加格点数 目，这样不仅可以得到更多数据点，而且要比直接增大格点体积节省大量的 计算时间。 3 1 4 改进的、各向异性的作用量 在具体的模拟中，我们采用的是一种t a d p o l e 改进的、各向异性的格点规 范作用量f 2 7 1 。其具体形式为 s 一卢器+ ；爨一壶器一丧器， z 。， 其中，卢= 6 9 2 ，= 鲁为各向异性参数，札s 和u 对应t a d p o l e 改进中的平 均链变量重整化参数，q 为格点上不同内容的w i l s o n 圈的作用量：q 表示 的是格点中所有空间p l a q u e t t e 的作用量，q 扣是包含有时间链变量的p 1 a q u e t t e 的作用量，q 。，是空间中平面内2 1 圈的作用量，q m 是含有时间链变量的 平面2 1 圈的作用量( 需要指出的是这里只考虑时问方向为l 的情况) 。具 一2 0 筇3 章格点q c d 理论q ，的改进作用盘和数值计算方法 体的形式是 n s 一2 。，兄e n 1 一巩 ) 扛+ i ) 以+ ( z + j ) o ) 】 ( 3 2 1 ) n 印= 。i r e n ( 1 一阢 ) 以( z + 句阢扛+ i ) 阢扛) 】 n s r _ 。喇r e 丁r 1 一巩( 嘏( z + i ) ( z + 2 i ) 巩+ ( z + i + j ) 巩( z + ；) 屿( z ) 】 吼”= 。i r e t r 【1 一以( z ) 以( 。+ i ) 阢扛+ 2 i ) 阢( z + i + f ) 阢( z + j ) 队+ ( z ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 其中x 表示格点位置，i 、j 表示空间指标。需要指出的是这里取值要远远大 于1 ，它的作用是部分消除0 ( n 2 ) 误差。 3 2 p o j y a k o v 线及其z ( 3 ) 投影 3 _ 2 1 p o l y a k o v 线 在零温时，重正反夸克对的势能可以由t 一时的w i l s o n l o o p 的真空 期待值来确定。而在有限温度格点规范场理论中，格点在时间方向的尺度要 求是有限的，并要远远小于空间尺度。此时w i l s o n1 0 0 p 将不再有原来的物理 意义，而由p o l y a k o v 线来描述正反夸克对之间的相互作用。p o i y a k o v 线的定 义是根据有限温度格点在时间方向上具有周期性边界条件引入的。在s u ( 3 ) 格点规范理论中，它定义为 p = 击莓新鱼吣，r ， z s ， 其中，乩表示欧氏时空中，时间方向的链变量。它在周期性规范变换下不 变，即 乩( x ，丁) + y ( x ，丁) 氓( x ，丁) y + ( x ，丁) y ( x ，1 ) = 1 ，( x ，f + 1 ) 一2 1 一 ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) 对于重夸克模型，考虑它的配分函数 并结合其运动方程 可以