（理论物理专业论文）伸缩子时空中粒子运动方程的牛顿形式.pdf

摘要 广义相对论作为现代物理学的两大支柱之一，能很好地描述时空大尺度 物理现象，并经受了众多实验观测的验证但随着物理学的不断发展，人们认 识的不断深入，广义相对论也面临着诸如引力场量子化等一些问题。近二十 年来兴起的超弦理论或许能给这些问题提供某些启示， 然而，超弦理论的实验检验需要很高的能量才能实现，这对人们目前的实 验设备和技术来说，也许是遥不可及的梦想尽管如此，人们可以借助对宇宙 的观测，找到一些检验弦理论的线索。比如就弦理论中的伸缩子时空来说，有 着和广义相对论很不一样的性质，对每一个电磁场强不为零的解必定含有一 个非常数的伸缩子，而伸缩子的出现可能会引起某些可观测的引力效应。 如果把引力场当作一种光学媒介，得到的弓l 力场中粒子运动方程的牛顿 形式便把光学和力学联系起来，使人们可以借助比较熟悉的牛顿力学方法来 处理引力场中某些比较复杂的问题，使计算显得特有的简捷。 本文把这一粒子运动的描述方式推广到弦理论中的g i b b o n s m e a d a 和 g 眦f i n k l e h o r n e 伸缩子时空通过引入坐标变换，把这些伸缩子时空度规表 述为各向同性度规，求得这些伸缩子时空的有效折射率，以及相对论粒子运动 的微分方程利用这些运动方程，具体考察伸缩子时空的一些经典引力效应一 一比如光线弯曲。行星进动，雷达波的延迟，以及红移 我们的结果表明，如果伸缩子时空的伸缩子场足够强，可以观测伸缩子带 来的这些经典引力效应的修正。因此，利用天文观测，可在某种程度上实现对 弦理论的检验 关键词：牛顿形式，有效折射率，伸缩子时空 p a c s ：0 4 7 0 d y 1 0 4 2 0 一q ，9 7 6 0 l f i i abstract a 8o n eo ft h e f o u n d a t i o n8 t o n e s o fm o d e r n p h y s i c b ，g e n e r a lr d a t i v i t y ca血d e s c r i b l e w e l lt h e p h y s i c a lp h e n o m e n ao f t h e 1 a 。g es c a l e structure o fs p c e t i m e ，a n dh a s b e e nt e s t i e db yl o t s o fe ) ( p e r i i n e n t 8 b u t with t h e 耵a d u a ld e v e l o p m e n to f m o d e m p h y s i c s a n dt w a n tt of i n da t h e o r yt oo v e r c o m et h e 8 et r o u b l e 8 ，o re v e n u n i f yt h ef o u ri n t e r 8 c t i o n si n a t u r e 。s u p e r s t r i n gt h e x 第一章绪论 1 1引言 爱因斯坦广义相对论的提出，使得人们对引力场有了一个全新的认识， 引力场的研究得到前所未有的发展，各种新的观念也不断的出现1 9 2 0 年， 爱丁顿在其著作空间，时间，和引力中尝试着把引力场视为一种光学媒 介，并加以讨论 1 】这一思想得到p 1 e b a 五s l 【i1 2 】和d ef e u c e 【3 的进一步发 展然而，研究的进展却是相当缓慢的，在当时也没有得到实验上的支持，这 一思想自然没有引起入们的注意直到1 9 7 1 5 年，c b v e l i a ，o v e r h a u s e r 和 w 打n e r 利用中子干涉仪测出引力场引起的中子波函数的干涉效应，第一次在 实验上表明把引力场视为一种光学媒介具有现实可操作性 4 7 】，为该研究注 入了新的动力。 然而，由于引力场随时空点而变化，也就是说不同的时空点有不同的折射 率，这无疑使得对引力场中粒子运动的描述变得复杂，从而使得引力场作为 光学媒介这一观念难以得到更广泛更具体的应用。相关进展是在普通光学领 域取得的，j e 珊s 首先得翌l 光的运动方程的牛顿形式经过许多人一一比 如j e v a 潞，m a l s i n g ，k n a n d i 等的努力，这一方案被推广到广义相对论 中的情形，并且能够用来描述引力场中光和质量粒子的运动。物理学的情形 有时就是这样，看来彼此不怎么相关的研究领域，往往可以导致某一问题的 重大突破 在本章的第一节，简单介绍j e v a n 8 等人的“f = m n ”光学，以及光学 和力学的相似性第二节简述广义相对论静态和稳态时空中粒子运动方程以 及静态时空中粒子波动方程的牛顿形式。最后对本文作一个总的概述。 1 1 1 光学和力学的相似性 1 9 8 5 年，j e v a n s 和mr d s e n q u i s t ( 8 】利用几何光学中的f e r m a t 原理： 6 ，凡d f - o ， ( 1 1 ) 6 止，州k o ， ( 1 _ ” 2 量力学光学 位置 r ( t )r ( a ) 时间 ta 速度 塞i 塞三r ， 势能u ( r )一佗2 ( r ) 2 质量 m1 动能 ，= 等阡；i r | 2 总能量 警l 童1 2 + u护1 2 一礼2 2 运动方程倪 = 一g d ur ，= 扩口d ( 舻2 ) 得到光线在变折射率媒介中的运动方程，并且把它表示为牛顿力学的形式： 2 。1 赫 其中n 为光学媒介的折射率这样，方程( 1 2 ) 就把光学和经典力学联系起来 了在此基础上，j e v a n s 等进一步指出光学和力学的相似性，并对它们进行 了类比( 见表一) 【8 借助牛顿力学中的方法，j e v a n s 等人还讨论了具有 梯度折射率的媒介中的一些光学问题【9 】 如果把引力场视为一种光学媒介，那么这种相似性能否推广到广义相对 论中的情形? k n a n d i 和a i s l a m 分析了这种相似性，得出史瓦西引力场的 有效折射率： n = ( + ) 3 ( ，一) ， ( 1 。) 其中m = g 驯饼，借助经典力学方法，k n 8 n d i 等人考察了史瓦西时空的 一些经典引力效应【1 0 】。 1 1 2弓l 力场中粒子的运动 真正进展是在1 9 9 5 年取得的。 作用量原理： a 舢姐 j e v a n s ，k n a n d i 和a 1 8 l a m 利用最小 ( 1 4 ) 3 得出可用各向同性度规描述的时空中的光和质量粒子的运动方程，并也把它 们表示为一种简洁的与力学中牛顿第二定律相似的形式【1 l ，1 2 ： 篆= v ( ；一 2 ) ， ( 1 5 ) 与方程( 1 ，2 ) 相比，方程( 1 5 ) 中出现了质量粒子的速度：u ，也就说它可用 来描述了各向同性度规中光与质量粒子的运动，而且可用来解决一些实际物 理问题。比如对一些经典引力效应的考察。 两年后， p a u im ，a l s i n g 在广义相对论稳态时空的情形下，考察了这一 方案，同样利用变分原理，得到稳态时空的最小作用量，并求得稳态时空中的 粒子运动方程的牛顿形式f 1 3 1 ： 筹= v ( 扣2 ) + 砉可g f ( 1 6 ) 与方程( 1 5 ) 相比，方程( 1 6 ) 第二项出现了科里奥力； 鲁v g ， ( 17 ) 这正是量度系统旋转的物理量，从而可以用方程( 1 6 ) 来处理一些旋转天体附 近的光和粒子的运动 如果考虑到量子力学中的粒子的波粒二象性，那么上面这些粒子运动方 程的牛顿形式可否也能用来描述引力场中的物质波的运动呢? j ，e v a n s 等人 分析了这一情形，得到静态时空中引力场作为种光学媒介时粒子波动方程 的牛顿形式【1 4 】： 纂：v ( ；线) ( 1 8 ) 其中= n 2 w c 0 。与方程( 1 5 ) 相比，方程( 1 8 ) 只是折射率不同而已。利用 量子力学中的的w k b 近似方法展开，j e 、，a n s 等人讨论了史瓦西引力场中 的物质波运动，并得到引力场引起的物质波的运动效应的修正， 受此启发，k n a n d i 和张元仲利用方程( 1 6 ) 和方程( 1 8 ) 讨论了广义相 对论中的k e r r 时空和弦理论k e r 卜s e n 时空中的中子波干涉效应，以期在量子 水平上检验广义相对论中的等效原理1 1 5 】。 这一方法使人们可以采用比较熟悉的牛顿力学方法来处理引力场中的问 题，使计算显得特有的简捷，而且也可以使人们从一种新的角度来考察引力 场，并得到和广义相对论完全相符的结果 第二章相对论粒子力学的牛顿形式 7 如果把引力场视为一种光学媒分，那么如何表示出辱f 力场的折射率，以及 与之相关的粒子运动方程? 如果一个度规能用各向同性坐标表示，那么比较 容易得到相应的引力场折射率，这是第一节耍解决的问题。而引力场中粒子 的运动方程，则需要通过几何条件的变换，找出引力场中与折射率相关的作用 量，利用最小作用量原理求得粒子的运动方程这在第二节给出详细论述 2 1 引力场的折射率 许多有重要物理意义的度规，如果不显含时间，经过坐标变换，其空间线 元可用各向同性坐标写为如下形式； d s 2= n 2 ；鑫) 奄d t 2 一圣一2 ( r ) ! c 加2 + r 2 d 目2 + r 2i ：n 2 日d 西2 = q 2 ( r ) 爵舻一圣i ( r ) 陋1 2 ，( 2 1 ) 这里r = ( 1 i 目，) 为各向同性坐标，q 和西是r ，口，的函数，i i 为真空光 速。如果令d s 2 = o ，便可获得任意点上光的各向同性坐标速度； i i ) = i 警；i i 卟刚 ；2 ) 因此，引力场场的有效折射率为： n ( r ) = 圣j ：( r ) q 。j ；) ， ( 2 ，3 ) 利用几何光学中含折射率的相关公式，便可得出光线在引力场中的轨迹 方程然而，对引力场中质量粒子运动来说，问题就变得复杂起来 2 2 相对论粒子力学的牛顿形式 作用量是物理学中一个非常重要的概念如果知道了某一俸系的作用量， 利用最小作用量原理，便可得出该体系的运动方程这最小作用量原理在牛顿 力学中表现为m a u p t l t u i s 原理，在经典光学中表现为蠢 r m i i 原理。如果把 引力场场视为一种光学媒介，那么问题的关键在于找到与引力场有效折射率 8 相关的作用量，然后利用最小作用量原理求得引力场中粒子的运动方程 2 2 1 几何条件的变换 根据变分原理，粒子运动轨迹的几何条件为： ，o j 6 d s = o ( 2 4 ) j 0 1 这里z = ( x ，t ) ，9 1 和z 2 为粒子轨迹的起止点如果d s 2 可以用各向同性 坐标写为度规( 2 ，1 ) 的形式，贝4 条件( 2 4 ) 可表示为： 6 q c d 【1 一口2 n 2 鼋】1 2 = o ( 2 5 ) j 0 1 这和哈密顿原理相似，有效拉格郎日函数为； l ( 霸，疵) = 罐n 【1 一”2 礼2 磕】1 2 ， ( 2 6 ) 这里q 和n 只是坐标的函数，并且； 或。孥， ( 2 7 ) 翰2 面， t 。“j 以及在笛卡儿坐标系中： 拈妻( 射 为了便于后面一些具体问题的讨论，这里乘了个因子一c o 相应的正则动量定义为t 0 l p l 2 瓦 = n 礼2 【1 一 2 n 2 蘸】1 2 血 哈密顿量按通常那样定义： 3 日= a 疵一l t = 1 = 四q 【1 一口2 n 2 c 韵1 2 因为a 三巩= o ，日便是一个运动常量，用仇表示 日= 鼋【! i l ? ! ? 妻； ；暮? 耄! l 誓j i 霎i ；j ? 丢i 的牛顿形式 这里p = 叫，从哈密顿原理； 6 昏妊o ， 利用几何光学中的m a u p e r t u i s 原理j a e o b i 的形式，可得： a ( 2 ( 磐) ， 9 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 积分路径在两个固定点x 1 和。b 之间变动，这些路径的能量日必须保持不 变把正则动量代入： r x 2 6 上，瓶2 q 【1 u 2 礼2 肛出= o 令出= 硪 。其中； d f = i d r ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 由于日为常量，式( 2 1 4 ) 可写为。 ，凰 d 凡2 u d f - o ( 2 1 6 ) j x l 这样，从变分原理( 2 4 ) 出发，借助几何条件的变换，使得到了把引力场视为 一种光学媒介的最小作用量原理 对光而言，u = c o 加，式( 2 1 6 ) 便化为几何光学中的f e r m a t 原理： 6 厂删：o ( 2 1 7 ) 而在牛顿力学中，通常令礼2 生1 ，式( 2 1 6 ) 化为牛顿力学中的m a u p e r t u i s 原 理： s 删= o ( 2 1 8 ) 可见最小作用量原理( 2 1 6 ) 是几何光学中的f e r m a t 原理和牛顿力学中 的m a u p e r t u i 8 原理的推广，从它导出的粒子运动方程应该能把光学和力学联 系起来 2 2 2 粒子运动方程的牛顿形式 引进步长参数以，使得每一点的时空坐标都是参数4 的函数，( 2 1 6 ) 式 胆 醒 。： 可写为： a r 2 成阱a o ， 这样使粒子孰道单参数化，是为了便于变分计算。其孛： i 鼾静删卵r f 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 令r ( a ) 秫识粒子盼买际轨道，对此轨道作微小的变动；r ( a ) + w ( 固，这 里w ( a ) 为任意无限小矢量函数当r = x 。或恐，满足束缚条件w = o ， 也就是说端点处粒子轨道的变分为零现在： 6 凡2 钌 袅 烈= z 如m 叫砉 以+ 舻 ，i 嘉 ) 烈 + 舻叫嘉陋 ( 2 2 1 ) ( 2 z 1 ) 式右边的第一项的变分为t d ( n 2 u ) = v ( n 2 u ) w ( 2 2 2 ) 因为轨道的改变会引起参数a 的变化，所以( 2 2 1 ) 式第二项的变分为； a 蚓= f 熹罨h 嘉 = 袅碧l 嘉r l 嘉i 等 c z ， a ad al d a ll d a id a r 7 把( 2 ，2 2 ) 和( 2 2 3 ) 代入( 2 2 1 ) 式，因为( 2 2 1 ) 式的积分不依赖于a 的范围， 所以j d a 项的积分为零，精确到一阶变分。得： a i 击l d a = l i 砉l v c 南，w + 瓶1 嘉l 。砉箬i d a c z 倒， 对含d w d a 的蕊分部积分，并和用端点处的束缚条件：w = o ，得到粒子 轨道满足的微分方程t l 嘉i v c n 2 ，一击( 礼2 u l 砉r 嘉) = 。 c 。， 这就是引力场中粒子的运动方程为了简化这一方程，定义参量a 为； 吲崭” ( 2 2 6 ) 1 5 其中质量m 为： m = m g c 3 ，( 3 1 2 ) 伸缩子场西： e 删：e 刮。一堡，( 3 1 3 ) 麦克斯韦场f 分别为： f = q s i n 目d p d 妒( 3 1 4 ) 如果引入变换： r 7 = r + a + ( a 2 一卢) 4 r ( 3 1 5 ) 其中： 入= ( + r 一) 2 ，( 3 1 6 ) 卢= r + r 一，( 3 1 7 ) 可以发现g m 度规( 3 1 ) 和g h 度规( 3 5 ) 都可以表示为如下形式： d s 2 = q 2 ( r ) 磕d t 2 一圣一2 ( r ) l d r l 2 ， ( 3 1 8 ) 显然，这便是用各向同性坐标r = ( r ，口，) 表示的度规形式其中： n 2 ( r ) = 1 一( a 2 一卢) 4 r 2 】2 【1 + a r + ( a 2 一p ) 4 r 2 】一2 ， ( 3 1 9 ) 圣一2 ( r ) = 1 + a r + ( a 2 一p ) 4 r 2 】2 ( 3 2 0 ) 这时，时空视界在n = ( a 2 ) ( 1 一卢a 2 ) 1 2 处令d s 2 一o ，我们便得到引力 场中光的坐标速度： c ( r ) = i 警| = 州咖( r ) ( 3 。) 而引力场的有效折射率为： 礼( r ) = 西。( r ) n - 1 ( r ) = 1 + a r + ( a 2 一p ) 4 r 2 】2 【1 一( a 2 一p ) 2 4 r 2 】一1 ( 3 2 2 ) 在具体计算中，有时利用标准坐标比较方便令u = ；，u 兰专，容易得到： d 札= 礼d u o rd r = 中q 一1 d r 7 ，( 3 2 3 ) - 1 6 以及： 让=垂一1 d rr = 壬r 当然，类似地有： 垂2 ( ) = j 【1 一a u 7 + ( 1 2 a u 7 + p t 嵋) 1 2 】2 n 2 ( t 正) = 1 2 a t 正+ 卢t 正7 2 n ( u 7 ) = 垂_ 1 ( 钍) n - 1 ( t ，) ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) n ( r ) 的奇点，也就是说时空的视界，在n = ( a 2 ) ( 1 一p 2 ) 1 2 处如果 芹 卢，礼( r ) 在r n 的区域成立；如果a 2 = 卢，即n = o ，时空视界退化 为零，这时n ( r ) = ( 1 + a r ) 2 ，并在r o 的任意区域成立；如果舻 卢， 因为是n 虚数，n ( r ) 没有奇点 这样，我们引入坐标变换( 3 1 5 ) ，用各向同性坐标表示出了g h 度规和 g m 度规，求得它们的有效折射率，并统在表达式( 3 2 2 ) 中 3 2 伸缩子时空中粒子的运动方程 如果我们所考虑的时空是球对称的，那么 ，n 和圣都只是径向坐标 r 的函数，粒子轨道处于一个包含引力源的平面内，并且存在一个类似于轨道 角动量的守恒量如果令庐作为描述这种平面运动的参数，从( 2 2 8 ) 可得： 兰r 2 等：c 帆s t ， ( 3 | 2 8 ) 这里h 和经典力学中的单位质量角动量凫o ( = r 2 警) 的关系为。 = = 佗2 o 。( 3 2 9 ) 用极坐标写出能量守恒条件( 2 2 8 ) 式，并假设粒子运动限制在p = 丌2 的平面内： ( 嘉) 2 ( 裳) 2 硝2 ， 令u = 1 r ，把( 3 2 8 ) 代入( 3 3 0 ) 式消去a ，容易得： 2 ( d u d ) 2 + “2 卜n 4 u 2 = o ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 ) 1 7 或者利用( 3 2 8 ) 式，方程( 3 3 0 ) 司以表示为积分形式： ，r = r 一2 h 4 2 一 2 r 2 】一1 2 d r ( 3 3 2 ) 如果令 ，u _ + 一。2 2 ，可以得到经典力学中有此相似的方程： ，r 毋= 7 玷r 一2 【2 ( e u ) 一瑶r 2 一1 7 2 咖( 3 3 3 ) 对( 3 3 1 ) 式中的u 微分，得到t 翥+ u = 俨盖”以2 ) - ( 3 3 4 ) 把( 2 3 1 ) 式代入( 3 3 2 ) 的右边，容易得； ( 寒) 2 柑吨脚2 嘏l 一罐- o ( 3 - 3 5 ) 如果把( 3 2 3 ) 和( 3 2 4 ) 式代入( 3 3 5 ) 的前两项，那么t ( 答) 2 “2 n 2 一( 枷) 2 _ c 4 胪卿一o ( 。e ) 用( 3 2 6 ) 消去q 2 ( ) ，在对妒微分，方程( 3 3 6 ) 化为； 象“一骈：一篇；( 2 m 刊札m 一4 喝( 3 3 7 ) d 击2 。” 2 2 日2 2 日2 。2 、。4 7 一 一 、7 这样我们便得到了伸缩子时空中粒子的运动方程。乖j 用此方程，我们可以讨论 伸缩子时空一些实际的物理问题，这正是下一章的要做的 第四章伸缩子时空一些具体问题的讨论 1 9 广义相对沦的成功之处，在于它能够预言一系列的引力效应，并和实验观 测结果高度一致弦理论若要获得人们的认可，必须给出广义相对论所能给出 的一切预言，以及给出某些广义相对论不能给出的预测在这一章节，我们利 用方程( 3 2 8 ) 和( 3 3 7 ) 分析伸缩子时空中的一些经典引力效应，例如光线弯 曲，行星进动，雷达波的延迟，以及红移，并给出伸缩予所弓陡l 的这些效应的 修正，从而在某种程度提供对弦理论的检验 4 1 光线弯曲 在( 3 ，3 7 ) 中，如果日o o ，便得到伸缩子时空中光线的运动方程，可 精确的表示如下： 岩“= ；( 2 m 刊u “一4 “ ( 4 1 ) 显然。如果( 4 1 ) 式的右边为零，我们便可得到光线的直线解t js z n 妒 u 2 百， 这里r 为距引力源最近的路径把零阶解s 协r 代入( 4 1 ) 的右边，得到关 于札( 西) 的微分方程，其一阶近似解为： “，= 警+ 鼍 + 扣z 卅筹细s 一嚣s 嘶( 4 z ) 当r _ 。o ，“一o ，以及+ 。，实际上。o 很小，( 4 2 ) 式简化 为t 鲁十警+ 警一o ( 4 。) 总的弯曲效应为咖。= 2 l 咖。l ，也即。 哦z 雩( - 一筹) 4 ， 其中g m 时空，伸缩子引起的光线弯曲效应为 2 3 1 ： 庐d = 一9 ( p 2 + q 2 一d 2 ) 4 r 3 ， ( 4 ，5 ) 而g h 时空，伸缩于弓i 起的光线弯曲效应为【2 3 】t 毋d = 等 1 6 扩r 2 1 8 m 。( 1 + 。2 ) 一9 n 。( 1 + 。2 ) q 。e 一她如】，( 4 6 ) 当o = o ，由( 4 6 ) 式可得到广义相对论r n 时空相应的弯曲效应 1 1 】： 钆一筹， ( 4 7 ) 若口= 1 ，( 4 6 ) 式便退化为g h s 时空光线的弯曲效应【2 4 1 ： 蛳= 等陋。_ 1 8 m 2 _ 9 q 2 e 埘味 ( 4 8 ) 没有伸缩子时，( 4 6 ) 式便为史瓦西时空光线的弯曲效应【2 1 ，2 5 】： 西。：4 m r ( 4 9 ) 4 2 行星进动 如果把方程( 3 3 7 ) 右边作为微扰，在距离较远的地方 限代替日和 ：日2 = 四， = o ，这样便得到。 券“一静一静棚u “铆钍“ 用相应的经典极 ( 4 1 0 ) 如果让钍鹰和u ，3 项为零，我们可以得到一个可精确求解的微分方程t g 榭“，= 壶， ( 4 1 1 ) 这里； 七2 = l + p 酲磕 ( 4 1 2 ) n o = 瑶a 罐 ( 4 ，1 3 ) 方程( 4 1 1 ) 的解为一个椭圆： “= a 一1 ( 1 + e c o s ( 七) ) ， ( 4 1 4 ) 其中e 为离心率，n 为半正焦弦： 口( 1 + 争 ( 4 1 5 ) 2 1 精确到札7 阶的情况下，行星轨道的每周期进动为一 泸一等一筹 峋 现在把钍曙项看作微扰，把( 4 1 4 ) 式代入( 4 1 0 ) 式中，解所得到的方程，项 u 心引起的行星轨道周期进动为： 泸学：娑 ( 4 1 7 ) q o 由于项引起的修正很小，可以忽略不计在精确到u 心阶的情况下，把结 果( 4 1 6 ) 和( 4 1 7 ) 合并，得到总的行星轨道周期进动效应为； + 如= 等 一斜 其中g m 时空中，伸缩子引起的行星周期进动效应为【2 3 】t 如= 一7 r ( p 2 + q 2 一d 2 ) m n o ， ( 4 1 9 ) 而g h 时空中，伸缩子引起的行星周期进动效应为【2 3 卜 矗= 瓮竽 警一嘉牿 z 。， 蚀2 i l i 一赢耳蕊殍 h 。u j 当口= o ，由( 4 2 0 ) 可得广义相对论r n 时空的行星轨道周期进动效应【1 1 】： 如：一丝，( 4 2 1 ) 若o = 1 ，( 4 2 0 ) 式退化为g h s 时空的相应效应 2 4 ： 以一竿 丽 n ol m z m 十q e 。一”j 如果没有伸缩子，( 4 2 0 ) 式便是史瓦西时空的行星周期进动效应 ，6 7 r q 2 o d2 。_ 0 0 4 3 雷达波的延迟 ( 4 2 2 ) 【2 1 ，2 5 ： ( 4 2 3 ) 我们现在考虑伸缩子时空中雷达波的传播不失一般性，假设雷达波的传 播在口= 丌2 的平面内，用极坐标表示出能量守恒条件( 2 2 8 ) 式，利用( 2 3 2 ) 晰咿卜罴pc 争a 池s ， 若8 = l ，( 4 3 0 ) 式便转化为g h s 时空的相应效应f 2 4 ： 撕，= 竿 去h 隆譬竽 十熹 糍 1 2 + 扣_ 1 ( 争孙 。z ， 如果没有伸缩子，( 4 3 0 ) 式便是史瓦西时空的雷达波延迟效应 2 l ，2 5 ： t = 荆2 w ) 1 2 + 等k 隆生产 + 篡f 糍r 。s ， 4 4 红移 引力红移和宇宙学红移不是动力学效应，计算它们时不必解相关的运动 方程然而，如果把引力场视为一种光学媒介，可以自然地引出红移的概念， 并且可以把引力红移和宇宙学红移都统一到一个表达式中去 在普通光学中，如果光波从一个高折射率的区域进入到一个低折射率的 区域，波长a 和坐标光速c 都会发生改变，而频率保持不变，并且一般有 关系式； a ( r 1 ) n ( r 1 ) = a ( n ) n ( r 1 ) ， ( 4 3 4 ) 现在考虑这样的一种情况，如果n 不随空间位量变化，但随时间丽改变可 以想象这样一种情形：让空气缓慢进入一个给定的空间，只要光波不离开这一 空间，每一处的n 都是一样的，但却是时间的减函数因为光波不会遇到新 的媒介，因而波长a 不会改变，但是频率p 和坐标光速c 会变： ( 4 3 5 ) 假设折射率可以写为：他( r ) = 仉( r ) m ( t ) ，其中( r ) 只是空间坐标的 函数，m ( t ) 只是时闻的函数正如上面所讨论的，魂( t ) 不会影响光波的波 2 4 长，因此有 ( r 1 ) n 。( r 1 ) = a ( r 叠) 扎。( r 2 )( 4 3 6 ) 我们希望这一关系式能运用到伸缩子时空光线的传播中去因为引力场 的有效折射率与光的各向同性坐标速度相关，因此广义相对论中与经典光学 波长相对应的概念是两相邻波峰间的坐标距离虽然坐标长度在广义相对论 中是不能直接溅量的量，但利用度规( 2 1 ) 可获得物理意义上的可测量度规长 度。 4 4 1引力红移 令i r i 为r 处的光波两相邻波峰的坐标长度，与( 4 3 6 ) 式相似有关系 式： 1 r 1 i n ( n ) = l r 2 | 礼( r 2 ) ，( 4 3 7 ) 这样，由度规( 4 3 6 ) 可得r 处光波的度规长度t a ( r ) = 垂- 1 ( r ) i r | ( 4 3 8 ) 因此我们有： 币( r 1 ) a ( n ) 几( r 1 ) = 西( r 2 ) a ( r 2 ) 礼( r 2 ) ( 4 3 9 ) 或者利用( 2 3 ) 式，我们可得到一般的引力红移关系式： a ( r 1 ) q _ 1 ( r 1 ) = a ( r 2 ) q _ 1 ( r 2 ) ( 4 4 0 ) 现在，我们利用这一关系式考察伸缩子时空中引力红移效应假设光源在 r l 处。而观察者在r 2 处，并且距引力源足够远，因此可以令n ( r 2 ) 竺1 。利 用( 3 2 6 ) 和( 4 4 0 ) 式，可得t 名三 ( a ( r 2 ) 一a ( r 1 ) ) a ( r 1 ) = 【l 一2 a r + p r 嵋l 一1 2 1 。害一尝 ( 4 4 1 ) 一r 72 r ，2 、一7 与史瓦西时空比较，g m 时空伸缩子引起的引力红穆为【2 3 】t 魂：一些笔型 ( 4 - 4 2 ) 魂2 一_ i 万一 1 4 4 z j 而g h 时空的伸缩子引起的引力红移为 2 3 1 = 竽 孚 )。秀一l 丽一丁i ， 当8 = o ，由( 4 4 3 ) 式可得到广义相对论r n 时空的引力红移效应 q 2 施2 丽 若8 = 1 ，( 4 4 3 ) 式便退化为g 珏s 时空的引力红移效应【2 4 】： q 2 e - 2 12 稚2 可l 示一引 4 4 2 宇宙学红移 ( 4 ：4 5 ) 对于膨胀宇宙模型，可以用r o b e r t 8 0 n w n l 【e r ( 础旷) 度规描述： d s 2 ：彬_ r 2 品硼2 “2 咖2 唧2 l ( 4 4 6 ) 引入坐标变换： r = r ( 1 + r 2 4 ) ，( 4 ，7 ) r w 度规( 4 4 6 ) 可用各向同性坐标( t ，r ，日，咖) 表示为； d s 2 = c ：d 2 一只2 ( ) ( 1 + 后r 2 4 ) 一2 l d r l 2 ( 4 4 8 ) 类似可得有效折射率， n ：黑 ( 4 4 9 ) n 2 订_ 石刃i 卜1 叫 显然我们可以假设； n = ( r ) m ( t ) ， ( 4 5 0 ) 其中n 。( r ) 只是空间坐标的函数，而啦( t ) 只是时间的函数，那么： n 。( r ) _ ( 1 + 舻4 ) ， ( 4 - 5 1 ) m ( t ) = 兄( ) ( 4 5 2 ) 正如在引力红移中的讨论那样。m ( ) 对波长不产生影响，与( 4 3 6 ) 类似，一 般有， i n l n 。( r 1 ) = j r 2 l 仉( r 2 ) ( 4 - 5 3 ) 勰 姐 h ； h l 而g h 时空的伸缩子引起的引力红移为 2 3 1 = 竽 孚 )。秀一l 丽一丁i ， 当8 一蠢，哺i ? ! i ；拼浮滔诵例窃| 硖海荔冀蕈淅辩豁蘸鲋桥群瓢崮 霉i 靠“囊 一；? l 媳鬻醐羯删妻薹雾溃掣晦演锄竦湾嚆闻! l i ； 霾j = 誊善i |! 蛐鬻；晦一囊。 i 妄? 量，囊因譬岩蛭 i i 雏寸 娥r 赶# 卜蛰烈削i 倒睛埔萋毫t i ! ；i 自c 埋一斗i l 麓差i 顿形式， 并运用到一些具体问题中去，这一思想才基本成熟。 借助这一引力场中粒子运动的描述方式，人们可以利用力学和光学中比 较熟悉的公式和技巧来处理引力场中的粒子运动，使得计算大为简捷方便， 得到的结果也与广义相对论完全相符 签于弦理论中的四维伸缩子时空与爱因斯坦的广义相对论有着很不一样 的性质，我们尝试把j e v a n s 等人的方法推广到这一类时空中去，借以考察这 一粒子运动方程的牛顿方式可否用来描述伸缩子时空中的粒子运动，进而分 析伸缩子会给粒子运动带来什么样的影响一一比如具体讨论伸缩子时空的一 些经典引力效应。 我们的工作表明，通过适当的坐标变换，一些伸缩子时空解可以用各向同 性坐标表示出来，从而求得这些伸缩子时空的有效折射率，然后利用引力场中 粒子运动方程的牛顿形式以及粒子能量守恒方程，推导出这些伸缩子时空粒 子运动的微分方程运用这一些微分方程，我们具体考察了伸缩子时空的一些 经典引力效应，比如光线弯曲，行星进动，雷达波的延迟，红移等，并得出伸 缩子对这些效应带来的修正特别有意义的是，如果把引力场视为一种光学媒 介，引力红移和宇宙学红移可以统一到一个表达式中 我认为，这一方案最重要的方面也许是在推导引力场中粒子运动方程过 程中所得到的最小作用量，引力场作为一种光学媒介的折射率出现在其中， 并且它包含了光学中的f e r m a t 原理和力学中的m a u p e r t u i 8 原理，而通过它 其中l r f 为光波的坐标长度，利用r w 度规( 4 4 8 ) 的形式，可求得光波的度 规长度t _ ! _ ：；! i ；学a ( t ，r ) n 。( r ，) = = ( ! ： ；i 铲a ( t 。，r 。) 礼。( r 。) ， ( 4 s 4 ) 或者利用( 4 5 1 ) 式，可得， h沁 而五2 瓦葡 ( 4 - 5 5 ) 显然，这便是一般的宇宙学红移关系式 关于引力红移和宇宙学红移，不同的人有着不同的看法有些人认为它们 有着根本性的差别，而另一些人则认为可以把它们统一到一起【2 6 l 。从折射 率的角度着，他们它们都可以统一为关系式( 4 3 6 ) ，这是一个有意义的结果 第五章总结与展望 在广义相对论中，引力被几何化了，以时空度规的形式出现在爱因斯坦方 程中的爱丁顿将引力场视为一种光学媒介也不失为一种有创意的思想，因 为这样可以使人们以比较熟悉的眼光从光学的角度来考察引力场这一恩想 的发展过程虽不是那么艰难，却也让人们付出了大半个世纪的时间和努力直 到二十纪九十年代，j e v a n 8 等人提出引力场中粒子运动方程的牛顿形式， 并运用到一些具体问题中去，这一思想才基本成熟。 借助这一引力场中粒子运动的描述方式，人们可以利用力学和光学中比 较熟悉的公式和技巧来处理引力场中的粒子运动，使得计算大为简捷方便， 得到的结果也与广义相对论完全相符 签于弦理论中的四维伸缩子时空与爱因斯坦的广义相对论有着很不一样 的性质，我们尝试把j e v a n s 等人的方法推广到这一类时空中去，借以考察这 一粒子运动方程的牛顿方式可否用来描述伸缩子时空中的粒子运动，进而分 析伸缩子会给粒子运动带来什么样的影响一一比如具体讨论伸缩子时空的一 些经典引力效应。 我们的工作表明，通过适当的坐标变换，一些伸缩子时空解可以用各向同 性坐标表示出来，从而求得这些伸缩子时空的有效折射率，然后利用引力场中 粒子运动方程的牛顿形式以及粒子能量守恒方程，推导出这些伸缩子时空粒 子运动的微分方程运用这一些微分方程，我们具体考察了伸缩子时空的一些 经典引力效应，比如光线弯曲，行星进动，雷达波的延迟，红移等，并得出伸 缩子对这些效应带来的修正特别有意义的是，如果把引力场视为一种光学媒 介，引力红移和宇宙学红移可以统一到一个表达式中 我认为，这一方案最重要的方面也许是在推导引力场中粒子运动方程过 程中所得到的最小作用量，引力场作为一种光学媒介的折射率出现在其中， 并且它包含了光学中的f e r m a t 原理和力学中的m a u p e r t u i 8 原理，而通过它 所得到的弓f 力场中粒子的运动方程把光学和力学联系起来了 然而，当我们尝试着把这一方案推广到带宇宙常数的时空【2 7 】或整体单 极子引力场 2 8 】时，遇到了难以处理的积分困难，也许这正是这一方案的最 大局限吧或者，人们可能需要开辟新的途径在更广泛的时空中实现爱丁顿 参考文献 【1 】a s e d d i n 戥o n s p a c e ，t i m e 卸dg r a v i t a t i o n c o m b r i d g eu n i v p r e s s ， c a m b r i d g e 。1 9 2 0 。2 7 6 - 2 7 8 2 】j p l e b a 曲l 【i b l e c t r o m a g n e t i cw 衲8 i ng r 州t a t i o i l a lf i e l d s p h y 8 r e v 1 9 6 0 1 1 8 1 3 9 6 【3 】f d ef e l i c e o nt h eg r a v 王t a t i o n a lf l e l da c 廿n ga sa no p 七i c a lm e d i u m g e r 七1 g r a v 1 9 7 1 | 2 3 4 7 ( 4 】r c o v e l l a ，a w o v e r h 8 u s e ra n ds a 、r e r ，g r a v i t a t i o n a le 觑c t so nt h e 聃u t r i n oi n 七e r f e r e 眦e p h y s 鼬v l e t t 1 9 7 5 3 4 ，1 4 2 7 【5 】j l s t a u d e n m 咖g r a v i t y 肌di n e r t j ai nq u a n t u mm e c h a n i c s p h y s r e v a 2 1 1 9 8 0 3 4 1 4 1 9 【6 j a n a n d a n g r a v i t a t 沁n a la n dr o t a t i o n a l 硼t si nq u a n 七u mi n t e r f h e m e p h y s r e v d 1 9 7 6 1 5 ( 6 ) ，1 4 4 9 【7 】曾谨言，量子力学卷i i ，第三版北京；科学出版社，2 0 0 1 2 1 1 2 1 3 f 8 jj e v i 璐，a n dm r 0 8 e n q u i s t “f = m 。”o p t i c s ，a m e r j p h y s ( 1 9 8 6 ) 5 4 8 7 6 1 9 】j e v a n s s i m p l e 矗叩m sf o re q u a t i o 璐o fr a y bi ng r a d i e n t - i n d e xl e n s e s a m e r j p h y 8 1 9 9 0 5 8 ，7 7 3 【1o 】n a i l 出，k a n d1 8 l a m ，a o nt h eo p t i c 小m e c h 蛐i c a l 髓a l o g yi ng e n e r a l r e l a t i v i t y a h l e r j p h y s 1 9 9 5 6 3 2 5 1 i l l 】j e 啪s ，k k n a n d i ，a n da 1 8 l 岫t h eo p t i c 止m e c h 姐i c a la n a l o g y i ng e n e r a lr e l 8 t i v 主七y ：e x a c tn e t o n i a nr r 】m sf o rt h ee q u a t i o n so f m o t i o no fp a r 七i c l e sa n dp h o t o n 8 g e n r e l g r 8 v 1 9 9 6 2 8 4 1 3 f 12 j e 、r a n 8 ，k n 姐d i i a i l da i s l 眦t h eo p t i c a l - m e c h a n i c a la 舱l o g yi n g e n e r a lr e i a t i v i t y