（课程与教学论专业论文）学生对概率统计中变异性的认识.pdf

摘要 近年来，对概率统计中变男性的理解的研究正在升温，而国内还没裔查到相关 类钕鼹研究。奉磷究的主要器鹣楚希望透过调焱高中妻帮爨蘧生对变舅魏诀识蠹奄璜 状来呼吁课程设计者和教师对变异性的关注，同时对学嫩认识变异的髓难有所发 现，为改进教材编写和教学提供些理论研戴的依据。 零研究进行了些统计上静分柝，毽圭袋采用了定性豹研究方法，遴过问卷诱 查和访谈了解以下几个问题：( 1 ) 学生对变异存在性的认识如何；( 2 ) 学生对变 异大小静认识如秘；( 3 ) 学生通过什么途径剡颧变异的会璞性 ( 4 ) 学嫩在根据抽 样债怠决策时如何考虑变异。 研究结果发现，学生承认变异的存在，假大部分学生对变异大小的恰当性没有 缳好瓣壹残认识，考虑变吴大，l 、辩绝大部分学生没骞或不熊燕确考虑样本大枣对变 异大小的影响，学生能利用不同的数据特征刿断变异的食璃性，如极端俊、期望值 等，但学生综合数据中心和数据离散来分拼数据进行决策的能力弱。 爱惹，薹予零研究静发臻，辩壤搴统谤韵教学、漾程、弹徐撵密了建议。 关键诿：交舜，理瑟，穰攀，统诗 摘要 a 释s 瞰c 警 r 嚣c e m l y ，懒e 辩h 勰b l 毡n 穗e 辩赫 热gi f 妇精蛙涟糟s c 箍溅缨l 鳙撼。瓤秽硪滔娌髓戳藤n g o fv 撕a b i l 时b u tn 0s i 嘶l 甜r e s e a r c i ho nt l i i st ( 巾i c 、a sa v a i l a b l ei i io u rc o u n 时t h e m 藏赶弘珏p 。s 嚣o f 躐ss 鼬每i s 论黼f 黼te 矗l c 韵。搭抛p a y 黼。揩羲溉撼。摭协强蠢a 戮l l 鼍y 姆 s b o 州n gt h e mt 1 1 er e a ls i 雠瞄蚰o fs t 潞e n t s u n d c r s c a n d i n go f v 矾a t i o n 1 na d d i 虹。轧t h i s 8 激烈硅l i 王臻。嬲e d 砉。e 硪a 糙疆掂藤爨e 堪鞋鹦o f 呶l 妇豳谢e 躐鞠翻嗡o f 瑚蠢越潍a n d o 瑜rs o m es u g g e 黼o n s 协i 躲l p r o v es 涮雄c se d u c 蕊0 nb a s e do n 也e 端s 。黼c h 孰e 羚s e 锹婊m h o 娃s 瓣o p 把d 瓤氇趣驹融yw e 瓣热硅主畦y 唾磁i t a 重 v eb 攘m e s t a t i 蜘c a l 肌出y s e sw e r ea 1 8 0i n v o i v c d t h ef o l l o 诚n gr e s e a r c hq u e s t i o n sw e r e 黼鞘惯。d 努q 日e 巍i 蕊鑫i 羚a | 堪两耗辩撼w s ：1 ) d o 氇e 蜘弱燃i 穗擎婚c i a 姆囊。剃赡e 莪挺v 箍纛矮秘口 ( 2 ) w h a t a r e 畦抢s t u d e “谬c o n c e 西o n so f v 越a l i o ns i 础( 3 ) l o w d 0 1 量瓣s t t i 船l j _ 治j 稍g c o f ag i v 张v 蔽艟 i sd b a s o 激b l e 甜删 勺 o w 如t l e s 瓿穗e 船c o 描妇v 赫积馘嫡雕 t h e yn 词a 如c i s i o na c c o 趟i n gt os 捌唧l ed a 栩? 量t w 豁酗藤觚氇e 媳触曲妇w l o 锺埒e 礤蜘o f 涮矮鳆。瓤燃。薤蠢 m e m d o n t h “v eg o o d8 e n c eo f v a f i 撕0 n a n d 删l y t l i e y 姗e n o i d e a o f h o wb i gr 习m g e i s 翻嘲8 鼍e 薹醅a 辩鑫圭v 毫融鑫圭 o 珏。w 量冁氇e y 霉。辎至d e 慰州鑫畦艟鲢勰，氇e y e 搬o d 璐t i i l 砖獬n o e db ys 撒n p l es i 粉m a l l ys 删e n t si n 。娃虹e de x t m m ev 萄u e ，然p 酬j e dv a l u ee t c w i 燃氇e y j 喇黟as 畦o f 飘a i s 砝髓馘曲鑫s 醛幽激妇w l c d 嚣eo f v 蘸懑黼，搬 氆e i ri b i l 毋o f m a l ：血gd e c s i o nb yi 胤豁荫n gd a 协c e n 钯r 诵md a 捻婶糟糠嘲l 洲收 8 鑫s e do n 穗e 董i n d i n 黔o 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日本、中国、南非、巴西，都将概率统计引入了基础教育课程体系，概率统计教育 目标也由先前的教会学生一些数据处理的技能，发展为现在的重在培养学生的随机 观念和统计素养。我国中小学概率统计教育从无到有，从重计算到重统计过程，这 一变化恰恰反映了很多国家普及概率统计教育走过的艰难历程。 1 2 研究的必要性 从世界范围看，概率统计进入中小学课程最多也只有几十年，与代数和几何等 传统课程相比，相关的教育心理研究还不多，研究对象也主要是西方学生。在我国， 开展大规模的概率统计教育还不到十年。所以急需开展更多以中国学生为研究对象 的研究。 在过去几十年中，很多研究关注概率思维、随机现象、中心、样本、数据集比 较这些方面的教与学，关于变异的教学研究基本上是从d a v i dm 0 0 r e 提出“变异是 统计思想的核心要素”以后开始的，他指出： “1 变异在过程中无处不在。个体是可变的，对同样个体所进行的重复测量也是可变的。 在自然界和人类事物中，严格确定论的范围十分有限。 2 在考虑变异的情况下设计数据产生，考虑到不可控制变异的来源。我们必须避免自我选 l 第l 章号i 言 取的样本坚持在实验研究中进行比较。我# j 通过随机纯把封秩净的变异弓l 避数据产生之中t 3 ，变异的定嫩化，随机变辩用概率进行数学描述。 4 解释变异，统计分 矸设法求褥个体和测量的随机可交性的背艏的系统效果。”( 原作者将 v a r i a t i o n 译作“变化”，本文作者认为统计学原理( 黄良文2 0 0 0 ) 等酱作中称为“变异”， 还楚泽为“变募”鬟台遥，所以遮燕对；l 文作了变秘) ( 勰作玄，2 执p 1 5 4 ) 之后，有不少i | f 究赣意识到统计教育忽视了变异这一概念，光谂悬做研究，编 教麟，还是篷考戆，大多关注“数据懿孛心”，瑟关予“惫异”豹教学瞬究耀落嚣 了o 嬲d 羚l l 簦谯威，2 0 溅；渤堪魂猢。瓿黼豳珏e s 黟莛2 | 零述蘩撵爨；嚣藜还 没霄辑究系统魏囊诵裘遗学象对变黪这令壤念麴理瓣h 8 l 砭函持然s y 蛾嚣l ，2 0 ) 。 但是最近几年，关于学生对变异的理解的研究已经开始拜濑。有研究学生对抽 样中的变异的理解( r e a d i n g s h a t l 曲n e s s y ，2 0 0 0 ；s h a u g h n 然s ye t 她2 3 ) ，或研究学 生对概率情境中的变异的理解n & k e l l y 2 0 0 3 ；s h a u g l l n e s s y c i 8 l l c e t l a ，2 0 0 2 ) ， 还有研究学生对分布中的变异的联解( s a l d a n h a 弛m p s o n ，2 0 0 3 ；s b 矗u g l l l l e s s ye ta l ， 2 0 0 碡) ，以及研究学生在院较数撵集时碰到变异是怒榉处理的删i n 2 0 甜； w 撕o n m o 觑，1 9 9 9 ，2 3 ；w 勰o n ，2 0 0 l 2 0 0 2 ) ，w 蕊o n 等人( 2 0 0 3 ) 还尝试梅造一套 浮徐蘧嚣寒溺鏊学生鼹獠攀壤壤、接撵壤壤戳及数攥蠢灏表孛交努瓣瑾辫。 辩变要憨壤鳜浆辑究之掰戮越步鞍瞧，滁了兹瑟鬟爨豹遴入每夺攀瀑稷辩鬻不 长叹及传统教学稻谱徐撼注意力过多遮放在了计算上，遂商个黧要驻困是其研究 的难度。就变异这个概念而言，很难对其内涵进行剖析，预且要舞清学生对变异性 这个思想的理粥很困难，不知道葱样去探究学生的思考过程，肖豹也不好用语言表 达。 我国的谖瑕标准基经注意到了概率统计教育中要帮韵学生认识变异，我国静义 务教育数学课糍标准及其勰读中，提到了与变异相关的内容，如； “体会不嚣豹撼转哥2 褥列苓瓣瓣缝采；” “终会糕率懿意义，了麓频率黎壤搴夔关蓑。”( 鼗学漾糗舔臻疆裁缀，2 0 驼，参 p 。2 4 - p 2 繇) 在普通高中数学课程标准及其解读中也有相关论述，如： “明确样本酌信息与总体的倍息存在着一定的差异。样举所提供的倍感不完全 确定，每次抽样所确定的信息都不能保证是完全一样的，魁个变辩的量，这 第l 章引言 是抽样的随机性所决定的。” “邂一步了解概攀的意义以及频率与概率的隧剐频搴不是一个完全确定的数， 随试验的不同产生的频率可能不阕。”( 数学谍程标准研奄l 维，2 0 髓，p 1 0 4 - p 1 2 1 ) 可以看到，课程标准已将变异贯穿在其韧中和高中的概率统计教育中，但令人 遗撼粒是秀傍漾程标准对不羼学段黥学生掇蹬了类议豹教学髫标，递逮黝层次不涛 晰。所以我彳f j 有必要深入细致魄了解学生对瓷拜的认识现状和认知过程，为概率统 计课程设计提供有益的建议。 1 3 磺究遮题 本研究关注高中生及师范嫩对变异性的认识，具体地说，本研究旨税探讨以下 四个问题： 。 本文研究的问题在灏际上来褥，是一个较新的课题，美网、澳大利距及一熄西 方国家静学者惑经超多，嚣霞内述没考查要l 相关类钕的磅究。零文蓑蘩遵过瓣衰 中生和师范生对变异性认识的现状来呼吁课程设计潜和教师对变异思想引起关注， 闻瞳，辩学生浚识变弄秘困难器瘢结繇在裔所发魏，为改逶教搴季编写鞠教学挺供一 些理论研究的依据。 第2 鬟文裁磺究 第2 章文献研究 2 。l 交勇牲及交异静度耋方法 统计学研究同类现象总体的数量特征。总体各单位的特征表现存在潜差异，这 些麓异并不是由浆种特定的原因事先给定的，统计上把总体番单位由于鼹机因素引 超瀚菜一标志表璇静差异称为交异( 黄受文，黼0 ，p 3 ) 。 “变异”怒本文的一个关键词，它既 旨不确定事物姐乎随机因索引起的特有 的变异性( v 撕a b i l 砖) ，又指对这种变异性避一步的描述釉度量( v 撕a 畦o n ) 。 “变异”是个大概念，在不同的情境下，它有着不同的具体的含义。在概率中， 每个随机事件都有各自发生的概率，这个概率与随机事件实际的发生频率是有差异 的，但这个差异程度可以根据统计学进行估计：另外，重复实验或抽样的结果也是 不确定的，可变的，但这些结果之间也有着统计规律。所以在概率情境中，变异主 要体现在两个方面，一个是理论概率和实际频率之间的差异，另一个是重复试验所 得结果之间的差异。在统计中，变异主要存在于不同样本带来的不同数据或结果中。 在利用样本信息推断总体有关信息时，就要注意其中的变异，包括样本与总体间的 差异：单个样本中个体间的差异；来自同一个总体的几个样本之间的差异，等等。 总体各单位的变异表现出个别现象的特殊性和偶然性。但统计工作，即对现象 总体的数量研究，则要从各单位的变异中归纳概括出他们的共同特征，显示出现象 的普遍性和必然性。这就是统计认识方法的特点。 在统计学中需要测量变异大小，因为对于不同的观测数据，如果仅仅考查算术 平均数，将会掩盖数据间的差别。两个分布的集中趋势相同，并不表明两者分布特 征完全相同，因为可能它们的变异状况或离散程度存在明显的差别，离散程度不同， 就意昧着变量在平均数周围分布的密集程度不同，从而同样的平均数对于两个总体 显然具有不同的代表性( 耿修林、谢兆茹，2 0 0 2 ，p 7 4 p 8 2 ) 。 离散程度的度量指标主要包括：极差、分位数差、平均差、标准差或方差、变 异系数等。极差作为反映观察值离散性的统计量，作用是有限的，它反映变量分布 的变异范围或离散程度，极差只考虑最大的观察值和最小的观察值，却不顾及数据 中其他数值的差异，它反映的离散信息极不充分。它可能会夸大样本间的离散程度， 随着观测值的增加，极差可能会变大。分位数差能避免极端值对变异指标的干扰， 第2 章文献研究 但它没有考虑各个观察值本身的信息。平均差是绝对离差的平均值，它能概括反映 总体所有单位的标志值变异状况，因而可以作为刻画分布的离散程度的一个综合性 指标，但平均差使用了绝对值，在代数运算上显得不够方便，标准差与方差计算过 程比平均差简便，数学性质也较为理想，是统计分析中最常用，也是最重要的变异 指标。但在比较几组数据集间的差异时，上述这些测度可能无助于结果的解释和说 明，这时变异系数更能反映问题。变异系数是将前面几种测度除以平均数，即把算 术平均数与离散趋势联系起来的又一个测度，如有极差变异系数、分位数差变异系 数、平均差变异系数和标准差变异系数等，它们更能体现变异的相对性。 2 2 相关研究 国内在概率统计方面的研究刚刚起步，发表的文献不多，虽然在李俊的概率理 解研究和王秀军的抽样理解研究中( 李俊，2 0 0 3 ，王秀军。2 0 0 3 ) ，都涉及到变异 在概率和统计中的表现，但因为她们的研究主题不是“变异”，所以并没有就中学 生对变异的理解予以阐述。对于变异性，无论是教还是学的问题，笔者还没有查到 国内的相关研究。下面就本文所研究的问题逐一评述相关的国外文献。 对变异存在性的认识 w a t s o n ( 2 0 0 3 ) 认为，虽然学生觉得解释变异不容易，但他们对存在变异这种直 觉却很强。w 撕o n 和k e l l “2 0 0 2 ) 曾研究小学三年级学生是否能学习变异，结果发 现即使是三年级的学生也能意识到变异的存在。在装有l o o 粒糖( 5 0 粒红色，2 0 粒绿色，3 0 粒黄色) 的盒子中摸出l o 粒糖的任务和根据某个城市一年平均最高气 温1 7 。c 来画出这年每天最高气温的图的任务中m ，2 0 0 5 ) ，3 到9 年级的学生对 结果间的变异都表现出很强的直觉。比如，在上述摸糖任务中要求学生预测摸到的 红色糖数目，学生会用“5 粒左右”这样的表述，所有学生都认为若重复摸几次， 结果可能是不一样的。在上述天气问题中所有学生都承认气温会随时间而变化，学 生提到“一天可能冷，后一天可能更冷”等。这些学生虽然在最低和最高气温的范 围内给出一个合理值时有困难，但要求他们预测一年中某六天的气温时都列出了六 个不同的数字。因此，在小学就让学生讨论一些具体情境中的变异是可行的，但需 要引导他们建立对变异合理性的认识。 s h 踟g h 矾s s y ，c a l l a d a 和c i a l l c e 仕a ( 2 0 0 3 ) 研究美国6 、7 年级学生在重复实验和重 复抽样的任务中，如何考虑变异性。发现不同任务情境中学生对变异存在性的承认 第2 章文献研究 是霄熬剐的。第一个侄锻楚抽样任务，在一个装有1 0 0 粒糖( 醐敝缎色，4 0 粒黄 锼) 瓣鑫子中摸密1 0 敉糖，记下貘爨豹数色耱懿数鏊，霉藏鹜揽匈，重复摸6 次， 让举艇预测会出现静绥暴，在8 4 名参与礤究靛荚国秘孛生里，炎蠢7 名学生回答 6 个6 ，第二个任务是抛掷均匀骰子6 0 次，让举生预测每个数字各会出现几次，有 4 6 名誉生的回答是6 个l o ，第三个任务是转个一半熙一半囱豹转盘，六个学生 螽转5 0 次，分裂远下凑镑糖在冀魏熬努夔次数，谴学燮霉窭一缀6 个数豢寒攘述 可能邂淡静结聚，喜1 3 个学生写了6 令2 5 ，霹愆，奁彀子强努中零太承诀变冥瓣 越势较强。作者在反恩邈种现象时认为，柱概翠模型比如均匀分布的骰予实验中， 我们经常让学生计算馨个枣件或特定结果发擞酌概率，丽忽视嶷鼯熬复实验中会出 璇鹣变异，我 f 芎畏少绘学燃艇会发展毽 f j 辩鬟鬟实验中结果爵麓蒎潮豹直觉认识， 掰醴京遮释淹毯情境下，学生更容易释崮臻论期鏊值作为答寨。翔祭我l l 想让学生 在备种情境下注意至变异。那么我们必须在缴学中有意加大对变异的关注，尤其是 裰掷徽子这样的活动过稷中。 对燮黪大小的认识 c 黼醚a ( 2 建变了一个瑾论框架来研究职懿小学教帮在黧笈抽样、数援努毒 和糍率结果这三个倍壤中爨怎样预测变异、媵舔变异以及怎样解释嶷舜的。襁发现， 这魃职前教师虽然对数据中心有很好的认识，德他们在以下两方颇有困难，一是根 瓣袋个实验情境( 如从罐子中挨糖) 预测数缀分布的实际离散稔发，缝们预测的数 撵体瑗豹交舅簧么太蠢、，黉么太大；另一个怒慧样躅分奄嚣震黎隧攒鞠祥耪概率实 验巾会粥现的交舞，学象躐豹分布圈不太麓髓舔恰当静变异，镪翻常常画对称静藏 线，不考虑实际情境中的变异。另外，许多职前教师认为在随机实骏中，任何事情 都会发生，所以_ 缭出慧撵麴数据分布图都可以。经过教学于预爽戮聪，这些职前教 器瓣炎筹懿壹鼹谈瑷壤强了瞧霪】更宓瑟礁骥交雾豹存在，颈鞭l 爨德会实舔，霹交 彝耱期望更鸯l 乎餐，麓分蠢豹描述更勰事蹇，诀诞到分蠢是一令慧黉的概念。这一 研究述发现被试在描进分布时关注的特，饺与他们对变异的直徽认识之间具有潜在 的联系。 焱女# 嚣搓奎l 过麴s 鼬馥矗e s 瞄e 繇翻a 秘c i a n c e 强豹磅究孛，魏稍也考豢了学生 鼹焚羚大小合理性熬邂螭，能 j 发璎，在擒撵秘务、转蠹任务器黢予任务孛，依次 商7 0 、4 8 和3 0 的学嫩回答体现了合理的变异大小，不少举嫩给出的是没有变 第2 章文献研究 异或变异过小的回答。在骰子任务中，他们往往强调“均匀骰子”几个字。s l 舢n e s s y 等人依然把这种现象归结为理论计算对学生思维产生影响，导致他们在做题时把注 意力放在理论值上，因而忽视了变异，当然也就忽视了对变异合理性的考虑。 w 缸s o n 和k d l y ( 2 0 0 3 ) 研究了中小学生对概率情境中变异的理解，她们的所有 测试题都以一半黑一半白的转盘为情景。有五题是测试学生的一些预备知识，看学 生是否知道这里涉及到的理论概率，是否会读散点图：有四题是考察学生在预测单 个实验结果或重复实验结果时有无意识到变异的作用；另外四题研究学生怎样描述 恰当的变异，是否能辨认出已给分布中恰当或不恰当的变异。她们的研究发现，在 测试题2 中( 转一个一半黑一半白的转盘5 0 次，你认为有几次指针指向黑的一面) 意识到变异存在的学生很少，3 、5 、7 、9 年级分别只有5 3 、7 2 、1 9 6 、1 2 5 学生意识到变异，其他学生都填了理论值2 5 ；在测试题5 ( 将测试题2 中的实验做 六次，列出六个结果) 中能描述恰当变异的学生也不多，各年级分别有3 6 o 、 3 2 6 、2 2 3 、1 8 2 的学生描述了恰当的变异。这个恰当变异的范围是作者通过 用e x c e l 模拟实验得到的，将测试题5 中的实验模拟1 0 0 0 次，对每次得到的六个结 果计算标准差，再画出这1 0 0 0 个标准差的分布图，然后用分布的中间9 0 来决定 恰当的变异范围。他们发现。给出恰当变异的学生比例随年级升高而下降，但另一 方面，填六个都是理论值( 即，6 个2 5 ) 的比例随年级升高而增加。 下面两个研究涉及到了学生对变异大小与样本大小间关系的认识。 m e l e t i o u ( 2 0 0 0 ) 在博士论文中有一个问题研究学生如何认识总体的变异、单个 样本内的变异和样本平均值的变异以及三者间的联系与区别，作者在测试题中给出 了一个平均值在7 、8 之间的总体分布图，假设从这个总体中抽取大小为l o 的样本 并计算了平均值，要学生从l ，6 ，8 ，l o 四个数中选出最不可能是该样本平均值的一个 数，结果所有学生认为l 最不可能。可是，说若再抽取大小为1 0 0 的样本，让学生 判断1 为样本平均值的可能性是否与前一样，结果有2 2 的学生认为不一样，因为 他们认为样本大，变异大，所以得到极端值的可能性就大。作者认为这样的误解会 影响对抽样分布的理解，所以要使学生学好抽样分布，必须先让学生对变异有好的 认识。 s a l d a i l i l “2 0 0 4 ) 在大学生的统计课上设计了一系列教学活动，目的是让学生能 推断所抽样本对于已知总体来讲是否是异常的。其中有一个活动是让学生探索抽样 篱2 章文献骈究 变异性与样本大小的关系，活动是要在一个混合总体( 其中某一项目的百分比是已 知的) 中重复抽样，学生的困难是不能把总体，样本，总体比，样本比可取值的范 围，样本集，组成一个集合的样本个数，组成样本的个体的个数等概念建立成一个 关系网，以至于很多学生不能认识到样本大小和样本变异性的关系。 在辨别真伪中考查学生对变异的认识 s h a u 2 加e s s y 等人( 2 0 0 4 ) 曾研究过初中和高中学生在判断分布真假时如何考虑 变异性，探索学生对变异的存在性和作用有怎样的理解。他发现学生在一些问题情 境中的确能注意到变异的存在，在判断抽样分布的真伪时，他们能关注一些反映数 据变异的特征。从学生的理由中发现，学生最容易注意极端值，认为出现极端值的 话，这样的变异是不合理的，接下来依次是关注分布形状、关注离散程度、关注中 心。另外，他发现学生对变异有几种理解：认为变异是出现极端值或可能的奇异值； 认为变异就是离散；认为变异就是表现在散点图中垂直方向的高度；认为变异在于 离中趋势的形状，或范围小点，认为变异就是离开期望值的距离。d e l m 豁和l i u ( 2 0 0 5 ) 的研究发现大学生在比较分布的标准差时，认为变异就是“远离平均值”，他们在 计算机上探索标准差大小时，努力将直方图的条块尽可能远离平均值以增大标准 差。 在比较分布或数据集中考查学生对变异的认识 d a 血b e n z v 2 0 0 4 ) 通过一个比较分布( 关于两个国家人名的长度) 的任务，研 究两个7 年级学生对分布中和分布间变异性的意义建构及认识过程。老师先向学生 介绍各种统计工具以帮助他们建立推断性的说理，如，频数表、百分比表、统计量 和统计图。通过观察频数表，学生注意到了变异并形成了自己的假设，他们用百分 比表来验证自己的猜想，然后他们比较两个分布的最值，比较极差，比较平均值。 他指出学生对这样的任务存在困难，主要是他们观察数据时往往只看单个值或一部 分值，不会将数据集看作一个整体，从而难以描述其中的变异。作者认为学生对变 异的推理需要各种支持，包括计算机工具的使用、统计工具和统计方法的掌握和教 师的引导。教师必须精心设计这样的任务和教学才能促进学生对变异的认识。在上 面提到的s l l a u g l m e s s y 等人的研究中，有一个比较数据集并作决策的任务，他们发 现9 1 7 的被试在比较数据集时能描述数据集内和数据集间的变异，但在决策时能 考虑变异的学生降为4 1 7 。 第2 章文献研究 其他关于变异的研究 s h a u g h n e s s y & c i 趾c e t t 2 0 0 2 ) 用转转盘指针的任务考察学生对变异性的理解， 他们发现学生对变异的理解同对概率中的样本空间的理解是有关系的，知道概率分 布，样本空间可以使学生较好地预测转转盘游戏l o 次中获胜的次数范围，相反， 收集l o 次转转盘游戏的信息，即了解随机变量( 舻1 0 次游戏中获胜的次数) 的 范围，可以使学生自己准确地发现样本空间。也就是说，学生可以通过模拟实验建 立起重复实验结果的数据变异与根据样本空间或概率分布来预测实验结果这两者 之间的关系。但还是有学生在亲自实验得到与自己想法相反的结论后仍保留了原先 的错误认识，比如说同时转两个一半黑一半白的转盘，都转到黑才算赢，有个学生 尽管在十次实验中得到了3 次赢的结果，他仍然认为，赢的概率是5 0 。对于这些 学生，他们没有看到数据与游戏之间的关系。这又一次说明了要改变学生关于概率 统计的错误认识是很困难的( s h 锄】9 1 1 n e s s y ，1 9 9 2 ) 。 第3 章研究设计与实施 第3 章研究设计与实施 本文主要采用定性的研究方法，测试题的设计和对学生回答合理性的评判中也 使用了一些统计分析的工具。数据收集主要采取问卷测试和访谈两种方式。下面主 要就研究对象的选择，测试题的编制和调查实施等几方面介绍一下研究的设计与信 息收集过程。 3 1 研究对象 本研究的研究对象是上海两所高中的高一、高二和高三学生和华东师范大学数 学系大三的部分学生。这两所高中，一个是重点中学，另一个是普通中学。高一、 高二和高三每个年级调查了四个班，两个来自重点中学，两个来自普通中学。 这两所中学用的教材都是上世纪9 0 年代中期由华东师范大学出版社出版的上 海一期课改教材，所有学生都在初中学过一些统计图表知识，包括频数直方图，高 三学生学过概率。 表3 1 ：高中样本情况 高一高二高三 桐柏高级中学 9 29 48 7 复兴高级中学 9 39 89 8 注：普通高中( 桐柏高级中学) 收回问卷2 8 2 份，9 份无效问卷，有效样本2 7 3 ； 重点高中( 复兴高级中学) 收回问卷2 9 4 份，5 份无效问卷，有效样本2 8 9 ； 师范生( 华东师范大学数学系0 3 级学生) 收回问卷1 1 3 份，6 份无效问卷，有效样本1 0 7 。 把师范生也列入研究对象是想了解这些未来的数学教师对变异性的认识，他们 在大学二年级已学过概率论与数理统计教程。“教师是实施课程的关键因素，概 率统计教学的关键因素之一也是教师，世界各国在数学课程改革中，共同面临的问 题是受到师资水平的制约。如何提高教师的数学素养及教育素养以适应数学课程改 革的需求，这正是世界各国亟待解决的问题”( 数学课程标准研制组，2 0 0 4 ，d 3 2 ) 。 概率统计在研究对象与方法上与以前学过的确定性数学有所不同、学生对概率统计 基本观念的建立尚有一个形成过程。我们已经看到，很多学生开始学习概率统计时 会出现不习惯、不适应、不理解( 甚至不相信) ，从而大大影响学习效果。如果教师 自身对概率统计的相关内容也不习惯、不适应、不理解，那么显然会影响学生的学 第3 章研究设计与实赭 习效果。所强我嚣j 有努鼗搐清楚在大学里刚阐正式受过概率统计靖谰斡i 带薄生对交 异性的认识情况。实际上已经有很多研究对教师的数学知识给予丁很多关注，例如 不少研究潺鸯了教雾翥或寒来教；蘩瓣箨术运算、函数、极限等知谈鹣理鼷袋凝。 本研究总计有研究对象6 6 9 人，其中师范生1 0 7 人，中学生5 6 2 人。 3 。2 数据编码 为了便于统计，笔者对调查的学生进行编码。师范，圭的编码与他们的学母相似， 只怒在意面又潮了g ( 袭示女生) 躐b ( 表承勇生) 魏，描1 5 l l l 0 1 9 。 高中生编码如t b l 0 5 3 0 b ，现说明规则如下： 1 蔫两个英文字母袭示嚣掰学校，国表拳溺稻毫缴中学，敦表示复兴蓠缀串学； 2 接下来一位数字表示年级，1 、2 或3 ； 3 再接下来夔嚣袋数字表示班级，穰翅濒、l l 等； 4 接着的两位数字表示学号： 5 。接黄鸯一位字母袭搴学生熬犍裂，b 表示勇生，g 表示女蹩；未写魏弱，蚜 记作x 。 上面的那个编娲表零棍柏寒级孛学离一5 班学号必3 0 的要擞。 3 3 测试题 姚g & s 羲翮馥燃浮缮2 ) 谈鸯疆究褒雾一令较大霭难楚绫少努懿测试题， 学生已经习惯干回答有唯一答案的问题，比如说：这个攀情发生的概率是多少? 这 个麓鋈售是多少? 这令警缘数是多少? 僵蹩鼹这样黪阏蘧挂往考察苓至l 交雾熬思 想( s h a u 寸l n e s s ye ta l ，2 0 0 4 ) 。所以寻求答案不确定、不唯一的开放题也许怒本研究 必须的选择。 下面按问卷上的题圈顺序介绍一下测试题的设计意图。 翦四题郝与概率情境的抛掷彀予实验有荚，第一题要求学生预测假定抛次， 每个数字会褥至日几次。较合理的答案不是理论值，部每个数字都得到l o 次，而是 应该在理论值基础上有一点恰当的变他，所谓恰当，笔港是这样判断的：先翊e x c e l 模拟抛掷骰予实验1 0 0 0 遍，每遗通过随机竭数产生6 0 个1 6 之间的整数来实现模 拟抛掷骰子6 0 次，再统计这6 个数字在6 0 次中各出现几次，这样最后就得到l o o o 组数，每组数记录了毅予各面数字出现的次数，比魏说1 2 ，8 ，1 3 ，6 ，1 2 ，9 ，表豕1 2 次 1 2 籀3 肇赣褒设计与实掩 据捌l 点，8 次撵到2 点等等，然君算出褥组数静交异系数，遗个交异系数是标 准麓变异系数，它能较好地反映出六个数字出现的频数在理论值附近的变异情况， 然舔将l 0 个交吴系数4 痔，去捧两头各2 5 令数，褥瓣了孛润9 5 静数t 其孛静 最大值和最小值就是笔翡认为的变异系数所在的恰当辩围，笔者模拟了3 个1 0 0 0 次，发现3 今埝姿区淘蒗嚣缀据邋，分嗣是o 。| 2 诵5 1 9 ，0 + l 毒l 一0 瓣窝0 ，1 2 6 国童孵， 最后笔者确定这个晗当范围是0 1 2 6 _ _ o 5 1 。如果答案怒六个1 0 ，那么相威的变异 系数是0 ，落农埝堂蔻溺之癸。这个方法与文敷孛硎撼髓溪爱瓣方法是类 基戆， 不问在于她算了标准差。而本文为了与第三越的变异大小作比较算了标准麓变异系 数，勇外一点楚她取的激围是模羧实验结暴的中闽9 0 ，本文取了模数实骏结果戆 中删9 5 。 第二题要求同第一燧，假定学生再抛6 0 次，问学生这次每个数字各得到几次， 旨在研究学生是否意识到重复实验可能产生变化，所以在评判学缴第二题签案时还 要与第一题答察作比较，一看两题所填的六个数是否都一样，以判断学生露没有意 识到重复实验结果问静变化。二肴变异系数照否在恰当范围内，珏考察学敷对变异 大小恰当性的认识。前两题都要求学生写上理由，以大概反映学敷的想法。 第三题假定糖6 0 0 次，让学生藏每个数字密现次数豹煮方圈，标上次数。有些 学生的答案是一条直线，六个l o o ，在这题中这样的答案被认为熄不合理的，笔者 穗辩类 娃予第一题串静模叛实验，褥羁繇o 次撵毂子实验结栗的变舅系数的俭当 范豳是0 0 4 。o 1 6 ，在模拟实验的结果中没有一次出现6 个1 0 0 ，所以。笔者对6 个 l 静霞答猿然爨菇落在会瑾交舅嚣舞之辩，毽是，麓第三瑟憝详麓还联系祷露踅， 即如果第三题的变异系数都小于第一题和第二题的变弊系数。那么认为该学生在直 鼹上基意谖裂了襻本大小与交舅豹荚系。絮聚菸三遥交器系数都程台璎蔻夔海，量 第三题变异系数小于第一题和第= 题的变异系数，那么就认为这样的学生对变异的 存在连帮会毽瞧都奏缀好翁认识。 前三题的设计参考了国外的研究，但他们的研究中只涉及本研究的第一题，没 番第二题和繁三疆。增嬲蜃秀题饿题曩彩戏链接，霹额乡 提供一臻毒意义豹信惠。 另外，笔者还想结合第圈题和第五题中的部分信息进行综合分析来研究学生对变异 存在性认识建孬一致，学生的认谈是否受不闭阕法，不网情境靛影响。当然第四题 和第五题还有其他的测试目的。 第3 章研究设计与实施 第四题到第六题研究学生对变异合理性的认识。第四题条件同第三题，但要求 不同，要学生画出他们认为伪造实验数据得到的两个直方图，画两个图可以更充分 展示学生对不合理变异的认识。本题主要看学生会利用哪些特征在伪造图上体现不 合理变异。 第五题给出了一个在装有7 5 0 个红球和2 5 0 个黄球的容器中摸球的情境，题目 中有1 5 组实验数据，要求学生判断出哪几组数据是伪造的，并说明认为其伪造的 理由。本题主要目的是研究学生认可怎样的变异，又从哪些方面来判断变异的合理 性。特别地，文献中提到的极端值、期望值、重复值、平均值、和标准差( 方差) 等我们的学生是如何考虑的，比如，他们认为数据中出现怎样的极端值是不合理、 不可接受的等等。 下表揭示了编制这1 5 组数据的设想。笔者用矿拟合分布来判断这些数据与理 论分布的拟合程度，拟合度不好的就认为是伪造的。 维是否题 数据特征说明f 值 度合理号 极 7 3 ，4 0 ，8 l ，8 3 ，7 4 ，7 8 有一个极端值 9 7 5 3 l1 5否 1 端7 3 ，4 0 ，8 l ，9 5 ，7 4 ，7 8 有两个极端值 3 7 3 0 4 9 3否 6 值 7 3 ，7 0 ，8 1 ，7 6 ，7 4 ，7 8 没有极端值 5 1 4 8 5 6 1 是 1 l 期 7 5 ，7 5 ，7 5 ，7 5 ，7 5 ，7 5全是期望值 5 9 3 5 9 7 否2 望 7 4 ，7 l ，7 5 ，7 9 ，7 6 ，7 3有一个期望值 7 1 3 8 0 8 5 是 7 值 7 4 ，7 5 ，7 5 ，7 9 ，7 5 ，7 3 有三个期望值 1 5 6 7 6 8 3 是 1 2 重 7 2 ，7 8 ，8 1 ，7 8 ，6 8 ，7 6 重复两次 1 2 6 1 9 8 7 是 3 复7 2 ，7 8 ，8 1 ，7 8 ，6 8 ，7 8重复三次 2 1 9 0 0 8 6 否8 值 7 2 ，7 3 ，8 l 。7 8 ，6 8 ，7 6 无重复 8 0 1 4 2 l 是 1 3 皿 8 1 ，6 7 ，8 4 ，6 6 ，8 3 ，6 9 平均值是期望值 4 & 2 4 4 8 7 否4 均 6 7 ，6 0 ，6 1 ，6 9 ，6 3 ，6 8平均值偏小 3 8 0 7 5 0 5 否 9 值 8 4 ，8 2 ，8 6 ，8 5 ，7 6 ，7 9 平均值偏大 2 7 5 6 7 9 2否 1 4 标 7 2 ，7 8 ，7 3 ，8 1 ，6 9 ，7 4 标准差近似于理论值 8 0 6 2 6 2 5 是 5 准 7 4 ，7 3 ，7 8 ，7 9 ，7 6 ，7 7标准差偏小 5 3 6 8 3 2 4 是 l o 差 8 3 ，6 5 ，7 1 ，8 4 ，8 2 ，6 4标准差偏大 3 4 8 6 6 8 4否 1 5 注：i 临界值是2 1 0 3 ，第8 组数据z 2 值与它很接近 4 第3 章研究设计与实施 第六题与上题一样，还是在那个装有1 0 0 0 个球的容器里摸球，但作了两个变动， 一是摸球的数量减少了，每次实验一下子只摸出1 0 个球，重复摸5 0 次，记录摸到的 红球数，最后画出频数分布直方图，要求学生从所给的五个图中指出他们认为伪造 的图，并要求说明理由。二是数据表达形式变了，上题是数字形式，本题是图的形 式。所以安排本题是想从图形的角度再一次研究学生对变异合理性的认识，研究学 生在判断一个图是否伪造时，是从特殊值、分布、数据中心和数据离散程度等哪些 途径入手的，与第五题形成呼应。所给的五个图形中，图b 、d 和e 是伪造的，这个 结论依然是笔者用妒拟合分布判断得到的。 其实这几题也考察了学生对分布的理解，分布能直观地表现出数据的变异，研 究学习者对变异的认识与研究他们对分布的理解有着密切联系( m a k 甄k & c o l l 矗 j ，2 0 0 5 ) 。 第七题主要考察学生在比较数据集并作决策时对变异的考虑。问题背景是学生 熟悉的一一看电影前的等候时间。题目中给出了两家电影院等候时间的数据，用表 格和统计图表示，要求学生回答下面三个问题：( 1 ) 对这两家电影院的等候时间， 你能得出什么结论? ( 2 ) 有同学说这两个电影院的等候时间没什么区别，因为它们 的平均等候时间相同，你同意他的观点吗? 为什么? ( 3 ) 如果只考虑等候时间，你 会选择在哪家电影院看电影? 为什么? 本题考察学生基于数据信息决策时如何考虑数据集内和数据集之间的差异，如 何进行决策。如果学生的决策完全凭自己的主观意愿而不考虑数据，那么就反映出 他们决策时没有考虑变异；如果学生能综合数据中心和数据变异进行决策，并提供 可靠的依据，那么就反映出他们较强的决策能力，本题中的好决策体现在能整体考 虑数据集并考虑到两电影院等候时间的不同变异，决策依据可靠而并非出于侥幸心 理。 3 4 实施 在作正式的调查之前，笔者在桐柏高级中学的一个班( 非正式调查的班) 做了 预测，目的是想知道学生对这张试卷有没有语言上的障碍、题目的难度如何以及完 成测试需要的时间量。预测时，大部分学生用2 0 分钟完成了测试卷，为了给正式 测试的学生较充裕的时间，决定正式测试时间为3 0 分钟。在预测过程中，发现有 些学生没有写理由或理由模糊，有些学生没有看清楚题意就急着做题，有些学生使 第3 章研究设计与实施 用了计算器，为此， 正式调查的时候，要求监考老师在考前念淀意点如下： f 1 ) 奄清题塞霉徽避，3 分锋瓣瓣闼较充豁； f 2 ) 要求写理由的一定耍写，并表达瀵楚； 0 ) 使用计算器的话，写下计算过程。 每个班鸯一个蕴考老舞，是该滚臻主谨或数学老嚣，要求整考老| 萃蕊罄学生一 定写上理由，笔者作为巡考。 虽然这样做了，还是有学生不写理由或没有答完全部测试题。笔者也发现高中 生的佟艟量隗较大，所良在傲测试卷韵辩侯可麓遘褥“不太专心”或急着究成这个 “额岁 任务”，剪个筹h 学生只答了第一页上戆题，只能终为无效闯卷。 中学的测试分四次完成，每次三个班，由于条件限制，每次测试都在中2 f 进行。 大学生的测试楚一次完成的， 谤淡豹砖象主要是一黧答寨袭述不溃豹学黛，或者答寨援示文崽维矛矮数学 生。共计访谈6 3 人，访谈对象不限定性别和学习成绩，旨在考察他们在答题的过 程中是如何想的。访谈的内容不怒整张试卷的鼷目，主要是最后两蹶，因为这两蹶 爝文字表达清楚意懋不容荔，两谤谈毒戳褥到受多酶僖怠。不溺学囊静诱谈内容经 常是不样的。 访谈时用m p 3 泶音。以便记录和整理。访谈的时间一般是中午休息时间( 这 两个高中中午都安摊相关教师迸教室讲f 管业或举生做作业) ，一个斑的访谈也就双 l 控铡在一繁漂对溺之内。大学燮豹访谈主要零l 曩l 双然臼豹辩闼。 所有访谈都是个别访谈。 1 6 第4 章学生对变异存在性的认识 第4 章学生对变异存在性的认识 本章主要研究学生对变异存在性的认识，一方面研究学生是否注意到变异的存 在，主要考察有没有注意到理论值与实际结果会有差异；有没有注意到两次实验的 结果可能是不同的；是否在有提示的前提下才会注意到变异而不会主动去关注变 异；是否一致地承认变异的存在性，即学生对变异存在性的认识是否受问题类型和 问题情境的影响。 第四章、第五章将主要分析学生前三题的回答，有必要先了解一下学生在前三 题中的整体表现。 表4 1 ：学生前三题整体表现情况统计 一普一重二普二重 三普三重师范生总计 ( 9 2 ) ( 9 3 )( 9 4 )( 9 8 )( 8 7 ) ( 9 8 )( 1 0 7 )( 6 6 9 ) 三题全有变异 5 05 34 34 72 86 84 83 3 7 5 4 3 5 7 0 9 64 5 7 4 8 0 9 63 2 2 6 9 4 4 4 9 5 0 4 前两题有变异第三 48647453 8 题无变异4 3 8 6 6 “4 1 8 0 9 6 4 1 4 7 5 7 前两题无变异第三 62765463 6 题有变异6 5 2 2 7 “6 1 5 7 4 1 5 6 5 4 前两题有一题无变 7 376 1 3224 0 异第三题无变异 7 6 3 2 7 4 6 1 1 4 9 2 0 1 9 6 0 f ； f 两题有一题无变 5482 6563 6 异第三题有变异 5 4 4 3 8 5 2 0 9 66 9 9 65 1 5 6 5 4 三题全是理论值 1