（计算数学专业论文）关于线性微分方程亚纯解的复振荡.pdf

摘要 本文主要研究业纯函数系数微分方稗解的复振荡，分别考虑一类高阶情形和一类二 阶情形全文共分为四个部分 第一部分( 引言) 介绍了国内外研究现状：并引入了一些相关定义和记号，及本文所 婴解决的问题 第二部分( 第二章) 考察了k w o nk i h o 关- 丁：二阶整函数系数微分方程所得的结果， 住一定条件卜：得到了二阶业纯函数系数情肜的部分结论 第：二部分( 第三章) 考察k w o nk i h o 关于二阶整函数系数微分方程解的增长性研 究对方稗的某个系数作适当限制后，得出高阶亚纯函数系数情形的类似结论 第四部分( 笫四章) 研究了一类高阶业纯函数解的增长忤，在一定程度上改进了陈宗 煊，肖| j 丽鹏等的结果，得到了高阶线性微分方程业纯解级的精确估计 关键词：线性微分方程；亚纯函数；超级 a b s t r a c t i np a r t1 ( i n t r o d u c t i o n ) ，w eg i v ea ni n t r o d u c t i o no fp r e s e n ts i t u a t i o no ft h l s f i e l dm d o m e s t i ca n df o r e i g n ：b r i g h ti ns o m er e l a t e dd e f i n i t i o n sa n ds i g n s ，a n dg l v e t h eq u e s t l o n s t h a ti nt h i sp a p e rw i l lb cc o n s i d e r e d i nd a r t2 ( c h a p t e r2 ) ，w es t u d yt h er e s u l tm a d eb vk w o nk i - h oo f t h es e c o n d 吁 d e rd i f f c r e n t i a le q u a t i o n so i le n t i r ef u n c t i o nc o e f f i c i e n t s i n s o m ec o n d i t i o n s ，w eo b t a i nt h e s i m i l a rp a r t so fc o n c l u s i o n so ft h es e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so nm e r o m o r p n l c f u n c t i o nc o e f f i c i e n t s 一 i nd a r t3 ( c h a p t e r3 ) ，w ei n v e s t i g a t et h eg r o w t ho fs o l u t i o n so f t h es e ( 伽do r d e rd l t i e 卜 e n t i a le q u a t i o n so ne n t i r ef u n c t i o nc o e f f i c i e n t s w eo b t a i nt h es i m i l a rc o n c l u s l o n o fh l g h e r o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so nm e r o m o r p h i cf u n c t i o nc o e f f i c i e n t s ，w h e n s 0 1 l l ec o e m c l e n t s o fe q u a t i o n ss a t i s f 、, s o m es p e c i a lc o n d i t i o n s 一 i np a r t4 ( c h a p t e r4 ) ：w es t u d yt h eg r o w t ho fs o l u t i o n so fo n e k i u do fh i g h e r d 凹 d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so nm e r o m o r p h i c f u n c t i o nc o e f f i c i e n t s t os o m ee x t e n t w e1 m p r o v e t h e r e s u l tm a d pb 、，c h e nz o n g x u a na n dx i a ol i p e n g ，a n d w eo b t a i nt h ep l 刚s ee s t i m a t l o n s o fm e r o m o r p l l i cs o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n so nh i g h e ro r d e rl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t l o n s k e y 、b r d s ：l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i 。n s ；m e t o m o r p h i cf u n c t i o n h y p e r 。r d e r i i 眦m g 融h 洫篙 s 盯 m 触恤 m k 池 s y 出仉小。 ( v 1 砒 叩如罴 x 息舀暇踊嘞 咄麓h 嘣 恤删矾啦砌 眦m 、1 ) n c 以 龇 刚耐伽 e k d 赫m i 1 1 c m p 舭d喜l 她 原创性声明 3 0 本人郑重声明：所呈交的毕业学化论文是本人在导帅的悉心指导卜，独立进行研究 所取得的成果除文中已经注明引用的内容外本论文卜包含任何其他个人或集体已经 发表或撰写过的科研成果对本文的研究在做出重婴贡献的个人或集体均l 在文中以 明确力式标明本人完全意识到本声明的法律责任h 本人承担 论文作者签名：味军 日 身j 如嗣i6 月了同 学位论文使用授权的声明 本人完全了解贵州师范大学有关保留、使用学位论文的规定、同意学校保留或向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅：本人授权贵州 师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索几j 。以采用影 印、缩印或其他复制于段保存论文和：7 厂编学化论文 ( 保密论文在解密后应遵：) 二此规定) 善警冀木军卜肌1 导师签名： i u 7 同 期五午多月r 日 1 1国内外研究现状及研究意义 1 引言 微分方程的复振荡理论是8 0 年代初期兴起的研究领域它应用复分析的理论和方 法，特别足以n e v a n l i n n a 理沦为工具，研究复域上微分方程解的复振荡。降质 自1 9 8 2 年，s b a n k 和i l a i n e 利用n e v a n l i n n a 值分布理论对二阶齐次线性微分方 稗解的复振荡性质研究开始，许多学者开始关注线。降微分方程的解的增长性问题随后 j k l a n g l y ，g g u n d e r s o n ，g f r a n k 和s h e l l e r s t e i n 等人在此方面作了大量的研究上作 并取得了一系列深入的结果在国内，何育赞，高仕安，陈宗煊等人从事该领域的研究多 年，对于高阶线性微分方程解的增长件问题的研究也获得了一些结果此外伍鹏稃和 i l a i n e 对一类方程作了深入的研究获得了一系列颇有意义的结果同时k i h ok w o n ： 陈宗煊等对方程解的超级问题的研究将线性微分方稗解的增长性问题引向深入这些 i 断卡高了线件微分方稃解的复振荡理论的研究内容该领域的研究1 i 仅在理论上有助 j j 微分方群理论的进一步发展，同时在实际中也可用j ：解决一些实际问题，具有重要的 现史意义 1 2 本文相关记号 本文使用值分布的标准记号1 1 , - 用v f ( z ) 表示整函数f ( z ) 的中心指标，参看l 沙整 函数，( z ) 的最大模a 7 ( r ，。厂) = m a x ，i f ( z ) | 用仃( 厂) 表j 业纯函数，( z ) 的增长级：肛( 厂) 表 ，业纯函数，( z ) 的卜级，a ( ) 表示业纯函数，( z ) 的极点收敛指数，a ( ，) 表示函数( z ) 的零点收敛指数另外作如卜的定义： 定义1 业纯函数f ( z ) 的增长级o ( f ) 定义为 州) = 甄l i m 警 定义2 亚纯函数f ( z ) 的卜级肛( _ 厂) 定义为 m = 坚警 定义3 无穷级业纯函数f ( z ) 的超级0 2 ( ，) 定义为 州) ：l i r a 燮擎幽 对j ：集合e ，用7 r t ( e ) 表示e 的线件测度 定义4 集合ec ( 1 ：。c ) 的对数测度m t ( e ) 定义为 m ( e ) ：厂了d t t ，e c 定义5 ，集合ec ( 0 ：o c ) 的上，f 密度分别定义为 一d e n s e ：一l i m ! 坚口坠骖 r r d e n s e ：1 i m ! 坚0 坠l ! ，= 磊 r 定义6 集合ec ( 0 。c ) 的上，下对数密度定义为 一l o g d e n s e = 戛l i r a 警，一l o g d e n s e = 面l i r a 掣 1 3 主要结果 本文将在第二章至筇四章解决如f 四个问题： 定理2 1 设a ( z ) ，b ( z ) 均是不恒为零的业纯函数，p ( z ) ：k 扩+ b n 一1 扩_ 1 + + b l z + b o ：q ( z ) = a n z n + a n - 1 z ”1 + + a 1 ( z ) + a o 均为7 1 次多项式：( n 2 ) ，记 j 。= z 1 + i x 2 ，o 。= y 1 + i y 2 a ( 否1 ) 仃( b ) n ：l a ( 去) 冬口( a ) n 且a ( 去) 不是 整数记口= a ( 去) 】，存在一个常数口，0 0 ，y l 0 ，a 。= c b 。( o c 1 ) 则对j ：方程 ，( 。) + ，4 ( z ) e q ( 2 ) ，7 + b ( z ) e p ( 2 ，一0 的仔非零业纯解，具有尢穷级，且满足盯2 ( ，) n 定理3 1 设a j ，j = 0 1 ：一1 ：为业纯函数如果仃在。一 1 2 ，k 一1 使得 m a x 纠亮) 叫j 。，s 以 1 也不是整数，p 。g 具有棚l l i ：】的奇偶性如果存在常数庶0 r a i n 筹寿斋号寿等 ：使得9 ( z ) 所有零点的辐角均住角域s ( q ，0 ，p ) 中：d ( z ) 所有零点 的辐角均在角域s ( p ，0 ，) 中，并且满足 当q ：p 为奇数时， s ( q ，口，p ) = 口：l p l 冬互石南一p ) ， s ( p ，f ，p ) = 伊：历7 1 + p 州石3 7 而1 一p ) ； 当g ：p 为偶数时， 则对r 方程 跳伊：多) = 护：瓦7 r + 3 i o l _ 酊3 面7 r 一既 s ( p ，p ，p ) = 9 ： 9 承号j 1 了一p ，( 2 ) + a 一1 ，( 是一1 ) + + 以1 厂7 + a o f = 0 如果有解，那么它的任一超越业纯解，满足盯2 ( ，) 之o ( a o ) 。 定理4 1 设h 是一个复数集，满足呐 1 2 j ：z ， = + ，a j ，j = 0 ，1 ，七一1 ， 为业纯函数如果存在5 o ，l ，七一1 ：使得 1 m a x 盯( 4 ) ，j s ：a ( 云) ( j 4 一) 盯( a s ) = 口 4 - 0 0 , 并且存在常数0 p o ：卜列两式： i a 3 ( z ) i e x p f 驰r ； ，j s ， l a 。( z ) i e x p ( n l z l d5 ， 当z h ，z 一。时成立则对1 ：方程 ，( ) + a 南一l ，( 一1 ) + + 4 1 厂+ a o 厂= 0 ： 的任一非零亚纯解，满足晚( ，) = 盯( 以。) 定理4 2 设h 是一个复数集，满足f f ：f ：， = + 0 0 ，a j ，j = 0 ，1 k 一1 为业纯函数f ( z ) 是小恒为零的业纯函数如粜仔化s 0 ，1 k 一1 ) 使得 b = r l a x 川m j s a ( 去) 叫川 f 州扣盯 + 。c 3 并且存在常数0sp 0 ：卜列两式 h ( z ) i e x p 3 l z l 卜5 ) ，j s ， 1 4 。( 2 ) i e x p ( a z l ”5 ) ， 当2 h ，z 一。时成立则对。j 二力程 ，( 是) + a 一l ，( 2 1 ) + + a 1 ，+ a o f = f ( 。) ， 的仟一非零业纯解，满足r r 2 ( f ) = r r ( as ) 4 2 1 引言与结果 2 二阶线性微分方程亚纯解的增长性 1 9 9 6 年k h k w o n 在 2 j 研究了方程 ，+ a 1 ( z ) ep 1 ( “厂7 + a o ( z ) e p 0 ( 。) ，= 0 ，( 2 1 ) 解的增长| f 峰问题，并在f 2 ) 中得到： 定理2 a ( 2 1 ) 设p x ( z ) = o i 2 z ：p o ( z ) = b i 足多项式，n t ：b i ，i = 0 ：l ，n 足 复数0 ：k o a 1 ( _ z ) ：a o ( z ) 是整函数，且仃( a 1 ) n = 0 ，1 ) ，则如f 四个结论成立 ( i ) 如果a r g 凸。a r gb 。，或者= c 6 n ( 0 c 1 ) 且& q ( p 1 一c p o ) = 仇1 c t ( a ) 1 ) 且d e q ( p 1 一c 岛) = m 1 ，仃( 一1 1 ) m ，0 口( a o ) 石1 则 ( 2 1 ) 的仟一非零解有啦( ，) 仃( q o ) ( i y ) 如果n 。= c k ( c 1 ) ，p 1 ( z ) 一c 岛( z ) 是一个常数：改盯( 4 1 ) o ( a o ) 石1 则 ( 2 1 ) 的仔一非零解有仃2 ( ，) 盯( a o ) 2 1 3 0 2 年陈宗煊住m 中研究方稗( 2 1 ) 的解的增长性问题并伍中得到： 定理2 b ( 【1 3 】) 设p t ( z ) = 吼z ：p o ( z ) = 吼z 是多项匕，仆。：b 。，i = 0 ，1 ，n 是复 数，n 。0 ，6 n o a l ( z ) ，a o ( z ) 足整函数如果满足如下二个条件之一： f i ) a r g n 。a r 9 6 n ，f r ( a j ) 儿( j = 0 ，1 ) ； ( i i ) a 。= 曲。，( 0 c 1 ) ，盯( a j ) 1 ) 且以f g ( p l c p o ) = 仃l l ，o ( z ，) 1 1 1 , ，( j = 0 ，1 ) 则力冲单( 2 1 ) 的每个非零解具有无穷级，且c r 2 ( 厂) = 咒 2 0 0 7 年b b e l a i d i 在【4 j 中研究了高阶线性微分方程， ，( 2 ) + a k 一1 ( z ) p p k - i ( 。，( 2 1 ) + + a o ( z ) r p o ( ：，= o( 2 2 ) 解的超级l u j 题并在f 4 】中得剑： 定理2 c ( 【4 1 ) 假设乃( z ) = 仃。，j z 2 ，j = 0 ，1 ， ：一1 是多项式，( 1 0 ，j ，n n j 是 复数。ha n 歹口n o o ，j = 1 2 ，k 1 没l ，f z ) 。j = 0 1 一七一l 均足f i 恒为 零的整函数，c r ( a j ) n ，j i = 0 ，l ，尼一1 如果满足a r gr z 。，a r g 0 】或者满足 n 。，= 0 0 。o ( o c j 1 ) ，j = 0 1 ，一，七一1 那么力群( 2 2 ) 的每一个非零解具有无穷 级，f 以( 厂) 一死 本文t 要类似十定理2 a 的情形( i ) ：考虑业纯函数系数的微分力稗，对力。稗的某个 系数限制其极点在一个角域之内，并且对多项式中首项系数进行定的限制，得剑了如 卜定理 定理2 1 设4 ( z ) ：b ( z ) 均是不恒为零的q e 纯函数p ( z ) = k z 7 1 + k l z 一1 + + 6 1 2 + b o ，o ( z ) = a n z n + o 。一l z ”1 + + n l z + o o 均为n 次多项式，( 礼2 ) o 。b i ，i = 0 ，1 ，n ： 均为复数记“= z l + i x 2 ：n n = y l + j 沈a ( 吉) 盯( b ) 扎：1 a ( 去) 口( _ ) 佗：且 a ( 去) 小延格数记q = a ( 去) ：存在一个常数0 p 0 ，y l 0 ，n 。= c 6 九( o l 为仟一给定常数则存在一个集合fc 【0 ，2 丌) ：m ( f ) = 0 ， 及常数i = a ( a ，) 0 ，b = b ( q i t ) 0 ：使得对于砂o 0 ，2 n ) e 时，相应存在 r = r ( 抽) l ，使得当z ，a r gz = 咖，| z i = r r 时，对所有( 七，) h ，有卜列曲式成 立： ，( 奄) ( z ) 了砑i 产( z ) 。 了酉两i s4 i 鼍塑+ 掣l o g a r l o g j ( r 】 rr 一 。 口f 翌掣l o g 。r i o g t ( 州) p 引岬2 2 ，没y ( z ) 足一个有穷级整函数，其级盯( f ) 1 ，1 i 足整数p 为f ( z ) 的亏格 如粜对f r 意给定的。，0 0 ，当7 r 时，对所有满足p 一0 s ( p ：0 ，( 1 ) 的 妒值( 其中0 将取遍，( z ) 所有零点的辐角) 有， i ，( 一r e 妇) i e x p c r p ) 证明设z = r e 调，r 0 1 0 l 0 1 。删一毒= l 。g ( 1 + z r n ) e x p - 毒+ + ( _ 1 ) p 南 = ( 1 ) p 。而出， ( 2 4 ) 这罩e ( 寺，p ) 为基本冈子对( 2 4 ) 两端取实部得剑 l o gi e ( 一纠斗咿矿1 c 。0 勰糍等嵩砘 ( 2 5 ) 如果0 s ( p ，0 ，a ) ，则必存在6 0 ：使得 ( 一1 ) pc o s ( p + 1 ) 0 6 ，( 一1 ) pc o s ，j 口 1 人1 f t 8 s ( p ，0 ，q ) 时，由上式及( 2 5 ) 有 地旧一纠独州c r 。剥b 江6 ， ，l ，n o 、， 现卜hh a d a m a d 分解定王甲得，( z ) = b z m e q ( 。) ( z ) ，其中，f j ，是非负整数，b u 为复 数，q ( z ) 为首一多项式， ( z ) = 兀f ( 老，p ) ，o 。= e 为，( z ) 的零点： 0 注意到 f r ( ，) 1 不是整数故口( ，) = 仃( f ，) = a ( ) ，从而f 7 1 1 ：当= r r l 时 i q ( z ) i c r p m 入( ，) ：l i r al o gn ( t ) r ，3 。l o g7 故存住r 2 ( r 1 ) ，使得7 ( r 2 ) 1 2 c p ( 6 r 2 ) p 当r 2 r 2 时 厂剥蛇厶高疵掣( 筹 = 可n ( r 2 ) 。砑1 一三r p ) 掣2 p r ( 去一南p ) 2 7 ) r 、磁 7 一 、磁( 2 r 2 ) 7 n ( r j l ：型型 一 2 p 7 2 ( r 宅2 ) p4 ( r 1 2 ) p j ：是由( 2 7 ) ，( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) ：当r 2 r 2 时 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) l 。gi i 7 ( 一r e t 妒) i 6 r p + 1 五云笋i ! 黔3 r r p ( 2 ) 因此、由( 2 8 ) ，( 2 1 1 ) ，当r r = 2 r 2 时 1 0 9i ，( 一r e 如) i= l o gi b i + ”zl o g ，+ r d q ( 一，f ，咄) ) + l o gi ( 一r 一妒) f m l o gr 一1 q ( 一7 e 如) l + l o gl h ( 一7 e 卸) i ll o gl b l l ml o gr 一2 c r p + 3 c r p c t p 引理2 3 ( 3 】) 设i t ( z ) = h n z “+ b n - 1 z “一1 + + t qz 斗h o 为a 币- i 、x ，h 。，i = 0 ：1 ，7 ： 均为复数，d e g ( h ( z ) ) = n 1 h 。= o z + i p w ( z ) 是不恒为零的整函数，且盯( 叫) 0 ，存 住gc 0 ：2 7 r ) ，m ( o ) = 0 ：满足对0 0 ，2 7 r ) ( gu 尸) ，存住r 2 = r 2 ( p ：e ) 0 ：使得当 z = r f ：徊r r 2 时有： ( 1 ) 如果6 ( h ，0 ) 0 则 e x p ( 1 一c ) 5 ( h ，o ) r “) i ，( z ) i e x p ( 1 + ( ) 6 ( h ，0 ) r n ( 2 ) 2 如果5 ( h ，0 ) 0 则 c x p ( 1 + f ) ( i i ) ，“) i ，( z ) f c x p ( 1 一r ) ( ，1 9 ) ，”) 其- i f 一 0 0 ，2 7 c ) ：6 ( h 0 ) 一0 ) 是有限集 引理2 4 设p ( z ) = 6 n ：” b n - - 1 扩一1 + + b l2 + i i ) n 为多项式bi = 0 ，1 ：n 为复 数】 ) 。：x l + i x 2 ，d e g ( p ( z ) ) 一? l 1 r 3 ( z ) 是不恒为零的、l f 纯函数满足久( 古) 0 ，使得当 名= 7 1 e ”， r 时有： ( 1 ) 如果6 ( p 臼) 0 则 e x p ( 1 一r ) ( 1 一( ，( 1 ) ) 石( p 疗) ，m ) f ，( z ) i ， ( 2 ) 如果6 ( p 0 ) 0 jo ( 1 ) 一o ( r _ 。c ) 证明没疗( z ) ：锱：其中w ( z ) 足一个整函数： ( z ) 足典型乘积，由已知i 有仃( ) = a ( 吉) ，丁( b ) 0 ，0 r l 时 l 危( z ) l e x p r 。( ) + ) ( 2 1 2 ) 由ra ( w ) r 1 ，使得当 z = r e ”r r 时有： 如果6 ( p ) o 贝l j e x p ( 1 一) d ( p 秒) 7 ” l 叫( z ) e p ( 。i 如果d ( p 臼) r 时有： 如果6 ( 尸，0 ) 0 幽e 蒜x p 牌p i 豁e p ( 叫叫i p ( ) 机刮 ( z ) 。 r 川。 从而，e x p ( 1 一e ) ( 1 一o ( 1 ) ) j ( 尸6 i ) r ” si ，( z ) l 。 如果6 ( p p ) 0 d ( 1 ) 一o f _ r x ) 9 引理2 5 设q ( z ) = a n z “+ n 。一1 z ”1 + + a l z + a o 为多项式，劬i = 0 ，1 ，n 为复 数，施9 ( q ( 。) ) = ，一2 ，2 。= y l + i y 2 4 ( z ) 是不恒为零的业纯函数，1 a ( 去) 盯( a ) ，几： 且a ( 去) 4 i 足整数记q = 【a ( 去) 】，对仟一给定常数q ，0 0 ：使 得当z = r e ”，r r 时，下列两式成立： ( 1 ) 如果 ( q ，口) 0 则 i j r ( 一r e 坩) lse x p ( 1 + e ) ( 1 一o ( 1 ) ) 6 ( q o ) r “ ： ( 2 ) 如果6 ( q ，0 ) 0 ，o ( 1 ) 叶o ( t _ 。) 证明设4 ( z ) = 貉，其中g ( z ) 是整函数，d ( z ) 是典型乘积，则a ( 击) = 盯( d ) ：并且 a ( z ) 的极点就足d ( z ) 的零点此时口就足d ( z ) 的亏格由于o ( a ) n 盯( d ) n ，从而 o ( g ) 几故对9 ( z ) p q ( 。) 而言：引理2 3 成立。j - 是对仟给的e ，0 r 1 时有： 如果6 ( q ，0 ) 0 则 如果6 ( q 0 ) 兄i ，当， 冗时： d ( - 7 c 2 9 ) i = e x p 7 4 ) ( 2 1 7 ) 从响j 自( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 和( 2 1 7 ) 知i ，当0 【0 ，丌) ( euful ) 时，7 r + 昵( fuf ) ：从而对 于z = 7 e ( ”+ 9 ) = 一r e 徊，且r r 时， 如果6 ( 0 ，0 ) 0 则 、叭吖) _ l 黯e q ( 叫型蔷擀盟 从而，i ，( r e 毋) i e x p ( 1 + ( ) ( 1 一d ( 1 ) ) 巧( q ，o ) t “ 如果6 ( q ，p ) 0 ，d ( 1 ) 一o ( ，一。) 引理2 6 设，( z ) = 搿为有理函数7 ( z ) = 坟z + 玩一l z h + + 6 l z + 6 ；0 b t 0 ，l ( z ) = ( 1 l z 2 + + o , l z + a o ，a l 0 则对仟意给定的f ，0 r 时有 证明 “t 2 矢i l 得至0 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 记忌( z ) = 1 b t - i ：1 + + 鲁b + 鲁嘉，r ( z ) = a 。t - _ _ _ 。l 1 ：+ + 等b + 等专贝i j 存在r 0 ， 当r r 时 i r ( z ) l 0 ，及e 1c 【0 ，2 丌) ，m ( e 1 ) = 0 ：对0 【0 ，2 7 r ) e l ，存往常数= ( d ) 1 ： 对j ：所有的：，a r g 。= 0 ：1 名i = 7 ，有 i 帮i b r i t ( 2 圳f ) l ，凫1 ，2 ( 2 2 1 ) 记6 ( p 0 ) = z 1c o sn o x 2s i nn o ：d ( q 0 ) = y lc o s n o y 2s i nn o 情肜一：x l 0 ，可1 0 对仟意给定的e ，0 e 0 x 2 0 时，当0 0 y 2 0 时：当0 a r c t a n 蛩，有6 ( q ，0 ) 0 于是限制0 0 ，使得对所有z ：z = r e ”，r r l ：当 6 ( q ，0 ) 0 o ( 1 ) 一o ( 7 一) 冉根据l 知，a ( 古) r 2 时，当j ( p0 ) 0 时：有 b ( 一7 e 9 ) e p i - r e 9 ) i e x p ( 1 一( ) ( 1 一d ( 1 ) ) 巧( p ，o ) t ” ，( 2 2 3 ) 其中b = 0 【0 ，2 7 r ) ：6 ( p ，0 ) = 0 ) 足有限集l 2 = 0 【0 ，丌) ：丌+ 0 ( e 2u 昂) m ( l 2 ) = o o ( 1 ) 0 ，o ( 1 ) 一o ( r 一。c ) 记e = 【0 e ) ( e 1ue 2ubu 局ue 5ul iu 2 ) ， 则m ( e ) 0 取定0 + e ，r a u6 ( 尸0 ) 0 ，6 ( q ，0 + ) r 时，( 2 2 1 ) ，( 2 2 2 ) ，( 2 2 3 ) 同时成立j i 是由( 2 3 ) ，( 2 2 a ) ，( 2 2 2 ) ，( 2 2 3 ) 有 e x p ( 1 一( ) ( 1 一d ( 1 ) ) d ( p ，c j + ) r “ s 0 ，且n n = f k ( o 0 当z 2 = 0 时，此时仍有当0 f 0 ( ) 时6 ( p0 ) 0 ，6 ( q ，0 ) = c 6 ( p 10 ) 0 从而卜“引理2 4 ，引理2 5 ：存在易c 【0 ，2 7 r ) ，7 7 t ( e 2 ) = 0 & c 【0 ，2 丌) 。( 局) = 0 耿定 0 ”e = 【0 ：e ) ( ru 易u u u 邑u l lu l 2 ) 时，则6 ( p ) 0 ”) 0 ，6 ( q ，0 ”) 0 ， 从而存在r = r ( o ”f ，) 0 ，当z = f e 矿，r r ，且对c a 1 时有 e x p ( 1 一e ) 入6 ( p - 矿+ ) p e x p “1 f ) c 6 ( p ，) ? m ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 其中邑= 0 0 2 丌) ：巧( p0 ) = 0 ) 为有限集如= 0 【0 2 丌) ：6 ( q ，0 ) = 0 为有限 集 l 1 = 0 0 ，7 r ) ：7 r + 0 ( e tu 岛) ) ，l 2 = 0 f 0 丌) ：7 r + 0 ( 饬u 玩) ) 从币n 如( 2 3 ) ，( 2 2 1 ) ，( 22 4 ) ( 22 5 ) 町得 o x p ( 1 一r ) a f ! f ( p 臼”) ，“) b r 【丁( 2 n ) ：( 1 + l 1 ( z ) c q ( z i ) 2 b r r ( 2 r ，f ) 1 3e x p f 1 + r ) c d ( p 护”) r n 1 3 )、j t e 0 e 已 r r 一 一 p q e e 、，、， 口 9 e e r r 一 一 r 以 限制0 2 ( 0 ，y 1 0 由( 1 ) 中情形一可知，对充分小的0 r 1 时有 a ( 一r e i 0 1 ) e q ( - - r e 0 1 l e x p ( 1 一r ) ( 6 ( q ，1 9 1 ) 一d ( 1 ) ) r “) b ( 一r e i o t ) e p ( - r e o l l e x p ( 1 一e ) ( 1 一d ( 1 ) ) 6 ( 尸：0 1 ) r “ 其中o ( 1 ) 0 o ( 1 ) 一o ( r _ x ) 于是由( 2 3 ) ，( 2 2 7 ) ，( 2 2 8 ) 可得： e x p ( 1 一e ) ( 1 一r ，( 1 ) ) ! i ( p0 1 ) r ”) l ，( z ) i 1 厂i + e x p ( 1 一( ) ( 6 ( q ，0 1 ) 一o ( 1 ) ) r “ i f ，| 由引理2 7 存在冗( r 1 ) ，当r 冗时，有 蔫1 障a l 一鲥i 篝1 阻a l + e 1 一i 。、。川一 一e 。 从而，当r r 时：由( 2 2 9 ) ，( 2 3 0 ) 得： 景l 鲁一e x p ( 1 叫( 1 叫1 ) ) 1 5 ( p ，r n ) 篝i - f ( e x p ( 1 叫似刚) _ o ( 1 ) ) p ) + 1 ) 2 告l 抄 由上武得剑 e x p ( 1 叫( 1 叫舭 0 ，且a n = m b 。( 0 c 1 ) 由( 1 ) 中情形二，对充分小的0 0 ，且存在r 2 = r 2 ( c ，0 2 ，) 0 ， 当z = r e i 如，r r 2 时有， e x p ( 1 一e ) 入6 ( p ，0 2 ) r “) ， e x p ( 1 + ( ) c 6 ( 尸，0 2 ) r ” 其中r r 时有 1 - ! 尚，一z ii 吲r s 从而，当7 r 时：由( 2 3 3 ) ，( 2 3 4 ) 得 o x p ( 1 m ) i 1 l 一+ e e l 垒一 a l 。 ( ) a 6 ( p 10 2 ) r “) 尚：，r - t ( 1 + e x p ( 1 + ( ) 酬尸咖n ) s2 当ib - - t r t - e x p ( 1 + ( ) c 6 ( p 0 2 ) r n 1 一rr l ， 从而m 上式得到， 篝e x p ( 1 一e ) 入6 ( p ，( 7 2 ) r n s2 瓦l + ee x p ( 1 + c ) c 6 ( p 如) ， 进一步限制0 2 e 蕊k - - c ：则小：j 弋得 e x p 字胛跏“) 2 ( 拦) 2 在f 2 3 5 ) 中令r 一+ 。c 则得 矛盾 综上，我们证得方程( 2 3 ) 的仟一一非零业纯解具有无穷级：且a 2 ( f ) n 1 5 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ) ) 眨 户 e r r 一 一 ( ( p q e e 、i，、l， 2 2 游 诏 e e r r 一 一 ，l，il b a 3 关于一类高阶线性微分方程亚纯解的增长性 3 1 引言与结果 1 9 9 6 ，年k w o nk i h o 住 9 1 ， 2 1 中研究t - 阶线性微分方程。 - 厂+ a ( z ) f 7 + b ( z ) 厂= 0( 3 1 ) 解的超级问题在1 9 】中得到： 定甩3 a 假设4 ( ：) b ( ：) 是整函数，满足o ( a ) 盯( b ) 或o ( b ) o ( a ) 石1 且口( b ) 1 ，且不是整数仃( b ) l 且j i 足整数a ( z ) 所有的零点 都在角域0 l a r gz 如- j 0 i ，0 2 满足： ( i ) 口为奇数时 岛卅南， ( i i j q 为偶数时 如柚黜， q 为a ( z ) 的亏格，b ( z ) 是整函数，0 盯( b ) 互i 则方释( 3 ，1 ) 的仟- - n i 隧 f 其有无 穷级，且c r 2 ( ，厂) 盯( b ) 本文主要在j ：将定理3 b 作一定的推广，考虑高阶业纯函数系数的微分方程：对方 程中某一个系数适当限制后得到如下定理： 定理3 1 设a j ，= 0 ，1 - k 一1 ：为业纯函数如果存在5 1 2 ，七一1 使得 m a x 久( 下1 ) ，仃( ) j 0 ，s p ( a o ) 1 也小楚整数p q 具有相n d 的奇偶性如果存在常数j 0 ， 1 为仟意给定的实数，则存在一个 集合ec ( 1 + 。o ) ，r o d e ) o ( 依赖j ：n 丰| lr ) ，使得对于所有的 l z l = r 善( f u o ，1 ) ，及所有的( 七，j ) f ：成立 嬲( 掣l o g a r l o gt ( 眠川 引理3 2 假设，( z ) = 积为业纯函数，其中9 ( z ) ，d ( z ) 足整函数如果o 盯( d ) p ( ，) ，则p ( t 9