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一维椭圆和抛物方程的超收敛二次有限体积元方法 摘要 有限体积元方法早期被称作盒式法 2 5 】，通过选取线性或双线性有限元空间 作为试探函数空间来离散微分方程的积分守恒形式该方法也被称作广义差分 法，由于它能保持质量和能量的局部守恒性，已被广泛应用于数值求解微分方 程和流体力学中 本质上，有限体积元方法是基于插值的数值方法对于二次l a g r a n g e 插值而 言，一阶导数一般仅具有二阶精度，但不排除在个别点上达到更高精度如对于 【- 1 , 1 】上的二次插值，使用一1 ，0 ，1 三点做二次插值，则在一去，去这两点，插值函 数导数具有3 阶收敛精度我们把这些点称为应力佳息 本文提出了基于应力佳点的二次有限体积元方法，得到了应力佳点处的导 数和节点的超收敛结果第一章针对两点边值问题给出了二次超收敛有限体积 元方法，第一节建立了基于应力佳点的超收敛有限体积元格式，第二节对格式 做了日- ，l 2 模误差估计，得到了日- 范数的最优误差估计和3 阶l 2 模误差估计 第三节从理论上说明了格式在应力佳点处的导数超收敛性，并针对简单情形证 明了格式在节点处的超收敛性第四节用具体算例说明了算法的有效性并通过 比较说明了算法的优越性 第二章把基于应力佳点的二次有限体积元方法推广到一维抛物型方程第 一节建立了基于应力佳点的二次有限体积元格式，第二节给出了l z 模误差估 计，最后用数值算例说明了算法的有效性 关键词：两点边值问题，抛物型方程，应力佳点，二次有限体积元格式，超收敛， 误差估计 ak i n do fq u a d r a t i cs u p e r c o n v e r g e n c ef i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o d f o ro n ed i m e n s i o n a le l l i p t i ca n dp a r a b o l i ce q u a t i o n s a b s t r a c t f i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o d s ( f v e m s ) ，w h i c hw e r ec a n e db o xm e t h o d s 2 5 】i ne a r l yt i m e s d i s c r e t i z et h ei n t e g r a lf o r mo fc o n s e r v a t i o nl a wo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o nb yc h o o s i n gl i n e a ro r b i l i n e a rf n i t ee l e m e n ts p a c ea st h et r i a ls p a c e t h em e t h o d ，w h i c ha r ea l s oc a l l e dg e n e r a l i z e d d i f f e r e n c em e t h o d ( g d m s ) h a v eb e e nw i d e l yu s e di nn u m e r i c a lp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n d f l u i dd y n a m a c i sb e c a u s et h e yk e e pt h ec o n s e r v a t i o nl a wo fm a s so re n e r g y e s s e n t i a l l y , f i n i t ev o l u m ee l e m e n ti sm e t h o db a s e do ni n t e r p o l a t i o n s b ya p p r o x i m a t i o n t h e o r y , w ek n o wt h en u m e r i c a ld e r i v a t i v e sh a v eo n l yko r d e ra c c u r a c yf o ri n t e r p o l a t i n gp o l y n 伊 m i a l so fo r d e rki ng e n e r a l b u tt h i sf a c td o e sn o te x c l u d et h ep o s s i b i l i t yt h a tt h ea p p r o x i - m a t i o no fd e r i v a t i v e sm a yb eo fh i g h e ro r d e ra c c u r a c ya ts o m es p e c i a lp o i n t s ，w h i c ha r ec a l l e d o p t i m a ls t r e s sp o i n t s f o rq u a d r a t i ci n t e r p o l a t i o na s s o c i a t e dw i t ht h ep o i n t s 一1 ，0 ，1 o nt h e e l e m e n t - 1 ，1 】，t h i r do r d e ra c c u r a c yi sa c h i e v e da tp o i n t s 一丽1 ，1 刁1 w ec a l lt h e s ep o i n t st h e o p t i m a ls t r e s sp o i n t s i nt h i sp a p e r ，w ep r e s e n tak i n do fq u a d r a t i cf i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o db a s e do no p - t i m a ls t r e s sp o i n t sf o rt w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sa n do b t a i nt h es u p e r c o n v e r g e n c eo f d e r i v a t i v e sa to p t i m a ls t r e s sp o i n t sa n ds u p e r c o n v e r g e n c ea tn o d e s i nc h a p t e ro n e ，q u a d r a t i c s u p e r c o n v e r g e n c ef i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o di sp r e s e n t e df o rt w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b - l e m s i ns e c t i o no n e 。c o m p u t a t i o n a ls c h e m ei sd e r i v e da n di nt h es e c t i o nt w o ，w eg i v eh 1a n d n o r me r r o re s t i m a t e sa n dp r o v es e c o n do r d e rw i t hh ln o r ma n dt h i r do r d e ra c c u r a c yw i t hl z n o r m i nt h es e c t i o nt h r e e ，t h ed e r i v a t i v es u p e r c o n v e r g e n c ea to p t i m a ls t r e s sp o i n t si ss h o w e d t h e o r e t i c a l l ya n dp r o v et h es u p e r c o n v e r g e n c ea tn o d e s f o rt h es i m p l yc a s e f i n a l l y , i nt h es e c t i o n f o l l r ，t w on u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h a tt h em e t h o di sv e r ye f f e c t i v eb yc o m p a r i s o n i nc h a p t e rt w o ，s u p e r c o n v e r g e n tf i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o db a s e do nq u a d r a t i ci n t e r - p o l a t i o ni sg e n e r a l i z e dt oo n ed i m e n s i o n a lp a r a b o l i cp r o b l e m s i ns e c t i o no n e ，t h es c h e m ei s d e r i v e d i ns e c t i o nt w o ，l 2n o r mi sa n a l y z e da n df i n a l l y , n u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e nt os h o w t h ee f f i c i e n c yo ft h em e t h o d k e y w o r d s ：t w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，p a r a b o l i ce q u a t i o n ，o p t i m a l s t r e s sp o i n t ， q u a d r a t i cf i n i t ev o l u m ee l e m e n ts c h e m e ，s u p e rc o n v e r g e n c e ，e r r o re s t i m a t e 独创性l 声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤盗竖蕉盘鲎或其它教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：彝埠叠! 1 日 期：超噔垒鲥f 日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解天津师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构 送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：毒孓胡乞纽l 一导师签名： 引言 偏微分方程数值求解在计算数学的研究领域里占有重要地位，主要方法包括有限差 分( f d ) ，有限元( f e ) 和有限体积法( f v ) 最早出现的是有限差分法，该方法直接用差商 代替微商导出计算格式，简单易算，但对于复杂区域和复杂边界问题计算效果不好而有 限元法是2 0 世纪5 0 年代被提出的求解偏微分方程的另一种方法，它不同于传统的有限 差分方法，有限元法是基于变分原理，从微分方程的变分形式出发，对求解区域作剖分，通 过选取试探函数空间和检验函数空间来导出计算格式，该方法对复杂，不规则的区域亦能 很好地求解，这在一定程度上弥补了有限差分法的缺陷，而且能保持物理量的全局守恒性 但局部守恒性有时并不能保持，而且所得格式计算量大标准的有限体积法在一定程度上 克服了有限元法的这种缺陷，特别足在力学上，那些由物理守恒定律导出的问题，该方法 更为适用有限体积法从原方程的积分守恒形式出发离散方程，在控制体积上用差分进行 逼近，导出计算格式虽然能保持物理量的局部和全局守恒性，但控制体积上的简单逼近 又某种程度上限制了该方法的有效性，而且收敛性分析依赖于截断误差分析，这往往是比 较困难的【1 9 】一【2 0 】本文研究的有限体积元方法，被称作p e t r o v - g a l e r k i n 有限元法，足 有限体积法的变体，该方法试图应用有限元的离散思想，取有限元子空间作为试探函数空 间，分片常数空间作为检验函数空间，用有限元插值函数逼近未知解替代有限体积法中对 通量的差分逼近，导出计算格式这种思想既注意到了方程的局部性质，又为多层自适应 方法提供了有效的离散过程f 2 4 j 所以有限体积元法已被越来越多的研究者关注 有限体积元方法【1 4 】是广义差分方法【5 7 】的特殊情形有限体积元方法和广义 差分方法均足基于函数插值的数值方法，对于7 次l a g r a n g e 插值而言，其导函数通常具 有r 阶收敛精度，但这并不排除在插值区间的个别点上导数有更高阶的收敛精度，这些点 在流体力学中称为应力佳点目前，对于有限元方法的超收敛研究已有许多成果，对于有 限体积元方法的超收敛研究结果见【4 ，5 】，这些研究对于弄清格式的性质非常有意义本 文从另外的思路出发，利用插值的应力佳点直接构造具有超收敛性的高精度有限体积元 格式 本文基于【9 一1 0 1 中的有限体积元格式构造思想，考虑两点边值问题基于二次插值应 力佳点的有限体积元格式对于卜1 ，1 】上的二次插值，如使用一1 ，0 ，1 三点做二次插值， 则它的应力佳点为一去，去，在这两点，插值函数导数具有3 阶收敛精度 本文第一章针对两点边值问题，导出了非均匀网格下基于应力佳点的二次有限体积 元格式，并在第二节给出了日1 ，l 2 模误差分析，证明了格式按日1 和l 2 模收敛，且收敛 阶分别为o ( h 2 ) 和o ( h 3 ) 第三节进一步从理论上研究了格式的超收敛性，证明了格式在 应力佳点处具有3 阶收敛精度，并针对简单情形证明了格式在离散节点处具有4 阶收敛 精度第四节通过数值算例进一步验证了该方法的有效性第二章把此方法推广到一维抛 物问题，利用c r a n k - n i c o l s o n 离散思想导出了抛物型方程基于应力佳点的二次有限体积 1 元格式，并在第二节给出了l 2 模误差估计，结果为0 ( 24 - h 3 ) 第三节用具体例子说明 了算法的有效性，并与文献【1 2 】中c r a n k - n i c o l s o n 有限差分格式的计算效果作了比较 2 第一章两点边值问题基于应力佳点的二次有限体积元格式 1 1 超收敛二次有限体积元格式 考虑区间，= 【a ，6 j 上的二阶常微分方程混合边值问题 一：d ( d u ) + g 乱= ，p ) ，z ( n ，6 ) ， u ( n ) = u o ，p ( 6 ) u 7 ( 6 ) + a u ( b ) = 9 ， ( 1 1 1 ) 其中p ，q ，f 适当光滑，且v ( x ) p m i n 0 ，q ( x ) 0 首先，对区间i = 【口，6 】作剖分厶，节点为a = t , o z l x 。 z 。+ l x 2 n = b 为使计算格式具有一般性，设厶为非均匀剖分，单元厶= k 筋一2 ，z 2 t 】的 长度为2 h i ，并令h = m a x l _ i _ nh i ；其次，对于区间防瓤一2 ，x 2 i ，经过x 2 i 一2 ，x 2 i 一1 ，2 ：2 i 三 点的二次插值应力佳点为x 2 i 一1 一击= x 2 i l 一了1 3 h ，x 2 i 一1 + 丧= x 2 i l + 去记譬= z 麓一l 一去，x 2 i - 1 + 去】，口+ = 陋瓤一l + 去，x 2 i + l - - 去】，且当i = 咒时，x 2 i + l - - 去= z 加则鬈( i = 1 ，2 ，佗) ，鬈( i = 1 ，2 ，n ) 构成厶的对偶剖分露，通常称譬，鬈+ 为控制体积 选择试探函数空间魄为定义在厶上的分段二次元空间，显然魄为空间u = 日刍( ，) 的2 船维子空间，其中i - i 击( i ) = u l u h 1 ( ，) ，且u ( a ) = o 为建立基函数引入 专= 气 ，o ( 一1 ) - 1 n o ( 0 ) = n o ( 1 ) = 0 ； l ( o ) = 1 ，l ( - 1 ) = 1 ( 1 ) = o ； 2 ( 1 ) = 1 ，n 2 ( 一1 ) = 2 ( o ) = 0 则得卜1 ，1 】区间上的二次插值基函数 且令 0 ( ) = 三专( 专一1 ) ，1 ( ) = 1 一2 ( f ) = 三f + 1 ) 酬垆f g l ( n 乒 【0 ，其它 惋c 曲= 毪三二 x - - f x 2 i - - 1 ，z x 2 i - - 2 ，x 2 i 】 瓦一一 j x - - 1 x 一2 i - 1 ，z x 2 i - - 2 ，1 x 2 i - - 2 ，x 2 i 瓦一，z _ x - - x 2 i + l ，z x 2 i x 2 ix 2 i + 2 】 _ 一，z j h i + l 3 则集合 2 t 一1 ) ，咖蕊( z ) ，l isn ) 为的基函数，且对v u h v h 可表示为 ，i u l i l = 蛾锄( z ) + n u 2 i i 2 i 一1 ( z ) ， 其中u 瓤一12u h ( x 2 , 一1 ) ，乱蕊= 札 ( z 2 ) 在厶= p 2 t 一2 ，z 2 d 中，令f = 宰则其上的二次 插值函数为 牡 = 三( f 一1 ) 让。一2 + ( 1 一f 2 ) u 2 i - 1 + 三f ( f + 1 ) 批瓤 ( 2 ，f ，1 ) “：= 去 ( 一丢) u 2 i - 2 - 2 f t t 瓤一+ ( 荨+ 丢) t z 班 吡1 11 1 ) ( ( z 2 i - - 1 - ? 2 i - - 2 ) 玩) ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) 下面构造检验函数空间垓通常对v u ( x ) c 4 ( ，) 有“幺( z ) 一让7x ) = o ( h 2 ) ，但足 u ：( z z 一去) 一u 弘一一去) = 去 ( 一万1 一丢) u 2 i - 2 + 丽2u 一+ ( 一丽1 + 丢) u 。刁一u ( x 2 i - 1 - 去3 ) 【u 幺一丽1 咖幺_ 1 + 石1 迥- 一赤 缘- 】 - 一丽1 咖象_ 1 + 石1 允；u 裂- 一熹 ? u 黝 一点 撒= 3 ) ， 同理可知z ( z 蕊一l + 去) 一u ( z 筑一1 + 击) = o ( t t ? ) ，它们均具有3 阶逼近精度，在力学申我们称 x 2 i - 1 - 击，x 2 i l + 击这些点为应力佳点所以对于z 2 i 一1 取控制体积为譬= 陋2 t 一1 一击，t 2 i 一1 + 击】， 对于z 2 取控制体积为譬+ = 【z 2 一l + 去，z 2 件1 一击】，依此定义，有可能得到更精确的计算结 果检验函数空间靠由下列基函数张成，对于x 2 i 有 妒2 t ( z ) = 1 0 z i ：1 其它 ! i 、llli， 一 一 t t t 2 2 2 u 让 札 ，0一 、liiliii， 1 2 1 2 o l 一 0 1 l 一2 1 2 0 f 【 4 对于z 2 一l 有 则对v v h 坛可表示为 矽2 i i ( x ) 1 z i ： 0 其它 v h = ( 一1 妇一1 + 呦忆) i = l 对方程( 1 1 1 ) 在譬，鬈上分别积分并记 口( 他，怯_ 1 ) = 如一t 一去( z 蕊一t 一去) - p 2 i - l + 去( z 兢一- + 去) + 厶口砌z ， 江1 2 ，n ， n ( u ，慨) = p 2 i - l + 击7 ( z 瓤一h 击) 一阮+ 一击札7 ( z 。一去) + f l ? * q u 如，i = 1 ，2 ，n 一1 ， nu ，锄n ) 2 耽n 一1 + 击钆7 ( z z n 一- + 击) + ( ，锄。= 丘，如江1 j 2 ， 唪韵= 0 妇+ 9 ，扎一1 ， z = n 现取u h v h ，则方程( 1 1 1 ) 的二次有限体积元格式为求u h v h ，使得 其中 fa ( u h ，忆一1 ) = ( ，如) ，i = 1 ，2 ，礼， 【a ( u h ，慨) = ( ，怯) ，i = 1 ，2 ，n ( 1 1 4 ) a ( ，“ ，也t 一- ) = 耽t 一一击扎；l ( z 。t 一一击) 一耽t 一- + 击乱h ( x 2 i - l + ：南3 ) + 二g u 如 二：二妾萋1亏1一丢，1戤一。一磊2u蕊一。车。害吾+1去，u211i u 勉 c 1 1 5 ，嘞卅去去。亏一扣一磊车c 去+ 扣 卜“ i = 1 ，2 j ，钆， n ( 乱 ，也t ) 2 耽t 一，+ 去“：( z 刨一- + 击) 一p 2 i + - 一去u ；l ( z z 件- 一去) + q u h d x = 鼢卅嘉去 ( 去一三) u 2 i _ 2 - - 丽2u z + 丽1 + 互1 心刁 5 ( 1 1 6 ) 一耽州一丽1 - - 圭。 ( 一丽1 一互1 ) 让2 t + 丽2u 。+ ( 一丽1 + 互1 ) 钆。神 + q u h d xi = 1 ，2 ，n 一1 ， j i ： 嘶 ，) 2 耽+ 去专 ( 丽1 1 ) u 2 n - - 2 - - 丽2u 。州+ ( 丽1 + 砂1 。q ( 1 工7 ) + o g u 2 n + l q u h d x 对于q u 项，为简单起见可使用( x 2 i 一2 ，( q u ) 2 i 一2 ) ，( x 2 i 一1 ，( q u ) 2 i 一1 ) ，( x 2 i ，( q u ) 2 i ) 做二次插值 计算得 同理 厶口础娟( 如。丽h i 掣+ 1 6 蚴- l u 2 i - 1 q - q 2 i u 2 i ， i = 1 ，2 ，n j i l 。q i d 叠：= j c 二一j 。b ；q u d x + f x x 一2 i l i 上 怕q u d x s ( u ) 蕊 ( 1 1 8 a ) 全丽1 玩一1 龇乱一( 8 6 旧q 2 i - t u 2 i - 1 + t 6 v 5 - 1 ( 1 1 劬) + 丽1 i 笔- - 一q 2 i u 2 i - - ( 8 6 啕q 2 i + l u 2 i + l - - 舻1 锄+ 。i 厂q u 如全s ( 仳) 2 。 鼍啦加。o 一6 啊 一6v信-1q2n_lu2n_l- 删f 8 c )= 去卟知一( 8 舶啊t j 。 则方程( 1 1 1 ) 基于应力佳点的二次有限体积元格式为 7 斗击去 ( 一万1 一三) u 2 i _ 2 - - 卜丽2 一- + ( 一丽1 十丢) u 。刁 一鼍卅击瓦1 ( 去一丢) “一丽2u 纠+ c 丽1 + 互1 心刁。1 1 9 a ， + 丽i t i q 2 i - 2 t t 2 i - 2 + 1 6 9 2 乱州+ q 2 i u 2 i 2 二m ) 如，诘1 2 ，礼， 6 如卅击瓦1 ( 丽1 一去) u 2 i - 2 丽2u + ( 击+ 丢) 似。刁 一阮小击去 ( 一万1 一言) u 蕊+ 万2 让洲+ ( 一丽1 + 三) u 。m + 扣卜2 一( 8 6 啕州+ 学叫( 1 1 9 b ， + 势+ tl 竿一8 - 6 v 怎) q 2 i + l u 2 i + l - 渺1 锄+ z l = 二m ) 如，江1 j 2 ，一1 ， p 。州+ 击击 ( 击一丢) u 2 n _ 2 - - ：丽2 让鼽一- + c 丽1 + 互1 心一+ 口u 加 + 去k 卜们”一8 - - 6 v 信) q 2 n - l u 2 n - i + 学。l ( 1 抛c ， = 0 d z ( 1 - 1 9 a ) 一( 1 1 9 c ) 为一五对角的线性代数方程组，具体求解时，右端可以使用两点以上的 g a 1 1 姻求棚公音畿s i m n s n n 公音 1 2h 1 模和l 2 模误差估计 为方便起见，设u i = u ( x i ) ，经过( x 2 i 一2 ，u 2 i 一2 ) ，( x 2 i 一1 ，u 蕊一1 ) ，( x 2 i ，u 2 i ) 三点的二次插值 多项式记为1 h u 做变换= 宁，得i i h u = 善 一1 ) u 2 t 一2 一( 2 一i ) ? 1 2 i 一1 + + 1 ) 孔2 t 记d u = ( h h u ) 7 则 肌( x 2 i - 1 - ：去) = 去睁丽1 一圭) u 2 i _ 2 - - - 丽2 一 一州卅扩去 ( 击一丢) 7 t 2 i _ 2 - - 丽2 札+ 并定义范数 u i l 。， ：= 瓦1 e ( ) ， 口( t t ) 作为u 的线性泛函，有i f ( ) | c 忆o o ，【吐1 】，又h 4q 1 ，从而l e ( 牡) i c l l u l l 4 ，【_ 1 ，l 】当u = 1 ，f ，f 2 ，f 3 时e ( 乱) 三o ，则由b r a m b l e - h i l b e r t 引理，i e ( 乱) i c f u l , ，卜1 ，l 】， 而 扎1，-】5，。iu4()j2蜓=；上烈一：l珏4(z)2dx=h1 f x 2 i ；i u 臣嗡墙蚴】 ， 即川4 ，【一1 ，l 】= ，l 孑7 4 ，陋。，蚴】，由此得到i ( u i i ，l u ) 7 ( z 2 i l 一去) i c 言m 4 ，扛。h ，蚴】， 同理可证i ( u - 1 1 _ i 托) 7 ( ：9 2 i - l + 击) l c 九曼川4 ，k 2 i - - 2 芦2 i 8 满足 其中 定理1 对v u h v h ，l u h l o ，h 与i u h l o ，i t 1 1 ，h 与i u h l l 是等价的即存在正数q ，岛，岛，q 证明 c 1 i u 1 1 ， i u h l c 2 l u h l l ，_ l ， v u h u h c 3 i l u h l l o ， l l u h l l o q i l u h l l o ，j l ，v u h v h n u 片= ，z 戳 ( 让：) 2 d x ，z 2 i 一2 r l n r l 玩j - - 1 ( 舭毒2 善j - 1 ( u 批蛾 i 一1 一 吃仁秽g 瓯必 住 = h t ( f t a c l , i = 1 况= ( ：二：莎z ) ，g = ( 一) a 。= 二( 喜2 ，- ) d = ( 秀兰) ，a = g t a 。g 因为a o 为正定矩阵，g 为可逆矩阵，则a 为正定矩阵，且满足 即得证( 1 2 3 a ) 同理 n u h l l 0 2 = = 1 n = = 1 蕊s 醪触丽2 。t t 瓯 r 钇( u ) z 如 l ，z 2 t 一2 吃肚煳= 砉吃小舻) 必 = 喜h i 仁醪g t ( 享2 ) c 2 ，1 ，g 瓯蜓= 9 ( 1 2 3 a ) ( 1 2 3 b ) ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) 耐。澍 = 瓯 a 斤1 6危 。：l 其中 文= ( 三圣二：) ，g = ( 一喜j 1 砉) 厂。厂p 2 佻 f 3 2 、 2fl 帐： i 1 主 霎) ，以= g t a 。g 因为a o 为正定矩阵，g 为可逆矩阵，则a 为正定矩阵，且满足 v 早盈醪a 瓯v 晕 即证得( 1 2 3 b ) 定义插值算子：魄_ 坛，满足 n n 缸= ( u 2 l - i 矽2 + u 2 i 妒2 i ) ，v u 定理2 对于充分小的h ，a ( u h ，h h u h ) 足正定的，即存在正常数q 使得 a ( u h ，h h u h ) q l u h l ；，v u h v h 证明定义a h ( u h ，i l ：u h ) 如下，有 n n h ( u h ，n d h ) = 钍2 i - 1 a h ( 牡_ i l ，妒z h ) + u 2 i a h ( u h ，蚓】 i - - - - 1 妻p2i-1-去砜(铂圳-p=i-,+-赤du如卅去)+-去hiq2i-lu2i-1卜一i= 1 i 一 。 ( 1 2 6 ) ( 1 2 7 ) + 喜b 妒如纠圳- - p 2 i + l - 舻如州圳+ ( - 一去3 ) ( h i + h i + l 帆卜 + p 2 n - l + 去砜( 卅由) u 。+ ( 一去) 箍。+ a u 轰 ：妻p 。；一。一去。 ( z 。一。一击 u 2 i - 1 - - u 2 i - - 2 ) + 耽；一，+ 去。u h ( z 。扣。+ 击( u 2 i - - t 2 i - 1 ) + 口孙 + 喜 ( 1 一去) h i q 2 i _ 2 u 2 御+ 万2 玩啡- u + ( 1 一去) 吃锄札杰 1 0 2 5 0 2 3 ，jilli-1ii_ili一 = 喜去 壶 ( q u h - - q 2 i - 1 u 2 i - 1 ) 2 = ( ( ) 去玩 f l ( q u h - - q 2 i - l u 2 i - 1 ) d x 2 2 ( q u h ) d xl 1 厶【( 口堋2 如， 2 1l 丽地j i ： z 2 i l 一击z z 2 一l + 南 ( q u _ l q 2 l 一1 1 5 2 洲) 2 d x 扣厶如小训于拈去 ；小训个如 1 1 。：l，、【 同理 ( q u h - 酬2 = ( o ) 2 冬( 1 击) 鬼z x 2 “i - 1 + ，1 2 如， z 蕊一l + 去z z 2 i 一酬2 = ( 小7 如) 2 ( 1 一去) tr 咕 ( q 训，1 2 如，呸一。m 一击 厶。c g 一啦；让。；，d 2 ( 1 一去) c t + t + ， = ( 1 一击) 陬仙_ 心q u h - - q 2 i u 2 i ) ) 2 妇 厂。2 t | j 3 2 1 - - 1 + 南 ( q u h q 2 t “戳) ) 2 d x + 1 - 去) 仙+ 1 ) r 砖( q u h - - q 2 i u 2 i ) ) 2 如 ( - 一击) 3 c t + t + - ， ；z 二。十击 + ( t 一去) 3 c h i + h i + l 脓。 ( q u h ) ，】2 如 r 嗉【( g 岫， 2 如 假设区间剖分拟均匀，即吃，h i + 1 相差不多时设h = m a x l g i 吾 1 4 卜跏i 如2 ) 2 ( 1 2 1 1 ) 赤 卜 址 厂 c h + c h 一 + 化 i 喜 ( c t t 一 u ，幺一。一击2 + ( ( u - 1 - i h u ) 乏一。+ 去，2 ) 5 l 叫 f 。 主e = l u - i i h u l d x ) 2 二岵l u - h h u l d x ) 2 + ( | 卜跏i 训丢一 当札磁( j ) nh 3 ( ，) 时，由引理1 知 则得 另外 n i = 1 ( u i i h u ) k 2 一击) 1 2 c h 3 雌陋。，蚴】 ( u 一1 - i h u ) 铷2 + 击) 1 2 c h 3 雌陲。融】 【( ( u 一l i u ) ：。一，一号莒) 2 + ( ( u - n h u ) ：。；一。一号。) 2 c 九墨i u l 3 ( 1 2 1 2 ) 、亏 喜忙 u - i i h u l d x ) 2 + x 2 , ，一i u i h h u l d x ) 2 ( e 札山州州壶 匠讯印如+ e 去 t + z 2 i - _ l _ 2 去h 1 2 叫) 墨 ， j ， c h 吾h u 1 1 7 l u l l o c 虿7 i u l 3 把( 1 2 1 2 ) ，( 1 2 1 3 ) 代入到( 1 2 1 1 ) 得 o ( t 一i i h u ，：_ 1 ) 将此式代入( 1 2 1 0 ) ，并由插值误差估计，得 u 一1 - i h u l l 1 5 c h 2 i u l 3 l 叫h 1 1 c h 2 i u l 3 1 1 一i i h u 2 d x ( 1 2 1 3 ) 。试 ，、l一， 、-，l + 一 则i 心一u h l i u i i h u l l4 - 1 1 - i h u u h l l c h 2 i 让1 3 ，定理3 得证 当“畦( ，) nh 4 ( ，) 时，由引理2 知 则得 ( 仳一i i h u ) 协2 _ 1 一去) 1 2sc h 5 呲k 。蚓 ( u i i h u ) 纠+ 去) 1 2 c h 5l 让胁】 摩删。州枘。，卜嘶1 4 把( 1 2 1 4 ) ，( 1 2 1 3 ) 代入( 1 2 1 1 ) 可得 又由( 1 2 1 0 ) 得 a ( u n u ，：叫h ) 冬c h 3 ( 1 u 1 44 - i u l 3 ) j w h f l u ，i i i h u l lc h 3 ( j u l 4 + i u l 3 ) 由此可得l 2 模误差估计 定理4 设，刍( j ) nh 4 ( ，) 为( 1 1 1 ) 的解，孔h 为( 1 1 4 ) 的解，则有 证明 乱一u h t l o c h 3 ( j u f 34 - 川4 ) 乱一 h l l osi l u n h 乱lj o - 4 - i i r i h u u hj l o c h 3 i 札1 3 + c h 3 ( 1 u 1 3 + l 乱1 4 ) c h 3 ( 1 t t l 3 + i “1 4 ) 1 3 超收敛估计 下面首先考虑导数在应力佳点处的超收敛估计 定理5 设u h 刍( j ) n h 4 ( j ) 为( 1 1 1 ) 的解，u h 为( 1 1 4 ) 的解，则有 去势九小扩小九小州5 鲥叱 证明由u u _ l = u i i u4 - l h u u h ，设 l 。：ll ；t c “一 札，c z 。；一。一击，。+ c u 一 u ，7 c z 。；一。+ 去，2 ，_ 5 1 6 ( 1 2 1 4 ) ( 1 2 1 5 ) ( 1 3 1 ) 由引理2 l z = n ；【( n 让一钍 ) 7 ( z 翻一。一击) 2 + ( i i h u - u h ) ( z 。；一。+ 击) 2 ) i 并假定若1 = d ( 危) ，则得 u l - l h u ) x 2 i - - 1 - 击) | c 曩5i 1 4 ，陋2 一2 ，。2 。】 1 0 一i i h u ) k 2 + 击) i c 呐4 ，陲。，z 到1 l ：去壹i = 12 c 2 危5 i u m 庇。】咖6 i 札暖 即l 1 c h 3 l u l 4 ( h 1 ) 下证l 2 c h 3 l u l 4 由逆估计 所以 ( i i h u - u h ) 钕纠一去) ls c h 一吾ii i h u u h l ，陋2 一2 ，。2 d ( ，l u 一乱 ) 7 ( z 2 一l + 击) is c h 一考i n h u 一乱 1 1 ，扛搿- - 2 , x 2 , l i ! o h 一1 一亿 n y i h u 一他 艮2 删 ：1 。，c h 一1 i _ i l u u 瞪 n 。 1 n c h 5 怫c h 6 懈 即得证l 2sc h 3 i u l 4 ，由l 1 ，l 2 的估计可得( 1 3 1 ) ，定理5 得证 下面考虑节点处的超收敛估计为使论证简单起见，我们考虑最简单的模型方程一t = ，u (