（计算数学专业论文）bbm和扰动kdv方程的一些动力学性质.pdf

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b o n a - m a h o n ye q u a t i o n ，t h e e x i s t e n c eo fs o l i t a r yw a v 弓s o l u t i o n s i n f i n i t es m o o t ha n dn o n - s m o o t hp e r i o d i cw a v es o l u t i o n s a r eo b t a i n e du n d e rd i f f e r e n tp a r a m e t r i cc o n d i t i o n s i tc a nb es h o w nt h a tt h ee x i s t e n c eo f s l n g u h rc n r v c si nat r a v e l l i n gw a v es y s t e mi st h er l s o nw h ys m o o t hw a v e sc o n v e r g et oc u s p w r v e 8 ，f i n a l l y i nt h es e c o n dp a r t ，w es t u d yt h es i n g u l a rp e r t u r b e dk d ve q u a t i o n b a s e d o nt h er e l a t i o nb e t w e e ns o l i t a r yw a v es o l u t i o na n dh o m o c u n i co r b i t so fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，t h ep e r s i s t e n c eo ft h ee o l i t a r yw a v es o l u t i o nf o rt h es i n g u l a rp e r t u r b e dk d v e q u a t i o ni si n v e s t i g a t e du s i n gm e l n i k o vm e t h o d w es h o wt h a tt h es o l i t a r yw a v es o l u t i o n e x i s t sw h e nt h ep e r t u r b a t i o np a r a m e t e rbs u f f i c i e n t l ys i n a n w ea l s os h o wt h ee x i s t e n c eo f c h a o t i cm o t i o no ft h ep e r t u r b e dk d ve q u a t i o n k e yw o r d s ：s o l i t a r yw a v e ，p e r i o d i cw a v e , b i f u r c a t i o nt h e o r y , m e i n i k o vf a n c t i o n ，c h a o t i c m o t i o n 2 第一章 绪论 1 1 引言 真实的运动几乎都含有各种各样的非线性因素，诸如机械系统中的间隙，摩擦，结构系 统中的材料弹塑性、构件大变形，构件系统中的原件饱和特性，变结构控错策略等等安践 中，人们经常用线性模型来代替实际的非线性系统，以求方便地获得其动力学行为的某种逼 近然而，被忽略的非线性因索常常会在分析和计算中引起无法接受的误差，使得线性逼近成 为一场徒劳特别是对于系统的长时问动力学问题，有时即使略去很微弱的非线性因素，也会 在分析和计算中出现本质性的错误 人们最早开始关注方程的动力学性质是因为大多微分方程都不可能求出显式解，于是 人们试图通过不求解而直接研究解的几何和拓扑性质法国数学家h p o i n c a r 6 和俄国数学 家a m l y a p u m o v 是微分方程定性理论或者说微分方程几何理论的共同刨始人前者为 了研究天体力学和宇宙形成理论一类问题从1 8 8 1 1 8 8 6 年连续发表了微分方程所确定 的曲线) 为题的数篇论文，后者从1 8 8 2 1 8 9 2 年完成了在理论和实用上具有普遍意义的博 士论文： 研l 设 = z 一 t ，这里a 为波速方程( 2 1 1 ) 可以简化为一个常微分方程： 一a ( t ，) e 一( t ，) 暇+ 口( t m ) ；0 ， 竹 m 1 积分一次，得： 即： 一a 矿一( 俨) 氍+ 扩一g = 0 ， 竹 m 1 ( 2 1 ，1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 地“+ n ( 竹一1 ) u n 2 ( 心) 2 + n 铲一1 氍一扩+ 9 = 0 ， t l m 1 ( 2 1 4 ) 这里9 是一个积分常数方程( 2 1 4 ) 等价于下列微分方程组： 窿业堂：铬掣= 型 8 ( 2 l 5 ) 第2 章酞剃m i m b o n a - m a h o n y 方程的行波解及其分又兰州大学研究生学位论文 其中b = 量，c = - 量湿然，( 2 1 - 5 ) 是一个平面h a m i l t o n 系统，且有h a m i l t o n 函数 7k， 日( t ，可) = 她知- 2 矿+ 嘉a 矿( 矿一；惫酞m + 2 c ) ( 2 1 6 ) 系统( 2 1 5 ) 是一个依棱于( 九6 ，c ) 三个参数的平面动力系统所有的水平集日m ，p ) = h ，h 凡给出了系统( 2 1 5 ) 的不变曲线换句话说，系统( 2 1 5 ) 所定义的向量场的相图决定 了( 2 1 1 ) 的所有行波解我们需要知道( 2 1 | 5 ) 的系统行为，面动力系统的分叉理论将在我 们的同题中起到关键的作用我们将要研究当a ，b ，c 变化时，( 2 1 5 ) 相图的分叉 ( 2 , 1 1 ) 的行波解称为孤立波如果t ( ) 当一o o 时趋于有限的极限适常，一个孤立波 对应着( 2 1 5 ) 的一个同宿轨类似地，一个周期轨对应着一个周期行波饵为了研究这些 波，我们将要寻找所有的周期圆环和( 2 , 1 5 ) 的有界曲线，并描述系统在参数空同里面的分叉 集我们将要看到在( 2 1 5 ) 的分叉集里，行渡解的光滑性发生了变化而这种变化和一条奇 异直线有关在系统( 2 1 5 ) 中一= o 称为奇异直线是因为在这时系统的右边没有定义我们 将要证明对于靠近这条奇异直线的轨线，相应的行波解将失去光滑性 我们将要重点研究两个问题一个将( 2 1 i ) 的参数固定，改变h ( 即改变系统的初值) ，我 们得到系统的周期波会收敛于孤立波另一个问题是，改变系统( 2 1 5 ) 的参数，我们会发现 光滑的孤立波收敛于非光滑的行波 本章结构如下：我们先得到( 2 1 5 ) 的分叉集，然后考虑光滑孤立波和周期波解的存在 性以及它们之阃的关系紧接着考虑光滑性的丢失最后研究周期尖渡的存在佳 2 2 相图的分叉 l 麦一山 ( 2 - 。1 ) l 高一岍l 弘a 坩+ c ) u 。 - ，( 缸，0 ) = d e t ( m ( x i ，o ) ) = n 蛔“一1 ，( 甄) = n 矿一1n x n 一1 一锄w “一1 )( 2 9 2 ) 第2 章b e n j a m i n - b o n a - m a h o n y 方程的行波解庭其分叉兰州大学研究生学位论丈 由平面动力系统知识知： ( 1 ) 当j ( x l ，0 ) 0 时，平衡点为中心型； ( 2 ) 当j ( z l ，o ) o 时，当平衡点位鞍点； ( 3 ) 当，o ) = 0 时，平衡点为尖点，且平衡点的p o i n c a z d 指标为零 利用上述性质，我们可以得到不同的参数条件下，系统的分叉曲线和相图 2 2 1 ( n ，m ) = ( o d d ，o d d ) 当n ，n l 均为奇数时： ，( 功= 矿一妇”+ c ，( 动= r 。“一1 一拥证“1 = n 护”1 ( 矿一“一譬) ， ，扛) = 0 辛= 士( 警) “” ( b 0 ) 对系统( 2 2 1 ) ，在( b ，c ) 参数平面内有四条分叉曲线( 如图) ： 五：b = 0 ，屯：c = ( 嚣一1 ) ( 譬) 亲如：c = 0 ， 丘：c = 一( 杀一1 ) ( 等) 亲 t ) 赫u r c a t t 0 1 1 c u v e s 4 0 - ： c 52 0 - l 1】12： 、b a 3 珊 h - 4 0斛 ： 一c = 2 。( 3 x ) ( 1 5 ) “ 神( 3 x ) ( 1 5 ) 利用以上事实，我们有下面的结论： ( i ) 当慨c ) a 1 时，系统有个平衡点e l 似l ，o ) ，钕 0 时，局为中心点对于 ( h i ，0 ) ，系统有一族闭轨围绕着最 ( 2 ) 当a 0 时，而为中心点，历为二阶平衡点对于h ( h i ，o ) ，系统有一族闭轨围绕着毋 ( 2 ) 当a 0 时，毋为鞍点易为二阶平衡点 ( i i i ) 当( 6 ，c ) a 2 时，系统有三个平衡点毋( 妒l ，o ) ，岛( 仍，o ) ，e 3 ( e 3 ，o ) ，咖 o ，0 忱 o 时，且为中心，易为鞍点，髓为中心对于h ( h i ，0 ) ，系统有一族闭轨围绕着历尉 于h ( h 3 ，k ) ，系统有一族闭轨围绕着岛当h ( u ，o ) = k 时，在e 2 处有个同宿轨围绕着切 ( 2 ) 当a o 时，毋为鞍点，易为中心，历为鞍点对于h ( k ，o ) ，系统有一族闭轨围绕着场如 果丑，0 ) = h a 存在一个解满足o 矿 o m t ，最为中心，历为二阶平衡点，历为中心对于h ( h i ，o ) 和h ( h 3 ，0 ) ，系统分别 有一族闭轨围绕着毋，z 7 3 ( 2 ) 当a o m t ，蜀为鞍点，岛为二阶平衡点，历为鞍点 ( v ) 当( 6 ，c ) a 3 时，系统有三个平衡点晶( 妒l ，o ) ，场( 如，0 ) ，忍( 妒3 ，0 ) ，讥 o m t ，历为中心，励为鞍点，历为中心对于h ( j 1 2 ，h i ) ，系统有一族闭轨围绕 着研尉于h ( 0 ，b ) ，系统有一族闭轨围绕着岛当日( u ，0 ) = 圯时，在场处有一个同宿 轨围绕着毋 ( 2 ) 当a o 时，毋为鞍点，扇为中心，玩为鞍点尉于h ( 0 ，h 2 ) ，系统有一族闭轨围绕着场如 果日( ，o ) = l 存在个解满足妒l 矿 o 时，e l 为二阶平衡点，e 2 为中心对于h ( 0 ，阮) ，系统有一族闭轨围绕着玩 ( 2 ) 当a 0 ( 1 ) 当 o m ? ，毋为中心点对于h ( 0 ，h i ) ，系统有一族闭轨围绕着历 ( 2 ) 当a o 时系统( 2 2 1 ) 的相图 第2 幸b e n j a m j n b o n * m 唑塑芏查暨堡鱼壅竖墨薹坌墨兰塑查堂墼皇兰鱼堡塞 拗1 t 渭 y j 叁 8 ( 1 ) ( b ，c ) a i 毛1v 入 八 【 洲 jr 憋 飞：庞 ( 2 ) ( 6 ，c ) 2 i 入| i j气 v 过 ”t f i j 八u 甥 ( 3 ) ( b ，c ) a s w j y 懿。 驽 j ( 4 ) ( 6 ，c ) 3 ( 5 ) ( 6 ，c ) a s( 6 ) ( 6 ，c ) 影jv 卷i八 ( 7 ) ( 6 ，c ) 4 4 f i 9 2 ( n ，m ) = ( o d d ，o d d ) ，a 0 ， 五：6 = 0 ， 厶：c = 一( 景一1 ) ( 哗) ；， 如：c = 0 , b 0 2 c1 5 3- 2- i 2i b 3 i 舶圣 c | 3 即唧) p - 3 1 2 ( - o x p 利用以上事实，我们有下面的结论： ( i ) 当( 6 c ) a 1 时，系统有一个平衡点e l ( 妒1 o ) ，妒1 0 时，e l 为中心点对于h ( h l ，0 ) ，系统有一族团轨围绕着而 ( 2 ) 当a o 时，e l 为中心点，岛为二阶平衡点尉于h ( h l ，o ) ，系统有一族闭轨围绕着e 1 ( 2 ) 当a 0 时，毋为鞍点易为二阶平衡点 ( 王i i ) 当( b ，c ) a 2 时添统有三个平衡点e 1 1 ，o ) 。e 2 ( 锄，o ) ，e s t 魄o ) ，嘲 0 ，0 锄 0 时，毋为中心，场为鞍点，励为中心对于h ( l ，0 ) ，系统有一族闭轨围绕着置对 于h ( b ，k ) ，系统有一族团轨围绕着忍当日0 。o ) = b 时，在易处有一个同宿轨围绕着玩 ( 2 ) 当a o 时，e l 为鞍点，易为中心，局为鞍点对于h ( 地，o ) ，系统有一族闭轨围绕着局如 果日( u ，0 ) = h s 存在一个解满足0 o 时，蜀为二阶平衡点，疡为中心对于h ( 2 ，0 ) ，系统有一族闭轨围绕着场 ( 2 ) 当a 0 ( 1 ) 当a 0 时，毋为中心点对于h ( h i ，o ) ，系统有一族闭轨围绕着西 ( 2 ) 当a 0 时局为二阶乎衡点，历为中心尉于h ( 0 ，圯) ，系统有一族闭轨围绕着而 ( 2 ) 当 o 时，蜀为二阶平衡点玩为鞍点 ( v i i i ) 当( 6 ，c ) 血时，系统有三个平衡点毋( 妒1 ，o ) ，e 2 ( 仍，o ) ，历( 奶，o ) ，妒1 o e 寸，最为中心，而为鞍点，历为中心对于h ( _ 1 1 2 ， 1 ) ，系统有一族闭轨围绕 着西对于h ( 0 b ) ，系统有一族闭轨围绕着岛当日m ，0 ) = k 时，在场处有一个同宿 轨围绕着历 ( 2 ) 当a 0 时，而为鞍点，岛为中心，玛为鞍点对于h ( 0 ，屯) ，系统有一族闭轨围绕着岛如 果h ( u ，0 ) = h i 存在个解满足妒1 矿 o ，在e i 处有个同宿轨围绕着历 ( i x ) 当( 6 ，c ) 如时，系统有两个平衡点局，0 ) ，场( 仍，o ) ，妒1 0 时，而为中心点，恳为二阶平衡点对于h ( 0 ，h i ) ，系统有一族闭轨围绕着毋 ( 2 ) 当a o 时，毋为鞍点励为二阶平衡点 ( x ) 当( 6 c ) a 5 时，系统有个平衡点岛( 妒1 ，o ) ，妒l o 时，墨为中心点对于h ( 0 ，h 1 ) ，系统有一族团轨围绕着历 ( 2 ) 当a o 时系统( 2 2 1 ) 的相图 物 7 ：t 丫 j j 覆 m：，v 心 叔 v ， 过。u 9 入”甥 ( 1 ) ( 6 ，c ) a 1 u a 5( 2 ) ( 6 ，c ) u 如( 3 ) ( 6 ，c ) , 4 2 第2 章b e n j m i n - b 0 n * m a h o n y 方程的行波解及其分叉兰，h 大学研究生学位论文 谢j 1 焦i八 ￥jv 荪：八 1 ja i “) ( 6 ，c ) 如u 1 4( s ) c b ，c ) a 3( 6 ) ( 6 ，c ) a 4 f i 9 4 ( n ，m ) = ( o d d ，e v e n ) ，a 0 ， 岛：矗= 0 ， 毳：c = 一( 器一1 ) ( 警) 百， 拓：c = o 一 0 e l 为二阶平衡点 ( 1 1 1 ) 当( b ，c ) a 2 时，系统有两个平衡点e l 1 ，o ) ，踢( 如，o ) ，0 妒l 0 时，e l 为鞍点，励为中心点尉于h ( _ 1 1 2 ，h 0 ，系统有一族闭轨围绕着场当h = h 1 时，在局处有个同宿轨围绕着场 ( 2 ) ，当a o 时，e 1 中心点，历为鞍点对于h ( h 2 ， 1 ) ，系统有一族闭轨围绕着毋如果h ( u ，0 ) = _ 1 1 2 存在个解满足0 o 时，e l 为二阶平衡点，岛为中心对于h ( h 2 ，0 ) ，系统有一族闭轨围绕着恳 ( 2 ) 当a o 时，西，历均为中心对于h ( h i ，o ) ，系统分别有一族闭轨围绕着西，场 ( 2 ) 当a o r + ，且为二阶平衡点，场为中心对于h ( 0 ，k ) ，系统有一族闭轨围绕着场 1 8 第2 章b e n j a m i n - b o n 8 - m a h o n y 方程的行波解及其分叉兰搠大学研究生钝论文 ( 2 ) 当a o 时系统( 2 2 i ) 的相图 沁 乃 y r： v 焦i八 ( 1 ) ( 6 ，c ) a 2( 2 ) ( b ，c ) 2 第2 幸b e n j a m n - b 0 n p m a h o n y 方程的行波解反差坌墨兰塑鑫堂堡壅堡皇鱼i 箜堑 嘉 1 v 入1l八 w 1 焦： 缁 ( 3 ) ( 6 ，c ) a s( 4 ) ( b ，c ) 4 f i 9 6 ( n ，m ) = ( e v 阻，o d d ) ，a 0 ， b ：6 = 0 ，丘：c = 0 ，6 0 b m _ n ，k mdj n 憾 2 5 一 c m1 0 5 3 241 2 ： 一刚1 口 2 0 第2 章b e n j a m i n - b o n a - m a h o n y 方程的行波解及箕分叉兰州本堂啦生星鱼! ! 窭 利用以上事实，我们有下面的结论： ( i ) 当6 ，c ) a i 时，系统有无平衡点 ( ) 当( 6 ，c ) 1 1 时，系统有两个平衡点e 1 似1 ，o ) ，岛( 如，o ) ，妒1 0 e l ，易均为尖点 ( i i i ) 当( 6 ，c ) a 2 时，系统有四个平衡点毋( 妒l ，o ) ，易( 仍，0 ) ，e 3 ( 魄，o ) ，e 4 ( 妒4 ，o ) ，妒1 忱 0 ，0 讥 0 时，e l ，髓均为中心，e 2 ，e 3 均为鞍点在场，局处，各有一个同宿轨包围着e 1 ，臣对 于h ( h l ，h 2 ) ，系统分别有两族闭轨围绕着毋、甄 ( 2 ) 当a o s 4 ，历，e 4 均为鞍点，岛，岛均为中心对于 ( b ，0 ) ，系统分别有两族闭轨围绕 着历、历如果h ( u ，0 ) = h 4 存在一个解满足0 矿 o 时，e 1 ，e 3 均为中心，e 2 为二阶平衡点对于h ( h l ，o ) ，系统分别有两族闭轨围绕 着e 1 、e 3 ( 2 ) 当a o 时，e l ，励均为中心对于 ( h i ，o ) ，系统分别有两族f j j _ 钒围绕着毋，场 ( 2 ) 当a 0 ( 1 ) 当a 0 时，e 1 为中心点对于h ( 0 ，h i ) ，系统一族闭轨围绕着毋 ( 2 ) 当a o 时系统( 2 , 2 1 ) 的相图 叫夕b 、r 螂：妙 氏：矜 ( 1 ) ( 6 ，c ) 也( 2 ) ( 玩c ) 2 vv j 暂 i 制jv 蛾-从 ( 3 ) ( 6 ，c ) a 3( 4 ) ( 6 ，c ) a 4 f i 9 8 ( n ，m ) = ( e v e n ，e 、，e n ) ，a t p 口我们假设相图中闭轨的周期为t t ，t ( 0 ) = p 则有： 翥= 士f 丽磊丽丽f 丽 5 ) 从而有： 一f 而葡焉而魂= 压弘一上了丽= 鬲万雨= 芾雨i 亏丽。“5v 一“厶“7 两个方程合二为一为： f 而i 萨蒜丽虹压蚓厶、币i 司石j 丽再面石再y ”“ 注意到： ( 0 1 ( 2 3 6 ) ( 一t n 我们假设 ( o ) = 华= u o 则有： 磊d u = 士厂丽；丽 从而有： e 南乩= 瓜r 却 一f ( m - u i l ( u - n ) 址伍z 。却一上1础- v “上却 两个方程合二为一为： e 南觇= 瓜h i 细 0 ) ( 口 n 口 p - 我们假i 殳u ( o ) = n 则有： 筹= 士( 钍一力厂雨磊i 两 从而有： ( 町 o ) 厂；：兰：一砒：=：!：一ln(4cp-n)(x-m)-4cp：m)cz-n)： 上面历孩嚣而幂严= 一d o - m ) c p - n ) 1 n 再f 一 于是我们得到： 一2 p n m + p n 2 + p m 2 - i - ( 4 r a n 一2 p m 一2 p n ) t + 川2 “2 刃= 甄i 习耳西i 面了磊乒爵厂一 其中t = e 冲( 、佰二鬲讽而乒x 川) 这是个孤立波解大致图形如下： f i g l l 孤立波解的剖面图 茅2 章b e n j 8 m i n b o n a - m 8 h o n y 方程的行波解夏其分叉 兰州大学研究生学位论文 2 4 周期波解收敛于孤立波解 从图形上看同宿轨包围着无效条闭轨，每一条闭轨都对应着一个周期解闭轨之问的区 别在于h 也就是初值的不同随着 的变化，闭轨逐渐趋近于同宿轨从而周期波收敛于孤立 波我们可以将此看作是周期波周期趋于无限大时的极限状态 2 5 光滑波解收敛于尖波解 在这一部分，我们将要证明奇异直线的存在是导致非光滑行波解存在的主要原因 简便起见，我们仍取n = 2 ，m = l ，这时我们有如下定理： 定理：设( “，p ) 是( 2 1 5 ) 的周期轨道，y 上一点，则在奇异直线“= o 附近，在q 的很短的区 间内，y = u 。发生了跳变 过，当n = 2 ，m = l 时，我们得到口轴上的平衡点所满足的方程为： 2 y 2 q - a ( u 2 一阮+ c ) = 0( 2 5 1 ) 设该曲线和我们所考虑的周期轨道的交点为a ，b a ，b 将周期轨分为两个部分，靠近y 轴的部 分为饥，另一部分为忱在u = 0 附近，我们假设u = e 1 于是有： 丧一 ( 2 5 2 ) is 絮= 一壁掣 、。 ( 一等一沪+ d 面d u = 印 ( 2 删 t = z 警= 噱+ 五，警= 乃+ 乃 c z s a ， 下面来计算a b 的时间n ， 噩= z 。警= 互警舅= 互习南= 。c e ， c 。s s ， 第2 章b e n j a m i n b o n a - m a h o y 方程的行波解及薹坌墨兰用螳研究生耄垡论文 上式表明a g 舷了非常短的时间，即= 发生了跳跃证毕! 例如：在( 2 3 1 0 ) 中，调整参数，使得n m ，p 一口，从而一l 则： “2 。+ 石i 再( p - 面q ) ( n 乖- q ) 甄 ) ( n q ) 一( n p ) t a n h 2 ( 型尘! ：；2 坚型i 叼i ) 这是一个孤立尖波解图形如下； 1 ： 、l f i 9 1 2 孤立尖波解的剖面图 第三章 扰动k d v 方程孤子解和混沌的存在性 3 1f e n i c h e l 定理 先将我们将要用到的理论复习一下 几何奇异摄动理论是由f e n i c h e l 首先给出的，故而称之为f e n i c h e l 定理 考虑标准的快流系统： ， l ，( t ) = f ( y c t ) ，8 ( t ) ，) ( 3 1 1 ) is 俅) = e s ( 1 c t ) ，s c t ) ，s ) 其中，o e l 是一个是参数，= ( ，1 ，2 ，n ，) t j ，8 = ( 8 1 ，。2 ，8 。) t j p ，n l + n 。= n ，r r t a x0 ，钏= 。0 0 这里耐应着快流方向，8 对应着慢流方向傲一个时问尺度变 换，r = “，7 ：= 石d ，系统( 3 1 ) 转化为： 篡= ( 3 ，1 2 ) 只要e o ，系统( 3 1 1 ) 和( 3 1 2 ) 就是等价的以下我们称( 3 1 1 ) 为快系统，称( 3 1 2 ) 为 慢系统 ( a 1 ) 函数f 和s 在u 肚是c ”的，其中uc 为开集j 为包含0 的开区问， ( a 2 ) m oi “s ，) lf ( f ，8 ，0 ) = o ) 是一个紧流形，它是c o o 函数，= 而( s ) 在d 上的图像，其 中d 为u 的连通紧子集 ( a 3 ) m o 为双曲的 垄! 主垫塑垦盟查垦蔓竖塑墨堕塑壹查垫兰卅大学研究生学位论文 f e n i c h e l 定理在假设( a 1 ) 一( a 3 ) 成立时，如果e o 充刎、，则存在一个d 上的函数尥使 得流形阮在漉( 3 1 1 ) 是局部不变流形进一步，x 惟f q r 0 时，a l ，a 2 均有负实部 ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) 、 o e 印 s o 吒 o o c ，-l一， 第3 章扰动k d v 方程孤子解和混沲的存在性 兰州大学研究生学位论文 3 4 孤立波的存在性 下面我们证明，当充分小时，系统( 3 2 5 ) 存在同宿轨 如果( 3 。8 ) 中= o ，我们可以得到澎形娲= 0 ) it l ，= 吾( c u 一钍2 ) ，艰崩在上 的快系统的线性化为： a = ( 3 4 1 ) a 的特征值为0 ，0 ，一卢所以为双曲的，根据f e n i c h e l 定理，在m o 的领域内存在扰动流 形尬，它微分同胚于m o 为决定肘；上的动力系统，我们记： 肘；= ( t ，口， ) 陋；h ( u ，0 ) ( 3 4 2 ) 其中，h “，口，e ) 光滑地依赖于s 且满足： 扣m o ) = 石1 ( m 一；铲) 隆。鼬 ( 3 4 4 ) 的极限形式在上为： 品叫呐 ( u ，口，) 关于撮开为： ”= 寺一；u 2 ) + 曲z ( “，。) + o ( s 2 ) ( 3 4 6 ) li 0 0 印 0 0 0 0 o c ，j，lll 第3 章扰动k d v 方程孤子解和混沌的存在性兰州大学研究生学位论文 对它求微分得： 姊= ；( “一砌州瓷”+ 瓦a h l ”) + 。p ) 将( 3 4 6 ) 和【3 4 7 ) 代入( 3 2 4 ) 得： ：一i12一,swelw,re f 扣，u ) 2 “一i ”一 一5 ，p ，“) = 一印h 1 0 。一f f 0 ，妨 = ( 一卢 l m ，”) 一f ( ，) ) = ；( c u w ) + r e - 2 l 石a h i l 口+ 刁o h 丁l ) + o ( 户) 令e 的系数为零，可以得到2 1 ( t ，) = 一万1 ( c p t 聊+ 口f 扣，“) ) ( 3 ，4 7 ) ( 3 4 8 ) r o ( 未扰方程的同宿轨) 的参数表示为( 3 c s e = c h 2 啄) ，一6 cs e c h 2 豕) t a n h 、尿) ) 计算可得： m ( 卢) = 7，( 口0 嬉) ) a g ( 口o ( 毛+ 矗) ) = e ( 吉缸：神) ( 嘣。一0 埘一武 = 一壶( c t ，2 一w 2 + 胪( 州) ) 诚 = 湍一；e 盹u 旭 ( 3 a 9 ) 其中o 6 5 n l b 2 一啦b 1 口i ( n l ，a 2 ) 舻，b e ( b l ，b 2 ) r 2 最后个式子说明只要f ( 口，t ) 选 取适当，舅! l m ( 芦) 有且只有个零点，而满足这种条件的f u ) 是非常多的在这些情形下就 证明了同宿轨的存在，从而说明k d v 方程的扰动方程存在孤波解 下面我们e 2 f ( v 为单项式来说明问题当f ( v ，u ) = 俨矿时，n 任意，m = 4 k + 1 即可 满足所需条件 3 3 第3 章托 k “方程孤子解和混池的存在挂 兰州大学研究生学位论文 饲l ：当我们取f ( 口， ) = 口时可以得到下面的定理2 ： 定理2 奇异扰动方程 饥+ t n k + 肪巧+ ( t 勰+ “黜掰) = 0 存在孤立渡解 可以看剜定理中的方程正是k d v - b u r g e r s - k u r a m o t o g y 程 t k + + n t 坷+ z + 1 t 黜= 0 ( 3 4 1 0 ) ( 3 4 1 1 ) 当a = 7 = s 时的一种特殊情形，从而也就证$ t k d v - b u r g e r s - k u r a m o t o g t y 程孤渡解的存在 性 例2 ：当我们取f “t 1 ) = 护可以得到： 定理3 奇异扰动方程 毗+ t 地+ 卢t k + e ( 3 u 2 u z + t 目“) = 0 存在孤立波解 定理中的方程可以看成是m k d v 方程 毗+ 伽2 + = 0 扰动方程， 3 5k d v 方程扰动方程混沌的存在判别 我们注意刭如果在( 3 2 1 ) 中抗动项f 蒯y s i n ( ：v ) ，则( 3 4 9 ) 变为： ，十o o 朋( f o ) = ，( 口。嬉) ) a g ( q o g ，f + 岛) ) 鹰 ，一 = e ( 知：”) ( 嘣。一? 。刚) 武 3 4 ( 3 4 1 2 ) ( 3 4 1 3 ) 墨! 主塑塑型查墨堡壁童墨垦堕查垒苎 兰塑盔堂堑窒皇皇鱼! ! 窒 = ，0 0 刍( 舻一舻一口c o s ) ) ”磁 ：丽6 8 6 c i 一忑熹五s l n ( 0 ) 2 丽一丽啊 ( 3 5 1 ) 于是只要满足 肇1 _ 6 8 6 c 5 ( 3 5 2 ) 丽丽丽5 则m 渤) 存在简单零点，说明原方程即k d v 方程扰动方程存在混沌 第四章 总结和展望 利用相图分析方法来考察非线性微分方程的行渡解是近几年发展起来的一种思路本 文利用相图分析方法分析了b e n j a m i n - b o n a - m a h o n y 方程的各种行波解，得到了很好的结 果但仍存在在一些不足之处今后我们还将努力用相图来解释现有的关于各种行波解的 结论，进而能够预测一些新的解的形式出来 当方程的阶数提高时，相应的相图的维数增多府维动力系统的理论没有平面时直观，成 熟，发展这方面的理论也是需要我们解决的问题 虽然我们给出了些相对复杂的解的解析表达式，但这都是在特殊情形下的解，对于一般 的情形仍然不易求解作者猜想，是否可以定义一种薪的函数，类似于椭圆函数，可能求不出 它的表达式，但却知道它具有某些性质由于时同缘故，作者还未能考虑周全萁次，我们看到 在相图分析和求解的过程中，首次积分起到了重要的作用，而并不是所有的方程都有首次积 分，那么不用首次积分是否也能对于这类方程找到一种有效的方法? m e l n i k o v 方法对于判别系统存在同宿轨和混沌都是一个很有效的工具但它的计算比 较困难首先它要依赖于未扰方程的解的形式，其次扰动项的复杂程度也直接影响着它的计 算而且从文中可以看到，对于原方程所对应的平面系统，扰动项的计算本身就有困难要将 此方法应用于大量的其他方程，还有很多工作需要去做本文在计算中，有意将未扰流形构 造成简单而特殊的一元函数图像但对于一般情形计算相对复杂，尽管理论上可行，从而我 们在实践中还有待进一步寻找可行的计算方式 对于上面的这些问题，作者将在以后的工作和学习中继续研究，以期得到更好的结果 参考文献 【1 】j b l i ，z 凡l i u ，s m o o t ha n dn o n - s m o o t ht r a v e l i n gw a v e si nan o n l l n e a r l yd i s p e r s i v e e q u a t i o n a p p l m a t h m o d e l 2 5 ( 2 0 0 0 ) 4 1 5 f i 【2 】h l i ，s r s u n ，j b ，l i ，b i f u r c a t i o no ft r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n sf o rt h eb o u s s i n e s qe q u a - t i o n s a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n ( 2 0 0 5 ) 【3 】s h e n g q i a n gt a n g ，m i n gl i b i f u r c a t i o n so ft r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n si nac l a s so fg e n e s - a l i z e dk d v e q u a t i o n a m c ( 2 0 0 5 ) 【4 】j i a n w e is h e n ，w e ix u b i f u r c a t i o nm e t h o da n dt r a v e l i n gw a v es o l u t i o nt ow m t h a m - b r o e r - k a n pe q u a t i o na m c 1 7 1 ( 2 0 0 5 ) 6 7 7 - 7 0 2 f 5 】q i n s h e n gb i b i f u r c a t i o n so ft r a v e l i n go fw a v es o l u t i o n sf r o mk d ve q u a t i o n t oc a m a s s a - h o l me q u a t i o n p h y s i c sl e t t e r sa 3 4 4 ( 2 0 0 5 ) 3 6 1 - 3 6 8 【6 1y a n i n gt a n g , w e ix u b i f u r c a t i o n so ft r a v e l i n gw a v es o l u t i o n sf o rag e n e r a l i z e ds i n h - g o r d o ne q u a t i o n ( 2 0 0 6 ) 【7 ly u q i a nz h o