（计算数学专业论文）几类参数曲线的几何性质分析方法研究.pdf

西北下业大学硕 】 : 学位论文 摘要 在计算机辅助几何设计的光顺曲 线造型中，不希望曲线带有二重结点、尖 点及多余拐点， 因此对参数曲线的几何性质( 包括奇、 拐点分布及凸性等) 的研究 是控制其曲线形状的关键。关于三次代数多项式参数曲线的这 一 问题早己解决， 然而所f il 的几何不变量方法对于非代数曲线失效。 本文研究了一种基于包络理论和连续映射的方法， 该方法指出了 尖点条件线 是拐点区域的包络曲线， 并且通过连续映射巧妙地得到了重结点区域， 所以对于 三次代数曲线与四阶非代数曲线都是适用的。 文中用此方法分析了一些曲线的重 要几何性质， 即曲线段上含有尖点、 重结点和拐点以及不含这些点的川控制顶点 相对位置表示的充分必要条件。主要工作如下: l . 第一次 得到了以l , r , v ( t ) , rv ( t ) 为 基函 数的 平面参数曲 线的奇、 拐点 分布及r , 性的充分必要条件;构造了相应的 b e z i e r 型曲线和 b样条型曲线，并讨论了它 们的性质。 2 . 研究了 一 般平面 c 一 曲线、c - b e z i e r曲线、c - b样条曲线、有理 c - b e z i e r 曲线和有理 c - b样条曲线的奇、拐点分布及凸性性质，得出了这些曲线上含有 尖点、 重结点和拐点以及不含这些点的用其控制顶点的相对位置表示的充分必要 条件， 所用方法比文【 1 5 的分析方法几何直观性强，比其得到的形状分布图区域 划分简单且易于判断， 同时还讨论了形状参数( 或权因子) 变化对奇拐点区域的影 响。 3 . 给出了整圆、 个周期上的摆线及正弦曲线的三次均匀 c - b样条表示，随 着样条节点的增加， 控制多边形越来越逼近生成曲线，比文【 1 6 与【 1 8 的逼近度 优越的多。 4 . 系统地分析了空间四次多项式曲 线和空间四次 b e z i e r曲线的奇点和泛拐 点的性质， 得到了曲线上含有尖点、 重结点和泛拐点以及不含这些点的充分必要 条件，解决了空间四次多项式曲线的几何性态问题。 关键词:包络;连续映射;尖点;重结点;拐点;泛拐点: c 一 曲线:b e z ie r 曲线 儿类参数曲线的儿何性质分析方法研究 ab s t r a c t i t i s u n d e s i r a b l e t h a t t h e r e o c c u r s i n g u l a r i t i e s o r u n w a n t e d i n fl e c t i o n p o i n t s o n c u rve s w h e r e o n e w a n t s t o d e s i g n f a ir c u rv e s i n c o m p u t e r a i d e d g e o r r i e t i c d e s i g n h e n c e t h e s t u d y o f g e o m e t r i c p r o p e r t i e s , w h i c h i n c l u d e t h e d i s t r i b u t i o n o f s i n g u la r a n d i n fl e c t i o n p o i n t s a n d t h e c o n v e x i t y o f p a r a m e t r i c c u r v e s , i s t h e k e y f o r d e s i g n e r t o c o n t r o l t h e c u r v e s s h a p e . t h is p r o b l e m o f p l a n a r p a r a me t r i c p o l y n o m i a l c u rv e o f d e g r e e 3 h a d b e e n d is c u s s e d p e r f e c t ly m a n y y e a r s a g o , m a k in g u s e o f i n v a r ia n t o f a f f i n e t r a n s f o r m a t i o n . b u t t h e m e t h o d o f a f f i n e i n v a r ia n t m a y b e n o u s e t o n o n - a l g e b r a i c p la n a r c u r v e s . i n t h i s p a p e r , t h e me t h o d , w h ic h i s b a s e d o n t h e t h e o ry o f e n v e l o p e a n d c o n t i n u o u s m a p , i s i n v e s t ig a t e d . a c c o r d i n g t o t h is m e t h o d , c o n d it i o n a l c u rv e o f c u s p s i s e n v e l o p e c u r v e o f t h e d i s t r i b u t i o n r e g i o n o f i n fl e c t i o n p o i n t s , a n d t h e d i s t r i b u t i o n r e g io n o f l o o p s o n l y c a n b e e a s i l y o b t a i n e d w i t h a i d o f c o n t in u o u s m a p . t h i s m e t h o d i s e f f e c t i v e n o t f o r a l g e b r a ic p a r a m e t r i c c u rv e s o f d e g r e e 3 , b u t a l s o f o r n o n - a l g e b r a i c p l a n a r c u r v e s o f o r d e r 4 . a p p l y i n g t h e m e t h o d t o s o m e c u r v e s , w e o b t a in t h e n e c e s s a r y a n d s u f fi c ie n t c o n d it i o n s f o r t h o s e c u r v e s c o n t a i n i n g o r n o t c o n t a i n i n g c u s p , l o o p , a n d i n fl e c t i o n p o i n t i n t e r m s o f t h e r e l a t i v e p o s i t i o n o f t h e i r c o n t r o l v e r t i c e s . ma j o r w o r k s a r e a s f o l l o ws : f i r s t l y , t h e p r o p e r t ie s o f s i n g u l a r a n d i n fl e c t io n p o i n t s o n t h e g e n e r a l c u r v e , w h i c h a r e t h e l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f t h e b a s i s f u n c t i o n s l , t , 9 ( t ) a n d y r ( t ) , a r e d i s c u s s e d . c u rve s w h o s e f o r m s a r e s i m i la r t o b e z i e r c u r v e o r b - s p l i n e s e g m e n t a r e c o n s t r u c t e d b a s e d o n t h e s a m e f u n c t i o n s , t h e i r p r o p e r t ie s a r e a l s o d i s c u s s e d . s e c o n d l y , t h e g e o m e t r i c p r o p e rt ie s o f p la n a r c - c u rve , c - b e z i e r c u r v e , c - b - s p l i n e s e g m e n t , r a t i o n a l c - b e z i e r c u r v e a n d r a t io n a l c - b - s p l i n e s e g m e n t a r e o b t a i n e d , i n c l u d i n g t h e d i s t r i b u t i o n o f c u s p s , l o o p s , i n f e c t i o n p o i n t s o n t h o s e c u r v e s , a n d n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t c o n d it i o n s f o r t h o s e c u r v e s c o n t a i n i n g o n e o r t w o i n fl e c t io n p o in t s , o r . a l o o p , o r a c u s p , o r n o n e o f t h e a b o v e p o i n t s in t e r m s o f t h e r e l a t i v e p o s i t i o n o f t h e i r c o n t r o l p o ly g o n s . t h e m e t h o d w e u s e d i s m o r e g e o m e t r ic a l ly v i s u a l t h a n t h a t u s e d i n 1 5 , o u r r e s u l t s a r e s i m p l i e r a n d e a s ie r t o j u d g e . we a l s o 1 1 西北工业大学硕 l : 学位论文 i n v e s t i g a t e d t h e i n fl u n c e s o f s h a p e p a r a m e t e r o r w e i g h t c o e f f ic i e n t s o n d i s t r i b u t i o n o f s i n g u l a r a n d in f l e c t i o n p o i n t s . t h ir d l y , p e r i o d b y w e o b t a i n t h e r e p r e s e n t a t i o n s o f i n t e g r a l u n i f o r m c - b - s p l i n e so f d e g r e e g e n e r a t e d 3 , a l o n g c ir c l e , c y c l o i d a n d s i n u s o id o n a w i t h a d d i n g c o n t r o l p o i n t s t h e c o n t r o l p o l y g o n s a p p r o a c h t h ec u r v e s , t h e a p p r o x i m a t i o n a c c u r a c i e s a re b e tt e r t h a n t h a t i n 1 6 a n d 1 8 . l a s t ly , w e d i s c u s s d i s t r i b u t i o n s o f s in g u l a r i t ie s a n d g e n e r a l i n fl e c t i o n p o i n t s o n s p a t i a l p o l y n o mi a l c u r v e o f d e g r e e 4 a n d s p a t i a l b 6 z i e r c u r v e o f d e g r e e 4 i n d e t a i ls , a n d o b t a in t h e n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t c o n d it i o n s f o r t h o s e c u r v e s c o n t a i n in g o r n o t c o n t a i n i n g s i n g u l a r it i e s a n d g e n e r a l i n fl e c t i o n p o i n t s . s o t h e g e o m e t r i c p r o b l e m s o f s p a t i a l c u r v e s o f d e g r e e 4 a r e s o l v e d . k e y w o r d s : e n v e l o p e ; c o n t i n u o u s m a p ; s in g u l a r p o in t ; l o o p ; i n f e c t i o n p o i n t ; g e n e r a l i n f e c t i o n p o i n t ; c - c u r v e ; b 6 z i e r c u r v e i i i a北t业大学硕 t : 学位论文 第一章 绪论 1 . 1概述 计算 机辅助n何设 计( c o m p u t e r a id e d g e o m e t r i c d e s i g n , 缩写c a g d ) 这一 术语又巴 恩希尔( b a r n h i l l ) 与 里森费 尔德( r ie s e n f e l d ) 1 9 7 4年在美国犹太( u t a h ) 大 学 的 一次 国 际 会 议 上 提 出 ， 以 描 述计 算 机 辅 助 设 计 ( c o m p u te r a id e d d e s ig n ) 的 更 多的数学方面，因此加上 “ 几何”的修饰词，在当时其含义包括曲线、曲面和实 体的 表示及其在实时 显示条件下 的设计， 也 扩展到 某些方面， 例如四 维曲 面的 表 示与显示。自 此以后计算机辅助几何设计 开始以一门独立的学科出现。 计算机辅 助几何设计是随着航空、 汽车等现代工业发展与计算机的出现而产生与发展起来 的 一 门新兴学科，其主要研究对象是工业产品的几何形状。 工业产品的形状大致上可分为两类或由 这两类组成: 类是仅由初等解析曲 面， 例如平面、圆柱面、圆锥面等组成。 大多数机械零件属于这一 类 ，它们都可 以 用画法几何与机械制图完全清楚表达表达和传递所包含的全部形状信息。 第二 类是不能由初等解析曲面组成， 而以复杂方式自由变化的曲线曲面即自由型曲线 曲面组成，如汽车、飞机、船舶的外型零件。 1 9 6 3 年 f e r g u s o n 提出了 将曲 线、曲 面 表示成参 数矢函 数的方 法， 最早引 入 了 参数 三次曲 线和有四 角点的位 置矢量 及两个 方向 切矢定 义的 f e r g u s o n双 三次 曲面片。1 9 6 4年，麻省理z学院的 c o o n s 提出了给定围成封闭曲线的四条边界 就可以定 义一块曲 面片 的方法。 c o o n s 双三 次曲 面片和f e r g u s o n 双 三次曲 面 片都 存在形状控制与连接的问题e 1 9 7 1 年法国r e n a u l t 汽车公司的 b d z i e r 提出利川控 制多边形定义曲线的方法， 可以很方便的控制曲线的形状， 但曲线上任 点 都与 所有控制顶点相关， 因此对控制多边形的任何修改都会影响曲线的整体形状。 7 0 年代 初， d e b o o r , g o r d o n 和r ie s e n f e l d 等人发 展了b 样条曲 线曲 面的 理论与 算法。 b样条方法不仅继承了b e z i e : 曲线的大部分优点， 而且允许对曲 线曲面进行局部 修改。 但是上述各方法均不能精确表示圆锥曲 线和球面、椭球面等初等二次曲面， 为 此， v e r s p r i l l 于 1 9 7 5 年 提出了 有 理 b样条 方法。随 后， 主要由 于 l . p i g e l 和 a北t业大学硕 t : 学位论文 第一章 绪论 1 . 1概述 计算 机辅助n何设 计( c o m p u t e r a id e d g e o m e t r i c d e s i g n , 缩写c a g d ) 这一 术语又巴 恩希尔( b a r n h i l l ) 与 里森费 尔德( r ie s e n f e l d ) 1 9 7 4年在美国犹太( u t a h ) 大 学 的 一次 国 际 会 议 上 提 出 ， 以 描 述计 算 机 辅 助 设 计 ( c o m p u te r a id e d d e s ig n ) 的 更 多的数学方面，因此加上 “ 几何”的修饰词，在当时其含义包括曲线、曲面和实 体的 表示及其在实时 显示条件下 的设计， 也 扩展到 某些方面， 例如四 维曲 面的 表 示与显示。自 此以后计算机辅助几何设计 开始以一门独立的学科出现。 计算机辅 助几何设计是随着航空、 汽车等现代工业发展与计算机的出现而产生与发展起来 的 一 门新兴学科，其主要研究对象是工业产品的几何形状。 工业产品的形状大致上可分为两类或由 这两类组成: 类是仅由初等解析曲 面， 例如平面、圆柱面、圆锥面等组成。 大多数机械零件属于这一 类 ，它们都可 以 用画法几何与机械制图完全清楚表达表达和传递所包含的全部形状信息。 第二 类是不能由初等解析曲面组成， 而以复杂方式自由变化的曲线曲面即自由型曲线 曲面组成，如汽车、飞机、船舶的外型零件。 1 9 6 3 年 f e r g u s o n 提出了 将曲 线、曲 面 表示成参 数矢函 数的方 法， 最早引 入 了 参数 三次曲 线和有四 角点的位 置矢量 及两个 方向 切矢定 义的 f e r g u s o n双 三次 曲面片。1 9 6 4年，麻省理z学院的 c o o n s 提出了给定围成封闭曲线的四条边界 就可以定 义一块曲 面片 的方法。 c o o n s 双三 次曲 面片和f e r g u s o n 双 三次曲 面 片都 存在形状控制与连接的问题e 1 9 7 1 年法国r e n a u l t 汽车公司的 b d z i e r 提出利川控 制多边形定义曲线的方法， 可以很方便的控制曲线的形状， 但曲线上任 点 都与 所有控制顶点相关， 因此对控制多边形的任何修改都会影响曲线的整体形状。 7 0 年代 初， d e b o o r , g o r d o n 和r ie s e n f e l d 等人发 展了b 样条曲 线曲 面的 理论与 算法。 b样条方法不仅继承了b e z i e : 曲线的大部分优点， 而且允许对曲 线曲面进行局部 修改。 但是上述各方法均不能精确表示圆锥曲 线和球面、椭球面等初等二次曲面， 为 此， v e r s p r i l l 于 1 9 7 5 年 提出了 有 理 b样条 方法。随 后， 主要由 于 l . p i g e l 和 儿类参数曲线的儿何性质分析方法研究 w . t i l l e r 等人的 功绩， 至二i - 世纪 八 【 年代后 期， 非均匀 有理b 样条方法 ( n u r b s ) 成为用于曲线、 曲面描述最广为流行的技术。 n u r b s 方法将有理和非有理 b e z ie r 曲线曲面、 b样条曲线曲面及圆锥曲线和初等二次曲面统 一 在一 俐，表示之中， 因 而在 c a d / c a m系统一 卜 可采) 1 1 统的数据库。 鉴十n u r b s 在形状定义方面的强 大 功能和 潜力， 国 际标准组 织( i s o ) 继 美国的p d e s 标准 之后， 于1 9 9 1 年颁 布了 关于工业产品的数据交换的 s t e p 国际标准， 将 n u r b s 作为定义工业产品几何 形状的唯一数学描述方法。 然而n u r b s 方法的权因子、 参数化等问题至今没有完全解决， 重复求导后 所得曲线的次数非常高， 容易导致数值计算的不稳定，尤其 n u r b s曲 线不能精 确表示 c a d / c a m 中广为使用的摆线、螺旋线等超越曲线。为此许多学者给出 了 新的非 多项式空问的一 些基函 数用 来取 代n u r b s 基. s c h u m a k e r 于1 9 8 1 年就 研究了 许多非多 项式的 基函 数m ， 文 2 对指数的 b 一 样条进行了 研究， p o t t m a n 和w a g n e r ( 1 9 9 4 ) 提出 t h e l ix 样 条 ， ， 张 纪 文 ( 1 9 9 6 )构 造 了c - b e z ie r 曲 线 和c -b 样条曲线 4 - s 1 . 2本文的研究内容 1 . 2 . 1 研究日的 在 c a g d的曲线造型i i i ，不希望曲 线带有二重结点、尖点及多余拐点，因 此 对参数曲 线的 几何性 质( 包括奇、 拐点 分布及凸 性等) 的 研究是 控制其曲 线形 状 的关键。 刀 u 么控制多边形是如何影响曲 线的几何性质?这个问题首先由苏步青与 刘鼎元(, ) 利用几何不变量的方法讨论了平面 三次 埃尔米特( h e r m i t e ) 插值曲 线的 几何 特征并给出了 完满的 解决; 汪 嘉业18 1 ) 1 代数的 方法分 析了一 般平面三次 参数 曲 线 及平面三次b 样条曲 线的 形状分 类: 施法i 1 1 9 研究了 平面 三次b e z ie : 曲 线的 几何特征并指出各区域边界线所属的区域。 以上所得平面三次参数曲线的形状分 类图 是一 致的( 见【 1 0 ) 。 前述力 一 法 对于以 代数多 项式为 基的 参 数曲 线的几何 性 质 的分析无疑是成功的，但是对于非代数曲线( 例如 c 一 曲线) 该方法失效。本文利 川文【 1 1 - 1 3 , 1 1 所提出的 基于 包络理论 和拓扑 映射的方 法研究了 类四阶参 数曲 线的几何性质，即曲线上的奇、拐点分布及凸性性质。 1 . 2 . 2 本文的工 作 儿类参数曲线的儿何性质分析方法研究 w . t i l l e r 等人的 功绩， 至二i - 世纪 八 【 年代后 期， 非均匀 有理b 样条方法 ( n u r b s ) 成为用于曲线、 曲面描述最广为流行的技术。 n u r b s 方法将有理和非有理 b e z ie r 曲线曲面、 b样条曲线曲面及圆锥曲线和初等二次曲面统 一 在一 俐，表示之中， 因 而在 c a d / c a m系统一 卜 可采) 1 1 统的数据库。 鉴十n u r b s 在形状定义方面的强 大 功能和 潜力， 国 际标准组 织( i s o ) 继 美国的p d e s 标准 之后， 于1 9 9 1 年颁 布了 关于工业产品的数据交换的 s t e p 国际标准， 将 n u r b s 作为定义工业产品几何 形状的唯一数学描述方法。 然而n u r b s 方法的权因子、 参数化等问题至今没有完全解决， 重复求导后 所得曲线的次数非常高， 容易导致数值计算的不稳定，尤其 n u r b s曲 线不能精 确表示 c a d / c a m 中广为使用的摆线、螺旋线等超越曲线。为此许多学者给出 了 新的非 多项式空问的一 些基函 数用 来取 代n u r b s 基. s c h u m a k e r 于1 9 8 1 年就 研究了 许多非多 项式的 基函 数m ， 文 2 对指数的 b 一 样条进行了 研究， p o t t m a n 和w a g n e r ( 1 9 9 4 ) 提出 t h e l ix 样 条 ， ， 张 纪 文 ( 1 9 9 6 )构 造 了c - b e z ie r 曲 线 和c -b 样条曲线 4 - s 1 . 2本文的研究内容 1 . 2 . 1 研究日的 在 c a g d的曲线造型i i i ，不希望曲 线带有二重结点、尖点及多余拐点，因 此 对参数曲 线的 几何性 质( 包括奇、 拐点 分布及凸 性等) 的 研究是 控制其曲 线形 状 的关键。 刀 u 么控制多边形是如何影响曲 线的几何性质?这个问题首先由苏步青与 刘鼎元(, ) 利用几何不变量的方法讨论了平面 三次 埃尔米特( h e r m i t e ) 插值曲 线的 几何 特征并给出了 完满的 解决; 汪 嘉业18 1 ) 1 代数的 方法分 析了一 般平面三次 参数 曲 线 及平面三次b 样条曲 线的 形状分 类: 施法i 1 1 9 研究了 平面 三次b e z ie : 曲 线的 几何特征并指出各区域边界线所属的区域。 以上所得平面三次参数曲线的形状分 类图 是一 致的( 见【 1 0 ) 。 前述力 一 法 对于以 代数多 项式为 基的 参 数曲 线的几何 性 质 的分析无疑是成功的，但是对于非代数曲线( 例如 c 一 曲线) 该方法失效。本文利 川文【 1 1 - 1 3 , 1 1 所提出的 基于 包络理论 和拓扑 映射的方 法研究了 类四阶参 数曲 线的几何性质，即曲线上的奇、拐点分布及凸性性质。 1 . 2 . 2 本文的工 作 西北t业人学硕 卜 学位论文 文中包括以下内容: 第一章绪论简要回顾了计算机辅助几何设计的发展过程， 引入本文的研究口 的及研究内容。 第 二章第一次得到了以1 , t , m ( t ) , v ( t ) 为 基函数的 平面参数曲 线的奇、 拐点 分 布及凸性的充分必要条件;构造了相应的 b e z ie : 型曲 线和b样条型曲线，并讨 论了它们的性质。 第三章研 究了 般 平面c 一 曲 线、 c - b e z ie : 曲线、 c - b 样条曲 线、 有理c - b e z ie r 曲 线和有理c - b样条曲线的奇、 拐点分布及凸性性质， 得出了这些曲线上含 有尖点、 重结点和拐点以及不含这些点的用其控制顶点的相对位置表示的允分必 要条 件， 所川方法比文 1 5 1 的分 析方法 几何直 观性强， 比 其 得到的 形状分 布图 区 域划分 简单且易 于判断， 同时 还讨论了 形 状参数( 或 权因子) 变化对奇拐点区 域的 影响。另外给出了整圆、一个周期上的摆线及正弦曲线的三次均匀 c - b样条表 示，随 着样条 节点的 增加， 控制多 边 形越来越逼近生成曲 线，比 文【 1 6 与 1 8 1 的逼近度优越的多。 第四章系统地分析了空问四次多项式曲线和空间四次 b e z i e :曲线的奇点和 泛拐点的性质， 得到了曲线上含有尖点、 重结点和泛拐点以及不含这些点的充分 必要条件，解决了空间四次多项式曲线的几何性态问题。 第五章是全文总结。 儿类参数曲线的儿何性质分析方法研究 第二章 一类四阶参数曲线 2 . 1以1, t , p (a t) , yr ( a t) 为基的b e z i e r 型曲线b 一 样条型曲线 由于生产实践的需要，许多学者仍然不断探索着新的曲线曲面构造方法， s c h u m a k e r 于1 9 8 1 年就研究了 许多非多 项式的 基函 数i l l ， 文 2 1 对指数的b 一 样 条 进行了 研究，p o tt m a n和 w a g n e r ( 1 9 9 4 ) 提出了 h e l ix样条 ， ， ， 张纪文( 1 9 9 6 ) 以 1 , t , s i n t , c o s t 为基 底构 造了c 一 曲 线即c - b e z ie r 曲 线 和 c - b 样条曲 线 4 - 5 ) 。 本节 考 虑以1 , t , ip ( a t ) , y r ( a t ) 为基的参数曲 线的b e z ie r 型 表示和b 一 样条型 表示。 2 . 1 . 1 以1 , t , v ( a t ) , y r ( a t ) 为 基的b e z i e r 型 参数曲 线 设 r ( t ) = p , + tp , + ,p ( a t ) p , + g r ( a t ) p 0 :5 t 1 ( 2 . 1 一 i ) 其 一， a # 0 , (p ,yr e c 2 . 令r ( t) 满 足 如 下 端 点 性 质 : ! r ( 0 ) = r . , r ( 1 ) = r , , r ( 0 ) = a ( r , 一 r . ) , r ( 1 ) = p ( r , 一 r 2 ) . 由 ( 2 . 1 - 2 ) 可 得: p o 十 k0 ) p 2 + v w ( 0 ) p s =r. 1 p o + p i + t9 ( a ) p 2 + v ( a ) p , = r , , p , + a p ( 0 ) p , + a y i ( 0 ) 几= a ( 一 r . ) , p ， 十 a q ( a ) p 2 + a y i ( a ) p ; = f t ( ,. 一 r ) . ( 2 . 1 - 2 ) 其中a , k 为 大于零的 常数， ( 2 . 1 - 3 ) 解( 2 . 1 - 3 ) 可得: r . ) 十 产 a ad 一 b c ( r ,. 一 r . ) , r . ) 一 产 b ad 一 bc ( r 一 r 2 ) ,( 2 . 1 - 4 ) v ( ) ) p ; 其 儿类参数曲线的儿何性质分析方法研究 第二章 一类四阶参数曲线 2 . 1以1, t , p (a t) , yr ( a t) 为基的b e z i e r 型曲线b 一 样条型曲线 由于生产实践的需要，许多学者仍然不断探索着新的曲线曲面构造方法， s c h u m a k e r 于1 9 8 1 年就研究了 许多非多 项式的 基函 数i l l ， 文 2 1 对指数的b 一 样 条 进行了 研究，p o tt m a n和 w a g n e r ( 1 9 9 4 ) 提出了 h e l ix样条 ， ， ， 张纪文( 1 9 9 6 ) 以 1 , t , s i n t , c o s t 为基 底构 造了c 一 曲 线即c - b e z ie r 曲 线 和 c - b 样条曲 线 4 - 5 ) 。 本节 考 虑以1 , t , ip ( a t ) , y r ( a t ) 为基的参数曲 线的b e z ie r 型 表示和b 一 样条型 表示。 2 . 1 . 1 以1 , t , v ( a t ) , y r ( a t ) 为 基的b e z i e r 型 参数曲 线 设 r ( t ) = p , + tp , + ,p ( a t ) p , + g r ( a t ) p 0 :5 t 1 ( 2 . 1 一 i ) 其 一， a # 0 , (p ,yr e c 2 . 令r ( t) 满 足 如 下 端 点 性 质 : ! r ( 0 ) = r . , r ( 1 ) = r , , r ( 0 ) = a ( r , 一 r . ) , r ( 1 ) = p ( r , 一 r 2 ) . 由 ( 2 . 1 - 2 ) 可 得: p o 十 k0 ) p 2 + v w ( 0 ) p s =r. 1 p o + p i + t9 ( a ) p 2 + v ( a ) p , = r , , p , + a p ( 0 ) p , + a y i ( 0 ) 几= a ( 一 r . ) , p ， 十 a q ( a ) p 2 + a y i ( a ) p ; = f t ( ,. 一 r ) . ( 2 . 1 - 2 ) 其中a , k 为 大于零的 常数， ( 2 . 1 - 3 ) 解( 2 . 1 - 3 ) 可得: r . ) 十 产 a ad 一 b c ( r ,. 一 r . ) , r . ) 一 产 b ad 一 bc ( r 一 r 2 ) ,( 2 . 1 - 4 ) v ( ) ) p ; 其 西a 匕 工业大学硕士学位论文 a d 一 b c # 0 , a = f ( 0 ) , c = f ( 1 ) 一 . f ( 0 ) , b = g ( 0 ) , c = g ( 1 ) 一 g ( 0 ) , f ( t ) = rp ( a r ) 一 ( 1 一 t ) p ( o ) 一 t (p ( a ) , g ( t ) = +t r ( a t ) 一 ( 1 一 t ) y r ( 0 ) 一 t y r ( a ) . 将( 2 . 1 - 4 ) 代入( 2 . 1 一 1 ) 并整理可 得: r ( t) 一 艺f ,( t) r 0 _ t - 1 ( 2 . 1 - 5 ) 其中r , , i = 0 , 1 , 2 , 3 为 新的控 制顶 点， 基函 数f ( t ) , i = 0 , 1 , 2 , 3 如下 确定: 凡( t ) =1 一 t +d一 a ( b+ d ) ad一bc f ( t ) c 一 a ( a + c ) ad 一 bc g ( t ) a (b + d ).f (t) -a d - b c a d 鬓.f (t) - a ( a + c ) ad一bc ,u a ad 一 bc g ( t ) , g ( t ) ( 2 . 1 - 6 ) t - 一 旦 + ,u b ad 一 bc f ( l ) + c+ p a ad一bc ( t ) 一一-一 (t)(t)(t) 汽凡凡 容易 验证基函 数( f ( t ) 和由 ( 2 . 1 - 5 ) 所定义的 曲 线r ( t ) 满足如下 性质: ( 1 ) 曲 线r ( t ) 满足( 2 . 1 - 2 ) 所规定的 端点性 质; (2 ) 基 函 数f ,( t ), i 一 。 , 1, 2 ,3 满 足 规 范 性: 艺f ,.(t ) = 1 ; 选 择适当 的参 数“ . a , e l 可 使得基函 数具有 正性:f , ( t ) ? o , i = 0 , 1 , 2 , 3 ; ( 4 ) 如果基函 数具有正性则曲 线r ( 1 ) 满足凸包 性:曲 线位于 控制多边形的凸 包之 内; ( 5 ) 参数a , ,u 反 映了曲 线r ( t ) 的 鼓瘪程 度， a , ,u 的 值 越大 则曲 线r ( t ) 越鼓， 反 之曲 线r ( t ) 越瘪， 取a , ,u 为最大 值( 满足 ( 3 ) 的条 件下) 时曲 线r ( t ) 最接近其 控制多 边形， 一 些文献 将这一 性质称 为曲 线r ( t ) 具有 最优保形 性 ( 见【 6 1 , 1 4 1 , 2 1 1 ) 0 以下给出几个具体的例子加以说明。 例1 .令p (t ) = t z , gr ( t) = ts ,a x 0 则有 f ( t ) = a z ( t 一 t ) , g ( t ) = a ( t 一 t ) , 儿类参数 曲线的儿何性质分析方法研究 a = - a , b = - a , c= 2 a z , d = 3 a , a d 一 b c = 一 “ 基函数为: f ,(t) = (，一 )2 p + (， 一 “ a l h . (t) 一 “ p - t) r,11 ,.2 i r 2 ， 一 件 一 l i l p 3 ( t ) = t ( i + ( 2 一 f 0 ( 1 一 t ) 1 . 由 基函 数的正 性: f , ( t ) _ o , i = 0 , 1 , 2 , 3 可求 得参数a , ,u 的 范围: 0 a - 3 , 0 p _ 3 . 特别 取a = f t = 3 ， 则 ( 2 . 1 - 5 ) 所定 义的曲 线r ( t ) 具有 最优保形 性。 实际上， 此 时r ( t ) 的基函数就是三次伯恩斯坦( b e r n s t e i n ) 基函数: f a (t ) = ( 1 一 t) , 汽 ( t) = 3 (l 一 t ) 2 t, 凡 ( t ) = 3 ( 1 一 t ) t 2 , 只 (t ) = t . 所以 r ( t) = 艺月 (t )r , 0 - t - l 就是 三 次b e z ie r 曲 线 。 例2 . 令ip ( t ) = s i n t , v ( t ) = c o s t , a # 。 则有 f ( t ) = s i n ( a t ) 一 t s i n a，g ( t ) = c o s ( a t ) + ( 1 一 c o s a ) t 一 i ， a=“一s i n a，b=1 一 c o s a，c=- a( l 一 c o s a ) , d=一 “s i n a a d一b c =a ( 2 一2 c o s a一a s i n a ) #0 基函数如下 : 西北工业大学硕 i 学位论文 f a ( t ) =a - a t - s i n ( a - a t) + a (1 - c o s a ) - a ( 1 - c o s a ) (a - s in g ) a 一 s et a “一 a t 一 s i n ( “ 一 “ t ) a ( 2 一 2 c o s a一 “s i n a) f牛o s ( a - a t ) i一c o s a a 一 s m a f, (t)= .i(1- cosa )(a - sin a ) 1 1- cos(a - a t)a (2 - 2cosa - a sin a ) 1- cosa 一 a - a t- sin(a - a t)ja - sin a 12(t) - ,u(l- cos a )(a - sin a ) (1- cos(a t)- a t- sin(a t)a (2- 2 co sa - a sin a ) 1- cosa a - sin a f ( t ) =a t - s i n (a t ) + a l l - c o s a 全- ,u (1 - c o s a )( a - s in a ) a 一 s m a a ( 2 一 2 c o s a一 “ s in a ) i毕;o s (a t) i - co s a a t 一 s i n ( a t ) a 一 s i n a 由 基函 数 的 正 性: 辉 (t ) ? o , i = 0 , 1, 2 , 3 可 求 得 参 数 。 ，a , fu 的 范 围 : 0 a ( l - c o s a ) ， 0 召 a ( 1 - ,c o s a ) .,u - 0 a 2 1 r a 一 sl n aa 一 s i n a 特 别 取 ; = k = a l l - c o s=生 1 ， 则 ( 2 .1 - 5 ) 所 定 义 的 曲 线 ， ( t) 具 有 最 优 保 形 性 ， 此 a 一 s i n a 时基 函数为: f o ( t ) = a一 “ t - s i n ( “ 一 a t ) a 一 s m a f,(t) 一 m i 1 - co s(a - a t) - a - a t- sin (a - a t) i1 - c o sa a - s in a 。 (，卜 m i1 - co s(a t) - a t - sin (a t)1 - co sa a - sin a 其中m = ( 1 一 c o s a ) 2一2c o s a一a s i n a f , ( t ) = a t 一 s i n ( a t ) a 一 s i n a 这 正是文【 4 , 5 中 所提出的 c - b e z i e r 基函 数( 0 a 二 ) ，随 后文【 6 将。的 范围 扩大到0 a 2 ; r ，文【 4 - 6 中的m定义为m= l , ( 1 一 c o s a ) s i n a a = 汀; 容易 2 s i n a 一a 一 a c o s a , a 转 7 r 验证这 与 本节所得的表达式是一致的，但本节的表达式更