（计算数学专业论文）一类黏性波方程的有限差分区域分解方法.pdf

摘要 摘要 本文提出了一种求解二维黏性波方程的新方法在本文中，我 们把计算区域分成了两个相同的互不重叠的子区域，我们首先采 用显隐格式计算内边界上的值，然后采用全隐格式分别计算子 区域内部的值本文通过采用这种算法，进一步放宽了稳定条件限 制，提高了效率最后本文引入厶2 范数对误差进行估计，并且通过 数值例子来验证格式的有效性 关键词：黏性波方程；有限差分；区域分解；误差估计 a b s t r a c t a b s t r a c t an e wa n de f f i c i e n td o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o df o rs o l v i n g t h ev i s c o u sw a v ee q u a t i o n sn u m e r i c a l l yi nt w os p a c ed i m e n s i o n si sp r e - s e n t e di nt h i st h e s i s i no u rn e wm e t h o d ，t h ew h o l ed o m a i ni sd e c o m p o s e d i n t ot w os a m en o n - o v e r l a p p i n gs u b d o m a i n s t h ei n t e r f a c ev a l u e s b e t w e e ns u b d o m a i n sa r ef o u n db ya ne x p l i c i t - i m p l i c i tf i n i t ed i f f e r e n c e s c h e m e o n c et h e s ev a l u e sa r ec a l c u l a t e d ，i n t e r i o rv a l u e sa r ed e t e r m i n e d b yi m p l i c i ts c h e m e b yt h i sa l g o r i t h m ，w eh a v er e l a x e dt h es t a b i l i t yc o n - s t r a i n t l 2n o r me r r o re s t i m a t e sf o rt h e s em e t h o d sa r ed e r i v e d ，w h i c h d e m o n s t r a t e st h a tt h ee r r o ro c c u r r e da tt h ei n t e r f a c ei sb i g f i n a l l y , t h e o r e t i c a lr e s u l t sa r ei l l u s t r a t e db yt w on o n - l i n e a re q u a t i o n s k e y w o r d s ： v i s c o u sw a v ee q u a t i o n s ；f i n i t ed i f f e r e n c e s ；d o m a i n d e c o m p o s i t i o n ；e r r o re s t i m a t e 一l v 月u面 i 上- - l 刖罱 众所周知，区域分解方法是求解大规模问题的一种有力工具，区域分解方 法按区域分解方法大体可分为非重叠型和重叠型两类，重叠型区域分解方法 是一种基于迭代的方法，最早的迭代型区域分解方法是h a s c h w a r z 在其文 章中提出的，但这种方法的计算量通常很大r i c e 1 5 】使用非重叠型区域分解 方法求解椭圆方程上世纪九十年代，d a w s o n ，d ua n dd u p o n t 3 中提出了一 种求解热传导方程的新的有限差分区域分解算法，这种方法与以往方法不同 之处在于它采用的是非重叠型区域分解的非迭代型方法，这种方法与传统的 s c h w a r z 算法相比，计算效率更高这种方法首先使用大步长h = d o h 的显格 式计算内边界的值，然后使用小步长h 的古典隐格式计算子区域内部的值从 【3 ，7 中我们知道，由于在内边界处使用显隐格式，所以这种方法会受到时间 步长的限制，但与传统显格式相比要好的多事实证明，在内边界处采用这种 空间大步长h = d o h 的显格式，与通常步长h 的显格式相比，稳定条件放宽了 稚倍此外，l ia n dy u a n 1 0 ，1l 】将区域分解特征差分方法用于求解二相位移问 题、对流扩散方程以及抛物方程当中；z h u a n ga n ds u n 2 8 】就抛物方程提出了 一种稳定的显隐交替区域分解方法；而s h ia n dl i a o 1 7 就校正显- 隐交替区 域分解方法的无条件稳定性作了研究；z h u ，y u a na n dd u 2 7 】将显一隐交替区域 分解方法用于求解对流扩散方程；w a n g ，l i u ，e s p e d a la n de w i n g 2 0 将特征非 重叠型区域分解方法用于求解高维对流扩散方程 在本文中，我们的主要工作是在对求解黏性波方程的方法诸如 8 ，1 0 ，2 4 2 6 1 等研究的基础上构造了一种新的求解黏性波方程的方法首先对原方程作 变换u t = v ，则原方程可以变为抛物方程；其次利用d a w s o n ，d ua n dd u p o n t 3 】 的方法求解抛物方程；最后我们通过两个数值算例来验证格式的有效性此 外，我们通过构造新的范数对格式( 2 8 ) ( 2 1 1 ) 作了收敛性分析和稳定性分析 总的来说，这种方法有如下一些优点：第一，这种方法较一般的显式方法稳定 性要好，且可通过并行计算来实现，从而可以大大提高计算效率；第二，格式 ( 2 8 ) ( 2 1 1 ) 是一个两层格式，便于理论分析和计算实现；第三，我们可以同时求 得u 和饥的数值结果，这样就避免了计算过程中的误差积累且效率很高而在 实际中，我们要想得到乱t 的数值结果，常常只能先计算u ，然后再在钆的基础 上计算u t ，这样就使u t 误差增大第四，格式( 2 8 ) 一( 2 1 1 ) 在条件a t 日2 满 日0茜 足的情况下是稳定的，且其舍入误差为o ( a t + h 2 + 日鼽 本文大体结构如下：第一部分研究背景及现状介绍：第二部分引入记号并 描述方程( 1 1 ) 的离散过程；第三部分定义新的内积和范数，并用能量方法对格 式( 2 8 ) - ( 2 11 ) 作收敛性分析；第四部分用v o n n e u m a n n 方法对格式作稳定性 分析；第五部分给出数值算例；第六部分结合数值结果给出结论 在本文中，m 如果不作说明均表示一个正数，且m 可以表示不同的常数 一2 一 第l 章类黏性波方程的仃限差分区域分解方法 第1 章一类黏性波方程的有限差分区域分解方法 1 1 引言 黏性波方程在物理领域有着广泛的应用，许多物理现象都可以用其来 描述，例如，阻尼声波传播以及微尺度热传导等问题，具有深刻的物理背景 【1 ，2 ，6 ，9 ，1 2 ，1 3 ，1 8 , 2 1 ，2 3 ，2 5 关于这类方程解的存在唯一性以及渐近性的研究 在【1 3 ，1 4 ，1 6 中已给出相关的结论关于这类方程的求解人们已经提出了很 多方法，如d o u g l a s ，l i ma n d l i m 6 中提出了一种三层式交替方向有限差分方 法；v e r w e r 1 8 中提出了一种r u n g e k u t t a 方法；z h a n ga n d z h a o 2 2 】中提出了一 种无条件稳定差分方法；d a ia n d n a s s a r 2 就微尺度热传导问题提出了c r a n k n i c o l s o n 方法和紧差分方法；k r u t i t s k i i 9 中对一类非线性分层旋转流问题进 行了研究；z h a n g 2 5 】中提出了一种新的a d i 差分格式；l i ma n dd o u g l a s 1 2 ， z h a n g 2 1 ，w a n ga n dw a n g 1 9 等分别用l o d 方法求解这类方程 1 2 控制方程 在本文中我们考虑如下的二维黏性波方程： u t t 一x u t 一u f ( u ) u t g ( u ) = h o ( x ，t ) ( z ，t ) q = f z ( 0 ，t 】， ( 1 1 a ) u = 札= 0 ( z ，t ) a q ( 0 ，r 】， ( 1 1 b ) u ( z ，0 ) = 圣( z ) ，u t ( x ，0 ) = 霍( z ) ，z q ， ( 1 1 c ) 其中q = 【0 ，l 】【0 ，1 1 ，a q 表示q 的边界，垂( z ) ，皿( z ) 为已知光滑函数 1 3 离散格式 设q = 【0 ，1 】 0 ，1 】，2 7 = ( 2 7 1 ，z 2 ) 为了求解问题( 1 1 ) ，设 = u t ，且在( 1 1 a ) 两边加上u t = u ，于是( 1 1 ) 可写为 v t a v a u + u t = f ( u ， ) ，( z ，t ) q = q 【0 ，t 】 ( 2 1 a ) 一3 一 第l 章类黏陀波方程的有限差分区域分解办法 钆= u = 0 ，( z ，t ) a qx 0 ，t 】 乱( z ，0 ) = 圣( z ) ，u ( z ，0 ) = 皿( z ) ，z q 其中f ( u ，v ) = 厂( 乱) + 1 v + g ( u ) + h o ( x ，) 如果 那么，( 2 1 a ) 可写为 e = t 上+ v e t a e = f ( u ，u ) ，( z ，t ) q 0 ，t 】 i t t2 v ( 2 1 6 ) ( 2 1 c ) ( 2 2 ) ( 2 3 a ) ( 2 3 6 ) 假定q 是区域q 的一致剖分，x i ，j = ( x l ，i ，x 2 ，j ) = ( i h ，j h ) ，a x 和 分别是空间和时间方向的步长，a x = h = t m ，a t = t ，其中m ，为 正整数在本文中，我们把区域q ( 见图1 ) 分为两个互不重叠的区域，即： q 1 = o ，x 1 ) 0 ，l 】，q 2 = ( 勿，l 】x 0 ，1 】，图中带”的点表示内边界点， ( 0 ，1 ( 0 ，0 nn - o lo z 图1 1 把区域q 分解为两个互不重叠的子区域 1 ，0 ) 如果i = 0 ，m 或者j = 0 ，m 或者几= 0 ，则( x i ，j ，t n ) 为边界点，除此之外的 点称为内点假设x l = x l ，f ，0 x l 1 ，h = d o h ，且0 h m i n ( x l ，1 一z f ) 一4 一 第1 章一类黏件波方程的有限差分区域分解方法 设t n = n a t ，岛= f ( x i , j ，t n ) 定义一些差分算子如下： 其中 a p 。一聪1 一e 易 侥a = 型矿， 如戒l 碍1 = h - 2 一b - m 件+ 1 l ，j 一2 e n + 1 + e 。n 一+ 1 ，j ) ， 蚺。硪1 = h - 2 一b - ? 幻n + + 1 1 2 瞄1 + e 荔巴1 ) ， v ( v e ，巧n= 唧z 。蜀+ 唧z ：蜀 下面给出方程( 1 1 ) 的离散格式： m n + 1 一 瓦一 昭1e w n 瓦一 e n + 1 = e 对1 ，( ，t 计1 ) f v h ( v e ) 矿5 = f ( 吧，3 ) ， ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( x l j ，t 竹+ 1 ) f ， ( 2 9 ) v ( v e ) 矿1 = f ( ，喵) ，( ，t n + 1 ) q + ， ( 2 1 0 ) 堕二竖：鲨：竖 a t 2 q = q 1u q 2 ，r 怫= 两n 面， ( 2 1 1 ) v 日( v 日e ) 5 ：暗，日如。，片蜀+ 嘧， 6 z 。， 黟1 ( 2 1 2 ) 我们都知道古典隐格式和显格式的截断误差为o ( x t + h 2 ) ，下面我们分析 一下( 2 9 ) 式的截断误差：设 p h e ( x ，t ) = p e ( x ，t ) = 龟一a e ， e ( x x ，t + d o ，x 2 ，j ，t ) 一2 e ( x l ，l ，x 2 ，j ，) + e ( x l ，l d o ，x 2 ，j ，t ) 。e ( x l ，l ，x 2 ，j + l ，t ) 一2 e ( x l ，l ，x 2 ，j ，t ) + e ( x x ，z ，x 2 ，j 一1 ，t ) 2 5 一 第l 章 一类黏忡波方程的有限差分区域分解方法 由t a y l o r 展式我们有 ex l , i , x 2 , j ，t + a t ) = e ( x l , ，x 2 , 州+ e t t + 酉e t t ( ) 2 ex l , + 南x 2 , j ) = e ( x 1 , l ，x 2 , j ，t ) + 日+ 昔日2 + e 。3 x ! x h 3 + 呈笱翌日4 ， e ( z l , l - d 0 ，z 2 ) = e ( x l , ，x 2 , j ，t ) 一e 霉日+ 鲁日2 1 e x x - x 日3 + 鱼矛日4 ， e ( x l , | ，x 2 , ，t ) = e ( x l , ，x 2 , ) + e 可 + 晋 2 + 警 3 + 警凡4 ， e ( x l , ，x 2 , ，) = e ( x l , ，x 2 , ) 一e 掣 + 晋 2 一警 3 + 警九4 ， 将上面各式代入下式，则我们得到截断误差为： t ( x ，t ) = p e ( x ，t ) 一p h e ( z ，t ) e tm e 一【e t + 酉e t t t 1 j + e 茁z + 鱼矛h 2 】+ e 可+ 警 2 】 = 一秘+ 警n 警牲一万e f t 叭鲁( d 0 ) 2 2 + 警胪 显然当a t ，h _ 0 时，t ( z ，t ) 一0 由( 2 9 ) - ( 2 11 ) 我们给出如下的计算流程图： 内边界上使用显格式计算 u o ，y o u 1 ，y 1 i r v 1 ，v 1 b 一 子区域使用全隐格式计算 图1 2 计算流程图 一6 一 第l 章类黏性波方程的有限差分区域分解方法 假设方程( 1 1 ) 的精确解满足下列条件： u l o o ( o ，t ；l o o ( q ) ) ，u t l o o ( o ，丁；l ( q ) ) ，u t t l o o ( 0 ，t ；l 2 ( q ) ) ，h o l 2 ( q ) ( 2 1 3 ) 假设厂( u ) ，g ( u ) 有界且关于u 是c o l i p s c h i t z 连续的，即对于k l e o ( 1 i 4 ) ，存在一个正常数m ，使得 f ( u ( x ，t ) + e 1 ) 一f ( u ( x ，t ) + e 2 ) l m i 1 一e 2 l ， 夕( u ( z ，t ) + 3 ) 一夕( u ( z ，t ) + e 4 ) i m l e 3 一4 i 1 4 收敛性分析 对于任意的时间层t = t n ，定义空间l 2 ( q ) 及明( q ) 上相应的内积和范数 如下： v n , w n ) = 喝叫嚣九2 ，妒i i = ( 俨，u “) ；， 巧 | i 如。，h v n i | = ( 如。，h v n ，如。，h v n ) 砉，ij 如。，h v 他j | = ( 如。，h y n ，如。，h v n ) 言 i v h v 札0 = ( i | 以。，h v n i l 2 + i l 如：，h v n ，lv n l | 1 = ( i 妒ij 2 + i v h v n 令( ，) q ，q 为区域q + 上对应的内积和范数 定义内边界上对应的内积和范数为： ( 矿，w 钆) r 一喝叫弓 日， j 对于正整数d o ，即内边界点z l ，令a = l ，2 ，f d o ，2 + d o ，m 一1 ，且构 造新的内积和范数如下： 聃州= d 备o - i 石k 莩觚摊n 幻n 幻】， 秒幢= a ( v ，v ) + b ( v ，u ) + l i v l l ；, 。， ( 3 1 ) ( 3 2 ) 第1 章类黏r l i 波力程的有限差分区域分解方法 d o + 七= 1 2 k l 2 k 一1 2 d o j ( 如。瓣1 ，j ) 2 h 2 + ( 如。c + 1 ，j ) 2 l 2 h ， ( 3 3 ) jj ( 如。龆坳) 2 h 2 + ( 6 m c + 1 ，j ) 2 l 2 h ， ( 3 4 ) v 卅1 慨= i l 如。p + 1 慨+ l i 如。叶1 慨 引理i i n 和i l v p i i + + 分别与l k n i l 和i i v p i i 等价 由于在内边界处使用的是显格式，所以我们引入下面的限制条件： 其中是足够小的正数 下面我们给出收敛性定理： 1 2 万a t ，1 2 万， ( 3 5 ) ( 3 6 ) 定理1 假设u ，v 是( 1 1 ) 的精确解且充分光滑，而以y 是差分格式( 2 8 ) - ( 2 11 ) 的解，7 r = 扎一以叩= u u = e e ，则存在正常数m ( 与无关) 及 t 满足条件( 3 6 ) ，且有下面的式子成立： 7 r n + ii | 2 + 1 1 , 7 + 11 1 2 + l i e + 1j 2 + 2 | i v f 七+ 11 1 2 a t m ( ( t ) 2 + 4 + 日5 ) ( 3 7 ) k = 0 证明由t a y l o r 展式，我们有： 堡乏鱼一v 日( v 日e ) 矿5 ：，( u n 幻+ l ，钞才，) 十6 荔- ，( x o , t n + 1 ) r ，( 3 8 ) p p t l p p 翌一v ( v h e ) 矿1 。f r u j + l ，蚶1 ) + u 2 ，j n - 玎b l ，( ，t 叶1 ) q + ，( 3 9 ) 一8 一 危 + n 一叼 ， 一一 + + 仡一u 1 ；铷 = + 忍 + m 一” f ， 一一 + + 亿一” j 如铷 | i + n 荨 南 第1 章一类黏件波方程的彳限差分| 叉i 域分解方法 其中 芝笋：华删n 舻+ l ( x i j , t n + 1 ) 叫 ( 3 1 0 ) 哦 l = o ( a t + h 2 ) ，6 搿=o ( a t + h 2 ) ，材= o ( a t + h 2 ) 由( 2 8 ) ( 2 11 ) 我们得误差方程如下： 专孑1 0 ， ( z 巧，t n + 1 ) f ， ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 声n 十1 一f 1n 譬一v 日( v h 啦峙= f r u n 。+ 1 ，咐1 ) 一f ( 吧叫v l n 、上x n + j 1 ，( x l j ，1 ) r + ， 一 ( 3 1 3 ) 卫n + 瓦l 趋n v ( v 棚矿1 = m 崭蚶1 ) 一f ( 吧，) + 6 z n 妒+ l ( 1 忌薯 盥：率r n + l n + ( 监一牮v n + 1 a ) 一6 珏 (315)ta t2 。、 2 7 m 叼 、 把式( 3 1 3 ) 和( 3 1 4 ) 的两端分别乘以 对i ，歹求和，并且把两式的结果相加，得到： 铲1 h h 和秽1 h 2 ( i z ) ，然后分别 ( 兰二：去二，荨n + - ) n 。+ ( 圭二：去主二，n + 1 ) r + ( 一v ( v 专) n + 1 ，f n + 1 ) n 。+ ( 一v 日( v h ) n + ，n + 1 ) r 。 = ( ，n + 1 一f n ，几+ 1 ) q 。+ ( f n + 1 一f n n 十1 ) r + ( 6 7 + 1 ，荨n - - 1 ) r + ( 6 孑+ 1 ，n + 1 ) q ( 3 1 6 ) 对于任意的j ，设 - ：击( 盟鼍 些 溅，j 一2 c 。n + 1 + 线，j 9 。 ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 第l 章类黏。陀波力程的有限差分区域分解方法 ( 一v ( v ) n + l ，n + 1 ) n 。+ ( - v 日( v ) n + ，n + 1 ) r = 一暗( 如。) 苕1 甜h + i ljj 一畸( 6 z 。) 才1 甜1 h h + ( 一暗( 疋，) n + 1 ) n 。+ ( b + 1 一j e 7 孑+ 1 ，c + i ) r + ( b 孑+ 1 一研，c + 1 ) r 。 ( 3 1 9 ) 把( 3 1 7 ) - ( 3 1 8 ) 式代入( 3 1 9 ) 式，由a b = 射0 2 + b 2 一( 口一6 ) 2 】，及h s l d e r 不 等式，得： ( b + 1 一b 多，n + 1 ) r = b 荡1 一磁f j 】钳1 h h = 面1 r t 、f l 州+ d o ，j ) 2 一( 钒d 2 】+ r c + 吣lj ) 2 一( 钽“2 m 日 一去 ( 错1 ) 2 一( ) 2 h h 一互1 ( 33 亡n + 1 q + d 0 ，j ) 2 h g 锘1 ) 2 + ( 毋枷一甜1 ) 2 h g 一去( 钇一甜1 ) 2 日 一2 萨a t 虿a t i ( 承d 0 ，j ) 2 】+ c ，+ 。i 。，j ) 2 一( 咒d 0 ，j ) 2 】) 日 对( 3 1 8 ) 式作恒等变形，即： 限一月1 。一x - r r 等+ ) 2 一( 钇) 2 h h j ) 2 + ( 华) 2 】 日 b 呈去- ：去( 鱼学一玺学) ：堡h 2 三h ( 堡釜：! h 二型一型二h 焦! ! ) ) lj 一1 0 一 ( 3 2 0 ) 护跣 ， 上卿 掣 j 1 2 + 刍( q l - + 1 k + l ，j 一瞄k b，j，l 一，j 瑞乙 卢n + 1声n + 1 l ，jl ，j 饿j 计+ k 1 - l j l n - + k 1 , j 一、c f 一+ 知1 1 ，j f 几+ 1 l 一1 ，j 暗( 如。) 磁j = h - 2 【( 虢一磁j ) 一( 锹j 一稻+ k 1 - ) 】 岛百( 如。) 2 芒j = h - 2 ，k 、f l n - + k 1 - t - 1 ，歹一l 住- + k 1 , j ) 一( 磊芸j 一z l n 一 q - 七1 1 ，j ) 】 结合( 3 2 1 ) 一( 3 2 3 ) ，得： ( b + 1 一b 孑+ 1 ，竹+ 1 ) r = = 一去篆竿 【 b 荡1 一j e 7 荔1 渺l , j “h h j 一毒融功 凹“，j一吲j，n-i-1，一、毒2ln+lql-kq-1 - kj - k 一1 , j ，j l 一向，j ， ， 2一 】 嚣1 h h 一畸( 如。专) 嗽j 甜1 一暗( 如。荨时l - k 1 , j 孵l , j1 】九2 j ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) = d 蚤o - 1 与莩( _ 暗( 如一m n + l n + l ，j + 畸( 如。纠n 柏+ l j ( 娥，一甜1 ) 】 + 【一舀百( 如。) 譬芒j n q - 1 ，j + 畸( 如。毒、n l - + k 1 , j ( 岛芸j 一学1 ) 】) 2 ( 3 2 4 ) 暗( 如。觥l + 十1 k , 州n d - 1 ，j 一孵l , j1 ) 2 + 暗( 如。f ) 噬j ( 如l - k 1 , j 一锘1 ) 九2 ) 竿 胤 1 一稚 = 学 脚 l 一瑶 警 腻 = 七一 二幽 d 一 胤 第l 章 1 类黏性波方稃的仃限差分叉：域分解力+ 法 = 薯等莩 ( f 黻功一锹扩( 锹，一龆) 】( 镪n + l ，一嚣1 ) + ( 荨拦i 玉1 ，j 一i 竹- + k 1 , j ) 一( l n - + k 1 , j 一l n - + k 1 - 1 ) ，lr n + l ，j 一磊1 ) ) 一群尝1 ，j ) 2 + ( 爵! | 1 + 。，j 一芒) 2 】 + 篆等莩 ( 蹴一澉扰涮n + l ，一错1 ) - ( 磁，一c + 1 吐州融一甜1 ) + 、j ，c 。n 一+ 。l + 1 ，j 一哥芸j ) ( 拦1 ，j 一钳1 ) 一( f l n - + k 1 , j 一c f 一+ 忌1 1 ，j n + l ，j = 篆警莩 c 监竽 锹， j 锹j 一甜1 锘1 ) 】 f n + 1 一r e ) 2 + ( 塑气n 点+ 1 ) 2 】九2 z f 几+ 1 + 昧跣翌n + 产a 垆( 3 2 5 ) 此外由( 3 1 4 ) ，对于1 k d o 一1 及j ，我们有下式成立 一暗( 如。) 践j = 暗( 如2 ) 战歹+ 6 2 n ，f 土+ l 幻一挚+ 感厂艰喇( 3 2 6 ) 利用等式( a + 6 ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 对( 3 2 0 ) 中的最后一项作适当变形，即： 毛 ( 掣 j ) 2 + ( 华) 2 】 日 一去莩 ( 溅厂甜1 ) 2 + ( 钳1 一线2 】 一1 2 一 磁 ， 警 胤 随 一如 第l 章类黏性波方程的仃限差分区域分解方法 l 2 d o jk k 、l 州q - m ，一甜1 ) 2 代学1 、g h n + l 椰) 2 卜去莩【( 湍j 一瑞 ”) ( 、j z n + l 吐，一时1 ) + ( 端扎j 一湍j ) ( 甜1 一瞄“卜去莩【( 湍j _ 湍“j ) 2 + ( 瑞扎，一瑞，j ) 2 】 c n + 1 q + k + l ，j ) 24 - ( f n + l q l - k + l ，j 1 2 d o 一五1 d 备o - 1 焉n 佻+ l ， 七= 1 ) 2 】h 2 -fn_+1】h2h j 。 ( 暗赋j ) 2 + ( 以。黜l - k 1 , j ) 2 】危2 j + 昧踹华m 2 ( 3 2 7 ) 把( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 代入( 3 2 4 ) 中，整理得： a ( 竺a 竺t + 1 ) + b ( 甓a ( 卫，1 ) + b ( 寻 一2 币a t 百a t l ，n + ) + ( 兰二：三! 手_ 圭二，n + 1 ) r 。 ，叶1 ) + ( l ，1 ) r 阶面1 眯残，j ) 2 一( ，j ) 2 】+ 【( ( j c n + l ，j ) 2 一( 乳蛳) 2 m 日 一击【( 够1 ) 2 一( 铴) 2 h h + ( 一暗( 如。) 州，州) 一a ( 暗( 以。) 州，州) 一b ( 畸( 6 z 。) n + 1 ，n + 1 ) 一( 暗( 以。) n + 1 ，专n + 1 ) r 。 1 3 一 华 八 ， 如 土 一 = 胁 一如 一 第1 章一类黏性波方程的有限差分区域分解方法 莩 ( 唏旗扩+ ( k 蜮妒一去耋莩【( 畸激j ) 2 + ( 锻j ) 2 妒 a ( f n + 1 一f n ，荨竹+ 1 ) + b ( f n + 1 一f 竹，n + 1 ) + ( f 竹+ 1 一f 竹，n + 1 ) r + a ( 6 孑+ 1 ，荨n + 1 ) + b t 、s 。n + l ，f n + 1 ) + ( 6 7 + 1 ，n + 1 ) r 。兰 ( 3 2 8 ) 假定( 3 2 8 ) 的左端项用l i ( i = 1 ，2 ，1 2 ) 来表示，由等式a ( a b ) = a 2 一b 2 + ( o 一6 ) 2 ，得： 乏嚣，：面1 ( 甜1 ) 2 一( 铴) 2 ) + 竽( 譬n + l n 由式( 3 2 ) 得： f n + 1 幢= a ( f n + 1 ，竹+ 1 ) + b ( n + 1 ，竹+ 1 ) + i 陪n + 1 n 忙= a ( n ，几) + b ( n ，n ) + i 恽”i | ； 由( 3 2 9 ) 及( 3 3 0 ) 得： l 1 + l 2 + l 3 = i 6 a 甓芦嚣w + 窆 南= 1 + 篮a t 铡，孵 、一甩jj = i 6 a 志( ( 嚣t ) 2 一( 铴) 2 ) + 譬( 壁曼) 2 】 2 1 4 ( 3 2 9 ) ( 3 3 0 ) 竽 脚 一 6 汹 挚 ， 后一如 第1 章类黏性波方程的有限差分区域分解方法 石k 争【瓦1 蚴2 吨徉k , j ) 2 】+ 等( 挚 + 【志【( 赋j ) 2 叱) 2 】+ i a t ( 挚 + ( 志 ( 嚣1 ) 2 一( 钇) 2 】+ 譬( 笔) 、2 l h 2 2 ) h h = 忐川2 - i 妒幢】+ 警( 翌，竺兰) r + 譬若莩( 笪曼m 2 + 虿a td 备o - 1 磊k 莩 c 噬竽) 2 + c 牮) 2 】九2 去川引j ：】+ 铺甓眼 ( 3 3 ，) 首先对l 1 l ，l 1 2 两项变形： 一蓦警莩 c 酥) 2 + c k 渊) 危2 一去喜 ( 暗锹j ) 2 + ( 如。c + 1 ，j ) 2 l h 2 = 一d 蚤o - 1 警莩水蒜) 2 + ( 如。锹扩妒一丽1 喜d o 莩。融) 2 州水m n + l ，j ) 2 妒 f2 d o 一 一t 瓦 j( 如彤1 ) 2 + 毪 莩( 如，锚) 2 十瓦1 莩如，淄2 2 一 2 d 。- 3z j ( 如潞。) 2 十2 d o - 5f j _ , ( 如- 蹴) 2 + + 去莩( 如- 端“扩) 铲 ( 3 3 2 ) 把l 7 与上式作差，即： 一1 5 一 柚 第1 章。类黏性波方稃的彳r 限差分区域分解方法 ( 如+ 1 也+ 1 ) _ 1 2 d o 矿- 1 k - r h 嚣1 ) 2 + 1 2 d o 矿- 1 莩( k 咒n + 功l ，2 + + 瓦1 莩( 屯溉j ) 2 ) 2 2 d 锄o - 3 莩( 如州c n 扎+ l + 氇宇莩( 如- 僦) 2 + + 去莩( 喘吐j ) 2 妒 f d o 一1 ：r 厶 i = 0 jt = f + d oj( 如，甜1 ) 2 2 + 瓦1 莩( 如t 甜1 ) 2 + 去莩( k 瞄o ) 2 + + 可2 d o - 1 弋 r 嘲c + 吣1j ) 2 妒+ 去莩( 如- 巩) 2 + 丽5 莩( 如t 璐) 2 + + 百2 d o - 3x 争- - , 、, k 甜1 ) 2 + 氇 莩( 如- 、c 川+ 1 。吐j ) 2 允2 同理可得 f d o 一1 2 ( 以。嚣1 ) 2 h 2 + i = 0 j d o + 七= 1 2 k l 2 d o ( 以。c m + 1 _ 1 ，j ) 2 + j = 峨。叶1 慨 ( 如。、c m + 1 ，j ) 2 】忍2 ( 3 3 3 ) l s + l 9 + l 1 0 = 一a ( 如i ( 如。) n + 1 ，”+ 1 ) 一b ( 暗( 6 z ：) n + 1 ，几十1 ) 一( 6 瓦( j z 。亭) n + 1 ，n + 1 ) r 由以上两式有 i i 如。卅1 限 一1 6 一 ( 3 3 4 ) ( 3 3 5 ) 第1 章一类黏性波方程的有限差分区域分解方法 最后估计( 3 2 8 ) 的右端项，有 ，( u 对1 ) 蚶1 - s ( 5 ) 略l = i s ( - , 7 1 ) 谚了1 一，( 职n ，j ，u n j + 1 + 厂( n ，j ，u 幻n + 1 一( u w n ) 喵 i ，( 乱对1 ) 一，( u 殇) i i 唠1 i + i ，( u n ) i l u 孑1 一 m l u i ：+ 1 一i+ m h , 5 + 1 一 = m i u ：；- 1 一乱乙+ 札易一吧l + m f 嵋了1 一u 易+ v 5 一v w n , m l u t a t + 7 r w n i + m l u ) t a t + 也i m ( a t + 1 7 r 。 l r ，l , j i + i o , , d i ) ( 3 3 6 ) 同理可得 9 ( u 笤1 ) 一a ( u l , 5 ) l m i 札苕1 一i m ( a t + 1 丌5 1 ) ( 3 3 7 ) 由( 3 3 6 ) 一( 3 3 7 ) 得： ，n + 1 一f n i = i f ( u n + 1 ) u n + 1 + g ( u 几十1 ) 一f ( u n ) y n g ( u n ) i s ( u n + 1 ) n + 1 一f ( u n ) y 付i + 1 9 ( u 住+ 1 ) 一g ( u n ) m ( a t + j 7 r n i + i 叩乙1 ) + m ( a t + 1 7 r 易1 ) m ( a t + | 7 r 易l + i 忆i ) = m ( a t + i 岛i ) 由g 一不等式( u ，u ) k l l u l l 2 + e l l v l l 2 ，有， 同理 a ( ，1 一f nr 1 ) = ( 嚣1 一蜀) 嚣h i e aj k a ( f 礼+ 1 一f n ，f n + 1 一f n ) + e a ( 竹+ 1 ，n + 1 ) m a ( a t + l i ，a t + l i ) + e a ( n + 1 ，n + 1 ) b ( s n + 1 一f n ，刑。1 ) m b ( a t + l 铴i ，a t + i 岛i ) + e b ( n + 1 ，毒礼+ 1 ) 一1 7 一 ( 3 3 8 ) ( 3 3 9 ) ( 3 4 0 ) 第l 章类黏性波力程的仃限差分区域分解力法 ( ，“+ 1 一f 竹，f n + 1 ) r m ( a t + i l ，a t + i 铴i ) r + n + 1 ，荨n + 1 ) r ( 3 4 1 ) 另外由( 3 11 ) 式，得 a ( 蟹+ 1 ，f n + 1 ) m ( ( t ) 2 + h 4 ) + e 4 ( n + 1 ，n + 1 ) b ( 6 孑+ 1 ，亭n + 1 ) m ( ( ) 2 + h 4 ) + b ( 付+ 1 ，n + 1 ) ( 6 7 + 1 ，几十1 ) r m ( ( ) 2 + h 5 ) + e ( p + 1 ，n + 1 ) r 由( 3 3 9 ) ( 3 41 ) 及( 3 2 ) 式得 ( 3 4 2 ) ( 3 4 3 ) ( 3 4 4 ) r 1 + t 2 + r 3 m a ( a t + i i ，+ i 岛1 ) + b ( a t + i i ，a t + i 易i ) + ( t + i 岛l ，a t + l i ) r 】+ 【a ( n + 1 ，n + 1 ) + b ( n + 1 ，礼+ 1 ) + ( n + 1 ，f 礼+ 1 ) r 】 = m i i a t + i 锡：+ e l l n + 1 i l ：m ( t ) 2 + i i 几i l ：】+ f | n + 1 i | ： ( 3 4 5 ) r 4 + r 5 + r 6 m ( t ) 2 + h 4 + h 5 】+ a ( n + 1 ，n + 1 ) + b ( f n + 1 ，礼+ 1 ) + ( 亭n + 1 ，n - 4 - 1 ) r 。】= m ( ) 2 + h 4 + h 5 】+ i 睡n + 1i l ： ( 3 4 6 ) 将以上各式代入( 3 2 8 ) 得： 去川：堋旧+ 铺乏肛2 筹钟艺i i 知 + 面1 ( 溅，) 2 一( 承枷) 2 】+ r c + 圳1 ) 2 一( 咒蛳) 2 】 忽日 一去 ( 甜1 ) 2 一( 咒) 2 h h + 慨慨m 惝) 2 + 卅护1 幢 + m ( t ) 2 + h 4 + h 5 】+ e l l n + 1 幢m ( ) 2 + h 4 + h 5 】+ m ( i i n 幢+ | | f n + 1 l i ：) ( 3 4 7 ) 第1 章一类黏件波方程的有限差分区域分解方法 上式两边同时乘以2 a t ，对佗求和，且由于o = 0 ，则( 3 4 7 ) 变为： + 1 l i v r 1 慨a t + k = 0 c l 一等锄甓悍 一2 等( 甜1 ) 2 h h _ m t ( a ) 2 十九4 + 日5 】+ m 对于足够小的，h ，h ，由条件( 3 6 ) ，( 3 4 8 ) 式可变形为： n f i 肥+ 2 i l v h 缸+ 1l 仨。a t m ( t ) 2 + 九4 + 日5 】+ m k = 0 k = 0 七十1i , 2a t ( 3 4 9 ) 在式( 3 1 5 ) 两端分别分别乘以7 材1 h 2 ，分别对i ，j 求和，得： 7 r n + l 一7 1 - n a t u n + l i t nv n + l + v n a t2 ，7 r n + 1 ) + ( 曰+ 1 ，丌竹+ 1 ) ( 3 5 0 ) 对( 3 5 0 ) 式左右两边作如下估计，由不等式a ( a 一6 ) 2l a 2 一6 2 得 由( 3 4 1 ) 得 7 r n + i _ 7 r n 瞄丢( 蝣) 2 一去( 丌易) 2 7 r n + l 一7 r 几 a t矿+ 1 ) ：差翌a 墨t 万拶 ，丌1 ) = 丝型万孑1 2 0 = l ， 面1 萎m 莩( 耐1 ) 2 n 瓦1 另外，由一不等式得 m ( 丌乙) 2 h 2 = j ( 3 5 1 ) 7 l - n + 1 i | 2 一忖n l | 2 】 ( 3 5 2 ) ( 掣) 圳华俨刊i 刀- - + l l l 2 1 9 一 脚 2 + 2 843 2 十 + 南 手 脚 ：l 第1 章类黏。件波方程的有限差分爻：域分解方法 由于 所以 m ( i i 7 n + 1i | 2 + i | 叩n i l 2 ) + 1 1 7 r n + 1l | 2 u ( 州拙) 刮州) + 害叭丢嘉( 衅 u ( z ，抖t ) 刮( z ，z ) + 瓦o v t + 三2 丝0 t 2 ( 衅 u n + l u 竹抛 10 2 u a t2 一o t + 一2 o t 2 孚刮州) + 互1 瓦0 v 叭石1 丽0 2 v ( 衅 由( 3 5 4 ) 一( 3 5 5 ) 得 ( 3 5 3 ) ( 3 5 4 ) ( 3 5 5 ) u n + 瓦l _ 一u n 一v n