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动态弹塑性扭转问题的区域分解法中文摘要 摘要 动态弹塑性扭转问题在物理、力学及工程中有着广泛的应用。本文讨论了动 态弹塑性扭转问题描述的发展型变分不等式的区域分解方法。主要工作如下： 第二章中介绍了椭圆问题h e l m h o l t z 方程的区域分解法，给出了算法实现的 步骤。通过一维、二维数值算例的计算结果说明区域分解法是有效的。 第三章中对抛物方程构造了区域分解法。经过时间离散后抛物方程转化为椭 圆方程，采用d d m 方法计算了两个数值算例，通过与有限元法的计算结果比较， 可以看出区域分解法对抛物方程也是有效的。 第四章中介绍了动态弹塑性扭转问题的重叠型区域分解法及其收敛性。对于 由动态弹塑性扭转问题描述的发展型变分不等式，先采用时间半离散，将问题转 化为一个第一类椭圆变分不等式问题，然后用区域分解法求解，由此给出了计算 格式。文末，通过两个数值算例，验证了方法的有效性。 关键词：动态弹塑性扭转问题；区域分解算法；收敛性；发展型变分不等式 作者：吴娟 指导老师：丁睿 a b s t r a c t t h ed y n a m i ce l a s t o - p l a s t i ct o r s i o np r o b l e m i s a p p l i e dw i d e l y i n p h y s i c s ， m e c h a n i c sa n de n g i n e i nt h i sp a p e r ，i tc o n s t r u c t sd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ( d d m ) f o r t h ee v o l u t i o n a 巧v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yd e s c r i b e db yd y n a m i ce l a s t o - p l a s t i c t o r s i o np r o b l e m t h i st h e s i si sc o m p o s e do ft h ef o l l o w i n gt h r e es e c t i o n s ： i nt h ec h a p t e rt w o ，i tc o n s i d e r sd d mf o rt h ee l l i p t i cp r o b l e mo fh e l m h o l t z e q u a t i o na n dc o n s t r u c t s t h ea l g o r i t h mf o rh e l m h o l t ze q u a t i o n t w on u m e r i c a l e x a m p l e sa r ei m p l e m e n t e d ，i ts h o w st h ee m c i e n c yo ft h em e t h o d i nt h ec h a p t e rt h r e e ，d d mf o rt h ep a r a b o l i ce q u a t i o ni sd i s c u s s e d f i r s t ，b a c k w a r d e u l e rt i m es c h e m ei su s e dt 0t r a n s f o r mt h eo r i g i n a lp a r a b o l i ce q u a t i o ni n t oa ne 1 1 i p t i c e q u a t i o n ；t h e nw es o l v et w o n u m e r i c a le x 帅p l e sb yd d m c o m p a r i n gt h er e s u l t so f f e ma n dd d m ，i ts h o w st h a td d mi se 伍c i e n c yf o rp a r a b o l i ce q u a t i o n i nt h ec h 印t e rf o u r ，i tp r e s e n t st h eo v e r l a p p i n gd d ma n dc o n v e 唱e n c ef o rt h e d y n a m i ce l a s t o - p l a s t i c t o r s i o np r o b l e m f o rt h ep a r a b o l i cv a r i a t i o n a l i n e q u a l i 够 d e s c r i b e db yd y n a m i ce l a s t o p l a s t i ct o r s i o np r o b l e m ，6 r s t ，b a c l o ； 步骤2 ：扛1 ，聊，并行计算求甜7 形，使 f 口( 以+ 1 ”，d 一( d = o ，v ，形，加q ， k + 1 。= “：，弭 步骤3 ：延拓的扰。定义到q ，即定义 “l ，f 材，x q ， 材6 2 t 扰：，戈q q ； 步骤4 ：取平均值 1 = 去。 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 步骤5 ：若“一“：l 占，则得结果甜：+ 1 ，否则七= 后+ 1 返回步骤2 。 算法有如下收敛性结果： 定理2 1 川上述算法得到的解“：“收敛到有限元解，收敛速度与厅无关。 2 3 数值算例 为了验证椭圆方程区域分解算法的有效性，f 面给出两个一维、二维的数值 算例。 算例1 ： 考虑如下一维椭圆问题，取区间q - 【o ，l 】，c = o ，= 万2 s i n 嬲， f 一“= 万2s i n 万x ，x ( o ，1 ) ， - l ，= o 精确解为：甜= s i n 嬲，z o ，l 】。 动态弹塑性扭转问题的区域分解法 第二章椭圆方程的区域分解法 有限元逼近中，取一致剖分线性协调元；区域分解法分别对如下两个、四个、 八个子区域进行求解( 万= 0 0 1 ) ： ( i ) q 1 = ( 0 ，o 5 + 回，q 2 = ( 0 5 一万，1 ) ； ( i i ) q l = ( 0 ，0 2 5 + 万) ，q 2 = ( o 2 5 一万，0 5 + 万) ， q 3 = ( o 5 一万，0 7 5 + 回，q 4 = ( 0 7 5 一万，1 ) ； ( i i i ) q 。= ( 0 ，o 1 3 + 回，q 2 = ( o 1 3 一万，o 2 5 + 万) ，q 3 = ( 0 2 5 一万，0 3 7 + 回， q 。= ( 0 3 7 一万，0 5 + 回，q5 = ( 0 5 一万，0 6 3 + 万) ，q6 = ( 0 6 3 一万，0 7 5 + j ) ， q ，= ( 0 7 5 一万，0 8 7 + 万) ，q 8 = ( 0 8 7 一万，1 ) 取空间步长为办= 1 1 0 0 。采用超松弛迭s o rm 1 4 1 作为内迭代，取松弛因子 国：1 7 5 ，其终止条件为1 0 8 。算法外迭代的终止条件为占= 1 0 - 6 。给出程序设计 流程图： 9 动态弹塑性扭转问题的区域分解法 第二章椭圆方程的区域分解法 j o 动态弹塑性扭转问题的区域分解法第二章椭圆方程的区域分解法 用m a t l a b 编程，计算结果见表l 。 表ld d m 与f e m 的结果比较 方法 d d m 。 f e m 结果 两个子区域四个子区域八个子区域 最大节点误差 4 7 0 6 8 e 一0 0 61 4 3 6 2 e 0 0 61 1 5 4 5 e 0 0 71 2 7 3 3e 0 0 5 计算时间 0 2 5 0 00 1 9 0 0o 1 1 0 00 2 7 1 0 注：d d m 中的计算时间指：单个子区域上一个时间步长的计算时间。 图l 两个子区域的结果比较 图2 四个子区域的结果比较 动态弹塑性扭转问题的区域分解法 第二章椭网方程的区域分解法 图3 八个子区域的结果比较 算例2 ： 考虑如下泊松问题引，取区域q = 【o ，l 】【o ，1 】，厂= 2 + y x 2 一y 2 ) ， f 一= 2 ( x + y x 2 一少2 ) ， ( x ，y ) ( o ，1 ) ( o ，1 ) ， i 甜( 工，y ) = o ，( x ，y ) r 精确解为：材( x ，y ) = ( x z 2 ) ( y y 2 ) 。 区域分解为如图4 的上下两个子区域，虚线部分为重叠区域，每个子区域进行三 角剖分。 y = 0 6 y = 0 4 ( 1 ，0 ) 0 图4 求解区域 y x 由图4 可知：q = 【o ，1 】【o ，o 6 】，q = 【o ，1 】【o 4 ，1 】，重叠区域：【o ，l 】【o 4 ，o 6 】。 1 2 动态弹塑性扭转问题的区域分解法 第二章椭圆方程的区域分解法 取空间步长为厅= 1 1 0 0 。采用超松弛迭s o r 作为内迭代，取松弛因子= 1 7 5 ， 其终止条件为1 0 一；算法外迭代的终止条件为占= 1 0 “。为了比较数值方法，我 们还用标准有限元法来求解，其剖分尺度与区域分解法相同。用m a t l a b 编程 计算，解甜( x ，y ) 的图像分别为图5 、图6 ：图7 是对角线少= 一石+ 】上数值解、有 限元解、精确解的比较。表2 是区域分解法与有限元法的最大节点误差和计算时 间的比较。 图5 ：f e m 三维图像图6 ：d d m 2 三维图像 图7 ：对角线y = 一x + 1 上数值解、有限元解、精确解的比较 q，qqq，l 动态弹塑性扭转问题的区域分解法第二章椭圆方程的区域分解法 表2d d m 和f e m 的结果比较 方法 d d mf e m 结果 最大节点 误差 0 0 0 4 80 0 2 2 7 计算时间 0 2 5 1 00 2 7 0 0 由图7 和表2 可看出，区域分解法的逼近效果与有限元相比差不多，但在计 算时间方面明显优于有限元法。这是由于区域分解法并行计算的优势，即将原来 有限元求解的一个问题化为m 个子区域上来并行求解，如果有限元程序的运行 时间为t ，那么区域分解法只需约t m 。如果区域有重叠再加上边界处理，时间 略大于t m ，但会远小于t 。因而有限元法和区域分解法相比，在大致相同的逼 近效果下，后者运行时间少。 1 4 动态弹塑性扭转问题的区域分解法第三章抛物方程的区域分解法 第三章抛物方程的区域分解法 3 1问题介绍 抛物方程是一类基本的发展型偏微分方程，发展方程( e v o 】u t i o ne q u a t i o n ) 是包含时间变量的许多重要的数学物理偏微分方程的统称，又称演化方程或进化 方程。在物理、力学或其他自然科学中，这类方程用来描述随时间而变化的状态 或过程。 抛物方程用于描写热的传播、溶质在液体中的弥散、多孔介质中渗流等随时 间发展( 演化) 的现象和过程。由于抛物方程的初边值问题与椭圆方程的初边值 问题之间的密切关系，所以可以尝试将区域分解法推广应用到求解抛物方程的初 边值问题。 讨论如下形式的抛物方程的第一边值问题： 。 f 鲁一血坳叫蚺x 以，( 岘 “( x ，o ) = g ( 工) ， x q ，( 3 1 ) l “( x ，r ) = ( f ) ， x r ，f ( o ，丁】 【 其中q 是r 4 ( d = l ，2 ，3 ) 中的有界区域，r 是q 的边界，c 为实常数。 ( 3 1 ) 的变分形式为： ( 坼，一材) + a ( “，v 一“) = ( ，y 一材) ，x q ，f ( o ，丁】， z f ( x ，0 ) = g ( x ) ，x q ，( 3 2 ) 甜( 五f ) = ( f ) ，x r ，f ( o ，叶 其中口( “， ，) = l ( v 甜v v + c 圳) 出，r ( o ，丁；r ( q ) ) ，( 3 2 ) 式称为( 3 1 ) 式的 g a l e r k i n 变分问题。 对( 3 2 ) 中的时间采用向后差分格式= 0 0 ，2 = 1 ，2 ， 对椭圆方程( 3 3 ) 采用区域分解算法进行求解。 为了验证抛物方程区域分解算法的有效性，下面给出两个一维、二维的数值 算例。 算例l ： 3 2数值算例 考虑如下一维抛物问题，区间q = 【o ，l 】， 厂= o 。 精确解为：z ，) = p 一。2 。s i n 砚0 石s 】，0 分别用有限元法及区域分解法求解上面问题。有限元逼近中取一致剖分线性 协调元；区域分解法分别对如下两个、四个、八个子区域情况进行求解( 万= o 0 1 ) ： ( 1 ) q l = ( o ，0 5 + 回，q 2 = ( 0 5 一万，1 ) ； ( i i ) q 1 = ( 0 ，0 2 5 + 回，q 2 = ( 0 2 5 一玩0 5 + 回， q 3 = ( 0 5 一万，0 7 5 + 回，q 4 = ( 0 7 5 一万，1 ) ； ( i i i ) q l = ( 0 ，0 1 3 + 回，q 2 = ( 0 1 3 一万，0 2 5 + 回，q 3 = ( 0 2 5 一万，0 3 7 + 回， q 4 = ( 0 3 7 一正o 5 + 回，q 5 = ( o 。5 一正0 6 3 + 回，q6 = ( 0 6 3 一万，0 7 5 + 回， q 7 = ( 0 7 5 一万，0 8 7 + 回，q 8 = ( o 8 7 一万，1 ) 取空间步长为办= 1 1 0 0 。内迭代采用超松弛迭s o r ，松弛因子取缈= 1 7 5 ， 终止条件为1 0 一；算法外迭代的终止条件为s = 1 0 _ 6 。m a t l a b 编程实现，计算 结果见表l 。 1 6 力 弋墨而一“ ，j【 =，二 l 一认 x “ 篓叫 x吣 矾归塑吲 丝西咖印 动态弹塑性扭转问题的区域分解法第三章抛物方程的区域分解法 表1d d m 与f e m 的结果比较 方法d d m f e m 结果 两个子区域四个子区域八个子区域 最大节点误 1 0 0 6 8 e 0 0 41 3 4 6 4 e 0 0 41 4 0 3 2 e 0 0 41 2 2 6 3 e 0 0 5 差 计算时间 0 3 5 0 00 2 9 0 00 2 1 0 00 4 2 1 0 图1 给出了两个子区域的区域分解法与精确解在f = 0 2 ，o 3 ，o 4 ，0 6 时的比较。四 个子区域与八个子区域情况的图像类似。 图1两个子区域的结果与精确解的比较 算例2 ： 考虑如下二维问题，区域q = 【o ，1 】【o ，1 】，常数c = o ， 厂= ( 1 + 2 万2 f ) s i n 万x s i n 万y 。 慝也= ( 1 + 2 施) s i n 嬲胁y ，( 训) ( 0 ，1 ) ( 0 ，1 ) ，f ( 0 ，1 】， “( x ，y ，o ) = o ，( 工，少) 【o ，l 】【o ，1 】， = o ，f ( o ，1 】 精确解为：材( x ，y ，f ) = f s i n 万工s i n 万y ，( 五少) 【o ，1 】 o ，l 】，f o 1 7 动态弹塑性扭转问题的区域分解法 第三章抛物方程的区域分解法 区域划分同第二章例2 ，即取两个子区域q = o ，】x o ，o 6 】，q = o ，1 】 o 4 ，1 】。 算法及各参数取法同第二章例2 ，计算结果如下：图2 、图3 分别是是扛0 0 5 时 刻有限元法与区域分解法的位移示意图，图4 是在对角线y = 一x + 1 上有限元解、 区域分解法解和精确解的比较，图5 是对角线y = 一z + l 上f = 0 2 ，0 4 ，0 6 ，o 8 ，l 时 刻区域分解法得到的位移示意图。 图2 ：t = 0 0 5 时刻的f e m 解图3 ：t - o 0 5 时刻的d d m 解 图4 ：对角线少= 一x + 1 上f e m 、d d m 和精确解的比较 动态弹塑性扭转问题的区域分解法 第三章抛物方程的区域分解法 图5 ：对角线j ，= 一x + l 上各时刻d d m 和精确解的比较 1 9 动态弹塑性扭转问题的区域分解法第四章动态弹塑性扭转问题的区域分解法 第四章动态弹塑性扭转问题的区域分解方法 4 1 问题的提出 动态弹塑性扭转问题【l 】在物理、力学及工程应用中是一个很重要的问题。 目前，求解此类问题的发展型变分不等式的常用数值方法有，采用时间半离散化 为椭圆变分不等式，再利用有限差分或有限元方法f 2 j 、对偶方法f 引、罚方法协，1 等 笙 弋于。 区域分解方法( d d m ) 【4 】是一种新兴的求解偏微分方程的数值方法，具有 高效、并行的特点。目前，用于求解变分不等式的区域分解方法主要局限于椭圆 变分不等式4 5 1 ，发展型变分不等式的区域分解方法还不多见。在文 6 】中z h o u 等研究了双侧障碍问题的抛物型变分不等式的区域分解方法。本文将区域分解方 法推广到由动态弹塑性扭转问题描述的发展型变分不等式中，给出了该方法的算 法及收敛性结果。 讨论如下动态弹塑性扭转问题f 1 】的发展型变分不等式： 求甜r ( o ，丁；k ) ，“，r ( o ，丁；r ( q ) ) ，使得 z ：r ，1 二_ 甜) + _ ! 甜，一型三 ，v 一“) ，v 1 ，k ，f ( o ，丁】， ( 4 1 ) 【”( x ，o ) = ( x ) ， 在q 上 、7 其中q 是r 4 ( d = 1 ，2 ，3 ) 中的有界区域，r ( 0 ，丁；r ( q ) ) ， k = 1 ，磁( q ) ：i v v i 1 在q 上 ， 甜。k ，( 。，) 是r 上的内积，口( 甜，v ) = v “v 眺。 注：由发展型变分不等式解的存在唯一性定理【2 l 可知：问题( 4 1 ) 解的存在唯一性。 4 2e u i e r g a l e r k i n 方法 对( 4 1 ) 中时间采用向后差分格式，记= 0 = 丁，= f 。乙- l ， 则 问题为： 动态弹塑性扭转问题的区域分解法 第四章动态弹塑性扭转问题的区域分解法 求k ，使得 ( _ ) + 口( 一) ( 纠一) ，v ，咄( 4 2 ) 【= ( x ) ， 胛= 1 ，2 ， 、7 其中邑= 五+ 丐1 “川，z = 厂( 工，乙) 。 设瓦为q 上网格宽度为办的拟一致三角剖分，圪为相应的有限元空间， 厶：y 一圪为线性插值算子，巧= v 圪：l v v | l ，在瓦节点上) ，则( 4 1 ) 的 e u l e 卜g a l e r k i n 方法： 求= v 圪：l v v i 1 ，在五节点上 ，使得 ( “：户) + 口( 甜柑，飞一) ( 飞) ，吼蚝， ( 4 3 ) l “劬= 厶“o ( x ) ， ，z = 1 ，2 ， 、7 由变分不等式解的存在唯一性定理【2 l 易得( 4 1 ) 和( 4 3 ) 分别存在唯一解“和。 下面将给出问题( 4 3 ) 的区域分解算法及收敛性结果。 4 3 区域分解法 仿照【6 】中方法，司以证明算法及冥收敛速度与胛无关，此外在算例中我们也 将说明了这一点。故为书写简单起见，略去下标甩，( 4 3 ) 可改写为： 求瓦= v 圪：i v v i 1 ，在瓦节点上) ，使得 r ( 1 ，飞) + 口( 飞) ( 一) ，v v 毛，( 4 4 ) lz 乇 = 厶甜o ( z ) ， 疗= 1 ，2 ， 、 。 q ，q 。是q 的开子集，q = u 兰。q ，设每个q ，是乃的某些元素之并。相 应于 q ) ? 且设一单位分解 2 ? ，有 s u p p 瞑c ( q ，u a q ) ，0 v 眵f f c ( 4 5 ) 定义：= v 圪：，= o 在q q ，中 ，r v = 厶 v ) ，f = l ，脚，则对v 圪有 足v k ，且 2 l 动态弹塑性扭转问题的区域分解法第四章动态弹塑性扭转问题的区域分解法 v = 厶v = 厶i 谚vi = 厶( p v ) = r v ， ( 4 6 ) ，= lf = lj = l 可得圪= 巧+ k + + 圪。 定义：k = v 形：i 帝v i l ，在瓦节点上 ， 其中耳c v v ，= b ( 毒) ，r ( 亳) ，r ( 妾) ) o 引理3 1 ( 1 ) 置v k ，f = l ，2 ，聊，v v 吒； ( 2 ) 巧= k + 如+ + k 二 证明：( 1 ) 对v v 蚝， 有i v v is1 在瓦的节点上，r 1 ，k ， v ( x ，y ) = r 1 ，( x ，y ) + r v ( x ，y ) + + 如 ，( x ，y ) ，对在q 上任意给定的一个节点 ( ，咒) ，( ，咒) = r v ( 葺，- ) ，则l v v ( 薯，乃) i 1 ，即i v ( r v ( ，咒) ) i 1 。 要证写y k ，v v ， 即证j _ ( v ( r v ) ) i l 在瓦的节点上， i 瓦( v c 纠) i = l r ( 等 ，r ( 等 ，r ( 等” = l v ( r v ) i 所以对任意给定的节点( 薯，咒) ，有| - ( v ( r v ( 薯，只) ) 卜1 ，那么在瓦的节点上有 i - ( v ( r y ) ) i 1 ，即证得( 1 ) 。 ( 2 ) 对v ，蚝，根据( 4 6 ) 再结合( 1 ) ，易得( 2 ) 。 定义：爿( “，v ) = 厂1 ( “，v ) + 口( ”，v ) ，( v ) = 爿( v ，v ) 2 一( g ，v ) 。重写( 4 4 ) 式即求 翘羔。品飞) ，v v 蚝 7 ， 【彳( ，y 一) ( g ，y 一) ，v 1 ，蚝 r “7 由变分不等式的一般理论知其等价于下列极小问题的解： 动态弹塑性扭转问题的区域分解法 第四章动态弹耀性扭转问题的区域分解法 ，( ) 2 婴哿，( v ) ( 4 8 ) 动态弹塑性扭转问题的区域分解算法描述如下： 步骤1 ：选“：瓦= v k ：l v v i o ； 步骤2 ：江1 ，历，并行计算求锘。k ，使 彳( 荟弓甜：+ 西：”，v 一五 ( g ，v 一五：。) ，v v k ； ( 4 9 ) 步骤3 ：材：，：丛竺二型坚丝型；z 为给定的数 ( 4 1 0 ) 步骤4 ：“：“= “：1 + + 群用； ( 4 1 1 ) 步骤5 ：若万f = ，( 以) 一，( “：+ 1 ) 0 ，v v ， 由( 4 1 4 ) p ( 甜：，“+ ) j i “：一材i j ：2 ， 由( 4 1 4 ) ( 4 1 3 ) 得： p ( z ，：，“) j i 甜0 。i i 甜：一材i j 。+ 0 9 0 。0 甜：一甜+ l i 。+ i i “：一材i i ：2 ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) 注：可将( 4 9 ) 改写为： 。 v v k ，c 4 7 ， 由引理3 2 可知，将p ( “：，“) 代替误差“：一 是合理的，表面上p ( 材：，“) 依赖 f ，下节中将证e ( ”：，“) 的收缩数不依赖f 和办。 4 4 收敛性证明 仿照文【6 方法可以证明如下引理和定理： 引理4 1 存在一与f 和办无关的正常数c ，使 雌c 2 i | v i | ：，v v 圪 f - l 弓i 理4 2 设岛= 五：”一r 甜：，贝0 弛1 ) ( 耕e 卢，z ( 4 1 8 ) ( 4 1 9 ) 定理4 1 存在一与f 和厅无关的常数万( o ，1 ) ，使p ( “：”，甜) 如( “：，甜+ ) 。 4 5 数值算例 算例1 ：一维动态弹塑性扭转问题 取区间q = ( o ，1 ) ，f 【o ，1 ) ，解的初始条件为：( x ) = x ( 1 一x ) ， 动态弹颦性扭转问题的区域分解法第四章动态弹塑性扭转问题的区域分解法 m 力2 一扣一扣2 沪击，每r f l o o ，x 卜三， “( x ，f ) = o x 三 2 主 川一言， 一 工 l 一一 22 。 1 一三工1 2 有限元逼近中取一致剖分线性协调元；区域分解法分别对如下两个、四个、 八个子区域情况进行求解( 万= 0 0 1 ) ： ( i ) q l = ( 0 ，0 5 + 回，q 2 = ( o 5 一万，1 ) ； ( i i ) q i = ( 0 ，0 2 5 + 万) ，q 2 = ( 0 2 5 一万，0 5 + 回， q 3 = ( 0 5 一万，0 7 5 + 回，q 。= ( 0 7 5 一万，1 ) ； ( i i i ) q i = ( o ，0 1 3 + 回，q 2 = ( 0 1 3 一万，0 2 5 + 回，q3 = ( 0 2 5 一j ，o 3 7 + 回， q 。= ( o 3 7 一万，0 5 + 回，q5 = ( o 5 一万，o 6 3 + 回，q6 = ( 0 6 3 一万，0 7 5 + 万) ， q ，= ( 0 7 5 一万，0 8 7 + 回，q 8 = ( 0 8 7 一万，1 ) 取空间步长、时间步长分别为厅= l 1 0 0 ，f = 1 1 0 0 。采用超松弛迭s o r 作为内迭 代，终止条件为1 0 - 8 ；算法外迭代的终止条件为占= 1 0 - 6 。用m a t l a b 编程，计 算结果见表1 。 表ld d m 与f e m 的结果比较 法 d d m f e m 结果 两个子区域四个子区域八个子区域 最大节点误 差 0 0 0 6 20 0 0 6 50 0 0 6 7 0 0 0 3 3 计算时间 0 4 7 2 00 3 1 0 00 1 8 0 00 4 4 1 0 图1 给出了两个子区域的数值解，其中从下至上的曲线分别对应于 、乃 产一4 +x x 以。西h 动态弹塑性扭转问题的区域分解法 第四章动态弹塑性扭转问题的区域分解法 f = o 2 ，0 4 ，0 6 ，0 8 ，0 9 9 的情形 a ； d o m ( = o2 ) e 舶c l ( 1 - 0 2 ) e x a c f ( f = o4 ) 少飞j e x a c l ( 1 _ o 6 ) 纩 蚤 - l 一v e x a c i ( 1 - 08 d d m ( 1 = 08 矿 e x a c l f l = 9 9 5 吕m i = o ；9 ) f ，_ 一n 纱j i 夕 ：、 冬 ： 一、 j i l j f 图1 数值解与精确解的比较 我们给出了两个子区域与四个子区域的迭代次数，见表2 ，取时间步长、空 间步长分别为厅= 1 2 0 ，l 5 0 ，f = 1 1 0 ，1 2 0 ，l 4 0 ，从表2 中可以看出迭代次数与 空间步长办和时间步长f 都无关，但是随着子区域个数的增多，迭代次数相应增 加。 表2迭代次数比较 h 1 2 5l 5 0 n l5n 15n t = 1 2 02 12 2 2 32 22 32 4 t _ 1 4 02 22 3 2 42 12 22 4 t = 1 1 0 0 2 22 22 42 22 42 4 算例2 ： 取如图2 所示区域，以( 0 ，0 ) 为圆心，l 为半径的圆，再挖去以( 一l ，0 ) 为圆心， o 5 为半径的小圆；时间区间f 【o ，1 】。解的初始条件为：( 工，y ) = o ， 5 5 4 5 3 5 2 5 1 5 o c ； n n 蛇 n 叫 仉 仰 动态弹塑性扭转问题的区域分解法 第四章动态弹塑性扭转问题的区域分解法 ( x ，y ，f ) = 1 0 s i n 2 万f 取如图2 所示的上下两个子域，直线y = _ 0 2 以上的部分为第一个子区域， 直线y = o 2 以下的部分为第二个子区域；图3 给出了上面一个子区域的剖分方 案；另一个对称区域类似每个子区域采用有限元方法求解，均取线性元。结果 如下： y l ， 、 咀5 j o 2 5 ，o ) o o5 ( ，o ) 一 、 一o 2 - 0 5 一l 图2 求解区域图3 子区域剖分 图4 给出了时间f = 0 2 5 时，位移函数的图像，此时位移达到正的最大值； 图5 为时间f = 0 7 5 时的位移图，此时位移达到负的最小值。图6 是f = 0 0 2 5 间 隔为0 0 5 时的各个时刻的位移函数“( z ，y ) 在区域的纵截面y = 0 ，x ( 一0 5 ，1 ) 上的 图像，因为( x ，y ，f ) 是关于时间f 的周期函数，f = 0 0 2 5 是1 4 个周期，其他时 刻的情况类似。 动态弹塑性扭转问题的区域分解法 第四章动态弹塑性扭转问题的区域分解法 、 图4t = 0 2 5 时刻的位移 、 图5t = 0 7 5 时刻的位移 图61 4 个周期的位移示意图 2 8 态弹塑性扭转问题的区域分解法 结论 结论 动态弹塑性扭转问题在物理、力学及工程应用中是一个很重要的问题。目前， 求解此类问题的发展型变分不等式的常用数值方法有，采用时间半离散化为椭圆 变分不等式，再利用有限差分或有限元方法、对偶方法、罚方法等等。区域分解 方法是一种新兴的求解偏微分方程的数值方法，具有高效、并行的特点。目前， 用于求解变分不等式的区域分解方法主要局限于椭圆变分不等式，发展型变分不 等式的区域分解方法还不多见。本文将区域分解方法推广到了由动态弹塑性扭转 问题描述的发展型变分不等式中，给出了该方法的算法及收敛性结果。 本文的工作主要如下： 1 、介绍了椭圆问题h e l m h o j 也方程的区域分解法，给出了算法实现的步骤 及框图。通过一维、二维数值算例的计算结果说明区域分解法是有效的，而且在 同尺度和精度大致相同情况下，比有限元法程序运行效率高，所需时间少。 2 、第三章中对抛物方程构造了区域分解法。经过时间离散后抛物方程转化 为椭圆方程，采用第二章中d d m 方法计算了两个数值算例，通过与有限元法的 计算结果比较，可以看出区域分解法对抛物方程也是有效的。 3 、介绍了动态弹塑性扭转问题的重叠型区域分解法及其收敛性。对于由动 态弹塑性扭转问题描述的发展型变分不等式，先采用时间半离散，将问题转化为 一个第一类椭圆变分不等式问题，然后用区域分解法求解，由此给出了计算格式。 针对发展型变分不等式区域分解方法的数值算例很少见，文末给出了两个数值算 例，一个一维动弹弹塑性扭转问题，另一个二维非规则区域上的动态弹塑性扭转 问题。验证了方法的有效性。此外，由数值算例可以看出迭代次数与空间步长办 和时间步长f 都无关，但是随着子区域个数的增多，迭代次数相应增加。 我们认为可以在以下几个方面开展进一步的研究： 1 、由于发展型变分不等式形式多样，这里我们仅对动态弹塑性扭转问题描 述的发展型变分不等式构造了区域分解方法。是否可以推广到更一般的如粘弹 性、粘塑性材料描述的发展型变分不等式上。其变分不等式形式多为更复杂的含 高阶时间项或微分项的变分不等式或发展型的微分积分变分不等式。 动态弹塑性扭转问题的区域分解法结论 2 、区域分解法还有一种是不重叠型区域分解法，其相邻子区域之间只有共 用交界面，通过交接面上的连续性条件对解进行约束，相对于重叠型区域分解法 求解要困难一些，可以尝试用不重叠区域分解法来求解动态弹塑性扭转问题，或 更复杂的发展型变分不等式问题。 3 、也可研究区域分解方法中的重叠区域的大小于迭代收敛性的关系，几何 参数对收敛性的影响。 4 、文中方法可以推广到如下高阶发展型变分不等式： i ( 甜。，一甜) + a ( “，v 一甜) ( ， ，一“) ，v v k ，f ( o ，丁】， 【“( x ，o ) = ( x ) ， 在q 上 其中q 是足4 ( d = l ，2 ，3 ) 中的有界区域，求解空间为 k = v 日2 ( q ) ：v = 加= o 在r 上，i v l ，l l 在q 上) ， k ，( 。，。) 是r 上的内积，口( “，1 ，) = “v 出。 我们已建立了如上问题的d d m ，由于数值算例尚未完成，这里没有列入。我们 将在今后的工作中完成。 3 0 动态弹塑性扭转问题的区域分解法参考文献 参考文献 1 】d u v a u tg ，l i o nj l ，i n e q u a l i t i e s i nm e c h a n i c sa n d p h y s i c s【m 】，b e r l i n ： s p r j n g e 卜v b r 】a g ，】9 7 6 2 】g l o w i n s “r ，l i o nj l - ，r1 y e m o l i e r e s ，n u m e r i c a la n a l y s i so f 、，a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s 【j 】，a m s t e r d a m ：n o n h h o l l a n d ，19 8 l 3 】g l o w i n s k ir ，n u m e r i c a lm e t h o d sf o rn o n l i n e a rv h r i a t i o n a lp r o b l e m s m 】，n e w y - o r k ：s p r i n g e r _ v e r l a g ，19 8 4 【4 】吕涛，石济民，林振宝，区域分解算法偏微分方程数值解新技术( 第一版) 【m 】，北京：科学出版社，1 9 9 2 【5 】d 吲am ，w i d l u n do ，d o m a i nd e c o m p s i t i o na l g o r i t h m sw i t hs m a l lo v e r l a p 【j 】， s i a mj s c i c o m p 19 9 4 ，l5 ：6 0 4 - 6 2 0 【6 z h o us ，w a n gd ，d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o df o rap a r a b o l i cv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t y 【j 】，a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n ，2 0 0 5 ，16 6 ：2 13 - 2 2 3 7 】王勋成，有限单元法 m 】，北京：清华大学出版社，2 0 0 3 【8 】张雄，刘岩，无网格法【m 】，北京：清华大学出版社，2 0 0 5 9 】刘更，刘天祥，谢琴，无网格法及其应用 m 】，西北工业大学出版社，2 0 0 5 1 0 】张伟，h e l m h o i t z 问题和椭圆型变分不等式问题的无网格法 d 】，苏州大学硕 士学位论文，2 0 0 7 【1 1 】王烈衡，许学军，有限元方法的数学基础【m 】，北京：科学出版社，2 0 0 4 【1 2 】w 哈克布思，多重网格方法 m 】，北京：科学出版社，1 9 8 8 【1 3 】沈洁，动态弹塑性扭转问题的多重网格法 d ，苏州大学硕士学位论文，2 0 0 7 【1 4 】朱汉清，分析l a p l a c e 问题的重叠和不重叠区域分解法【j 】，淮阴师范学院学 报( 自然科学版) ，2 0 0 6 ，5 ( 1 ) ：3 3 4 0 【1 5 】曾金平，周叔予，单障碍问题区域分解法的单调收敛性与收敛速度估计【j 】， 计算数学，2 0 0 2 ，2 3 ( 4 ) ：3 9 5 - 4 0 4 【1 6 曾金平，周叔子，带非线性源项的变分不等式的区域分解法及其收敛速度分 析 j 】，应用数学学报，2 0 0 0 ，2 3 ( 2 ) ：2 5 0 2 6 q 3 1 动态弹塑性扭转问题的区域分解法参考文献 【1 7 】曾金平，周叔子，一类非线性算子障碍问题的s c h w a 眩算法 j 】，应用数学学 报，19 9 7 ，2 0 ( 4 ) ：5 2 2 - 5 3 0 【18 】许学军，沈树民，障碍问题的区域分解法【j 】，高等学校计算数学学报， 1 9 9 4 1 6 ：1 8 6 1 9 4 【1 9 陆金甫，关治，偏微分方程数值解法( 第二版) m 】，北京：清华大学出版社， 2 0 0 4 【2 0 】c a l j f i u r e l l il a ，f r i e d m a na ，t h e 行e eb o u n d a 叮f o re l a s t i c p i a s t i c t o r s i o n p r o b i e m s j 】，t r a n s a m e n m a t h s o c 19 7 9 ，2 5 2 ：6 5 9 7 【2 1 】c a f r a r e l l il a ，f r i e d m a na ，r e i n f o r c e m e n tp r o b l e m e si ne l a s t i c - p l a s t i c i 妙 j ，