（计算数学专业论文）delaydependent+stability+analysis+of+numerical+s+for+neutral+delay+differential+equations.pdf

上海师范大学硕士学位论文 中文摘要 摘要 中立型时滞微分方程广泛地应用于电路分析，多体力学系统的实时仿真，化学反应模 拟以及最优控制等领域。由于中立型时滞微分方程的复杂性，很难得到理论解的解析表 达形式，因此研究中立型时滞微分方程的数值解法显得十分必要。 中立型时滞微分方程的数值求解一直是一个非常活跃的研究领域，已有很多关于中立 型时滞微分方程的数值处理的研究工作。虽然求解中立型时滞微分方程的数值方法的稳 定性已经被深入的研究，但是与时滞相关的稳定性研究较少。 本论文首先讨论了中立型时滞微分方程渐近稳定的充分条件，在此基础上分别研究了 求解中立型时滞微分方程线性多步法和自然龙格库塔法的时滞相关稳定性，获得了这些 方法为时滞相关稳定的充分条件，并给出了一些时滞相关稳定的线性多步法和自然龙格库 塔法。最后，给出了一些数值例子来验证我们理论分析的正确性。 关键词：中立型时滞微分方程，线性多步法，自然龙格库塔法，时滞相关渐近稳定 性，1 - ( o ) 一稳定 英文摘要上海师范大学硕士学位论文 a b s tr a c t n e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( n d d e s ) a r i s ei naw i d ev a r i e t yo fs c i e n t i f i ca n de n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s ，i n c l u d i n gc i r c u i ta n a l y s i s ，r e a l - t i m es i m u l a t i o no fm e c h a n i c a l ( m u l t i b o d y ) s y s t e m s ，c h e m i c a lp r o c e s ss i m u l a t i o na n do p t i m a lc o n t r 0 1 b e c a u s eo ft h ec o m p l e x i t yo ft h e n d d e s 。i tb e c o m e sq u i t ed i f f i c u l tt oo b t a i nt h e i ra n a l y t i cs o l u t i o na n dh e n c ei ti sn e c e s s a r yt o i n v e s t i g a t et h en u m e r i c a lm e t h o d s f o rs o l v i n gn d d e s t h e r ee x i s t sa ne x t e n s i v el i t e r a t u r eo nn u m e r i c a ls o l u t i o no fn d d e s ag r e a td e a lo fp r o g r e s s h a sb e e nm a d ei nt h ed e l a y i n d e p e n d e n ts t a b i l i t ya n a l y s i so ft h en u m e r i c a lm e t h o d sf o rn d d e s h o w e v e r , o n l yf e wr e s e a r c hw o r k sh a v eb e e nd o n eo nt h ed e l a y - d e p e n d e n ts t a b i l i t yo fn d d e s i nt h i st h e s i s ，w ef i r s ti n t r o d u c eas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fn d d e s b a s e do nt h i sc o n d i t i o n ，w es t u d yt h ed e l a y - d e p e n d e n ts t a b i l i t yo fl i n e a rm u l t i s t e pm e t h o d sa n d n a t u r a lr u n g e k u t t am e t h o d sf o rn d d e s s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h en u m e r i c a lm e t h o d st ob e d e l a y - d e p e n d e n t l ys t a b l ea r eo b t a i n e da n dt h e nu s e dt og i v es o m ee x a m p l e so fd e l a y d e p e n d e n t l y s t a b l el i n e a rm u l t i s t e pm e t h o d sa n dn a t u r a l r u n g e - k u t t am e t h o d s f o rn d d e s s e v e r a ln u m e r i c a l e x p e r i m e n t sa r ec o n d u c t e d t ov e r i f yo u rt h e o r e t i cr e s u l t s k e yw o r d s ： n e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，l i n e a rm u l t i s t e pm e t h o d s ，n a t u r a lr u n g e k u t t am e t h o d s ，d e l a y d e p e n d e n ta s y m p t o t i cs t a b i l i t y , 丁( o ) - s t a b i l i t y h 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同 志对本研究的启发和所傲的贡献均已在论文中散了明确的声明并表示了谢意。 作者签名： 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件。允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 采用影印、缩印或其它手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此规定。 作者签名：导师签名：k 豳幺绍涩日期：丑：! ：哆 上海师范大学硕士学位论文 c h a p t e r 1i n t r o d u c t i o n c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 1 b a c k g r o u n d ：筹二二笔：可( ；兰：三： 一r ) ) t o - c - - - ， f u n c t i o nt ob es o l v e df o rt 0 n e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v ea p p e a r e df r e q u e n t l y i nm e c h a n i c s ，p h y s i c s ，b i o l o g y , m e d i c i n e ，e c o n o m y , a n de n g i n e e r i n gs y s t e m s ，s u c ha sd i s t r i b u t e d n e t w o r k sc o n t a i n i n gl o s s l e s st r a n s m i s s i o nl i n e s ，p o p u l a t i o nd y n a m i cm o d e l s ，a n dc o n t r o lo fe li - d e m i c s 【1 4 ，2 7 f o re x a m p l e ，ap o p u l a t i o nd y n a m i cm o d e lo ft w os p e c i e si n t e r s e c t i o ni nac l o s e d e n v i r o n m e n tc a nb ed e s c r i b e db yan e u t r a ld i f f e r e n t i a ls y s t e mw i t hd e l a y s 【3 0 n d d e sh a v e b e e ns t u d i e dr a t h e re x t e n s i v e l yi nt h ep a s tf e wy e a r s t h es t a b i l i t ya n a l y s i so fn e u t r a ld i f f e r e n t i a l s y s t e m sh a sr e c e i v e dc o n s i d e r a b l ea t t e n t i o nd u e t oi t st h e o r e t i c a li n t e r e s t s ，a n dh a sb e e no n eo ft h e m o s ti n t e r e s t i n gt o p i c si nc o n t r o lt h e o r ys i n c ei ti sa p o w e r f u lt o o lf o rp r a c t i c a ls y s t e ma n a l y s i s a n dd e s i g n 【3 2 ，3 6 t h er e s u l t so ne x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dc o n t i n u o u sd e p e n d e n c eo fs o l u t i o n o f n d d e ( 1 1 1 ) a r er e f e r r e dt ot h em o n o g r a p hb yh a l ea n dl u n e l 【1 4 1 2 d e l a y d e p e n d e n ts t a b i l i t y d e p e n d i n go nw h e t h e ro rn o tt h es t a b i l i t yc r i t e r i o ni t s e l fc o n t a i n st h es i z eo ft h ed e l a y , s t a b i l i t yc r i t e r i ao fn d d e s c a nb ec l a s s i f i e di n t od e l a y i n d e p e n d e n tc r i t e r i ao rd e l a y d e p e n d e n tc r i t e r i a g e n e r a l l ys p e a k i n g ，t h ef o r m e ro n e sw h i c he s t a b l i s hs t a b i l i t yf o ra l lp o s s i b l ed e l a yv a l u e sa r e c o m p r e h e n s i v eb u tc o n s e r v a t i v e ，w h i l et h el a t t e ro n e sw h i c hc a ng i v et h em a x i m u ma l l o w a b l e b o u n do ft h et i m ed e l a ya r em o r es e l e c t i v ea n df l e x i b l e 翟二署h 篓：篇 一) o 2 m w ef i r s ti n t r o d u c ead e f i n i t i o nf o rt h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo f n d d e ( 1 2 1 ) d e f i n i t i o n1 2 1 1 2 8 1t h ez e r os o l u t i o no f n d d ei1 2 1 ) i ss a i d t ob ed e l a y d e p e n d e n t l ya s y m p 。 t o t i c a l l ys t a b l ei f , f o ra r b i t r a r i l y f i x e d7 0 a n d a n yi n i t i a l f u n c t i o ng ( t ) ，i t sa n a l y t i cs o l u t i o ny ( t ) s a t i s f i e s i my ( 亡) = 0 g - 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p l a n eq 1 7 ，a n db o u n d e db yt h ep l a n e s ；7 l = 1 ，t h es t r a i g h th a l f - p l a n e l 。a n dt h et r a n s c e n d e n t a ls u r f a c e 瓦d e n o t i n ga 。a st h eb o u n d a r yo ft h es t a b i l i t yr e g i o n ，t h e n w h e r e a 。= j u 瓦， l = ( 口，p ，7 ) r 3lq = - 8 ，口( - - o o ，1 一州a n di y i 0b et h es t e ps i z ea n ds a t i s f yh = 下m ，w h e r emi sap o s i t i v ei n t e g e r a p p l y i n gt h el i n e a r f 杰钾2 噻幻吖 【卅= a y n + j + p 一m 卅+ ，y 一m 嘶 f r o mt h ef i r s te q u a l i t y , w eo b t a i n 知 ，y 一m q = ，y 叼一m 柳， j - - - oj = o ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) a tt h es a m et i m e ， 七k七 鲰 = 如( q + j + p 蜘一m 卅) + 7 w 一m 。， j = oj = oj = o w h i c h ，t o g e t h e rw i t h ( 2 1 3 ) ，i m p l i e s k七七 a j y n + j = 九妨( 口鲰q + p 鼽一州) + 7 铷- m + j ( 2 1 4 ) j = oj = oj = 0 d e f i n e 5 知伽 一 九一，矿 七触 = 力 入危 mme c h a p t e r2d e l a y d e p e n d e n ts t a b i l i t yo fl i n e a rm u l t i s t e pm e t h o d s 上海师范在兰堡圭堂位论文 a s s u m et h a t1 一 t z m 0h o l d s f r o m 【1 5 ，t h ec h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a lo ft h ed i f f e r e n c e e q u a t i o n ( 2 1 4 ) i s 兄州九，业l _ , r z - 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d e p e n d e n ts t a b i l i t yo f n a t u r a l r u n g e - k u t t am e t h o d s i nt h i sc h a p t e r , w es t u d yt h ed e l a y d e p e n d e n ts t a b i l i t yo fn a t u r a lr u n g e k u t t am e t h o d sf o r n d d e as u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h en a t u r a lr u n g e k u t t am e t h o d st ob e7 - ( 0 ) 一s t a b l ei sg i v e n w e p r o v et h a tt h eg a u s sa n dr a d a um e t h o d sa r e 丁( 0 ) - s t a b l e n u m e r i c a le x a m p l e sa r gg i v e nt ov e r i f y 3 1as u f f i c i e n tc o n d i t i o n c o n s i d e rt h ea p p l i c a t i o no fa ns - s t a g en a t u r a lr u n g e k u t t am e t h o d 【4 5 】t on d d e ( 1 2 1 ) a s f o l l o w s 户施( 鲰+ 骞。巧j ) + 筇0 一m + 壹j = l 一m j ) + 7 珞一m t ，i = 1 ，2 ，8 ， + l = + 玩分 ( 3 1 1 ) i - - - - 1 h e r ea o ，玩a n dc i ( i = 1 ，8 ) a r et h ep a r a m e t e r so ft h eu n d e r l y i n gn a t u r a lr u n g e k u t t am e t h o d ， ia = 1 ，2 ，s ) a r ec a l l e dt h es t a g ev a l u e so f t h en a t u r a lr u n g e k u t t am e t h o d t h en a t u r a lr u n g e - k u t t am e t h o d ( 3 1 1 ) c a l lb er e w r i t t e nt h r o u g ht h ev e c t o rf o r ma sf o l l o w s p 蚓= ( 1 2 2 一，。) r ，b = ( b 1 ，6 2 ，6 。) t ，a n de = ( 1 ，1 ，1 ) t t h ec h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a lo ft h ea b o v ed i f f e r e n c ee q u a t i o nt u r n so u t 1 0 d e t 蹄f ( 名) = 0 ， ( 3 1 3 ) 1j k e 够 0 绷 1 危 0 o 0 0广-j -_-_-。-。_。_-。_l 一 上海师范大学硕士学位论文c h a p t e r3d e l a y d e p e n d e n ts t a b i l i t yo f n a t u r a lr u n g e k u t t am e t h o d s w h e r e 一瞄捌， 冗( 名) = z m + j 【( l h a a ) 一z - m ( 7 徊a + ，y 厶) 】， 死z ) = 一名m ( q + p z m ) e ， 马( 名) = 一z 仇+ 1 矿， 五( 名) = 名m + 1 一扩 1 ti sw e l l k n o w nt h a tt h en u m e r i c a ls o l u t i o no ft h en a t u r a lr u n g e - k u t t am e t h o d ( 3 1 1 ) i sa s y m p - t o t i c a u ys t a b l ei fa n do n l yi f i t i s e a s y t os e e t h a t d e t 蹈f ( z ) = 0 兮 1 t l ( z ) = z m + 1 【( 1 一z - ) i o 一九( 口+ 名一m p ) 卅 i f 1 ，t h e n1 一z - m , 7 0 ，w h i c hi m p l i e s 噩( z ) = z m + l ( 1 一名一仇7 ) 厶一( 1 一z - 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s t a b l ea n d 名( 妒) s a t i s f i e si z ( 妒) l i 妒if o r 口口 妒【一7 r ，7 r 】t h e nt h e n a t u r a lr u n g e k u t t am e t h o di s 丁( o ) 一s t a b l e p r o o f t h ep r o o fo ft h i st h e o r e mi ss i m i l a rt ot h a to ft h e o r e m2 1 1 w ea p p l yt h e o r e m3 1 1t os t u d yt h e7 ( o ) 一s t a b i l i t yo fac l a s so fh i g ho r d e rr u n g e - k u t t a m e t h o d s l e tt h es t a b i l i t yf u n c t i o nn ( z ) s a t i s f y 冗( z ) = 糍， w h e r e ( z ) i sd e f i n e dr e c u r s i v e l yb y ( s e eh a i r e ra n dw a n n e r 【13 ) w i t h 蜘( 名) 2 耳南菊，歹“，2 ，s 1 ， 妒a - - l ( 2 ) 二南，g = 而1 ( 3 1 8 ) h e r e 尾i sap a r a m e t e r f o rt h es - s t a g eg a u s sm e t h o d , 凤= 0 ，a n df 1 0 rt h es - s t a g er a d a ui ao r h a m e t h o d ，风= 南i na d d i t i o n ，w ed e n o t eb y 谚( z ) t h el i