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几类参数曲线的研究 摘要 本文对计算机辅助几何设计( c a g d ) 领域中的三类参数曲线：四次b e z i e r 曲 线的扩展、三角插值样条以及给定切线多边形的三角样条曲线问题做了进一步 的研究。 第一章为绪论部分，简要介绍了自由曲线曲面的发展与现状、b 样条的基本 概况及b 样条的推广、b 6 z i e r 曲线的基本概况及b 6 z i e r 曲线的推广及本文的研究 内容与安排。 第二章介绍b 6 z i e r 曲线的扩展情况，构造了一组含多参数的五次多项式基 函数，是四次b e r n s t c i n 基函数的扩展，由此得到含多参数的四次b 6 z i e r 曲线的 扩展通过对多个参数的选取能更好地调整曲线的形状，可在计算机应用中更好 地进行曲线设计。 第三章介绍多项式保形插值的发展情况，并构造了一类带参数的三角样条 保形插值曲线，构造的曲线无需解方程组就可直接插值给定的一组数据点，并可 通过参数选取使得插值曲线在型值点左右的曲率变化很小且曲率变化是连续 的。另外，曲线具有良好的保形性，造型较为灵活，通过参数取值可对曲线形 状作整体和局部修改。 第四章先介绍给定切线多边形的样条曲线的研究状况和与给定切线多边形 相切的c b 样条曲线，然后给出两类含参数的给定切线多边形的三角多项式曲线 构造方法，构造的曲线与给定的控制多边形相切，且具有很好的形状可调性，可更 好地进行曲线设计。 第五章对全文进行了总结与展望。 关键词：曲线曲面造型；b 6 z i e r 曲线的扩展；形状参数；插值曲线；切线多边形。 r e s e a r c ho i ls o m ek i n d so fc u r v e s w i t hs h a p ep a r a m e t e r s a bs t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ea n a l y z ea n di n v e s t i g a t e3t y p eo fc u r v e sw i t hs h a p ep a r a m e t e r s w h i c ha r eg e n e r a l l yu s e di nc a g d ( c o m p u t e ra i d i e dg e o m e t r i cd e s i g n ) ：e x t e n s i o n o fq u a r t i cb 6 z i e rc u r v ew i t hp a r a m e t e r s ，ac l a s so ft r i g o n o m e t r i ci n t e r p o l a t i o n c u r v e s ，t r i g o n o m e t r i ec u r v e sw i t hg i v e nt a n g e n tp o l y g o n s t h et h e s i si sc o m p o s e do f f o u rc h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e r ，w er e v i e wt h eb a c k g r o u n do ft h ep a r a m e t e rc u r v e sa n ds u r f a c e s m o d e l i n gi nc a g d ，a n db r i e f l y i n t r o d u c eb 6 z i e r , b - s p l i n ea n dn o n p o l y n o m i a l c u r v e sa n ds u r f a c e sm o d e l i n g ，w h i c hi n c l u d ec c u r v e se t c t h es e c o n dc h a p t e ri n t r o d u c e st h es t a t u so fe x t e n s i o n so fb 6 z i e rc u r v e sa n d c o n s t r u c tac l a s so fd e g r e e5b a s i sf u n c t i o n so fc o n t a i n i n gt h r e es h a p ec o n t r o l p a r a m e t e r s i ti se x t e n s i o no fq u a r t i cb e r n s t e i nb a s i sf u n c t i o n s p r o p e r t i e so ft h i s n e wb a s i sa r ea n a l y z e da n dap o l y n o m i a lc u r v ew i t ht h r e es h a p ep a r a m e t e r si s d e f i n e db a s e do ni t t h ec u r v en o to n l yi n h e r i t st h eo u t s t a n d i n gp r o p e r t i e so fq u a r t i c c u r v e ，b u ta l s oi sa d ju s t a b l ei ns h a p ea n df i tc l o s et o t h ec o n t r o lp o l y g o n t h e p a r a m e t e r sh a v eo b v i o u sg e o m e t r i cm e a n i n g s o m ee x a m p l e s i l l u s t r a t et h a ta n e f f e c t i v em e t h o dt od e s i g nc u r v ea n ds u r f a c eh a sb e e no b t a i n e db yu s i n gt h ec u r v e d e f i n e di nt h i sp a p e r t h et h i r dc h a p t e rf i r s t l yp r e s e n t st h es t a t u so fs h a p ep r e s e r v i n gp o l y n o m i a l i n t e r p o l a t i o n c u r v e s s e c o n d l y ，w ec o n s t r u c tac l a s so ft r i g o n o m e t r i ci n t e r p o l a t i o n c u r v ew i t hap a r a m e t e r t h ec o n t r o lp o i n t so ft h et r i g o n o m e t r i cp o l y n o m i a lc u r v e s a r ec o m p u t e db yas e to ft h ep o i n t s k 乙t h ek i n do ft r i g o n o m e t r i ci n t e r p o l a t i o n c u r v e si sc 2 m - i c o n t i n u o u sa n di ss h a p ep r e s e r v i n ga n dc a nb em o d i f i e dn o to n l y l o c a l l yb u ta l s ot o t a l l y t h ef o u r t hc h a p t e rf i r s t l yi n t r o d u c e st h es t a t u so fp o l y n o m i a ls p l i n ec u r v e sw i t h g i v e nt a n g e n tp o l y g o n a n dc - b s p l i n ec u r v ew h i c hi st a n g e n tt ot h eg i v e np o l y g o ni s d e s c r i b e d a tl a s t ，w eg i v eac l a s so ft r i g o n o m e t r i cc u r v e sw i t hp a r a m e t e r sw h i c hi s t a n g e n tt ot h eg i v e nc o n t r o lp o l y g o n sa n d i tc a nb e m o d i f i e dn o to n l yl o c a l l yb u ta l s o t o t a l l y f i n a l l y ，i nt h ef i f t hc h a p t e r , w em a k eas u m m a r ya n dg i v ee x p e c t i o n s k e y w o r d s ：c u r v ea n ds u r f a c em o d e l i n g ；e x t e n s i o n so fb 6 z i e rc u r v e s ；s h a p e p a r a m e t e r s ；i n t e r p o l a t i o nc u r v e s ；t a n g e n tp o l y g o n 插图清单 图1 1 一簇c b 6 z i e r 基函数图形及用顶点定义的c b 6 z i e r 曲线8 图2 1 五次基函数基函数图形 1 3 图2 2 五对曲线的调节1 4 图2 3y 对曲线的调节1 4 图2 4 “对曲线的调节。1 4 图2 5 开曲线组成的花瓣1 5 图2 6 闭曲线组成的五角星花瓣1 6 图2 7花瓶16 图3 1 控制多边形1 9 图3 2 局部参数a 对曲线的调节2 1 图3 3 局部参数疋对曲线的调节2 1 图3 4整体调控参数五对曲线的调节2 2 图3 5 型值点左边曲率变化( 本文方法) 2 2 图3 - 6 型值点右边曲率变化( 本文方法) 2 2 图3 7 型值点左边曲率变化( 文献【8 1 】方法) 2 3 图3 8 型值点右边曲率变化( 文献【8 1 】方法) 2 3 图3 - 9 鱼形2 3 图4 1 兄对给定切线多边形的曲线形状的整体调控( 第一类) 2 6 图4 2心形2 7 图4 3 元对给定切线多边形曲线的调节。2 8 图4 4 见对给定切线多边形曲线的调节( 第二类) 3 0 图4 5童装衣袋图样3 0 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得金胆王些太堂 或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：啦番梅 签字日期侧年6 月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金世工些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权金筵王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：球秃格 签字日期：砂眸占月广7 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师躲和劫 签字日期：护辟莎月7 日 电话： 邮编： 致谢 首先要感谢我的导师朱功勤教授、郭清伟副教授，本文的研究工作自始至 终都是在他们的关心、支持和指导下进行的。 其次，要感谢计算数学的各位老师，他们的严谨的治学态度、渊博的专业 知识、实事求是的作风、乐观的生活态度都给我留下了深刻的印象，同时也是 我学习的楷模，在此我十分感谢与敬佩他们! 再次，要感谢我们研讨班的的各位同学和我的室友对我学习和生活上的帮 助! 最后，要感谢评阅、评议硕士论文和出席硕士论文答辩会的各位专家学者， 感谢他们在百忙之中给予的批评指正。 在这里我还要感谢我的家人，并祝福所有的老师、同学和帮助过我的人幸 福快乐! 朱秀梅 2 0 0 8 年5 月 第一章绪论 1 1 自由曲线曲面技术的发展及现状 曲线曲面的构造、表示和逼近是计算机辅助几何设计的主要任务。要在计 算机内表示某工业产品的几何外形，其形状的描述应尽可能保持原产品的几何 特征，从计算机对形状处理、数据分析的角度来看，应满足以下条件 1 ： ( 1 ) 唯一性：即由给定的条件确定的几何外形是唯一的，这是对形状数学描 述的首项要求； ( 2 ) 易于定界：形状总是有乔的，其数学描述应易于定界； ( 3 ) 易于形状的修改和控制； ( 4 ) 易于实现拼接，在某些节点或曲线段上要求连续； ( 5 ) 几何直观； ( 6 ) 算法简单易行； ( 7 ) 统一性：能统一表示各种形状及处理各种情况，包括各种特殊情况。 曲线曲面造型技术起源于二战时汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工 艺。已知曲线曲面或能用数学方程表示出来的曲线曲面，我们称之为规则曲线 曲面，如圆、柱面、圆锥面，可以用隐函数或二次方程表示。而不能用二次方 程表示出来的曲线曲面称之为自由曲线曲面。实际上在日常生产生活中，我们 碰到的更多的是自由曲线曲面( f r e ef o r mc u r v e sa n ds u r f a c e s ) ，因此计算机 辅助几何设计的重要内容之一就是研究它们的几何形状与算法。 自由曲线曲面造型技术诞生于5 0 年代。最早由s c h o e n b e r g 2 于1 9 4 6 年提出 插值样条函数，以解决插值问题，构造参数连续的插值曲线曲面。但真正奠定 其理论基础的是由c o o n s 、b e z i e r 等大师于二十世纪六十年代作出的。如今经过 四十多年的发展，曲线曲面造型技术形成了以非均匀有理b 一样条 ( n u b s ：n o n u n i f o r mr a t i o n a lb - s p l i n e ) 参数化特征设计( p a r a m e t e r i z e da n d c h a r a c t e r i s t i cd e s ig n ) 和隐式代数曲线曲面表示这两类方法为主体，以插值 ( i n t e r p o l a t i o n ) 、拟合( f i t t i n g ) 、逼近( a p p r o x i m a t i o n ) 这三种手段为骨架的 几何理论体系 3 。 现在就让我们回顾一下它的几个重要发展阶段： 1 9 6 3 年美国波音( b o e i n g ) 飞机公司的福格森( f e r g u s o n ) 首先提出了将曲线 曲面表示为参数的矢函数方法。他最早引入参数三次曲线，使用为基函数，构 造了由四个角点的位置和两个方向的切矢量定义的f e r g u s o n 双三次曲面片( 4 、 5 ) 。在此之前，曲线的描述一直是采用显式的函数y = y ( x ) 或隐方程f ( x ，y ) = 0 的形式，曲面描述也是采用z = z ( x ，y ) 或f ( x ，y ，z ) = 0 的形式。福格森采用的自由 曲线曲面参数形式的表示方法具有几何不变性、易于坐标变换等优点。从此曲 线曲面的参数形式成为形状数学描述的标准形式。 1 9 6 4 年，美国麻省理工学院( m a s s a c h u s e t t si n s tit u t eo ft e c h n o l o g y ) 的机械工程教授孔斯( c o o n s ，1 9 1 2 1 9 7 9 ) 6 在给国防部的技术报告中引进了超 限插值这个全新的数学概念，按照一定的连续阶要求把若干个较小的曲面片拼 接成所要设计的曲面，其边界线可以是具有一定连续阶的任何曲线。1 9 6 7 年， 孔斯进一步推广了他的思想 7 。在计算机辅助几何设计实践中，应用最多的是 c o o n s 双三次曲面片。它与f e r g u s o n 双三次曲面片都存在形状控制与拼接的问 题，区别仅在于它将角点扭矢由零矢量改为非零矢量。 法国雷诺( r e n a u l t ) 汽车公司的工程师贝塞尔( b e z i e r ) 于1 9 7 1 年提出了一 种由控制多边形定义曲线的方法。贝塞尔方法简单实用，设计员只要移动控制 顶点就可修改几何形状。以此为基础，贝塞尔在雷诺公司建立了自由曲线曲面 设计系统( u n i s u r fc a d ) ( 8 、9 、1 0 ) 。最初贝塞尔提出的曲线表达式是： p ( ，) = a ；( t ) a j ，o t l j - - - o 郇) _ 1 删= 蒜筹号抖2 ，棚 a o = 昂，a i = p 一只- l ，j = 1 ，2 ，刀 其中只，j = 0 ，1 ，2 ，甩是控制多边形的顶点。这一定义十分奇特，令人难以接受。 随后，g o r d o n 和r i e s e n f e l d 1 1 等对b e z i e r 方法进行深入研究。到1 9 7 2 年， f o r r e s t 1 2 才提出现在通用的定义，指出它恰好就是b e r n s t e i n 基与控制顶点 的线性组合，即：p ( f ) = 群o ) 只，0 f l 面 ，玎、 其中群( ，) = l - i ( 1 一f ) 肛。，。，f = o ，1 ，刀为n 次b e r n s t e i n 基函数。用贝塞尔方法生 l o 成的贝塞尔曲线具有几何不变性、凸包性( c o n v e xh u l l ) 、保凸性、端点插值等 很好的性质，并且它的升降阶、离散、插值、递归求值等算法简单，易于修改、 控制，大大推进了曲线曲面设计。贝塞尔方法在计算机辅助几何设计学科中占 有重要地位，为曲线曲面造型技术的进一步发展奠定了坚实基础，是c a g d 发展 中的重要里程碑。稍早于贝塞尔，法国雪铁龙( c i t r o n ) 汽车公司的德卡斯特里 奥( d ec a a s t e l j a u ) 也曾独立地研究发展了同样的方法，但结果从未公开发表。 1 9 8 3 年，f a r i n 1 3 更进一步地研究了能统一表示圆锥曲线与自由曲线的有理 b e z i e r 曲线。此外，( 1 4 、1 5 、1 6 ) 对有理参数曲线进行了广泛的研究。从7 0 年代中期开始，国内对b e z i e r 方法也做了大量的卓有成效的研究( 1 7 、1 8 、1 9 、 2 0 、2 l 、2 2 、2 3 、2 4 、2 5 、2 6 、2 7 、2 8 、2 9 ) 。如文献 3 0 、3 1 引进几何不变 量的方法，彻底解决了平面三次参数曲线的分类和控制问题。他们的工作对 c a g d 作出了重要贡献。 b 一样条曲线是曲线曲面设计中另一种十分重要的技术。1 9 7 2 年，d eb o o r 给出了关于b 一样条的一套标准算法。之后，美国通用( g e ) 汽车公司的g o r d o n 和 r i e s e n f e l d 3 2 把b e r n s t e i n 基彤( f ) 换成n 次b 一样条基，从而将b 一样条基函数推 广到矢值形式，并提出了b 一样条曲线曲面。它几乎既拥有b e z i e r 曲线的几何特 2 性，又拥有形状局部可调及连续阶数可调等b e z i e r 曲线所没有的特性，克服其 由于整体表示带来的不具备局部性质的缺点，具有表示与设计自由型曲线曲面 的强大功能。关于b 样条的理论早在1 9 4 6 年由s c h o e n b e r g 4 提出，但论文直到 1 9 6 7 年才发表。1 9 7 2 年d eb o o r 和c o x 分别独立地给出b 一样条计算的标准算法 ( 3 3 、3 4 ) 。1 9 8 0 年，b o e h m 3 5 和c o h e n 3 6 等人给出了b 一样条曲线的节点插 入技术。其次，p r a u t z s c h 3 7 等人又发展了b 一样条曲线的升阶技术。但随着生 产的发展，b 一样条方法显示出明显不足如不能精确表示圆锥截线等等。同时 b e z i e r 样条和b 一样条两种设计手段并存的局面使工业界很不满意，因为这容易 造成生产管理的混乱。于是，人们希望找到一种统一的数学方法。1 9 7 5 年，美 国锡拉丘兹( s y r a c u s e ) 大学的福斯普里尔( v e r s p r i l l e ) 3 8 在他的博士论文中 首先提出有理b 一样条方法。t i l l e r 论述了有理b 一样条曲线曲面的具体应用 3 9 。此后，p i e g l 、t i l l e r 等人( 4 0 、4 1 、4 2 、4 3 、4 4 、4 5 、4 6 、4 7 ) 更系 统地研究了有理b 一样条曲线曲面的构造和控制问题。由于他们的出色工作，至 2 0 世纪8 0 年代后期，非均匀有理b 一样条成为用于曲线曲面描述的最为广泛的数 学方法。n u r b s 曲线最突出的优点是既有b 一样条曲线形状局部可调及连续阶数 可调的优点，又兼有有理b e z i e r 曲线可精确表示二次曲线的特性，从而能用统 一的数学形式表示规则曲线曲面和自由曲线曲面。由于n u r b s 方法的这些突出优 点，在1 9 9 1 年国际标准化组织( i s 0 ) 正式颁布的工业产品数据交换的s t e p 标准 中，把n u r b s 作为自由曲线曲面的唯一定义 4 8 。而国际著名的c a d 软件公司也 把造型系统首先建立在n u r b s 的数学模型上。从而使n u r b s 方法成为曲线曲面造 型技术发展趋势中最重要的基础。 综上所述，自由曲线曲面造型技术是c a g d 的核心问题，b e z i e r 样条和b 一 样条则是几何设计的重要手段。n u r b s 由于数学形式的统一性成为c a d c a m 的 标准。随着计算机技术的不断进步和工业设计的巨大需求，我们这门学科还将 继续取得更大的成就 1 2b 一样条研究现状 1 2 1b 一样条公式 关于b 一样条理论早在1 9 4 6 年就已提出。b 样条方法具有表示设计自由型曲线 曲面的强大功能，是几何形状数学描述的主流方法之一，由g o r d o n 和r i e s e n f e l d 于1 9 7 4 年引入。 曲线定义如下： p ( 甜) = d ，( “) i = o 其中4 ( f = o ，1 ，2 ，n ) 是n 个控制顶点， u j 是相应于参数t 轴上不均匀分 割，f t ( “) ( f = 0 ，l ，2 ，n ) 是k 阶b 一样条基函数。由c o x - d eb o o r 递推公式可定义为： 3 啪，= 忙觏l m j ( ”) = 生m p l ) + 上丝正兰l m + i 川 ) 。 u 1 + k 一 u i + k + l 一+ l 规定旦0 = o t = u i l 帕称为节点序列，u j 称为节点。 非均匀有理b 一样条( n u r b s ) 是一个构造自由曲线曲面的有力工具。然而正如 p i e g l 4 4 等人指出由于采用有理形式来代替多项式形式，n u r b s 模型在几何设 计中也存在一些局限性。例如：n u r b s 模型不能表示超越曲线，如c a d c a m 系统 中常用的摆线、螺旋线等。 ( 1 ) 一般来说，一条k 次有理多项式曲线的导数是2 k 次的有理曲线，即曲 线求导后次数会升高。这对于数值计算和c a d c a m 系统的处理是不利的。 ( 2 ) 虽然n u r b s 可以精确表示圆弧，但是其参数并不是它的弧长参数。 n u r b s 模型更多的局限性，请参考 4 9 、5 0 、5 1 。 正因为n u r b s 模型有这么多的局限性，我们希望找到另外一种曲线曲面造型， 既避免有理形式，又具备多项式b 一样条类似的性质。这样我们就必须把b 一样条 的多项式项用非多项式来代替。于是，有人提出了几种新的样条曲线曲面方案， 他们的工作大大推动了几何设计的进展。下面我们将详细介绍。 1 2 2c b 一样条曲线 c b 一样条曲线最早是文献 5 2 提出来的，它是以s i n t ，c o s t ，t ，1 为基底构造 的曲线。其定义如下： 令q j ( j = 0 ，1 ，2 ，n ) 是给定的顶点，对任意实数口( o a 7 【) ，则曲线为 三 p ，( r ) = b ，( r ) g 州= t d q j = o 这里t = s i n t ，c o s t ，l 】，q = 【吼，吼+ l ，吼+ 2 ，吼+ 3 r d ： 1 2 a ( 1 一c ) c 一( 1 + 2 c ) 一s2 s l1 + 2 c 口一2 a c 2 + cl so 一( 1 + 2 c ) l 口0 c = c o s0 【，s = s i n a ，0 t 0 c ，j = 0 ，1 ，2 ，”，n - 3 b j ( t ) ( j = 0 ，1 ，2 ，3 ) 是基函数，且 即) = ( a - 葡t ) - 矿s i n ( a - t ) ，郫) = 莉t - s i n t ， 聃瓣2 靴百2 ( a - t 百) ( 1 - c ) ，删= b o ( t ) 一2 8 3 ( t ) + 器 次年，文献 5 3 又给出了另两种定义： 4 ( 1 ) 令b o ，岛，如，也仰3 ) ，是给定的顶点，任意实数口【0 ，n - ，则曲线为 以( f ) = n o ( r ) 包+ l ( f ) 岛+ i + 2 ( f ) 包+ 2 + 3 ( f ) 6 i + 3 这里 o ( f ) = g ( 1 一r ) r 3 s p r ( ( a ( 1 - r ) ) ，3 ( f ) = g r s p r ( a r ) ， m ( f ) = 马( f ) 一2 b o ( t ) - t - l ，2 ( f ) = 岛( f ) - 2 b ( f ) + f ， g = 上2 ( 1 - c o s a ) ，s p r ( 加半 o 口筑o 矧 ( 2 ) 令b o ，6 1 ，2 j 2 ，也 2 ) 是给定的控制顶点，实数 0 ，刀】o - - 1 ，2 ，n ) 是每 一个断点上的任意参数，则曲线为： p j ( r ) = h i ( 1 一f ) + 6 f + l f + ( 包一l 一2 b , + 6 ) z ( 1 一f ) + ( 岛- 2 b , + l + 包+ 2 ) z + l ( r ) ，f = l ，2 ，n - 1 ) 这里： 荆= g x 3 s p r ( c t , x ) ，g l = 丽a ，s p r ( a , x ) = 半 通过以上定义的c b 一样条与三次b 一样条有很多相似的性质，比如归一性、 非负性、对称性、几何不变性、凸包性和局部调整性等等。它的细分公式也很 简单。利用这种样条，我们可以表示圆弧、椭圆 5 4 、摆线和螺线 4 9 、球 5 5 、 圆锥、圆环面等这些工程上经常用的曲线曲面。而这些曲线，三次b 一样条只能 近似表示。因此，c b 一样条很容易应用至u c a d c a m 系统上去。 1 2 3 均匀三角多项式b 一样条 以上简单说了一下c b 一样条，但是这个模型只适用于低阶的情况。于是， 文献 5 6 在空间q = s p a n s i n t ，c o s t ，广- 3 ，扣4 ，1 ( 七3 ) 上构造b 一样条，称为均匀 三角多项式b 一样条曲线。 假设= i a ( i = o ，1 ，2 ，。) ( 口是区间长度，0 口万) 是参数轴的均匀节点。首 先定义q ，。上的一组基： 0 2 ( ，) = 一竺二s i n f ，0 ，口 2 ( c o s a - i ) 一旦x 。( 2 a 一) ，a _ t _ 2 c t s i l l t t ，l ， 2 ( c 0 8 a 一1 ) ”7 o ，其它 并且m ，2 ( ，) = 0 。2 ( t - i c t ) ( i = o ，l ，2 ，) 对于k 3 ，令 1- m ( f ) 2 吉j 一口m j l ( x ) d x m ( f ) ( f = o ，1 ，垃，) ( k 3 ) 是q i 。的一组基。 k 次三角多项式b 一样条基也具有一般b 一样条同样的性质，如非负性、局部 调整性、归一性、对称性和线性独立性等等。根据类似的细分公式，三角多项 5 式b 一样条还有保凸性和变差缩减性。 1 2 4 带形状参数的均匀三角多项式b 样条 为了方便地调整曲线的形状，文献 5 7 中构造了带形状参数的三角多项式 曲线，可以在控制多边形不变的情况下，通过调节参数大小而调整曲线的形状 更一地，文献 5 8 中提出了k 阶( k 2 ) 的带形状参数三角多项式均匀b 样条曲 线 令 s o 2 0 ) = 署【( 1 + 伽i n 号卜五s i n 万t ，o f 1 署 ( 1 + 伽i i l 号，+ 心n 州，1 r 2 0 ，其它 其中，一1 名1 ，& 七( r ) = l & 七一( x ) 出s ，2 0 ) = s o ，2 0 一吼f = 0 ，l ，2 ，) 当七3 时，& ，( ，) = ，& 乒一l ) d x ，墨 ( r ) = & ( t - i ) ，i = 0 ，1 ，盟 k 阶带形状参数的三角多项式b 一样条基也具有一般b 一样条同样的性质，如非负 性、局部支集性、归一性、对称性和线性独立性等等，且墨 ( ，) 在整个参数空间 中为k - 2 阶连续 1 3b 6 z i e r 曲线的研究现状 1 3 1b e r n s t e i n 基函数与b 6 z i e r 曲线方程 最初，b 6 z i e r 把参数n 次曲线表示为 p ( ，) = 巳f j ( o ，o ，s 1 ， 其中，a 。为首点点矢，多边形各边矢量a ，( j = o ，1 ，n ) 顺序首尾相接，从a 。的 首端到a 。的末端所形成的折线称为控制多边形。 ( = 0 ，1 ，朋) 称为b 6 z i e r 基 函数 f 1 ，j = o 纵d - 1 篇1 ) 等! d ti 幽t 旧，2 l ( _ ，一 产1 ij i - 一 或 f j ( o = ( 一1 ) “7 c i 1 j = o ，1 2 ，刀， 这里用到组合数 q = 陆志， 6 并约定：若b 尼或后0 ， 0 ，则q = o ；若七0 ，q = 1 这一定义非常奇特。f o r r e s t ，g o r d o n 和r i e s e n f e l d 对b 6 z i e r 方法作了深入 研究，f o r r e s t 发现处理作为b 6 z i e r 多边形边的相对矢量不如处理作为顶点的 绝对矢量方便，并发现上述b 6 z i e r 基表示形式能被改为现在广泛使用的用控制 顶点弓定义的b e r n s t e i n 基表示形式： p ( r ) = 弓乃，( ，) ，0 ，1 ， 上式中 b ，一( f ) = q f 7 ( 1 - t y - l j = o , 1 ，2 ，刀 称为b e r n s t e i n 基函数。 用b e r n s t e i n 基函数表示的b 6 z i e r 曲线的性质取决于b e r n s t e i n 基函数的性质。 b e r n s t e i n 基函数的性质与计算公式如下： ( 1 ) 非负性 b j ( f ) , n 0 ( 2 ) 规范性 哆，。( f ) - 1 ， ( 3 ) 端点性质州o ) _ 锰尝= 传善 ( 4 ) 对称性 色，。o ) = 尾一加o - t ) ， ( 5 ) 函数递推公式 哆，。( f ) = ( 1 一f ) 色川( f ) + 哆- l , n - i ( f ) ，其中8 0 ，o ( t ) - 1 ， ( 6 ) 导数递推公式a s _ i 五a 一( t ) ：砸哆却一。( ，) 一哆川( ，) 】， ( 7 ) 最大值 曰，鼻( ，) 在f = 三处达到最大值， ( 8 ) 升阶公式 哆，( f ) = ( 1 一i ，- ) 岛，+ - ( r ) + 疗j + + l ib 川一+ 。( f ) 。 1 - 3 2b 6 z i e r 曲线的性质 二次及二次以上b 6 z i e r 曲线有如下性质： ( 1 ) b 6 z i e r 曲线的首末端点正好是控制多边形的首末顶点，即p ( 0 ) = p o ， p ( 1 ) = p 。 ( 2 ) b 6 z i e r 曲线在首末端点的k 阶导矢分别与控制多边形的首末k 条边有 关，与其他边无关，这表明曲线在首末端点分别与首末条边相切。 ( 3 ) 具有几何不变性与仿射不变性。 ( 4 ) 对称性：将控制多边形顺序取反，定义同一条曲线，仅曲线方向取反。 ( 5 ) 凸包性 ( 6 ) 变差缩减性 ( 7 ) 移动n 碜b 6 z i e r 曲线的第j 个控制顶点弓，将对曲线上参数为t = j n 的 点尸( 形) 处发生最大影响。 7 l - 3 3b 6 z i e r 曲线的推广 1 3 3 1 c b 6 z i e r 曲线 b e r n s t e i n 基是从f 。= s p a n 1 ，f ，f 2 ，广 中提出的一组具有优美性质的基底， 以它为基础构造的b 6 z i e r 曲线在一个统一的数学模型下可以表示自由曲线和 传统的解析曲线，但不能精确圆弧、椭圆等超越曲线但在几何造型工业的发展， 人们经常用到超越曲线，为了利用控制顶点这个有力的工具来表示超越曲线以 b e r n s t e i n 基为基础，人们进行了一系列研究张纪文研究了由空间 f 4 = 1 ，f ，s i n t ，c o s t 提取出的c - b d z i e r 5 2 、5 3 ，由该基构造的c - b 6 z i e r 曲线可 以用控制顶点的形式表示诸如圆弧和摆线等曲线。 定义设有四个控制点q 。，q ，q 。q 。，则下面的曲线被称为带有控制参数o 【的c - b d z ie r 曲线： 三 p ( t ) = z ( f ) q = t d q ； 其中t = s i n t ，c o s t 1 】， lc 1 - c - m m- i l 纠蛐r 。= 击l 二； 艺m 嚣o l ， 【口一( 口一k ) m k moj f 1 当口：厅 k 2 筹，肘2 ：坠g ! 当o 口 万 l 口一2 k2 s 一口一a c 这里0 0 另一方面，厂( x ) 在 0 ，1 上是连续函数， f ( o ) = c o ，f ( 1 ) = c 4 假设f ( x ) 在( 0 ，1 ) 上有5 个根，则厂( 1 ) = c 4 o ，故产生矛盾，所 以式( 2 3 ) 成立 ( 2 ) 当s a ( c 。，c 。，c ：，c ，c 4 ) = 3 ，2 ，l 时，用上面的方法同样可以证明( 2 3 ) 式成立当 s a ( c o ，c l ，c 2 ，c ，c 4 ) = 0 时显然( 2 3 ) 式成立综上可知结论成立 下面证明变差缩减性令j 为通过点q 和法向量为1 ，的直线如果z 和控制多边形 交于尸。，丑+ 。之间的边相交，则p 。，只卅一定位于，的两侧，所以 1 ，( 最一q ) 和v ( 只+ 一q ) 符号相反因此，s a v ( 晶一q ) ，1 ，( 置一q ) ，v ( 昱一q ) ， ，( b - q ) ，1 ，( 只- q ) ) 与j f 交点的个数。另一方面，( r ) 与z 交点的个 数4 2 z e r o s ( o ，1 ) 最o ) ( 丑一q ) v ) 根据上面的奇函数组的笛卡儿符号法则，有 b k ( t ) ( p k q j ：协s a v ( 昂一q ) ，1 ，( 日- q ) ，v ( 忍- o ) ，v ( b 一9 ，1 ，( 只- q ) ) ，所以 ，粥与，交点的个数 与z 交点的个数，即曲线具有变差缩减性 当控制多边形为凸多边形时，平面上任一直线与控制多边形的交点的个数 最多为2 ，由上面证明的结论可知，平面上任一直线与曲线的交点个数不会超过 2 ，因此曲线具有保凸性 2 2 4 应用实例 1 花瓣图形 图2 - 5 为当五= 1 ， 图案。 0 ，一1 ，一2 ，一3 ，一4 ，= 0 3 ，y = 0 4 时的开曲线组成的花瓣 2 五角星花瓣图案 图2 咱为允_ l ，o ，一l ，一2 ，一3 ，一4 ，= y = 时的闭曲线组成的五角星花 瓣图案，可根据需要选取其它的旯，y 的值以调整曲线的形状。 图2 - 6 闭曲线组成的五角星花瓣 3 花瓶 图2 7 为本文构造的曲线通过旋转得到的花瓶，通过参数的改变可方便地 调整花瓶的形状 图2 7 花瓶 1 6 一 l j k一一 2 2 5 小结 带有参数旯，l ，的五次多项式基函数构造的曲线具有四次b 6 z i e r 曲线的 特征，如端点插值、端边相切、保凸性等。对于同样的5 个控制顶点，参数旯，y 可调整曲线的形状，而且名，z ，y 几何意义明显，z ，y 值固定时，在- 4 五l 范围 内，五越大，曲线越接近控制多边形；当五= 0 时，曲线退化为四次b 6 z i e r 曲 线，当z = y = 0 时，文中构造的基函数为 6 8 中第一类基函数，当z = 1 ，y = 0 时， 此基函数为 6 8 中第二类基函数；当= o ，v = l 时，得到一种不同于 6 8 中的另 外一种基函数，显然文中构造的基函数是 6 8 中基函数的推广。并构造了含多 参数的五次b e r n s t e i n 曲线，通过对参数五，y 的选取能更好地调整曲线的形 状，可在计算机应用中更好地进行曲线设计。 1 7 第三章带参数的三角样条保形插值曲线 3 1 保形插值曲线简介 曲线的保形插值在计算机辅助几何设计中有着重要的作用三次h e r m i t 插值是c 1 连续的，五次h e r m i t 插值是c 2 连续的，但都不一定保形 7 2 ：应用b 样 条曲线采取反求顶点方法的插值曲线同样不具有保形性 3 0 目前比较典型的 有g o o d m a ntnt 等提出的以曲率为自由参数的分段三次保形插值法 7 3 、7 4 ： 利用三次b 6 z