（凝聚态物理专业论文）颗粒体的弹性与分层的研究.pdf

摘要 在人类生活的环境里，颗粒物质无所不在，并在工农业生产中扮 演有十分重要的角色，所以对颗粒系统的研究就显得尤为重要。在最 近几十年来，对颗粒系统的研究取得了丰硕的成果，颗粒系统作为一 种特殊的凝聚态系统，即表现出固体的性质，又具有某些液体的性质， 但对某些性质还没有得到充分的解释和圆满的解答。例如，当颗粒的 形状和大小满足特定的关系时，为何形成的颗粒堆会出现自发分离和 分层现象的动力学机制没有给出其严格的解释。以及通过空间平均每 个颗粒内应变的方法不能得到无粘性颗粒材料的宏观应变，位移矢量 场和应变张量场，由于它们一般没有粗粒化平均性质，是否妨碍以平 衡态热力学为基础的宏观应变概念和弹性理论对静止颗粒体的有效 性。 本文对颗粒体的自发分离与分层的机理进行了探讨，认为颗粒体 的自发分离与分层主要是由于颗粒体的大小和形状不同在形成颗粒 堆的过程中所造成的惯性和内摩擦角不同，特别是不同大小和形状的 颗粒体在不同的位置具有不同的内摩擦角，造成不同的颗粒具有不同 的稳定性。并根据体积守衡的原理，估算了分层所造成层( 或波长) 的厚度。 本文通过对理想固体、颗粒体和液体平衡态区域的比较以及用一 个简单链模型对弹性模量的介观推导，表明平衡态热力学为基础的宏 观应变概念和弹性理论对静止颗粒体的有效性，因此从宏观上看，颗 粒体的主要力学问题是如何在古老的弹性理论结构框架内合理地找 出它的应力应变关系。 关键词无粘性颗粒体，应变，弹性，粗粒化 a b s t r a c t i nt h ee n v i r o n m e n to fp e o p l e sl i v i n g ，g r a n u l a rm a t t e rh a v e e x i s t e di na n y w h e r e ，a n dh a v eh a di m p o r t a n tr o l e si n p r o d u c t i o no f a g r i c u l t u r ea n di n d u s t r y , s or e s e a r c ho fg r a n u l a rm e d i ah a v es h o w e dm o r e i m p o r t a n t i nl a s ty e a r s ，r e s e a r c ho fg r a n u l a rm e d i ah a v ea c h i e v e df r u i t f u l a c h i e v e m e n t b e i n gak i n do fs p e c i a l l yc o n d e n s e ds t a t es y s t e m ，t h e y r e p r e s e n tb o t hs o l i d - l i k ea n dl i q u i d - l i k ef e a t u r e s t h e i rf u n d a m e n t a l i t y c h a r a c t e r sh a v en o tb e e ne x p l a i n e dd i s t i n c t l ys of a r f o re x a m p l e ，w h e n s i z ea n ds h a p eo fg r a n u l a rm a t t e rc o n t e n ts p e c i a lc o r r e l a t i o n ，m e c h a n i s m s o fg r a n u l a rs p o n t a n e o u ss t r a t i f i c a t i o na n ds e g r e g a t i o nh a v e n tg i v e ns t r i c t e x p l a n a t i o n ，a n df o ras t a t i cc o h e n s i o n l e s sg r a n u l a rm a t e r i a l ，i ft h e r ea r e s a m ev a l i d i t yo ft h en o t i o n so fs t a i na n de l a s t i c i t yf o rt h eg r a n u l a r m a t e r i a lb e c a u s et h e ya r eb a s e do nt h ee q u i l i b r i u mt h e r m o d y n a m i c s i nt h i s a r t i c l e ，w ei n v e s t i g a t e m e c h a n i s m so f g r a n u l a r s p o n t a n e o u ss t r a t i f i c a t i o na n ds e g r e g a t i o n ，w et h i n kt h a td i f f e r e n ti n e r t i a a n dd i f f e r e n ti n t e m a la n g l eo ff r i c t i o nd u r i n gf o r m i n gg r a n u l a rp i l er e s u l t i ng r a n u l a rs p o n t a n e o u ss t r a t i f i c a t i o na n ds e g r e g a t i o nd u et od i f f e r e n ts i z e a n d s h a p e h a v e n td i f f e r e n ti n t e r n a l a n g l e o ff r i c t i o ni nd i f f e r e n t l o c a t i o n ，s od i f f e r e n tg r a n u l a rm e d i ah a v e n td i f f e r e n ts t a b i l i t y a c c o r d i n g t op r i n c l eo fv o l u m ee q u a l i t y , t h ep a p e rc o m p u t e dt h i c k n e s so fg r a n u l a r s t r a t u m t h ep a p e rs h o w st h a tf o ras t a t i cc o h e n s i o n l e s sg r a n u l a r m a t e r i a ls i m p l ya v e r a g i n gi ns p a c et h es t r a i n si n s i d eg r a i n sd o e s n tr e s u l t i t sm a c r o s c o p i cs t r a i n ，s ot h ef i e l d so fd i s p l a c e m e n tv e c t o ra n ds t r a i n t e n s o rd o n th a v et h e p r o p e r t y o f c o a r s e g r a i n i n g b yc o m p a r i n g e q u i l i b r o t yz o n eo fi d e a ls o l i d ，g r a n u l a rm e d i a ，l i q u i da n di n f e r r i n go f e l a s t i c i t yb yam o d e lo fs i m p l ef o r c ec h a i ni n d i c a t e st h ev a l i d i t yo ft h e n o t i o n so fs t a i na n de l a s t i l i t yf o rt h eg r a n u l a rm a t e r i a lb e c a u s et h e ya r e b a s e do nt h ee q u i l i b r i u mt h e r m o d y n a m i c s k e yw o r d sc o h e n s i o n l e s s g r a n u l a rm a t t e r ，s t r a i n ，e l a s t i c i t y , c o a r s e g r a l m n g 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南大学或其他单位的 学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在在 论文中作了明确的说明。 作者签名：耋避良日期：哔年二_ 月盈# 日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留学 位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容， 可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文；学校可根据国家或湖南省有关部 门规定送交学位论文。 作者签名：趟也翩签型酞：碰年上月盟同作者签名：趟盈导师签名二氟：亟韭年月盟同 硕士学位论文颗粒体的物理特性与力学模型 第一章文献综述：颗粒体的物理特性与力学模型 1 1 颗粒物质的奇特物理行为 在人类生活的环境里，颗粒物质无所不在，人们熟悉的颗粒物质包括砂子、 泥土、矿石、粮食、宇宙尘埃等。这些物质大多由同样的单个颗粒所组成，按物 理性质它们介于固体和液体之间的中间状态，有的科学家甚至提出应该在固体、 液体、气体之外定义一个新的物质状态一颗粒态。“颗粒态”物质的三个根本共 性包括三个重要的方面：( 1 ) 相互作用以摩擦力为主，( 2 ) 由温度引起的热运动在 体系的描述中可以忽略不计，( 3 ) 颗粒体系为能量耗散体系。颗粒体与固体不同的 是：前者具有流动性，仅在一定范围内保持其形状，具有对挡护面产生压力的性 质，不能或不大能抵抗拉力，抵抗剪切力的能力取决于作用的压力。液体与颗粒 体不同的是：前者分子具有较大流动性；没有固定的形状；抵抗剪切力的能力更 小。颗粒物在工业中扮演着十分重要的角色，例如混凝土就是很重要的原材料， 各种颗粒物的开采、运输、加工、分选及储存都对工业生产产生极其重要的影响， 特别是在防止沙漠化、泥石流、雪崩、滑坡等自然灾害，必须了解颗粒物质的运 动规律。颗粒物的研究由来已久，著名的科学家如库伦( c o u l o m b ) 、法拉第 ( f a r a d a y ) 、雷诺( r e y n o l d s ) 等，都对颗粒体的研究作出过杰出的贡献。下 面就颗粒体内存在的许多物理行为或效应作一综述。 11 1 颗粒对流现象 1 8 3 1 年，法拉第( f a r a d a y ) 首次观察到了沿垂直方向振动装有颗粒物质的 容器，里面的颗粒物质具有表面隆起和自发对流现象“1 。在圆柱形容器内，这种 对流是从中心向上运动，沿着器壁向下运动：如果容器壁是向外开的，则对流方 向相反“”，颗粒在容器中心部分向下，沿器壁向上运动。针对圆柱形容器产生 的对流现象，目前比较流行的观点为： ( 1 ) 在主动期，由于垂直方向不受约束，导致垂直方向压力消失，但由于水平 方向仍存在侧壁的制约，水平压力不变，故导致水平流动； ( 2 ) 水平流在容器中心发生碰撞，导致中心的垂直向上的垂直流； ( 3 ) 中一t l , 的垂直流导致中心表面隆起，同时在中心底部形成真空，周围的颗粒 填补真空，使之两侧下陷，形成中心表面向两侧的恒定流动。但此观点无法解释 为什么器壁向外开的容器会产生相反的结果。 硕士学位论文 颗粒体的物理特性与力学模型 图 ( a ) 图1 1 ( a ) 垂直器壁容器内颗粒对流示意图 ( b ) ( b ) 器壁向外开的容器内颗粒对流示意 1 1 2 颗粒堆的分离与分层现象 颗粒堆的自发分离与分层是目前研究非常活跃的一个课题，当振动由不同的 粒子组成的系统时，经过足够长的时间，往往发现明显的分离现象，大小颗粒分 层分布。m a k s eha 等做的二维沙堆实验“1 表明当两种粒子满足特定的关系时， 会形成分层现象。当一种粒子从空中落到沙堆上时，沙堆有可能沿表面滑动或滚 动，直到停在落处为止，也可能停在下落处，这取决于该粒子周围局域倾角的情 况，当粒子在由多种粒子形成的沙堆表面上运动时，其运动行为取决于该粒子周 围倾角的大小及周围粒子的种类。如果大的颗粒棱角较多，大的一层在上，小的 一层在下。如果大的颗粒较圆，则大的颗粒在下，小的在上。不同形状的颗粒则 是圆的在下，方的在上。 图i - 2( a ) ( b ) 两种不同的颗粒组成的颗粒堆分层分离示意图 11 3 筒仓效应 1 8 8 4 年，英国科学家罗伯茨( i r o b e r t s ) 首次观察到了粮仓底面所承受的 力在粮食堆积高度约大于两倍直径后达到饱和而不在增加，这说明在堆积颗粒物 容器内的底部压强在颗粒物堆积到一定的高度后不再随颗粒物增高而变化，这与 流体力学中压强与其深度成正比相矛盾，这些丢失的重量都到哪儿去了? 1 7 世 纪， c o u l o m b 等人进行了详细的研究，1 8 世纪r a n k i n e 和j a n s s e n 等都相应的 地提出了相应的理论，其中比较成功的有j a n s s e n 模型，我们将在下一节中加以 详细说明。 硕士学位论文 颗粒体的物理特性与力学模型 1 1 4 崩塌现象 最早研究颗粒体崩塌现象的是法国军事工程师c o u l o u b ，他发现了沙堆的角 度不能大于一定的角度0 如果在这个角之外，介质是不稳定的，在表面可能 发生崩塌。重新形成倾斜角小于库仑临界角的稳定颗粒堆，颗粒堆颗粒可动性的 大小与颗粒之间的内摩擦角和粘聚力的大小有关：可动性以自然坡度角和和侧压 力系数来表征。 我们知道，颗粒体按其物理性质，介于固体和液体之间的中间状态，它的可 动性是有限的，并且只有在界面一边坡一与水平面所成的角度不超过一定极限的 情况下才能保持其形状。这个极限角称为l 晦界库仑角，自由堆放的颗粒具有圆锥 体形状，圆锥体表面与水平面所成的角就是此角。装在容器里的颗粒体对容器壁 产生的压力相对来说比液体静压力小，因为液体则与此相反，它的分子具有极大 的可动性，液体没有固定的形状，倒在水平面上它将扩散开来，盛在容器中则具 有容器的形状，并对容器壁产生液体静压力，液体内主应力之比等于l ，因为液 体施加的压力向各个方向的传递是相同的。 1 9 7 3 年，由此奠定了极限平衡理论，当颗粒体上作用一载荷，当载荷比较 小时，颗粒体将不会产生变形流动，而处于静止状态；当载荷增加到一定限度时， 颗粒体将会开始流动，颗粒体将由静平衡过度到动平衡“1 。( 见插图1 3 ) 图( 1 3 ) 图中阴影区域为流动层，虚线为临界平面线，( a ) ：在筒边已形成流动区域( b ) ： 破坏层传播向上，到达中o ，在流动层之下的静止表面明显跟着临界平面( c ) ：流动层向下 流动( d ) ：中m 区域低于临界坡度 硕士学位论文颗粒体的物理特性与力学模型 11 5 加压膨胀效应与剪胀效应 我们都知道，当对一个物体加压时，体积应该变小，对紧密堆积的颗粒体进 行加压时，其体积可能膨胀。当任何物体对颗粒体作用时，使颗粒体产生的运动 状态的变化都是由它的变形，即体积和形态的改变表现出来的。颗粒体的结构变 形在于其单个固体一样的团粒的位移，颗粒体整个的接触不是沿着它们的整个表 面，而是在单个的接触点，当紧密排列的颗粒物受压时，颗粒先松动以重新排列， 因此其体积会变大。当然，当颗粒物原来处于松散状态，则加压会产生紧密，这 表明颗粒体受压变大与否与其开始状态密切相关。 无粘性颗粒体在荷重下只有摩擦阻力，不存在凝聚力。颗粒体的摩擦性质涉 及到颗粒之间的相对移动，其物理过程包含两个部分：一是颗粒的滑动，产生 滑动摩擦；另一个是颗粒与相邻颗粒脱离咬合而移动，产生咬合摩擦。滑动摩擦 是由于颗粒接触面粗糙不平而形成的微细咬合作用，它并不产生明显的体积膨 胀，其相应的内摩擦角为巾。；咬合摩擦是由于相邻颗粒对相对移动起约束作用 而形成的。因为颗粒相互咬合，阻碍相对移动，颗粒必须首先竖立，跨过相邻颗 粒才能相对移动，咬合作用的破坏，一般都会发生体积增大，即发生剪胀效应。 1 1 6 低陷效应 很多实验发现 8 - - i l l 颗粒堆底部压力分布的最大值并不总是像想象的那样出 现在堆底中心，而可能在两边，如果用曲线描述应力分布，我们看到堆底中心区 域附近出现了一个凹陷结构，我们称之为低陷。 r r 图( 1 - 4 ) 颗粒堆底部应力低陷示意图 图( 卜4 ) 中，水平坐标是式样不同高度的半径r 与底面半径r 的比值r r ：纵 坐标是底面压强与不同高度h 面上的压强比值p pg h 。 颗粒堆底部是否出现应力低陷不仅决定与颗粒堆形成的历史，还与支撑颗粒 堆的底面构造有关。 4 硕士学位论文 颗粒体的物理特性与力学模型 1 17 颗粒流动形成的疏密波 在工矿业众多领域中，经常会遇到颗粒的仓储、运输和处理，当颗粒沿着管 道或者沿着倾斜的平板流动时，会形成松散与密实相间隔的颗粒流“2 ( 疏密波) 。 图( 卜5 )微倾斜管道内流动的颗粒体形成的疏密波示意图 例如，将直径数倍或1 0 倍于颗粒体大小的玻璃管直立，让颗粒体从中流下， 则玻璃管中一些地方粒子密集，一些地方稀疏，颗粒体成团流动，出现颗粒体密 度的疏密波，各颗粒团以不同的速度运动，有的垂直向上，和重力方向相反。( 其 实不应该向上，只是因为颗粒体团上方落下而堆积的粒子比从颗粒体团下方掉下 的粒子快，看起来好象向上。) 1 2 颗粒体力学模型 为了使研究简单，在颗粒体力学中在保持实际颗粒体基本性质的前提下，抽 象的方法在颗粒体力学中起着极其重要的作用。在固体力学中利用了各种不同的 计算模型：绝对固体、弹性体、塑形体及其它。在流体力学中把理想液体作为计 算模型。目前在颗粒体力学中有两种不同模型：把颗粒体作为一种整体的( 连续 的) 和粒状( 不连续) 介质，先后有极限平衡理论、连续介质力学理论、弹性理 论、弹塑性理论等，下面就有关计算颗粒体力学的模型或对有关颗粒体效应的解 释作一表述。 1 2 1 j a n s s e n 模型 在仓储散粒体力学方面，首先专门研究颗粒体力学的是德国人j a n s s e n ，他 以研究筒仓内应力为目的，于1 8 9 5 年提出了著名的j a n s s e n 公式，他的理论是建 立在如下的假定之上的： ( 1 ) 颗粒体不可压缩，密度均匀，各向同性； ( 2 ) 筒仓壁是刚形体； 3 筒仓无限深，即不计仓底的影响； ( 4 ) j a n s s e n 假定在颗粒体内的水平压力( o 。o ，) 与垂直压力呈比例 硕二e 学位论文 颗粒体的物理特性与力学模型 图1 6 装有颗粒体的筒仓示意图 o 。= o ，= k ，o ：一k j p ( z ) ( 卜1 ) 这里k ，是特征参数，p o ；：是压力。 这个公式一个重要的条件是垂直仓壁与颗粒之间有摩擦力，筒仓壁承受了一 定的压力o 。对一定粒子的水平薄层( 面积“r 2 ，高度d z ) 的平衡条件满足 一p g + o 出p2 丢。n l 一( 1 - 2 ) 这里r 是半径坐标，z 的方向以向下为正 ( 5 ) 在仓壁的任一点，摩擦力都达到了它的最大允许值，这个值满足著名 的l dv i n c i 和a m o n t o n s 规律( b o w d e na n dt a b o r ，1 9 7 3 ) o ，：= 一“，o ，= uf k j p( 1 3 ) 这里“，是粒子与仓壁的摩擦系数 把方程( 卜1 ) ( 卜2 ) 代入( 卜3 ) 式，得到 呈+ 掣k j p = p g ( 1 - 4 ) 瑟尺 “。 在这里引入一个特征长度 = 兰= _ ( 1 - 5 ) 口a f f i j 解微分方程( 卜4 ) 得 p ( 。1 = p 。( 1 一e x p k ( 一z ) ) ( 1 6 ) 即p 。= pg 靠近自由面( z ，p p 。，所有的重量都是被仓壁承担的。 尽管这个模型比较好的给出了筒仓内总的应力分布特征，但是还有许多方面 值得怀疑或者值得完善。 ( 1 ) 应力张量对角线上的分量没有考虑，即：o ，= o ，= o ( 2 ) 特征长度如何确定。 ( 3 ) k 值如何确定? 它是否唯一? 它于摩擦系数u 是否有关? 硕士学位论文 颗粒体的物理特性与力学模型 ( 4 ) 摩擦力的充分性不够严格，颗粒被注入后，它与筒仓之间的摩擦不 一定达到最大值。 1 2 2 软碰撞模型( t h es o f tc o i | is i 0 1 3m o d e l ) 在软碰撞模型里，粒子之间的相互作用是通过线形的阻尼弹簧模型模拟的 “”。当两个粒子相互作用时，产生反作用弹性力。粒子运动方程遵守牛顿运动 定律与能量守衡定律“”，粒子与粒子之间的相互作用力仅仅发生在粒子中心之 间，即在软粒子模型里，没有粒子之间的切向摩擦力。仅仅当粒子与地面之间相 互接触时，静止与滑动摩擦力才会出现。 簧 图 - 7粒子与粒子之间以及粒子与地面之间的作用力被模拟为阻尼弹 1 2 3力链模型( c h a ；n f o r c em o d e l ) 我们知道，用双曲线模型“6 ”1 代表的连续力学与传统的弹塑性力学是不同的 下面简要的介绍一下这种连续力学模型，这种模型适应于压力以力链方式传播的 物质。 这个模型假定在颗粒体内，力链的平均方向是被固定的，但并不一定意味着 每个粒子是被固定的，只要颗粒体能够支撑随后增加的载荷，力链将不改变它们 的平均方向。 这个模型要求明确决定表面切向力，或者说从一端到另一端的力，作用在另 一端的力应该与指定端相应的力平衡，任何体力也是沿着这条直线。在这个模型 里。如果边界条件违背了静止平衡条件，就将导致运动，这种特性与流体或者液 晶的特性没有什么不同，但不象流体，颗粒体是以一种有限的重组方式运动的， 而不是形成稳定的流动，如此一个流动将改变颗粒体内的微细结构，因此也就改 变了压力之间的组成关系，在这种情况下，一种新的力链网将能支撑这种新施加 的力。 任何力径两端力之差都是通过体力加以平衡的。这个模型描述了脆性物质的 力学行为，在这些物质内，压力都是通过力链的框架所支撑的，当负载超过一定 硕士学位论文 颗粒体的物理特性与力学模型 极限，框架会发生有限的重组使其平衡。 颗粒体力链模型的一个重要实例就是声波的传播。如果在颗粒体的某一处发 出声波，这些声波信号在某一点处对容器内的所有粒子重组是非常敏感的。 1 2 4 格形自动模型( t h ec e | i u i a ra u t o m a t am o d e l ) 这个模型“”最初是由p r a d o 和0 1 a m i “”提出来的，用这个模型用来考虑 惯性作用和动量对下面层的传递作用，这个堆被假想分成平方格子状，见图( 卜7 ) 图卜8 粒子是怎样崩塌到邻近位置图 最初这个堆是处于水平位置，所有粒子处于静止状态，这个条件代表着 ( 1 ) 堆的坡度( 倾斜角) 是0 = o ( 2 ) h i = n + 足这里n 是堆的平均高度，a r 是与粒子的粗糙程度有关的 量，大小是由粒子之间的最小之差r 。决定的( 最大之差为z o ) ，h ，确定了在堆 的某一位置i 的高度 ( 3 ) m i = o ( 没有粒子的运动) ，其中m 代表粒子在某一位置的动量 然后，把这个堆平滑倾斜一个角度0 = 0 + a o ，这时候松弛规律发生作用， 位于i 位置的粒子倒塌到位置j ，粒子i 的坡度是： z ? = h i h ，+ 9 ( 卜7 ) z ? = h f h + 0 ( 卜8 ) 粒子为倒塌不得不克服的极限角为： z 厶= z o c o n 。 ( 1 9 ) 这里z 。是静止极限角，a 是惯性作用的强度。极限角是在随着一系列的崩塌之后， 动量累积的减函数，因此粒子为了保持其运动不得不克服一个较低的极限角。无 论什么时候粒子的坡度超个极限角z 厶，它都要落到邻近的位置，假定这时候粒 子获得一个单位的动量，但同时它又把它的惯性动量的一半传递到下面一层的粒 子。如果刁 - z ：然后粒子i 崩塌到j ，最新的位置为 l = + 1囊= 岛一1 m ，= m ，2 m = 孚+ 1 ( 1 1 0 ) 如果没有粒子崩塌，倾斜角是再次增加的。 硕士学位论文颗粒体的物理特性与力学模型 上面提到两个参数，静止极限角z 。，z 。是通过实验测得的；惯性作用的强 度a 是一个未知量，但它与0 。与0 。有关。惯性作用对崩塌作用不明显，但对动 量对下层的传递是很重要的。 1 2 5 层与层向量模型 下面这个模型对静止颗粒体的受力分析是很有帮助的，这个模型仅考虑颗 粒体在二维平面内受力情况，参看图( 卜9 ) 。力是从格子堆的顶部开始计算的， 这个力传递向下，中间的粒子接受上面两个粒子的作用，并把这个作用向它下面 邻近的两个粒子传递，在同一层之间的粒子没有力相互传递。在n 行m 列，i 层 j 位置上的粒子向左传递力到i + l 层j l 位置上的粒子和向右传递给i + l 层j + l 位置上的粒子，图( 1 8 ) 为一粒子受力分布图，接触角由。决定了法向力的方 向，有效的摩擦系数n 。决定了切向力的方向和大小，摩擦系数大小在 一11 之间，切向力f 。( d = l ，r ) 的大小在 0 lun 。f d | 之间，这里u 为静摩擦系数。 在任何静止颗粒堆，单个的粒子必须满足力链平衡。 图1 - 9 ( a ) 粒子排列及粒子受力矢量合成图 ( b ) 单个粒子力矢量分布图 1 2 6e 一1 j 弹性模型与k - g 弹性模型 在弹性模型方面，最常有的模型有两种。第一种是以e ( 弹性模量) 和u ( 泊 松比) 两个弹性常数来表达，称为e u 弹性模型；另一种是以k ( 弹性体积模 量) 和g ( 剪切模量) 两个常数来表达，称为k - g 弹性模型，这两个模型都遵守 同样的假定。 ( 1 )假定颗粒体是完全弹性，服从虎克定律应变与引起应变的应力成 比例： ( 2 ) 假定颗粒堆是均匀的，也就是整个颗粒体是由同一材料组成的； ( 3 ) 假定颗粒体是各向同性的，也就是颗粒体在所有各个方向都相同， 这样颗粒体的弹性常数才不随方向改变； ( 4 ) 假定颗粒体是连续的，也就是假定整个体积被组成这个物体的介质 硕士学位论文颗粒体的物理特性与力学模型 所填满，不留下任何空隙。 弹性模型对固结比较紧密的颗粒堆和理想连续体的应力应变分析，特别是求 严格解方面有很重要的物理意义，但它们都忽视了颗粒体的剪胀性和应力途经的 影响。 1 2 7 亚弹性模型 砂，矿石，谷物等颗粒体的力学性能，受多种因数的影响，如颗粒的形状、 尺寸、空隙度、颗粒表面的粗糙度及粘结力等，而在不同的围压和空隙比时，材 料的应力一应变曲线有较大的差异，如密砂有剪胀发生，并且在低围压下出现应 变软化现象；而松砂则不发生这些现象，然而在高围压下松、密砂则又有几乎相 同的力学特性等等。这种影响因素的多样性和力学现象的复杂性，给颗粒体的本 构描述带来很大困难，以往多用连续介质理论来研究颗粒体力学特性，近年来有 一些文献从细观力学角度探讨其性质，运用均质化将其引申到连续体。 我们都知道( 虎克) 弹性体属超弹性体或称g r e e n 弹性体，它是建立在存在 一个与变形梯度f 有关的标量函数( f ) ，通常( f ) 为应变能函数，而将满 足下列条件的物体称为亚弹性体或t r u e s d e l l 弹性体 ( 1 ) 应力与基准构性的选取无关，仅与变形梯度历史的顺序有关，并对 时间尺度是独立的。 ( 2 ) 衰减记忆，为一种按初值不同，有不同性质的材料 ( 3 ) 应力速率由现时刻的应力、应变速度梯度来决定 条件( 1 ) 说明本构关系时间尺度是独立的。 条件( 2 ) 说明亚弹性体在不同的初值时呈现不同的性质，可以反映颗粒体 在不同围压和空隙率的情况下有不同的应力一应变关系的特点。 条件( 3 ) 可知，亚弹性体是一种速度性材料，存在张量函数f ( 0 ) 在有限变 形的情况下有丁= f “1 ) 。 该模型的最大不足之处在于无法反映颗粒体可能出现的应变软化现象。 本章小结 在这一章第一节里，首先介绍了颗粒体作为一种特殊的物质状态所具有的 奇特的物理行为，例如颗粒堆的分离与分层；颗粒体受振动后产生的对流：颗粒 体在平板或者管线中流动产生的疏密波；颗粒堆有一库仑极限角，超过这一极限 角会产生崩塌现象；以及一些违反常理的现象：如筒仓底部的压力随着筒仓内颗 粒体的增加，当颗粒体增加到一定高动后，筒仓底部压力不在发生变化；颗粒堆 应力分布的最大值并不是出现在堆底的中心，而可能在两边，即压力分布可能在 硕士学位论文 颗粒体的物理特性与力学模型 中部出现一凹陷现结构；以及加压膨胀等。所有这些问题都为对颗粒体的研究提 供了广泛空间，使人们对颗粒体的研究产生了广泛的兴趣。 本章第二部分主要介绍了对颗粒体力学研究的一些力学模型。因为目前对 颗粒体力学研究还不够成熟，对颗粒体力学研究还没有定论，因此也是研究比较 活跃的一个领域，各种各样的模型还在不断提出来。本文着重总结了一些颗粒体 的宏观力学模型，如j a n s s e n 模型、光锥模型、力链模型等；以及针对单个颗粒 受力分析的模型，如软碰撞模型，分析模型等。这些模型都只能解释颗粒体力学 的某一方面，有的己通过实验加以证实，有的还只是予测，由于不断有新的模型 出现，这样就可以推动对颗粒体力学的研究不断向前发展。 硕士学位论文颗粒体的应力一应变与弹性力学理论 第二章颗粒体的应力一应变与弹性力学理论 在对颗粒体的力学特性进行讨论的过程中，如果我们不关心相邻颗粒间距离 这样的空间大小范围精度上的细节问题，我们可以把它看作连续体，并用连续力 学的基本思想方法加以处理。连续力学用场的概念：即考虑物理量是空间和时间 的函数，来描述物体的宏观静止或运动行为。这些场只在远大于相邻颗粒问距离 的空间尺寸上有明显变化，也就是说它们的空间f o u r t e r 变换的波长都远大于相 邻颗粒间距离，因此又称宏观场变量。这一连续统的概念方法可以用来描述任何 宏观系统的宏观行为。 在相邻颗粒间距离这样的空间大小范围精度上的细节问题显然只能用离散 的微观理论来研究。原则上我们可从描述组成系统的微观粒子的基本物理方程出 发。对颗粒系统，可以用普通的线弹性理论力学加上合理边界条件来处理每个颗 粒以及它们之间的接触问题。显然这意味着去解巨大数目的偏微分方程组，要想 做的严格是不可能的。因此实际上，离散方法大都是用一些可以数学处理的简单 模型来做的。虽然对颗粒体人们提出了大量的离散模型，但如何判断它们的合理 性和适用范围显然是个问题。 值得强调的是，在处理实际工程问题和设计时人们只关心，例如某一坝体或 沙丘的宏观行为，至于其中的某一粒沙发生了什么，不需要了解。在计算时工程 师们当然只用宏观的连续力学理论，不会去一粒沙子一粒沙子地算( 这显然是很 傻的) 。因此发展和建立物理上更为合理和正确的颗粒体的连续力学方程组有着 重要的实际意义。当然离散的研究方法也有其理论意义上价值，特别是它有时对 宏观方程中出现的材料系数能给出一些有指导价值的估算。但需要指出的是，在 处理实际问题时，这些材料系数的值仍要以实验测量为准。 本章分为两部分，首先简要介绍一下离散性介质力学的一些基本概念，然后 介绍本论文主要关心的宏观连续介质理论。 2 1 颗粒体的变形 颗粒体的变形分为两种基本形态一结构变形和弹性变形。“。颗粒体的结构变 形在于颗粒间的相对位移，这种位移造成颗粒体的塑性变形。它好像是一个由构 件所组成的联系不够或者有的联系被破坏时的系统那样，结构变形是不能恢复 的。 颗粒体的弹性变形源自于颗粒本身的可恢复的弹性变形。它不改变颗粒体的 硕士学位论文颗粒体的应力应变与弹性力学理论 结构，也就是说，如果撤去导致变形的力，颗粒体的结构又回到原来。一般地， 连续体的弹性变形可以是非线性的，各种变形值之间的关系决定于组成颗粒的材 料和形状以及颗粒体的密实程度。 把颗粒体放在具有刚性壁的容器内作压缩实验，颗粒体表面上压力的增大 将导致颗粒体的密实，它体现在孔隙率的减小。当在颗粒体表面上进行加载和卸 载时压密曲线和膨胀曲线是不重合的，主要是因为它们发生了结构变形，即塑性 变形。 颗粒体颗粒的接触面积随压力的增加而增加，但不是线性的。赫兹曾仔细 计算了这个问题。注意接触面上的压力有时是很大的，能比连续介质理论中的出 现的( 宏观) 应力场大许多。在离散模型中，不少人忽略了这个接触面积，把它简 化成了接触点。颗粒体上压力与其变形之间的一般关系式，可以根据从一个颗粒 经过它们之间的接触点的传递图形作极简单的假定来建立。 按照这样的模型，在颗粒体内，我们可以假设压力从一个颗粒借助于接触 点体系传递到其他颗粒。直观地看，似乎接触点数越多，颗粒体抵抗作用力的能 力就越大，在该力的作用下的变形应该越小。接触点的数目又根据力的大小而变 化，当力增大时，由于孔隙率减小，接触点数目增多；当颗粒体结构发生不同形 式的破坏时，接触点可减少或增加。 当颗粒体在具有刚性壁的容器中被压缩时，孔隙率只能减小，随之而来的是 接触点数目的增多，即体系紧密；但当剪切运动时，压紧的颗粒体会出现膨胀， 又称剪胀，是r e y n o l d 最早指出的。显著的膨胀将导致接触点数目减少，使颗 粒体强度的降低。 2 2 内摩擦角与自然坡度角 在研究颗粒体力学性质时，遇到的一个概念性的问题就是自由表面。“。颗粒 体与外界接触的面，一为容器的壁和底( 或支撑面) ；一为自由表面。自由表面 的特点应该是它的上面没有正压力和切应力，而在容器的壁和底上，以及在容器 深处的某一内切面上是可以产生正应力和切应力的。在下文的讨论中自由表面即 指颗粒堆斜面与空气的接触面。 颗粒体内产生的内摩擦力，主要有以下两个原因： 一些颗粒陷入其它颗粒之间的深凹处而相互咬合； 在颗粒之间的接触面上直接产生的滑动摩擦力和附着力。 为了分析问题简单起见，仅仅研究放在支撑面上的颗粒体的平衡条件( 见图 2 1 ) 。 在颗粒体表面上用1 一l 切取微小体积v ，单位体积重力为v ，如此微小体积处于 硕士学位论文 颗粒体的应力一应变与弹性力学理论 平衡状态，则必须满足 图2 - i 静止无粘性颗粒堆表面某点的受力分析图 v f v c o s p v vs i n 口 ( 2 - 1 ) 当然可以进一步把平衡条件写成 t a n f = t a l l 庐 ( 2 - 2 ) 式中：卜内摩擦系数，巾一内摩擦角 或写成 庐 ( 2 - 3 ) 上式即说明所作的任意切面对水平的倾斜角度不大于内摩擦角度巾，那么颗 粒体的自由表面是稳定的，也就是颗粒体的自由表面的切应力为零 f = 0 ( 2 - 4 ) 松散颗粒体对于水平支撑面的倾斜角度( 自然坡度角) 可以等于或者小于内 摩擦角。 如所考虑的颗粒体为一弱粘性颗粒体，对其同样进行受力分析，这时作用在 颗粒体上沿斜坡向上的力等于摩擦力和粘聚力之和，利用力的平衡方程 v v s i n 口= v v c o s p t g , + c f ( 2 - 5 ) f 一所研究的那部分颗粒体与斜坡之间的接触面积，c 一单位面积粘聚力 用vvs i n b 除等式两端得 卵= 刨+ 丽c f ( 2 - 6 ) 由此可以看出，粘性颗粒体的自然坡度角大于自由表面处的内摩擦角，对于 无粘性颗粒体( c = o ) ，自然坡度角等于内摩擦角。 对于无粘性颗粒体，只有对于紧靠于颗粒体自由表面的一层，其自然坡度角 才等于内摩擦角。对于深处的或处于压力作用下的颗粒体，由于此处颗粒紧紧挤 入其它颗粒之间的缝隙，因此内摩擦角就大于滑动摩擦角，所以内摩擦角大于自 然坡度角。 颗粒体的内摩擦角和自然坡度角还与颗粒体的密实度有关，普拉托诺夫提出 4 硕士学位论文颗粒体的应力一应变与弹性力学理论 了颗粒体自然坡度角和内摩擦角之间的近似关系。2 1 秽刮一口等等 ， 式中a 为一常数、k 一颗粒体颗粒堆积密度系数( 单位体积内的颗粒数) k 。，和k 。为k 的最大值和最小可能值 从公式可以看出，只有当k = k ，。时，即密实度最小时，颗粒体的自然坡度角 与内摩擦角才可能相等，在所有其它情况下，自然坡度角应该小于无粘性颗粒体 的内摩擦角。 必须说明自然坡度角的大小也与斜坡的高度和堆放场地表面的粗糙程度有 关。 根据摩擦力产生的原因可以断定，内摩擦角随着砂的密度和砂粒粒径的增大 而增大，砂粒级配均一的砂和圆形颗粒的砂比级配不均一的砂和非圆形颗粒的砂 内摩擦角小。 同样，如果颗粒体的孔隙被某一种胶结物充填的情况下，则颗粒之间有粘聚 力产生，它阻碍颗粒体的一部分离开另一部分和相互移动，则有增大内摩擦角的 趋势。 2 3 微小弹l 生变形理论方程 连续介质模型忽略物质实际上的离散的粒子性结构，理想的认为物质连续的 充满它所占据的空间。就象两个无论多么接近的实数之间都有无限多个实数，因 此物质构造上的连续模型，在数学上可以用实数系的连续性来理解物质分布。研 究颗粒体物质多从统计平均的观点去简化，处理真实物质粒子的不连续性，同时 又在物质连续分布的定义下将物体分布为很多微元，如果把这些微元离散化，就 可以把这些微元假想成质点处理。 下面我们介绍一下这些所谓的质点的微小变形运动方程，即假定质点总是在 其自然状态的微小邻域内运动，根据连续介质理论柯西运动方程。3 1 , o c t 。：艘+ 挈 ( 2 _ 8 ) o x j 其中p 是密度，a ；是应力加速度分量，pb ，每单位体积的体力分量，o 。是应力 分量。 方程式中各项都与质点当时所在的位置有关( x 。x ：x 。) ，若x 。表示一有代表 性的质点在自然状态的位置，并假定x i 。x 。且位移梯度的分量的大小比一个单位 小得多。由于 硕士学位论文 颗粒体的应力一应变与弹性力学理论 所以可以得到 o = x ，+ “， ( j 2 1 ，2 ，3 ) 堕：堕堕+ 堕堕+ 堕堕 a x l3 x l0 x l氟2o x l缸33 x i ：堕n + 堕1 + 盟堕+ 堕堕 融l 、甜l7 融2 科l 舐3 勰l 对于微小变形来说 盟。盟 a x i8 x i 根据质点运动方程，并假定x 。固定 q 2 争x2 蒂u a 2 ：a 2 根据p = p 。( 1 一e 。) ( 2 9 ) ( 2 - 1 0 ) ( 2 - 1 1 ) ( 2 - 1 2 ) ( 2 1 3 ) 其中( 2 - 1 3 ) 为微小变形下的变密度方程，p 。为自然状态下的密度，p 为现在 密度，e 。为一应变张量 所以 a 2 “：0 2 u p 吖。 ( 2 一1 4 ) 最后我们得到弹性体微小运动方程 风确b + 熹 c z 一 如位移场u ，满足方程( 2 1 5 ) ，那么就说明位移场u 。完全描述给定弹性介质 中可能的运动。如再引用以下两个公式。” 驴丢( 等+ 等) = a e 5 口+ 2 娼 ( 2 1 7 ) 相应的弹性力场就可以确定，至于 ，e ，u 的物理意义以及各量之间的关 系将在下一节中加以说明。 2 4 杨氏模量，泊松比，剪切模量及体积模量 这一节将结合具体实例，对牵涉到连续介质的几个工程物理量 ，e ，u 等 硕士学位论文颗粒体的应力一应变与弹性力学理论 的物理意义以及各量之间的关系加以说明。为了解释简便，假定给定的弹性体是 各向同性介质，并且遵守连续介质的三条基本原理：质量守衡原理，线形动量原 理以及动量矩原理。当物质为各向同性时，即当弹性物质在所有方向相同时，弹 性常数的数目减少到最小。为了进一步简化推导过程，假定载荷与物质之间具有 如下关系： ( a ) 所施加的载荷和所观测的变形量之间的关系是线形的； ( b ) 加载率不影响上述关系，并且观察到的变形很小； ( c ) 当载荷移去时，变形完全消失。 根据各向同性线弹性体的本构方程“4 3 盯1 1 = a ( e 1 1 + e 2 2 + e 3 3 ) + 2 岸e 1 1 ( 2 - 1 7 ) 盯2 2 = 旯( 巨l + e 2 2 + e 3 3 ) + 2 肛2 2 盯”= 2 ( e 1 1 + e 2 2 + e 3 3 ) + 2 ，店3 3 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 盯1 3 = 2 肚 l3 ( 2 - 2 1 ) 盯2 3 = 2 肛2 3 ( 2 2 2 ) 如果我们用应力分量表示应变分量可以得到 岛= 去h 一去( 引 ( 2 屯。) 又假定仅仅只有一个正应力分量不为零，我们把这种应力状态称为单轴拉伸 ( 压缩) 状态，并且把e 。方向作为拉伸方向，方程简化为 = 去( 一上3 a + 2 , u ) = 篇 z a ， 瑙，= 瓦1j 而zo - l j - - 一嘉“ ( z - 2 5 ) e 1 2 = e 1 3 = e 2 3 = 0 ( 2 2 6 ) 这里把 一0 1 1 e ：掣呜 ( 2 - 2 7 ) l l + 7 e ，就是杨氏模量，或者称为弹性模量 u 就是泊松比，等于横向应变( e 。e 。) 对轴向应变( e 。) 之比的负值 硕士学位论文颗粒体的应力应变与弹性力学理论 一生：一垒：苎：u( 2 2 8 ) e 1 e l l2 ( + ) 利用( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 消去入，便可得到 “：竺一 ( 2 - 2 9 ) 。 2 ( 1 + u ) 这里u 就是剪切模量 根据定义，体积弹性模量为静水正应力对