（计算数学专业论文）分数阶微分方程的理论分析与数值计算.pdf

摘要 分数阶微积分已有很长的历史，早在1 6 9 5 年，l e i b n i t z 给l h 6 s p i t a l 的一封信中 就提到了分数阶微分的概念，l e i b n i t z 写到：“这会导致悖论，不过总有一天会得到有 用的结果”早期对分数阶微积分有贡献的数学家包括l i o u v i l l e 、p d e m a n n 、h o l m g r e m 在近三个世纪里，对分数阶微积分理论的研究主要在数学的纯理论领域里进行，似 乎它只对数学家们有用然而在近几十年里，许多学者指出分数阶微积分非常适 合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，在经典模型中这些性质常常是被忽 略的如今，分数阶微分方程越来越多的被用来描述光学和热学系统、流变学及材 料和力学系统、信号处理和系统辨识、控制和机器人及其他应用领域中的问题 该论文共有五章，主体可分为三部分，其中第一部分由第二和第三章组成，是 对分数阶常微分方程做理论分析，第四章为论文的第二部分，研究对一般分数阶常 微分方程及分数阶的f o k k e r p l a n c k 方程( 它是一种典型的分数阶偏微分方程) 的 数值计算，最后一章为分数阶微分方程的应用，即实现分数阶系统的广义同步与 多卷波生成 更具体的说，第一章简要地回顾分数阶微积分的几种定义并分析和比较它们 的一些性质 第二章通过应用l a p l a c e 变换的技术，我们得到了多时滞线性分数阶常微分方 程的特征方程，进而给出了多时滞线性分数阶常微分方程的一般性的稳定性判据， 并将这些结果应用于同步，同时分析了分数阶常微分方程解的可微性，最后给出 了非线性分数阶常微分方程解的m i t t a g - l e f l l e r 表示 第三章讨论了将多阶分数阶常微分方程转化为同阶分数阶常微分方程的可能 性，并给出了多阶分数阶常微分方程的稳定性结果 在第四章中，首先改进了数值求解分数阶常微分方程的预估校正法，然后从 一个新的观点去理解分数阶微积分的短记忆原理，将预估校正法的思想与短记忆 原理结合起来对分数阶常微分方程进行数值求解，并给出了详细的误差分析同时 利用r i e m a n n l i o u v i l l e 和c a p u t o 导数的性质，将分数阶f o k k e r p l a n c k 方程转化为 抛物型分数阶偏微分方程，结合预估较正法和行方法的思想对时间分数阶f o k k e r - p l a n c k 方程和刚间空间分数阶f o k k e r p t a n c k 方程进行数值求解，这部分内容是本 t 文的核心内容 第五章可以看作是第四章的数值算法在工程上的进一步运用，我们数值模拟 了分数阶微分系统的动力学行为，其中包括广义混沌同步及多卷波吸引子的生成 关键词：分数阶微积分；分数阶微分方程；稳定性；可微性；预估校正法；短记忆 原理 i i a b s t r a c t f r a c t i o n a lo p e r a t o r sh a v eal o n gh i s t o r y h a v i n gb e e nn l e n t i o n e db yl e i b n i t zi na l e t t e rt ol h o s p i t a li n1 6 9 5 r e f e r r i n gt ot h eq u e s t i o no ff r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a t i o n l e i b n i t zw r o t e “i tw i l ll e a dt op a r a d o x f r o mw h i c ho n ed a yu s e f u lc o n s e q u e l m e s w i l lb ed r a w n ”e a r l ym a t h e m a t i c i a n sw h oc o n t r i b u t e dt of r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a lo p - e r a t o r si n c l u d el i o u v i l l e ，r i e m a n n ，a n dh o l m g r e m f o rt h r e ec e n t u r i e st h et h e o r y o ff r a c t i o n a ld e r i v a t i v e sd e v e l o p e dm a i n l ya sap u r et h e o r e t i c a lf i e l do fm a t h e m a t i c s n s e f u lo n l yf o rm a t h e m a t i c i a n s h o w e v e r i nt h el a s tf e wd e c a d e sm a n ya u t h o r s p o i n t e do u tt h a tf r a c t i o n a lc a l c u l u s3 x ev e r ys u i t a b l ef o rt h ed e s c r i p t i o no fm e m o r y a n dh e r e d i t a r yp r o p e r t i e so fv a r i o u sm a t e r i a l sa n dp r o c e s s e s ，s u c he f f e c t sa r ei n f a c tn e g l e c t e di nc l a s s i c a lm o d e l s n o w a d a y s 。f r a c t i o n a ld i f i e r e n t i a le q u a t i o n sa l e i n c r e a s i n g l yu s e dt om o d e lp r o b l e m si na c o u s t i c sa n dt h e r m a ls y s t e m s ，r h e o l o g y a n dm o d e l l i n go fm a t e r i a l sa n dm e c h a n i c a ls y s t e m s ，s i g n a lp r o c e s s i n ga n ds y s t e m s i d e n t i f i c a t i o n ，c o n t r o la n dr o b o t i c s ，a n do t h e ra r e a so fa p p l i c a t i o n t h i st h e s i sc o n s i s t so f f i v ec h a p t e r s a n dt h eb o d yc a nb ed i v i d e di n t ot h r e ep a r t s ， t h ef i r s tp a r tf c h a p t e r s2 - 3 ) f o c u s e so nt h e o r e t i c a la n a l y s i sf o rf r a c t i o n a lo r d i n a r y d i f f j r e n t i a le q u a t i o n s ( f o d e ) a n dt h es e c o n dp a r t ( c h a p t e r s4 ) c o n c e n t r a t e so n n u m e r i c a lc o m p u t a t i o nf o rf o d ea n df r a c t i o n a lp o k k e r p l a n c ke q u a t i o n sf i ti sa k i n do ft y p i c a lf r a c t i o n a lp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ) ，t h el a s tc h a p t e ri so ft h ea p - p l i c a t i o n so ff r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，i n c l u d i n gt h er e a l i z a t i o no fg e n e r a l i z e d c h a o ss y n c h r o n i z a t i o na n dt h eg e n e r a t i o no fm u l t i s c r o l l sb yt h r e em e t h o d s m o r ed e t a i l e d t h ef i r s tc h a p t e rb r i e f l yr e v i e w st h ed e f i n i t i o n so ff r a c t i o n 出c a l - c u l u sa n df u r t h e ra n a l y z e sa n dc o m p a r e ss o m eo ft h e i rp r o p e r t i e s i nc h a p t e r2 ，f l i n ta t t a i n st h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o nf o rm u l t i - t i m e - d e l a y e d l i n e a rf o d eb yu s i n gt h et e c h n i q u eo fl a p l a c et r a n s f o r m ，t h e no b t a i n st h eg e n e r a l s t a b i l i t yc r i t e r i af o rm u l t i - t i m e d e l a y e dl i n e a rf o d ea n da p p l i e st h er u s h i t st o s v n c h r o n i z a t i o n b e s i d e s s o m es m o o t h n e s sp r o p e r t i e sf o rt h es o l u t i o n so ff o d e a r ea l s og o t ，a n dt h em i t t a g - l e f f i e rr e p r e s e n t a t i o nf o rt h es o l u t i o n so fn o n l i n e a r f o d ei sp r e s e n t e d c h a p t e r3d i s c u s s e st h ep o s s i b i l i t i e sf o rt r a a _ l s f o r m i n gt h em u l t i o r d e rf o d et o f o d ew i t ht h es a m eo r d e ra n dp r o v i d e st h es t a b i l i t yr e s u l t sf o rm m t i - o r d e rf o d e i nc h a p t e r4 t h ep r e d i c t o r - c o r r e c t o ra p p r o a c hf o rn u m e r i c a l l ys o l v i n gf o d e i si m p r o v e d ，t h es h o r tm e m o r yp r i n c i p l eo ff r a c t i o n a lc a l c u l u si sa p p r e h e n d e df r o m an e wp o i n to fv i e w ，a n dt h ei d e ao fp r e d i c t o r c o r r e c t o ri sc o m b i n e dw i t ht h e s h o r tm e m o r yp r i n c i p l ef o rt h en u m e r i c a ls o l u t i o no ff o d ea n dt h ed e t a i l e de r r o r a n a l y s i si sp r e s e n t e d u s i n gt h ep r o p e r t i e so fr i e m a n n l i o u v i l l ed e r i v a t i v ea n d c a p u t od e r i v a t i v e f i r s t l yt h ef r a c t i o n a lf o k k e r p l a n c ke q u a t i o ni sc o n v e r t e dt o ap a r a b o l i cf r a c t i o n a lp a r t i a ld i l i e r e n t i a le q u a t i o n t h e nc o m b i n i n gt h ep r e d i c t o r - c o r r e c t o ra p p r o a c hw i t ht h ei d e ao fm e t h o do f1 i n e s t h en u m e r i c a ls c h e m e sf o r t h et i m e - f r a c t i o n a lf o k k e r p l a n c ke q u a t i o na n dt i m ea n ds p a c ef r a c t i o n a lf o k k e r - p l a n c ke q u a t i o na r ed e s i g n e da n dv e r i f i e d t h ec h a p t e ri st h ec e n t r 越p a r to ft h i s i i i t h e s i s c h a p t e r5n u m e r i c a l l ys t u d i e st h ed y n a m i c a lb e h a v i o ro ff r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a l 科s t e m s ，i n c l u d i n gt h er e a l i z a t i o no fg e n e r a l i z e dc h a o ss y n c h r o n i z a t i o na n dt h e g e n e r a t i o no fm u l t i - s c r o l l s ，a n di nf a c tt h i sc h a p t e ri st h ef l l r t h e ra p p l i c a t i o ni n e n g i n e e r i n gf o rt h en u m e r i c a la l g o r i t h md i s c u s s e di nc h a p t e r4 k e yw o r d s ：f r a c t i o n a lc a l c u l u s ；f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；s t a b i l i t y ； d i f f e r e n t i a b i l i t y ；p r e d i c t o r - e o r r e c t o ra p p r o a c h ；s h o r tm e m o r yp r i n - e i p l e w 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究 工作除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已发表和撰写过的研究成果参与同一工作的其他同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了说明并表示了谢意 期竺1 2 ：! ：7 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和 借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：碰导师貅藓生日期业 上海大学博士学位论文 第一章前言 本章在引言部分简要阐述分数阶微积分的历史及研究现状。然后在其余部分 回顾分数阶微积分的几种定义并分析和比较它们的一些性质 5 5 ，7 2 ，7 9 ，8 2 】 1 1 引言 早在1 6 9 5 年，l e i b n i z 给l h s s p i t a l 写了一封信，询问：整数阶导数的概念能否自 然的推广到非整数阶导数l h 6 s p i t a l 对这个问题感到很新奇，作为回信他反问了 一个简单的问题：“如果求导的次数为二分之一，那么将会是怎样的情况呢? ”在这 一年的9 月3 0 号，l e i b n i z 给l h 6 s p i t a l 回信写到：“这会导致悖论，不过总有一天会得 到有用的结果”这个特殊的日子1 6 9 5 年9 月3 0 号因此被认为分数阶微积分的确切的 诞生日早期对分数阶微积分有贡献的数学家包括l i o u v i l l e 、r i e m a n n 、h o l m g r e m 在近三个世纪里，对分数阶微积分理论的研究主要在数学的纯理论领域里进 行，似乎它只对数学家们有用然而在近几十年里，许多学者指出分数阶微积分非 常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，在经典模型中这些性质常常是 被忽略的在研究黏弹性时，分数阶微分算予已经用来描述材料的奉构方程事实 上，a b e l 积分方程就是一个众所周知的包含分数阶积分算子的方程如今，分数阶 微分方程越来越多的被用来描述光学和热学系统、流变学及材料和力学系统、信 号处理和系统识别、控制和机器人及其他应用领域中的问题同时许多由分数阶微 积分来建模的现实世界中的系统也展示出丰富的分数阶动力学行为，其中包括：黏 弹性、彩色噪声、电磁波、电解液的极化、分数阶分子动力学等等 近些年来，一些关于分数阶微积分的奠基性的工作相继出版，其中包括分别由 如下作者写的书：g o r e n f l o 和v e s s e l l a 【3 7 、k i r y a k o v a 【4 7 】、m c b r i d e 【6 7 】、m i l l e r 和r o s s 【7 2 l 、n i s h i m o t of 7 7 】、r u b i n 【8 1 】、p o d l u b n y 【7 9 】，以及i 由s a m k o ，k i l b a s 和m a r i c h e v 撰写的百科全书式的专著【8 2 1 尽管分数阶微积分与经典微积分有相同的历史，且 已经有了相当的发展，但它远没有经典微积分的理论完善随着分数阶微分方程在 越来越多的学科领域里出现，无论对分数阶微分方程的理论还是计算方法的研究 都显得尤为迫切然而由于分数阶导数是拟微分算子，它的保记忆性( t p 局部性) 】 上海大学博士学位论文 在对现实问题进行了优美刻画的同时，也给理论分析和数值计算带来了相当的困 难本文旨在从这两个方向上做出努力 1 2 分数阶微分算子的定义和性质 1 2 1g a m m a 函数和b e t a 函数 g a m m a 函数是阶乘概念的推广，定义为 r ( z ) ：= z ”e 一产一1 d t ，( 精( z ) 。) 它有如下两个性质： r ( n ) = 一1 ) ! ，v n z + ； r ( z + i ) = 。r ( z ) ，v z a b e t a 函数是二项式系数倒数的推广，定义为 砟：= z 1 一( 1 叫”1 机( 徘) 。，帅) 。) b e t a 函数可用g a m m a 函数表示为 即川= 渊 1 2 2 r i e m a n n - l i o u v i u e 4 - ) 数阶积分与导数 左r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶算子 由微积分的知识我们知道，对一个函数求n ( n ) 重积分可简化为 a d f ( 。) 2 南j c ( t - ) ”1 “( ) 武 ( 1 2 1 ) 1， 将( 1 2 1 ) 推广到非整数情形，并使用g a m m a 函数可给出如下左r i e m a n n - l i o u v i l l e 分 数阶积分的定义 定义1 2 1 【左r i e m a n n - l i o u v i n e 分数阶积分】令乱定义在区间( o ，b ) 上，仃 0 ，则次数为盯的左磁e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶积分定义为 。耳叫班= 丽1r ( t 叫”l u ( 淞 ( 1 2 2 ) 将经典的整数阶导数与分数阶积分算子作复合运算便可给出如下左分数阶导数的 定义 上海大学博士学位论文 定义1 2 2 【左r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶导数】令“定义在区间( n ，6 ) 上，卢 0 ，礼是大于p 的最小整数，及口= n 一胁则次数为肛的左m e m a n n - l i o u v i u e 分数阶 导数定义为 胁：= d n a 聃= 南杀( 小吲州昧) 必) ( 1 。_ 3 ) 关于( t n ) ”， 一1 ，的左r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶积分和导数 应用定义( 1 2 2 ) ，有 。巧叫”= 丽1z 2 ( t 咱川( 叫博 作变量替换f = 幢一n ) 0 一a ) ，可得 。f ”( t d ) ”= 鱼 i 害笋：z 1 ( 一r ) “一1 ，打 = 茅眦时1 ) r ( p ) 一、r r 7 r + 1 ) “一n ) ”+ “ 5 而了再面一。 而0 一n ) ”的左分数阶导数为 。讲( t 一= 杀。掣“( t 一妒 d ”r ( 王，+ 1 ) 0 一o ) ”+ ”一辟扣 d 护 r ( + n 一肛+ 1 ) r ( 工，+ 1 ) ( t o ) ”一p 2 币= 而面一 复合运算及逆算子 命题1 2 1 左r i e m a n n - l i o u v i l l e 彩 , 分算子是可以互换的，即 。历一p 。d f ”“( t ) = 。d f p ”t 上( t ) ，v 肛，扩 0 ( 1 2 4 ) 3 上海大学博士学位论文 证明根据定义并交换积分次序，有 n 昕“n d f ”( ) 2 币而上( 。一7 ) ”1 上( 丁一s ) v - - l u ( 8 ) d s 打 1，rr = 蒜丽z 吣小叫州( r 刊川批 对内部积分可作变量替换= ( r s ) ( t 一8 ) ，l 丢1 1 l t 。d f “。巧”t ( 。) 2 而而上( 扣s ) “+ v - - l u ( 8 j o ( 1 - ) ”1 f ”1 武d s 1， i = 揣z 2 ( 吣) 幽 = 。d f ”u ( t ) 一 命题i 2 1 是左分数阶积分算子的半群性质，左分数阶积分算子的集合 n d e 4 ) 关 于盯形成强连续半群如下关于左分数阶微分算子的两个性质类似于微积分基本 定理的第一和第二部分 命题1 2 2 次数为p 的左m e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶导数算子是次数为p 的左m e m a n n _ l i o u 、，i l 】e 分数阶积分算子的逆算子，即 。讲。所”u ( t ) = 牡( t ) ，弘 0 ( 1 2 5 ) 证明利用左r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶导数算子的定义，命题1 2 1 ，及微积分 的基本定理有 。讲。町“u ( t ) = d n a 磁。d ”u ( t ) = d n a d t 何u ( t ) = t ( t ) 一 命题1 2 3 4 u 0 ，如下的左r i e m a i l n l i o u v i n e 分数阶积分和左m e m a n i 卜 l i 伽v i l l e 分数阶导数运算的复合公式成立， 。所p 。钟钍( t ) = 呻) 一妻j = l dd 主气 揣，m l p 0 ，n 是大于肛的最小整数( n 一1 p - - 1 ，的右分数阶积分和右分数阶导数 由定义( 1 2 9 ) ，有 心( 6 叫”= 南，6 ( h 广1 ( 凇( 1 2 1 1 ) 5 上海大学博士学位论文 应用变量替换r = ( f 一0 0 一t ) ，则有 硝( 卜茅z 1 ( ，叫”打 = 茅鼬，川) t o , + 1 ) ( 6 一t ) “押 。而干万可一+ 而( 6 一t ) ”的右分数阶导数为 。磁( 6 一t 尸= ( 一1 ) ”! d t n 。磁一”( 6 一t ) ” ：r 一】1 n 生( 兰! 地= 尘：= ： 、d t nr + n p + 1 ) r p + 1 ) ( 6 一t ) ”p r o , 一p + 1 ) 复合运算及逆算子 命题1 2 4 右r i e m a n n - l i o u v i l l e i , ) 数阶积分算子是可以互换的，即 , d r ”巧”u ( t ) = , o f ”t ( t ) ，毗， 0 ( 1 2 1 2 ) 证明应用( 1 ，2 9 ) ，并交换积分次序可得 t d t d f ”u ( ) 2 面而上( r - - t ) ”1 上8 - - t ) v - 1 , l ( 1 r br b s ) d s 打 = 蒜丽z 6 吣) z 5 ( 下叫一( r 1 批 对内部积分可作变量替换= ( 7 一t ) l o t ) ，因此 t 。f “。巧”u ( t ) = 亍彳五若两，6 ( s t ) i j + v - l , u , ( s ) z 1 r 。1 ( 1 一) 一1 武d s = 揣，6 c 一，, u + v - - i t a 幽 = d f # - - v u ( t ) 6 上海大学博士学位论文 命题1 2 4 是右分数阶积分算子的半群性质右分数阶积分算子的集合关于阶 ( 正数) 形成强连续半群如下关于右分数阶导数的两个命题类似于微积分基本定 理的第一和第二部分 命题1 2 5 次数为p 的右m 咖a n n l i o u v i u e 分数阶导数算子是次数为p 的右瞰锄a i l n - l i o u v i l l e 分数阶积分算子的逆算子，即 t 璐巧( t ) = ( t ) ， 0 ( 1 2 1 3 ) 证明由右r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶导数的定义可得 t d # t d f “t ( t ) = ( - d ) “t 一“, d i “u ( t ) = ( 一d p c d 。- “u ( t ) = u ( t ) 一 命题1 2 6 令“ 0 ，则有如下右彤e m a n m l i o u v i l k 分数阶导数算子与右r j e m a n n i l i o u v i l l e 分数阶积分算子的复合公式 t 巧“t 硝u ( ”= 婶) 一壹j = ll 硝气( 吡勘f 篆 ? 篙，n - - l 0 ，( 1 2 1 7 ) u ( s ) 表示“( t ) 的l a p l a c e 变换 证明在半空间( 0 ，0 0 ) 上，两个函数的卷积定义为 ，t u ( t ) t 钉( t ) = t ( t f ) ( f ) d ， 并满足性质 z ( u ( t ) 秒( t ) ) = c ( t ( t ) ) c ( t ) ) 因此，由左积分算子的定义可得 换为 ( 。耳4 “( t ) ) = c ( 丽f s r - ! t ( t ) ) = c ( 丽t a - 1 ) 喇t ) ) = 8 - 4 v ( s ) 一 命题1 2 9 令“( t ) 定义在区间( 0 ，o o ) 上，则左瞰咖a n n - l i o u v i l l e 分数阶导数的l 印l a c e 变 c ( o d f “( t ) ) = s ”u ( s ) 一【0 d f 一1 t ( t ) 】# - - - o 一，( n 一1 p 0 ，则次数为“的g r i i n w a l d - l e t n i k o v 分数阶导数定义为 。diu(t)：=liraglfu=lira一董揣婶一kh)k 。 赢褊婶一 = o 、7、77 上海大学博士学位论文 类似的推广右差商 “( n 。，= 芒蜀击砉c t ，( ：) 。+ 七 ， 可得如下：t 旨g r i i n w a l d l e t n i k o v 分数阶导数的定义 定义1 2 6 【右g r i i n w a l d l e t n i k o v 分数阶导数】令( t ) 定义在区间( n ，6 ) 上，p 0 ，则次数为p 的右g r i j n w a 】d _ l e t n i k o v 分数阶导数定义为 嗍啦：黝l i m ，粤群褊呻+ k h ) k = o 尹磁札( t ) 一。枷 矗褊“( h 、，、， 1 2 4g e n e r a l i z e d 分数阶导数 郇o ，牡 ：_ 三。耻) = 丽t 。_ - 1 0t0 脏l i o u 砌e j | 舸 i ， 1l 川 表示为o d ”u ( t ) = v a t ) + ( t ) ，且k ( t ) tk ( t ) = o ，( t ) 定义1 2 7 令k p ( t ) 是s 出w a r t z 意叉下的广义函数，它是k ( t ) 在卷积代数d 0 ( r ) 意义下的逆，f i y - “( t ) f a t ) = 5 ，次数为p 的g e n e r a l i z e d 制g ：阶导数定义为 宇硝u ( t ) = k p ( t ) u ( t ) ( 1 2 2 4 ) 命题1 2 1 2 匕p ( t ) 的l a p l a c e 变换为c ( k ，( t ) ) = 扩，且对任意的实数n 和p 有k ( t ) 场( t ) = k 郇( t ) ，相应的就有g d f g d f 缸( t ) = o d t 卵u ( t ) 1 2 5c a p u t o 分数阶导数 c a p u t o 分数阶导数和r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶导数用几乎同样的方式推广了 经典导数，只是它们的微分和积分的顺序不同 定义1 2 8 【左c a p u t o 分数阶导数】令u 定义在区间( o ，b ) 上，p 0 ，n 是大 于肛的最小整数，及盯= 礼一m 则次数为“的左c a p u t o 分数阶导数定义为 2 跏( t ) = 叔咿呻) = 南z 。( t - 铲- 1 u 恤沁) 武， 1 】 上海大学博士学位论文 当= o 时，也将硝“( t ) 记为d ：u ( t ) ，g g d “, u ( t ) = o c d t z ( t ) ，在b = + o 。时，该记 号也是有效的 定义1 2 9 右c a p u t o 分数阶导数】令定义在区间( a ，b ) 上，p 0 ，n 是大 于p 的最小整数，及盯= n 一肛，则次数为p 的杰；c a p u t o 分数阶导数定义为 1 t b f 磁u ( ) 2t 巧4 ( - d ) ”( ) 2 南j ( ( 一。) ”1 ( - 1 ) n i t ( n ) ( ) 武 命题1 2 1 3 4 - u ( t ) 定义在区间( 0 ，o o ) 上，则左c a l h l t o 分数阶导, 数的l a p l a c e 变 n - i c ( d “( t ) ) = s p u ( s ) 一乏：t 正。( o ) 矿j 一1 ， ( 几一1 p 扎) ( 1 2 2 5 ) j = o 命题1 2 1 4 令c 是任意常数，则拿占嗲c = 0 命题1 2 1 5 4 0 p 0 ，u ( t ) c 1 【o 刀，p ，王，r + ，且p + l ，s 1 ，则 d ：d u ( t ) = d ：d ：牡( t ) = d p ”“( t ) ，t 1 0 ，司 证明若“+ 1 ，则由命题1 2 1 5 可得 d # d ：u ( t ) = i 蟹( g d 弘( t ) 一u ( o ) m 一，( t ) ) = g 硝( 孑磷t ( t ) 一缸( o ) m 一，( t ) ) 一p ：( 吼：o h 一，( t ) = g d f + ”t ( t ) 一u ( o ) m 一。一，( t ) = d ? 扣t ( t ) ， 以上用到了【鼍“( t ) 】e o = 0 ，事实上 。：u ( t ) = 可# 习z 一r ) 1 t ，( r ) 打，t 0 ，则 d ：u ( t ) = i ) d 妒d ：1 牡( t ) ，t 【0 ，卅 一 以上p ：苎胁( o ，1 1 ，m 一1 p m z + ，并且存在缸 0 ，t 0 ，n 是大于等于p 的最小整数，如果函数“( t ) 伊f o ，刁，则 o d ( t ) = 宇一d f “( t ) ，t 【o ，t l ， 事实上，乎一i ) l u ( t ) 只有在u ( t ) c ”【o ，卅时有意义，而钍( t ) 在相对较弱的条件 下，o d f u ( t 1 也是有意义的 接着，我们来分析比较一下r i e m a n n - l i o u v i u e 导数和c a p u t o 导数在对经典导 数进行推广的完美性 对于次数为p 0 的r i e m a n n - l i o u v i l l e 导数，竹是大于等于p 的最小整数，有 1 i l n 。o 磁让( t ) 和 = 盅，+ ( 巧呙杀小叫 刁 = 毒，+ 匡卷篙+ 南肛r ，n - # - l u ( n ) 刁 纠”1 ) ( o ) + z 2 牡( 帕， d ，1 4 ( t ) 出“一1 l i mo 三) i 乱( t ) = 粤( 巧b 杀小叫飞打) = ，l i m ( 、芝括。揣+ 而1z c t - r ) “- - l u ( ) d r ) ( 女) ( o ) t p 枇 钍( n ) ( 0 ) t ”一p r ( 一p + k + 1 ) 。r ( n p + 1 ) + 南r c ，n - t a u ( n + 1 ) 打) “脚，一 ：垦 i j 上海大学博士学位论文 = 矿( 。) + z 十1 b ) 打 d m u ( t ) 2 万， 以上分析中用到了r ( 1 ) = 1 ，r ( o ) = o 。，及当七z + 时，r ( - k ) = o o 由以上分析可知，o 占譬在驴_ 1 d 护- 1 和d ，l d 护之间架起了“桥”事实上，当p 为任意实数时，算子o d f 在区间( 一，+ o 。) 上架起了“桥 7 见图1 2 1 而对于c a p u t o 导数来说，有 ，器，+ 。# “( t ) = p 罂1 ) + ( 可熹丽z 。o r ) - - - l u ( - ) ( r ) 打) ， 和 ：，u ( n ( ，) d 丁 j o = u ( n 一1 ( t ) 一“( 川( o ) 牌刚垆- - f ，竖r ( n - u + 1 ) + 南z ( ) - - 一u ( - + n 打) = “( “( o ) + 钍( 1 ( 下) 打= t ( “( t ) 显然d 在区间左端点上有可能和经典导数不吻合见图1 2 ，1 尽管c a p u t o 导数在这一方面显示了它不够完美，但它在7 - 程中却被广泛应用， 下面来看两个初值问题 掣：卜掣l 曲朋。卸锄曲+ ( 1 2 2 6 ) 【 0 硝4 u ( t ) l = u 3 ，自= 1 ，2 、 和 ， d ：乱o ) = ，( u ( t ) ) n 一1 o ， ( 1 2 2 7 ) l 钍( ( o ) = 诺，k = 0 ，1 ，n 一1 对于经典或者分数阶微分方程来讲，一个显著的特征就是必须给定初值来保证解的 唯一性如果我们研究初值问题( 1 2 2 7 ) ，需要考虑初值t ( 0 ) ，牡，( o ) ，t ( ”1 ( 0 ) 上海大学博士学位论文 图1 2 1 说明分数阶微积分与经典微积分吻合情况的草图 这些初值在应用中有清楚的物理意义例如，如果u ( t ) 表示位移，则t ，( t ) 就表示速 度，i l i i u ”( t ) 则表示加速度对于初值问题( 1 2 2 6 ) ，尽管它在数学上是严格的、优 美的，但在分数阶导数没有很好的物理或几何解释的情形下，恰当的给出它的初 值是困难的，这是c a p u t o 导数在工程中被广泛应用的主要原因 1 6 上海大学博士学位论文 第二章分数阶常微分方程解的稳定性、光滑性 ：砭m i t t a g l e f f i e r 表示 本章的前两节讨论在c a p u t o 导数意义下的分数阶常微分方程的稳定性，方 程的阶q ( 0 ，1 ) ，后两节讨论分数阶常微分方程解的可微性、非周期性及m i t t a g - l e f f i e r 表示由于分数阶常微分方程的解在初始点与其它位置具有不同的可微性 2 1 线性分数阶常微分方程的稳定性 在1 9 9 6 年，m a t i g n o n 6 5 】得到了线性分数阶常微分方程的稳定性结果：线性分 数阶常微分方程的解是稳定的当且仅当某个多项式的根位于角扇形区域la r