（计算数学专业论文）二维经验模式分解的研究及其应用.pdf

摘要 论文题目：二维经验模式分解的研究及其应用 专业：计算数学 硕士生：陈妃摄 指导导师：杨力华教授 摘要 1 9 9 8 年n o r d e nh u a n g 及其合作者引入了一种新的信号处理与分析方法一一 经验模式分解( e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ) 方法。e m d 方法是一种由数据 驱动的适用于非线性与非平稳信号的信号分析方法。通过经验模式分解，原始信 号被分解成一系列从高频到低频的i m f 分量和一个至多只含有一个极值点的余 量。另外，e m d 方法具有多尺度特性。由于e m d 方法对于非线性、非平稳信 号的自适应性与多尺度性，e m d 方法在很多领域得到了应用并有显著的效果。 通过对一维经验模式分解方法的拓展，研究学者们提出了二维经验模式分解 方法( b i d i m e n s i o n a le m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ) 并把其应用于图像处理与纹 理分析等方面。经验模式分解方法在二维中的拓展使得图像处理与分析方法得到 了新的突破。 但是二维经验模式分解还存在着一些问题需要解决。在本文中，作者主要做 了以下几方面的工作： 1 实现了j c n u n e s 等人所提出的基于径向基函数曲面插值方法的二维 经验模式分解算法并对区域型极值点的处理做了分析与处理。 2 对于二维经验模式分解方法的边界效应问题，作者给出基于镜像对称延 拓的边界处理的详细过程。 3 介绍了已经存在的二维i m f 筛分停止条件，修改提取b i m f 的迭代停止准 则，有效减少了二维经验模式分解的迭代次数，减少算法的执行时间。 4 分析二维经验模式分解方法在图像分解与纹理分解方面的应用。 关键词：经验模式分解；边界处理；极值点；停止准则；图像分解；纹理分解 a b s t r a c t t i t l e ：s t u d yo fb i d i m e n s i o n a le m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n a n di t sa p p l i c a t i o n m a i o r ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s n a m e ：c h e nf e i s h e s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o ry a n gl i h u a a b s t r a c t n o r d e nh u a n ga n dh i sc o l l a b o r a t o r si n t r o d u c e dam e t h o dc a l l e d e m p i r i c a lm o d e d e c o m p o s i t i o n , an e wm e t h o di ns i g n a lp r o c e s s i n ge m d i sad a t a - d r i v e nm e t h o di n s i g n a lp r o c e s s i n ga n ds i g n a la n a l y s i s ，w h i c hc a nb ea p p l i e di nn o n - l i n e a ra n d n o n - s t a t i o n a r ys i g n a l s t h r o u g he m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n , o r i g i n a ls i g n a l sc a l l b ed e c o m p o s e di n t oaf i n i t en u m b e ro f l m f s ( i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n s ) t h a ta r ef r o m h i g hf r e q u e n c yt ol o wf r e q u e n c y , a n daf i n a lr e s i d u et h a tc o n t a i n sa ne x t r e m aa tm o s t b e s i d e s ，e m dh a sam u l t i - s c a l e p r o p e r t y d u et o i t sa d a p t i v ea n dm u l t i s c a l e p r o p e r t i e si nn o n - l i n e a ra n dn o n - s t a t i o n a r ys i g n a l s ，e m dm e t h o dh a sb e e na p p l i e di n m a n yf i e l d sa n dy i e l d e do b v i o u s l yb e t t e rr e s u l t s b ye x t e n d i n gt h eo n ed i m e n s i o n a le m d ，r e s e a r c h e r sh a sp r e s e n t e dan e wm e t h o d c a l l e db i d i m e n s i o n a l e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o na n da p p l i e di t t oi m a g e p r o c e s s i n g ，t e x t u r ea n a l y s i s ，e t c t h ee x t e n s i o no fe m d 劬mo n ed i m e n s i o nt ot w o d i m e n s i o nr e s u l t si nt h eb r e a k t h r o u g ho fm e t h o d si ni m a g ep r o c e s s i n ga n di m a g e a n a l y s i s a tt h es a m et i m e ，t h eb i d i m e n s i o n a le m dh a sf a c e ds o m ed i f f i c u l t i e st h a tn e e dt ob e r e s o l v e d i nt h i st h e s i s ，t h ea u t h o rf o c u s e so nt h ep o i n t sa sf o l l o w ： 1 i m p l e m e n tt h eb i d i m e n s i o n a le m da l g o r i t h mb a s e do nt h er a d i a lb a s i sf u n c t i o n i n t e r p o l a t i o nb yj c n u n e s , a n a l y z ea n dp r o c e s st h er e g i o n a le x t r e m e si nt h e a b s t r a c t a l g o r i t h m 2 f o rt h eb o u n d a r ye f f e c ti nb i d i m e n s i o n a le m d m e t h o d ，t h ea u t h o rp r e s e n t st h e d e t a i l so f t h eb o u n d a r yp r o c e s s i n gb a s e do nt h ee x t e n s i o no fm i r r o rs y m m e t r y 3 i n t r o d u c et h ee x i s t i n gs t o pc r i t e r i o ni ne x t r a c t i n gt h eb i m f s ，a p p l yan e ws t o p c r i t e r i o no fi t e r a t i o ni ne x t r a c t i n gt h eb i m f s t h en e w s t o pc r i t e r i o ne f f e c t i v e l y r e d u c e st h en u m b e ro fi t e r a t i o na n dd i m i n i s h e st h er u n n i n gt i m eo ft h eb e m d a l g o r i t h m 4 a n a l y z e t h ea p p l i c a t i o no fb e m di n i m a g ed e c o m p o s i t i o na n dt e x t u r e d e c o m p o s i t i o n k e y w o r d s ：e m d ；b o u n d a r yp r o c e s s i n g ；e x t r e m a ；s t o pc r i t e r i o n ；i m a g ed e c o m p o s i t i o n ；t e x t u r e d e c o m p o s i t i o n i 论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的 研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人 完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：似 醐：叩朋引日 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版 和纸质版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆、院系资料室被查阅，有权将学位论文的内容编入有关 数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其他方法保存学位论文。 广汐 学位做储虢似新虢怕书 日期：舻叩年f 月7 日日期：矽作r 月弓1 日 第1 章绪论 1 1 选题背景 第1 章绪论 信号的适当分解和变换对于其特征刻划和分析是至关重要的。时域分析和频 域分析是基于人的感知特性的信号处理的基本方法。信号的时域分析是最基本 的，因为信号本身就是时间波形，信号的时域分析研究的就是信号随时间变化的 规律。然而，如果我们想要深入地理解信号，那么，研究信号的不同表示是有用 的。除了信号的时域表示以外，最重要的表示就是频率表示。基于频率表示而进 行的信号分析就是信号的频域分析。f o u r i e r 分析作为频率分析的典范，自1 8 0 7 年由f o u r i e r 提出以来，在平稳信号处理中几乎处于不可替代的地位，并且已经 被应用到各种类型的问题中。但是它仍然存在着一些严重的局限性：系统必须是 线性的：数据必须是严格周期性的或者平稳的。但是在实际应用过程中，数据是 不完善的。通常，我们使用的数据是有限长，非平稳的，并且是非线性的。因此， f o u r i e r 在信号处理与分析中的应用受到了极大的限制。针对f o u r i e r 变换对于 非平稳，非线性的局限性，研究者们研究出新的针对非平稳，非线性信号处理与 分析的方法。目前，对于这类非平稳信号处理方法主要有下面三种：短时傅立叶 变换方法，w i g n e r - v i l l e 分布方法、小波分析方法。 短时傅立叶分析方法主要是由g a b o r 1 提出的。短时f o u r i e r 变换是研究非 平稳信号最广泛使用的方法，其基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔， 并假设在这个小的时间间隔内信号是平稳的，用f o u r i e r 变换分析每一个时间间 隔，以便确定在那个时间间隔存在的频率。这些频谱的总体就表示了频谱在时间 上是怎样变化的。短时f o u r i e r 变换方法又称谱图方法，它在很长时间内成了非 平稳信号分析的一种标准的和有力的工具。但是短时f o u r i e r 变换依赖于传统的 傅立叶分析，在使用短时f o u r i e r 变换时，我们假定非平稳信号在分析窗的短时 间隔内是平稳的。但根据h e i s e n b e r g 不确定性原理，时间分辨率与频率分辨率 不能同时任意小。要提高时间分辨率就要降低频率分辨率，反之亦然。实际应用 中一旦窗函数选定，则时间分辨率与频率分辨率确定。分析不同时段的信号，使 用相同宽度的窗函数，所以它不适应信号频率高低变化的不同要求，因此具有不 变窗的短时f o u r i e r 变换更适合应用在准稳态信号分析的场合。在实际应用中也 第1 章绪论 存在许多问题：为了在时间域更好的局部化一个事件，窗口的宽度必须很窄，但 是另一方面，要获得好的频域分辨率又要求宽的时窗。这一矛盾限制了这种方法 的使用。 w i g n e r - v i l l e 分布最早由w i g n e r 于1 9 3 2 年在量子力学中引入 4 3 ，v i l l e 于1 9 4 8 年把它作为一种信号分析工具提出 4 4 。所以，现在习惯地称之为 w i g n e r - v i l l e 分布。其重要特点之一是具有明确的物理意义，它可被看作信号 能量在时域和频域中的分布。但是它也存在一些问题，根据卷积定理，多分量信 号的w i g n e r v i l l e 分布会出现交叉项，这是w i g n e r 分布应用中的主要困难。交 叉项通常是振荡的，而且幅度可以达到自项的两倍，造成信号的时频特征模糊不 清。因此，如何有效抑制交叉项，对时频分析非常重要。对多分量信号的干扰项 虽是无法避免的，但国内外学者已经研究了多种可抑制或削弱它们的方法。但是， 当信号含有较多的频率成分或其频率成分靠得较近时，w i g n e r - v i l l e 分布所产 生的交叉干扰项问题仍然没有得到很好的解决。 小波变换是上世纪8 0 年代后期发展起来的一门新兴的应用数学分支。小波 分析的出现对研究者们在信号处理、图像处理、语音分析、模式识别等方面的研 究突破发挥着重大的意义。小波分析本质上是一种时间尺度分析。由于尺度参数 依照所使用小波的频谱结构与频率因子相关联，所以亦近似地当作时频分布的工 具。它克服了窗口f o u r i e r 变换的时频窗不能改变形状的缺陷，而可以有效地聚 焦信号的瞬时结构，所以被人们誉为数学显微镜。 在1 9 9 8 年n o r d e nh u a n g 等人 2 提出了一种新型的信号分析与处理方法 一经验模式分解方法( e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ) 。经验模式分解方法 具有自适应性，而且其不仅适用于非线性信号的分析与处理，同时也适用于非稳 定信号的分析与处理。这使得经验模式分解方法在信号分析与处理领域中具有较 好的实际应用价值。通过经验模式分解方法的筛分过程，原始时间系列信号x ( ，) 被 分解为从高频到低频的有限多个固有模式函数( i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n ) 和最后 残余量( r e s i d u e ) 的和。由于e m d 算法能把原始信号分解成具有不同的频率分量， e m d 算法在各个领域有着广泛的应用，并且显现出显著的效果。e m d 算法的出 现，使得信号处理与分析方法取得了重要突破。 从一维e m d 算法的提出至今，e m d 方法吸引了众多国内外的研究学者。研究 2 第1 章绪论 学者对于e m d 算法的研究只要包括，e m d 方法在不同领域的应用、边缘效应、筛 分停止原则，包络插值方法 3 等发面。对于e b f d 方法的应用，不同领域的研究 学者进行了多方面的研究。e n i d 方法已经在海洋 4 】、气象 5 】、地震学、医学、 机械故障诊断分析【6 ，7 ，8 】等领域得到了应用。如，杨力华等人 9 运用e m d 算 法与h h t ( h il b e r t h u a n gt r a n s f o r m ) 对睡眠e e g 信号中梭形波( s p i n d l e ) 进行自动检测；杨志华等 1 0 运用e m d 算法对汉字字体进行识别；张义平等 1 1 运用e m d 算法与h h t 对爆破地震信号进行分析；刘贵栋、沈毅 1 2 运用e m d 算法 与h h t 对医学超声信号进行降噪处理。在对e m d 算法的边缘效应抑制方面的研究 有，2 0 0 1 年邓拥军等【1 3 】提出的神经网络方法；2 0 0 3 年黄大吉等【1 4 】提出的镜像 闭合法和极值点延拓法：2 0 0 4 年刘惠婷等 1 5 】提出的多项式拟合算法；2 0 0 6 年 郑天翔、杨力华【1 6 】提出的基于极值点对称延拓的端点b 样条插值方法；2 0 0 8 年黄先祥等 1 7 】提出的自适应端点相位正弦延拓与自适应端点相位指数正弦延 拓的方法等。 1 2 二维e m d 算法的研究现状 由于e m d 方法在非线性、非平稳的一维信号分析与处理的优越性，研究学者 们对二维e m i ) 分解算法的研究充满兴趣。而且，二维信号一一数字图像信号，在 现实生活中基本上为非平稳信号。如果e m d 算法能够从一维拓展n - 维，它将为 图像信号分析与处理提供一种全新的方法。研究学者们对二维经验模式分解的研 究只要有以下几个发面。 韩春明等人 1 8 提出了一个基于e m d 方法的多尺度边缘提取方法。利用e m d 方法沿水平方向和垂直方向分别处理s a r 图像，得到不同尺度的图像。计算不 同尺度图像的梯度，得到不同尺度图像的边缘，并且在应用中实现了s a r 图像的 边缘提取。 j c n u n e s 等人 1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 2 提出了二维经验模式分解方法。在该方法中， 他们运用数学形态学的方法去提取图像极值点，所提取的极值点通过径向基函数 方法进行曲面插值得到包络面。他们把二维经验模式分解方法应用于纹理分析与 医学图像的分解。在纹理分析中，比较纹理图像的三种基本组成部分与通过二维 e m d 分解所提取出来的纹理分量，二维e m d 方法在纹理分析中可以取得比较好的 第l 章绪论 效果。另外，他们还把二维e m d 方法应用到医学图像的分析，成功分解与检测医 学m r i 脑部图像的特征。 瑞典学者a n n al i n d e r h e d 2 3 ，2 4 ，2 5 ，2 6 3 运用二维经验模式分解方法对图像 进行压缩处理并提出了基于二维经验模式分解的多种图像压缩方法。一是，通过 提取b i m f ( b i d i m e n s i o n a li n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n ) 分量的极大点值与极小点 值，采用只保存极值特征点实现压缩；二是，通过对b i m f 采用离散余弦变换。 b i m f 变换后能量集中在低频部分，通过滤波截取经过变换后的低频信息，并只 保存该信息，从而达到压缩的效果。 刘忠轩等人 2 7 ，2 8 ，2 9 提出了d e m d ( d i r e c t i o n a le m p i r i c a lm o d e d e c o m p o s i t i o n ) 的方法。这种方法在分解框架中考虑了图像的方向性，并从分解 的每个成分中对每个点提出三个特征以进行图像处理。使用d e m d 分解提取的特 征进行纹理分割的实验说明了这种方法对于纹理处理的有效性。此外，给出了关 于d e m d 区分纹理在视觉上的解释，另外，刘忠轩等人还提出了二维经验模式分解 的边界处理问题，并把b e m d 应用于纹理分析与图像处理方面。 宋平舰等人 3 0 将经验模分解方法二维化、并应用于海洋遥感图像处理，实 现了图像数据的线性化、平稳化预处理与不同信息的尺度分离，为海洋遥感应用 研究特别是图像谱分析研究和目标识别研究提供了一种有效的数据源预处理新 方法。 周欣等人 3 1 提出基于二维经验模式分解的图像去噪，通过二维经验模式 分解( b e m d ) ，可将被噪声污染的图像分解为一系列细节信息和趋势信息。由图像 的趋势信息重建图像，可达到去除图像噪声的目的。实验结果表明该方法对去除 高斯白噪声、乘性噪声具有较好的效果。 1 3 本文的主要工作与内容安排 在本文中，作者通过一维经验模式分解方法引出二维的经验模式分解方法， 并在文中做了以下工作： 1 实现了j c n u n e s 等人所提出的基于径向基函数曲面插值方法的二维经 验模式分解算法并对区域型极值点的处理做了分析与处理。 2 给出基于镜像对称延拓的边界效应抑制方法的详细过程。 4 第1 章绪论 3 修改提取b i m f 的迭代停止准则，有效减少了二维经验模式分解的迭代次 数，减少算法的执行时间。 4 分析二维经验模式分解方法在图像分解与纹理分解方面的应用。 本文内容的安排： 第一章为绪论。介绍了在信号处理中的三种传统的分析处理方法这些该方法 的局限性；介绍了一维经验模式分解方法的背景与研究者们对一维经验模式分解 的研究方向与领域。引出了二维经验模式分解方法并介绍了二维经验模式分解方 法的研究现状。 第二章为一维经验模式分解的介绍。介绍了一维经验模式分解算法的过程， 举出一维经验模式分解的详细示例；简述了一维经验模式分解方法的边缘效应并 给出已有的针对边缘效应处理的文献介绍。 第三章为二维经验模式分解的介绍与改进。把一维经验模式分解算法拓展为 二维经验模式分解算法，详细叙述了二维经验模式分解方法的过程并给出流程 图。相应地，介绍了二维经验模式分解算法在图像处理中涉及的基本概念与方法， 如，邻域、邻域极值点的概念、极值点的提取方法、径向基函数插值方法等。另 外，在本章中作者进行了边界效应的分析，并提出了镜像对称延拓方法，该延拓 方法实现了对二维经验模式分解方法的改进。另外，提出了另一种提取b i m f 分 量的迭代停止准则，分析该准则对算法实现的影响。 第四章为二维经验模式分解方法在图像分解与纹理分解中的应用。 第五章为总结与展望。本章主要分析了二维经验模式分解方法的优点、缺陷 与局限性；提出二维经验模式分解方法在今后中需要解决的问题。 5 第2 章一维经验模式分解 第2 章一维经验模式分解 在1 9 9 8 年n o r d e nh u a n g 等人提出了一种新型的信号分析与处理方法经 验模式分解方法( e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s n ) 。经验模式分解方法具有自适应 性，而且其不仅适用于非线性信号的分析与处理，同时也适用于非稳定信号的分 析与处理。这使得经验模式分解方法在信号分析与处理领域中具有较好的实际应 用价值。通过经验模式分解方法的筛分过程，原始时间系列信号被分解为从高 频到低频的有限多个固有模式函数( i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n ) 和最后余量( r e s i d u e ) 的和。所获得的固有模式函数的平均频率近似地具有二分特性，即各固有模式函 数的平均频率约为前一个本征模态函数平均频率的一半。而余量为一恒定信号或 者单调信号。所获得的各个固有模式函数必须满足以下两个条件： ( 1 ) 函数的极值点个数与零点个数相等或者至多相差1 。 ( 2 ) 在任意时刻，由函数极大值点产生的上包络线与由极小值点产生的下包 络线的平均值为零，即上下包络关于时间轴对称。 2 1 一维经验模式分解的过程 原有信号的固有模式函数分量i m f 由以下的筛分过程实现，称之为经验模式 分解算法： ( 1 ) 寻找时间系列信号x ( t ) 的极小值点与极大值点。 ( 2 ) 对极大值点与极小值点分别进行三次样条插值，获得上下包络线分别为 u p p e r 和l o w e r ，并计算上下包络线的平均值， 令 = u p p e r 广+ l o w e r 红= x ( r ) 一确 在理想情况下，红应该为第一个i m f 分量。但是在实际中， 不满足i m f 的两 个条件。把扛看作新的原始时间系列信号，重复( 1 ) ，( 2 ) 步骤，计算得到新的 6 第2 章一维经验模式分解 上下包络线的平均值 矗，。= 囊一铂 我们重复该过程七次，直到j j l j 是一个i m f 。且有， 我们记 磊j i 一码j = 盔j 为原始时间系列信号的第一个i 。 ( 3 ) 我们记 q = a j ，i2 x ( f ) 一q 称为第一个余量，并把其看成新的原始时间系列信号，并重复以上步骤，获得新 的i l v l f s 列乞，g 一巳及其相应余量吒，吩，：，且 = 乞+ 乞 该分解过程可以在满足下列条件之一时停止： 1 q 或者，；，比一个预先给定的值还小 2 ，：l 是一个常数函数或者单调函数以至不能再从_ r ：1 分解出新的i m 。 因此，原始信号可记为所有i m f q ，c 2 一巳与最后余量的和： 力 鄹) = q + ，：， l = l 在筛分过程中，理论上我们根据固有模式函数的两个条件去判别所分解出来 的函数是否为i m f s ，但是计算机实现中，我们选取标准偏差肋，当标准偏差小 于给定值时，所分解出的函数可近似看作i m f 。其中s d 由以下表达式给出： 肋= 姜訾 岛。，岛。七为在筛分第，个i m f 过程中所得到的两个相邻的筛分结果。经验上， 7 第2 章一维经验模式分解 对于s d 的值，我们通常设为0 2 0 3 之间。 2 2 一维经验模式分解过程示例 图2 - 1 中给出t o n e 与c i l i i p 两个信号( 蓝色曲线) 及其由这两信号构成的叠 加信号( 黑色曲线) 。设叠加信号为原始信号。 l i | | n 1 j j 沁沁瀚漱燃 图2 - 1l o n e ，c h i r p 信号及其合成信号 现通过e m d 方法把原始信号中两个不同频率成份的信号分解出来，其分解 过程见图2 - 2 a 至图2 - 2 j 所示： 第2 章一维经验模式分解 第2 章一维经验模式分解 m2 “i m f ( g ) 3 r d i m f 第2 章一维经验模式分解 1 02 d加卯7 0即 1 1 加1 加 第2 章一维经验模式分解 e m p i r i c a lm o d ed e c o m d o s f f i o n 一2r7r_ii_=_ir-1 1 ：e 二二二二二二二三 2l 。，_ j ! 乏e 三三三三三三三三刍 ；：e 三三三三三三三三刍 s 乏 二二二二二二二 ( i ) i m f 分量及其余量 图2 - 2 经验模式分解过程示例 r e ( a ) 与图( b ) 为获取第i s ti m f 的第一次迭代过程。在图( a ) 中蓝色点为原始 信号的极大值点。蓝色曲线为通过极大值点进行插值获得的上包络曲线；红色点 为极小值点，红色曲线为通过极小值点进行插值获得的下包络曲线；中间曲线为 上下包络的均值曲线。图为原始信号曲线与均值曲线的差，记为r e s i d u e 。 对r e s i d u e 不断重复图( a ) 图( b ) 的过程，直至提取出第一个i m f 分量，见图( c ) 。 在该图中，所得信号( 黑色曲线) 上下包络的平均值已经几乎接近为零，则可 把其看成一个1 m f 分量。至此，原始信号的第一个i m f 分量已经被提取。 从原始信号中减去所获得的一个i m f 分量，得到第一个余量。对第一个余量 信号进行同样的选代直至提取出所有的1 m f 分量，即最后获得的余量信号的极 值点数小于1 。图为所提取的第二个i m f 分量；图( g ) 为第三个i m f 分量：图 ( h ) 为第四个i m f 分量，图( 0 为第五个i m f 分量。图o ) 为对原始信号进行e m d 后所得到的所有i m f 分量及其最后剩余量。由图可知，所分解出来的第一个、 第二个i m f 分量与原始信号的构成分量相似。尽管分解过程中产生了第三、第 四、第五个1 m f 分量，但是其幅值相对较小，可近似看成零。 第2 章一维经验模式分解 2 3 一维经验模式分解方法的边缘效应 在一维经验模式分解( e m d ) 中，由于分析信号的有限长度、信号两端点不 能确定是否是极值，那么，对信号极值点进行插值时，必然使得信号的上下包络 在信号的两端附近发生扭曲，由于时间尺度小，极值间的距离小，两端的边缘效 应近局限在信号很小的部分，但是对于低频分量，由于时间尺度大，极值间的距 离大，两端的边缘效应扩散到信号内部，特别是原始信号数据集比较短时，会严 重影响e m d 分解的质量。而且在获取i m f 分量迭代过程中，上一次受扭曲的信 号在迭代中会使得下一次所获得的信号发生更加严重扭曲，甚至使分解出来的 i m f 分量没有实际的物理意义。 我们考虑信号y ( t ) = 1 2 c o s ( 0 4 n t ) + 0 6 c o s ( 0 8 兀f ) + 0 ，5 s 岖o 1 砸) ，t 【0 2 ，9 8 】。 显然，信号由三个不同频率的正余弦信号组成。由图2 3 所示，该信号存在三个 极大值点与四个极小值点。分别对极大值点与极小值点进行三次样条函数插值得 到上下包络。由于在端点处没有极值点，通过样条插值后，上下包络在端点处的 值发生了严重偏离。对于较长的数据序列，可以根据极值点的情况不断抛弃两端 的数据来减小所得到的包络的失真。但是对于短数据序列，抛弃端点两侧附近的 数据，同样会使得原有数据失真。因此，对于如何去消除或减弱一维e m d 算法 的边缘效应，吸引了许多进行e m d 研究的学者们的注意。 图2 - 3 端点效应 1 3 第2 章一维经验模式分解 为了有效解决e m d 算法的边缘效应，许多学者进行了多种方法的研究，提 出不同的延拓方法，并在某种程度上减弱了e m d 算法的边缘效应。例如，2 0 0 1 年邓拥军等提出的神经网络方法；2 0 0 3 年黄大吉等提出的镜像闭合法和极值点 延拓法；2 0 0 4 年刘惠婷等提出的多项式拟合算法；2 0 0 6 年郑天翔、杨力华提出 的基于极值点对称延拓的端点b 样条插值方法；2 0 0 8 年黄先祥等人提出的自适 应断点相位正弦延拓与自适应端点相位指数正弦延拓的方法等。对于不同的信 号，不同的方法会显示是其优越性及局限性。在实际应用研究中，我们应该根据 信号的特性去选择适当的延拓方法。 1 4 第3 章二维经验模式分解 第3 章二维经验模式分解 一幅图像可以定义为一个二维函数f ( x ，y ) ，这里x 和y 都是空间坐标，而在任 何一对空间坐标( 而，) l 拘( g f ( x o ，) 称为图像在该点的强度或灰度，( 而，) 也 称图像的象素位置。根据一维经验模式分解方法的思想，一些学者把经验模式分 解算法推广到二维情形并在图像处理得以应用。在分析二维经验模式分解之前， 我们先对二维固有模式函数的条件进行介绍。 一个二维函数g ( x ，y ) 若是二维固有模式函数( b i d i m e n s i o n a li n t r i n s i cm o d e f u n c t i o n ) ，需要满足以下两个条件： 1 g ( x ，y ) 为零均值的。即，通过g ( x ，y ) 的极大值点与极小值点分别插值得到上 下包络的平均值为零。 2 g ( x ，y ) 的极大值点数目与极小值点数目相等或者至多相差l 。这一条件与一 维固有模式函数的条件有所区别。对于二维函数g ( x ，y ) ，其跨零点数可以无穷大。 3 1 二维经验模式分解算法过程 与一维经验模式分解算法相似，二维经验模式分解算法筛分过程如下： ( 1 ) 检测二维信号f ( x ，y ) 的极大值点与极小值点。 ( 2 )对极大值点与极小值点分别使用径向基函数( r a d i a lb a s i sf u n c t i o n ) 方 法进行插值，获得上下包络线分别为u p p e r 和l o w e r ，并计算上下包络的平均值 ， = u p p e r 广+ l o w e r 令 = 厂( w ) 一 在理想情况下，啊应该为第一个b i m f 分量，但是在实际中，a 不满足b i m f 的 1 5 第3 章二维经验模式分解 两个条件。把啊看作新的原始时间系列信号，重复( 1 ) ，( 2 ) 步骤，计算得到新 的上下包络线的平均值m 1 ， j j l 1 = 一，l 我们重复该过程七次，直到啊j 是一个b i m f 。且有， 我们记 啊j 1 一，= 红，i c 1 = 啊j 为原始时间系列信号的第一个b i m f 。 ( 3 ) 我们记 ，i = 厂( z ，j ，) 一c l 称为第一个余量，并把其看成新的原始时间系列信号，并重复以上步骤，获得新 的b i m f 列c 2 ，岛巳及其相应余量吃，r 3 。且 ，i = 乞+ r 2 吒= 巳+ 吩 ，；l = + ，：， 该筛分过程可以在满足下列条件之一时停止： 1 q 或者名比一个预先给定的值还小。 2 厶是一个常数函数或者单调函数以至不能再从分解出新的b i m f 。 因此，原始信号可记为所有i m fc l , c 2 与最后余量，；l 的和： 一 厂“y ) = q + f i l 根据以上二维经验模式分解算法筛分过程，其流程序流程图如图3 - 1 所示： 1 6 第3 章二维经验模式分解 图3 1 二维经验模式分解流程图 上述流程图中，o r i g i n 表示原始图像信号，b i m f ( j ) 表示第j 个二维固有模 式函数分量，最后剩余量也保存在三维数组b i m f 中。 3 2 插值节点选取 在上述算法过程中，极大值点与极小值点分别作为上下包络的插值节点。而 1 7 第3 章二维经验模式分解 对极值点的检测与获取主要有两种方法：八邻域检测方法与形态学重建方法。 3 2 1 八邻域检测方法 邻域是图像处理中的一个重要概念，图像处理中的两种常见邻域为四邻域与 八邻域 4 2 】。对于图像中的某一象素，其上、下、左、右四个相邻的象素为其四 邻域，见图3 2 中的( a ) 图所示；相应地，图像中某一象素的上、下、左、右 及四个对角一共八个相邻的象素为其八邻域，见图3 2 中的( b ) 图。 ( i l j ) ( i j 1 )( i ，j )( i ，j + 1 ) ( i + l ，j ) ( i l , j - 1 )( i - i ，j )( i ，j + 1 ) ( 功- 1 )( i ，j )( i ，j + 1 ) ( i + l j 一1 )( i + l j )( i + 1 j + 1 ) ( a ) 四邻域( b ) 八邻域 图3 2 四邻域与八邻域 根据四邻域与八邻域的概念，我们可以给出一幅数字图象中四邻域与八邻域 极值点的定义。 四邻域极值点：在一幅数字图像中，若象素( x a ，乃) 的幅值大于或等于其上、 下、左、右四个相邻的象素点的幅值，则( 西，咒) 为该图像的极大值；相应地，若 ( 而，咒) 的幅值小于或等于其上、下、左、右四个相邻的象素点的幅值，则( 西，m ) 为图像的极小值。 八邻域极值点：在一幅数字图象中，若象素( _ ，m ) 的幅值大于或等于其上、 下、左、右及四个对角相邻的象素点的幅值，则( 墨，y 0 为该图像的极大值；相应 地，若( 五，m ) 的幅值小于或等于其上、下、左、右及四个对角相邻的象素点的幅 值，则( 五，y 0 为图像的极小值。 八邻域极值点检测方法。扫描灰度图像的所有像素，对每一个像素，若其像素 幅值大于或等于其八邻域每个象素的幅值，则标记该像素为极大值；若其像素幅 值小于或等于其八邻域每个象素的幅值，则标记该像素为极小值，直至对灰度图 像扫描完毕。 1 r 第3 章二维经验模式分解 3 2 2 形态学重建方法 形态学重建( m o r p h o l o g i c a lr e c o n s t r u c t i o n ) 学一个根有用的算子， 它祥层次分割过程的每一步的应用中已经证明其效率，这些应用过程包括从极值 点的检测到层级图像的重建。形态学重构是基于两幅图像和一个结构元素的形态 学变换。幅图像为标h 2 ( m a r k e r ) ，是变换的开始点。另一幅图像为掩模( m a s k ) ， 用来约束变换过稃。如果g 足掩模，为标记，则从，重构g 可以已为置。， 毛构过程可简单叙述为，在f 限制下，对，进行反复膨胀直到稳定。即重构由下 面的选代过程定义： 1将 初始化为标记图像r 。 2 存g 限制f ，埘进行膨胀操作盖到+ = 0 重构一个比较显著的心用就足极值点的榆测与获取。对于一维情形，膨胀过程 如图3 3 a 所示。监色曲线代表标记，红色曲线为掩模，标已曲线在任意点的值 比掩模曲线的值小于一个j f 常数。黑色细曲线为膨胀过程中得到的重构曲线。每 一次膨胀藓构曲线都必须限制在掩模曲线的下方。最后一次膨胀得到的结果为最 终重构曲线。最终重构曲线如罔3 - 3 b 所不，其中黑色粗曲线为虽终熏构曲线。 这两幅图都来自m a t h b 740 帮助文档。 第3 章一维经验模式分解 ( 坼 图3 - 3 形态学重构 由图3 3 b 中所示可知，掩模曲线与重构曲线的差相应于掩模曲线极大值的指 示函数。相反，标记曲线通过腐蚀迭代得到的重构曲线与原掩模曲线的差相应于 掩模函数极小值的指示函数。因此，通过形态学重构方法，我们亦可以检测并获 取到给定曲线( 或曲面) 的极大值与极小值。对于极大值与极小值检测方法细节， 可参考文献【4 1 在本论文中，极值点的选取是基于八邻域方法对于图像中的内点需要比 较内点与八个邻域象素的幅值，去确定内点是否是极值点；对图像中的四个角点 是否是极值点的判别只需要比较每个角点与其对应三个邻域的幅值，去确定角 点是否是极值点；对于数宁图像的第行，虽后一行，第一列，最后一列的其它 像素( 即除去四个角点) 是否是极值点的判别，需要比较该像素与其五个邻域像 素的幅值，去确定像素是否为极值点。图3 - 4 为判别图像中三种不同类型的点( i j ) 是否是极值的时需要考虑的邻域点的图示。 ( j 1 )( i l , j ) ( i j + 1 ) ( i j 1 ) ( 1 ，j )( i d + 1 ) ( i + 1 j 1 )( i + 1 j )( i + 1 j _ 1 ) ( 砷内点情形 ( i ，j )( i ，j 十1 ) ( j )( r _ l j 十1 ) ( b ) 角点情形 第3 章二维经验模式分解 ( i 1 ，j )( i 1 扩1 ) ( i ，j )( i ，j + 1 ) ( i + l j )( i + 1 j + 1 ) ( c ) 边界点情形 3 2 3 极值点的处理 图3 - 4 极值点判定 与一维e m d 方法中极值点的判别相比较，二维e m d 方法中极值点的判别 复杂一些。在一维e m d 方法中，极值点的判别只需要对被判定点与其左右两个 相邻点进行比较即可。另外，一维e m d 方法会遇到线段型极值点情形。线段型 极值点，即，函数值在某连续区间上相等，并且在该区间上的点都为函数的极值 点。对于线段型极值点，在一维e m d 方法中，较多采用线段中间点作为极值点 进行处理。但是在图像中，极值点判别需要比较被判定点与其八个邻点的灰度值。 图像的区域型极值点可理解为，在某一个象素区域中各象素的灰度值相等，而且 区域中的每一象素的灰度值都为图像灰度极值。区域型极值点的区域形状比较复 杂，我们难以判定图像区域型极值点的区域结构。这给我们对区域型极值点的处 理带来了比较大的困难。 图3 5 简要给出四种区域型极值点。在实际图像中，区域型极值点还存在更 加复杂的结构。在本文中，对于连续区域型极值点都把其看成插值节点。这样的 处理可以有效保留图像中等灰度值的区域的信息与保护图像边缘轮廓信息。 10 1o 1 0 1o 1a 1o 13 13 13 1o 10 13 13 1 3 1o 10 1 3 13 1 3 10 10 1o 1a 10 1a 2 l 1o1 0 j 1 0 101 0 ” 1o 1o1o o 0 ，o o 1 1 1 1 1 、， o ，a 1 o o o o o o 第3 章二维经验模式分解 ( c )r m 图3 - 5 连续区域型极值点 例如 对于1 2 8 1 2 8 的l e n a 图，其极值点的查找结果如图3 - 6 所示，其 中，图( a ) 为l e n a 原图，图( b ) 为极大值点的查找结果，白色点为极大值点； 图( c ) 为极小值点的查找结果，白色点为极小值点。对于极值点囤中，较大的 白色区域为区域型极值点所形成的区域。 ( a ) 3 3 曲面插值 ( b )f 曲 图3 6极值点 在b e m