（计算数学专业论文）双曲守恒律的数值差分算法.pdf

双曲守恒律的数值差分算法 摘要 即使初始条件十分光滑，双曲守恒律方程的解也可能出现间断。这种光 滑性的丧失对数值算法的设计和数值解的模拟提出了挑战。有限差分算法是 数值算法中一个十分重要的的热点研究课题，不同的差分方法有着不同的表 现形式，从线性到非线性，不相容到相容，不稳定到稳定，不收敛到收敛，有 限差分方法和其他数值方法的理论日趋成熟；另一方面，随着数值算法精度 的提高，网格生成技术也不断提高，于是，与这两种进步相关的自适应算法 就应运而声，这种技术综合考虑了算法的精度要求和时间代价问题，因而应 用比较广泛。本论文从介绍双曲守恒律光滑解爆破的相关理论开始，包括弱 解，r i e m a n n 问题，激波的l a x 条件等，依次介绍了有限差分方法的一般概念 和相关理论( 包括差分格式的相容性，收敛性和稳定性) ，有限差分方法中 的一种典型的中心差分方法g o d u n o v 型中心算法的发展历程( 包括古典中心算 法和新系列的中心算法) ，最后一章介绍了白适应的算法，包括算法自适应 和网格自适应算法。其中，网格自适应算法是本研究工作的中心内容，重点 包括光滑探测器的设计和网格自适应算法的理论分析。所有的自适应算法都 要求用一个光滑探测器来检测光滑区域和间断区域，以便对它们进行不同的 处理。通过分析已有的一种探测器计算代价高昂的缺点，我们提出了一种新 的探测器，称为全变差探测器，该探测器简单直观，计算代价小，数值实验 证明该探测器能够比较准确的检测出间断区域。另一个工作的重点是该网格 自适应算法的理论分析，网格自适应算法通过加密间断区域的网格更好的模 拟间断，但是，网格不能无限细分下去，如何决定网格加密的程度，即什么 时候停止加密? 另外，由于c f l 条件的限制，空间步长的缩小导致时间步长 同步缩小，这样就增加了时间层的计算，使得原来相邻时间层的计算加倍， 我们的网格自适应算法是否能够保证多次折半后算法的总体误差不会增大? 这些都是需要回答的问题。通过理论上的分析，我们给出了停止网格加密的 条件，同时给出了网格加密前后的误差比较，分析表明，网格多次折半后算 法的总体误差不会比折半前的大。 关键词：双曲守恒律方程，弱解，有限差分算法，自适应算法，光滑探测器 t h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o df o rh y p e r b o l i c c o n s e r v a t i o nl a w s a b s t r a c t t h es o l u t i o n so ft h eh y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w sm i g h td e v e l o pd i s c o n t i n u i t y e v e ni ft h ei n i t i a lc o n d i t i o n sa r ev e r ys m o o t h t h i sl o s so fs m o o t h n e s sp r e s e n t c h a l l e n g et o w a r d st h ed e s i g no ft h en u m e r i c a la l g o r i t h m f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d i sav e r yi m p o r t a n th o tr e s e a r c ht o p i ci nt h ef i e l do fn u m e r i c a lm e t h o d ，d i f f e r e n t d i f f e r e n c em e t h o dh a v ed i f f e r e n tf o r m ，f r o ml i n e a rf o r mt on o n l i n e a rf o r m ，f r o m i n s t a b i l i t yt os t a b i l i t y ，f r o mn o n c o n v e r g e n ts c h e m e t oc o n v e r g e n ts c h e m e ，t h e t h e o r yo ft h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o da n do t h e rn u m e r i c a lm e t h o dg r a d u a l l y b e c o m em a t u r e ；o nt h eo t h e rh a n d ，w i t ht h ea d v a n c eo ft h er e s o l u t i o no ft h e n u m e r i c a ls c h e m e ，t h e t e c h n o l o g y o ft h e g e n e r a t i o n o ft h em e s ha l s o i m p r o v e d ，t h u s ，t h ea d a p ts c h e m ew h i c hi sh a v es o m et h i n gt od ow i t ht h e s et w o k i n d so fa d v a n c ea l s oh a v eb e e nd e v e l o p e da n dh a v eb e e nw i d e l yu s e d ，b e c a u s ei t n o to n l yc o n s i d e r st h er e s o l u t i o no ft h es c h e m eb u ta l s oc o n s i d e r sc o s t so ft i m e t h i st h e s i sb e g i nw i t ht h ei n t r o d u c t i o no fb l o w u po ft h es m o o t hs o l u t i o no ft h e h y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w s ，w h i c hc o n t a i n e dw e a ks o l u t i o n s ，r i e m a n np r o b l e m ， l a xs h o c kc o n d i t i o na n ds oo n ，t h e n ，i ti n t r o d u c e st h eg e n e r a lc o n c e p t i o na n d t h e o r ya b o u tt h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ( i n c l u d i n gt h et o l e r a n c e ，c o n v e r g e n c ea n d s t a b i l i t y o ft h ed i f f e r e n c es c h e m e ) ，a n dt h e n ，ad e t a i li n t r o d u c t i o na b o u tt h e e v o l u t i o no fat y p i c a lf i n i t ed i f f e r e n c ea l g o r i t h mh a sb e e ni n t r o d u c e di nc h a p t e r 3 ( i n c l u d i n gt h ec l a s s i c a la n dn o n c l a s s i c a lc e n t r a lm e t h o d ) ，t h a ti sg o d u n o v - c e n t r a l s c h e m e ，f i n a l l y ，i nc h a p t e r4 ，w ei n t r o d u c et h ea d a p ta l g o r i t h m ，i n c l u d i n ga l g o r i t h m a d a p t i o na n dm e s ha d a p t i o n n l ec e n t r a lp a r to fm yr e s e a r c hw o r ki sm e s ha d a p t i o n ，m a i n l yf o c u s i n g o nt h ed e s i g no fas m o o t h n e s si n d i c a t o ra n dt h er e l a t i v e t h e o r e t i c a la n a l y s i so ft h es c h e m e a l la d a p ts c h e m e sd e m a n das m o o t h n e s s i n d i c a t o rt os e e ko u ts m o o t hr e g i o na n dr o u g hr e g i o nt ot r e a tt h e mr e s p e c t i v e l y b y a n a l y z i n gt h ed i s a d v a n t a g eo fa l le x i s t i n gs m o o t h n e s si n d i c a t o r ，w h i c hi sv e r y c o s t l y ，w ep r e s e n tan e ws m o o t h n e s si n d i c a t o rc a l l e dt o t a l - v a r i a t i o ns m o o t h n e s s i n d i c a t o r ，w h i c hi sv e r ys i m p l ea n de a s yt ou n d e r s t a n d ，a n di sc o s t - e f f e c t i v e o u r n u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h a ti sc a na c c u r a t e l yf i n do u tt h er o u g ha r e a t h e t h e o r e t i c a la n a l y s i si sa n o t h e rm a j o rw o r k ，b yr e f i n i n gt h em e s hi nt h er o u g h r e g i o n ，o u rm e s h a d a p t i o ns c h e m ec a ns i m u l a t er o u g ha r e am o r ea c c u r a t e l y ，b u tt h e v m e s hs h o u l dn o tb er e f i n e dw i t h o u ta n ys t o p ，h o wt od e t e r m i n et h et i m e so fr e f i n i n g ? t h a ti s ，w h e ns h o u l dt h er e f i n i n gc o u r s em o p p e d ? b e s i d e s ，d u et ot h er e s t r i c t i o no f c f lc o n d h i o n s ，t i m e s t e pw i l la l s or e d u c eb yh a l fw h e nt h es p a c e - s t e pr e d u c e db y h a l f , t h i sw i l li n c r e a s et h en u m b e ro ft i m es t e p s ，c a u s i n gt h en u m b e ro ft i m es t e p s t w i c et h a nt h a to fb e f o r er e f i n i n g ，w h e t h e ro u rm e s ha d a p t i o ns c h e m ec a ne n s u r e t h et o t a le r r o rw o n ti n c r e a s ea f t e rr e f i n i n g ? a 1 lt h e s eq u e s t i o n sn e e dt ob e a n s w e r e d b yt h et h e o r e t i c a la n a l y s i s ，w ep r e s e n tam e t h o dt oc o n t r o lt h et i m e so f r e f i n i n g ，a n dg i v eo u tt h ec o m p a r i s o no ft h ee r r o r sb e f o r ea n da f t e rr e f i n i n g t h e r e s u l t ss h o wt h a t ，t h et o t a le r r o ro ft h es c h e m ea f t e rr e f i n i n gm a n yt i m e sw i l ln o m o r et h a nt h a to ft h eo r i g i n a ls c h e m e k e yw o r d s ：h y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w s ，w e a ks o l u t i o n s ，f i n i t ed i f f e r e n c e s c h e m e ，a d a p t i v ea l g o r i t h m , s m o o t h n e s si n d i c a t o r ， v i 插图清单 图2 1 用特征线定义方程的解。5 图2 2 无解情形6 图2 3 解的多值情形一6 图2 4 连续初始条件下也出现特征线相交7 图2 5 激波解8 图2 6 相同初始数据的两个不同的弱解：激波解和稀疏波解一l o 图2 7r i e m a n n 问题的图解1 2 图3 1 例1 的网格剖分1 3 图3 2 例2 的网格剖分1 4 图3 3 例3 的网格剖分1 5 图3 4 显式差分格式( 3 1 2 ) 1 9 图3 5 显式差分格式( 卜1 3 ) 1 9 图3 6 隐式差分格式( 3 1 6 ) 1 9 图3 7 差分格式的依赖区域2 5 图3 8c f l 条件的破坏2 6 图4 1g 0 0 u n i y 型迎风算法3 0 图4 2g o d u n o v 型中心算法图3 2 图4 3 一阶l x f 算法与二阶n t 算法3 4 图4 4 新的中心算法3 6 图4 5 二维控制体的平面图4 0 图5 1 网格自适应算法t n = 1 0 5 0 图5 2 网格自适应算法t a = 3 0 5 l 图5 3 网格自适应算法t n = 6 0 5 1 图5 4 非网格自适应算法t = t 0 5 2 图5 5 非网格自适应算法t = 3 0 5 2 图5 6 非网格自适应算法c = 6 0 5 3 i l i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得金日b 王些太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签字：列活咋 签字日期：夕呷年，月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金胆王些盘堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅本人授权金胆王些太 堂可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名：列渗每椤 导师签名； 焙 签字日期明年f 月夕日签字日期刁年月彳日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： i l 电话： 邮编： 致谢 在论文完成之际，衷心地向我的导师林京教授致以深深的谢意l 本论文 从选题到完成，每一步都是在林老师的指导下完成的，倾注了老师大量的心血 每次我遇到挫折时，都是林老师鼓励我坚持下去，不要放弃。我在学术上的每 一点收获，取得的每一个成果都凝聚着他的沥沥心血和汗水。老师渊博的知识、 敏锐的学术洞察力和严谨的治学态度，使我在求学生涯中受益匪浅，他诲人不 倦的高尚师德，对事业的执著追求和无私奉献精神永远是我学习的楷模。老师 不仅教我们怎么做学问，也教我们怎么做人，他严以律己、宽以待人的崇高风 范，朴实无华、平易近人的人格魅力总是潜移默化地影响着我，使我明白了许 多待人接物与为人处世的道理，他的教诲是我以后努力工作的鞭策和鼓励! 感谢所有授课老师课上对我的教导，感谢三年来你们对我的培养，你们丰 富的授课内容拓宽了我的视野，让我能更顺利的完成这篇文章；感谢计算机房的 老师们，是你们给我提供了这么好的一个学习环境；感谢我的同学们和我的室 友，你们不仅让我感受到友情的力量，也让我感觉到了生活的愉悦，特别感谢王 乐乐同学，在读期间得到了你很多的帮助，你总是很无私也很热心地解答我的 问题。 最后，我要向我的父母表示深深的谢意。本论文的完成也离不开你们的理 解、支持、鼓励和鞭策，你们总是在生活上和精神上无条件地支持我，使我可 以没有任何负担的投入学习生活，你们永远都是我上进的不竭动力源泉。 作者：刘洁玮 2 0 0 7 年5 月 第一章绪论 无论初始条件多么光滑，守恒律方程的解都可能发生间断，这种光滑性的 丧失对方程解的理论以及数值模拟算法的理论和设计都提出了挑战。一方面， 已有的方程古典解的理论已经不能满足新的理论发展需求，于是产生了偏微分 方程的弱解理论；另一方面，间断的出现对数值算法的设计提出了更高的要求。 好的数值算法应当能在数值计算和模拟实验中，得到原问题的逼真的，锐利的波 形图，也就是说，应该达到高分辨率。为了保证数值方法的可靠性，合理性和有效 性，相关的理论发展起来了，如数值方法的稳定性，收敛性和相容性现在数值方 法的研究已经向数值方法内部的，微观的性质深入，更进一步地要求数值方法 的精细，高分辨率。 有限差分算法是数值方法中一个重要的研究课题。可以通过各种方法设计 出一个微分方程的各种差分格式，如稳定可靠的，或者不稳定不合理的，有的 表现出很强的光滑化数值效果，有的在数值解梯度大的地方产生虚假震荡。许 多学者对有限差分格式进行了深入研究。1 9 2 8 年c o u r a n t ，f r i e d r i c h s f f 铂l e w y l l j 给有限差分格式的稳定性和收敛性理论研究奠定了基础。2 0 世纪四五十年代， v o n n e u m a n n 等【2 j 提出和发展的f o u r i e r 分析方法使得有限差分方法的理论得到 了迅速的发展。8 0 年代，刘儒勋【3 4 ，鄙等人提出了有限差分格式数值余项效应的 课题和理论分析方法，对格式的精度，相容性和稳定性等进行统一的讨论。 g o d u n o v 型算法是有限差分方法中一个重要的分支，包括中心算法和迎风 算法。g o d u n o v 提出的算法是一切迎风算法的先驱，它的高阶和多维扩展也在 2 0 世纪8 0 年代和9 0 年代成功地得到了构造，分析和实现；迎风算法在所有的时 间层计算相同空间细胞的平均，因此算法需要使用近似r i e m a n n 解和特征分解 来求出这些空间细胞在不连续的分界面上的特征信息，这样就大大增加了迎风 算法的复杂性。中心算法与迎风算法相比具有特别简单的特点：其构造中不需 要r i e m a n n 解算予和特征分解，一阶l a x - f r i e d r i c h s ( l x f ) 是一系列高阶精度中心 算法的先驱。但是，l x f 算法数值耗散过大，使得算法对不连续的间断和稀疏 波的模拟效果不理想，达不到精度要求。1 9 9 0 年，n e s s y a h u t a d m o r l 6 提出了l x f 算法的一个自然高阶扩展- - n e s s y a h u t a d m o r ( n t ) 算法，自那以后，他们发表了 一系列的文章，把n t 算法扩展到了高阶精度1 7 , 8 , 9 1 和多维系统 1 0 , 1 1 , 1 2 a 3 , 1 4 , 1 5 1 。n t 算法保持了不需要解r i e m a n n 解的l x f 算法的简单性优点，同时又除去了一阶算 法耗散过大的缺点，保持了高精度。不幸的是，当应用于对流扩散方程时，全 离散的n t 算法及其高阶扩展在对不连续的间断进行模拟时没有提供满意的精 度 1 6 , 1 7 , 1 8 】，这种精度的丧失导致过大数值耗散的积累。为了克服这个困难， k u r g a n o v 和t a d m o r d 6 提出了一个新的中心算法系列( k t 算法) ，它们保持了独 立于问题的特征结构的简单性的特点，又具有更小的数值耗散( 精度是 o u 缸，j ) 。特别地，这个新系列的中心算法允许一个特别简单的半离散形式。 随着数值算法的精度不断提高，网格生成技术也不断的发展，与这两个进 步相关的自适应算法应运而生。自适应算法能够很好的满足间断区域和光滑区 域对算法和网格的不同要求，能够根据解的局部性质调整算法或加密网格。算 法自适应通过在间断区域把非线性机制如限制器引入算法，缓解和克服了线性 算法在不连续区域附近的震荡，其他的一些策略包括了守恒或非守恒的解算法 1 9 , 2 0 1 。网格白适应通过对间断区域的网格加密，在更精细的网格上进行计算， 更好的捕获激波 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 ，这也是我们研究工作的重点。所有的自适应算法都 要求用一个光滑探测器来检测光滑区域和间断区域，以便对这两个区域分别进 行处理。通过分析已有的一种探测器计算代价高昂的缺点，我们设计了一个新 的探测器，称为全变差探测器，该探测器简单直观，计算代价小，数值实验证 明该探测器能够比较准确的检测出间断区域。同时，为了保证我们的自适应算 法的可行性，我们对该网格自适应算法进行了理论分析。网格自适应算法通过 加密间断区域的网格更好的模拟间断，但是，网格不能无限细分下去，什么时 候停止加密? 另一方面，由于c f l 条件的限制，空间步长的缩小导致时间步长 同步缩小，这样就增加了时间层的计算，我们的网格自适应算法是否能够保证 多次折半后算法的总体误差不会增大? 通过理论上的分析，我们给出了停止网 格加密的条件，同时给出了网格加密前后的误差比较，分析表明，网格多次折 半后算法的总体误差不会比折半前的大。 本论文是这样安排的：第二章将介绍偏微分方程的弱解理论，包括双曲守 恒律的概念和弱解的形式；第三章介绍有限差分格式，包括差分格式的建立等 基本概念以及相容性，稳定性和收敛性等基本理论；第四章介绍g o d n o v 型中心 差分算法的发展历程，包括古典中心算法的优缺点分析，新系列中心算法的介 绍，以及二维空间的中心算法；第五章介绍自适应算法。 2 第二章双曲守恒律和激波 2 1 双曲守恒律的基本概念 2 1 1 守恒律方程 定义2 1 ：称如下形式的非线性方程组为守恒律方程组。 q + f ( u k = 0 其中，( 善，f ) r “净( ，) 【o ) ，u ( u t ( x ，f ) ，“2 ( 毛f ) ，( 墨r ) ) ：孟“r 肿， f ( u ) ：矗“_ 五“。 特别地，当n = 1 时，称 罢+ 掣：o ，r o , x e r “ 为单一守恒律方程。 设初始条件为 u ( 而o ) = u o ) ，x r ，u o ：r 寸r ” 则称( 2 - 1 ) ( 2 - 3 ) 为守恒律的初值问题。 下面将给出守恒律方程( 组) 的三个例子 例1 伯格斯方程( b u r g e r s e q u a t i o n ) 这是单一守恒律中最常见的方程 。 玛+ ( 筑= o 其中，甜：r 2 + 专r 例2 p 系统( t h eps y s t e m ) ( 以勘= ( ： ( 2 - 1 ) ( 2 - 2 ) ( 2 - 3 ) ( 2 4 ) ( 2 - 5 ) 例3 欧拉系统( e u l e rs y s t e m ) o _ v + o f ( u ) ：0 0 + 一2 a彘 ( 2 6 ) 其中，u 2 ( p , p u ，刃1 ，f ( u ) = ( p , p u 2 + p ，“( e + 一) 7 ，p ，u ，p ，e 分别代表密度，速 度，压强和总能量，p 满足状态方程尸2 ( ，一1 ) 但一p u 2 2 ) ，比热y 2 1 4 。 定义2 2 ：称系统 u + f ( u l = o ( 2 7 ) 在( x ，t ，u ) 是严格双曲的，如果的v f ( u ) ：i 自- n 个实的不同的特征值。 下面我们将以p 系统和为例说明严格双曲系统这个概念。 考虑例2 的p 系统，我们有 即c = 似d 2 ( p ，： 。2 渤 如果要保证系统是严格双曲的，必须要求 p ( w ) ， o s s u p p # c 耳( ( o ，o ) ) n r “ ( 2 1 6 ) 都有下式成立 r e 【u f ) 旃瓴，) + ，o ，f ) ) 以f ) 】蠢础+ 砜( x ) “o ) 出= 0 ( 2 1 7 ) 下面的引理将说明弱解是古典解的扩展。 引理2 3 ：假定u e c ( 足“) 是( 芝1 ) ( 2 3 ) 的古典解，则u 也是( 2 1 ) ( 2 3 ) 的弱解。 证明见 2 5 1 第7 8 页。 2 2 3r - h 条件 下面介绍不连续的分段光滑弱解的必要条件，即r a n m n e 一肠俘m 细条件 ( 置一日条件) 。 引理2 4 ：假定n 是上半平面的开邻域，并且假定曲线c ： ，) ，啼印) 把n 分成两 个部分，7 ，分别存在于曲线c 的左右两侧。设u 是( 2 1 ) 的弱解，则有 1 u 在j ，n 内是( 1 ) 的古典解； 2 u 在曲线c 上有一个跳跃不连续【u 】； 7 3 【u 】沿着c 是连续的； 对于任何p e c ，令3 ：2 ( 力为曲线c 在p 点的斜率。则曲线和跳跃之间有如下关 系成立： 距叨2 【f ( u ) 】 ( 2 1 8 ) 其中，对任何p 2 ( x o ，t o ) c ，定义 】( p ) ：- = u r ( 力一( 力# ，j 巴，u 0 7 ，7 卜一，巴，u ，一) 记号o p ，山p 分别代表点 7 ，) ，( x it 。) n s 收敛于p 的极限。 证明：见f 2 5 1 第7 9 页。 我们将以b u r g e r s 方程为例说明r a n k i n e - h u g o n i o t 条件。考虑b u r g u r s 方 程( 2 4 ) 关于初始条件 f i 工0 2 岛功。1 0 工2 0 ( 2 1 9 ) 的解。在初始条件( 2 1 9 ) 下，特征线将会相交。如果我们定义一个不连续的分 段光滑弱解，该解在以8 为斜率的激波曲线的左边取值为0 ，而在其右边取值 为1 ，则根据r h 条件( 2 1 8 ) 我们可以得到： j ( 1 - o ) ：罢一百0 2 或者5 2 专，见图2 - 5 。 锄 图2 5 激波解 激波将以1 2 的速度沿着以1 2 为斜率的一条直线传播。 2 2 4l a x 激波条件 r h 条件给出了不连续的分段光滑解即激波解的必要条件，我们可以根据 8 r h 条件定义出一个激波解，但是，怎么判断我们所定义的激波解是可行的 呢? 2 0 世纪5 0 年代l a x 给出了一个判断依据，称为l a x 激波条件( l a xs h o c k c o n d i t i o n ) 。 定义2 5 ：假设u 是严格双曲守恒系统的一个分段古典解，假定u 沿曲线c 有一个不连续的跳跃，u t ，u 7 分别代表u 在点p c 的左右极限值，并假定曲 线c 在点p 的斜率是s 。当满足如下条件时，不连续的激波解是可行的并称为 k 激波：如果在每一个p ，它满足r h 条件( 2 1 8 ) ，并且存在一个整数k ， 1 七疗，满足 ( ) s 彳( ) s s s 五( u 。) 茎乃( ) ( u 7 ) 五( u 7 ) s j 缸i ( u ) 屯( 【，) 这样，在k 激波的左边有七一1 个特征速度乃( u t ) 小于斜率s ，在右边有万一k 个特征速度乃( u 7 ) 大于斜率s 。 我们仍然以b u r g u r s 方程( 2 - 4 ) 为例说明l a x 激波条件。 在另一初始条件 僻 o 鬟 亿：。， 下考虑b u r g e r s 方程( 2 4 ) ，通过前面的叙述已经知道，利用特征线方法求解时， x - t 平面上将会出现一个没有特征线的空白区域，也即在这个空白区域没有定 义解。怎么填充这个区域昵? 如果我们同样定义一个不连续的激波解，在激 波的左侧一致为0 ，在激波的右边一致为l ，则根据r h 条件( 2 - 1 8 ) ，我们得到 j ( o - 1 ) ：了0 2 一i 1 2 同样，5 2 吉。见图【i 相同初始数据的两个不同的弱解：激波解和稀疏波”】， 现在的问题是，这样定义的一个不连续的分段光滑解是不是物理上可行的呢? 答案是否定的。 根据l a x 激波条件，在f 为严格凸函数的情况下单一守恒律( 2 2 ) 的激波解 应该满足 厂( ) j ) 厂 7 ) 因此b u r g e r s 方程的l a x 激波条件可以表示为 砧， s 甜7 而初始条件( 2 2 0 ) 中， 矿 s 材 因而不满足l a x 激波条件，所以这样构造的解是不可接受的。 9 既然当初始条件为( 2 2 0 ) 时，b u r g e r s 方程( 4 ) 的激波解是不可行的，那么它 的可行解是如何的呢，我们将定义一个稀疏波。 对于在初始条件( 2 2 0 ) 下出现的空白区域，我们可以有另外一种填充方式， 定义如下的一个解，见图2 6 。 阮，) = 可以看到，这是一个连续解，中间的过渡区域连接了两个常数态。因为( 2 - 1 ) 的任何连续的分段古典解都是弱解，因此这样定义的一个解是b u r g e r s 方程( 2 - 4 ) 的弱解。在下一节的r i e m a n n 问题中，我们将看到，这样定义的弱解是方程的 唯一解。 肜 k 膨 图2 - 6 相同初始数据的两个不同的弱解：激波解和稀疏波解 2 3r i e m a n n 问题 为了简单起见，我们这里只介绍单一守恒律 丝+ 笪盟；0 研 o x 的r i e m a n n 问题 俐= 彤篓 假定尸( j ) o ，f e c 2 ( r ) ，分三种情况进行讨论。 1 样= 测”“f ) = “。= 矿是古典解( 连续可微解) i o ( 2 - 2 2 ) ( 2 - 2 3 ) 2 - 2 ， o v i x 蛞 鲰 瞧 o o x一，l 2 1 ， 矿，得到激波解， 地。2 ：= 任2 4 ， 激波速度s 由r 一日条件给定5 = | ! l = 瞥，注意到八力 o ，因此该激波 解满足l a x 激波条件， 。) j 厂) 。 3 “ j r 为了使问题的解唯一，u 必须具有以下形式： 心，t = 露 代入方程( 2 - 2 2 ) ，得到 司砉川碲扣 所以，必须玎为常量或者 厂何= 手 后一种情况下，注意到缇凸函数，所以f 是可逆的，因此有 订) = 厂0 - - 这样，我们得到了一个如下形式的稀疏波解 fl ，瑙厂) ， 如f ) _ 厂9 1 ，( ) ，螂，r 【 ，( 甜) f 立( 2 - 2 5 ) t 口 m ，坳 、 矛 t 4 m 7 多 咋 图2 7 r i e m a n n 问题的图解 第三章有限差分格式 我们在第一章已经介绍了双曲守恒律的一般概念，本章将介绍有限差分方 法，这是用数值方法求解偏微分方程的一个十分重要的方法。 3 1 有限差分格式的基本概念 3 1 1 网格剖分 用有限差分方法求解偏微分方程问题必须把连续问题离散化。因此，数值 计算的第一步是对求解区域进行网格划分，由于求解的问题各不相同，因此求 解区域也不尽相同。为了更详细地说明这个问题，我们将给出三个不同类型的 例子。 例1 双曲型方程和抛物型方程的初值问题，求解区域是 d i = “f ) i 哪 x o 瓦+ 口苏5 o ， - “o ) 2 9 ( ， 善r ( 3 3 ) 和扩散方程的初值问题 j 象= 口害，x e r , t o 瓦刮万 【“( x ，o ) 2 9 ( n x r ( 3 4 ) 1 用t a y l o r 级数展开方法建立差分格式 用t a y l o r 级数展开来建立差分格式，实际上也等价于用差商来近似微商 得到相应的差分格式。假定偏微分方程初值问题的解“，) 是充分光滑的，用【e 或( 。n 表示括号内的函数在节点( x j ，) 处取的值。由t a y l o r 级数展开，我们将得 到鲁，鲁的一系列不同的表达式， 日n ，：塑血型一d ( f ) 1 4 争= 盟掣嘶“ 协6 、 已e ：亟丛掣一d ( j i ) 白：亟盟掣一d ( j ) 勃= 盟掣鄙“ 陆9 ， 【= 业盟学堂趔卅) ( 3 1 0 ) 采用鲁和鲁的不同表达式将得到不同的差分格式。例如： 利用f 3 5 1 和f 3 7 、，我们得到 业半盟+ 口啦业h 业= 枣a t + 口d ( f 圳 ( 3 - i f 缸 、 n 1 、 如果甜f ) 是满足偏微分方程( 3 3 ) 的光滑解，则有 学+ 口缸- -， 设彬表示”( _ ，厶) 的近似值，我们得到近似代替偏微分方程( 3 3 ) 的如下方程： 丝n + l 二丝u + 4 亟! 二竺：o fh ( 3 - 1 2 ) _ ，= 0 ，1 ，2 ，月= 0