（应用数学专业论文）一类保形曲线的性质、构造及应用研究.pdf

摘要 基函数在计算机辅助几何设计中起着基础和决定性的作用，本文探讨了有理 b 6 z i e r 曲线及s a i d _ b a l l 曲线的性质和特征及保形的条件和算法，并着重研究了 四次及五次有理b 6 z i e r 曲线函数的构造以及权因子如何调整使之达到保形目的。 本文第一章为绪论部分，简单介绍了计算机辅助几何的起源，发展以及保凸， 保形问题研究的最新研究概况和一些样条曲线的性质和特征。第二章为带权因子 的保形曲线部分，分四节。前三节主要研究了保形有理b 6 z i e r 曲线的构造，保 形性质，收敛和四次及五次有理b 6 z i e r 曲线的保) 侈算法。并设计了达c 1 连续的 四次组合保形b 6 z i e r 曲线。第四节主要研究了三次，四次s a i d b a n 曲线的保 形条件，并给出了判断保形条件及保形算法。第三章为图例及应用部分，图形都 是根据本文设计的算法而绘制的，从图形来看，效果不错，保形目的可以达到。 最后为附录部分，程序都是用m a t l a b 代码编制的，本文的图形都是由这些程 序产生的，经过反复调试和修改这些程序是准确无误的。 关键词： c a g d 保形b 6 z i e r 曲线 s a i d b a l l 曲线 n u r b sm 控制多边形 广义m 控制多边形拐点 a b s t r a c t i nt l l ec 伽叩u t e ra i d e d ( 论o m e t r i cd e s i g nb 嬲i c 血n c t i o n sh a v eab 嬲i ca i l d d e t e n n i n i n g t i o n i nt 1 1 i sp 印e rw ed i s c u s st h ep r 叩e n i e sa 1 1 dc h a r a c t e r i s t i co ft h e r a t i o n a lb 6 z i c rc u r v c sa i l ds a i d - b a l lc u r v e s w ba l s or e s e a r c hm ec 0 1 l s m l c d o no f 血ep l l a 毗i ca i i df i f n lr a t i o n a ib 6 z i e rf h n c t i o na n dh o wt oa d j l l s tf o rs h a p e p r e s e n r i n g t h ef i r s tc h 印t c r p m l e g o m c n o n ，w e s i m p l yi n t r o d u c e st l l ep r o v e n i e n c ea n d d e v e l o p m e n to f m ec o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g na r l d 止l cn e w e s tr e s e a r c ho f t h e c o n v e ) 【p r e s e r v i n ga i l ds h 叩ep r e s e r v i n ga n ds o m ep r o p e n i e sa i l dc h a r a c t e r i s t i co f s p l i n ec u r v e s t h es e c o n dc h a p t e r ，t h ec o n f o r m a lc u r v e sh a v i n gw e i 曲tf h c t o r ，i s d i v i d e df o l l rp a n s i nm ef i r s tt h r e ep a n 、er e s e a r c ht l l ec o n s t m c t i o no fc o n f b 瑚a l r a t i o i l a lb 6 z i e rc u r v e s ，m ep r o p e n i e so fs h a p ep r c s e r v i n g ，c o n v e 唱e n c e ，t h es h 印e p r e s e r v i n gw a yo fq u a n i ca n d 雠hr a t i o n a lb e z i e rc u r v e sa i l dd e s 咖aq u a n i c c o m p o s i t ec o n f o m a lr a t i o n a lb 6 z i e rc u ew h i c hc a nr e a c hc c o n t i n u i t y i n t h ef o u r t hp a r tw er e s e a r c ht h ec o n d iti o no ft h ec u b ica n da u a r ti cs a j d b a l lc u r v e s ，g i v em ew a yo fj u d g i n gc o n f o h n a lc o n d i t i o n 如ds h a p ep r e s e i n g a i g o r i t m t h et h i r dc h a p t e ri st h ef i g u r ee x a m p l ea n da p p l i c a t i o np a r t a l lf i g u r e sa r e y i e l d e db yc o i l f b 珊a lw a yi n t h i sp 印e r - t h en g u r ee x 锄p l e sa r ev e r y9 0 0 da n d 也e s h a p ep r e s e r v i n gc a na i s ob er e a c h e d i nt h ei a s tc h a p t e r 1 1 l ea p p e n d i xp a n ，a i l p r o 鲫n sa r ee d i t e db ym a t l a bc o d ea 1 1 di nt l l i sp a p e ra l l 丘g u r 器a r cy i e l d e db yt 1 1 e s e p r o 铲a l l l s 1 1 1 e s ep r o 掣啪sa r ea c c u r a t ea n dc o 玎c c tt h r o u g le n o u 曲c o 玎e c t i o na n d d e b u g g i n g k e yw o r d s ： c a g d s h a p ep r e s e i n g b 6 z i e rc u r v e s a i d b a l lc u r v e n u r b sm c o n t r o l l i n gp o l y g o n g e n e r a l m c o n t r o l l i i l gp o l y g o ns p i n o d a l 第一章绪论 1 1 计算机辅助几何起源。 计算机辅助几何设计( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ，缩写c a g d ) 这一 术语由巴恩希尔( b 硼山i 1 1 ) 与里森费尔得( r i e s e n f e l d ) 】1 9 7 4 年在美国犹太( u t a l l ) 大学的一次国际会议上提出，以描述计算机辅助几何设计( c o m d u t c ra i d e d g e o m e t r i cd e s i g n ) 的更多的数学方面，因此加上“几何”的修饰词。在当时， 其含义包括曲线，曲面和实体的表示及其在实时显时条件下的设计，也扩展到某 些方面，例如四维曲面的表示与显示。自此以后，计算机辅助几何设计开始以一 门独立的学科出现。c a g d 学科是随着航空，汽车等现代工业发展与计算机的出 现而产生与发展起来的一门新兴学科。其主要研究对象是工业产品的几何形状。 工业产品的形状大致可分量入为两类：一类仅由初等解析曲面组成，这一类几何 形状可以用画法几何与机械制图完全清楚表达和传递所包含的全部形状信息。第 二类是不能由初等解析曲面组成，而以复杂方式自由地变化的曲线曲面即所谓自 由型曲线曲面组成，例如飞机，汽车，船舶的外形零件。显然这类形状单纯用 画法几何与机械制图是不能表达清楚的。人们在寻求用数学方法唯一地定义自由 型曲线曲面的形状，将形状信息从模拟量传递改变为数值量传递。但由此而带来 的大量计算工作手工无法完成，只能由计算机来完成。随着计算机的出现，采用 数学方法定义自由型曲线曲面才达到实用的目的，这导致了本学科的产生与发 展。 1 2 保凸保形问题。 在计算几何中，有时候会遇到这样一类问题：在平面上给定一列有序点列 p l ( i _ o ，1 ，n ) ，要找一条插值曲线，使点列的“形状”得到保持。这里“保持形状” 的意思是：把每相邻两个型值点用直线段连接起来组成多边形。在多边形凸的地 方，相应样条曲线段不出现拐点。在多边形转折的地方相应的样条曲线段上有一 个拐点，当然，还要求每段上不出现奇点，这就是保型问题。当多边形全部凸 时，就是保凸问题n 】。但是以上的保形，保凸概念还不太严格，然后对保形保 凸问题也没有公认的严格定义。根据参阅众多国内外的学术论文下面给出比较严 格的定义。 定义1 1 1 设岛( f = o ，1 ，n ) 为平面上的不重合控制顶点，令口，= 岛一岛一。 十南土季_ 埴士李往论文摹一幸暗语 ( f = 1 ，盯) 若口，口与口口f + 2( f = l ， 一2 ) 符号相同，则称控制顶点构成 凸多边形。如果存在k ( 1 足珂一2 ) 使口m 与口m 口r + 2 反号，则称控制多 边形有一个拐向点，这个拐向点为k 或6 。，拐向点个数称拐向数。 定义i 1 2 样条曲线的拐点数与控制顶点构成的多边形的拐向数相同， 则称此样条曲线为保形曲线。 定义1 1 3 若控制顶点构成的多边形是凸多边形且样条曲线无拐点则称 此样条曲线为保形曲线。 显然易见，保形问题蕴涵保凸问题。即若控制顶点为凸多边形是保形曲线， 则一定是保凸的。讨论保形问题一般都要与样条曲线打交道。下面介绍一般常用 的用于保形的样条曲线。 1 3 样条曲线。 样条曲线作为目前计算几何研究的主要对象之一，可以看成是所谓样条函数 “几何化后的样条函数始于s c h o e n b e r g1 9 4 6 年的杰出工作，后来许多工作 都来源于他的思想。 1 3 1 贝齐尔( b 6 z i e r ) 曲线 贝齐尔曲线是分别由德卡斯特里奥( d ec a s t e l j a n ) 大约于l9 59 年和贝 齐尔大约于1962 年独立地研制的”。贝齐尔曲线是参数多项式曲线，它 采用一组独特的多项式基函数，使得它具有许多优良的性质。 定义1 3 1 给定n + 1 个平面( 或空间) 上的数据点6 ，( f = o ，1 ，”) 。 称n 次参数曲线段唧) = 包e ，( o f 1 ) ( 1 1 ) 瑚 为贝齐尔曲线，式中基函数 b 。( f ) = c ：f 。( 1 一f ) ”( f - o ，l ，”)( 0 ，兰1 ) 为伯恩斯坦基函数。 用伯恩斯坦基表示的贝齐尔曲线的性质取决于伯恩斯坦基函数的性质： 1 非负性 口。( f ) o ( f = o ，1 ，”)( o 蔓f 1 ) a 2 规范性日。( ，) = 1 。 2 中南土_ 蕾唾士学位论文 $ 一幸睹倍 。端点性质蹦旷 援芝 i l ，f = ” 口”( 1 ) 2 1 ；，其它 4 对称性 马。( ，) = b 。( 1 一，) 。 5 函数递推公式b ( f ) = ( 1 一f ) 骂，l ( r ) + 啦山一l ( r ) 。 6 导数递推公式 马，( r ) = 研曰。，- l ( f ) 一曰忙i ( f ) 】 7 最大值 b 。( f ) 在f - 二 处达到最大值。 8 - 升阶公式( 1 一f ) 匝。( r ) = ( 1 一i 万) 吼“( f ) ；吗，( f ) = 景三曰一，- o ) ； ”+ i 。 l 蹦f ) _ ( 1 一点) ( f ) + 熹“f ) 贝齐尔曲线的性质 1 ： 1 贝齐尔曲线的首末端点正好是贝齐尔多边形的首末顶点。 2 贝齐尔曲线在首末端点的k 阶导矢分别与贝齐尔多边形的首末k 条 边有关。 3 几何不变性与仿射不变性。 4 对称性。 5 凸包性质。 6 变差减少性质( 又称v d 性质) 7 移动n 次贝齐尔曲线( 1 _ 1 ) 的第i 个控制点6 ，将对曲线上参数为 f ：三的那点p ( 二) 处发生最大影响。 1 3 2b 样条曲线。 b 样条的理论早在1946 年由舍恩伯格( s c h o e n b e r g ) 提出，但论文直到 19 67 年才发表。19 72 年，德布尔( d e b o o r ) 与考克斯( c o x ) 分别独立地 给出关于b 样条计算的标准算法。但作为在c a g d 中的一个形状数学描述的基本 方法，是由戈登( g o r d o n ) 与里森费尔德( r i e s e n f e l d ，1 9 7 4 ) 在研究贝齐尔方法 的基础上引入的。 3 中南土学硬士学位论文第一幸待论 定义1 3 2 设6 ，( f _ 0 ，1 ，”) 为平面( 或空间) 上的n + 1 个数据点，称参数 w 曲线p ( “) = 6 ，t ) 为k 次b 样条曲线式中 m i ( ) ( f = o ，1 ， ) 称为k - 0 次规范b 样条基函数，简称b 样条。 b 样条有多种等价定义。在理论上较多地采用截尾幂函数的差商定义。下面 介绍作为标准算法的德布尔和考克斯的递推定义，又称为德布尔一考克斯递推公 式： m 旷牌l j v 啦( “) = 竺l m 卜。( ”) + 当正旦j 州( ) “h 一“，“l + 女+ l 一“j + i 规定 。( “) 的双下标中第二下标k 表示次数，第一下标i 表示序号。区间 “，“。+ 】为“( ) 的支承区间。b 样条有如下性质：( 1 ) 递推性。( 2 ) 规范性 喜m “) = 1 。( 3 ) 局部支承性质 ( “) ! 爱萋警墨“虬“( 4 ) 可微性，在t = ii 一”，l j 节点区间内部它是无限次可微的，在节点处它是k r 次可微的，即是c “7 的，这 里r 是节点重复度。由于b 样条基函数有如此优良的性质，因此b 样条曲线相应 有如下性质：1 局部性质；2 可微性或参数连续性：3 比贝齐尔曲线更强的凸包 性质；4 变差减少性质；5 磨光性质；6 几何不变性。 i 3 2s a i d - b a 儿曲线 a a b a l l 在c o n s u r f 系统93 中引入一种著名的现在被称作b a l l 曲线的三 次曲线。s a i d 独立地导出高次广义b a l l 曲线：s a i d b a l l 曲线。s a i d b a l l 曲 线具有类似与b 6 z i e r 曲线的几何性质，如保形性，变差缩减性质等。同时， 这些曲线具有比b 6 z i e r 曲线更有效的递归计算方法。 4 中南土辱_ 璜士学位论文 弟一幸绪论 定义1 3 3 设6 为平面( 或空间) ( f - o ，l ，帕n + 1 个控制顶点。n 阶 s a i d b a l l 曲线表示 b 。( ，) = 6 。鼠( f ) ( o s f 1 ) 。其中s a i d b a l l 基函数 ，= 0 定义为：对任意正奇数n = 2 m + 1 。( f ，= ( 了+ r c ，一r ，“，o r t ，。s ， ； i ：。+ ( f ) = 。( 1 一f ) 对任意偶数n = 2 m 屈c ，= ( 7 + ) r 。c - 一，”“，。r ，。s r s 州 肌) ：f 2 h - f ) m i 埘 厉。一，( f ) = 屈( 1 一f ) 1 3 4 有理b 样条曲线( n u r b s ) b 样条方法在表示与设计自由型曲线曲面时显示了强大的威力，然而在表 示与设计这些由二次曲面与平面构成的初等曲面时却遇到了麻烦。因为b 样条曲 线包括其特例的贝齐尔曲线都不能精确表示除抛物线外的二次曲线弧，b 样条曲 面包括其特例的贝齐尔曲面都不能精确表示除抛物面外的二次曲面，而只能给出 近似表示。为解决这个问题人们寻求的方法就是有理b 样条方法，此方法是为了 找到与描述自由型曲线曲面的b 样条方法相统一的又能精确表示二次曲线弧与 二次曲面的数学方法。首先将有理参数曲面引入形状设计的是波音公司的罗温呻1 ( r o w i n ，1 9 6 4 ) 和麻省理工学院的孔斯口”( 1 9 6 7 ) 。后来英国飞机公司的波尔( b a l l ) 在c 0 n s u r f 系统中构造了两类特殊的有理参数三次曲线：广义二次曲线弧和简当 线性参数段。我国成都飞机公司就采用波尔方法研制了c - s u r f 系统，用于飞机 外形设计。最早研究有理b 样条方法的是美国锡拉丘兹( s y r a c u s e ) 大学的弗斯普 里尔( v e r s p r i l l e ，1 9 7 5 ) 以后主要有皮克尔( p i e 9 1 ，1 9 8 7 ) 与蒂勒及两人联名 发表的论文“( 1 9 8 7 ，1 9 8 9 ) 对n u r b s 方法进行深入的研究工作。使这一方法 中南土学嚏士学位语文第一幸绪论 在理论上与实用逐步趋向成熟。 有理b 样条曲线的有理基函数表示 p ( “) = d ，r ( ) 尺。( 。) ：毒生生二丛生这里r m ) ，f = o ，l ，n 称为k 次有理基函数 - ，( ”) = 0 n u r b s 方法在c a d c a m 与计算机图形学领域获得越来越广泛的应用，这是因 为，正如皮克尔所概括的那样，它具有下述优点： 3 4 既为标准解析形状( 即前述初等曲线曲面) 用为自由曲面的精示与 设计提供了一个公共的数学形式。因此，一个统一的数据库就能存 储着两类形状信息。 由操纵控制顶点及权因子为各种形状设计提供了充分的灵活性。权 因子的引入成为几何连续样条曲线曲面中形状参数的替代物。 计算稳定且速度相当快。 n u r b s 有明显的几何解释，使得它对有良好的几何知识尤其是画法 几何知识的设计员特别有用。 n u r b s 有强有力的几何配套技术( 包括插入节点细分消去升 阶分裂等) ，能用于设计，分析与处理等各个环节。 n u r b s 在比例，旋转，平移，剪切以及平行个透视投影变换下是不 变的。 7 n u r b s 是非有理b 样条形式以及有理与非有理贝齐尔形式的合适的 推广。 然而，n u r b s 也还存在一些缺点 6 十南土学唾士_ 孽位论文摹一幸储论 1 需要额外的存储以定义传统的曲线曲面。 2 权因子的不合适应用可能导致很坏的参数化。甚至毁掉随后的曲面结构。 3 某些技术用传统形式比用n u r b s 工作得更好。一个例子是曲面与曲面求 交，那里特别难于处理刚好接触的情况。 4 某些基本算法例如反求曲线曲面上点的参数值，存在数值不稳定问题。 然而这些问题并非n u r b s 所特有，除2 外，其它自由型方法如非有理贝齐 尔，b 样条以及孔斯和戈登的那些方案也都存在同样问题。 1 3 5 有理b 6 z i e r 曲线 有理n 次贝齐尔曲线方程用有理分式写为： q 岛e ，( f ) p ( f ) = 上鲁一 ，o ，1 q b 。( f ) 它是带权控制顶点 卯，6 ，国， ，f _ 0 ，l ，h 定义的非有理贝齐尔曲线在 珊= 1 超平面上的投影。如果所有权因子等于1 ，方程中分母就等于1 。就得到 非有理n 次贝齐尔曲线。如果某些权因子是负的，则如二次，三次那样，奇异情 况可能发生，那时工程实践中所不希望的。为此，我们总是取所有的权因子为非 负值。且使首末权因子，珊。 0 。在这种情况下，有理贝齐尔曲线就保留了 非有理贝齐尔曲线的所有性质：端点插值，对称性，凸保性质，变差缩减性质， 仿射不变性等。由于有理贝齐尔曲线在投影前是带权控制顶点的非有理贝齐尔曲 线，因此非有理贝齐尔曲线的德卡斯特里奥算法可直接推广应用于带权控制顶 点，最后取其在= l 超平面上的投影即得所求。这也可看作分别对有理分式表 示中分子与分母同时执行非有理的卡斯特里奥算法，因分子与分母实际上分别是 由三维顶点甜仉与一维的权因子咄定义的贝齐尔曲线。这样有理贝齐尔曲线就 几乎和非有理贝齐尔曲线一样易于在计算机上实现了。 1 4 保凸曲线 中南土学珏士学位论文 * 一幸谙论 叶林在文献2 1 中给出了交互式保凸离散插值曲线，所生成的曲线是 c h a i k i n 曲线的推广，本质上它是一阶几何连续( g c l ) 的分段参数曲线，本文 构造的保凸离散插值曲线插值每一个型值点，是分段的二次曲线，且具有良好的 局部性，光顺性和变差缩减性质，较三次样条反插值计算简便，与d y n 四点法 钉比较，它具有保凸性质。 熊振翔在文献中构造了三次保凸样条曲线。给定平面点组 只( x ，y ，) ( j = o ，1 ，竹) 构成折线尸。只只只，考虑 0 ，i = o ，1 ，2 ，因而有理b z i e r 曲线具有v d 性质，所 以曲率不变号，因此不存在拐点。当b 。，b ，b ：共线时，二 次有理b 6 z i e r 曲线是一直线段。所以当w 。 0 ，i = o ，1 ，2 b 时，二次有理b 6 z i e r 曲线是保形的，证毕。 定理2 1 2 当w i 0 ，i = 0 ，1 ，2 ，3 时，三次有理b 6 z i e r 曲线p ( 1 ) 是保形的。 b 证明：b 。，b i ，b 2 ，b ，为凸多边形时，因 w f o ，f - o ，1 ，2 ，3 ，则三次有理b 6 z i e r 曲线也是凸曲线，因而保形。当 b o ，b 。，b ：，b 3 为非凸多边形时，设b ：为 拐向点( 或者b ) ( 左图) ，则口l 口z 与二：二，反号，拐向数为l 。令 f ( t ) = p ( t ) x p ( t ) ，则易知f ( t ) 为t 的连续函数，厂( o ) = 埠二l 二2 ， 忻 ，o ) ：堡竺粤二：。苫，因二，。二：与二：；，反号，w 。 o ，i ：o ，1 ，2 ，3 ，所以 忻 b 2 中南土学埙士学位论文第二幸带权园子的博| i | 曲线 厂( o ) ( 1 ) o 为对应于m 控制多边形的一类有理b 6 z i e f 曲线。考虑参数曲线相对曲率公式h 5 1 七，( f ) = 掣，令s ( r ，w ) = r 。( f ，w ) 髓“o ，w ) 。由于s ( r ，w ) 为t 的连续 p ( f ) l 函数，s ( r ，w ) 改变符号，则相对曲率也变号，则曲线可产生拐点，为计算方便 取产l 2 用以计算s ( ，w ) 。 对m 控制多边形，我们可给出四次有理b 6 z i e r 曲线的保形性的算法。 算法l ： 1 取w = l ，计算s ( o ，1 ) ； 2 计算s ( 1 2 ，w ) ； 3 计算t = s ( o ，1 ) s ( 1 2 ，w ) ；若r o ，绘出四次有理b 6 z i e r 曲线；否则w = w + 1 ， 中南太季硕士学位论文摹二幸啼权国子曲保彤曲线 引理2 1 1函数 耻咖掣高鬻篇器等骅 0 f s l w 0 一致收敛 碱蝴f ) _ 坠丛拦竽，则 墨熙l r a ( f ) 一们) i l i m l i m 规l 砾雨砑而等杀瓦雨丽小+”叶+ 。l b o 4 0 ) + w 口1 4 0 ) + w 占2 ，4 ( ，) + w b 3 4 ( r ) 十口4 4 ( r ) ”i 觋i 瓦而鬲瓦而i 瓦高笔瓦万历i 而”。佃i ( 日o 4 0 ) + w b i 4 ( f ) + w b 2 ，4 ( f ) + w b ，。4 0 ) + 口4 4 ( ，) ) ( f 2 一f + 2 ) 熙l 面而瓦丽老舞瓦而6 4 卜l 曰o ) + 1 i ，曰l 4 0 ) + w 口2 ，4 0 ) + 1 ，矗3 4 ( r ) + 丑4 4 ( ，) i 6 卜 屯卜 也| + 所以函数 心cr，们=兰叠!薹：主丢!；j!：兰甚享：等笔；：；#i：；：i警。，t，w。 玩，。0 ) + 鸠，。( f ) + 幔，。( f ) + 他，。( f ) + 层。4 0 ) 。 一致收敛 同理，容易证明r ：( r ) 也一致收敛。 引理2 1 2 设s ( f ，= r 。( f ，”r 。”( r ，w ) ，b 。，b 。，b ：，b ，b 4 为m 控制多边形，则有 挺恐s ( o ，1 ) s ( 1 ，2 ，w ) o 证明：直接计算可得 甚娶r 一( f ) 2 z ( f ) “+ ( f ) 6 z + 六( f ) 毛 黼肿) = 嬲撒) = 龄州归燕o 矧，妙。 所以 f i ( t ) o ，f 2 ( t ) o ，( t ) o ，f 1 ( t ) + f 2 ( t ) + ( t ) = 1 。可以证明熟心( f ) 具有 卞南土学嘎士孽往话文 摹二幸希权园子曲悸彤曲线 保凸性，s ( o ，+ m ) = s ( 1 ，佃) = 3 二：二，所以s ( 1 2 ，+ m ) 与二：二，同号，因b ：为 拐向点，则二，二：与二：三，反号，又因s ( o ，1 ) = 4 8 二，；：，从而 s ( o ，l 蛉( 1 2 ，+ 。o ) ( o 证毕。 从引理2 1 2 可知当w 一+ n _ j s ( o ，1 ) s ( 1 ，2 ，w ) 三时，s ( 0 ，1 ) s ( ；，w ) o 因而当w 二生尘丝二兰壁时z + w + e o ，令上= 二生尘尝 z gz g 所以当 十南太孽礓士学位论文辜二章希权园子曲任彤曲伐 w 时，s ( o ，1 ) s ( ；，们 o ， 使s ( 0 ，1 ) s ( 1 ，2 ，w ) o 时，有理b 6 z i e r 曲线有v d 性质，即b 6 z i e r 曲线的拐点数不超过其控制多边形的拐向点数( 见文献【24 】) ，所以四次有理b 6 z i e r 曲线心( f ) 为保形曲线。证毕。 下面给出两个例子，按照上面给出的算法，可对图l ，图z 所述的不保形曲 线进行调整，调整后的曲线分别为图3 ，图4 所示。显然，在图3 ( w = 4 1 ，l = 4 0 6 0 9 ) 和图4 ( w = 1 2 l = 1 1 7 5 2 8 ) 中，我们获得了满意的有理b 6 z i e r 曲线。 中南土学唾士学位论文摹二章节权园子曲饵彤线 图3 保形曲线 图4 保形曲线 6 十南土学硬士学位替文 苇二幸带权园子曲保彤曲线 定理2 1 4 存在w o ，使四次有理b 6 z i e r 曲线尼为保形曲线。 证明：当6 0 ，6 l ，6 ：，6 3 ，钆为凸多边形时，取w = 1 ，则蜀( f ) 为b 6 z i e r 曲线，因而是 凸曲线，所以保形。当6 。，“，6 ：，岛，6 。不为凸多边形时，若6 ：，毛为拐向点，则 b 。，b ，b ：，b 3 ，b 。为m 多边形，由定理2 1 3 知存在w 0 使四次有理b 6 z i e r 曲线 髓( ，) 为保形曲线。若b 4 为拐向点( 或者b i 为拐向点) ，取w = l ，则髓( f ) 为b 6 z i e r 曲线，且二。二：与二：二，同号，三：；，与二，；。反号，因而二。二：与= ；，二一反 号，令s ( f ) = r 。( o 如“( f ) te o ，l 】，易知s ( t ) 为连续函数，并且 s ( o ) ：五。( o ) r 。”( o ) = 4 8 二。二2 ，s ( 1 ) = r 。( 1 ) r 4 ”( 1 ) = 4 8 磊，二4 ，所以 s ( 0 ) s ( 1 ) o 使四次有理b 6 z i e r 曲线r ( ，) 为保形 曲线，证毕。 由本文对m 控制多边形保形b 6 z i e r 曲线的研究，下面应用文本的结果应用 于实际外形设计，设，甄6 。( k 2 ) 为平面中3 k + 2 个点，且每边不自交的一 个多边形，下面设计一条b 6 z i e r 曲线保形且达到c 1 连续的方法： 算法2 ：l 、f o r 滓l t 。k 。1d o 令6 m ；= 学并对= o 1 2 3 3 专4 3 七十1 重新排序0 ，1 ，2 ，3 ，4 4 t ，得到新的控制多边形巩，一，吐。 2 、墨( f ) = d 。，q ，。( f ) ，r 【o ，1 】，f _ o ，l 女一1 = o 3 、f o r i _ 1t ok 1d o 检查s 。( f ) 是否为保形曲线，若是则给出组合四次b 6 z h 曲线，否则转4 4 、依据算法1 对不保形曲线段做调节权因子处理，再转3 。 下面给出两个实例：( o 表示6 m ：，其余顶点都是6 ，实线为调整后的c 1 连续组 合四次保形有理b 6 z i e r 曲线，虚线为b 6 z i e r 曲线) 十南太学两士学位论文摹二幸带杠园子曲保彤甚栈 图7c 1 连续的四次保形组合b 6 z i e r 曲线( 实线为调整后的b 6 z i e r 曲线) 图8c 1 连续的四次保形组合b 6 z i e r 曲线( 实线为调整后的b 6 z i e r 曲线) 中南土学嘎士学位论文摹二幸亏权日子的怔形曲线 2 2 广义m 控制多边形保形有理b 6 z i e r 曲线 从以上定理可知对于二次，三次b 6 z i e r 曲线是保形的，而通过调整权因子 也可使四次有理b 6 z i e r 曲线保形，然而对于五次以上的b 6 z i e r 曲线的保形性质 是非常复杂的，我们首先从简单的情况入手。 定义2 2 1 平面中有，6 i 6 。n + 1 个b 6 z i e r 控制多边形顶点，若控制多 边形拐点数为l ，且多边形所有边不自交，边向量不共线，称此控制多边形为简单 拐点多边形。 定理2 2 1 如果多边形d 是简单拐多边形。则它的b 6 z i e r 曲线： 1 总有拐点或尖点出现； 2 拐点最多只有一个； 3 重点可以与拐点或尖点同时出现。 定义2 2 2 平面中有6 0 ，6 i 6 。n + 1 个b 6 z i e r 控制的多边形顶点，若其中， 6 m ，6 - l ，6 ，6 。，6 。五点构成m 多边形( 3 f 。为相应于广义m 控制多边形的b 包i e r 曲线， 令s ( f ，w ) = 尺。( f ，w ) 尺。“( f ，w ) ，下面给出广义m 控剑垒塑理的锃型篡洼! 算法3 ： ( 1 ) w = l ，汁算s ( o ，1 ) ： ( 2 ) 计算s ( 1 2 ，w ) ： ( 3 ) 计算t = s ( 0 ，1 ) s ( 1 2 ，w ) ，若t 0 ，给出n 次有理b 6 z i e r 曲线，否则w = w + l ， 再转( 2 ) 。 引理2 2 1 函数r ( r ) = 簧导，。，1 ，w 。一致收敛a 证明：令 ( f ) = ( + 1 ) r ( 1 一f ) 2 + ( t + 1 ) ( m k + 1 ) f ( 1 一f ) + ( 一女+ 1 ) ( 一) f 2 舶) = 掣k + 盟菩幽”型端型 l i m 限( f ) + + 警 曼l 中南土学硕士学位语文第二幸带权园子的博彤曲线 所以函数月一) = 等等，。r ” 。一致收敛。 同理，容易证明r i ( f ) 也一致收敛。 0 + 引理2 2 2 设s ( f ，w ) = r 。( f ，w ) r ，“( f ，v ) ，6 。，6 1 6 。为广义m 控制多边形，则有 l i ms ( o ，1 ) s ( 1 2 ，w ) o ， 使s ( o ，1 ) s ( 1 2 ，+ 。) ( o 因s ( o ，1 ) = ”2 ( 1 ) 二三2 ，所以s ( 1 2 ，1 与a 口：反号 由于s ( o ，w ) = n z h 1 ) 二、x 云2 ，s ( 1 ，、v ) = 2 ( n 1 ) ，所以s ( o ，w ) 与 s ( 1 2 ，w ，) 反号，s ( 1 ，) 与s ( 1 2 ，w ) 反号，又因为s ( f ，为t 的连续函数，所以 存在 ( o ，1 ，2 ) 使s ( ，w ) = o ，同理存在，2 ( 1 2 ，1 ) 使s ( ，w ) 5 0 所以r l ，r 2 为曲线 r 。( f ) 的拐点，即曲线r 。( f ) 存在两个拐点，又凶w o 时，有理b 6 z i e r 曲线有v d 性质，即b 6 ：i e r 曲线的拐点数不超过其控制多边形的拐点数。2 ”，所以定理得证。 由以上定理我们可知对广义m 控制多边形同样可以通过调节权因子使有理 b 6 z i e r 曲线成为保形曲线，下面举出两个实例：( 实线为调整后的保形有理b 6 z i e r 曲线，虚线为b 6 z i e r 曲线) 中南土学硬士学位论文第二章带权园子曲保移曲线 图5广义m 多边形保形b 6 z i e r 曲线( n _ 9 ，、v = 2 0 ) j | | ? ，。? 、 0 j i 、 j j v 图6 广义m 多边形保形b 6 z i e r 曲线( n = 9 ，w = 1 9 ) ，、，、， 、，rr 呻南大学硬士学位论文 第二幸带权园子蝻替彤曲线 2 3 五次保形有理b 6 z i e r 曲线 下面讨论五次b 6 z i e r 曲线的保形问题。设6 0 ，6 ，6 ：，屯，6 。，以为b 6 z i e r 控制多 边形，且各边不互交，则b6 z i e r 控制多边形的形状有i 类，如图： 2 对于第1 类b 6 z i e r 控制多边形为凸多边形，因而其b 6 z i e r 曲线为凸曲线。所以 保形。对于第二类b 6 z i e r 控制多边形为简单拐点多边形，由定理2 2 1 知，它的 b 6 z i e r 曲线会出现一个拐点，因而保形，对于第3 类b 6 z i c r 控制多边形为五次广 义m 控制多边形，由算法2 可通过调整权因子构造保形b 6 z i e r 曲线。而第4 类 和第5 类需重颓考虑保形算法。首先令： r ；( f ，们：鱼：! 塑鱼竺，：! ! 塑! 竺! ：! 塑垒! 垦! ! 塑鱼竺! ：! 盟丝璺：! 竺堡 7 风，5 0 ) + ”，口”o ) + ，曰2 ，5 ( ，) + h ，岛5 ( f ) + w 玩5 ( f ) + 口5 5 ( f ) o r l，w o 咒0 ，w ) = r 5 ( f ，w ) 矗5 ( f ，1 d 4171 矗( f ) = 们( f ) + 寻厅w b ( ，) 6 1 + ； w 口2 5 ( ，) 6 2 + ； w 口3 5 ( f ) 屯+ w 风5 ( ，) 6 4 + 忍，5 ( f ) 以 m ) = 们。+ 詈 们。( f ) + ；枷弘，( f ) + 詈 w 弘，( f ) + 们。“，) + ，( ，) j j | ， 厂 。一，v、 、 一 _ f ( ， j、 胁 干南土季硕士学位论文莽二幸带权园子曲雠彤曲线 删，w ) = 等虮，w 。 s s 5 ( ，w ) = 月r 5 1 ( f ， ，) 月月5 “( f ， ，) 对第4 类b 6 z i e r 控制多边形，存在两个拐向点6 ：，也，拐向数为二，- x 2 与 三zx 三，苫sx 三t 反号，二z x 葫，三，三a 同号，三一x ；s 与；：二，五，：。反号。若 其b 6 z i e r 曲线不保形，下面给出保形算法。 算法4 ： l 取一w = l ，计算s ，( o ，1 ) ； 2 计算蹦；，w ) ； 3 计算，= 只( o ，1 ) s ( 三，w ) ；若r 。，绘出五次有理b 6 z i e r 曲线，否则 + 1 ，转2 。 引理2 3 1 函数 足( f w ) ：鱼：! 竺堡竺堕竺塑竺! ! ! 塑垒些：! 尘塑! 鱼! ! 塑塾皇! ：! 盟塾。 玩。5 ( ，) + w 口l ，5 0 ) + w b 2 5 ( f ) + w 毋，5 ( r ) + w b 4 ，5 ( f ) + b 5 ( f ) o f 1，w 0 一致收敛。 证明：令厂( ，) = 旦二尘垒塑l 掣l 蔓之塑生尘业 l 一，+ ， ，i ( f ) = 鼠，5 ( ，) + 佃i ，5 ( f ) + w 口2 ，5 ( f ) + w b 5 ( f ) + 毋4 ，5 ( r ) + 曰5 ，5 ( f ) 到蹦忡邝肛规l 筹卜 l i m l 型堕盟墨! 垒堕一抚卜 w _ + + 。l ，l ( ，) ( b i ，5 ( f ) + b 2 ，5 ( f ) + 占”( ，) + 口”( ，) ) 。i l i m l 型塑! 坐型些! 塑6 ，l + l f l ( f ) ( b ”o ) + 口2 5 0 ) + b ”( f ) + 口4 ，5 0 ) ) i 规i 高筹篙精。，卜h 0 ) ( 口”( ，) + b 2 ，5 ( r ) + 口”( f ) + 曰4 ，5 ( f ) ) i 寸南土学哺士学位论文第二幸带权园子曲悍彤曲线 蚬i 蒜筹嚣虢a l + 蚬觜扣”呻佃l ，l ( ，) ( b ”( f ) + 口2 ，5 ( f ) + 口”( f ) + 日，5 ( f ) ) i”呻佃i ，l ( f ) 。i 所以函数 尼( f ，。) ：鱼：! 堕堕! 咝些! 咝堕! 堕堕! 咝些型! 风，5 ( r ) + w 口1 5 ( f ) + w 口2 ，5 ( ，) + 峭，5 ( f ) + l p b ，5 ( f ) + 色，5 0 ) o f l，w 0 一致收敛，证毕。 引理2 3 2 设6 0 ，6 。，6 ：，以，6 。，玩为第4 类b 6 z i e r 控制多边形，则 1 l m 砖( o ，1 ) 疋( 1 2 ，叻 o 证明：直接计算可得 撬蹦归等鬻等鲁笋一一 ( 1 一，) + 2 f 1 一，) 2r + 2 ( 1 一，v 2 + ， 玩，( f ) 6 l + 詈口( f ) 6 2 + 詈曰2 3 ( f ) 如+ 马3 ( f ) 钆 2 f 号一 风，( f ) + 吾曰”( f ) + 詈曰2 3 ( f ) + 岛3 0 ) 易知可将l i m 恐( f ) 作为权因子都大于零的三次有理b 6 z i e r 曲线，因而l i m 且，( f ) 具幸亍保凸性。s s ( 0 ，1 ) = 1 0 0 l 盯2 ，墨( o ，+ o o ) = 8 2 d 3s 5 ( 1 ，+ ) = 8 d 3 口4 所以s ( 1 2 ，w ) 与啦国，d 3 口4 同号，因口l 日2 与d 2 盯3 ，d 3 口4 反号，所以 l i ms 5 ( 0 ，1 ) s ( 1 ，2 ，w ) 三时，s (