（计算数学专业论文）基于变量分离内插滤波器的图像尺寸转换.pdf

摘要 随着多速率信号处理和数字图像处理的发展，提高或降低图像的分辨率已经 成为数字图像处理的一个重要应用，这就要求我们能够以任意有理比率对具有不 同分辨率的图像进行尺度转换，图像尺度转换问题，实质上就是图像的采样率转 换问题。 本文针对数字图像有理因子的尺度转换问题，进行了研究。 首先提出了采样率转换过程中抗混叠滤波器和m 带插值滤波器的时域设计 算法，将滤波器的设计归结为一个约束优化问题进行解决。尤其是本文把正则阶 作为约束条件之一，从而保证了滤波器通带的平坦性和阻带的快速衰减，并且在 阻带滤波器的频谱值非常接近于零。仿真实验表明，抽取滤波器和m 带插滤波 器具有较好的频域特性。 其次，把上述方法设计的抗混叠滤波器和m 带插值滤波器用于图像尺度转 换，提出了变量分离的有理因子图像尺度转换方法。并阐述了这种方法的两种实 现模式直接实现和高效实现。实验结果表明，采用本文的变量分离方法改变 尺寸后的图像，不需要预滤波，能够较好地保持原图像的特性，取得了较好的视 觉效果。 关键词：抗混叠滤波器m 带插值滤波器采样率转换正则阶图像尺度转换 a b s t r a c t w i t ht h e d e v e l o p m e n t o fm u l t i r a t e s i g n a lp r o c e s s i n g a n d d i g i t a li m a g e ， i n t e r p o l a t i o no fi m a g e s t oh i g h e rr e s o l u t i o ni sa l li m p o r t a n ta p p l i c a t i o ni nt h ef i e l do f i m a g ep r o c e s s i n g p r a c t i c a ld i g i t a li m a g i n ga p p l i c a t i o n sr e q u i r et h ea b i l i t yt os c a l e i m a g e sw i t l l d i f f e r e n tr e s o l u t i o na t a n y r a t i o n a lr a t i o i m a g es i z e c o n v e r s i o ni s v i r t u a l l ya no p e r a t i o n t h a ta l t e r st h es a m p l i n gr a t eo f i m a g e i nt h i sp a p e r , w er e s e a r c ht h ep r o b l e mh o wt os c a l ei m a g ea ta r b i t r a r yr a t i o n a l r a t i o a n a l g o r i t h mo fd e s i g n i n gt h ea n t i a l i a s i n gf i l t e ra n dt h em t h - h a n di n t e r p o l a t i o n f i l t e ri nt i m ed o m a i ni s f i r s t l yp r o v i d e d t h ed e s i g no ff l t e ri st r a n s l a t e di n t oa n o p t i m i z a t i o np r o b l e mw i t hs o m ec o n s t r a i n t s e s p e c i a l l y , r e g u l a r i t ya so n eo ft h e c o n s t x a i n t sa s s u r et h ef l a t n e s si np a s s b a n da n dt l l eh i g ha t t e n u a t i o ni ns t o p b a n d e v e n t h ev a l u eo fs t o p b a n d r e s p o n s e i s v e r y c l o s et oz e r o s e v e r a l e x p e r i m e n t s a r e p r e s e n t e d t o d e m o n s t r a t et h a tt h e p r o p o s e d d e c i m a t i o nf i l t e ra n dm t h - b a n d i n t e r p o l a t i o nf i l t e rh a v eg o o dh i g hf r e q u e n c yc h a r a c t e r i s t i c s s u b s e q u e n t l y , t h ep r o p o s e da n t i a l i a s i n gf i l t e ra n di n t e r p o l a t e dm t h b a n df i l t e r a r ea p p l i e dt ot h ei m a g es i z ea l t e r a t i o na n dan e w a p p r o a c ht or a t i o n a li m a g es c a l i n g c a l l e d s e p a r a t i n gv a r i a b l em e t h o di sp r o v i d e d i nt h i sp a p e r , t w op a t t e r no ft h i s s e p a r a t i n gv a r i a b l ei m a g es c a l i n gc o n v e r s i o nm e t h o da r ea d d r e s s e d d i r e c ts t r u c t u r e a n de f f i c i e n ts t r u c t u r e w eh a v ep r e s e n t e dr e s u l t st h a td e m o n s t r a t et h a ti m a g es e a l e d u s i n gt h ep r o p o s e da p p r o a c hc a np r e f e r a b l yp r e s e r v et h ec h a r a c t e r i s t i co fo r i g i n a l i m a g e m o r e o v e ri m a g e ss c a l e du s i n gt h ep r o p o s e dm e t h o da r ef r e ef r o ma r t i f a c t s ， w i t h o u t a n yp r e f i l t e r i n g ，h a v i n gb e t t e rv i s u a le f f e c t k e yw o r d s ：a n t i - a l i a s i n gf i l t e r , m t h - b a n d i n t e r p o l a t i o n f i l t e r , s a m p l i n g r a t e c o n v e r s i o n ，r e g u l a r i 魄i m a g es c a l i n gc o n v e r s i o n 创新性声明 y - 6 9 5 6 9 5 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗弼钓内容外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或其 它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名 i，。o 垒殛一j j l 一 日期：塞! ! 上! 星 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文：学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复印手段保存论文。 本人签名 导师签名 毖 归衄 日姐：2 0 0g 、 | g 日期：巡：! ：! 星 第一章绪论 第一章绪论 1 1采样率转换及其滤波器设计的应用背景和发展现状 1 应用背景 在实际系统中，经常会遇到采样率的转换问题，即要求一个数字系统能工作 在“多采样率”状态。例如： ( 1 ) 在数字电视系统，图像采集系统般按4 ：4 ：4 标准或4 ：2 ：2 标准采 集数字电视信号，再根据不同的电视质量要求，将其转换成其它标准的数字电视 信号( 如4 ：2 ：2 ，4 ：l ：1 ，2 ：1 ：1 等标准) 进行处理传输。这就要求数字电 视演播室系统工作在多采样率状态。 ( 2 ) 在数字电话系统中，传输的信号既有语音信号，又有传真信号，甚至是 视频信号，这些信号的频率成分相差甚远。所以，该系统应具有多种采样率，并 根据所传输的信号自动完成采样率转换。 ( 3 ) 对一个非平稳随机信号( 如语言信号) 作谱分析或编码时，对不同的信 号段，可根据其频率成分的不同而采用不同的采样率，以达到既满足采样定理， 又能最大限度地减少数据量的目的。 ( 4 ) 如果以高采样率采集的数据存在冗余，这时就希望在该数字信号的基础 上降低采样速率。 以上所列举的几个方面都是希望能对采样率进行转换，或要求数字系统工作 在多采样率状态。近年来，建立在采样率转换基础上的“多采样率数字信号处理” 已成为数字信号处理学科中的主要内容之一。 一般认为，在满足采样定理的前提下，首先将以采样率只采集的数字信号进 行d a 转换变成模拟信号，再按采样率e 进行纠d 变换，来实现从f 到e 的采 样率转换。但这样较麻烦，且易使信号受到损伤，所以实际上改变采样率并不是 将数字信号变成模拟信号后再进行一次不同速率的采样，而是在数字域实现的， 对采样后的数字信号x ( n ) 直接进行采样率转换，以得到新的采样数据。采样率转 换通常分为“抽取”和“插值”。抽取是降低采样率已去掉多余数据的过程，而插 值则是提高采样率以增加数据的过程。 2 历史与发展现状 多速率滤波指的是系统工作在多个采样率情况下的滤波，在七十年代初期， r ws c h a f e r 和go e t k e n 在关于对信号进行插值的文献【1 1 1 2 】中首先在数字信号处 基于变量分离内插滤波器的图像尺寸转换 理领域提出了多速率滤波的概念。之后，f b h i l d e b r a n d 和r w h a m m i n g 给出了 利用多项式对信号进行插值的方法，然而，多项式插值的误差较大f 3 ”l 。对于一维 情况，多速率信号处理技术允许同一个系统采样率的变化在采样点之间进行 【2 】 5 1 ，由于采样点之间的间距可以尽可能的小，这就使得对信号的处理更为有效， 但是这也会导致混叠现象的出现。因此，八十年代末，p p d y a n a t h a n 等人提出， 基本的采样率转换模块由抽取过程和插值过程组成7 】【8 l g l i ，其中抽取过程由抗 混叠滤波和下采样组成，插值过程由上采样和滤波组成。在采样率转换系统中， 滤波是抽取和内插过程的重要组成部分，数字滤波起着关键性的作用【1 2 】f 1 3 】，因 此，适当的滤波器设计方法对于多速率系统的应用是至关重要的。抽取和插值滤 波器的设计也在一些文献中早有研究【6 j i l 4 j 【”】。 在过去的二十年中，采样率转换理论以及抽取滤波器和插值滤波器的设计都 得到了丰富的发展，各种各样的滤波器设计算法和采样率转换结构得到了研究。 1 9 8 1 年，h o g e n a u e r 提出了一类经济有效的线性相位f i rc i c ( c a s c a d e d i n t e g r a t o r - c o m b ) 滤波器i l 削，从而实现了按整数因子的采样率转换。2 0 0 3 年，d b a b i e 等基于多项式插值理论，提出了一种离散时间模型算法【1 7 l ( d i s c r e t t i m em o d e l ) 及其改进【18 】【1 9 1 2 0 实现了有理因子的采样率转换。基于这种离散时间模型算法，2 0 0 3 年，v e s al e h t i n e n 【2 l 】提出了图像响应合并方法( i r c ：i m a g er e s p o n s ec o m b i n i n g ) ， 并用这种方法对有理因子采样率转换进行了分析。2 0 0 1 年，o j o r d i eb a b i c 2 2 将c i c 滤波器和线性内插结合起来，实现了无理因子的采样率转换。 随着采样率理论和滤波器设计技术的不断丰富和发展，滤波器的设计也发展 到了可变的数字滤波器设计阶段，自从1 9 8 9 年r z a r o u r 2 卅提出了可变的数字滤波 器设计以来，可变数字滤波器的研究及其在采样率转换器上的应用得到了丰富的 发展 2 4 - 2 9 ，这类滤波器包括截止频率可变的f i r i i r 滤波器，通带带宽可调的线 性f i r 滤波器等。2 0 0 4 年m k t s u i l 3 0 对可变的复值数字滤波器的设计及其在复 信号采样率转换中的应用进行了研究。 为了降低采样率转换过程中的计算复杂度，文献1 3 1 】_ 【3 5 l 的研究发现，如果在抽 取器的输出端，增加一个线性相位f i r 滤波器；或者在插值器的输入端，增加一 个线性相位f i r 滤波器，那么计算复杂度将会得到大幅度降低。基于这种思想， 2 0 0 3 年p e y m a na r i a n 3 6 1 通过优化的方法对这种一级结构中的两个线性相位f i r 滤 波器进行了设计，降低了采样过程中总的乘法运算次数。2 0 0 3 年，m c o f f e y 在采 样率转换过程中，采用了多级f i r 滤波器结构【3 7 】一，即采用多个抽取阶段或多个 插值阶段的级联，与单一滤波过程相比较，降低了每秒的运算次数f 4 2 1 。f i r 滤波器 由于其线性相位和其易于实现性而倍受欢迎，但是，在幅度响应的条件下，与相 应的f i r 相比较，i i r 滤波器的复杂度较低。2 0 0 3 年，l j i l i a n a d m i l i c 提出了一种 应用子带滤波器【1 8 】f 1 9 】进行i i r 多速率滤波器的设计【4 3 l 方法。 第一章绪论 在采样率转换的应用方面，一维多速率系统的典型应用是对语音信号进行子 带编码 删【4 5 【4 6 1 。 1 2图像尺度转换的应用背景和发展现状 1 应用背景 在实际应用中，经常需要对数字图像进行尺度转换，例如： ( 1 ) 在对一幅图像进行m 带小波变换时，如果图像尺寸不是m 的整数倍，这 时应首先将图像的尺寸转换为m 的整数倍，然后才能进行m 带小波变换。 ( 2 ) 对于一个( 1 0 2 4 x 7 6 8 ) 的显示器而言，它所能支持的最高分辨率是 1 0 2 4 7 6 8 ，如果输入图像具有更高的分辨率，则应首先改变输入图像的尺寸，使 其分辨率不大于1 0 2 4 7 6 8 ，以便接收。 ( 3 ) 对一幅具有较高采样率的图像进行存储或传输时，可以首先降低采样率， 傻其以较低采样率进行存储或传输，这样可以节省存储空间和传输费用，然后再 对其进行重构，以恢复原来具有较高采样率的图像。 ( 4 ) 众所周知，随着光学技术和传感器技术的发展，我们能够同时得到多种分 辨率的遥感数字化图像，要想有效地利用这些多传感器的不同分辨率的遥感数据 就需要对这些不同分辨率的遥感数字图像进行尺度转换。 以上所举的几个例子都是希望能够对图像的尺度进行转换，以改变图像的分 辨率。 1 发展现状 在改变图像尺寸方面，1 9 7 8 年h c a n d r e w s 提出了通过三次样条插值进行图 像尺寸转换的方法【47 】；1 9 9 0 年给出了一种应用2 维快速傅立叶变换对图像进行插 值的方法【4 8 j ；1 9 9 3 年s c c h a n 提出了通过子序列傅立叶变换对2 维信号进行插值 以实现改变图像尺寸的方法1 4 到，1 9 9 8 年s o r a i n t a r a 提出了一种运用余弦调制进行 f i r 滤波器设计的算法垆叫；1 9 9 8 年s o r a i n t a r a 将个半带滤波器作为原型滤波器， 按照不同的尺度变换因子对原型滤波器进行余弦调制得到相应的插值滤波器，在 空间域和时域实现了图像的尺寸转换，然而采用这种方法得到的插值滤波器阻带 衰减较差，因此改变尺寸后的图像需要经过预滤波才能收到较好的视觉效果【5 1 l ； 1 9 8 7 年e e v a i d y a n a t h a n 提出了一类滤波器特征滤波器的设计算法f 5 2 】；2 0 0 2 年s e u n g j o o ny a n g 用一个肘。带特征滤波器作为原型滤波器，所需要的m 带插值 滤波器通过采样这个原型滤波器的三次样条插值而得到，从而实现了图像尺寸的 转换1 5 3 】： 基于变量分离内插滤波器的图像尺寸转换 1 3 本文主要工作 本论文的主要研究内容如下：本文研究了变量分离的有理因子图像尺度转换 的算法，论文围绕着采样率转换过程中滤波器的设计和图像尺度转换的实现而展 开，本文的主要内容分两部分。 ( 1 ) 第一部分研究了采样率转换过程中抗混叠滤波器和m 带插值滤波器的设 计算法。根据采样率转换过程中信号频谱变化带来的影响频谱混叠效应和镜 像效应，研究了抽取滤波器和插值滤波器的时域设计算法，以对通带和阻带的要 求作为优化的目标，以滤波器的结构为约束条件，将滤波器的设计转化为一个约 束优化问题进行解决。尤其是，本文把正则阶作为约束条件之一，从而保证了滤 波器通带的平坦性和阻带的快速衰减，并且在阻带滤波器的频谱值非常接近于零。 实验结果表明，抽取滤波器和m 带插值滤波器具有较好的频域特性。 ( 2 ) 把上述方法设计的抗混叠滤波器和m 带插值滤波器用于图像尺度转换， 提出了变量分离的有理因子图像尺度转换方法。即将图像尺寸的缩放转化为变量 可分离的两个一维离散信号的采样率转换来处理：分别沿着图像的水平方向和垂 直方向，在离散域独立地进行采样率转换，从而实现了对图像的列和行进行尺度 转换的目的。基于这种思想，文中又阐述了这种变量分离图像尺寸转换方法的两 种实现模式直按实现模式和高效实现模式。并与以往的几种图像尺度转换方 法进行了比较，实验结果表明，采用本文的变量分离方法改交尺寸后的图像，能 够较好地保持原图像的特性，由于所采用的滤波器具有很好的阻带衰减特性，在 阻带的频谱值几乎为零。所以在图像尺度转换过程中有效地抑制了混叠效应和镜 像效应，改变尺寸后的图像不需要预滤波，在视觉上取得了较好的效果，并且采 用这种变量分离方法的高效实现模式能够大幅度的提高计算效率。 论文的具体安排如下： 第二章是本文的预备知识。介绍了在离散域对信号进行采样率转换的基本知 识，分析了采样率转换过程中信号频谱变化带来的影响，紧接着介绍了采样率转 换的多相位结构，最后介绍了有关滤波器正则阶的理论。 第三章研究了采样率转换过程中抗混叠滤波器和m 带插值滤波器的时域设计 算法，将滤波器的设计归结为一个约束优化问题进行解决，仿真实验表明，抽取 滤波器和m 带插滤波器具有较好的频域特性。 第四章研究了变量分离的有理因子图像尺度转换方法，即沿着图像的水平方 向和垂直方向独立地在离散域进行采样率转换，并给出了这种图像尺度转换方法 的两种实现模式直接实现和高效实现。在图像尺度转换过程中，采样率滤波 器的是采用本文提出的滤波器设计算法给出的，有效地抑制了混叠效应和镜像效 第一章绪论 应。实验结果表明，采用这种方法改变尺寸后的图像，不需要预滤波，能够较好 地保持原图像的特性，取得了较好的视觉效果。 第五章是结论与展望。说明了下一步将要努力的方向。 第二章采样率转换滤波器的基础知识 第二章采样率转换滤波器的基础知识 2 。l 引言 在实际系统中，经常会遇到采样率的转挟问题，即要求一个数字系统能工作在 “多采样率”状态。例如： ( 1 ) 在数字电视系统，图像采集系统般按4 ：4 ：4 标准或4 ：2 ：2 标准采集 数字电视信号，再根据不同的电视质量要求，将其转换成其它标准的数字电视信号 ( 如4 ：2 ：2 ，4 ：1 ：1 ，2 ：i ：1 等标准) 进行处理传输。这就要求数字电视演播 室系统工作在多采样率状态。 ( 2 ) 在数字电话系统中，传输的信号既有语音信号，又有传真信号，甚至是视 频信号，这些信号的频率成分相差甚远。所以，该系统应具有多种采样率，并根据 所传输的信号自动完成采样率转换。 ( 3 ) 对一个非平稳随机信号( 如语言信号) 作谱分析或编码时，对不同的信号 段，可根据其频率成分的不同而采用不同的采样率，以达到既满足采样定理，又最 大限度地减少数据量的目的。 ( 4 ) 如果以高采样率采集的数据存在冗余，这时就希望在该数字信号的基础上 降低采样速率。 以上所列举的几个方面都是希望能对采样率进行转换，或要求数字系统工作在 多采样率状态。近年来，建立在采样率转换基础上的“多采样率数字信号处理” 已成为数字信号处理学科中的主要内容之一。 一般认为，在满足采样定理的前提下，首先将以采样率f 采集的数字信号进 行d 彳转换变成模拟信号，再按采样率e 进行纠d 变换，来实现从f 到只的采 样率转换。但这样较麻烦，且易使信号受到损伤，所以实际上改变采样率并不是将 数字信号变成模拟信号后再进行一次不同速率的采样，而是在数字域实现的。根据 采样率转换理论，对采样后的数字信号x ( 直接进行采样率转换，以得到新的采 样数据。 采样率转换通常分为“抽取”和“插值”，抽取是降低采样率以去掉多余数据 的过程，而插值则是提高采样率以增加数据的过程。本章首先讨论了抽取和插值的 一般概念和采样率转换过程中信号频谱变化带来的混叠效应和镜像效应，然后介绍 了其抽取滤波器和插值滤波器的多相位实现结构，最后对采样率滤波器的正则阶进 行了阐述。 基于变量分离内插滤波器的图像尺寸转换 2 2 利用离散时间处理改变采样率 2 2 1 采样率按整数因子减小 1 、减采样的概念及时域表示： 设x ( n ) 是连续信号t ( f ) 的采样序列，为采样间隔，即 x 0 ) = x o ( n t )( 2 1 ) 如果希望将采样率降低到原来的1 m ，最简单的方法是对x ( 月) 每m 点抽取1 点， 抽取的样点依次组成新序歹u y ( n ) ，y ( n ) 的采样间隔为t = m t ，于是时域有 y ( 九) = x ( n m ) = x 。( n m t ) ( 2 - 2 ) 一般，减小采样率的过程( 包含任何预滤波) 称为减采样。 u ! l l i 二喇 0123 45 67 r l ( a ) x ( n ) 上0雌12羔k 泸3nu 。 ( b ) ，0 ) ( c ) = 抽取符号 图2 - 1 抽取时域波形及符号( m = 2 ) 2 、减采样过程中的频域关系 首先，x ( 以) = t ( n t ) 的离散时间傅立叶变换是 酢个；塾( j 拳一j 芋) ( 2 - 3 ) 类似地，以丁= m t 的y ( 栉) = x ( n m ) = x 。( n t ) 离散对间傅立叶变换是 夸手塾c 晕一，争 注意到( 2 - 4 ) 式中的求和指数r 可以表示成 r = f + 崩m 式中k 和f 都是整数，且一 丌，所以发生混叠。一般为了在以m 因子 减采样时避免混叠，就要求 m l ，那么在采样周期上就有一个净的增加( 采样率下降) ；若m l ，那么疗m 就是主截止频率，从而在采样率上有一个净 的减小。若x ( 疗) 是以奈奎斯特率采样得到的话，如果想要避免混叠，那么序列毛( h ) 将代表一个原带限信号经低通过滤后的信号。另一方面，若m 1 2d 0 9 ( 3 - 6 ) 一f ，l + 。 一o 第三章抗混叠滤波器和m 带插值滤波器的时域设计塑 其中口和为权系数，h ( c o ) 为h ( n ) 的傅立叶变换，2 s 为过渡带宽。 下看约束条件： ( 1 ) 线性相位：这里为对称的f i r 滤波器，即 ( 一月) = h ( n ) ( 2 ) 插值性质【5 2 】【5 5 】： 在图3 1 中，假设f i r 滤波器h ( n ) 的长度为上采样因子上的整数倍，即 n = r - 上，并且在( 3 - 3 ) 式中，令 k = ，三+ ( 3 7 ) 将( 3 7 ) 式代a ( 3 3 ) 式，有 从( 3 3 ) 式，我们得到 n - i 薯( n ) = x ( n - k ) ( 七) k = o 儿一 ) h ( r z + )( 3 - 8 ) 啪一栌 “玎嚣兄 设_ ( 竹) 和 ( ) 的第 个多相位分量分别为k ( n ) 和h a ( n ) ，即 h a ( n ) = h ( n l + 咒) 薯i ( h ) = t ( n l + 五) 由( 3 - 8 ) 和( 3 - 9 ) ，可以得到x i 2 ( n ) 与以( 一) 之间存在下列关系 r 一1 x 。( n ) = x 。( n - r l - 丑) h ( r l + a ) l 。 r = o = x ( n r ) ( ，) ( 3 - 9 ) ( 3 - l o ) ( 3 - 1 1 ) = z ( ”) + h a r t ) f 3 1 2 ) 由( 3 - 1 ) 式我们知道，一( h ) 是在原序列x ( n ) 的两个相邻之间插入一1 个非o 值得到 的，而并没有改变在序列x i ( 甩) 中x ( n ) 原来的值，也就是x 。( n ) 的第一个多相位分 量x f 0 ( m ) 为x ( m ) ，即 x f 0 ( m ) 2z ，( ，江) = x ( m ) r 3 1 3 ) 我们设( m ) 为插值滤波器办( 玎) 的第个多相位分量，则有 x “m = 基于变量分离内插滤波器的图像尺寸转换 x ，o ( m ) = x ( m ) + h o ( m )( 3 - 1 4 ) 由式( 3 1 3 ) 和( 3 1 4 ) ，我们得到 ( m ) = 8 ( m )( 3 1 5 ) 满i f = ( 3 - 1 5 ) 式的滤波器，称为一个三带的插值滤波器。 ( 3 ) 对正则阶的要求： 下面我们考虑一个三带内插尺度滤波器k 阶正则的条件，这对构造正则的内 插尺度滤波器是非常重要的。 性质1 【5 2 5 5 1 ：对于一个带插值滤波器 ( n ) 下列条件等价： ( 1 ) h ( z ) 是世阶正则的； ( 2 ) h ( 。) = 0 ，k = o ，1 ，足一1 ( 3 ) h ( 0 ) = l s ( k ) ，k = 0 , 1 ，k 一1 从上述性质中，我们发现：对于内插尺度滤波器，正则阶不仅保证了内插尺度滤 波器的阻带衰减，也同样保证了内插尺度滤波器在国= 0 附近的平坦性。而条件( 3 ) 使得我们容易设计k 阶正则的内插尺度滤波器。 于是滤波器的设计问题归结为优化问题： r a i n ，( n ) ( h ) ( ”) = 矗( 一刀) ( 3 - 1 6 ) s 1 h o ( m ) = d ( 卅) h 足( o ) = l s ( k ) ，k ：0 , 1 ，k 一1 3 3 线性相位f i r 抗混叠滤波器的时域设计 我们以对通带和阻带的要求作为优化的目标，以滤波器的结构为约束条件 将线性相位f i r 抗混叠滤波器的设计归结为一个约束优化问题进行解决。 _ 团盟 拿 图3 2 抽取器 降低信号采样率的过程称为抽取，图3 2 是抽取器的示意图，它由抗混叠滤波和 下采样两个阶段组成，抗混叠滤波器g ( n ) 的输入和输出之间的卷积关系如下 第三章抗混叠滤波器和m 带插值滤波器的时域殴计 x ( ) = “( n ) t g ( n ) = “( ) g ( n - k ) ( 3 1 7 ) 一 下采样器的输入信号x ( n ) 和输出信号y ( n ) 之间存在t y u 关系 y ( n ) = x ( n - m )( 3 1 8 ) 因此抽取器的输入信号u ( n ) 和输出信号y ( n ) 之间存在着下列关系 y ( n ) = “h ( n m - k ) ( 3 1 9 ) 抗混叠滤波器的截止频率t 由( 3 1 8 ) 式，可以推出下采样器输入信号x ( h ) 和输出信号j ，( ) 在频率域存在 下列关系 y ( 一个寺善冲“州。州) ( 3 - 2 0 ) 从( 3 - 2 0 ) 式，可以看出；r ( e ”) 可看作是由频率受到m 倍扩展的、并按2 州材整 倍数移位的m 个周期傅立叶变换z ( e 。) 的复本所组成：明显地说明：e e j - ) 是周 期的，周期为2 石( 如同所有的离散时间傅立叶变换一样) ，并且只要保证膏( p ”) 是带限的，即 x ( e ”) = 0 ，h r t 以及 2 r r m 2 c o 就可以避免混叠。一般为了在以m 因子减采样时避免混叠，就要求 n m ，那么在采样周期上就有一个净的减小( 采 样率提高) ，下肘采样时不会发生频谱混叠现象，这时不需要抗混叠滤波器来限制 带宽；另一方面，若l m ，这时在采样率上有一个净的减小，那么抗混叠滤波 器不可缺少。 在多速率信号处理中，上采样过程和下采样过程分别会带来混叠效应和镜像 效应【5 6 1 ，这些效应会降低图像的质量，因此必须加以抑制。从等式( 4 1 ) 可以看出， 上l 采样导致了在频率2 疗，1 s s 二一l 处存在镜像成分，所以上采样之后的信 号甜( n ) 必须经过一个截止频率为州工的低通滤波器进行滤波。另一方面，从等式 ( 4 - 4 ) 可以看出，下肘采样会使得信号v ( 玎) 的频谱扩展m 倍，从而带来混叠效应， 因此在下m 采样之前，用一个截止频率为，r m 的低通抗混叠滤波器以限制频带是 必不可少的。 在实际的图像尺寸转换中，理想的插值滤波器( 抗镜像滤波器) 和理想的抗 混叠滤波器是不可能实现的，因此每个滤波器的过渡带不可能为零。滤波器的非 零阻带衰减会保留图像在镜像频率和混叠频率处的一些能量，从而不能很好的抑 制镜像效应和混叠效应：如果在图像转换过程中，滤波器的阻带能够快速衰减并 且滤波器在阻带的值非常接近零值，那么这种混叠效应和镜像效应会很好地得到 抑制，转换尺寸后的图像在视觉上就会收到很好的效果。在这里，对图像的行和 列分别应用图4 1 所示结构进行尺寸转换时，插值滤波器和抗混叠滤波器的设计是 采用本文第三章中提出的插值滤波器和抗混叠滤波器的算法设计的。由于所设计 的滤波器保证了通带具有很好的平坦性，阻带能够快速衰减，并且滤波器在阻带 的值非常接近零值，下面的仿真实验结果表明，采用这种滤波器改变尺寸后的图 像视觉效果很好。 4 2 2 图像尺寸转换仿真实验 为了说明本文所提出的图像尺寸转换方法的有效性，测试图像是由m a t l a b 程序产生的二值图像，如图4 2 所示，图像大小是5 1 2 5 1 2 ，为了较清晰地看出 改变尺寸后图像的细节部分，取出图4 2 中虚线所示部分作为测试图像，分别采用 3 6 基于变量分离内插滤波器的图像尺寸转换 本文的方法和以往几种经典方法做仿真实验，实验结果如图4 3 所示。 图4 2 测试图像 图4 - 3 是对图4 2 中测试图像虚线所示部分按照因子2 5 进行尺寸转换的实验。 图4 3 ( a ) 是采用本文所提出的变量分离的有理因子图像尺度转换的方法对图像进 行尺寸转换的结果，实验中所采用的2 带插值滤波器和5 带抗混叠滤波器分别是 采用了第三章中的算法设计的，由图可以看出，采用本文的方法转换尺寸后的图 像较好地保持了原测试图像的图像特性。( b ) 是采用文献f 5 3 】中的方法得到的：( c ) 是 采用三次样条插值方法所得到的，由于混叠，使得图像的边界变得粗糙，所以在 对图像进行三次样条插值之前应该进行预滤波以减少混叠效应。( ( 1 ) 是采用传统傅 立叶方法得到的结果，( e ) 和( d 分别是( a ) 和( d ) 的局部放大图，并且放大的部位相同， 比较( e ) 和( f ) 可以看出，传统傅立叶方法将原图像中的白色部位变成了黑白相间的 条状，然而，采用本文的方法，这种现象比较轻微。 ( a )( b ) _ _ _ - ( c ) 掌_ _ _ 麓- ( e )( f ) 图4 - 3 按照尺度2 5 对图像进行尺度转换 第四章变量分离的有理因子图像尺寸转换 4 3 变量分离的有理因子图像尺度转换的高效实现 4 3 1 变量分离的有理因子图像尺度转换的高效实现 由于在高数据条件下。实现分数比采样率转换是一个颇费计算量的复杂过程 【5 ”，因此，在上一节所提出的变量分离的有理因子图像尺度转换的直接实现中， 较大的计算量是一个解决的问题。本节基于多相滤波结构，按照最小运算量准则， 综合处理分数比采样率转换中内插、滤波、抽取的运算过程，提出了变量分离的 有理因子图像尺度转换的高效实现模式，与上节中的直接实现方法相比较，大大 提高了计算效率，并给出了利用这种高效实现模式对图像进行尺度转换的仿真实 验结果。 工程中经常将图4 1 中的插值滤波器和抗混叠滤波器一起考虑为g ( ) ，如图4 4 所示，g ( n ) 的截止频率选为i 矗i i 兰丽陋8 5 ”。 图4 4 插值滤波器和抗混叠滤波器台并的采样率转换结构示意图 下面首先考虑图4 4 中有理因子采样率转换的一种高效实现结构，第一步就是 利用图2 1 7 中所示的内插滤波器的高效实现示意图，将上三采样器和带限滤波器 g ( z ) 交换位置，并把下m 采样器移到每一个多相分支上，得到如图4 5 所示的多 相结构，其中q ( z ) ，a = o ，1 ，2 ，l 一1 表示滤波器g ( z ) 的第五个多相位分量滤波器。 h 型u 正e 匝u l 固由型畦u 图4 5 有理因子采样率转换的多相实现 由于三，m 互质，所以总可以找到整数乇和，满足 f n 一m = - i 基于变量分离内插滤波器的图像尺寸转换 因此，在每一个多相分支中的延迟项：。可以用下式代替 z = z 2 一m 1 ( 4 7 ) 如图4 6 ( a ) 所示；另外，由图2 7 和图2 8 中所示的等价性，可以将因子z 竭和z - 讥 分别放在上三采样器和下m 采样器的前面和后面，如图4 6 ( b ) 所示：由于l ，m 互 质，可以将上采样器和下采样器的位置交换，同时交换因子z “和g ( z ) ，得到 4 6 ( c ) 口厂 叫型h 互卜臣互，倒 广 m 叫型h 习1 h 互旧一 ( c ) 咽汇丑匹施，曰叫 图4 6 内插、延时和抽取的等效转换过程 在图4 6 ( c ) 中可以发现，滤波器q ( z ) 和下m 采样器刚好组成一个抽取器，比 较图4 。1 5 和图4 。1 6 ( b ) n - i 以看, q 4 , ，每一个多相位分量滤波器q ( z ) ，五= o ，1 ，2 ，l 一1 可以进一步分解成m 个多相位分量滤波器g 。( z ) ，t = o ，1 ，2 ，m - 1 。将图2 1 0 和 图2 1 3 的等效性，可以将图4 5 用更高效的结构表示，如图4 7 示。在图4 7 中， 先下采样后滤波，最后再上采样，这样滤波在最低采样率下进行。 ：z - m o 回j 第四章变量分离的有理因子图像尺寸转换 如果图4 4 中滤波器g ( z ) 的阶数为，利用直接法每计算一个输出值y ( 妨需 要次乘法和( 一1 ) 次加法；然而在图4 2 中，采样变换器共有三m 条滤波分支， 每计算一个输出点数据y ( m ) ，仅需要( l m ) 次乘法和( 上m ) 一1 次加法，运算效 率提高了工时倍，这样减少了运算次数，大大提高了滤波运算的效率。 在上一节所提出的变量分离的有理因子图像尺度转换的直接实现中，由于要 沿着图像的水平和垂直两个方向独立地进行有理因子的采样率转换，加之图像本 身的数据量很大，所以对一幅图像进行有理因子尺度转换时，运算量很大，计算 机仿真程序运行的时间较长；如果把图4 7 中所示的一维信号有理因子采样率转换 的高效实现结构图用于上一节中提出