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中立型时滞系统稳定与镇定研究 摘要 许多的工程系统，都不可避免的存在着滞后现象，时滞的存在会导致系统不稳定、振 动甚至不能正常运作中立型时滞系统是一类既可以描述状态滞后又可以描述状态微商滞 后的系统，在人口生态系统，含耗散传输线的分布网络，热交换，电路网络等系统中都有 重要的应用本文对几种不确定中立型系统的稳定和镇定问题做了研究。在第一章中，我 们对时滞系统的发展、一直以来研究中通常用到的方法以及已有的一些研究，作了简单的 介绍在第二章中，我们在两种不同的初始状态空间下，运用r a z u m i k h i n - l y a p u n o v 技巧，分析了含有变时滞的中立型时滞系统的指数稳定和镇定问题，基于线性矩阵不等 式，给出了系统与时滞无关的指数稳定和鲁棒镇定的充分条件及状态反馈控制器的设计 方法；第三章中，我们以f r i d m a n 引入的奇异系统方法为基础，分析了含有分布时滞的 不确定中立型系统的鲁棒稳定与镇定问题，得到了系统与时滞相关的鲁棒稳定和镇定的 充分条件及状态反馈控制器设计方法；第四章中，我们以f r i d m a n 引入的奇异系统方法 为基础，分析了同时含有状态时滞和输入时滞的中立型系统的鲁棒稳定和镇定问题，得到 了系统与时滞相关的鲁棒稳定和镇定的充分条件，并设计出无记忆状态反馈控制器。 关键词：中立型系统变时滞r a z u m i k h i n 方法分布时滞输入时滞鲁棒稳 定l y a p u n o v 泛函线性矩阵不等式 t h es t u d yo fs t a b i l i t ya n d s t a b i l i z a t i o nf o rn e u t r a l s y s t e m sw i t ht i m ed e l a y s a b s t r a c t t i m ed e l a y sa r ef r e q u e n t l ye n c o u n t e r e di nv a r i o u se n g i n e e r i n gs y s t e m s ， a n dt h ee x i s t e n c eo ft i m ed e l a y sm a yr e s u l ti ni n s t a b i l i t y , o s c i l l a t i o na n dp o o r p e r f o r m a n c eo fas y s t e m n e u t r a ld e l a ys y s t e mc o n t a i n sd e l a y sb o t hi ni t s s t a t e sa n di nt h ed e r i v a t i v e so fi t ss t a t e i tc a nb ef o u n di ns u c hp l a c e sa s p o p u l a t i o ne c o l o g y , d i s t r i b u t e dn e t w o r k sc o n t a i n i n gl o s s l e s st r a n s m i s s i o nl i n e s ， h e a te x c h a n g e r s ，e l e c t r i cn e t w o r k s ，e t c i nt h i st h e s i s ，t h ep r o b l e m so fs t a b i l i t y a n ds t a b i l i z a t i o nf o rs e v e r a lc l a s s e su n c e r t a i nn e u t r a ls y s t e m sa r ei n v e s t i g a t e d i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h ed e v e l o p m e n to fd e l a ys y s t e m s ，s o m ed e s c r i p t i o n so f t h ep r i m a r ym e t h o d st h a ta u t h o r sa l w a y su s ea n dt h ep r i m a r yr e s e a r c hm e t h - o d sa n dc u r r e n tr e s e a r c hs t a t u so ns t a b i l i t yo fn e u t r a ld e l a ys y s t e m sa r ei n - t r o d u c e d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，t h ep r o b l e m so fe x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya n d r o b u s ts t a b i l i z a t i o nf o rn e u t r a ld e l a ys y s t e mw i t hv a r i a b l ed e l a y su n d e rt w o d i f f e r e n ti n i t i a ls t a t es p a c e sa r ei n v e s t i g a t e d t h ed e l a y - i n d e p e n d e n ts u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o re x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya n dt h ee x i s t e n c eo fm e m o r y l e s ss t a t ef e e d - b a c kc o n t r o l l e ra r ed e r i v e di nt e r m so fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e sb yu s i n gt h e r a z u m i k h i n - l y a p u n o vt e c h n i q u e i nt h et h i r dc h a p t e r ，t h ep r o b l e m so fr o b u s t s t a b i l i t ya n ds t a b i l i z a t i o nf o ru n c e r t a i nn e u t r a ls y s t e m sw i t hd i s t r i b u t e dd e l a y a r ei n v e s t i g a t e d t h ed e l a y - d e p e n d e n ts u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rr o b u s ts t a b i l i t y a n dt h ee x i s t e n c eo fm e m o r y l e s ss t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ra r ed e r i v e di nt e r m s o fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e sb yu s i n gf r i d m a n ss i n g u l a rs y s t e mm e t h o d i n t h ef o u r t hc h a p t e r ，t h ep r o b l e m so ft h er o b u s ts t a b i l i t ya n ds t a b i l i z a t i o nf o r u n c e r t a i nn e u t r a ls y s t e m sw i t hs t a t ea n di n p u td e l a y sa r ei n v e s t i g a t e d t h e d e l a y - d e p e n d e n ts u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o rr o b u s ts t a b i l i t ya n dt h ee x i s t e n c eo f m e m o r y l e s ss t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ra r ed e r i v e di nt e r m so fl i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t i e sb yu s i n gf r i d m a n ss i n g u l a rs y s t e mm e t h o d k e yw o r d s ：n e u t r a ls y s t e m s ；t i m e - d e l a y ；r a z u m i k h i nt y p e t e c h n i q u e ；d i s t r i b u t e dd e l a y ；i n p u td e l a y ；r o b u s ts t a b i l i t y ；l a y d u lf u n c t i o n ；l i n e a rm a t r i x 。n e q u a l i t y u n o vi u n c t l o n1 1 n e a rm a t r l xl n e q u a l l t y l 广西大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的成果和相 关知识产权属广西大学所有，本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文 的研究内容除已注明部分外，论文中不包含其他人已经发表过的研究成果，也不包含本 人为获得其它学位而使用过的内容。对本文的研究工作提供过重要帮助的个人和集体，均 已在论文中明确说明并致谢 论文作者签名： 咏躯霆氟 学位论文使用授权说明 年月日 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本： 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 请选择发布时间： 口即时发布口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) ：獭孰名阱岬年月唧 广西大学硕士单位论文中立型时漭系统稳定与镇定研究 第一章绪论 1 1 引言 在自然和社会现象中，客观事物的运动规律是复杂多样的许多系统的发展趋势不仅 与现状有关，而且或多或少的与过去的历史有关这种现象称为滞后现象一般来说，如 果一个系统涉及到物质和信息的传输，则往往会导致滞后现象，如气体传输系统化工过 程系统，生物学系统，环境系统电力系统等 3 8 1 一，都是典型的滞后系统时滞的存 在会导致系统不稳定，振动，甚至不能正常运作这类系统无法用常微分方程来描述，而 需要用时滞微分方程，也称为泛函微分方程来描述 时滞微分方程的一般形式为 圣( t ) = ，( t ，z 0 ) ，z 0 一丁1 ) ，z ( t 一) ) 这里x c t ) 冗“表示系统状态，7 1 ，7 h 表示系统状态时滞，系统在初始时刻t o 的初始 状态为 z 0 ) = 咖( t ) ，t t o 一亍，如】 其中亍= 竹l n 。 凡，1si ，n ，( t ) 为【一亍，0 】上的连续函数 随着控制系统变得越来越复杂，控制精度的要求越来越高，我们己经不能对时滞作 简单的处理，而是要建立时滞微分方程这个较为精确的数学模型，因此时滞系统的研究这 个课题就摆在了我们的面前近几十年来，国内外的许多专家，学者都对时滞系统的研究 给予了高度的关注，因此对时滞系统加以专门的研究就显得非常的必要，并且具有相当重 大的意义这不仅仅是因为理论上研究的兴趣，而且还因为在实际控制系统设计和应用中 的迫切需要 时滞系统根据其模型和性质来分，有常时滞系统，变时滞系统，单重时滞系统，多重 时滞系统参数不确定时滞系统、非线性参数扰动时滞系统大时滞系统等对于有些时 滞系统的研究都还是很零散和不系统的，因此对时滞系统的研究具有广阔的前景和发展余 地。对时滞系统的研究是平行于对非时滞系统的研究，但实质上非时滞系统是由时滞系统 中抽象出来的一类重要问题对时滞系统展开研究和分析的目的，就是要完善和发展己 1 广西大学硕士学位论文 中立型时弗系统提定与镇定研究 经存在于非时滞系统中的结论和优秀成果，建立相应于实际系统更精确的并且更科学的 理论体系。获得关于时滞系统的完善而又系统的结果 对于一个系统而言。我们首要关注的是这个系统的稳定性问题然而，系统中时滞的 存在，对系统的影响首先是稳定性对于大多数线性控制系统来说，系统中存在的时滞总 是产生消极作用，使系统由稳定变为不稳定，所以我们研究时滞系统。就必须首要地研究 时滞系统的稳定性问题需要指出的是，就像其它基本环节一样，在实际的生产过程中， 纯时滞环节很少单独出现，总是和其它基本环节共存，而且不存在某种形式时滞的生产是 很少的因此，任何对控制系统设计有用的技术都必须涉及到时滞问题由于时滞的广泛 存在，对它的研究就显得非常重要另外，由于实际系统中不可避免地存在着参数变化， 例如，元件老化，工况改变、数据错误和建模不准等因素，所以时滞系统还包含着参数扰 动，不确定性也是系统研究中经常出现的现象这就很有必要对不确定时滞系统的鲁棒稳 定性加以研究和分析 时滞系统的研究主要有二类，一类就是不确定性时滞系统【4 6 1 一f 5 “，另一类就是含有 时滞扰动线性时滞系统【5 2 卜【5 6 】对于这两类时滞系统的研究，也主要是研究其稳定性， 实际上，这种稳定可以被称为鲁棒稳定 鲁棒问题【2 4 1 一【26 l 是7 0 年代兴起的，目前仍然非常活跃的研究领域，具有非常广泛 的研究内容6 0 - 7 0 年代控制理论中关于状态空间的结构性理论得到了突破性的发展，人 们建立了线性系统的能控。能观性理论，并在此基础上提出了反馈镇定的一整套严密的理 论和方法然而这些理论和方法却依赖于受控对象的精确的数学模型由于实际的系统往 往都是运行在不断变化的环境中，各种因素( 如温度，原料、负荷，设备等) 都是随时间变 化的，一般说来，这种变化是无法精确掌握的又由于受理论和方法的限制，人们在实际 系统的建模过程中经常要做一些简化处理，如降阶时变参数的定常化处理，非线性方程 的线性化等，因而使得实际系统和我们赖以做分析和设计的数学模型之间存在一定的差 别由于这种差别的存在，使得现代控制理论中的反馈控制理论等许多结果在实际工程中 的应用不能令人满意因此，对于一个系统的设计来说，具有鲁棒稳定性是非常重要的 对于大多数的线性时滞系统来说，它的本身是不稳定的，所以如何利用系统的固有 特性并加入适当的控制律改造原来的系统使其由不稳定变成稳定，这就是人们常说的镇定 问题讨论参数在一定范围内变化的系统的稳定和镇定，这就是所谓的鲁棒问题因此研 2 广西大学硕士学位论丈中立型时席系统让室与镇定研究 究和分析含有不确定参数的时滞系统，就必须考虑其鲁棒稳定性及鲁棒镇定对线性时滞 系统的鲁棒稳定性及其鲁棒镇定的研究不仅仅对控制理论是一个长足的发展，而且对于 实际控制系统的设计和应用也具有指导意义 1 2 时滞系统的主要研究方法 时滞对系统首要的影响就是稳定性，所以在所有研究时滞系统的问题中，稳定性最 受各国学者的关注 对时滞系统稳定性的研究起源于上世纪五十年代，稳定性分析方法有频域法和时域 法频域法是通过特征根的分布或l y a p u n o v 矩阵函数方程的解来判别稳定性频域法只 适用于分析时不变时滞系统的稳定性 时域法主要有k r a s o v s k i i - l y a p u n o v 泛函法，r a z u m i k h i n - l y a p u n o v 函数法及时滞不 等式方法，前两种方法分别是由k r a s o v s k i i 和r a z u m i k h i n 创立于上世纪九十年代末，现 在已经成为研究时滞系统稳定性分析和控制器设计的主要方法尤其自上世纪九十年代， 由于产生了利用方程和线性矩阵不等式工具构造l y a p u n o v 泛函，使得这两种方法在时滞 系统稳定性分析和控制器设计中得到了广泛的应用时滞不等式方法首先是由h a l a n a y 于 上世纪六十年代建立的，经过很多学者的努力，时滞不等式理论已得到了很大的发展 不论采取哪一种方法进行稳定性分析，按照是否依赖于时滞大小，所得的稳定性条 件可以分为与时滞相关的稳定性条件和与时滞无关的稳定性条件与时滞无关的稳定性 条件，是指系统参数所满足的条件必须保证对所有有界时滞，系统都是稳定的与时滞相 关的稳定性条件是指系统参数所满足的条件能够保证当系统时滞小于某个上界时，系统 都是稳定的 在研究时滞系统稳定性问题时，比较常用的方法就是l y a p u n o v 泛函方法i l l 1 3 1 这4 种方法基于l y a p u n o v 稳定性理论，通过选取适当的l y a p u n o v 泛函来获得相应的判定时 滞系统稳定的判据l y a p t m o v 稳定性理论是俄国著名数学力学家l y a p u n o v 于1 8 8 2 年 发表的“运动稳定性的一般问题”的论文中首先提出的它不仅适用于非时滞系统，同时 也适用于时滞系统由于l y a p u n o v 泛函选取的方法不是唯一，因此导出的相应的稳定性 判据也就各不相同，在保守性和适用范围上也不尽一致l y a p u n o v 泛函方法，是从一个 特定的l y a p u n o v 泛函中去求得关于时滞系统稳定的条件，因此所获得的这个条件只能 3 广西大学硕士学位论文 中立型时滞系筑裢定与镇定研究 是充分的，而不是必要的，具有很大的保守性这是这种方法本身无法克服的缺陷但是 由于l y a p u n o v 泛函方法对各类时滞系统的适用范围非常之广，所以对各种类型的时滞系 统稳定性进行研究时。l y a p u n o v 泛函方法仍然是一种非常有效的方法 随着迅速发展的计算机和软件技术，虽然有时对时滞系统作稳定性分析有很大的计 算量，但可以得到用计算机技术或软件技术求解的稳定判据线性矩阵不等式( l m i ) 方 法已经被广泛的应用到时滞系统的稳定性分析中来，l m i 方法具有两个突出的优点，第 一。它的求解不需要参数调整的过程以及任何正定矩阵；第二，现己有专门的软件包对 l m i 进行求解( 如m a t l a b 的l m it o o l b o x ) ，求解十分方便有效因此，近年来，基 于线性矩阵不等式( l m i ) 方法的研究成为了一个热点问题【4 l 卜 1 3 中立型时滞系统的研究现状 中立型时滞系统是一类既可以描述状态滞后又可以描述状态微商滞后的系统，在人 口生态系统，含耗散传输线的分布网络、热交换，电路网络【7 | 一【10 1 等系统中都有重要的 应用中立型时滞系统的一般形式为 圣( t ) ：= 9 ( t ，z ( t 一下) ，圣( t h ) ) 其中lh 分别表示系统状态时滞和状态微商时滞 对于中立型时滞系统控制问题的研究，随着人们对中立型时滞系统稳定性的广泛研究 也在积极地发展，基于线性矩阵不等式，取得了很多具有较少保守性的稳定性结果j i l l 一【1 8 1 但由于中立型时滞系统自身的复杂性使得这方面的研究进展缓慢对中立型时滞系统控 制的研究主要集中在鲁棒控制和日。控制方面 研究者们从频域和时域两个方面对中立型时滞系统的稳定性进行了大量的工作以 往的文献中，l y a p u n o v 泛函方法、特征方程法和状态解方法等被用于寻找此类系统的渐 近稳定性准则，文献【3 0 1 一【3 1 j 给出了在频域内判断中立型时滞系统稳定性的方法频域方 法得到的稳定性结论对于稍复杂的系统难于应用时滞系统的时域分析，因其克服了频域 分析不能处理时变和参数摄动的不足，目前越来越成为时滞系统尤其是不确定系统( 包括 系统矩阵的参数不确定性以及时滞本身的不确定性) 稳定性分析以及控制器设计的主要方 法。近几年有关不确定中立型时滞系统的结论许多都是用时域的分析方法取得的 4 广西大学硕士学位论丈中立型时滞系统撬定与镇定研究 自从六十年代l y a p u n o v 第二方法被用来处理线性系统的稳定性及控制问题，该方 法很快被引入到时滞系统的分析设计中来，l y a p u n o v 第二方法成为人们手中分析时滞系 统的有力工具l y a p u n o v 第二方法的优点主要体现在。方法统一，所得的结论最后都可 转化为一个r i c e a t i 方程的解；处理范围广泛，不管是参数摄动还是变时滞系统，都可以 处理因此，l y a p u n o v 第二方法在工业实际应用中有广泛的前景利用l y a p u n o v 第二 方法，通过构造适当的l y a p u n o v 泛函，求解时滞系统的无记忆反馈控制律，是设计时变 及不确定时滞系统的有效途径根据众多学者的研究，目前最为普遍使用的是一种特殊的 l y a p u n o v 泛函，其形式如下 f t y ( z ( t ) ) = x t ( t ) e ( t ) + x t ( s ) r x ( s ) d s j 一于 其中p ，r 为正定对称矩阵对于矩阵p 和r ，不同学者根据其需要，选取的方法各不 相同由于l a p u n o v 第二方法对各类时滞系统的适用范围非常之广，所以对于时滞系统 稳定性的研究，l a p u n o v 第二方法是一种非常有用的方法尤其是r i c c a t i 方程和线性 矩阵不等式( l m i ) 法在线性系统的稳定性及控制问题研究中得到广泛的重视和应用后， 很多学者尝试把该方法推广到中立型时滞系统上来，通过构造适当的l y a p u n o v 泛函，经 过推导来分析中立型时滞系统的稳定性并以线性矩阵不等式( l m i ) 来表示相应的时滞相 关或时滞无关的稳定性准则这些以线性矩阵不等式表示的稳定性准则可以用m a t l a b 中提供的l m i 工具箱方便地求解，而且运用这种方法还可以得到稳定性的最优解q l h a n 在文献【3 2 】中通过对中立型时滞系统进行恒等变换，然后合理构造l y a p u n o v 泛 函，给出系统稳定性准则j h p 盯k 【3 3 】分析了多时滞中立型系统的稳定性，通过构造 恰当的l y a p u n o v 泛函，经过推导给出了以l m i 形式表示的时滞相关稳定性准则m s m a h m o u d i 3 4 1 分析了含不确定性的中立型时滞系统，研究了状态反馈鲁棒王k 控制的问 题，并应用l m i 形式表述了控制器的设计方法其思路是通过构造适当的l y a p u n o v 泛 函，从而推导出一个用于判定不确定中立型系统稳定的r i c c a t i 不等式，并进一步变换为线 性矩阵不等式的形式，但此准则的约束较多z d w a n g 。j l a m 和kj b u r n h 锄【3 5 1 研究了中立型系统观测器的设计，通过对观测器的研究和设计可以实现对系统的输出反 馈控制j s h t s a i ，c y u l 3 6 1 等研究了随机中立型时滞系统的鲁棒k 控制问题 以上讨论的不确定中立型时滞系统鲁棒控制方法主要是基于l y a p u n o v 第二方法， 5 广西大学硕士学位论丈中立型时漭系缱撬定与镇室研究 即对闭环系统，构造一个对所有不确定性都适用的l y a p u n o v 泛函显然，这样的处理方 法具有很大的保守性，但还没有一种比它更有效的处理方法因此这种对所有不确定性， 构造适当的l y a p u n o v 泛函的方法仍然是目前处理时变参数及不确定性鲁棒控制的一种 流行和有效的方法 1 4 本文的主要工作 由于中立型系统相对于一般的系统来说比较复杂，所以很多结果对于一般的系统可 用。但对于中立型系统却不能使用，在这篇文章中，我们对几种不同的不确定中立型系统 进行了分析和研究，将一些结果加以改进后推广到中立型系统中来第二章中我们在两 种不同初始状态空间下( 连续的初始状态空间，连续可微的初始状态空间) ，研究含有变 时滞的中立型系统指数稳定与镇定问题，运用r a z u m i k h i n - l y a p u n o v 技巧，给出系统指 数稳定和状态反馈控制器存在的与时滞无关的充分条件；第三章和第四章里面，我们以 蹦d m a n 1 3 一j 15 】引入的奇异系统方法为基础，研究含有分布时滞的不确定中立型系统和 含有输入时滞的不确定中立型系统的鲁棒稳定与镇定问题通过构造相应的l y a p u n o v 泛 函，结合l m i 工具箱，给出系统鲁棒稳定和状态反馈控制器存在的与时滞相关的充分条 件 1 5 本文中的符号说明及预备知识 4 矩阵中对称的部分； m ( ， 0 ，i i f i l 1 ，存在纯量e 0 ，使得下列不等式成立； i ) d f n + n r f r d nse - - 1 d d l l + e 舻n ； i i ) 如果e ，一e p 。 0 ，则 ( a + d f e ) p ( a + d f e ) tsa p a t + a p e t ( e l e p e r ) 一1 e p a t + d 矿； i i i ) 2 x r y ，p 一1 z + y t p y ； i v ) 如果p d d t 0 ，则 ( a + d f e ) t p 一1 ( a + d f e ) a t ( p e d d t ) 一1 a + e - - 1 e t e 7 广西大学硕士学位论文 中立型时漭系统稳定与镇定研究 第二章变时滞中立型系统的指数稳定与镇定 2 1 问题描述 中立型时滞系统是一类既可以描述状态滞后又可以描述状态微商滞后的系统，其在 人口生态系统。含耗散传输线的分布网络，热交换，电路网络【7 l 一【l0 】等系统中都有重要 的应用在这一章中，我们将一般时滞系统的l y a p l l n o v 稳定推广到含有变时滞的中立型 系统中来，在两种不同的初始状态空间下。运用r a z u m i k h i n - l y a p u n o v 技巧，给出了含 有变时滞的中立型时滞系统指数稳定和状态反馈控制器存在的与时滞无关的充分条件 考虑变时滞中立型系统 圣o ) 一c 净。一r ( t ) ) = a ( t 净o ) + a “t ) z 一d o ) ) + b t ( t ) ( 2 1 1 ) lz ( ) = 妒( t ) ，t 【- - 7 ，0 1 其中z ( t ) 7 妒是系统状态，u ( t ) 7 已”是控制输入，a ( t ) 7 妒”，a l ( t ) 7 妒”，c ( t ) 形“，b 形。”是系数矩阵，满足 a ( t ) = a - i - a a ( t ) ，a l ( t ) = a 1 + a a i ( t ) ，c ( t ) = c - i - a c ( t )( 2 1 2 ) 其中a ，a 1 ，c 为已知的具有适当维数的实矩阵，a a ( t ) ，a a i ( t ) ，a c ( t ) 为未知的矩阵 函数，代表系统模型中随时间变化的不确定性我们假设参数的不确定性范数有界，并且 具有以下形式 a a ( t ) a a 娴a c ( t ) = e f ( t ) 日凰皿 ( 2 1 3 ) 其中e ，只h i ，日c 为反映不确定结构的常矩阵，f ( t ) 为满足f r ( t ) f ( t ) i 的不确定 矩阵r ( t ) ，a ( t ) 是变时滞，满足 0 r ( t ) r ，0 a ( t ) d ，下= m a z r ，d ) v ( t ) 定义为系统的初始函数，满足( t ) 0 6 ，6 为正纯量 引理2 1 1 记d x t = x ( t ) 一c o r ) ，对一个正数芦，设i i d x t i i 6 e 一，f i o ，邪， 若i l 圳s6 e ，且l c i 1 ，则 i i x ( 。) 1 1 0 ，使得 y 扛( 日) ) 0 ，满足岛e ” 1 ， 且 v ( d x t ) sp ，y 0 ( t ) ) s7 v ( d x t ) + 阮y 0 0 r ) ) ，t 【o ，卅( 2 1 4 ) 则有 y ( z ( t ) ) s 而7 p e ，t 【0 ，明 证明；对任意的t ( o ，t i ，存在正整数k ，使得te ( 一1 ) r ，七r 】，则由( 2 1 4 ) 的 第二个不等式有 y p ( t ) ) 7 v ( d z t ) + 风y 0 一r ) ) s7 v ( d x t ) + 7 & v ( d x t 一，) + 藤v ( x ( t 一2 r ) ) 7 v ( d z t ) + ，y 岛v ( d z t 一，) + 7 瑶v ( d z t 一打) + 藤v c z ( t 3 r ) ) 一 = ，y 罐v ( d z t 一打) + 砧y 0 一r ) ) 9 广西大学硕士学位论丈中立型时沸系统稳定与镇定研究 注意到( k 一1 ) r t k r ，并结合( 2 1 4 ) 的第一个不等式，我们有 啪) ) 0 ，6 0 ，使得，当f i 印0 = i i 妒0 0 ，纯量q 1 0 ，锄 0 和p ( 0 ，i ) ，使得 p c p 2 p ( 2 2 2 ) p a + a t p + w l ( a l - t - a 2 ) p p a cp a l 一口l 尸0 $0 一0 2 p 其中吡= 研1 ，则系统( 2 2 1 ) 在定义2 2 1 下指数稳定 证明；由( 2 2 3 ) ，对充分小的正数p ，满足肛 1 ，有 e = 0 ，使得6 、吾南，于是当i l v l l 6 时，有 w ( d x o ) = y ( d 妒) a 1 l d 妒1 2 a 1 ( i 妒( o ) i + l c i i 妒( 一r ) | ) 2 a 1 ( 1 + i e l ) 2 1 1 妒1 1 2 a 1 ( 1 + i e l ) 2 铲 知e 2 下面我们来证明，对任意的t 0 ，都有 w ( d x t ) 知e 2 若( 2 2 5 ) 不成立，则存在t = t l ，使得 w ( d x t ，) = 知，d + ( w ( d x t 。) ) 0 由( 2 2 5 ) 知 w ( d x t ) 0 ，有 d + w ( d x t 。) = d + 【l d t l p d x t l 】 = # e m l v ( d x t 。) + e v t - 2 d t 以l p ( a x ( t t ) + a l x ( t l d ( t 1 ) ) ) e l a l # v ( d x t l ) + 2 d t z t l p ( a d x t 。+ a c x ( t l r ) + a l z ( t l d ( t 1 ) ) ) + o l ( 白1 w ( d x t 。) 一i 矿( z 0 1 一r ) ) ) + a 2 ( & l w ( d x t ，) 一7 ( 。0 l d 1 ) ) ) ) - # v ( d z t l ) + 2 d t x t l p ( a d x t ，+ a c x ( t l r ) + a l x ( t t d 0 1 ) ) ) + 0 1 0 1 d t x t l p d x n n l e # r x t ( t l r ) p x ( t l r ) + q 2 d a d t x t l p d x t l 一a 2 e m x t ( t l d ( t 1 ) ) p x ( t l d 0 1 ) ) ， = e p - t ( t ) e f ( t ) 0 ，0 1 0 ，o t 2 0 和p ( 0 ，1 ) ，使得 = 篓 。 仁z 埘 a x + x a t + w l ( a l + 0 2 ) x + e e 矿 t 则系统( 2 2 8 ) 在定义2 2 1 下指数稳定 证明；令p = x 一，取 a c x 0 1 x 0 a l x x 王一 0 x c t 铲 一a 2 xx 艰 一i y ( t ) ) = x t 0 ) p z ( t ) ，w 7 扛( t ) ) = y 扛0 ) ) 1 3 0 ( 2 2 1 0 ) 广百大学硕士学位论丈 中立型时滞系统捷定与镇定研究 在( 2 2 9 ) 的两侧同时乘以d i a g p ，毋，于是有 由s c h u r 补，即有( 2 2 2 ) 另外，由( 2 2 1 0 ) 有 a x + x a t + u 1 ( o q + 0 2 ) x + f 一1 瞪x 口铲x h 1 x 一卢2 p伊l l 0 ep 一1l a c x q 1 x o a l x o - - o r 2 x h xh c x 肌x 】+ e 两侧同时乘以d i a g p , 只p ) ，有 e 0 0 户a + p + u 1 ( q 1 + a z ) p p a c p a l + e l + 一q l p 0 0 - - o r 2 p 讣卜 p a + a 1 p + d l ( o f l 七a 2 ) p p a c 一n 1 p 尸e 0 o f ( t ) hh c 研】+ 引 尸a 1 0 0 - - o r 2 p 1 4 俨 乎世 砰 fe r 001 0 ，q 0 ， o f l 0 ，口2 0 和卢( 0 ，1 ) 。使得( 2 2 9 ) 和下面的矩阵不等式成立 e 1 1 a c x a l x x h lb 元 o 一q 1 x 0x 俨0x c t 0 一0 1 2 xx 田 oo $- e l0 0 000一n x0 0000- - o r 一1 x 】5 0 ，我们有 2 d t z t l p b k c x ( t 1 一r ) sd t x t l p b k ( c t p ) 一1 k t b t p d x t l + ， 1 - r ) c w ( o l p ) c x ( t l r ) 另一方面，在( 2 2 1 2 ) 的两侧分别乘以d i a g ( p , p p j ，p ，n ，有 其中 o i l p a c p a l酽p b k 0 一口l p 0c t k r0 c , r 0 一a 2 p 研0 0 - e 100 0oa po 000一n 一1 p o e i l = p a + p + p b k + k t b t p + w l ( 口1 + 0 2 ) p + s p e e t 尸 由s c h u r 补，上式等价于 斜l4 - p b k ( e e p ) 一1 驴矿p p a c $ 一o t l p + 矿( a p ) c 0 由( 2 2 1 3 ) ，我们可以得到 d + w ( d x , ，) 0 ，6 0 ，使得，当1 1 = 0 1 i = l i v i d ，0 驴0 0 和正纯量a ，o l ，e 1 ，e 2 ，d 1 ，q 2 和c ( 0 ，1 ) ，使得下列线性矩阵不等式成立 一瓯x00x ，x 酽 0 一a l x 0 x 避x 峨 00一c xx c t x 峨。 一x + e l e f 。0 0 - e 1 i a x + x 爿。+ ( 0 1 + 0 2 忱) x + 9 2 e e t t a 1 x o t l x o c x 0 - - o r 2 x 其中o , s = 譬詈，那么系统( 2 1 1 ) 在定义2 3 1 下指数稳定 1 8 0 ( 2 3 1 ) x h t x 峨 x 蜓 一e 2 ， 0 ( 2 3 2 ) 广西大学硕士拳位论文中立型时眷系统稳定与镇定研究 证明：取p = x ，y ( t ) ) = x t ( t ) p x ( t ) ，在( 2 3 1 ) 的两侧同时乘以d i a g p , p ，p ，i ，i ) 运用s c h u r 补可以得到 一n p00a t 0 一0 1 p 0 a t 00一c pc 喱 一p 一1 + e l 由s c h u r 补，引理i ) 和( 2 1 3 ) 我们有 一a p00 a t ( t ) 0 一a l p 0 a t ( t ) 00 一c p 伊( t ) 一p 一1 o 0 0 0 e o oo e t 卜i 1 一n 尸0 0a t 0 - - a 1 p oo 0 钟 一c pc t 一p 一1 + 俨 s t 霹 o o p o0 f ( ) o o o 0 - - a l p 0 ooc p a t 钟 u r $ 一p 一1 + e f l 矿 田 砰 o + 9 1 静。 峨 孵 o + o 0 0 e h 日1 鼠o o 0 o e h 凰趣o o o o ( 2 3 3 ) hh lh t 广西大学硕士拳位论文中立型时洋系统橇定与镇定研究 另一方面，由s c h r u 补，有 一a p00 a t ( t ) 0 一a l p 0 a t ( t ) 00 一c p 矿