（理论物理专业论文）一维任意子模型的若干研究.pdf

中国科学技术大学博士学位论文 中文摘要 任意子和分数统计理论是现代凝聚态物理理论体系中重要的一支，并已经 成为量子霍尔效应的理论基础，而后者自8 0 年初至今一直是理论上和实验上的 研究热点。如今，任意子和分数统计理论已被广泛地用以描述具有分数统计的 低维量子系统。该理论不仅在凝聚态物理领域日显重要，近几年在拓扑量子计 算领域也越来越引人关注。虽然在过去的二十多年时间里，在该理论上出现了 。 许多重要工作，但是仍然可以说该理论还处于早期发展阶段，因为一些基本问 题仍然没有得到解决，比如无瓦作用的任意子气体的统计力学问题。 多年以来，由于实验技术上的困难，以及与现实物理难以相结合，人们对 一维任意子系统的研究所取得的成果远不如对二维的研究。随着实验技术的目 益提高，几年前人们不仅在实验上观察到了二维的分数统计特征，而且把二维 系统约束到一维也成为可能。这就使得人们看到了把维任意子和分数统计理 论与实验结合的可能性，因此对一维任意子系统的研究近年来又逐渐引起了人 们高度的关注。 本文重点研究近年来才出现的，且倍受关注的一维任意子模型。前四章介 绍任意子和分数统计的一些基本理论和应用，为介绍我们的研究工作进行必要 的铺垫和准备。第五章介绍一维任意子模型的表述以及研究现状，包括我们在 这方面所做的工作：( 1 ) 就研究较多的k u n d u 一维任意子模型，我们提出了一 种物理上有意义的改进模型，使互作用强度依赖于任意子参数。这一改进，使 得在理论上，可以通过分析渐进行为的方式对原来被忽略了的一个极限情况给 予讨论。此外，更重要的在于该工作对实验的潜在指导意义，或许能引起实验 物理学家的注意。( 2 ) 通过构造一个统计互作用项，并利用路径积分的思想， 实现了一维任意子系统的交换对称性，在理论上实现了一维任意子模型的一般 构造方法。己知的仟意子模型可以很好地纳入这一理论形式，不仅如此，此理 论还拓展了对一维任意子的定义。( 3 ) 借助于引入的统计互作用项，我们导出 了一维任意子、玻色子和费米子之间统计变换的量子力学表述。 最后一章是总结。 第1 页 中国科学技术大学博士学位论文 a b s t r a c t t h et h e o r yo fa n y o n sa n df r a c t i o n a ls t a t i s t c s ，w h i c hh a sb e e nt h et h e o r e t i c a l f o u n d a t i o no ft h eq u a n t u mh a l le f | e c t ( q h e ) ，i sa ni m p o r t a n tp a r to ft h et h e o r i e s o ft h em o d e r nc o n d e n s e dm a t t e rp h y s i c s a n dq h eh a sb e e nah o t s p o tf o rb o t h t h e o r e t i c a la n de x p e r i m e n t a lr e s e a r c h e ss i n c et h ee a r l yo f1 9 8 0 s t o d a 弘t h e t h e o r yo fa 她n sh a sb e e nw i d e i yu s e dt od e s c r i b et h el o w d i m e n s i o n a lq u a n t u m s y s t e m sw i t hf r a c t i o n a ls t a t i s t i c s i ti sb e c o m i n go fi n c r e a s i n gi m p o r t a n c ei n c o n d e n s e dm a t t e rp h y s i c s i nr e c e n ty e a r s ，i ti sa l s oa t t r a c t i n gm o r ea n dm o r e a t t e n t i o n so ft h er e s e a r c h e r so nq u a n t u mc o m p u t a t i o n f b rm a n yo ft h ep a s ty e a r s ，b e c a u s eo ft h ed i m c u l t i e si ne x p e r i m e n t a lt e c h - n i q u e sa n dt h el a c k o fc o n n e c t i o l l sw i t ht h er e a lp h y s i c a lw o r l d ，t h es t u d i e s o no n e - d i m e n s i o n a l ( 1 d ) a r l y o n sw a sf a rb e h i n do fo n e so nt w o d i m e l l s i o n a l ( 2 d ) a n y o n s h o w e v e r ，w i t ht h ei n c r e a s i n gi m p r o v e m e n to fe x p e r i m e n t a lt e c h n i q u e s ， t h es i g n a t u r eo ff r a c t i o n a ls t a t i s t i c si nt w o d i m e n s i o n a ls y s t e m sh a sr e c e n t l yb e e n o b s e r v e di ne x p e r i m e n t s f u r t h e r m o r e ，c o n 6 n i i l gt w o d i m e n s i o n a ls y 8 t e m si n t o o n e d i m e n s i o n a li sn o tad i 币c u l tp r o b l e mn o w s o ，t h et h e o r e t i c a lr e s e a r c h e so n a n y o n sa r ec o n n e c t e dw i t he x p e r i m e n t sm o r ec l o s e l y ，a n dt h et h e o r e t i c a ls t u d i e s o n1da 啦r o n sa r ep a y e dm u c hm o r ea t t e n t i o n sn o w i nt h i 8d i s s e r t a 七i o n ，t h em a i ni d e ao fi st op r e s e n 乞t h es t u d yr e s u l to n1 d a n y o n s a st h em a i nb o d yo ft h i sd i s s e r t a t i o n ，t h ef i r s tt h r e ec h a p t e r sa r ed e v o t e d t oi n t r o d u c es o m eb a s i ct h e o r yo fa n y o n sa n df r a c t i o n a ls t a t i s t i c s ，w h i c ha r e n e c e s s a r yf o ru n d e r s t a n d i n gt h e1 da r l y o n sp r o b l e m b e t t e r i nt h ef b u r t hc h a p t e r ， w ei n t r o d u c et w ok i n d so f l da n y o n st h a th a v eb e e np a y e dm u c ha t t e n t i o n si n r e c e n ty e a r s ，a n ds o m e 、o r l ( sd o n eb yt h ea u t h o rh i m s e l fa r ep r e s e n t e d f b rk u n d u1 da n y o nm o d e l ，w h i c hh a sb e e ns t u d i e dm o r ef r e q u e n t l y w e s u g g e s tam o d i f i c a t i o n ，t h a ti sm a k i n gt h ei n t e r a c t i n gs t r e n g t hd e p e n d e do n t h ea n y o n i cp a r a m e t e r t h i sm o d i f i c a t i o np e r m i t sat h e o r e t i c a ld i s c u s s i o nf o r al i m i t i n gc a s e ，w h o s es o l u t i o nw a sl e f to u ti nk u n d u so r i 舀n a lw o r k ，t h r o u g h 第1 i i 页 中国科学技术大学博士学位论文 a n a l y z i n gi t sa s y m p 乞o t i cb e h a v i o r m o r e o v e r ，t h em o s ts i g n i 6 c a n tp o i n to ft h i s i i l o d i f i c a t i o np e r h a p si si t sf e a s i b i l i t yt ob er e a l i z e di ne x p e r i m e n t s ，w h i c hm a y b eo fi n t e r e s tt ot h ee x p e r i m e n t a lp h y s i c i s t s t h es e c o n dc o n t r i b u t i o no fu si st oi n t r o d u c eag e n e r a lt h e o r yo fc o l l s t r u c t i n g 1da n y o nm o d e l s b yc o n s t r u c t i n gaf o r mo fs t a t i s t i c a li n t e r a c t i o n ，a n du s i n g t h ep a t hi n t e g r a lf o r m a l i s m ，、er e c o v e rt h ek n o w ne x c h a n g es y m m e t r yo f1 d a n y o n s t h es t a t i s t i c a lt r a n s m u t a t i o nb e t w e e na n y o n s ，b o s o n s ，a n df e r m i o n s a r ep r e s e n t e di nq u a n t u mm e c h a n i c sf o r m u l a t i o n t h ek n o w n1 da 码r o n s ，i e k u n d u sa n y o n sa n dg i r a r d e a u sa n y o n sc a nb o t hb eb r o u g h ti n t ot h i sg e n e r a l t h e o r y ，f u r t h e r m o r et h ed e f i n i 乞i o no f1da n y o n si se x t e n d e d 第1 v 页 中国科学技术大学博士学位论文 第一章任意子和分数统计基本概念 在量子力学诞生后的前五十年内，人们普遍认为自然界中只存在玻色子 和费米子。玻色全同粒子系统服从玻色一爱因斯坦统计，其波函数具有交换对 称性；而费米全同粒子系统服从费米一狄拉克统计，其波函数具有交换反对称 性。这一观点归根结底只是个假设，被称之为“对称化假定( s y m m e t r i z a t i o n p o s t u l a t e ) ，其之所以被普遍接受，是因为当时的实验条件没有也无法得出 与之相悖的结果。但是，为什么如此呢? 会不会存在服从己知这两种统计以外 的粒子呢? 那时人们只能在哲学的层次上对此加以质疑。 直到1 9 7 7 年，l e i n a s s 和m y r h e i m 的工作f 1 1 做出了突破哲学层次的理论分 析，再次质疑了对称化假定，使得人们意识到其中可能蕴含着更深层次的 奥妙。通过分析全同粒子位形( c o n f i g u r a t i o n ) 空间的拓扑性与统计性质之间 的关系，他们得出一个重要结论：在三维( 及以上) 空间的确只存在玻色爱 因斯坦统计和费米狄拉克统计，而在二维空间还可以出现一种介于两者 之间的分数统计。不过，他们的结论在数年内并没有受到足够的重视， 直到w i l c z e k ( 1 9 8 2 ) 在p h y s r ，e v l e t t 上发表他的磁通管( f l u x t u b e ) 模型，并首 先提出任意子这一名词之后【2 】，才逐渐掀起对任意子和分数统计理论研究 的高潮。1 9 8 4 年，w h 【3 1 又用路径积分和群论的语言在更高的理论层次上 对l e i n a s s 和m y r h e i m 的结论给予理论诠释，并且构造了实现二维任意子交换对 称性的统计互作用项，推动了对任意子量子力学的研究。 上面所提到的对任意子和分数统计的定义是通过区别全同粒子系统的交 换对称性给出的，这种定义方式依赖于空间维度。除此之外，还有一种不 依赖于空间维度的定义，即h a l d a n e 统计 4 】它是通过对p a u l i 不相容原理加 以推广来定义任意子的。h a l d a n e 统计是分数不相容统计( f r a c t i o n a le x c l u s i o n s t a t i s t i c s ) 的基础，后者在低维凝聚态系统中有广泛的应用。 上世纪八十年代，对任意子和分数统计理论的发展起到最大推动作用的事 件，归于实验上发现了分数量子霍尔效应现象( f q h e ) 【5 】。对于处在磁场中的 二维电子气体，经典霍尔效应告诉我们，横向电阻应该与磁场强度成正比， 即r 。，。( b 。但是在温度极低并且磁场很强的情况下，实验测得的电阻随场强 第1 页 中国科学技术大学博士学位论文 经真 b 图1 1 ：在低温下，实验测量出的二维电子气的横向电阻尼和外加磁场b 的关 系 的变化不再是简单的线性关系，而是间歇性地出现台阶【5 ，6 】，如图1 1 所示。 通过实验数据分析得出：在台阶处，电阻总满足形式见v = ( 参) ；，其中 为普 朗克常数，e 是电子电量，是表征不同台阶的参数，对同一个台阶，y 值稳定 不变。实验发现，的取值总是分母为奇数的有理数。相对于经典霍尔效应而 言，人们把取一系列整数的实验现象称为整数量子霍尔效应，而把取一系列 分数的现象称为分数量子霍尔效应。 传统的凝聚态理论对分数量子霍尔效应这一新现象解释束手无策，从而大 大激发了人们的研究兴趣。l a u 曲l i n 在1 9 8 3 年f 7 】的研究指出，分数量子霍尔效 应中元激发具有分数电荷。不久，h a l p e r i n f 8 】更直接地指出这些元激发其实就 是遵从分数统计的任意子。他们的一系列工作用任意子和分数统计为理论基 础，给与了分数量子霍尔效应迄今最满意的理论解释。为此，1 9 9 8 年的诺贝尔 物理学奖授予了对分数量子霍尔效应的研究做出重要贡献的几位科学家。现 在，分数量子霍尔效应仍然是倍受关注的研究热点，任意子和分数统计理论借 此也确立了其在现代凝聚态理论中的重要一席。 下面遵循上述线索，对任意子和分数统计的基本概念内容加以介绍。更详 细的了解可以参考专著f 9 】 第2 页 中国科学技术大学博士学位论文 1 1 分数交换统计 1 1 1 位形空间( c o n 吨u r a t i o ns p a c e ) 的拓扑性 在此所谓位形，指的是系统中所有粒子在坐标空间中的一个分布， 用x = ( 2 1 ，z 2 ，z ) 来表示。而所有可能的位形x 的集合就构成了位形空 间。 d 维单粒子系统的位形空间为尬= 剧，即d 维e u c l i d e a n 空间。对于可 分辨的j 7 v 粒子系统，位形空间可表示为卅。但是，对于不可分辨的全 同粒子系统，因为粒子的交换不会产生新的位形，位形空间应该表示 为= 卅s ，其中乳是全同粒子系统的置换对称群。 此外，在讨论全同粒子系统位形空间时，还要加上一条极为重要的硬核约 束( h a r d c o r ec o n s t r a i n t ) ，即必须把那些存在粒子位置重合的位形排除。这类位 形被视为位形空间的奇点。如果不去除，那么对交换统计的讨论便会遇到困 难。第一，对于位置重合的粒子，我们无法判断它们是否发生了交换：第二， 如果不排除的话，位形空间就没有奇异点，这将导致对于任何维度的空间只存 在玻色统计的结果【3 ，9 】。 综上所述，含个全同粒子的d 维系统，其位形空间表示为 蛳：掣， ( 1 1 1 ) o n 其中， o 表示要去除的所有奇异点j 完整的位形空间义可以分解为两部分的笛卡尔积： m = r ( d ，) ，( 1 1 2 ) 其中剐是质心位形空间，与单粒子位形空间是一样的；7 ( d ，) 是相对位形空间， 可由e u c l i d e a n 空间冗d ( 一1 ) 去除奇点 o ) 、并考虑粒子置换的全同性得到。在 分析位形空间的拓扑性时，其实只需要考虑相对位形空间即可。 从某一个位形出发到另个位形( 也可以是回到与原来相同的位形) ，可以 有许多不同的路径。把这些路径按拓扑性分类：凡拓扑等价( 即可通过连续形 变而重合) 的路径均归为一类。如果所有路径都是拓扑等价的，则此位形空间 第3 页 中国科学技术大学博士学位论文 是单连通的；如果所有路径可归为两类，则此位形空间是双连通的，依此类 推。如果路径的分类是无穷多的，则此位形空间就称为多连通空间。 对于= 2 ，d = 2 的全同粒子系统，其相对位形空间可表示为 r ( 2 ，2 ) ：竺掣( 1 1 3 ) 0 2 在7 ( 2 ，2 ) 中，位矢x = x l x 2 和一x = x 2 一x 1 的区别仅在于两粒子位置的互 换，被视为相同的位形。两粒子重合的点用x = 0 表示，是唯一的奇点。于 是7 ( 2 ，2 ) 用图像表示就是一个带孔的平面，且以此孔为对称中心的两位形被视 为等同。图1 2 说明了r ( 2 2 ) 的多连通性。从位形p 出发回到相同的位形，可以 有无数多的路径。路径岛代表没有发生粒子交换：n 。代表逆时针交换了一 次；c l 代表顺时针交换了一次；q = g c l 代表顺时针交换了两次。此外 还有无数多的代表不同交换方向、不同交换次数的路径。由于奇点( 即图中的 孔) 的存在，代表不同交换方向或不同交换次数的路径不可能通过连续形变而 重合，因为不能越过奇点。于是，r ( 2 ，2 ) 是个多连通空间。 图1 2 ：7 ( 2 ，2 ) 空间中两粒子的交换路径 图1 3 ：r ( 2 ，d 3 ) 空间中两粒子的交换路径 对于= 2 ，d 3 的全同粒子系统，其位形空间中的交换路径按拓扑性分 类，只得两类。如图1 3 所示，一类( a ) 代表没有交换，另一类( b ) 代表只交换 第4 页 中国科学技术大学博士学位论文 一次。而路径c ，虽代表交换两次，但是可以通过连续形变与路径a 重合，等效 于没有交换。于是可得结论：7 ( 2 ，d 3 ) 是双连通空间。 数学上，可以用位形空间的一阶同伦群7 r ，( ) 来表示上述拓扑性 的差异。7 r ( ) 由蛳中所有的不等价的交换路径构成，或者说7 r 1 ( ) 的 一个元素就代表一类拓扑等价的交换路径。上述= 2 且d = 2 的情况，路 径岛、口1 和g 构成一阶同伦群的三个生成元，7 r l ( 必) 同构于两线辫子群( 或 日整数群z ) 。对于= 2 且d 3 的情况，路径4 和b 构成一阶同伦群的生成 元，7 r 。( ) 同构于置换群岛 上述结论可以直接推广到任意2 的情况。用公式表示为 丌l ( j 7 i z ) = b | f v ，d 7 d = 2 = s ，d 7 d 3 ，( 1 1 4 ) 其中b 是线辫子群，等号表示同构的意思。后面将知道，置换群粕只有两 个一维表示，分别对应于玻色统计和费米统计；而辫子群巩可以有一个连续 参数p 表征的一维表示，对应于分数统计。 1 1 2 分数交换统计的路径积分表述 设系统的拉氏量为l ，根据费曼路径积分理论，设。时刻，系统的位形 为咒，则如时刻，传播到位形瓦的概率幅为： c 忠；咒 沁。篆船e x p ( 去6l d c ) c 1 1 5 ， “竹t 工h s 、。口7 上式实际上是一个等权重的路径求和。在系统维度d 3 时，位形空间任何 两点间的路径都是拓扑上等价的，这种等权重的求和是没有问题的。但是对 于d = 2 的情况，拓扑不等价的路径有很多，仍然等权重处理就显得理由不充 分了。所以，可以考虑把路径的贡献按拓扑性来分类，每一类路径用位形空 间相应的一阶同伦群7 r 。的一个元素q 表示，对求和贡献的权重用x ( q ) 表示。于 是，上式可改写成一个不同权重的求和形式： k ( ，如；蜀，t 口) = x ( q ) k n ( ，如；咒，t 口) ， ( 1 1 6 ) 第5 页 中国科学技术大学博士学位论文 其中 k 口c 五 ；咒 卜p 点口e x p ( 丢6 d t ) c 1 上7 ， p o s 口 、 。口7 下面简证x ( q ) 是一阶同伦群丌l 的维表示【l o 】。由传播子的性质可得 k ( x 6 ，如；x 口，口) = k ( x 6 ，如；鼍，。) k ( x 。，。；x 。，口) d x 。 = x ( 口) ) ( ( p ) k a ( 托，如；x 。，t 。) k p ( 噩，。；x 口，屯) d x 。 a 口 = x ( a ) x ( p ) k 。口( x b ，如；x 。，。) ， ( 1 1 8 ) 口口 其中k 口p ( ，t 6 ；墨，t 口) = ，k 8 ( 溉，如；k ，t 。) k 厣( 五，t 。；咒，屯) d 五表示先沿 拓扑性为p 的路径传播，再沿拓扑性为口的路径传播。因为q 和是7 r l 的群元， 它们的乘积生成另一群元。于是比较( 1 1 6 ) 和( 1 1 8 ) 两式，可得 x ( q ) x ( p ) = x ( 口p ) ，( 1 1 9 ) 此式意味着x ( 口) 满足群的乘积关系，又因为与7 r 1 中的元一一对应，所以x ( 乜) 必 是丌1 的一维表示。 为了分析交换对称性，取瓦= x 。，即两者代表相同的位形，但是可以存 在粒子位置的交换。每一类路径a ( 或者说一阶同伦群的元a ) 对应的交换操作 用r 表示。当这种交换操作作用于波函数时，因为) ( ( q ) 是其一维表示，波函 数的交换对称性可写为： 尸妒( z l ，z r ) = x ( q ) 妒( z l ，z ) ( 1 1 1 0 ) 对于维度d 3 的全同粒子系统，其位形空间相应的阶同伦群同构于置 换群趴，而趴只有两种一维表示。一种是对所有a 取) ( 陋) = 1 ，另一种是对 偶排列的r ，取x ( q ) = l ，对奇排列的r ，取x ( 口) = 一1 于是，前者得到玻 色统计，而后者得到费米统计。因为只有这两种一维表示，所以维度d 3 的 全同粒子系统只有这两种统计。 对于二维( d = 2 ) 的全同粒子系统，其位形空间相应的一阶同伦群同构 于线辫子群【1 1 】。用基本辫子吼表示相邻粒子的交换z ；hz 件1 ，且交换路径 不会包围其它粒子。它的一维表示可写为x ( a ) = e “。，其中护是在范围【o ，2 7 r ) 内 第6 页 中国科学技术大学博士学位论文 可以连续变化的参数。正负号的选择决定于对交换方向的规定。给定一 个9 值，便对应于一种交换统计，我们称之为秽统计。显然，当p = 0 时回到玻 色统计；当6 l = 丌时，回到费米统计。p 取其它值时，就得到介于玻色和费米以 外的中间统计。后来曰统计又被称为任意子统计或者分数统计。 任意的交换操作尸a 都可以用一系列基本辫子的乘积来构造。为了便于把基 本辫子的一维表示推广到任意的交换操作，我们把基本辫子的一维表示改写成 从叫一p 媾吾撕) ， ( 1 ) 其中以f 表示粒子t 和粒子歹的相对方位角，在二维直角坐标系中用公式表示 为：臼= a r c t a n ( 玑一协) ( z t 一) 】之所以能这样改写，是因为两粒子每交换 一次，它们的相对方位角就相应的改变7 r 角度。在上式中，机，七+ l = 士7 r ，而其 它粒子间的相对方位角的变化为零。进一步的，一个一般的交换操作r 的一维 表示可写为 从。两p d t 丢沙) 2 ， 显然这个表示不依赖于具体路径，只决定于初末位形。当把( 1 1 1 2 ) 式代 入( 1 1 6 ) 式后，可得 晒坛m 卜三唧出丢驴t ) ) 磊q 唧( 箱础) = 磊。唧d t 昙爰) 3 ， 于是，可以令 厶= 危昙丢啪) ， ( 1 1 1 4 ) 并把l 。视为总拉氏量的一部分，只不过它代表统计互作用。由于是一个全微 分，它对系统运动方程没有贡献。 综上所述，利用费曼路径积分方法，结合位形空间的拓扑性来分析系统的 交换统计，可以成功地解释了为什么维度d 3 的系统只存在玻色统计和费米 统计。更重要的是，对于d = 2 的系统，得到了存在分数统计的结论。并且， 通过构造一个统计互作用项l 。，可以很好地描述二维系统的交换对称性。 第7 页 中国科学技术大学博士学位论文 1 1 3w i i c z e k 的磁通管模型 前两小节，在理论上对分数统计存在的可能性给与了很好的解释。但是这 种解释或者说是理论证明，还只停留在数学形式上，没有联系任何物理过程或 者物理现象。1 9 8 2 年，w i l c z e k 提出了一个动力学模型，即磁通管( 1 1 u xt u b e ) 模 型，以物理的形式实现了分数统计。如图1 4 所示，在二维平面内有两个没有 互作用的全同粒子。每个粒子都是一个既有电荷g 又带磁通量圣的复合体，且 磁场线与平面垂直。 任何一个粒子的磁通在平面产生的矢势可用如下形式表示 。t ( r ) 一券警， ( 1 1 1 5 ) 其中i ，歹取1 ，2 ，分别代表z 、矽分量。是关于下标反对称的，满足e 1 2 = 1 、e 2 l = 一1 ，其它情况为零。可证明这样的矢势自然满足库仑规范v a = 0 在平面极坐标下，此矢势又可写为 口r ( r ) = o ；。毋( r ) 2 赤( r o ) ( 1 1 1 6 ) 系统的单粒子哈密顿量为 可见互作用项为 日= 图1 4 ：磁通管模型 ，- 一旦a p ， 7 n c ( 1 1 1 7 ) ( 1 1 1 8 ) 第8 页 妨 a 幻了 一 卜 萨 a c 矿万 一 + p 矿 示1 示。一凯1一加 中国科学技术大学博士学位论文 它对拉氏量的贡献为 l ，= 毫a p = 兰a v ( 1 1 1 9 ) m cc 、 把a = 杀e 毋和= 掣代入，可得 址篆掣 ( 1 抛o ) 与( 1 1 1 4 ) 式相比较，可见这里的l ，实际上是统计互作用，统计参数为p ： 舞。由此可见，w i l c z e k 的模型表明，一个既有电荷g 又带有磁通垂的粒子，相 当于统计参数为口的任意子。 如果考虑总的哈密顿量，则统计互作用应为2 l j 。于是，交换两个粒子， 系统波函数多出的相因子为 。 唧( 丢弘，以) 一p ( 委甓叫， 抛- ， 其中，眨是两粒子交换时，相对转动引起的相对方位角的变化，必须满 足眨= 彻。，n = o ，士1 ，士2 ，才能实现交换。所以交换相因子最终可写 为e 颤2 饥，正负号视两粒子绕行的方向而定。交换对称性公式为 皿( x 】，x 2 ) = e 土i n 甓( x 2 ，x 1 )( 1 1 2 2 ) 这里几代表交换的次数，而士代表交换的方向。上式可以直接推广到粒子的 情况： 皿( ，x 小，弓，) = e 士饥舞皿( ，芍，x 小) ，( 1 1 2 3 ) 只不过要求两个粒子在交换过程中，它们的路径不能包围其它粒子，否则参与 交换的就不一定仅仅是这两个粒子了。 第9 页 中国科学技术大学博士学位论文 1 2h a i d a n e 统计 我们已经讨论了d 2 维的分数交换统计。简单地讲，就是当两个粒子发 生交换后，系统的波函数会多出一个相因子e 士i 口“( 0 q 1 ) 这一分数统计的 概念在d 2 维是能被很好地定义的，但是到了一维系统，就会遇到困难。因 为在一维系统中，两个粒子交换过程中必定会发生碰撞，这样统计效应就和动 力学效应不可避免的纠缠在一起。于是，不可能对一维系统的分数交换统计给 出唯一的定义。后面将对一维任意子系统做较详细的讨论。 通过交换对称性来定义任意子，并非对任意子进行定义的唯一方 式，h a l d a n e 【4 】在1 9 9 1 年提出了任意子的另一种定义方式。这种定义方式不依 赖于空间维度，是对p a u l i 不相容原理的推广。h a l d a n e 统计的定义用公式表示 为 如= 一：啦p ， ( 1 2 1 ) 口 其中，下标眠p 表示粒子的种类；d 口是往系统中加一个口粒子时，这个a 粒 子的h i l b e r t 空间维度，它要受到系统中已存在的其它粒子的影响；是粒 子的数目；8 是统计参数，反映粒子间的统计互作用。此式意味着单粒子 的h i l b e r t 空间维度的变化与粒子数的变化之间存在线性关系，这实际上是一种 假设。当“p 时，如果p o ，则我们称系统存在互统计( m u t u a ls t a t i s t i c s ) 易见，玻色统计和费米统计分别是h 2 l l d a n e 统计的两种特殊情况。取9 a 口= 0 就得到玻色统计，因为对玻色统计一个单粒子态上可以容纳任意多的粒子， 新加入粒子的h i l b e r t 空间维度不会受到己存在粒子的影响：取鼬口= 以口就得到 费米统计，因为对费米统计一个单粒子态上只能容纳一个粒子，新加入的粒子 只能去占据空的单粒子态。乳口取其它值，就得到介于玻色统计和费米统计之 间的分数统计。从这个意义上说，h a l d a n e 统计是对p a u l i 不相容原理的推广。 如果系统只有一种粒子，则令9 口卢= 9 6 口口，( 1 2 1 ) 式简化为 d = 一夕 显然，9 = o 对应于玻色统计，而夕= 1 对应丁费米统计。 ( 1 2 2 ) 第1 0 页 中国科学技术大学博士学位论文 ( 1 2 1 ) 式是一个微分表达式，可以对两边进行积分： 。 尉如= 一e 毗 2 其中，右边积分下限帕= 嘶表示在初始系统没有任何粒子的背景下只加入一 个q 粒子，对应的h i l b e r t 空间维度为如( 1 ) 。显然如( 1 ) 等于q 粒子系统单粒子态 总数目，计为g a 。积分的结果为 d 口= g 口一p ( 帕一 ( 1 2 4 ) 口 这就是h a l d a n e 统计的枳分表达式。 下面分析系统的微观态总数目。设系统单粒子态的总数目是g = 口g a ， 这么多的单粒子态构成的空间称为f o c k 空间。再设总粒子数为= 。口。 所谓一个微观态，指的是所有粒子在f o c k 空间的一个分布。先讨论熟悉的玻色 系统和费米系统：对玻色系统，由于单粒子态可容纳的粒子数不受限制，所 以g 暑= 丸：对费米系统，由于排斥不相容原理，有g 善= 以+ 心一1 。两种 统计下，a 粒子系统的微观态总数目分别是 12 】 孵= 黼，孵= 袅 ( 1 2 5 )”q q ! ( g 昌一1 ) ! 口! ( g 篁一0 ) ! p 可以统一写为 = 徽， ( 1 2 6 ) 无论对玻色系统还是费米系统，上式都成立。计及所有不同种类的粒子，系统 总的微观态数目为 w 2 罂2 罂黼 2 上面的讨论对玻色系统和费米系统都是没问题的，可以考虑把它们推广到 任意子系统。把( 1 2 4 ) 式代入( 1 2 6 ) 式，得到 = 各描 2 固 这就是任意子系统的微观态总数目。显然当纰口= 0 ，和站口= 以p 时，分别回 到玻任统计和费米统计的结果。 第1 1 页 中国科学技术大学博士学位论文 h a l d a n e 统计有其自身的适用条件，即必须要求其适用对象的单粒子 态h i l b e r t 空间的维度d a 是有限的且广延的( 矗n i t ea n de x t e n s i v e ) 。此外它毕竟 是个假设，也有不完美的地方，比如负概率问题f 1 3 ，1 4 ，1 5 1 ，表现为( 1 2 8 ) 式 中的在g 口虬 g 口时可能会是负的。究其原因，可能是h a l d a n e 统计虽然推 广了p a u l i 不相容原理，但是失去了后者原有的微观性。进一步说，p a u l i 不相 容原理可以告诉我们每个单粒子态上最多容纳一个费米子，而对玻色子没有 限制。但是h a l d a n e 统计不能告诉我们每个单粒子态上最多能容纳多少个任意 子，所以h a l d a n e 统计下的系统微观态总数目中可能掺入了一些实际不被允许 的态。但是h a l d a n e 统计作为分数不相容统计的理论基础，意义重大。后者描 述的是系统的宏观统计性质，这样基于微观描述不足的负概率问题便体现不出 来了。 本章参考文献 1 】j m l e i n a a sa n dj m y r h e i m ，n u o v oc i m b 3 7 ，1 ( 1 9 7 7 ) ( 2 】f w i l c z e k ，p h y s r e v l e t t 4 8 ，1 1 4 4 ( 1 9 8 2 ) ；4 9 ，9 5 7 ( 1 9 8 2 ) f 3 jy s w h ，p h y s r ，e v l e t 5 2 ，2 1 0 3 ( 1 9 8 4 ) f 4 】f h a l d a n e ，p h y s r 七v 。l e t t 6 7 ，9 3 7 ( 1 9 9 1 ) 【5 】d c t s u i ，h l s t o r m e ra n da c g 0 s s a r d ，p l l y s r e v l e t t 4 8 ，1 5 5 9 ( 1 9 8 2 ) 【6 】k v o nk l i t z i n g ，g d o r d aa n dm p e p p e r ，p h y s r e v l e t t 4 5 ，4 9 4 ( 1 9 8 0 ) 【7 】r b l a u g h l i n ，p h y s r e v l e t t 5 0 ，1 3 9 5 ( 1 9 8 3 ) 【8 】b i ，h a l p e r i n ，p h y s r e v l e t t 5 2 ，1 5 8 3 ( 1 9 8 4 ) ；5 2 ，e 2 3 9 0 ( 1 9 8 4 ) 【9 】a k h a r e ，f ，0 c 跣d n n zs 芒o t 5 坑c sn n dq u n 几钍仃i2 仇e d r 可( w b r l ds c i e n t i f i c ，s i n g a p o r e ， 2 0 0 5 ) f l o lm g g l a i d l a 四va n dc m d e w i t t ，p h y s r ，e v d3 ，1 3 7 5 ( 1 9 7 1 ) f l l 】马中骐，物理学中的群论( 北京：科学出版社，1 9 9 8 ) 1 1 2 】苏汝铿，统计物理学( 北京：高等教育出版社，2 0 0 4 ) 1 13 jc n a y a ka n df w i l c z e k ，p h y s r e v l e t t 7 3 ，2 7 4 0 ( 1 9 9 4 ) 【1 4 】s c h a t u r v e d ia n dv s r i n i v a s a n ，p h y s r e v l e t t 7 8 ，4 3 1 6 ( 1 9 9 7 ) 【1 5 1m v n m u r t h ya u l dr s h a n l c 甜，p h y s r e v b6 0 ，6 5 1 7 ( 1 9 9 9 ) 第1 2 页 中国科学技术大学博士学位论文 第二章任意子的量子力学 在上一章中我们已经知道，在二维平面系统，除了玻色统计和费米统计之 外，还存在更一般的任意子统计。因此，像对待玻色子和费米子一样，我们也 要去研究一下理想任意子系统的量子力学问题。对理想系统的研究，是我们进 一步处理更为复杂系统的基础。对于理想玻色子系统或者理想费米子系统，我 们已经知道它们的波函数可以用单粒子波函数的乘积来构造。对玻色系统， 波函数具有交换对称性；对费米系统，波函数具有交换反对称性。但是，对 理想的任意子系统，问题就不是这么简单了。事实上，即使是只含两个粒子 的自由任意子系统，它的波函数也不可能由单粒子波函数构造得到。这是因 为，理想任意子系统的粒子间虽然没有相互作用，但是其量子力学问题却等价 于有相互作用的玻色系统或费米系统。这就是由w i l c z e k 最早提出来的”统计变 换( s t a t i s t i c a lt r a n s m u t a t i o n ) ”的概念【1 】。由于对玻色系统和费米系统的处理， 我们已经比较熟悉。所以对理想任意子系统的量子力学问题，往往是先通过统 计变换把问题转化成有互作用的玻色问题或费米问题后再求解。因此，理想任 意子的量子力学问题不是如理想玻色或理想费米情况那么简单。到目前为止， 也只有少数的两体任意子问题可精确求解，三体及三体以上问题都不可精确求 解。 本章只讨论二维的两体任意子问题，旨在说明任意子问题的复杂性，并展 示统计变换的处理方法。 第1 3 页 中国科学技术大学博士学位论文 2 1 无互作用的两任意子系统 首先考虑无互作用的两玻色子( 或费米子) 的拉氏量 l = 罟( 童；+ 囝 根据1 1 2 节知，如果再加上统计互作用项 小触警，a = 昙， ( 2 1 。1 ) ( 2 1 2 ) 则总的拉氏量既可以看成是有互作用的两玻色子( 或费米子) 拉氏量，也可以看 成是遵守p 一统计的无互作用的两任意子的拉氏量。这里q 【o ，l l ，称任意予参 数。所以，无瓦作用的两仟意子系统总的拉氏量为 妊罟( 亡；+ t ；) + 触警 ( 2 1 3 ) 对于两体问题，通常要进行质心运动和相对运动的分离以便把问题简化。定义 质心坐标和相对坐标分别为 r = 字，r 硝r 2 ( 2 - 1 _ 4 ) 相应的质心动量和相对动量分别为 p _ p 1 + p 2 ，p = 学 ( 2 1 5 ) 于是，总的拉氏量可以按照质心运动和相对运动分成两部分厶= l r + 厶。其 中，质心运动部分是 l r = m r ， ( 2 1 6 ) 相对运动部分是 厶= 署童2 + 施参= 署( f 2 + r 2 参2 ) + 施参 ( 2 1 7 ) 可见，质心运动是一个自由粒子问题，且与统计参数q 无关，这里可以当作一 个平庸的问题不予考虑。这一特征对任意子系统都是成立的。因此，研究任 第1 4 页 中国科学技术大学博士学位论文 意子系统的动力学，只需要研究相对运动即可。通过l e g e n d r e 变换，可以得到 哈密顿量的相对运动部分 研= 鬟+ 笋 ， 7 n7 n 7 。 为了求解这个相对运动，把r 改写为平面极坐标下的一次量子化形式 研= 芸( 景+ 昙岳) + 羔( t 品+ q ) 2 均， 要求解的本征方程为 研妒( r ，) = e 妒( r 矽) ( 2 1 1 0 ) 我们完全可以把它看成是一个有互作用的玻色( 或费米) 问题来求解。只不过最 后解得的波函数要通过统计变换使之具有任意子的交换对称性。在下一节，这 一点将进一步被阐明。 用分离变量的方法来求解此本征问题。令妒