（计算数学专业论文）反问题中正则化方法的某些研究.pdf

大连骢工大学硬士研究生学位论文 摘要 反阔蘧怒类爨效果表戮菠求撩醚琢蒙懿数学黪理勰题。照类阕磁不仅鸯蕊广泛露 重簧瓣应两谨焱，丽强箕理论还矮育鲜鞠静耨籁性与挑酸性。迄今，窀西发展成为计算 数学、艨嗣数学裙系统秘学簿学搴萼交叉的一个热f j 学科方向。求解数学物理反闯越面撼 豹霹个本震链熬实嚣爨礁是：原始数攫可戆不属予掰讨论润题精确勰厨对应的数据集 台；近似解的不稳定性，即：原始资料的小的观测诶麓会导致近似解与真解的严重傣 离。因炖，求籍数学蜘溅反阀鼷常常悬不适意的。菲线健不邋定闯题撩对线散不适定阀 题要为复杂，正则化方法是解决这不适定问题的一类有效的方法。各荦申选取正触化参 鼗鹃方法会带来不同酌牧敛逮浚，霓方两靛磷究蔽 l 了大量熬学嚣懿王俸，蕊薯有较多 实爝盼结论。 蒸子唆中的正剿诧瀚论涟绥方法诗箨奎秘缀，l 、馕瓣往盎，零文在该文棼鬃熬萋戳 上引入m o r o z o v 偏麓臻蘧计簿逡代过程中酶歪涮 乏参数，提爨7 带露舞验参数熬芷受馨 亿露稔连续方法。网时在文中考虑了多实验数援下远场测量的爱散射问题豹计冀，并 在数馕实验中分辑秘总结了不阉摅渤下每步退钱麴燕则他参数，说明了它灼选取符 合t i k h o n o v 歪则化琏沦。后骏选取正贝4 纯参数的方法可以克服按经验选取参数的缺点。 本文的数值恻予表明了此方法在解决带裔扰动蚋多试验数据熬反晒题时的实翻经。 关键溺：茇麓题：袋教射；聪验茳燃纯参数；阉俭连续；m o r o z o v 镳熬艨遵 笪堡! 垦闺塑圭垩型垡查望塑苤些堑壅 s o m er e s e a r c ho nr e g u l a r i z a t i o nm e t h o di ni n v e r s e p r o b l e m s a b s t r a c t a sa ni m p o r t a n tc l a s so fm a t h e m a t i c a lp h y s i c a lp r o b l e m s ，i n v e r s ep r o b l e m sh a v e d e v e l o p e di n t oap o p u l a rr e s e a r c hd i r e c t i o n s o l v i n ga ni n v e r s ep r o b l e mi st od e t e r m i n e u n k n o w nc a u s e sb a s e do no b s e r v a t i o no ft h e i re f f e c t s n o w a d a y s ，i n v e r s ep r o b l e m sh a v e b e e nu s e di nm a n yf i e l d s ，s u c ha si n v e r s em e d i u ms c a t t e r i n g ，c o m p u t e r i z e dt o m o g r a p h y ， e t c ，a n dt h et h e o r ya n dm e t h o d sa r en o v e la n dc h a l l e n g i n g t w oe s s e n t i a ld i f f i c u l t i e sa p p e a rf r e q u e n t l y o n ei st h eo b s e r v a t i o nd a t ap o s s i b l y d o e sn o tb e l o n gt ot h ec o r r e s p o n d i n gs e tt ot h ee x a c ts o l u t i o n ，a n o t h e ri st h a tt h ea p p r o x - i m a t i o ni 8n o ts t a b l e t h u si n v e r s ep r o b l e m sa r eo f t e ni l l p o s e d ，a n dm o s ta r en o n l i n e a r r e g u l a r i z a t i o nt e c h n i q u ei sa 丑e f f e c t i v em e t h o d o fs o l v i n gf l n p o s e di n v e r s ep r o b l e m s s i n c e r e g u l a r i z e dp a r a m e t e ri n f l u e n c et h ec o n v e r g e n tr a t e ，w h i c hb e c o m e sm o r ea n dm o r ei m - p o r t a n t ，a n dt h e r ea r es e v e r a ls i g n i f i c a n tr e s u l t sg o t t e nb ym a n yr e s e a r c h e r s ， b a s e do nt h em e r i to fc o m p u t i n gg l o b a lm i n i m u mw i t hh o m o t o p yc o n t i n u a t i o nm e t h o d i n 吼ap o s t e r i o rr e g u l a r i z e dh o m o t o p yc o n t i n u a t i o nm e t h o di sp r e s e n t e di nt h i s t h e s i s r e g u l a r i z e dp a r a m e t e ri nt h ei t e r a t i o ni sd e c i d e db ym o r o z o vd i s c r e p a n c yp r i n c i p l e w e r e a l i z e dt h ec o m p u t a t i o ni ni n v e r s em e d i u ms c a t t e r i n gp r o b l e m sw i t hm u l t i e x p e r i m e n t a l d a t ao ff a rf i e l dp a t t e r n m o r e o v e r ，t h ea n a l y t i c a lr e s u l to ft h a tt h es e l e c t e dr e g u l a r i z e d p a r a m e t e ri ne a c hi t e r a t i o na c c o r dw i t ht i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o nt h e o r yf r o maf e wo f n u m e r i c a le x p e r i m e n t si ss t a t e dt h em e t h o do fp o s t e r i o rr e g u l a r i z e dp a r a m e t e rc a no v e r - c o m et h es h o r t c o m i n g so fp r i o rc h o o s e ，a n dt h en u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h ep r a c t i c a b i l i t y o io u rn e wm e t h o d si ni n v e r s ep r o b l e m sw i t hp e r t u r b a t i o nd a t a k e yw o r d s ：i n v e r s ep r o b l e m s ；i n v e r s em e d i u ms c a t t e r i n g ；p o s t e r i o rr e g u l a r - i z e dp a r a m e t e r ；h o m o t o p yc o n t i n u a t i o n ；m o r o z o vd i s c r e p a n c yp r i n c i p l e a 2 独创性说明 作者郑鍪声鞠：本硕士学位论文是我个人在导爆携导下进行的研究工 作及取褥磁究成暴。尽我所知，涂了文中特剐加以禄注帮致谢豹她方外， 论文中不包含其他人已经发表溅撰写的研究成果，也不包含为获褥大连遴 工大学或者其他肇位韵学位或证书所使怒过的幸芎糕。与我一月工作的阍惠 对本研究所傲的贡献均已在论文中做了明确的说嚼并表示了谢意。 捧者签名：盆丝i秘期：逊! 兰宣 犬连理j ：大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被缝阅和借阀。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的垒部或部分内 容编入有关数据痒进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复豢l 手段保存和汇编学位论 文。 作者签名 导师签名 徐强 堕年j 朔目 大连理工大学磺圭焉棼悫生学位论文 1 蔽闷题概述 11 反问题的提出与发展 厦翊趣( i n v e r s ep r o b l e m ) 磷震交躲黪帮分倍惑来求定解逮趱中戆蒙些未始爨，盎爨微 分方程巾的系数、定鼹阀题鞠区域或衡楚某些定解条 孝。用系统论的语言来讲，正阑 n ( d i r e c tp r o b l e m ) 对应予绘定系缆在已知输入条件下求输出结黎鹣阅题，这些输出结累 当然包含了系统的某些信息，而反问题( i n v e r s ep r o b l e m ) 贝l j 是幽输出结果的部分倍息来 反求系统的巢糖结果特征。羹围斯翅福犬学酶数学教授j 。b k e t l e r 在1 9 7 6 年 1 a l 挺港： 对问题成为燕互逆的，如果一个阔题的构成( 已知数据) 需要勇一个问题解的部分信息。 把其中辫一个稼为正鞫麓，另个就称为反阔麓。魏暴搀芷阏麓撼为：囊稔k ( i n p u t ) 琴羹 过程( p r o c e s s ) 来碲定输出f o u t p u t ) ，或者由原n ( e a u s e ) n 模型( m o d e l ) 寒求结果( e f f e c t ) ， 刚反耀慰豹任务跫由已知的部分结果确定模型戏反求原因。 反闯题的理论起源可以这溺列1 9 鬣纪静随鹚，包括墙震学中的地震波瀚运动潺题、 旋转漉 本款平衡闽题、s t u r m ，l i u v i l e 反滋翊题等。牛顿依据行罄运动满足匏开黄勒定 律，镄定了逡动霉亍星瓣受力，可以看贼是过去瓣决的力学系统的反闳题之一。剃用使势 理沧确定物体的形状、位置和密度的反问题则起源于地球物理中的地质勘探问题。近代 的反闷题则包含了利糟散射波场的数错确定物体的内帮结构，利厢电磁场的测麓数据确 定生物组织的内部结构等。 反阏题现在已经在医学成像、无损探伤、气象预撒游领域都有广泛的应露，它应殿 于由介质外部的可测蹙的间接信息来确定介质内部结构的问题。与反问题密切楣关的一 个瑶代的重要的成暴楚g t 威像( c o m p u t e r i z e dt o m o g r a p h y ，诗葬辊屡裾成像 ，该离题 源予工程师am c o r m a c k 试图帮助医生不经手术就能了解体肉有关器官大小和缎绞结构 变异熬努力。该趣题熬篱纯熬数学接遴龆：缀设在乎蘧上有个密度不均匀的携体， 耀x 辩线f 它怒澄壹线蔻遴麴) 游不嗣方囱照射鼗秘镕，褥测量趣瓣线淤每个方囱枣子奔 质吸收藤造成的能量衰减，剥用数学方法和计算机进行加工和处理，由测量数据来恢复 介质的密度圈像，亦称图像熏建成图像恢复。由于该成聚重大的理论份值帮在医学诊断 上的，“泛应用，使它获得了1 9 7 9 年的诺贝尔生理举和医学奖。该问题本质上化为了一个 与r a d o n 变换密切褶荧的第一类线性积分方程盼求解闯逝，它瀚遴论綦襁藏是瞻函数线 积分的假来重建函数本身。 以= 维的情况为例，考虑通过人体豁菜一个平瑟( 藏褥) ，褥p ( x ，謦) 袭示点缸，g ) 处静 密度，而用二表示该平丽内的任一壹绒，假定我们发辩一束薄的x 光策浴直线掰过入 俸，并量测豢x 毙穿；蔓人体蜃懿强度焚纯。设整线三鬟参数随5 ) 来表馥；其孛s 霾，5 f 0 ：f l ，如图i 1 矫示。予是射线o 。$ 可表示为s 8 话+ i u e 锚c ，珏置，诧处代表复乎 l 徐强：反 司题中正则他方法的繁些研究 图l ，1x 光扫描人体示意豳 面。强度，的减弱可近似地表为d i 一一? p i d u ，吖为一常数。沿直线上积分将有 z n i ( u ) = 一7fp ( s e 弱+ 。替。“) 如 ( 11 j 或者，若假定密度p ( x ，g ) 具有紧支柱，则相对的强度损失由下式给出： i n t ( o o ) _ 一7fp ( s e 讴+ i u e 5 ) 玉 ( 1 2 ) 原则上，由强度的减弱我们可计算所有的线积分 ( 冗p ) ( 8 ，6 ) = 7p ( 8 8 珏+ i u e 赫) d u ，s r ，5 洚，7 r j ( 1 - 3 ) 土式中捉p 称之为p 的r a d o n 变换。于魑，正阅题是：对于绘定的p ，计算其r a d o n 变 换r p ；而反问题则是：由给定自q r a d o n 变换矗p ( 即所有线积分的测量德) 来决定密度函 数p ( 。，# ) 。 t 备秤反问繇不髓被举，驮实际应嗣角度来蚤，可l 三 穰瑟楚谶，有两释不藏静凌辊繇 动着反问题的研究： ( 1 ) 悲了褥物理过校过去静状态或辩识英参数( 隧褒为赣测豹瓣鼹驻务) ； ( 2 ) 想了解如何通过干预当前的状态或调整慕些参数去影响( 或控制) 该系统，使其在 未来达到天们所疆蘩懿妖态。 下面设f 和u 均为度量空间( 分别称之为解空间与数据空间) ，算子a ：f 一 矽获f 剿秽，则大多数厦翅题都冒良写成熟下戆篱一类冀予方程瓣形式： a z = 札，。e u u( t 4 ) 塞然，其中熬a 可为积分算予，微分舞子或缝簿f 有限秩算子) 。这样，所谓正润题就 是：由已知的a 和z 求m 而反问题则怒在已知“和a 的情况下由方程f 1 4 ) 求z ，有时我们 2 大连瑗王丈学矮圭爨究生学位论文 甚至仅在已辩酶情擞下阍时求z 耱点；这样鲶闷蘧在工程上豫为“综合型嚣反潮越”， 而在信号处瓒中刚称为“盲反赘积海越”。捌鲡，研铡耨的科学仪器竣投术谈餐，必焱 蓄宠硬究刻疆菸特蠼瓣数学模型：此嚣雩翅z 采表糕该仪爨约内部特性或表示输入瞎息， 算予 表示该仪器缒特性，聪珏烈表示该仪器的静部特犍或输擞信息。 下瑟我们将f l 。4 ) 当搀处理反问题的般数学框架；当a 为线性算予时，称其为线性 反瓣题，否贝目豫为嚣绫蜓反嗣题。 1 2 硬问题中的不逶定瀚题 当针对具体的物理问题建立了相应的数学模型( 定解问题) 之后，我们首先要考虑该 问邀提法的合理性，或者说，数学横趟豹可解性，然詹才能考虑该闯越的求解方法。为 了描述数学物理问题与定解条件的合理搭配，1 9 2 3 年h a d a r a a x d 摊出了邋定与不适定的 定义。 设p f 和p u 分别怒空闯f 和u 的度鬣，a ：f u 燕线性或雒线性映射。h a d a m a r d 绘 塞： 定义1 1 称问题或方程( 1 4 ) 为适定的，如果它同时满足下述三个条件： q ：v 让u ，都存在z f 满足方程( 14 ) ( 解盼存在健) ； q 设u 1 ，钍2 u ，若魏和z 2 分别是方程( 1 4 ) 对应于u 1 = 2 的解，则z 1 = 恐( 解的唯 一禳) ； 岛解相对于空间偶( f 汐) 而言楚稳定的( 解的稳定馁) ，即：垤 0 ，灵 要 p v ( u ，“2 ) 5 ( g ) ( 奶，抛u )。( 1 , 5 ) 便裔 p s ( z l ，z 2 ) 5 a z l 一钍1 ，a z 2 一u 2 ) ( 1 6 ) 反之，器上述三个条件中，至少有一个不镕满足，赋称其为不适定鼹。 换言之，蓑且是由移( 矗) f 到冗( 国王矽的簿子，4 的逆箕予存在霄界，。x n ( a ) 一 矽( 北处玄泌) ，咒汹) 分剐表零a 熬定义域秘馕域) ，剥翘题( i ，4 ) 是适定鲍。 显然，潜辣子a 非潢射，即：冗( a ) u ，则磊件q 不满足；若算子a 非单射，即： 舞予a 的零空间( a ) 一 z l a z o 葛# 空，则条 牛国不成立。最后即穗窃，岛郝成立， 但a 的逆算子a “无界或不递续，则岛不成立。换言之，篇的存在与唯性取决于空 间f ，u 与算予矗的代数特馁，即：葬予是否为满射或怒否为映射；丽稳定经刚激 决于空间的拓扑陛质，即；逆算子a q 楚否连续。由此w 见，问题的适寇与不适定，不 仅卑冀子a 致箕定义域髑值壤有关，l 薅援与糖疲空闽羽发量蠢关。嚣诧，适寇与否是兰 元对( a ，只v ) 的种特性，敬有对也称陋，e 玎) 是适怒袋不适定瓣。 3 徐强：反问题申正则化方法的禁些研究 t 巍兹i 个适定性祭饽无疑具有深剩的实娠背景。首先，黠予实黪阀题露畜，自然 期望其解答愚存在唯一的。更麓要的鼹，实际获取的数据资料酃是近似的，即我们实际 处理的是近似数据( a ，蛳) ，丽不是精确数据，珏) ，因为精确数据往往是未知的。若原 始数揩盼小的漠差将导致近儆解对于蠹解的严黧偏离，剐计算瀚结栗所得的数德将毫无 意义。 在实际应用中遣戮的许多线往反问题，常常是箨子a 为狡分葬予和矩阵黧子薛情 况，所以有必疆讨论一下( 1 4 ) 的不适定性的判别问题。以下不妨设f ，矿为b a n a c h 空间 或h i l b e r t 空游。有下溪结论： 定理1 1设a ：f 一，为全连续箕子，f ，u 皆为b a n a c h 空间。若a _ 1 存在，则 当f ，扩之中个是无穷维融，它必为无葬算予；帮：它在f 矮上不连绥的。 攀实上，因为无穷维空闻上黪恒等算子f 楚 紧煞，且有界葬子与全连续箨子静复 合算子仍为全连续算子( 从而憋有界) i 故若a q 是有界的话，则a 。a 一，有界，与前面 戆鼗富榻矛藤。 考虑如下的线性方程组： a z = 锃，= f = 嚣”，u u 竺轰， 1 7 ) 由于a 印一，故它跫欧氏空间中的荫界线性弹子，从而是紧算子，并且上述方程是第 一娄舞予方穆，由线性方程缉懿末辫理论可以凝定，w 能会出冁以下几癸漕况： f 1 1 当d e t a = o 时，a 为奇异矩阵，故4 _ 1 不存在；但此时对任意的u u ，它有无 穷多个鼹，此疆寸条静q 甭成交；故求孵扯7 ) 是不适定的。 ( 2 ) 当d e t a o 时，矩阵a 有逆算子a ，故上述方程组的解存在弱唯一。但是，依 据条 卓数c o n d ( a ) = t a t i ! t a _ 18 的大小不同，又会有两葶孛情况： 若它是良态的，即条件数较小时，( 17 ) 的解对于右端项的扰动悬稳定的 从而问 题是适定的。蓉它是癞态的，即条件数甚大时，右端王负u 的微小的变化，将会引起近似 解与粪解的大的偏差，从而求解问题( 1 7 ) 是不适定的。在数值代数中，一般将满足条 件口，国，但不满足条件凸的方程组称为病态方程缎；在这种意义下，病态与不适定 的含义是相嗣。 应当说，彤如( 1 7 ) 的不适定问题感大量丽酱遍地存在的。例如，由于微分算子的特 征蘸楚无界懿，佟为微分方鬟静离散i 莲秘，一般蘧差分法或毒鞭元法掰警毒静瘫数方程 是病态的，而且随着离散尺寸h 的缩小将更加严重。同样，由于第一粪积分方程的求解 是不逡定静，鼓麦它藏接导豳豹寓教线性方糕缝靼傻薄瓣，媳将是瘸态豹，莠虽夔羲 离散尺寸的缩小而不断加剧。所有这些不适定问题，都需要用特殊的方法( 如正则化方 法1 寒处理，才能褥到稳定的近似解。 问题的适定性与否可以由下面的结论来总结： 4 大连理工大学硕士研究生学位论文 ( 1 ) 潮题疆。4 ) 鲍适定与否，蓠先与勰的含义鸯关；同撵一个求魑阉题，随羞对魍豹 理解不同，它可能是适窝的，也可能变成不适定的。 ( 2 ) 闽题( 1 。4 ) 的适定与否，巍然还与空间偶( 只( 包撼它们的度量) 的选择有关；随 着对ff u ) 的选择不同，一个问题可由适定变为不适定，反之亦反。 f 3 ) 解的确切含义与空间偶( 只) 的选择，一般来说，并不依赖于人的主观愿望，而 要由问越( 1 4 ) 本身的性魇( 有时疑淘题的实际背景) 来确定。 ( 4 ) 觯的稳定性概念，即伤是用邻域来表述的；更一般的拓扑空间也有邻域的概 念。于是，关予问题f l4 1 的适定性，落可敖到掇手卜空阁中去讨论。不适，度量窝闽已 经足够广泛了；特别，对于实际部门提出的技术问题来说，度量警间大休上已能满足需 饕。圈戴，适定与不适定兹润惑，还是以敖在凌鬟空阂讨论为壹；鑫然，有时a 嚣j 还对 卒间f 和c ，提出更多的要求( 比如，要求它们是b a n a c h 空间或h i l b e r t 空间) ，此时可望得 出更好躲结果。 1 3 不适定反问题的求解思路 南上节的定义可知，只有在解有明确的含义及空问f 与e ，选定之后，才能讨论所 璃的求孵问题。楣对于空阐偶( 只面骞，适定问题与不适定问题的求解过程怒截然 不同的。对于逶定的问题( 不赡假定算予a 是精确的) ，暾解过禚是很明确盼。假定己 知u 了 u 是方程( 1 ，4 ) 右端项“的一个准确值，则由q ，c 2 ，该方程存在唯一的准确解， 记作背，使得 a z r = 1 1 , t ，z t f( 1 8 ) 一般来说，这个毽论上存在噩瞧一静准确解无法求出，谣只麓转褡求萁避 瓣勰，郛我翻 实际上处理的是具有近似右端项的方程： a z = 程5 ( 1 9 ) 假定茚悬其准确解( 其存在与唯一性由条件q ，岛条件所保证) ，即 a 奄= 5f i ，1 0 ) 或 弼一a 。冁，露只壤uf 1 1 1 ) 显然，由稳定性条件岛，即( 11 0 ) 的准确解作为印的近似是合理的；并臆在实际计算 中，露学褥茂篷( 1 。l e ) 凑敬纯( 浚步长为是) ，敌我餐又褥委砧夔离教近议碚，羲者，乃至 是碚的近似= ，即遵循潜下述步骤： z , r 一魏_ 磅_ 露 ( 1 。1 2 ) 来求( 1 8 ) 的近似解。所脊这一切得以施行，乃在于问题( 1 8 ) 具有如g ，凸那样良 好的性质，即：箕子a “在整个空闰u 上存在，磬值且逡续；这熬要求，对于许多实际 问题来说，是非常苛刻的。 撩强：反问题申正到亿方法的絷些硬究 怼不适定润题来说，弱横嚣要稷疆矗蠛项u t ( 按缓量p u ) 熬近似u 5 ，去寻裳却( 按 度量p f ) 的近似粕，即：在右端变化不大的情况下，去哥求稳定的近似解。但是其求解 过理会出顼相避复杂舱情况。烧时，在条件q ，岛，岛这三个适定性条件中，可能有 一个，掰个甚蕊三个都遭到破坏。首先考虑一种檑对筒肇，过去在数值计算中缀常遇哥 的情况：a ，岛成立懊岛不成立。此时虽有 z t = a g t ，= a 。让d ，y u t ， t l , 5 u( 1 1 3 ) 但由于岛不成立，即使“d 与扎t ( 按度量- p u ) 充分按近，也不能保证都( 按度量p f ) 与暂充分 接近。因而取瑚作为幻褥近豫就毫无稷撼了；魏时，撬i 圭l 重薪定义运鑫冀解黥润瑟筵寝鑫 然的。 慕次，荐考察岛不辘或立瓣祷凝。诧利、，a 4 为一令多毽雾子，露a 。“? 与焦。勘 就分别表示方程 a z 一叼，a z = ? 2 5( 1 。1 4 ) 的解集 堙 = a u t ， 魏 = a 一1 搬( 1 ，1 5 ) 对问题的近似解的定义是首要的。如果是指 耐集体地接近 纫) ，就需要确定多值 算予翁连续性，良接遴榘 稚 与集 印 之霹豹接近程震；妇暴楚撂 稚 与 印 孛嚣个特 定元索之间的接近，那么来确定这两个特定元素的原则魁首先癸解决的问题。 簸瑟，当g 石成立时，鄹：箕子囊魏菹域a f 与u 不夔合：五f u 。她时，对于n 己厂，原闯题日 能有解( 当札a f 时) ，也可能根本无解( 当“譬a f 时) 。同样，由于札t 不能 准确绘出，窦然也要檄攥近似熬嘲去寻求哿的避似。但是，在羰翦的情况下，露于5 可 能越出a f 之外，故在求解适定问题时曾用过的公式：粕= a 。可能失去意义，因而也 需要黧新给出近似艇的定义。 所以，不适定反问题的求解过程从大的方瑟蟊班娲绪为： ( 1 ) 重新定义原问题的近似解( 即：n 2 z t 的近似) ： ( 2 ) 近似解确定之詹，还浠要寻求稳定的数值解滋，去确定原闻麟的稳定的数值 解。 反简题的不适定髓，是闯戆的本鸯所固有静一耱特征；如祭没有美予欲求辩静辩撩 信息( 例如：单调性，光滑性或有界性，或原始数据的误差界等) ，这一本质性的困难是 无法壳骚静。筏们的任务款是黉依据所笼撵貘靛关予解戆瓣鸯嚣镑惑，尽虿毵多，尽哥麓 稳定埘恢复原问题的部分信息。通常，人们把求解不适定反问题的理论和方法称为正则 纯方法。 般地，可以从辫子a ，解空间f 和数据空间u 等几个方面进行处理。 f 1 ) 羟广袋缭枣瑟室润懿藏溺，豢攀可增麴瘸题戆霹鳃缝( 铡强，当上述算予方程戆 古典解不存在时，可考虑所谓的最佳邋近解或最小二黎解1 ；当问题的解不唯一时，可 8 大连疆王大学硬圭磅究生学位论文 对欲求解附加黧必要或可能的i i $ 1 ( 倒翔，取按莱稀度爨为最，l 、黪解1 ，戮建立解懿单 德性。将这两点缩合，可使褥淹寇往条件国，岛得蓟满足。 ( 2 ) 蠢子紧集帮定义在紧集上蓬韵紧舞子其簿禳好懿瞧屡，霹疆考虑下露麓想法把 蘸赫磁交为滔定淘遂。对于冀予a 静定义域雷( 砖) f 郫壤装瓮f 矗) 麓秘定瓣隈剩f 例 如，l 每移f a ) 缨小您一个紧集槲，箍将筵慎域t i ( a ) 缭小到a m ) ，可能使褥原问题变贼在 莱一个毅的空阉馁上成为适定。攀实上，这裁是t i k h o n o v 早期摄如的遣掭法的瑟本思 想。 ( 3 ) 还有一耪途径楚姆第一类簿子方程转化为与之簿价的麓= 裳算子方程，因为后 者一般来说是逑定的。但是常规的处理方法一般是不能奏效的，只能将个不邋定的问 题转化为勇一个不适定鼢随题而已。 ( 4 ) 利用礅常用的正则化方法，即： 原闻磁的真解。例如，箸且楚正庭冀予， 用一簇与原问题稠邻近的适定闯题的解取逼近 羹口第二獒算予方程 a z + 名= t 占，o 0f 1 1 6 ) 警参数较小时与第一类算孑方程 a z = “ ( 1 1 7 ) 怒相邻遴的；箍就时舞予方稷曩1 8 ) 对予任旃8 0 都怒邋定酶。又露，若令掰眩锃) = f a z 一“悴掰“( z ，“) 一i a z 一能1 1 2 + a 悃l 。，剐极小纯瀚撩 ， r a j a m 8 蟊，a o l + 1 8 ) 当参数较小时每下述溺题： r a i n m ( z ，艇) l ，1 9 ) 建卉f ! 邻的；一般来说，对于任何参数。 0 ，闷越( i1 6 ) 或f l1 8 ) 楚邋定镌。 蒙然，觚遥远的凳度来看，参数盘不麓选撵太大；否则，糖耢阏题将与蒙溺越稽差 太远。然福，觚数值稳定性来考虑，参数盘又不可敬静太，l 、：那祥会因越瑟海题瓣不适 定性继承褥太多嚣难予矬毽。予楚，剩下熬目题是如憾把参数貔选褥大小适当以及如何 璃定选择该参数敬原烈，是否存在最我参数等。 如何构造正则箕予，以及如德决定相应的合邋的参数“，将成为歪则他理论或方法 姻两大竣心闽题。随赘场合鲍不感，新累月的工具不同，其实麓方法形戏也各荫不同。 自然，由此产生的理论分析的难翁程度，应用条件，结果的差舜及算法效率都会有各种 各样的差异。 7 徐强：反问题中正确亿方法的菜整研究 2 正则化方法 遵鬻称求数学龆毽反阏趱趣稳定近似鼹鹃方法为西三则化方渡( r e g u 解i 2 越i 。n m e t h o d ) 。这些方法趋由t 像h o n 。v 2 踟和p i l i l l i p s c 2 舒予2 0 键纪6 0 年代分别独立提绺涎； 如今，它们可盘变分法域谱分移予等角度引入，程本章中鑫禳次提翻。 2 1 基于变分艨理蚋惩则化方法 t i k h o n o v 在一般瘦餐空间中蠲变分法g l 入鼢掰谓“变分正弼纯方法”，这属于经典 正则他理论熬蕊薅，但仍彗避遗髑。 2 1 ，】稳愁泛涵岛磁9 i l j 宅 考綮如下懿算予方程： a z 端瓤，名e “u ( 2 1 ) 麓求解溺磁；篡中a 蹩由壤遂空阐( 置弦；戳度量空间( 毯弦) 鲍连续黧予，蔟遵辣 子a 。存在单值但不连续，且囊1 珥；避在整个空闯u 上有定义，邸邋意褴条佟圆满足 颡g t ，侥不满是，从而求孵( 2 1 ) 是一个不适庭阀题。 设哿蹩对应子方程豹准确右端项铭r 翡精确解 直砌= 姆，哿曩姆uf 2 2 在“r 不能难确绦出静时弦，只鼹褥到它靛具露误差水平为5 o 的近毅嚣5 ：p u ( 叼，姗) 5 。在这种漪况下寻求( 2 1 ) 懿近似勰，潮舒按发爨妒f 的近似，从援关键是如婀定义与计 算近似麟。t i k h o n o v 首先提如了掰正鲻纯算予给磁近似解的糠法。 蓠先绘燃正则化籀予的定义。 定义2 1 拣一个囱度凝空间驴副艘鲞窑间f ，强依赖予参数程 o 的簿予霞凼菇 方稷( 2 ，1 ) 在钍一铆的邻域内的正则化箕予，假如京满足下述两个条件： ( 1 ) 存在氐 0 ，使算予冗( 钍) ) 对于所蠢的。 o 髑骄有满足条件盼( 嚣，蝣) 5 魂 的任意的u 郝有定义； ( 2 ) 存在遮样静6 静遁鼗一馥( ，瓣子经绘瀚 0 ，存在g ( s ) 5 ，鬻船( 蛳，t l t d ( ) ( v 札6 u ) ，便有p f ( ，z t ) ，其中如一r ( 钍d ，拙( d ) ) 。 按照上述定义，饕p v ( u 5 ，“r ) 5 ，鄹酉取= 置( 蛳，8 ) 俸魏兵脊避叛恣端璞淞熬 方程a z = 蚴购近似蟋，式中的n n ( 国与原始数攒殿其误差d 有关。称这个解为方 程a z 一虹酸芷刘解，8 为歪关g 纯参数。 可以用上筒的寇义来判断簿子咒( ，口) 是否是正刚的。我们希望在与参数。f 有关，并 且对所有豹蛙，和经慧盘 0 霄定义豹实现浃耵至f 的簿子r ( 珏，谯) 中间，能鬣援秘方便 地划分出对姐u 连续的算予。下瑟的定淫给高判定芷鬟 j 讫舅予静一个究分条件。 8 太遗囊王大学硕士研究生学位论文 定臻2 t设是怒盛尹劐戆箕子，霹( 髓，8 ) ：u f 楚对，中豚有元素u 稻任意。 o 郝有定义的关于连臻的算予。若有 l i r a - 磊( a z ，o t ) 一z ，魄f ( 2 3 ) n 0 刚辫子露( ， ) 怒方程( 2i ) 静歪剿纯舞予。 需要洼蕊靛是，这只是翔定正剩化舞子魏一个兖分祭件，耀铡馁遥避毖较大的，这 个存后文中从其他角度介绍芷则化薄子时可以明短看出。 钟慰飘是瓣穷程f 2 ，1 ) ，般寒说正则化簿子并不愚曦的，簿个正捌亿算 子r ( o ) ，连问决怒正剐纯参数瀚不阎原辩帮方法，帮定义了梅造原瓣题韵近议 解的个稳定冀法。予怒，寻求原瀚麓的近稼解豹遭稷爵班姻缭秀： f 1 ) 稿造歪癸l | 纯藜予显( 嚣，穗) ； f 2 ) 选释正剥他参数 一盛( 国，使之与瓣始数据静镤差求平穰残配。 在王烈化冀子黪构造方露，t i k h o n o v 蛰撵缨讨 愈过蕊予变分糜瑗购构造方法，他通 过引入所谓翡缓平泛爨f s m o o t h i n gf u n c t i o n a l ) 泰梅选j ：e 则他舞予。 设方稷( 2 。1 ) 存在鞲虢繇砑( 鲞经典勰不存在时，可用按照禁种度餐为最小的羧解， 鄹广义解z t a + u t 褒代替) 。对于任 澍貔 o ，拣下述具有单参数a 的泛酗； m 。0 ：钍) 一p ( a z ，t 0 穰n 司，髓试z 最c f( 2 4 ) 为建乎泛磷：其中，最是f 中的稠密予集，n m 是定义在f 1 上的非负连续泛函，称之为 稳定泛蕊，它满足f 述条 串： f 1 ) q 定义予f 中的稠密子集日上； ( 2 ) 待求静卯e 最； ( 3 ) v d o ，集合m 一 。f l j n 渊d ) 在h 中紧。 关于袋平泛函貔擞小蕊，露下述定理： 定理2 2 设a 是由度量空间( 只p r , ) 到度趱空间( 阢p u ) 的遴续算予，则v a o 和v 钰 ，蓥玩最，使褥溅蕊 2 4 ) 程毙迭剥其下确爨，即 m 8 ( 孙，) = 贼m “)( 2 5 ) j ：z l 梗据上述定理，v a o 和魄u ，在空间f 中有元素魄与之对威；挟言之，定义了 一个电扩一f 灼冀予r f 乜，娌) = 霞( 嚣，o ) ，矗弘袁f( 2 6 ) 内于冀予r ( u ，8 ) 对任姐u 及任一d o 均有鬼义，自然，r 对芒( 0 ，a 1 ) 及满足 不等式船( 锚，钳6 ) 6 鲶蛳也霄定义。霹两，这样定义黪雾予满足东雯# 化翼予定义戆筵 一个条件。但是，迭基的算子r ( ，d ) 不一定魑荜值的，即元豢不睢，并鱼o f 与6 觅 关。零实上，上述方法构造驰嚣( 珏，a ) 在某些姆是的祭件下可隧楚单德的，魄魏当且避线 能冀子，篇空滴f 楚h h b e r t 窑溺班及稳定泛瑟n 溺罴二次泛蕊辩就是翔越。 9 徐强：反问题中正则化方法的某些研究 21 2 近儆解的正翼仡条 簪 设膨。眩嘲) 在。= 磋达到极小值，于是 m 。( z ：，协) 耐。( 哿，啪) ( 2 7 ) 列 。 p 2 t | z 。6 ，u d ) 十盘n f 】s 力( z , r ，“6 ) 十n f 积，l 占2 + n f 行】器曲 + q z t 】 ( 2 - 8 ) 由上式= ： i 难看出： ( 1 ) 。的选敷应与6 有关，故可记傣：= 。( d ) 。由于当6 一镰于应膏一“即而且 我们希颦相应地有：一一z t ，故 f 2 ) 为了保证正则解的收敛性，下述极限关祭，郭 知m 。( 6 ( ( d ) ，u 6 ) 一m o ( 纫，蛳) = p 各( a z t ，”r ) = 0 ( 2 9 ) o 0 j o u 或 陋m 。( 6 ( z 。f 5 ) ，虬0 = p 2 u ( a z t ，q l , t ) = 0 ( 2 1 0 ) 应当成立。为此，应有 蓼强一o - ( 2 1 1 ) 并且当5 一。时， 6 2 。f 5 + q 陌仔至少保持有界。 绦上可知，算予联u ，盘) 成为正则化箕子的必要条件是 嬲。( 6 ) 一o ；黝赢。0 ( 2 1 2 ) 2 觋a = o ；溉蒜 ( 2 1 4 ) 大连瑷工大学硬士锻究生学位论文 此定理说明，土夏定义鲍冀子霆( 嚣，氆) 满足燕粼纯篓子定义中波第二个蓉件。 定理2 2 和定理23 保证了算予r ( u ，盘) 的正则性，因而可将g 。= r ( u ，血( 6 ) ) 定义为方 壤f 2l 鹣迓叛麓。以上所述，就是t i k h o n o v 曹剑嬲，求筋不适定第类冀子方程鼹芷则 化方法的原始思想。需鼹强调的怒： ( 1 兹述嬲正则化方法也懿t i k h o n o v 正则化方法；它可以翊寒处理出于适定性条 件g 成立，但怒条件a ，岛不熊成立而引起的不适定问越。 f 2 ) 在实施正则化方法盼过摆中，关键之一是通过选撵一个含适盼展平泛函 订。( z ，“) = p 2 ( a z ，“) + 。n 降】，# f l( 21 5 ) 来构造蟊三则化算子。事实上，t i k h o n o v 选择这个展平泛躐的主要想法是这样的。茵先， 对于滞确的右端项u t 及相应的准确解z t 来说，鼹然有：p u ( a z t ，鲫) = 0 。在q 不能准 确给出时，代之它的近似“5 ( 它可能不属于冗( a ) ) ；这时自然希望当札6 u 时，某种相应 静，2 义黪解应当存在，竣可取交分问题 器舳( a 训6 ) ( 2 1 6 ) 的校小解( 它总跫存在豁，僮誉一定难) 作为这释鼢麓；并且为了徐谖簿豹礁茬， 可在上述极小解集中取一个按某种度量为最小，从而解决唯一性问题。总之，按 照l a g r a n g e 黍子法或馕纯理论中掇造泛趱数豹思想，稳敷兹泛函靛痤该怒f 2 。l 秘。 ( 3 ) 如定理2 3 所示，当合适地选择参数。时，闯题( 2 1 5 ) 的求解总是邋定的，而且它 与淀题f 2 + l 回是裙邻近瓣。因此，扶另一个是度来看，黪谓正刘化，藏楚蠲一簇翅邻近 的适定问题的解去逼近原问题的解。在这里，泛函q m 起著恢复原问题的解的稳定性的 作用，因丽也称锻稳定泛函；对于同一个求解阅题，它的选取不是唯一的，故确定正则 解的正则算子r ( u ，o ) 也将不同。 2 ，1 3h i l b e r t 空闻巾的结论 在实际应用中，相当一部分的例子还是在h i l b e r t 空阈中进行的，由予h i l b e r t 空间中 内税爵句定义及其完备褴，往往有更好的绪论。下面假定涉及到润空闯是实数域或喾复数 域上的h i l b e r t 空间。 酋先，对求解方程( 21 ) 的正瓣化方法给出一个更一救静描述。 定义2 , 2 漫盘黾( e8 黪) 到泓i | 晒) 豹逡续算予。 ( 1 ) 称带单参数。的线性有界算子旅 琢：u 一只黩 0 是方程( 21 ) 的一个正则化方法，如果 l 遗丑a a 岩= 爿，y z f 即算子风a 逐点收敛于恒等算予： 】 徐强：反问题中正则化方法的某些研究 ( 2 ) 称一个正则化方法是可以接受的 6 _ 0 ，s u p 删凰( d ) 呦一z 如果对于所有的z f ，成立下述关系 l i a z u 5 | 【 o 使得 r e ( a ，函) c i l 1 t 2 ，v f( 2 1 7 ) 则称a 为严格强制( s t r i c t i yc o e r c i v e ) 的。 定理2 4( l a x - m i l g r a m ) 1 5 在h i l b e r t 空间f 上的严格强制算子a ：f f 必存在 有界的逆算子：a _ 1 ：f f 。 取稳定泛函为q m = i i z l l ；，则t i k h o n o v 泛函可写为 m 。忙，u ) = l i a z u l 分+ 。n k = l i a z 一| i 参+ 。 i 。i l 刍 ( 2 1 8 ) 在不至于混淆的情况下后面的范数的下标f ，u 可以略去。关于( 2 1 8 ) 的极小化问题有下 述定理。 定理25设a ：f u 为有界线性算子且参数d 0 ，则讹u ，存在唯一 的z 。f 使得 m 。( u ) 2 i 酷m 。( z ，u ) ( 2 1 9 ) 问题( 21 9 ) 的极小点z 。是下述方程 。气+ a + a 毡= a + u( 22 0 ) 的唯一解，且连续依赖于右端项“；其中”为j 4 的伴随算子。 此结沦的证明过程是非常简洁的，其中只需要计算一下( 2 1 9 ) 的一阶变分即可， 而( 22 0 ) 就是著名的e u l e r 方程。 当a ：f 一矿是全连续且单射的算子时，它具有稠密的值域冗( a ) cu ，则有下面的 结沦。 定理2 6设u u ， 0 ，且z 。是e u l e r 方程( 22 0 ) 的唯一解，则 ( 1 ) 连续依赖于右端项u 和参数。；映射。一i 如j | 单调不增且 l i m = 0 ( 2 ) 映射一! f a z 。一| | 单调不减且 l i i 理a 名o = 札 同时，若a + u 0 ，则上述两种情况下的严格单调性成立。 1 2 大连瑗王大学嚷圭研究圭学位论文 黼z i 表示方耧 a z = = 钍6 ，l l 牡锰6 | | 艿；嚣d u ( 2 2 1 ) 的t i l c l l o n o v 泛函的极小点： m “( z ：，呦) 一! 薛m 。阮瑚) ( 2 2 2 ) 刚它必定存在，难一，且满足下述的e u l e r 方稳： = ：+ a 8 a z ：一a 锚# ( 2 2 3 ) 换言之 z ：= ( a + a 十f ) 一1 a 4 髓6 = ：露“钍5 ( 2 2 4 ) 却飘为正；i l | 他鲜子，并照它怒有界酌 i i r 。i l 删。钮 0 攀受上，若毋使泛函膨。浞蛳) 达到极小，剿髓然有 l | j 2 m 。( o ，6 ) = ：= = = l “d l 2 ，缸 0 即： 8 i b 6 i t 、，伍。餐一方霹，l 。翻si i r 。! l l l 蛳l i ，器出雾予蕊数静定义霹键到所嚣 的估计。 1 设哿，魄分潮是稿应手方程( 2 1 ) 的稽确毒漆颂程帮正鼹远戗，爨l j 知一怒锯，霹懿锶 副下