（计算数学专业论文）供货商与销售商联合生产库存系统的研究.pdf

供货商与销售商联合生产库存系统的研究 摘要 好的供应链设计、规划和运营战略对于每个企业而言都至关重要。因此， 供应链管理受到越来越多企业的重视。在供应链管理中，供应链的相邻结点企 业都是买方与卖方( 或供货商与销售商) 的关系。如果这些企业的运作决策不 能协调，那么整条供应链的有效性将受到严重影响。所以，如何促成供应链中 不同企业之间进行有效协作始终是一个重要课题。本文从库存管理的角度，将 供应链中的几个重要环节：原料供应商、制造商和销售商放在一起进行整体考 虑。我们首先指出了已有的单供货商单销售商联台库存模型中的不妥之处，建 立了更为一般的单供货商单销售商联合库存模型，并用数字实例证实了本模型 所得到的最优平均总费用优于已有的此类模型。同时，我们将上述模型作如下 进一步推广：首先，讨论了单供货商多销售商联合库存问题；其次，考虑了单 供货商单销售商联合库存系统中允许缺货情况：接着，我们考虑了时变需求下 单供货商单销售商联合库存问题：最后，我们研究了带有原材料订购的单供货 商单销售商联合库存闯题。本论文中所建立的各种模型对于供应链管理者的经 营决策有一定的参考价值。 关键词；供货商销售商库存需求原材料 r e s e a r c ho nv e n d o r b u y e r i n t e g r a 口e d p r o d u c t i o ni n v e n t o r ys y s t e m a b s t r a c t e x c e l l e n td e s i g n ，p l a n n i n ga n dm a n a g e m e n ts t r a t e g i e so fs u p p l yc h a i na r ei m p o r t a n t f o re v e r ye n t e r p r i s e s o ，m o r ea n dm o r ee n t e r p r i s e sp a ya t t e n t i o nt o t h e s u p p l yc h a i n m a n a g e m e n t ( s c m ) i n t h es c m ，t h ee n t e r p r i s e si nt h en e i g h b o r h o o do fs u p p l yc h a i na c ta s v e n d o ra n db u y e rr e s p e c t i v e l y i ft h em a n a g e m e n td e c i s i o n sc a n tb ec o o r d i n a t e da m o n g t h e s e e n t e r p r i s e s ，t h e e f f e c t i v e n e s so fw h o l es u p p l yc h a i nw i l lr e c e i v es e r i o u si m p a c t t h e r e f o r e ，h o wt oc o o r d i n a t et h er e l a t i o n sa m o n gt h ee n t e r p r i s e si sa l w a y sa ni m p o r t a n t s u b j e c t i nt h i sp a p e r , w ec o n s i d e rt h ei n v e n t o r ym a n a g e m e n tp r o b l e mb yi n t e g r a t i n gt h e l i n k si ns u p p l yc h a i n - - m a t e r i a ls u p p l i e r ，v e n d o ra n db u y e 卜一a so n es y s t e m w ef i r s t l yp o i n t o u tt h e i n a p p r o p r i a t ea s s u m p t i o n i nt h e e x i s t i n gv e n d o r - b u y e ri n t e g r a t e dp r o d u c t i o n i n v e n t o r y m o d e l sa n d d e v e l o p am o r e g e n e r a lp r o d u c t i o n - i n v e n t o r y m o d e lf o ra s i n g l e - v e n d o rs i n g l e - b u y e ri n t e g r a t e ds y s t e m n u m e r i c a le x p e r i m e n t s s h o wt h a tt h e s h i p m e n tp o l i c yt h i sm o d e lp r e s e n t s c a ny i e l dal o w e rc o s ts o l u t i o na sc o m p a r et ot h e e x i s t i n go n e s m e a n w h i l e ，w ef u r t h e rg e n e r a l i z et h ea b o v e m e n t i o n e dm o d e l sa sf o l l o w s ： f i r s t ，w ed i s c u s st h ep r o b l e mf o rs i n g l e v e n d o rm u l t i b u y e ri n t e g r a t e ds y s t e m s e c o n d ，w e c o n s i d e rt h ec a s et h a ts h o r t a g e sa r ea l l o w e dt oo c c u ra n da r eb a c k o r d e r e dc o m p l e t e l yf o r s i n g l e v e n d o rs i n g l e b u y e ri n t e g r a t e ds y s t e m t h i r d ，w ec o n s i d e r t h e p r o b l e mt h a t t h e d e m a n df o rb u y e ri st i m ev a r y i n g a tl a s t ，w et a k et h er a wm a t e r i a lo r d e r i n gi n t ot h i s v e n d o r - b u y e ri n t e g r a t e dp r o d u c t i o ni n v e n t o r ys y s t e m t h e d i f f e r e n tk i n d so fm o d e l s e s t a b l i s h e di no u rp a p e rh a v es o m er e f e r e n c ev a l u ef o rm a n a g e m e n td e c i s i o no f s u p p l yc h a i na d m i n i s t r a t o r k e y w o r d s ：v e n d o r ，b u y e r ，i n v e n t o r y ，d e m a n d ，r a w m a t e r i a l 阿u舌 好的供应链设计、规划和运营战略对于每家公司而言都至关重要。因此， 供应链管理受到越来越多公司的重视。在供应链运营中有一个重要的驱动因素： 库存因素。库存是指供应链中所有的原材料、流程中的半成品和制成品。库存 之所以在供应链中存在是因为供求不匹配。库存的改变会在很大程度上提高该 供应链的赢利水平和反应能力。例如，个零售商可以通过提高库存水平，来 增加反应能力。由于库存量大，零售商依靠自身能力及时满足顾客的需求的可 能性大大增加。然而，库存量大将增加零售商的成本，从而降低其盈利水平。 减少库存会提高零售商的盈利水平，却降低了反应能力。 库存遍布于供应链，从原材料到生产流程中的半成品，再到制成品，它们 分别由供应商、制造商、批发商和零售商所拥有。库存是供应链的主要成本来 源，对企业的反应能力及供应链中物流周转时间有重大影响。 在供应链管理中，供应链的相邻结点企业都是买方与卖方( 或供货商与销 售商) 的关系。如果这些企业的运作决策不能协调，那么整条供应链的有效性 将受到严重影响。所以，如何促成供应链中不同企业之间进行有效协作始终是 一个重要课题。在经典的经济订购批量( e c o n o m i co r d e r q u a n t i t y ) 模型中，都将 供货商的生产库存策略与销售商的订购和销售策略分开考虑，并且经济批量公 式( e o q 公式) 能分别给出供货商与销售商的最优生产和订购策略。然而，由于 供货商和销售商分别基于对自身赢利能力的考虑，都尽力使自己的利润最大化 或费用最小化。这种单独决策的结果是使供应链缺乏协调性，并不一定能使得 供货商和销售商所组成的系统利润最大化或费用最小化。并且由e o q 公式给出 的销售商最优策略对供货商来说未必是最优的，同样地，供货商的最优策略也 未必能被销售商所接受。从供应链的角度来看，每一条供应链的目标都是使整 体价值最大化或整体费用最小化。这就要求我们要将处于供应链中两个重要环 节：供货商和销售商放在一起整体进行考虑。因此，我们面临一个很现实的问 题：如何将供货商与销售商联合起来考虑，以使得供货商与销售商所组成的系 统相关费用最小? 近二十年来，此类问题引起了不少研究者的注意。 b a n e r j e e ( 1 9 8 6 ) 首次将供货商与销售商联合起来考虑，建立了一个批量对批量的 供货模型。在该模型中，供货商的每次供货都被分开来考虑。g o y a l ( 1 9 8 8 1 指出 如果供货商在一个生产周期内的生产量是销售商所订购批量的整数倍，那么此 供货商与销售商联合生产库存系统一般来说能够取得较低的最优平均总费用。 但是，在其模型中假定了供货商将一个生产周期内销售商所需的全部量生产完 毕后，才向销售商供货。l u ( 1 9 9 5 ) 重新考虑了g o y a l ( 1 9 8 8 ) 的模型，放松了g o y a l 在其模型中的上述假定并且进一步将g o y a l 的模型扩展到单供货商多销售商的 情形。但是，l u 在其模型中假定了在一个周期内，供货商的每次供货量均相同。 并且作为一个特例，他给出了单供货商单销售商情形的最优解。g o y a l ( 1 9 9 5 ) 指 出采取不同的供货策略能得到较低的库存系统平均总费用。在其模型中，他假 定了供货商在一个生产周期内分力次供货给销售商，第i 次供货量为g ，( p d ) 。， 其中9 1 是第一次供货量，p 是供货商的生产率，d 是销售商的需求率。h i l l ( 1 9 9 7 ) 给出了一个确定供货商生产批量和每次供货量的更一般的模型。他指出第i 次 供货量应该为9 1 名，其中1 a p d 。并且他宣称采取此策略所得的最优费用 优于上述的所有供货商与销售商联合库存模型。g o y a l ( 2 0 0 0 a ) 进一步提出在供 货商的n 次供货中，第一次供货量为g ，其余的一1 ) 次供货量相同，均为 g 。( 巧d ) 。他指出如果采取该供货策略，所得的最优费用要优于h i l l ( 1 9 9 7 ) 的结 果。g o y a l ( 2 0 0 0 b ) 给出了一个新的供货策略：首先用h i l l ( 1 9 9 7 ) 的方法求出最优 供货策略，然后来修正此最优策略。此新的供货策略实际上是将g o y a l ( 1 9 9 5 ) ， h i l l f l 9 9 7 ) 及g o y a l ( 2 0 0 0 a ) 的模型中的策略的结合体。 首先，上述所有模型都基于如下假定：在一个生产周期内任意连续两次供 货量( 或不包括第一次供货量) 之间的比值是相同的。但是在实际中，我们没 有理由必须采取如此策略进行供货。换句话说，在最优的单供货商单销售商联 合库存系统中，任意连续两次供货量之问的比值未必是相同的。放松了上述假 定，在第一章中，我们建立了单供货商单销售商联合生产库存模型。并用数字 实例证实了本模型所得到的最优平均总费用优于上述的所有模型。 其次，上述的所有供货商与销售商联合库存模型中都没有考虑系统允许缺货的情 形。而在实际中，由于各种不确定因素的存在，缺货往往是不可避免的。并且，在许 多情形下，物品的库存费用高于物品的短缺费用，从而允许缺货相对来说比较经济。 因此，在第二章中，我们将单供货商单销售商联合库存模型推广到销售商允许缺货情 形，并就销售商在一个生产周期内多次订购之间每次缺货量相同与否，分别建立了不 同的库存模型。 另外，上述文献中大都只考虑单个供货商和单个销售商的情形。而在实际 供应链管理中，一个供货商往往要向多令分销商供货，以增大其销售量，从藤 增加其销售利润。l u ( 1 9 9 5 ) 建立了一个单供货商多销售商联合库存模型，在其 模型中假定每个销售商在一个生产周期内订购有限次，每次订购的时间间隔相 同。但他同时指出由于决策变量很多，求解很困难，因此只解决了单供货商单 销售商的情形。并且，在l u 的模型中只考虑如何使得供货商的平均相关费用 最小，而忽略了销售商的平均相关费用，而且没有考虑如何协调生产和订购， 从而使得供货商与销售商的平均总相关费用最小。y a n g 和w e e ( 2 0 0 2 ) 建立了单 供货商多销售商生产订购易变质性物品的模型。与l u 类似，y a n g 和w e e 假定 i i 每个销售商在一个生产周期内订购有限次，每次订购的时间间隔相同。并且， 在其模型中假定了每个销售商的订购与库存费用均相同。在此假定下，这多个 销售商可以看作是一个销售商，故解决的仍然是单供货商单销售商生产库存模 型，而且y a n g 和w e e 没有考虑如何协调供货商的生产和销售商的订购。在第 三章中，我们在考虑了协调供货商的生产和销售商的订购的前提下，建立了单 个供货商多个销售商联合生产库存模型，指出了销售商在一个生产周期内采取 不同的订购时间间隔能使供货商和销售商所组成的系统平均总相关费用最小。 迄今为止，已有的供货商与销售商联合生产库存模型中，均假定需求率是 恒定不变的。做这样的假定固然使问题大大简化，而在实际库存管理中，需求 率是受各种因素的影响而不断变化的，尤其是受时间因素的影响。因此，在第 四章中，我们讨论了在时变需求下，供贷商与销售商如何协调生产和订购，从 而使得供货商与销售商所组成的系统的平均总费用最小。 原材料订购是供应链流程中的一个重要环节，制造商从原料供应商那里订 购原材料，以补充原料库存。制造商在生产安排方面一旦做出决定，原料需求 量就可以精确地计算出来。原料订单取决于生产安排，因此，将原料供应商与 制造商的生产计划联系起来至关重要。企业为了保证生产经营活动的正常进行 并降低生产经营成本，需要确定合理的原材料订购策略。而已有的供货商与销 售商联合生产库存模型中均没有考虑供货商( 亦是制造商) 订购原材料的情形。 如果我们考虑系统运行在无限的时间水平上，则在一个生产周期内，对原材料 可分如下两种情况采取不同的订购策略：第一种，当订购费用相对于库存费用 较高时，可在一个生产周期的期初订购可供本周期及随后若干个周期对原材料 的需求量；第二种，当订购费用相对于库存费用较低时，可在一个生产周期内 对原材料订购若干次，且所订购原材料的总量恰好满足本周期对原材料的需求。 在第五章中，我们建立了带有原材料订购的供货商与销售商三层次联合生产 库存模型，给出了如何选择不同原材料订购策略的判别方法。 由于我们所建立模型的解法程序中，大都采用m a t l a b 5 _ 3 优化软件来搜索最 优解( 带有原材料订购的供货商与销售商三层次联合生产库存模型除外) 。因 此，有可能会出现搜索出的解并非是整体最优解。为了克服这个问题，我们在 利用m a t l a b 求解每一个模型时，随机选取大量的初始点进行迭代运算，然后比 较选取不同初始点所得的最优结果。在求解本论文中各模型的数字实例时，我 们发现利用本文提供的解法程序得到的结果不随初始点选取不同而改变( 我们 般选取3 0 0 个初始点) 。因此，可以认为搜索出的解为模型的整体最优解。 最后，我们对本论文做了简要的总结，并指出了本文所讨论的供货商与销 售商生产库存系统今后进一步研究方向。 i i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。据我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 盒蟹工、业杰堂或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签字：乏罟琦、签字日期：m ( 埠午月2 # 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解 盒蟹王、业太堂有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查 阅和借阅。本人授权 金魍王些太堂可以将学位论文的全部或部分论文内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位 论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 己硼， 名：阔舻笏 y、j 签字目期：沙年年年月砑日 签字日期：矶p 年中月7 。日 淼簿l 端凇7 宣凛嚣垆冼 致谢 本文是在导师周永务教授的启发和指导下完成的。值此论文完成之际，谨 向导师致以诚挚和深切的谢意。 同对，在研究生学习期间，还得到朱功勤教授、邬弘毅教授、刘心报教授、 杜雪樵教授、汪泉副教授、凌能祥副教授和李声闻副教授的指导和帮助，以及 汪峻萍、钱开燕、张莉、刘植、苏本跃、闵杰、许如星、刘智秉、徐怀、余宏 杰、刘长明、钱建发等同学的关心和帮助，在此不胜感激。 最后，要感谢审阅硕士论文和出席硕士论文答辩会的各位专家学者，感谢 他们在百忙中给予的批评指正。 作者 己砌、 2 0 0 4 年4 月8 日 第一章单供货商单销售商联合生产库存模型 1 1 弓l 言 现有的关于供货商与销售商联合生产库存模型 3 2 - 3 9 】都基于如下假定：在一 个生产周期内任意连续两次供货量( 或不包括第一次供货量) 之间的比值是相 同的。然而我们没有理由相信在实际中必须采取如此策略进行供货。换句话说， 在最优的单供货商单销售商联合库存系统中，任意连续两次供货量之间的比值 未必是相同的。本文放松了上述模型中的假定，建立了单供货商单销售商确定 型联合生产库存模型。数字实例证实了本模型所得到的最优平均总费用优于上 述的所有模型。 1 2 记号与假定 记号： 1 ) a 。表示固定的生产装配费用。 2 ) 以表示固定订购( 或供货) 费用。 3 ) h 。表示供货商单位时间库存单位物品的费用，表示是销售商单位时间库存单位 物品的费用。 4 ) n 表示在一个生产周期内供货商的供货次数( 决策变量) 。 5 ) k 表示在一个生产周期中生产阶段供货商对销售商的供货次数，其中k h ，p d 。此假定的合理性见文 3 6 1 。 i i i ) 在一个生产周期内销售商销售最后一次供货所需的时间不大于下一个生产周期中 供货商生产第一次供货量所需要的时间。 i v ) 供货商第一次供货后库存为零。 1 3 模型的建立 现在考虑一个供货商生产一种产品并且出售给一个销售商的联合生产库存系统。 如果在每个生产周期内供货商的生产总量q 分n 次运送给销售商，第f 次供货量为 q ，= 旯，q l ( f _ 1 , 2 ，门) ，那么现在的问题是如何确定生产总量q 及一个供货策略使得 联合系统的平均总费用最小。 图1 供货商与销售商联台库存系统的库存示意图 h 通过上面的分析可知，供货商的生产总量q = 碍，丑。生产周期的长度等于销 售商销售此生产总量所需的时间，即为告 。在一个生产周期内销售商的总 上，胆l 库存水平为2 蚤n 田，因此，销售商的平均库存水平为譬( 委管) ( 善五) 。 供货商与销售商所组成的系统在一个生产周期的期初准各生产时，系统有初始总 r g g - ，将其记作j o 。此时，供货商的库存为零，销售商的库存能满足直到第一次供货 开始为止顾客对物品的需求。所以，i o = q l d p 。当生产开始时，此总库存以( p d ) 的速率增长。直到生产的产品总量为g l n 丑，。从而系统的最大库存水平为 凡= 厶+ 垡三等塑耋 。 因此，系统的平均总库存水平为 丁1 0 + i m = 等+ 与笋姜丑。而供货商的平均库存水平等于系统的平均总库存 水平减去销售商的平均库g - 水平，所以供货商的平均库g - 水平为 等+ 与笋茎 一号c 薹髫，候拙 因此，联合库存系统的平均总费用a t c ( n ，g 。，厶，五。) 为： 2 删删：，；_ ( a i + r n a 2 ) d 怕号+ 等抑十号( 。喾( 1 ) q l 1“8 1 丑， 对a t c ( n ，譬l ，a 2 ，a 。) 关于q 1 求二阶导数，我们易知a t c ( n ，q i ，屯，五。) 是关 于q l 的下凸函数。因此，对于给定的n 和克。( f = 2 ，开) ，- 求解方程 垦塑! 竺墨 垄型= o ，得最优的q ? 满足： 舡 警似d + 等和+ 掣斟 一铲 【警眠c 万d 十等抄掣割 l丑 15 五l ( p d ) ( q l + q 2 + - + q k - i ) 9 2 + q 3 + + q 。s ( p d ) ( q i + q 2 + + q 女) ( 5 ) 由g ，= 丑g i 代入( 5 ) 式化简可得： ( p d ) ( ? q + 如+ + 五h ) o ，求解型坠生生型地得 i 孽? 兰 o q - “。 9 c 一志弦+地一志抄 + 赢和氐睁万p - d 备 丑一砉鸳( 2 量i = i - ，i f i ， 将( 1 3 ) 代入( 1 2 ) 得： 丽。峨，厶，：2 丝螋 丑轰卜焘抄+ ( 五一n ( h 生b + s b ) 争, = l j + 赢抄瓦睁万p - d 备& 一砉毋( 2 量i = 1 ，1 1 j ， 对该模型采取与不允许缺货模型相类似的分析，我们很容易推导出对于给 定的n 和k ，变量丑( f _ 2 , 3 ，) 应满足限制条件( 9 ) 。 现在，我们的任务是确定晟优的刀，k 和丑( 扛2 ，行) ，以使得系统的平均总费 用最小，即 ( p 2 ) m i n ，i m i n a t c k ( 胛，如，也， 0 s 女月一1 一 。 ( p d ) ( 4 + 如+ + 以一1 ) h 。 4 ) p 表示供货商的生产率，d 表示顾客对销售商所售物品的需求率。 5 ) 刀表示在一个生产周期内供货商对销售商的供货次数( 或表示在一个生产周 期内销售商的订购次数) 。 6 ) k 表示在一个生产周期中生产阶段供货商对销售商的供货次数。 7 ) q ，表示供货商第f ( f - 1 , 2 ，刀) 次的供货量。 8 ) f 表示供货商第f 次供货与第f + 1 次供货之间的时间间隔( 或销售商第f 次订 货与第f + 1 次订货之间的时间间隔) 。 9 ) t ，表示销售商对第f 次供货量的库存时间( f = 1 , 2 ，玎) 。 1 0 ) q 表示在一个生产周期内供货商生产总量。 1 i ) 系统运行在无限时间水平。 1 2 ) 允许缺货，且缺货量完全拖后供给。 1 3 ) 供货商在一个生产周期中第一次供货后库存为零。 2 2 3 模型的建立 我们考虑供货商在一个生产周期内生产的产品总量为q ，且分”次供给每个 销售商，第f 次供货量为g ，因此q = q ，。由于销售商每次订购之间的缺货量 是可变的，故该系统的库存情况如图所示。 由记号与假定知：q i = d ( l f 。+ ) ，q 2 = d ( t i 一 + t 2 ) ，q 3 = d ( 疋一t 2 + t 3 ) ， q 。一l = d ( 瓦一2 一，。一2 + t 。一1 ) ，q 。= d ( 一t t 。一l + t 。) ( 2 1 ) 销售商的平均库存费用为：h 6 = d h b ( t ? + t ；+ + d ) 2 销售商的平均缺货费用为：s b = d s “( 正一f i ) 2 + ( 疋一，2 ) 2 + + ( l t n ) 2 】2 由于假定在一个生产周期内供货商对销售商的供货一次，则显然在一个生产 周期中生产阶段必包含k ( 0 k n 一1 ) 次供货。从而供货商的平均库存费用为： ； i l 群期、卜b 秒。 一、0 喇 ；瓦一f 瓦、 叫l j + 时间7 * 詹iw g md = 古。o 讲同 h 。= h v 雾+ 三p 五2 + 圭【2 尸五+ j p 疋一2 9 ：】正+ j i 2 尸( 五+ 疋) + p 乃一2 ( q 2 + q ，) t 3 + 。+ 吉e 2 e ( r , + 疋+ + 瓦一2 ) + 尸瓦一i 一2 ( 9 2 + q 3 + + q 一1 ) 】疋一1 一【9 2 + q 3 + + q 。一p ( 正+ 疋+ - - + 疋一1 ) 2 ( 2 p ) + ( g 女十l + q i + 2 + + g 。) 疋 + ( g 女+ 2 + g t + 3 + + g 。) 五+ l + ( g 女+ 3 + - - - + g 。) 瓦+ 2 + + g 。一l 供货商与销售商所组成的系统的平均总费用为： a t c ( n ，k ，r l ，- 一，t 。，五，l ) = ( a 。+ n a 6 + h ，+ h 6 + s 6 ) i ( 2 2 下面我们来寻找正( f _ 1 , 2 ，l ) ，t 1 ( 江1 , 2 ，t n ) 所涮足_ 酌限制条件。 首先，由于我们假定供货商在一个生产周期内供货一次，显然在一个生产周期内 的生产阶段将包含k 次供货，其中0 k n l ( 七= 0 情形仅当供货商在一个生产周期 内供货一次时发生，即当n = 1 时发生) 。由图( 1 ) 可得： p ( t i + 正+ + 瓦一l + f ) = q 2 + q 3 + + q 。 ( 2 3 ) 既然生产阶段包含k 次供货，t 必须满足0 t 兀，利用( 2 3 ) 可得如下条件：。 p ( 五+ 疋+ + 瓦一1 ) q 2 + q 3 + 。_ + q 。p ( 正+ 疋+ + 瓦一l + 疋) ( 2 4 ) 利用( 2 1 ) 式将( 2 4 ) 化简为： p ( 五+ 疋+ + 五一1 ) d ( t i + 五+ + 瓦一1 一 + t n ) p ( 五+ 正+ + 耳一l + 瓦)( 2 5 ) 其次，第f 次的供货量不能超过供货商在第f 供货之前的生产总量，即有不等式： | 9 2 p 正 卜”( 一+ 疋) 嘞( 2 6 ) j ： 【q k p ( t i + 如+ + 瓦一1 ) 一( q 2 + q 3 + + q i 1 ) 同样利用( 2 1 ) 式将( 2 6 ) 化简为 p 五d ( t i 一，1 + t 2 ) p ( 正+ 砭) d ( t i + 疋一f i + t 3 ) ( 2 7 ) p ( 正+ 疋+ + 瓦一1 ) d ( t i + t 2 + - - + t k l t l + “) 另外，由于假定系统运行在无限的时间水平上，即由无限个相同的生产周 期所组成，则必有g l e 瓦，化简可得：d ( l t 。+ r 1 ) p l ( 2 8 ) 现在，我们的任务是确定最优的”，r 。及t ( f - 1 , 2 ，n ) ，以使得系统的平 均总费用在约束条件( 2 5 ) 、( 2 7 ) 和( 2 8 ) 下取得最小，即 m i n m i n a t c t ( ，2 ，k ，t l ，t 。，正，l ) j ( p 3 ) p ( 五+ 正+ + 瓦一1 ) u = 1 , 2 ，掰) 。 5 ) p 表示供货商的生产率，d ，表示顾客对第，u = 1 , 2 ，m ) 个销售商所售物品 的需求率。 6 ) 表示在一个生产周期内供货商对销售商的供货次数( 或表示在个生产周 期内销售商的订购次数) 。 7 ) k 表示在一个生产周期中生产阶段供货商对销售商的供货次数。 8 ) g 。表示供货商第f ( 江1 , 2 ，竹) 次的供货量。 9 9 ) z ，表示供货商第f 次的供货量与第一次供货量的比值，其中扛1 , 2 ，”， 五l = 1 。 1 0 ) q 。表示第j ( j = 1 , 2 ，m ) 个销售商在第f 次订购中订购的量。 1 1 ) z ，表示第7 个销售商销售g 。单位物品所需要的时间。 1 2 ) q 表示在一个生产周期内供货商生产总量。 i 3 ) 系统运行在无限时间水平上且不允许缺货。 1 4 ) 在一个生产周期内销售商销售最后一次供货所需的时间不大于下一个生产 周期中供货商生产第一次供货量所需要的时间。 15 ) 供货商第一次供货后库存为零。 3 3 模型的建立 现在考虑一个供货商生产一种产品并且出售给m 个销售商的联合生产库存系统。 供货商在一个生产周期内生产的产品总量为q ，且分珂次供给每个销售商，每 次供给的量为g 一( b 1 ，2 ，以) 。由于有珑个销售商，我们令d 2 舌d ，q r 3 吾 d g 2 吾g 一，从而第，个销售商销售q u 单位物品所需要的时间 毛= g f d ，= g t d ，即在一个生产周期内每个销售商的订购时间间隔一样，故 可令正。= 1 2 一= 瓦= z 。供货商与销售商所缀成的系统的库存情况如下图所 示。 图4 供货商与销售商的库存情形 由第一章建立的模型知，供货商的平均库存量为： v = 里塑+ 垦生些童 一q ll 厶n 1 2 j ，。l n 五) p2 pi = 1 2 、各、各” 第，个销售商平均库存量为： = ( g 。，互j + q 2 j 毛，+ + g 。) ( 2 舌n 互) = d 2 。j q l 笛 , 2 。2 著矗 故供货商与销售商所组成的系统的平均总费用为： 肌 ， n 肼 a t c ( n ，q 1 ，如，九) = ( 爿，+ n z a ) d ( 日i 乃) + y , h i h 巧+ h v ， ，5 l，5 l，2 i 卅 i “ i 删n i ” = ( 4 + 即三爿) d ( 吼苫矗) + l ( 吩q ) 智( 2 d 苫丑) 卢l 1 j j ，= lf 1 f - 1 + o p + 万p f d 刍n - 一砉箐( 2 砉_ ) ) ) g ， ， 令a t c ( n ，g l ，以，以) 关于q 1 分别求一阶和二阶导数得： 垦堑!翌掣oo= 一( 4 + 挖薹爿，) 。( g ；量i = 1 ) + ( 善l q ) ； ii 碍( 2 。薹 ) 1 i l 。l ，= l 。 = 悟l + o 尸+ 警弦薹箐( 2 荆 ， 塑等净型叫”唼哆，d 叼 由于a t c ( n ，目l ， 2 ，以) 关于q l 的二阶导数大于零，故令( 2 2 ) 式为零可得最 优值g ：为： g l = ( a ，+ 甩4 j 2 l 9 l 丑 ，= j 以c 盖善着( 2 。抄( ；+ 可p - d 荟 - 妒宝i = 1 箐：别 将q ? 代入( 2 9 ) 式可得平均总费用变为 腕，川龟 半m 瞧巧哆) 耋霉( 2 礁疋) + ( 争等弦善管2 凯i = 1 ) _ ， 现在，我们来考虑变量2 t ( i = 2 , 3 ，) 的限制条件， 首先，由于我们假定供货商在一个生产周期内供货n 次，显然在一个生产周期内 的生产阶段将包含t 次供货，其中0 k n l ( k = 0 情形仅当供货商在一个生产周期 内供货一次时发生，即当门= 1 时发生) 。由图( 1 ) 可得： p ( 正+ 疋+ + 疋一i + f ) = q 2 + 9 3 + + q 。 ( 3 2 ) 既然生产阶段包含k 次供货，t 必须满足o fs 瓦。利用( 3 2 ) 可得如下条件： ( p d ) ( q l + q 2 + + g 女一1 ) 9 2 + q 3 + + g 。( p d ) ( q l + q 2 + + q 女) ( 3 3 ) 由目，= q i 代入( 3 3 ) 式化简可得： ( p d ) ( + 如+ + 五一1 ) 如+ 如+ + ( t d ) ( + 五+ + 五) ( 3 4 ) 其次，第i 次的供货量不能超过供货商在第f 供货之前的生产总量，即有如下不等 式成立： q 2 p 五 q 3s p ( 王+ 正) 一9 2 g 女户( 五+ 五十+ 正一i ) 一( 9 2 + 9 3 + + q 一1 ) 注意到q 。= g 。，上述不等式可化简为 lz 2 ( p d ) 五z + 如j ( 纠d ) ( + 五)( 3 5 ) l ： 【如+ 乃+ + 五( p d ) ( 2 j + 五十+ 以一i ) 另外，我们假定在一个生产周期内销售商销售最后一次供货所需的时间不大于下 一个生产周期中供货商生产第一次供货量所需要的时间，也即g l p s 。由 = 以9 1 d ，可得：九d 尸( 3 6 ) 现在，我们的任务是确定最优的n ，k 和乃( f - 2 ，玎) ，以使得系统的平均总费 用在约束条件( 3 4 ) 、( 3 5 ) 和( 3 6 ) 下取得虽小最小，即 ( 尸4 ) m i n m i na t c t ( 丌，如，毛，九) ) o k k k n l ( p d ) ( 3 1 + 五+ + 一1 ) h 。 4 ) p 表示供货商的生产率。 5 ) d ( ，) 表示顾客对销售商所售物品的需求率。 6 ) ，? 表示在一个生产周期内供货商对销售商的供货次数( 或表示在一个生产周 期内销售商的订购次数) 。 7 ) k 表示在一个生产周期中生产阶段供货商对销售商的供货次数。 8 ) g ，表示供货商第f ( f = 1 , 2 ，功次的供货量。 9 ) t 表示销售商销售第i 次供货所需的时间( f - 1 , 2 ， ) 。 1 0 ) t o 表示第一次供贷与所选取的坐标原点之间的时间间隔。 1 1 ) 系统运行在无限时间水平上，且不允许缺货。 1 2 ) 假定在每一个生产周期中供货商的第一次供货量均相同。 1 3 ) 供货商在一个生产周期中第一次供货后库存为零。 4 3 模型的建立 我们考虑供货商在一个生产周期内生产的产品分n 次供给销售商，第f 次供 货量为q ，从而销售商在一个生产周期内订购刀次，由于顾客对销售商所销售 物品的需求率是时间的函数，故供货商与销售商所组成的系统的生产库存情况 如图5 所示。 由图5 可知：q l = e 0 + “d ( t ) d t ， 9 2 _ 群“d ( t ) d t ，q 。= 孵鼍d ( t ) d t ( 3 8 ) 销售商的平均库存费用为： h 。= 吃 磅“tl ；oz x “) d u d t + j r t o + + t , + 疋 e + id ( “) d u d t + + 麟一爱。【e + r + + d ) a u a = 善【璧嚣麓( t o + 五+ - - + t 即) 新】 由于我们考虑在一个生产周期内供货商对销售商的供货n 次，则显然在个 生产周期中生产阶段必包含后( 0 k 胛一1 ) 次供货。从而供货商的平均库存费 用为： h 。= 玩 雾+ 三p 五2 + 争2 p 正+ p 疋一2 9 ： 五十尹1 2 户( 互+ 正) + p 五一2 ( q ：+ 9 3 ) 珥 + + 寺【2 p ( 瓦+ 乏+ + 耳一2 ) + p 瓦一l 一2 ( q 2 + q 3 + + q j , - i ) 】瓦1 一 q 2 + q 3 + + g 。一p ( 正+ 正+ + 疋一i ) 2 ( 2 p ) + ( g “l + g 女+ 2 + + g 。) 瓦 + ( 譬女+ 2 + g + 3 + + 留。) 瓦+ 1 + ( g 女+ 3 + - - - + 留。) 瓦+ 2 + + g 。乙一1 ) 供货商与销售商所组成的系统的平均总费用为： a t c ( n ，k ，正，l ) = ( 爿。+ n a 6 + h ，+ h 6 ) z r , = 爿。+ 删。+ d h , ( 2 耋f ；) + d s 6 ( a n ( 巧一f f ) 2 ) l， i ；_ i = 1 + 愚，j 嘉+ i 1 尸正2 + 三( 2 p 五+ p 疋一2 9 ：) 疋+ 圭( 2 p ( 正+ 正) + p 毛一2 ( g ：+ g ，) ) 五 + + 号( 2 p ( t i + 正+ + 瓦一2 ) + 尸疋一l 一2 ( q 2 + 目3 + + g 女一i ) ) 瓦一1 十( g 女+ i + q + 2 + + g 。) 瓦+ ( q 女+ 2 + q 女+ 3 + + g 。) 疋+ l + ( g i + 3 + - 十口。) 疋+ 2 p 咖疋。一坠坠兰笋生! 趔 ( 3 9 ) 下面我们来寻找互( 江1 , 2 ，瓦) 所满足的限制条件。 首先，由于我们假定供货商在一个生产周期内供货一次，显然在一个生产 周期内的生产阶段将包含奄次供货，其中0 s 七 l ( k = 0 情形仅当供货商在 一个生产周期内供货一次时发生，即当n = 1 时发生) 。由图5 可得： p ( t 1 + 五+ 。+ 五l + t o ) = 9 2 + q 3 + + q 。 ( 4 0 ) 既然生产阶段包含k 次供货，t 必须满足0 ? os 耳。利用( 4 0 ) 得如下条 件：p ( 五+ 五+ + 疋一1 ) 9 2 + q 3 + + q 。p ( 五+ 疋+ + 瓦一l + 正) ( 4 1 ) 利用( 3 8 ) 式将( 4 1 ) 化简为； 户( 五十疋+ + 瓦一。) 麟+ + l d ( n 出尸( i 十正+ + 瓦。l + 疋) ( 4 2 ) 其次，第i 次的供货量不能超过供货商在第f 供货之前的生产总量，即有如下不 等式成立： 9 2 尸正 9 3s p ( 鼍+ 疋) 嘞 ( 4 3 ) 譬p ( 五十乏+ 。+ 瓦- i ) 一( q 2 + q 3 + + q 一1 ) 同样利用( 3 8 ) 式将( 4 3 ) 化简为： p 五麟幔d ( o d t 婀+ 兀) 嚣哆幔d ) l p ( 正+ 疋+ _ + 瓦一i ) 聪。峨d ( t ) d t 另外，由于假定系统运行在无限的时间水平上，即由无限个相同的生产 周期所组成。且每个生产周期中供货商的第一次供货量均相同，则必有 目l p 瓦，化简可得：甓“d ( t ) d t p