（计算数学专业论文）分数阶常微分方程组的高阶近似及其应用.pdf

分数阶常微分方程组的高阶近似及其应用 摘要 近年来，分数阶微积分在许多科学技术领域都发挥重要的作用 特别在生物，工程，物理，金融，水文，分数阶控制，聚合体流变 学，黏弹性分数阶导数等领域 1 , 2 ，3 ，4 】，与整数阶模型相比，分数阶 模型的显著优点在于它有着深厚的物理背景。但是，由于缺乏比较 恰当的数学方法，对分数阶计算的理论分析和数值方法的研究还是 比较困难的课题，因此，开展分数阶微分方程数值方法的研究具有 重要的理论意义和实用价值 本文考虑了分数阶常微分方程组的高阶近似法及其应用。第一 章，介绍了分数阶微积分的一些预备知识，并给出分数阶微积分的 一些基本定义和性质。第二章，从一般的分数阶非线性微分方程组 出发，利用r i e m a n - l i o u v i u e 分数阶导数的高阶近似，建立了分数阶 微分方程组的高阶差分格式，来解分数阶非线性常微分方程组第 三章，证明了该方法的收敛性和稳定性第四章，给出数值例子， 证实了分数阶高阶近似法是解分数阶非线性常微分方程组的有效方 法 关键词：分数阶导数；分数阶方程组；高阶近似法； 分数阶常微分方程组的高阶近似及其应用 a b s tr a c t i nr e c e n ty e a r s ，f r a c t i o n a ld e r i v a t i v e sa n di n t e g r a l sp l a ya ni m p o r t a n tr o l e i nv a r i o u sf i e l d so fm o d e ms c i e n c e ，e s p e c i a l l yi nb i o l o g y , e n g i n e e r i n g ，p h y s i c s ， f i n a n c e ，h y d r o l o g y , f r a c t i o n a l - o r d e rc o n t r o l l e r s ，p o l y m e rr h e o l o g y , a n df r a c t i o n a l d e r i v a t i v es c o e l a s t i c t h em o s ts i g n i f i c a n ta d v a n t a g eo ft h ef r a c t i o n a lo r d e r m o d e l si nc o m p a r i s o nw i t hi n t e g e r - o r d e rm o d e l si st h a ti ti sb a s e do ni m p o 卜 t a n tf u n d a m e n t a lp h y 7 s i c a lc o n s i d e r a t i o n s h o w e v e r ，b e c a u s eo ft h ea b s e n c eo f a p p r o p r i a t em a t h e m a t i c a lm e t h o d s ，n u m e r i c a lm e t h o d sa n dt h e o r e t i c a la n a l y - s i so ff r a c t i o n a lc a l c u l a t i o na r es t i l lv e r yd i 伍c u l tt a s k s t h e r e f o r e t h er e s e a r c h o fn u m b e r i c a lm e t h o do ft h ef r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ni so fi m p o r t a n t t h e o r ys i g n i f i c a n c ea n dp r a c t i c a lv a l u e i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h eh i g ho r d e ra p p r o x i m a t i o nm e t h o df o rf r a c - t i o n a lo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n di t sa p p l i c a t i o n s i n t r o d u c t i o ng i v e s s o m eb a c k g r o u n di n f o r m a t i o na b o u tf r a c t i o n a lc a l c u l u sa n dp r e s e n t sb a s i cd e f - i n i t i o n sa n dp r o p e r t i e so ff r a c t i o n a lc a l c u l u s i nc h a p t e r2 , s t a r t i n gf r o mt h e b a s i cn o n l i n e a rf r a c t i o n a lo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，ah i g ho r d e rn u m e v i c a ld i f f e r e n c es c h e m ei sc o n s t r u c t e dt os o l v en o l i n e a rf r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sb yu s i n gh i g ho r d e ra p p r o x i m a t i o n so fr i e m a n - l i o u v i l l ef r a c t i o n a l d e r i v a t i v e i nc h a p t e r3 ，t h ep r o o fo fc o n v e r g e n c ya n ds t a b i l i t yi sg i v e n i n c h a p t e r4 ，n u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r e s e n t e d ，w h i c hv e r i f yt h ee f f i c i e n c yo ft h e a b o v em e t h o d k e y w o r d s ：f r a c t i o n a ld e r i v a t i v e ；f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；h i g h o r d e ra p p r o x i m a t i o nm e t h o d ； 2 厦门大学学位论文原创性声明 本人呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立完成的 研究成果。本人在论文写作中参考其他个人或集体已经发 表的研究成果，均在文中以适当方式明确标明，并符合法 律规范和厦门大学研究生学术活动规范( 试行) 。 另外，该学位论文为() 课题 ( 组) 的研究成果，获得() 课题( 组) 经费 或实验室的资助，在() 实验室完成。( 请在 以上括号内填写课题或课题组负责人或实验室名称，未有 此项声明内容的，可以不作特别声明。) 声明人( 签名) ： y 豸年( - f 心日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人同意厦门大学根据中华人民共和国学位条例暂 行实施办法等规定保留和使用此学位论文，并向主管部 门或其指定机构送交学位论文( 包括纸质版和电子版) ，允 许学位论文进入厦门大学图书馆及其数据库被查阅、借阅。 本人同意厦门大学将学位论文加入全国博士、硕士学位论 文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇 编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于 () 1 经厦门大学保密委员会审查核定的保密学位 论文，于年月日解密，解密后适用上述授权。 () 2 不保密，适用上述授权。 ( 请在以上相应括号内打” ”或填上相应内容。保密学 位论文应是已经厦门大学保密委员会审定过的学位论文， 未经厦门大学保密委员会审定的学位论文均为公开学位论 文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用上述 授权。) 声明人( 签名) ：榴 沙形年【f 月岁日 分数阶常微分方程组的高阶近似及其应用 3 序言 分数微积分的出现已有3 0 0 多年的历史，分数微积分最早有系统化的研 究是由l i o u v i l l e ( 1 8 3 2 ) ，r i e m a n n ( 1 8 5 3 ) 和h o l m g r e n ( 1 8 6 4 ) 完成的，分数微积 分理论是专门研究任意阶积分和微分的数学性质及其应用的领域，2 0 世纪分 数微积分的理论研究和应用有了显著的发展【1 ，2 ，3 ，4 】 近几十年来，在许多科学工程领域中，分数阶计算发挥了越来越重要的 作用，分数阶微分方程已被广泛应用于黏弹性材料睁6 】，电气化学 7 】，电 介质极化【8 】，色噪声【9 】，不规则扩散，信号处理【1 0 】，控制理论 1 】以及混 沌 1 1 】等许多领域，分数阶微分方程也为描述具有记忆与遗传性质的材料及 传送过程提供了极有价值的方法，分数阶微分方程还可以用来解决各种学科 和工程中的动力系统问题，因此越来越受到许多专家和学者的高度重视和兴 趣与整数阶模型相比，分数阶模型的显著优点在于它有着坚实的实用背景和 物理解释，因为在很多物理化学现像中，相对于原有的整数阶模型，用新的分 数阶模型描述的结果会更精确对于整数阶微分方程，相关数值算法理论已比 较成熟，然而对于分数阶模型中的分数阶微分方程，数值算法的研究则刚起步 不久，对分数阶数值算法的探讨仍是一个较难的课题 1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 】 本文考虑了分数阶常微分方程组的高阶近似法，主要分为以下几个部分， 第一章，先给出分数阶微积分的一些预备知识，介绍了分数阶微积分一些基本 定义和性质第二章，讨论的是如下分数阶非线性微分方程组 o d t z t ) = 五( t ，t , 1 ，z 2 ，z 。) ，i = 1 ，2 ，礼， z ( o ) = 砖，0 k m i ，i = 1 ，2 ，n ， 这里m t 。 ， 称为口阶r i e m _ a n n - l i o u v i l l e 分数阶积分其中r ( z ) 为g a r o m a 函数，即 r ( z ) = e - t t 卜1 d t 我们也可以用下列o t 阶g r u n w a l d - l e t n i k o v 分数阶积分 定义1 2 ( g r i i n w a l d - l e t n i k o v 分数阶积分) 假设x ( t ) c a ，6 】，定义 。f 口z ( t ) = 。f 口z ( 亡) = h l i m 。h a 砉 ； z o j ) ，( n h = t - a ) ( 1 2 ) 为q 阶g r i i n w a l d - l e t n i k o v 分数阶积分这里， a 1n ( q + 1 ) ( a + j 一1 ) i ：= 一 【jj j ! 对于分数阶积分，我们可以得到下列性质： 分数阶常微分方程组的高阶近似及其应用 6 ( 1 ) 如果函数x ( t ) 在区间 a ，t 】上连续，则有 口d ；- 口x ( t ) = 譬z ( t ) ( 2 ) 假设导数z ( 膏( t ) ，( k = 1 ，2 ，m + 1 ) 在区间【a ，t 】上是连续的，则 口。f a z c t ，2 薹揣+ r 南。c t 一叼，a + m x ( m + 1 ) c 叩，咖 1 2分数阶导数的定义 这一节，我们给出几个常见的分数阶导数的定义，并给出一些基本性质 定义1 3 ( r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶导数) 设z ( 孟) 是定义在( 口，b ) 上的函 数，m 是自然数，定义 f 筹( 丽b 凼豫) ，m q a ) ， 使得 x ( t ) = t p e ( t ) ，z ( t ) c 【o ，6 】， 则称z ( t ) q 【口 6 1 进一步，若z ( m ( t ) 仅陋，6 】， ( 1 4 ) m n o = n u o ，贝0 称z ( t ) c 翟 口，6 1 分数阶常微分方程组的高阶近似及其应用 则称 定义1 5 ( c a p u t o 分数阶导数) 设m 口m + l ，若z ( ) c 芽1 ( q ，b ) ， 口d ? z ( t ) 赢r 。黜咖，m a - 1 ， ( 1 5 ) 其中c 为任意常数 定义1 6 。( g r i i n w a l d - l e t n i k o v 分数阶导数) 定义在陋，习区间上的函数 x ( t ) 的口( m 口m + 1 ) 阶g r i i n w a l d l e t n i k o v 分数阶导数的定义为 棚雄l i 缈m8 妻( 1 ) 歹( 加坝 j = 0 “7 这里( ；) 表示二次项系数，即 ( ；) = q ( a 一1 ) ( o l 一歹+ 1 ) ( n h = t n )( 1 6 ) 假设导数z ( ( t ) ，( 七= 1 ，2 ，m + 1 ) 在区间【n ，t 】上是连续的，则 。田z ( t ) = j = o黼f(-a k1+ ) f ( - a m( r ) d r 因此，我们可以得到如下c a p u t o 分数阶导数和r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数 阶导数之间的关系 引理1 1 假设m 0 ，我们可以得到 。d f 。( 。d f 卢z ( t ) ) = 口d _ 口一口z ( 亡) 当分数阶积分运算和分数阶导数运算的阶数相同时，利用r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶导数的定义，令m 0 ，利用 r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶导数的定义，先求积分再求导数，则 。d 尹( 。d f 卢z ( t ) ) = 。磁卢z ( ) 先求导数再求积分，则 翮删t ) ) _ n d p 雄) 一塾d 2 - j 球) 】t ；a 苦舄 。d f 卢( 口d z ( t ) ) = 。d 一矽z ( 亡) 一 。z ( t ) 】。；a 喜丢二! 冬! j 亓 当整数阶导数和分数阶导数进行复合运算时，则 毒( 口研z ( t ) ) = 口d 产z ( t ) 聊c 掣h 帆 一萎糕 当分数阶导数之间进行复合运算时，则 口( o 邢) ) = 。w 邢) 一m 善+ l d 讲址：。未i 骞篙 j 2 l 、 分数阶常微缝友程塑收壹险近似垦基堕旦 1 0 第二章分数阶非线性常微分方程组及其数值近似 2 1分数阶非线性常微分方程组 在我们这篇文章中，讨论如下分数阶非线性微分方程组 o d z t ) = ( t ，x l ，z 2 ，z 。) ，i = 1 ，2 ，礼， z ( o ) = 砖，0 k 仇i ，i = 1 ，2 ，n ， ( 2 1 ) 这里他 0 ，p0 ，坳， j = l 且五c 1 ，i = 1 ，2 ，n 。那么方程( 2 1 ) 存在唯一的解虿( t ) ：【o ，列_ r ， 其中 x 划n 黼) v ，( 尚) v 南) ， i = 1 ，n ；k = 1 ，m i ， z = r a i n f 1 ，1 2 ，z 。) ，q = m a x a l ，o t 2 ，q 。) ， 【1 + q 】表示1 + q 的整数部分( 见文献 1 8 】) 我们还可以得到解连续依赖于初始条件的性质 定理2 2 令，= ( ，2 ， ) ：w 一，其中 w = o ，) ( 】i i z j ( o ) 一b ，( o ) + z j ，x + 0 ，如 0 ， j = l 且五c 1 ，i = 1 ，2 ，n 设，= ( ，厶，厶) 满足l i p s c h i t z 条件，即 五( 亡，牙( 亡) ) 一 ( t ，哥( t ) ) i l 1 2 ( t ) 一哥( t ) i ，v i 分数阶常微分方程组的高阶近似及其应用 1 1 假设孟( t ) 和雪( ) 分别是初值问题 d z l ( t ) = ( 磊( ) ) ，z 5 ( o ) = c i ，1 i n ，0 k m t ， d 玑( t ) = 五( 矾( t ) ) ，玉七( o ) = c ；，1 i 礼，0 k m i ， 其中仇t 乏 l = 如 幻恕蜘 现七 一 0 = 砖 = 戤泖烈 分数阶常丝坌查堡塑丝直堕垂型垦基鏖旦 一一1 n 一一一 l u b i c h 2 4 进一步提出了2 6 阶的近似方法： ( t = n h ，2 j = j h ) 其中系数u 1 是下面的相应生成函数叫。( t ) 的泰勒展开系数，p 表示高阶 近似方法的阶数，当p 从1 变到6 ，相应的叫。( t ) 如下： w f 口( ) 叫a ( t ) 叫口( t ) 叫q ( t ) 喇d ( t ) 以口( 幻 t l t j 一 ( 罢_ 2 t + 抄 ( 芸一孔+ 耋t 2 _ 扩1 ) a ( 誓一驰+ 3 t 2 一i t - _ i - 互1 t 4 ) 。 丽1 3 7 - 5 t + 5 t 2 - 1 0 3x a + r 54 一抄1 a ( 等地+ 萼铲警“萼一争扩1 ) 。 修正项加嚣0 = 1 ，p ) 可由下列线性方程组得到： 喜伽等j 9 = f 端舻一q e ，量。w c a ) 一q ，c q 5 。，p 一1 ， 见参考文献【2 4 】 对于上述系数，我们不难得到下列引理 引理2 1 设堙( 七：1 ，2 ) 是相应生成的函数叫a ( t ) 的泰勒展开系 数，也( 七：o ，1 ，2 ) 是1 叫。( t ) 的系数，又 a ：l o u ， u 挚) 0 0 毋 则a 一1 = d 且d k = d ( 妒- 1 ) 1 d od l i d ：i o 幽 l 0 0 1 z 他町 p 触 口 一 九十 一n z n 舢 a h 1 l z 口 d 0 z a d n 一 一，吣 厶址 一 如 分数阶常微分方程组的高阶近似及其应用 证明：设a d = b ，b = ( b 0 ) ，则 瞄0 + 龇，爱 令9 ( t ) = 叫a ( t ) 叫a ( t ) = 1 ，则 夕 ) =( u 乎+ u i q t + ) ( d o + d l t + ) = 乎d o + ( u p d o + 扩d 1 ) t + + ( u f d o + + 毋) d k ) t k + = 1 得管d o = 1 ，坟，j = o ( i 歹) ，故a d = b = e ，且 d k = o ( k 口。1 ) ( 见l u b i c h 2 4 ) 口 现在，我们可以利用上述高阶近似，来得到p 阶扫1 ) 分数阶线性多 步法： 这里0 m l 戗碱+ 1 ，i = 1 ，2 ，3 引进向量记号； x ( t ) = ( z l ( 亡) ，钇( ) ，( 亡) ) r ，f = ( ( t ，x ) ，2 ( t ，x ) ，厶( t ，x ) ) t 引理2 2 。假设五( ) 在区间f o ，列充分可微，则 n p h 吨皆五( t 。一j ) + 一w n j ( 白) 一。砑五( t 。) = o ( h p ) ， j = oj = l 其中i = 1 ，2 ，3 ，t 【o ，卅，q n i = d 0 一a t 一1 ) 证明：见l u b i c h 2 4 】，p 7 0 7 口 因此，我们可以得到下列相容性结论 ( 2 3 ) | | p邶 鸯= p皿k 圹 1 时，有i 胪- 以d i lsg i n l - a l i 口- _ 1 i c 。由于 综上所述 h - 1 盔l 1 ， 竹一( p + 1 )- - ( p + 1 ) i i l l i h , d i | i i x i y 州+ 垆讣归一g i = 0i = 0 d , - - 1 ( 1 一h l c ) bb e 。i t c i i f g + h c l l i e t 怯 = 升1 于是，利用g r o n w a l l 不等式，当h 充分小时，有i i x 。一y 。0 。c 川f g l | 口 分数阶常微分方程组的高阶近似及其应甩一一 2 0 例1 f 。删11 z ：一 i o 磁2 y = t i f o 联3 z ：t l 第四章数值例子 ( 怒如州沪器蚪器t 2 ) ( 器m 刊一2 器蚪2 器t 2 ) 器( 可- x + t z ) 这里x ( o ) = u ( o ) = z ( o ) = 0 ，z 7 ( 0 ) = y r ( 0 ) = 7 ( o ) = 0 ，0 t 1 ，该分 数阶非线性常微分方程组的一组精确解为 ， lz ( t ) = t s t 3 + t 2 y ( t ) = t 5 2 t 3 + 2 t 2 iz ( t ) = t 2 令礼= 1 0 0 ，h = 0 0 1 ，z n ，z n 分别为z ( t ) ，y ( t ) ，z ( t ) 在t = t n 时 的数值解，x ( t 。) ，y ( t 。) ，z ( t 。) 分别为2 ( t ) ，y ( 亡) ，z ( t ) 在t = t 。时的精确解， x 。= ( z 。，) t ，x ( t n ) = ( z ) ，y ( t 。) ，z ) ) 丁，分别取阶数p = 3 ，p = 1 ， 用分数阶高阶近似线性多步法解该方程组得到一组数值解，数值解和精确解 的比较见表1 、表2 和图1 1 ，从数值实验结果上看，和取阶数p = 1 相比， 取阶数p = 3 的逼近效果是相当好的 分数阶常微分方程组的高阶近似及其应用 表1z ( t ) ，可( ) ，z ( t ) 的数值丛犄塑堡塑堡董( 里三3 ) t i z n z ( t 。) il y 。一可( t 。) i i 一z ( t n ) l i i x 。x ( t 。) 1 1 。 2 1 分数阶常微分方程组的高阶近似及其应用 2 2 1 2 0 图1 1 蓝色线为数值解的三维曲线图，红色虚线为精确解的三维曲线图( p = 3 ) 例2 针对一个混沌的分数阶方程组： i 赭= ( 2 5 n + l o ) ( y z ) ， 塞等= ( 2 8 3 5 a ) x x z + ( 2 9 n 一1 ) ， i 籍= x y 一字z ， 这里而d a l = = o d 0 = 1 ，2 ，3 ) ，0 a l ，q 2 ，q 3 1 ，a 0 ，l 】，j u n w e i w a n g 等【1 9 提出了预估校正法，令a 【0 ，1 】，o ：1 = 0 9 8 5 ，q 2 = o 9 9 ，绘出了三个 混沌图 我们也可用分数阶高阶近似线性多步法来解该方程组，令n = 7 0 0 ，h = 0 0 1 ， 并给定三组8 ，8 1 ，a 2 ，a 3 的值，得到其数值解并绘图，见图2 1 ，2 2 、2 3 ， 所得到的图形与j u n w e i w a n g 等【1 9 】绘制的图形相当吻合，可以看出针对 0 q 1 ，q 2 ，口3s1 的情形，用分数阶高阶近似线性多步法解非线性方程组 也是一种行之有效的方法 4 0 3 0 1 0 o 一2 0 2 05 0 5 0 图2 1 当a = 0 2 ，q 1 = o 9 8 5 ，q 2 = 0 9 9 ，q 3 = 0 9 9 时所绘制出的混沌图 4 0 1 0 o 一5 0 4 0 图2 2 当a = 0 8 ，1 2 1 = o 9 8 5 ，q 2 = 0 9 9 ，q 3 = 0 9 9 时所绘制出的混沌图 分数阶常微分方程组的高阶近似及其应用 4 0 3 0 1 0 o - 4 0 柏 5 0 图2 3 当a = 0 9 ，口1 = 0 9 8 5 ，0 2 = o 9 9 ，a 3 = 0 9 9 时所绘制出的混沌图 分数阶常微分方程组的高阶近似及其应用 2 5 总结 本文考虑了分数阶非线性常微分方程组( 2 1 ) ，首先，利用c a p u t o 分数 阶导数和r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶导数之间的关系，以及r i e m a n - l i o u v i l l e 分数阶导数的高阶近似，建立分数阶非线性常微分方程组的高阶差分格式，求 出该方程组的其数值解，并证明了该数值方法的相容性、收敛性和稳定性，同 时给出了数值例子，所举的数值例子也证实了分数阶高阶近似法是解分数阶 非线性常微分方程组的一个有效方法 分数阶常微分方程组的高阶近似及其应用 r e f e r e n c e s 参考文献 1 】i p o d l u b n y , f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m ，a c a d e i n i cp r e s s ，1 9 9 9 【2 】2i p o d l u b n y , g e o m e t r i ca n dp h y s i c a li n t e r p r e t a t i o no ff r a c t i o n a li n t e - g r a t i o na n df r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a t i o n j 。f r a c t i o n a lc a l c u l u s a p p l i e d a n a l y s i s ，2 0 0 2 ，( 5 ) ，n o4 ：3 6 7 - 3 8 6 3 k b o l d h a ma n dj s p a n i e r ，t h ef r a c t i o n a lc a l c u l u s ；【m 】，a c a d e m i c p r e s s ，1 9 7 4 【4 】k s m i l l e ra n db r o s s ，a ni n t r o d u c t i o nt ot h ef r a c t i o n a lc a l c u l u sa n d f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m ，j o h nw i l e y , n e wy o r k ，1 9 9 3 【5 】5r l b a g l e ya n dr a c a l i c o f r a c t i o n a lo r d e rs t a t ee q u a t i o n sf o rt h e c o n t r o lo fv i s c o e l a s t i c s t r u c u r e s 【j 】，j o u r n a lo fg u i d a n c e ，c o n t r o l ，a n dd y - n a m i c s ，1 9 9 9 ，1 4 ( 2 ) 【6 】r c k o e l l e r a p p l i c a t i o no ff r a c t i o n a lc a l c u l u st ot h et h e o r yo f v i s c o e l a s - t i c i t y j ，j o u r n a lo fa p p l i e dm e c h a n i c s ，1 9 8 4 ，5 1 ：2 9 9 3 0 7 【7 】n a g a y a n a g iy i c h i s e ，m a n dt k o j i m a a na n a l o gs i m u l a t i o no fn o n - i n t e g e ro r d e rt r a n s f e rf u n c t i o n sf o ra n a l y s i so fe l e c t r o d ep r o c e s s e s ( j j ，j o u r - h a lo fe l e c t r o a n a l y t i c a l c h e m i s t r yi n t e r f a c i a le l e c t r o c h e m i s r y , 1 9 7 1 ，3 3 ： 2 5 3 - 2 6 5 【8 o n a r a ln a n dt s a oy s u n ，h 雷a p p l i c a t i o no fp o s i t i o nr e a l i t y p r i n c i p l e t om e t a le l e c t r o d el i n e a rp o l a r i z a t i o np h e n o m e n a 。【j 】，i e e e t r a n s a c t i o n s o nc i o m e d i c a le n g i n e e r i n g ，9 8 4 ，3 1 ( 1 0 ) ：6 6 4 6 7 4 2 6 分塾堕堂丝坌立墨塑丝直堕重型壁基堕旦 2 7 一一一一一一一 f 9 1a b d e l w a h a ba a s u n ，h 直a n db o n a r a l l i n e a ra p p r o x i m a t i o no f t r a n s f e rf u n c t i o nw i t hap o l eo f f r a c t i o n a lo r d e r mi e e e t r a n a c t i o n so i l a u t o m a t i cc o n t r o l ，1 9 8 4 ，2 9 ( 5 ) ：4 4 1 4 4 4 f 1 0 r j m a r ka n dm w h a l l d i f f e r e n t e g r a li n t e r p o l a t i o nf r o m ab a n d l i m i t e d s i g n a l ss a m p l e s j 】i e e et r a n s a c o u s t ，s p e e c hs i g n a lp r o c e s s i n g ，1 9 8 1 ， 2 9 ：8 7 2 - 8 7 7 。 f 1 1 1 b m a n d e l b r o t s o m en o i s e sw i t h 专s p e c t r u m ，ab r i d g r eb e t w e e nd i r e c t c u r r e n t a n dw h i t en o i s e j 】，i e e et r a n s a c t i o n so ni nf o r m a t i o nt h e o r y , 1 9 6 7 ，1 3 ( 2 ) ：2 8 9 2 9 8 【1 2 】r l i na n df l i u ，h i g ho r d e ra p p r o x i m a t i o n sf o rt h ef r a c t i o n a lo r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hi n i t i a lv a l u ep r o b l e m j ，j o u r n a lo fx i a m e nu n i - v e r s i t y ( n a t u r a ls c i e n c e ) ，2 0 0 4 ，( 4 3 ) ，n o 。l ：2 5 3 0 1 3 1f l i u ，v a n ha n di t u r n e r ，n u m e r i c a ls o l u t i o no ft h ef r a c t i o n a l - o r d e r a d v e c t i o n - d i s p e r s i o ne q u a t i o n j ，t h ep r o c c e d i n go fa ni n t e r n a t i o n a l c o n f e r e n c eo nb o u n d a r ya n di n t e r i o rl a y e r s c o m p u t a t i o n a la n da s y m p - t o t i cm e t h o d s ，p e r t h ，a u s t r a l i a ，2 0 0 2 ：1 5 9 1 6 4 f 1 4 1f l i u ，v a n h ，i t u r n e r ，n u m e r i c a ls o l u t i o no ft h es p a c ef r a c t i o n a l f o k k e r p l a n c ke q u a t i o n j ，j o u r n a lo fc o m p u t a t i o n a la n da p p l i e dm a t h - e m a t i c s ，2 0 0 4 ，( 1 6 6 ) ：2 0 9 2 1 9 f 1 5 1f l i u ，v a n h ，i 。t u r n e ra n dp iz h u a n g ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o nf o rs o l u t e t r a n s p o r ti nf r a c t a lp o r o u sm e d i a j l ，a n z i a mj ，2 0 0 4 ，4 5 ( e ) ：4 6 1 4 7 3 f 1 6 f m a i n a r d i ，o nt h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mf o rt h ef r a c t i o n a ld i f f u s i o n - w a v e e q u a t i o n j ，i n ：s r i o n e r o ，t r u g g e r i ( e d s ) ，w a v e sa n ds t a b i l i t yi n c o n t i n u o u sm e d i a ，w o r l ds c i e t i f i c ，s i n g a p o r e ，1 9 9 4 ：2 4 6 - 2 5 1 分数阶常微分方程组的高阶近似及其应用 【1 7 】s s h e na n df l i u ，af u l l yd i s c r e t ed i f f e r e n c ea p p r o x i m a t i o nf o rt h et i m e f r a c t i o n a ld i f f u s i o ne q u a t i o n ，c o m p u t a t i o n a lm e c h a n i c s c ，w c c mv ii n c o n j u n c t o nw i t ha p c o m 0 4 ，2 0 0 4 ，i d 一7 9 【1 8 】v a r s h ad a f t a r d a r - g e j j i ，h o s s e i nj a f a r i a n a l y s i so fas y s t e mo fn o n a u - t o n o m o u sf r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si n v o l v i n gc a p u t od e r i v a t i v e s j j m a t h a n a l a p p l ，2 0 0 7 ，3 2 8 ：1 0 2 6 - 1 0 3 3 【1 9 】j u n w e iw a n g ，y a n b i nz h a n g d e s i g n i n gs y n c h r o n i z a t i o ns c h e m e sf o r c h a o t i cf r a c t i o n a l - o r d e ru n i f i e ds y s t e m s j c h a o s ，s o l i t o n sa n df r a c t a l s ， 2 0 0 6 ，3 0 ：1 2 6 5 - 1 2 7 2 2 0 】s h a h e rm o m a n i ，k a m e la 1 - k h a l e d n u m e r i c a ls o l u t i o n sf o rs y s t e m so f f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i