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(概率论与数理统计专业论文)中值型滤波的收敛性及层叠型滤波.pdf.pdf 免费下载
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文档简介
摘要 无限长信号的中值滤波: 设正整数k 每一n e z , 我们用记号二 ( 1 ) ( 司表示下面 全1令若二 二 州 n ) 二 。 2 是实数列, 则对 2 k +1 个实数 x ( 。 一k ) , x ( 。 一k +1 ) , 一 , 二 ( 。 ) , , x ( n +k 一1 ) , x ( n+k ) 由 小到大重排后位于中间的那个数. 通过这样的重排运算,二 = 。 ) 。 “变成一 个新的 实 数列x ( 1 ) =j x ( 1 ) (n ) f . e z , 它 称 为窗 宽为2 k 十 1 的x 的中 值 it波 . 对沪) 又可 进行窗宽为2 k +1 的中 值滤波, 其结果记为x ( 2 ) 二 x ( 2 ) ( n ) j . e z .一般地, x (p ) = x (n ) 间 - e z 表 示x 通过p 次窗 宽为2 k 十 1 的中 值滤 波后的 实数 列, 其中 x ( 0 ) = x . 若x = x ( 1 ) , 则称二 为窗宽为2 k 十1 的中值滤波的根信号, 简称为根. 设 二 = 二 ( n ) i - e z 是窗宽为2 k 十 1 中 值滤波的根, 若 x ( n ) i n “ 中任何长 度为k 十 1 的 段落都单调, 则x 称为第i 类根;若 x ( n ) . e z中 任何长度为k +1 的段落都不单 调, 则x 称为第i i 类根. 若实数列x =l x ( n ) ) - e z 满足( 3 ) 二 6 x ( 1 ) ; ( ii ) 存在正整数 s 1 , 使 得: 二 二 (s ) 则二 称 为循 环 序列 . s .g .t y a n 首先提出 无限长信号中 值滤波根的概念并研究了它的性质, 给出了以 下基本结果. 命题 0 . 0 . 1 窗宽为2 k +1 无限长信号中值渡波的根或者为第i 类 根,或者为 第i i 类根,而且第i i 类根亦是二值的 若对每一。 e z , 极限 li m x ( p ) = c z ( 哟存 在且有限, 则称x 的中 值滤波 收敛, 或 p砖 己 者 说 x (p ) ) p e n 收 敛 此时。 = ( 。 ( 。 ) 。 。 : 称为二 (, ) 的 极限 我们称矛 p ) 在一个长度为l的 段落上收敛, 如果存在。 。 ez 使得对每一。 。 三 、 n a + l 一 1 , x (p ) ( n ) p , 都 收 敛 . 有限长信号经过有限次中值滤波后必变为根信号( 1 5 , ( 2 9 ) , 但是一般地, 无限 长信号经过有限次中值滤波后并不变为根信号, 而且存在中值滤波不收敛的无限长 信号,因此要研究无限长信号的中值滤波的滤波行为就必须研究无限长信号中值 滤波的收敛性态这样一个数学理论间题 由于无限长信号同有限长信号有本质的差 别,再加之中值滤波的非线性性,使这一理论问题的研究变得困难得多 文献( 1 2 j 摘要 和!3 0 研究了无限长信号中值滤波的收敛性, 得到中 值滤波收敛的一些序列类. 周 j性 伟“ 3 1 , 3 4 ) 和j . b r a n d t 3 5 独立研究了中 值滤波不收敛的一些序列类 一个自 然的问 题是, 对一般的实数列t = 2 ( n ) . e z , 当p - 0 c 时,x ( p ) 到底有 丫 丫- 怎 样 的 变 化 性 态 本 文 第 一 章 首 先 完 整 地 刻 划 了 这 一 变 化 性 态 , 鹦 文 的 第 一个创 新点: 对 任何 一 个实 数 列, 其 奇次 生 值 接 彼列 和 偶 次 中 值 连 波 列 都收 , 并 刻 划 了 “ 们 的 极 限 序 歹 “之 间 的 关 系 令 体 地 说 , 就 是 定 理0 . 0 . 1 任给 一 实 数列二 = x (- ) 二 : z , 则 二 ( 2 p ) ) , , 及 5 (2 p - 1 ) 1 a 1 都 收 a 1 . i k x ( 2 p ) - + a , x ( 2 p - 1 ) - q , p - r 0 0 . 则当。 =16 时 ,x (p ) 一a , a 是 根;当。 -7 6 q 时,。和13 娜是循环序列,并且a ( 1 ) = 0 , o ( 1 ) =。 进一步, 我们彻底解决了无限长信号中值滤波收敛与局部收敛之间的关系问 题 , ” 本 文 的 大 了一 - 第二个创新点: 对一个实数列, 如果它的中 值滤波在一个某一长度的段落上收 , , 贝 其 中 值 波 必 收 , 而 且 讨 论 了 这 种 段 落 长 “ ” 最 优 问 题 粤 体 地 说 , 就 是 定 理0 .0 .2 设二 = 城 司 ) . c z . 若 (p ) 在 一 个长 度为2 k 一 1 的 段 落 上收 敛, 则 x ( p ) 必收数.而且当k 4 时, 段落的长度2 k 一1 是最优的. 在此基础上我们得到了无限长信号中值滤波收敛的一些判别准则, 并研究了一 个序列扰动后,其中值滤波的收敛性 文献咚 叼 移 周和3 3 分别用不同的 方法研究了 无限长信号中 值滤波的第i i 类根 的特性 特别是文献【 3 3 导出了 构造全部无限长信号中 值滤波根特别是第i i 类根 的理论和方法. 本文则证明了无限长信号中值滤波第h类根的一个新的特征: 每一 无限长信号中值滤波第i i 类根由 其任何长度为2 k 一1 的段落唯一确定.而且段落 的长度2 k 一1 是最优的.本文还证明了:中值滤波的循环序列均是周期的, 对称加权中值滤波是一种非线性滤波. 它是中值滤波及中心加权中 值滤波的一 般化. 本文第三章通过建立无限长信号的对称加权中值滤波的能量这一工具讨论了 对称加权中值滤波的收敛性 摘要 本 文 第 四 章 研 究 了 层 叠 滤 些性 质 , 进 而 得 到 了 整 犷 第三个创新点:提出了一类更一般的非线性滤波 窗滤波, 七_ -一 / 2 一 、 并给出了窗滤波为 层必滤波的一个充要条件. 此外还给出了连续层必滤波的一个判别准则, 并由此得 到了两个对称加权阔值滤波相等的充要条件. 一厂忍 i d 盼叱 耳厂 j ab s t r a c t t h e m e d i a n fi l t e r w a s p r o p o s e d b y j . w. t u k e y i n 1 9 7 1 a s a s m o o t h i n g d e v i c e f o r d i s - c r e t e s i g n a l s . i n p a r t i c u l a r , h e n o t e d t h e fi l t e r t o b e p a r t i c u l a r l y e f f e c t i v e f o r s u p p r e s i n g i m p l u s e n o i s e w h i l e s i m u l t a n e o u s e l y p r e s e r v i n g s i g n a l e d g e s o f t e n c o n t a i n i n g s i g n i fi c a n t i m f o r m a t i o n . i t h a s s i n c e t h e n b e e n w i d e l y u s e d i n p i c t u re p r o c e s s i n g , s p e e c h p r o c e s s i n g a n d o t h e r a r e a s o f s i g n a l p r o c e s s i n g . b .j . j u s t u s s o n 1 9 a n d s .g . t y a n 1 4 1 fi r s t s t u d ie d s t a t i s t i c p r o p e r t i e s o f m e d i a n fi l t e r s a n d d e t e r m i n i s t i c p r o p e r t i e s o f m e d i a n fi l t e r s , r e s p e c - t i v e l y . b u t t h e t h e o ry o f m e d i a n fi l t e r s h a s b e e n p o o r l y d e v e l o p e d c o m p a r e d w i t h t h e t h e o r y o f li n e a r fi l t e r s . l e t z b e t h e s e t o f i n t e g e r s a n d k a fi x e d p o s i t i v e i n t e g e r . l e t x = 二 ( n ) j n e z b e a r e a l s e q u e n c e . f o r e a c h in t e g e r 。 , w e d e n o t e b y 二 ) ( 。 ) t h e m e d i a n v a l u e o f t h e f o l l o w i n g 2 k +1 n u m b e r s : x ( 。 一k ) , 二 ( 。 一k +1 ) , , 二 ( 。 , 二, 二 ( 。 +k 一1 ) , x ( n +k ) b y , h ) t h i s p e r m u t i n g o p e r a t i o n , t h e s e q u e n c e $= x ( n ) i s t r a n s f e r r e d i n t o a n e w o n e = 二 ( ) ( 。 ) 。 。 : w h ic h is c a l le d t h e m e d i a n fi l t e r o f x w i t h w in d o w 2 k + 1 . t h e m e d i a n fi l t e r o n 二 ( ) ( w i t h w i n d o w 2 k + 1 ) o n c e a n o t h e r o n e x 1 2 1 = i f w e o p e r a t e 二 2 1 n - e z i s o b t a i n e d . g e n e r a l l y w e d e n o t eb y x i f x ( 1 ) i a ) x (p ) ( n ) e z t h e r e s u l t i n g s e q u e n c e o f 二 t h r o u g h p t i m e s o f m e d i a n fi l e r s .=x , x i s c a l l e d a r o o t ; i f x h l 笋x a nd t he r e e x is t s a s 2 s u c h t h a t 二 ( ) = x , x is c a l le d a r e c u r r e n t s e q u e n c e ( w i t h s t i m e s ) ; 5 . g. e s t a b l i s h e d t h e f o ll o w in g t w o r e s u l t e s i n 1 4 p r o p o s i t i o n 1 i f x ( n ) e z i s a r o o t , t h e n e i t h e r o f t h e f o l l o w i n g i s t r u e : ( i ) a n y s e g m e n t w i t h l e n g t h k +1 i n x ( n ) e z is m o n o t o n e ; ( i i ) a n y s e g m e n t w i t h l e n g t h k +1 i n 二 ( n ) e z i s n o t m o n o t o n e 5 ab s t r a c t t h u s , a c c o r d i n g t o t h e a b o v e p r o p o s i t i o n , t h e r o o t s a r e d i v i d e d i n t o t w o c a t e g o r i e s : a r o o t s a t is f y i n g ( i ) i s c a l le d a r o o t o f c a t e g o r y i ; a r o o t s a t i s f y in g ( i i ) i s c a ll e d a r o o t o f c a t e g o r y i i p r o p o s i t i o n 2 a n y r o o t o f c a t e g o r y i i i s a b i n a ry s e q u e n c e . i f, fo r e a c h ” z ,怒p ) (n 卜r (n ) is a re a l n u m b e r , w e s a y t h a t t h e m e d ia n fi lte r s o f .t is c o n v e r g e n t , d e n o t e d b y x (p ) 一: ( p 一o o ) , w h e r e : = ( r ( n ) ) rz e z i f x = 二 ( n ) i n e z i s a fi n i t e s e q u e n c e , t h a t is , t h e r e a r e t w o i n t e g e r s n 1 a n d n 2 s u c h t h a t n 1 n 2 a n d x ( n ) is c o n s t a n t f o r 。 n 1 a n d 。 1 i s c o n v e r g e n t i f a n d o n l y i f t h e r e e x i s t s a。 。z s u c h t h a t f o r e a c h。e n o , 二 。 +2 k一2 , l imn - w x w( n ) e x i s t s a n d i s fi n i t e . mo r e o v e r , 2 k 一1 ( k 4 ) , t h e l e n g t h o f t h e 6 一 一一一一 一一-一- -. .,. .- ab s t r a c t . s e g me n t , i s o p t i ma l . b a s e d o n t h e a b o v e r e s u l t s w e o b t a i n c r i t e r i a o f c o n v e r g e n c e o f m e d i a n fi l t e r s a n d s t u d y c o n v e r g e n c e o f m e d i a n fi l t e r s o f p e r t u b e d s e q u e n c e s . j . b r a n d t 2 4 , d . e b e r l y 3 2 a n d x .w. z h o u 3 3 s t u d y t h e p r o p e r t ie s o f r o o t s o f c a t - e g o r y i i 妙 d e f e r e n t m e t h o d s , re s p e c t i v e l y . i n t h i s p a p e r w e p r e s e n t a n e w p r o p e r t y o f r o o t s o f c a t e g o r y i i : a n y r o o t o f c a t e g o r y i s c o m p l e t e ly d e t e r m i n e d 勿 a n y o f i t s s e g m e n t s w i t h l e n g t h 2 k 一1 , m o r o v e r t h e l e n g t h o f s e g m e n t s , 2 k 一1 , i s o p t i m a l . we a l s o p r o v e t h a t a n y o f r e c u r re n t s e q u e n c e s i s p e r i o d i c . s y m m e t r i c w e i g h t e d m e d ia n fi l t e r s a r e n o n l in e a r fi l t e r s a n d g e n e r a l iz a t io n s t o m e d i a n fi l t e r s a n d s y m m e t r i c c e n t e r w e i g h t e d m e d i a n fi l t e r s . i n c h a r p t e r 3 , w e s t u d y c o n v e r g e n c e o f s y m m t r i c w e ig h t e d m e d i a n fi l t e r s b y e s t a b l i s h i n g a t o o l : t h e e n e r g y o f s e q u e n c e s o n s y mm e t r i c w e i g h t e d m e d i a n fi l t e r s . i n c h a r p t e r 4 , w e w e s t u d y p r o p e r t i e s o f s t a c k - t y p e fi l t e r s a n d o b t a i n t h e f o ll o w i n g t h e t h i r d i n n o v a t i o n : s t a c k fi l t e r s a r e o f s t a b i l i t y a n d s e l f - i n c l u s i o n . s e c - o n d l y w e p r e s e n t a c l a s s o f mo r e g e n e r a l fi l t e r s , s o c a l l e d w i n d o w fi l t e r s , a n d we p r o v e t h a t a wi n d o w fi l t e r wi t h s e l f - i n c l u s i o n mu s t b e a s t a c k fi l t e r . i n a d d i t i o n , w e g i v e a c r i t e r i o n o f c o n t i n u o u s s t a c k fi l t e r s a n d o b t a i n a s u f f i c i e n t a n d n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r t h e e q u i v a l e n c e o f t w o w e i g h t e d t h r e s h o l d fi l t e r s . 7 第一章引言 在数字信号处理和数字图像处理的早期研究中, 线性滤波是主要的处理手段. 线性滤波简单的数学表达式以及某些理想特性使其很容易 设计和实现. 然而, 当信 号中含有非叠加性噪声时, 例如非线性引起的噪声或非高斯噪声等, 线性滤波的处 理效果就很难令人满意. 在处理图像时, 线性滤波将破坏边缘, 而且不能有效滤除 脉冲噪声. 为了克服线性滤波方法的局限性, 研究非线性滤波的方法成为数字信号处理重 要课题之一 非线性滤波基于对输入信号序列的一种非线性映射关系, 常可把某一 特定的噪 声近似映射为零而保留信号的重要特征, 因而可以 在一定程度上克服线性 滤波的不足. 最早的非线性滤波是a .v .o p p e n h e i m等提出的同态滤波( 1 , 3 ) , 它被 用来滤除与信号成乘性和卷积关系的信号有关噪 声. 1 9 7 1 年著名 学者j . w .1 b k e y 在他的开拓性论文中提出了中 值滤波的 概念并用作时间 序列平滑. 中 值滤波一出现 就因其具有对尖脉冲的良 好抑制能力; 在平滑加性噪声时能保持信号的边缘特征等 优点而备受瞩目.而后,l .r .b a b i n e r 和n . s .j a y a n t 等在语音处理中应用了中值滤 波. w.k .p r a t t , b .r .f r ie d e n , 黄煦涛,l . r .r i t e n o u r 等人又把中 值滤波用到二维图 像信号的增强处理和边缘检测中去( 4 1 , 5 1 , s l , $ 1 , f 9 1 , 1 3 l 1 6 1 , 2 8 1 )尽管从七+年代 后期中值滤波已在语音和图像处理中有了成功的应用, 但从信号处理的理论来看, 中值滤波缺乏坚实的数学理论基础. 最早对中值滤波的特性作较系统深入研究的是 b . j .j u s t u s s o n ( ( 1 9 ) 和s .g .tya n ( 1 4 ) , 他们 分 别对中 值 滤 波的 统 计特 性及 确定 性质 作 了研究, 得到一些很有价值的结果.1 9 8 1 年, n . c . g a l la g h e r 和g . l . w is e 进一步研究 了中值滤波的确定性质 2 9 , 之后国际上对中 值滤波的 理论及应用研究非常活跃, 并 在此基础上提出多种非线性滤波方法 ( 1 1 , 1 7 , 1 8 , 2 0 . 2 1 2 2 , 2 3 , 2 5 , 2 6 , 2 7 ) , 极 第一章 引言 大地促进了非线性滤波的理论及应用研究. 1 . 1 中值滤波 信号的中值滤波分为两类: 有限长信号的中值滤波与无限长信号的中值滤波. 在以下所有概念, 命题及定理的叙述中,无 表示一个固定的正整数,z表示整 数全体,n表示正整数全体,r表示实数全体. 有限长信号的中 值滤波: 设x = x ( 1 ) , x ( 2 ) , 一, x ( l ) 是一长度为l的实数列, 也 称 为长 度为l 的 信号 .: 的 加 边 信 号x = x ( - k + 1 ) , x ( - k + 2 ) , - - - , x ( k 十 匀 满 足: x ( 1 ) ,- k +1 。 1 , 二 ( 。 ) ,1 nl , x ( l ) , lsnl+k . 了.2、.、 一一 、.了 n 了、 x 对每一。 , 1 1 , 使 得二 = 到 s ) , 则x 称为循 环序列. 1 9 8 1 年n . c . g a l la g h e r 等人证明t 命 题1 . 1 . 1 牌 刃长 度为l 的 信 号 最 多 经 过旱 次中 值 涟 波 后 可 变 为 根 信号 更精确地 命 题1 .1 .2 1 5 长 度 为l 的 信 号 最 多 经 过3 27 _3 t - 2 ) 次 窗 宽 为2 k + 1 中 值 澹 波 后,可变为 根信号.其中! 4 表示取整 数部分. s . g .t y a n 首先提出无限长信号中 值滤波根的概念并研究了它的 性质, 给出了以 下基本结果. 命题1 . 1 . 3 1 1 4 1 窗宽为2 k 十1 无限长信号中值涟波的 根或者为第i 类 根,或者 为第i i 类根, 而且第i i 类根都是二值的. 若 对 每 一 ” e z , 极 限lim x (p ) = a (n )p - -存 在 且 有 限 , 则 称 x 的 中 值 滤 波 收 数 , 或 者 说l x (p ) ) p e n 收敛 . 此 时。 = l - ( n ) i - e z 称为二 (p ) 的 极限 . 一般地, 无限长信号经过有限次中 值滤波后不会变为根信号, 而且存在中值滤 波不收敛的无限长信号, 因此要研究无限长信号的中值滤波的滤波行为就必须研究 无限长信号中值滤波的收敛性态这样一个数学理论间 题 由于无限长信号同有限长 信号有本质的差别, 再加之中值滤波的非线性性, 使这一理论问题的研究变得困难 得多.文献【 1 2 和(3 0 研究了无限长信号中 值滤波的收敛 性, 得到了以 下结果 命题1 . 1 . 4 ( 1 2 1 设二 二 x ( n ) ) . e 2 是一实 数列. 若存在n o , n , e z且。 t 一1 : 。 n i +k使得 。 max 。 。 ( - (- )i n o - k n n n i耀n , + k x (n ) . 一 一一一一一一一一一-一-一一一一一一-,一-,一一一一-一了一气尸飞百而哪瓜一-,丁万 第一章 引言 或者 m m n o - k n n o ( x ( n ) i m ax n j 三 n 三 n , +k 则x ( p ) 收敛于第i 类根. 命题 1 . 1 . 5 ( 3 0 1 设x = x ( n ) n e z 是一实数列 若存在n o e z 及非负 正整 数p o 使 得当 p ? p o 及n o n n o + k 时 , 有二 (p ) ( n ) = x 伽 ) ( 。 ) 且 二 (p o ( n ) j n p n 4 ) 是最优的. 由于存在中值滤波不收敛的实数列, 周性伟等首先提出了 循环序列的概念, 并 早在1 9 9 5 年左右就发表了下面的基本结果( j .b r a n d 七 独立地得到了同 样的结果, 发 表在 u t i l i t a s m a t h e m a t ic a 5 4 ( 1 9 9 8 ) ) . 命题1 . 1 . 6 1 3 1 1 , 1 3 4 1 若二 = x ( n ) ) - e z 是中 值a波的循环序列, 则二 必是二值的 而且x ( 2 ) = x . 本文则证明了中 值滤波的循环序列均是周期的序列( 见定理2 .6 . 2 ) . 第一奄 引言 1 . 2 对称加权中值滤波 对称加权中值滤波是一种非线性滤波. 它是中值滤波及中心加权中值滤波的一 般化. 对称加权中 值滤 波: 设。 i e n , i = 0 , 1 , 2 , 一, k , - o 令二 =wn ) n e z 是一实数列. 对每一。 任 n及实数a , 是 奇 数 , “ 一 wo- 12 十 k w i.i= 1 用 。 o a表示由。 个 a组成 的序列,即。 o a = a , . . . , a . 一, 户- 洲 用: ( 1 ) ( 司下 面2 h+ 1 个 数的 由 小 到 大 重 排 后 位 于中 间 的那 一 个数 w k * x ( 。 一k ) , 一, w o 0 x ( n ) , 二, 。 。 令 x ( n +k ) . 通 过这 样的 重排 运 算,x = x ( n ) n e : 变成 一 个新 的 实 数 列x ( 1 ) = x ( 1 ) ( n ) n e z 。 它 称为窗宽为2 k + 1 的二 的对称加权中 值滤波. 对x ( 1 又可进行这一对称加权中值滤 波, 其结 果 记为二 (2 ) = 二 (2 ) ( n ) f . e z 一 般 地,二 (p ) = 二 (p ) (n ) . e z 表 示x 通 过p 次 窗宽为2 k + 1 的对称加权中 值滤波后的实数列, 其中 (d ) =二 若 对 每 一 ” 任 z , 极 限lim x (p ) (np - 1w) 一 r 同存 在 有 限 , 则 称 x 的 对 称 加 权 中 值 滤 波 收 敛, 或 者 说 x (p ) p e n 收 敛, 此时: 二 r (n ) n e : 称 为二 (p ) 的 极限 . 现设二 二 城 司 n , n n 2 是 一列有限 实 数. 此时 定义 x ( n 1 ) , x ( n 2 ) , n八 、 , 了.,j、,.、 -一 、:户 几 沂.、 x 则二 扩张成一个无限长实数列 文献( 1 5 研究了有限长信号的 对称加权中 值滤波收敛性问 题, 得到以下结果. 命 题1 . 2 . 1 设二 = 川 司 n , : , 若 x (n ) o , 1 为正b o o r 函数,t 是一阉值函数,即 t (a,。 一 ;一 ;* a * a 1是一 收敛 于 某正 数的 严 格 递减 的 实 数列. x0 a 4 0 a 3 0 a 2 0 a l 0 a 2 0 a 3 0 a 4 0 x ( 1 ) 一a s 0 a 4 0 a 3 0 a 2 0 a 2 0 a 3 0 a 4 0 a 5 x (2 ) 一0 a s 0 a 4 0 a 3 0 a 2 0 a 3 0 a 4 0 a s 0 x (3 ) 二 a s . 0 a s 0 a 4 0 a 3 0 a 3 0 a 4 0 a s 0 a s x ( 4 ) 0 a s 0 a s 0 a 4 0 a 3 0 a 4 0 a s 0 a s 0 对一般无限长信号x , 一个自 然的间题是,当p 一0 0 时,x (p ) 到底有怎样的 性态 对此问题我们得到一个基本结果,即 定 理2 . 1 . 1 任 给 一实 教列二 = 二 ( n ) j n e z , a ll 二 (2 p ) i, 及 二 (2 p - 1 ) j p 1 都 收 敛 设彭 2 p ) - y a , x (2 p - 1 ) _ y 刀 , p - 4 0 0 . 别当。 = 口 时 ,矛 p ) - 1 a , a 是 根 ; 当a 笋 卢 时 ,。 和0 都是循环序列,并且a ( 1 ) = 0 , 娜 1 二a . 为证本定理我们首先定义一些符号并给出一个引理. 设x = x ( n ) 二 : z 和y = w- ) - e z 是两列实数,a 是实数, 则二 + 、 和a 定义 第二章 中 值池波 ( x +y ) ( n ) =二 ( 。 ) +y ( n ) , ( a x ) ( n ) =a x ( n ) , v nz ; x 十和 x _定义为 x + ( n ) =m a x 0 , 二 ( 。 ) , 二 一 ( 。 ) =m a x 0 , - x ( n ) , v n z , 二 + 和二 _ 分别称为二 的正部和负部, 它们 都是非负实数列. 用城 。 一 k , 。 十 月表示w0 1 。 一 。 i n + k 若对每一 , 。 一 k n + k , 有二 ( ) _ y ( i ) , 则记x n 一 k , n + k y 。 一 k , n + k ; 特别, 若对一切。 c z 有x ( n ) g y ( n ) , 则记二 y . 引 理2 . 1 . 1 设二 = 二 ( n ) - e z 和, = y ( n ) ) n r 2 是两 l 实数,a ll ( i) 对 g fr 有。 e z 及p e n有二 x (p ) 。 一 k , n + k m a x x (p - 1 ) n 一 k , n + k . 特 x d 地 ,m a x x (p ) n 一 k , n + k m a x x n 一 k , n + k . ( ii ) 若对某 个。 z 有二 n 一 k , n +
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