（计算数学专业论文）基于cb数学形态学的边缘检测技术研究.pdf

中文摘要 摘要：边缘检测一直是图像处理领域研究比较多的课题，也是一个热点课题。经 过多年的研究，许多算法被提出。边缘检测算法主要分为以下六大类：空域微分 算子法、小波变换法、神经网络法、分形理论法、模糊检测法、数学形态学法。 其中数学形态学作为一种非线性滤波算子被广泛地研究，主要方法有：形态学梯 度法、t o p h a t 法和多尺度法。在经典形态学中，各种运算均以结构元素与图像形 态上的匹配程度来决定变换的结果。因此当需要处理的对象具有不同的表现形态 时，不同的结构元素就必须被同时使用。这导致了很大的结构元素集，不仅使系 统效率低，也难以获得满意的效果。基于这种认识，产生了基于轮廓结构元素的 形态学( c o n t o u rb o u g i e ) ，简称为c b 形态学。这种形态学运算建立在新的处理原 则上，从而弱化了结构元素形状对处理结果的影响。作为一种新理论，c b 形态学 在滤除噪声以及保护图像细节信息方面有着无可比拟的优势。本文主要讨论c b 形 态学的相关知识，并在其基本运算的基础上，引入多尺度的概念，进而提出了基 于c b 形态学的多尺度边缘检测新算法。 本文给出了经典形态学的多尺度算法、c b 形念学的单尺度算法和c b 形态学 的多尺度的算法，并从处理结果和计算量等多个角度进行了比较，讨论了各种算 法的优点和缺点。 关键词：图像处理；数学形态学；c b 形态学：边缘检测；多尺度 分类号：t p 7 5 1 1 a bs t r a c t a b s t r a c t ：e d g ed e t e c t i o no fi m a g ei sa l w a y sas u b j e c tb e i n gr e s e a r c h e dv e r ym u c h ， w h i c hi sa l s oah o tr e s e a r c hs u b j e c t m a n ya l g o r i t h m sw e r ep u tf o r w a r dd u r i n gt h e r e c e n ty e a r s t h e r ea r ea b o u ts i xk i n d sa m o n gs om a n ya l g o r i t h m s ：s p a t i a ld i f f e r e n t i a l e d g ed e t e c t o r w a v e l e tt r a n s f o r m ，n e u r a ln e t w o r k ，f r a c t a lt h e o r y , f u z z ys e tt h e o r y , m a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g y m a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g yi sr e s e a r c h e dm u c hm o r ea n di t c a nc e n t i g r a d ei n t ot h r e ek i n d s ：m o r p h o l o g i c a lg r a d i e n t ，t o p h a ta n dm u l t i s c a l e i n c l a s s i c a lm o r p h o l o g y , t h er e s u l t so ft r a n s f o r m a t i o no fa l lk i n d so fo p e r a t i o na r e d e t e r m i n e db yt h em a t c h i n gd e g r e eb e t w e e nt h es t r u c t u r ee l e m e n t sa n di m a g e t h e r e f o r ew h i c hw h e nn e e d st op r o c e s st h eo b j e c th a st h ed i f f e r e n tp e r f o r m a n c es h a p e ； t h ed i f f e r e n ts t r u c t u r ee l e m e n t sm u s tb eu s e d t h i sc a u s e st h ev e r yb i gs t r u c t u r e e l e m e n t sc o l l e c t i o n n o to n l yc a u s e st h es y s t e me f f i c i e n c yt ob el o w , b u ta l s oo b t a i n s u n s a t i s f a c t o r y e f f e c t b a s e do nt h i sk i n do fu n d e r s t a n d i n g , w eh a v ep r o d u c e d m o r p h o l o g yw h i c hb a s e do nc o n t o u rb o u g i e ，t h ea b b r e v i a t i o ni st h ec bm o r p h o l o g y i t s o p e r a t i o nb a s e do nn e wp r o c e s s i n gp r i n c i p l e ，t h u si t a t t e n u a t e st h ei n f l u e n c eo ft h e s t r u c t u r ee l e m e n t s a san e wt h e o r y , t h ec bm o r p h o l o g yh a si n c o m p a r a b l es u p e r i o r i t y i nf i l t e r i n gn o i s ea n dp r o t e c t i n gi m a g ed e t a i li n f o r m a t i o n 1 1 1 ea r t i d em a i n l yd i s c u s s e s t h ec bm o r p h o l o g y , i n t r o d u c e st h ec o n c e p to fm u l t i s c a l eb a s e do ni t sb a s i co p e r a t i o n ， a n dt h e np r o p o s e san e we d g ed e t e c t i o na l g o r i t h mw h i c hb a s e do nc bm o r p h o l o g y t h ea r t i c l e g i v e st h e m u l t i s c a l e a l g o r i t h m o fc l a s s i c a l m o r p h o l o g y , t h e s i n 舀e s c a l ea l g o r i t h mo fc bm o r p h o l o g y , t h em u l t i - s c a l ea l g o r i t h mo fc bm o r p h o l o g y a n ds oo nm a n ya s p e c t sh a v ec a r r i e do nt h ec o m p a r i s o nf r o mt h ep r o c e s s i n gr e s u l ta n d c o m p u t a t i o nt i m e ，a n dt h e nt h ea d v a n t a g ea n dd i s a d v a n t a g eo ft h e ma r ed i s c u s s e d k e y w o r d s ：i m a g ep r o c e s s i n g ；m a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g y ；c bm o r p h o l o g y ；e d g e d e t e c t i o n ；m u l t i s c a l e c i a s s n o ：t p 7 5 1 1 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：1 小看彳 签字同期：二。o 万年占月弓同 翩虢酋、 签字同期：彦卯子年月孑p t 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：1 心j 年 签字同期：2 。8 年彳月弓同 致谢 本论文的工作是在我的导师黄晓鸣副教授的悉心指导下完成的，在此衷心感 谢两年来黄老师对我的关心和指导。 在两年的学习和生活中，黄老师给了我许多有益的指导和细致入微的关怀， 没有他的帮助，我根本不可能完成本文。黄老师严谨的治学态度，广博的知识， 精益求精的科研作风，敏锐的学术思想和忘我的工作精神极大的影响并鞭策了我。 更重要的是使我学到了许多治学和做人的道理，将使我受益终生。我将铭记黄老 师的教诲，努力工作，不断进取。 黄老师对于我的科研工作和论文都提出了许多的宝贵意见，在此表示衷心的 感谢。 另外也感谢家人父母，他们的理解和支持使我能够在学校专心完成我的学业。 1 引言 数字图像处理又称计算机图像处理，它是指将图像信号转换成数字信号并利 用计算机对其进行处理的过程。计算机图像处理和计算机、多媒体、智能机器人、 专家系统等技术的发展紧密相关。近年来计算机识别、理解图像的技术发展迅速， 图像处理的目的除了直接供人观看( 如医学图像是为医生观看作诊断) 外，还进 一步发展了与计算机视觉有关的应用，如邮件自动分检，车辆自动驾驶等。因此 计算机图像处理被广泛的应用于航空航天、国防、遥感遥测、生物科技、医药图 像、军事、公安和科学图像处理等领域中。 边缘检测是计算机视觉和计算机图形学两大领域中的重要研究方向之一，它 被广泛应用于模式识别、图像分割、遥感、医学图像分析等领域，并成为了这些 领域的基础研究方向。一幅图像就是一个信息系统，其大量的信息是由它的轮廓 边缘提供的。因此，边缘提取与检测在图像处理中占有很重要的地位，其算法的 优劣直接影响着随后的处理性能。 图像最基本的特征是边缘。所谓边缘是指其周围像素灰度有阶跃变化或屋顶 变化的像素的集合。边缘广泛地存在于物体与背景、物体与物体、基元与基元之 间。p o g g i o 等指出“边缘或许对应着图像中物体( 的边界) ，或许并没有对应着图 像中物体( 的边界) ，但是边缘具有十分令人满意的性质，它能大大减少所要处理 的信息，但是又保留了图像中物体的形状信息。” 图像边缘可以分为阶跃状边缘和屋顶状边缘。其边缘和边缘点附近狄度变化 的导数变化规律分别如图1 和图2 所示。其中阶跃状边缘点一阶导数在边缘点取 极大值，二阶导数在边缘点出现零交叉；屋顶状边缘的一阶导数在边缘点出现零 交叉，二阶导数在边缘点取极小值。 r 、r l 。 y 0 j r o z 图1 1 阶跃状边缘和边缘点附近灰度变化的导数变化规律 y o 工 l ， 炳 b ， ( o ) 图1 2 屋顶状边缘和边缘点附近灰度变化的导数变化规律 传统的边缘检测方法基于空l 日j 运算，借助空域微分算子进行，通过将算子模 板与图像进行卷积合成得到边缘图像。根据模板的大小和元素值的不同有不同的 微分算子，如r o b e r t 算子、s o b e l 算子、p r e w i t t 算子、l o g 算子、c a n n y 算子等。 这些空域算子对噪声都比较敏感，且常常会在检测边缘的同时加强噪声。 小波变换是传统的f o u r i e r 变换的继承和发展，具有一定的分析非平稳信号的 能力，主要表现在高频处的时间分辨率高，低频处的频率分辨率高，即具有变焦 特性，因此特别适合于图像这一类非平稳信号的处理。通过多尺度小波提取图像 边缘是一种非常有效的方法。其基本思想是沿梯度方向，分别用几个不同的边缘 检测算子在相应点上检测模极大值的变换情况，并通过阀值的选取，最终得到边 缘图像。基于小波变换的边缘检测可以较好的解决噪声和定位精度之间的矛盾。 基于分形理论的边缘检测主要是利用处在边缘区的子图的分形失真度比较 大，而处在平坦区或纹理区的子图的失真度相对比较小的性质来提取图像的边缘。 8 0 年代中期，p a l 和k i n g 等人提出了一种图像边缘检测模糊算法，首次将模 糊集理论引入到图像的边缘检测中。该算法可以有效地将物体从背景中分离出来， 并在模式识别和医疗图像处理中获得了良好的应用，但是该算法也存在一定的缺 陷，比如损失了一些低灰度值的边缘信息，并且运算复杂。 近年来，随着人工智能的发展，人工神经网络被广泛地应用于模式识别、信 号与图像处理、人工智能及自动控制等领域。在各种神经网络模型中，应用最广 泛的一类是前馈神经网络，用于训练前馈网络的最常用的学习方法是b p 算法。目 前已有了很多基于b p 网络的边缘检测算法，但是b p 网络收敛速度很慢，容易收 敛于局部极小点，且数值稳定性差，参数难以调整，很难满足实际应用的要求。 遗传算法是一种新发展的优化算法，是基于自然选择和基因遗传学原理的搜 索算法，具有计算简单、功能强等特点，已经被应用于边缘检测算法中。通过遗 传算法进行边缘提取阀值的自动选取，能够显著地提高阀值选取的速度，可以对 视觉系统所产生的边缘图像进行阀值的实时自动选取，增强了整个视觉系统的实 时性和鲁棒性。 数学形态学是一种非线性滤波方法，在图像处理中已获得了广泛地应用。形 2 态学运算是物体形状集合与结构元素之间的相互作用，对边缘方向不敏感，并可 以在很大程度上抑制噪声和探测真j 下的边缘，同时数学形态学在图像处理方面还 具有直观上的简单性和数学上的严谨性，在描述图像中的物体形状特征上具有独 特的优势。因此，数学形态学用于边缘检测，既能有效地滤除噪声，又可以保留 图像中的原有细节信息，具有较好的检测效果。当然用数学形态学进行边缘检测 也存在一定的不足，比如结构元素单一的问题，它对与结构元素同方向的边缘敏 感，而与它不同方向的边缘或噪声就会被平滑掉，这样就会损失部分细节信息。 本文在经典形态学的基础上，提出了基于c b 形态学的多尺度的边缘检测算 法。该算法不仅可以有效的滤除噪声，同时还可以有效的检测图像的边缘信息。 通过对边缘图像的评价以及对边缘图像的直观视觉等方面的研究验证了该算法的 可行性和有效性。 3 2 本文主要工作 l 、论述了现有的边缘检测算法的原理及其优缺点。 2 、结合相关的知识，对噪声信号的特性进行了分析，利用c b 形态学的基本变换， 引入多尺度的概念，提出了一种基于c b 形态学的多尺度的边缘检测算法。 3 、为了更好地比较新算法的性能，本文用m a t l a b 分别实现了经典形态学的多 尺度边缘检测算法( c m s ) 、基于c b 形念学的单尺度边缘检测算法( m s ) 、基于 c b 形态学的多尺度边缘检测算法( m m s ) 。 4 、在试验结果评价方面，分别在无噪声和有噪声的两种情况下，从算法的运行时 问、边缘图像的点数以及边缘图像与原始图像之间的差的绝对值进行了比较。试 验结果表明：m m s 算法比其他两种算法在保护图像细节信息、滤除噪声方面有着 更好地的效果，该算法优于传统的边缘检测算法，更适合于噪声强度大的图像的 边缘检测，是一种实用有效的方法。 5 、分别取两种不同的结构元素对同一图像进行了处理，试验结果验证了文中论述 的结论：c b 形态滤波的性能与结构元素的形状关联不大，但是对于交织紧密的噪 声群以及十分接近图像边缘的噪声的处理，使用不同形状的结构元素的滤波效果 会有所不同。一般情况下这种差别不大，但是在实际的应用中，选择合适的结构 元素还是很有实际意义的。 4 3 经典形态学变换 数学形态学( m a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g y ) 是一种非线性图像( 信号) 处理和分 析理论，它建立在严格的数学理论基础之上，具有一套完整的理论、方法及算法 体系，其系统性和严密性不亚于传统的线性图像处理理论。它摒弃了传统的数值 建模及分析的观点，从集合的角度来刻画和分析图像。数学形态学的基于集合的 观点是极其重要的，这意味着：( 1 ) 它的运算由集合运算( 如并、交、补等) 来 定义；( 2 ) 所有的图像都必须以合理的方式转换为集合。这一基于集合的观点的 一个自然的结果是：形态学算子的性能将主要以几何方式进行刻画，而传统的理 论却以解析方式描述算子的性能，这种显式的几何描述特点似乎更适合视觉信息 的处理和分析。因此，数学形态学与几何的直接关系是它的一个十分吸引人的优 点。 自m e t h e r o n 和s e r r a 从6 0 年代丌始研究以来，数学形态学在图像处理、模式 识别和计算机视觉等领域引起了广泛的重视与运用。随着数学形态学理论的不断 完善和发展，数学形态学在图像边缘检测中的应用也获得了广泛的研究。 3 1 二值图像的形态学变换 所谓的二值图像是指图像的灰度值只取两个可能的值的图像。这两个狄度值 取为0 和l 。习惯上认为取值为l 的点对应于物体，而取值为0 的点构成背景。这 类图像的集合表示是直接的，考虑所有灰度值为1 的点的集合x ，则x 与图像是 一一对应的。如何对集合x 进行分析呢? 数学形态学认为，所谓分析就是对集合 进行变换以突出所需的信息。其采用的是用结构元素与集合x 进行运算的方式。 结构元素也是一个集合，它由我们分析的目的来决定。进而产生的问题就是如何 用结构元素对集合x 进行变换。为此，数学形态学定义了两个基本的变换：腐蚀 和膨胀。 3 1 1 腐蚀与膨胀 在随后的讨论中，我们用a c 表示集合彳的补集，用4 j 】表示一个集合爿平移 一个向量z ，j 表示与4 关于坐标原点对称的集合，即j 是彳关于坐标原点的映像。 即 5 彳h = 口+ 引口a ，a = - ala a ) 定义3 1 1 集合x 与结构元素b 的腐蚀运算定义为： 彳= h 曰【石】s x 如果召包含了坐标原点，那么x o b 将是x 的一个收缩，即x o b x ，这就 是“腐蚀 名称的由来：如果b 不包含坐标原点，那么x o b 垦x 未必成立。结构 元素包含坐标原点与否对腐蚀结果的影响，虚线矩形表示腐蚀的结果，如图所示： b 1 广。 ll r 1 一 j j b 2 厂 。 u 7 x x 图3 1 结构元素包含坐标原点与否对腐蚀结果的影响 上述定义是通过平移集合召给出的，实际上也可以平移集合x 给出，从而有 与上述定义式等价的其它定义式： 舱b = n x 【6 】- nx 同= n x 【而】 崩 一b c ：b脚 它将腐蚀表示为目标图像x 有约束的平移的交，这些在并行处理中非常有用。 用不同的结构元素可以得到不同的腐蚀结果，它们显示出用不同的“探针” 图像所具有的不同的外形结构特征。一般地，当结构元素包含坐标原点时，相对 来讲结构元素窄的方向留下的较多，宽的方向去掉的较多。下图给出了几种不同 的结构元素对同一目标集合腐蚀的结果，这里用灰色方格表示原始图像，黑色方 格表示腐蚀结果，红色方格表示坐标原点。 原始图像 6 结构元素 曼璺篓瞳_ 啊j _ _ 棚 i j | 一i 缸 幽3 2 不同的结构元素对同一对缘的腐蚀结果 定义3 1 2 集合x 与结构兀素b 的膨胀运算定义为： x b = ub h r e 与之等价的定义式： ( 1 ) xo b = ux b 】 c 2 ，x 。曰= x 吾 x 】nx 囝 ( 3 ) xo b = z + bx x ，b b 定义( 1 ) 、( 2 ) 便于算法的实现。定义( 3 ) 利于理解、分析，因为它表示为点的 运算。 膨胀操作类似于卷积操作( 相对于b ) ，但差别是，卷积运算是数值运算，膨 胀运算是集合运算。当结构元素包含原点时，相对来讲，结构元素窄的方向膨胀 的较少，结构元素宽的方向膨胀的较多。下图给出了几个不同的结构元素对同一 对象的膨胀结果，其中用灰色方格表示原始图像，黑色方格表示膨胀m 来的部分， 红色方格表示坐标原点。 原始图像 结构元素 膨胀结果垂一爿 图3 3 不同的结构元素对同一对缘的膨胀结果 3 1 2 开运算与闭运算 定义3 1 3 集合x 与结构元素b 的丌运算定义为： xob = ( x o b ) 0b xo b 可视为对腐蚀图像x o b 再用b 膨胀来恢复，不过这一恢复不是信息无 损的，即它通常不等于原始图像x 。 可以得出与上式等价的式子 x 。b = ub x 】 8 1 q = x 此式表明，义。b 由所有x 的与结构元素曰全等的子集的并组成，或者说对 x 。b 中的每一点y ，均可找到某个包含在x 中的结构元素b 的平移曰【x ，使得 y b x 】，即x 在y 的近旁具有不小于b 的几何结构，而对于x 中的不能被x 。b 恢复的点，其近旁的几何结构总比b 小。这一特征表明，x 。b 是一个基于几何结 构的滤波器。 定义3 1 4 集合x 与结构元素b 的闭运算定义为： x b = f x o b ) o b 由腐蚀和膨胀的对偶性，可知 vv x b = ( x o b ) 。，xo b = ( x 召) 即开、闭运算也是一对对偶变换。闭运算的几何意义可由补集的开运算的几何意 义导出，可见闭运算可以填充图像的凹角平滑图像。 开、闭运算可以级联，例如( x 。b ) 曰和( x b ) 。b 交替使用可以达到双边滤 波的目的。但是它们滤波的效果是不同的，哪种效果更好要取决于噪声的性质及 边界的形状。 3 2 多值函数( 灰度图像) 的形态学变换 狄度图像f ( x ，y ) 是定义于r 2 上的一个二维函数，它相应于三维欧式空间中的 一个点集 ( x ，少) ，f ( x ，y ) 。为简化，n 将f ( x ，y ) 记为厂( x ) ，x er 2 。更一般地，函 数f ( x ) 的定义域为r ”，并约定函数在一点取值啷，当且仅当此点在函数的定义 域之外。为建立灰度图像的形态学理论，首先将函数转化为集合， 彳= ( x ，f ) lx er , fe r ，并引进阴影集、表面函数等概念。 3 2 1 多值函数的形态学变换的数学基础 定义3 2 1( 支持域) 对r ”r 中的一个集合a ，它在尺”中的支持域定义为 s u p p ( a ) = z ix t er ”且3 t r ，使( x ，t ) a ) 对于又“上的一个实值函数厂，它的支持域就是通常意义上的定义域。 定义3 2 2 ( 阴影集) 一个r ”r 中的集合y 称为一个阴影集，当且仅当对任意 ( 工，t ) y ，必有( x ，t ) y 对一切t 。t 成立。 对任意一给定的尺“上的实值函数f ：r ”- - h 月u 硼，+ ) ，考虑集合 【，( 厂) ： ( 工，f ) ix r “，f r ，fs 厂( x ) ，x s u p p ( f ) 显然，u ( f ) 是r “r 中的阴影集，这里称之为函数的阴影集。直观上讲， 函数的阴影集就是函数，下面的所有点的全体。下图给出了一维函数阴影集的 图示。其中，( a ) 表示的是函数的阴影集，( b ) 表示的是集合的阴影集。 9 l f 膨勿。 钐殇7 ：u ( f ) o l a 锈 ，卅l 而r i 。 珍黝u ( ： ( a ) ( b ) 图3 4 函数、集合的阴影集示意图 定义3 2 3 ( 上表面) 对r ”r 中的一个集合a ，称 g = ，- 刚o o , 否川n 。建4 艇蜊御) 为a 的上表面。 下图给出了一个集合上表面的示意图，其中虚线条表示集合彳的上表面。 l ? 1 g ( ” s 、。 i ，。 图3 5 集合的上表面示意图 3 2 2 多值函数的腐蚀、膨胀变换 v 对一个只4 上的函数h ( x ) ，用符号h ( x ) 表示h ( x ) 在其定义域中的映像，用h y 】 v 表示h ( x ) 在其定义域中以矢量j ，的平移，即j l i ( x ) = j | l ( 吖) ，研纠( 工) = h ( x y ) ，并约 定函数h ( x ) 的补i l 。o ) = 一h ( x ) 。 定义3 2 4 设厂是一个图像，g 是一个给定的结构函数，用g 对的腐蚀定义为 f o g = g ( u ( ) o u ( g ) ) l o 经过推导可以得出基于函数运算的灰度图像腐蚀变换的定义式为 ( f o g ) ( x ) = 如f ， 厂( x + 少) - g ( y ) 】 y e j u p p g j 由此可知f o b 的几何意义：f o b 是将函数曲面g 紧贴函数曲面且在厂下移 动时其中心点的轨迹，中心点通常为原点。具体的讲，对于每个耿定的工将g ( 工) 的 中心点放在x 上，从而确定了f ( x ) 和g ( x ) 的相对位置，求厂一g 的最小值，以其作 为x 点的输出。下图给出了多值函数腐蚀的示例，左图为腐蚀过程，右图为结构函 数，其中虚线条表示腐蚀的结果。 胡一 0 ；7 。 j 、，t ： 、， j 厂、，| | l 图3 6 多值函数腐蚀的结果 定义3 2 5 设厂是一个图像，g 是一个给定的结构函数，用g 对厂的膨胀定义为 f g = g ( u ( f ) 0 u ( g ) ) 与上述等价的函数运算定义式为 ( 厂0 9 ) ( x ) = s u p f ( x - y ) + g ( 少) 】 y e s u p p f g 的几何意义是将g 的中心保持在厂曲面上，当移动g 时，g 曲面所形成 的包络。下图给出了多值函数膨胀的示例，左图为膨胀过程，右图为结构函数， 其中虚线条表示膨胀的结果。 “” ：，_ 之箩1c 二o 訾、 确妥鳓 1 v j 厂、，l l l 、 图3 7 多值函数膨胀的结果 3 2 3 多值函数的开、闭运算 定义3 2 6 设是一个图像，g 是一个给定的结构函数，用g 对的丌运算定义为 厂o g = ( f o g ) 0 9 定义3 2 7 设是一个图像，g 是一个给定的结构函数，用g 对厂的闭运算定义为 f g = ( 厂o g ) g 狄度图像的丌运算将去掉图像上与结构函数的形态不相吻合的凸的灰度分布 结构，但保留那些相吻合的凸的灰度分布结构，而闭运算则会填充图像上那些与 结构函数的形态不相吻合的凹的灰度分布结构，但保留那些相吻合的凹的次度分 布结构。它们都可以用来提取图像特征或平滑图像。 1 2 4c b 形态学变换 在数学形态学中，一个比较重要的概念就是结构元素，它们决定了变换的目 的和系统的性能。经典的形态学变换如腐蚀、膨胀、开运算和闭运算等均以结构 元素的形状作为其处理的基本原则，即它们均以结构元素与图像形态上的匹配来 决定变换的结果。因此当需要处理的对象具有不同的表现形态时，不同的结构元 素就必须被同时使用。这导致了很大的结构元素集，不仅使系统效率低，也难以 获得满意的效果。一个典型的例子是对包含曲线的图像进行去噪声处理。例如要 使用丌运算来完成这一处理，那么所使用的结构元素的尺寸不能过小，否则噪声 去不干净；此外为了保护曲线上的信息不损失，所有曲线的可能构形都必须有相 赢得结构元素b ；与之匹配。这样下述变换 j v f ( x ) = i j x 。e i = 1 才可以在保护曲线的同时也滤除噪声。但是随着结构元素的尺寸的增大，曲线的 可能构形也急剧增加，这意味着会相当大。而人为的降低则会导致曲线的变 形及断裂，影响后继的分析。产生这一问题的原因是由于在这种情形下，某种其 它类型的信息而不是形状才是处理的要素。出于这一认识，产生了基于轮廓结构 元素的形态学( c o n t o u rb o u g i e ) ，简称为c b 形态学。这种形态学运算建立在新的 处理原则上，从而弱化了结构元素形状对处理结果的影响。预先申明：下面的讨 论均在二维空间中进行。 4 1 二值图像的c b 形态学变换 设艿是一个单连通结构元素。不失一般性，设君是紧集。艿的轮廓触定义为 b 的所有边缘点的全体，船必是连通封闭曲线。在数字空间中，船有两种定义， 即八连通轮廓和四连通轮廓。分别有下列形态学计算公式： ( 八连通轮廓) a b = x - x e n , ( 四连通轮廓) o b = x - x o n 8 蚓4 1 。、8 形状的结构元素 定义b 的内点集b = b 一0 1 3 ，从而有胡b ，bsb 。 下图是单连通集合的轮廓示意图 ( a ) 单连通集合b( b ) b 的八连通轮廓( c ) b 的四连通轮廓 图4 2 单迩通集介的轮廓示意幽 定义4 1 1x 关于b 的c b 腐蚀变换定义为x b = xo0 b ，其中加的选择应使 其在的拓扑( 连通性) 定义下保持连通封闭性。即若彳的拓扑以四连通定义， 则汨应取曰的四连通轮廓；若x 的拓扑以八连通定义，则0 b 可取曰的四连通轮 廓也可取八连通轮廓。 定义4 1 2x 关于曰的c b 膨胀变换定义为x b = xoo b ，其中加的选择应 使其在r 的拓扑( 连通性) 定义下保持连通封闭性。即若的拓扑以四连通定义， 则o b 应取b 的四连通轮廓；若x 的拓扑以八连通定义，则抛可取b 的四连通轮 廓也可取八连通轮廓。 定义4 1 3 对集合y ，若存在x ，使得j ，b x 1 ，则称y 可装入口。 i j 定义4 1 3 得，f 述关系式是恒真的： x b x o b ，x bcx0b 然而在一定条件f ，c b 腐蚀和c b 膨胀也可以与经典腐蚀和膨胀运算一一致， 即有下列性质：若图像x 不具有可装入b 的洞，则有x b = x o b ；若图像x 不 具有可装入口的连通分量，则有b = 义0b 。 1 4 定义4 1 4z 关于b 的c b 开变换定义为x b = ( x o a a ) ob 。 定义4 1 5x 关于口的c b 闭变换定义为xo b = f x oa 曰) o b 。 然而在一定条件下，c b 腐蚀和c b 膨胀也可以与经典腐蚀和膨胀运算一致， 即有下列性质：若图像片不具有可装入b 的洞，则有x b = xo b ；若图像x 不 具有可装入口的连通分量，则有x o b = x b 。 由定义4 1 4 知x 曰与x 的洞要么不交，要么就全包含它。因此x b 将 填满x 中的某些洞，但是对于x 其它的连通分量却不会处理。 由定义4 1 5 知，当j 旺xob 时，xo 曰就必定删除了x 的某些连通分量， 未被删除的连通分量决不会缩小。 前面的论述已经指出了c b 丌和c b 闭运算对连通分量的处理特点，但是c b 丌和c b 闭运算对连通分量的处理又是以分量的什么特征为基础的呢? 为此，我们 定义： 定义4 1 6 一个集合相对于给定的结构元素b 的尺寸为： s i z e b ( x ) - , - - s u p 2 , ix 。兄曰o 定义4 1 7 一个集合x 相对于给定的结构元素曰的延展度为： ，、 e x t n ( x ) = i n f 兄i3 y 丑，使得x 兄b 儿 ， 显然 e x t b ( x ) s i z e b ( x ) 也就是说小延展度的集合必定是小尺寸的集合，但反之则不然。 考察一个例子：设x 是一根宽度为口( 0 ) 的无穷长的直棒，那么对任意的紧 集b 均有e x t b ( x ) = 栅。但是选择不同的紧集b ，s i z e b ( x ) 却可以取到( o ，帕】中 的每一个值。这个例子说明了两个重要的事实： ( 1 ) 集合尺寸的测量随参考集合曰的不同会出现完全不同的结果。实际上尺寸的 定义基础就是图像与结构元素在几何上的匹配关系，从而体现了与经典形态学运 算相同的原则。换句话说经典形态学运算均是以集合的尺寸特征来进行处理的， 因此，正是由于尺寸测量对结构元素形状的极强依赖关系导致了经典形态学滤波 算子的缺陷。而延展度则不然，它度量的是集合沿空间伸展的广度，因而参考集 合的不同几乎不会影响结果的实质。也就是说延展度的测量与结构元素的形状几 乎无关； ( 2 ) 小尺寸的集合未必就是噪声，它很可能是图像中极富意义的成分( 此时我们 认为它具有较大的延展度) 。因而经典形态学运算基于尺寸来处理就难以对图像中 的有用成分和噪声进行有效的区分，会导致图像信息的丢失。而小延展度的集合 必定局限于空间的小区域，从而在视觉意义上不明显，将它看作为无意义的信息 ( 即噪声) 是合理的。此外噪声的随机性质本身也蕴含着噪声信号的无结构性， 从而不致形成大延展度的连通分量集合。综上所述，延展度可以很好地区分图像 中的有用信息和噪声。 从以上的论述可以得出结论：x b ( x q b ) 与经典开( 闭) 变换xo b ( x 曰) 在对图像外轮廓的光滑处理效果上是一致的，即c b 丌删除轮廓上的凸 起，而c b 闭填充轮廓上的凹入，而它们的主要区别在于对洞( 连通分量) 的处理 上。x 占和x q b 对连通分量的处理正是以分量的延展度为基础，确切地说， x u b ( x o b ) 对洞的填充( 连通分量的删除) 只与洞( 连通分量) 的延展度 特性及周围环境特性有关，而洞( 连通分量) 的形状对其填充( 删除) 几乎不产 生影响。事实上这也j 下是c b 形念学变换所特有的、十分有用的一个性质。 定义4 1 8 变换d 。( x ) = x u x b = x u ( x b x ) 定义4 1 9 变换c 。( x ) = x nxob = j 一( x xo 曰) 显然有x o b ( x ) ，x2g ( ) ；由定理及推论知，q ( x ) ( c b ( x ) ) 填充 了( 删除了) 彳的某些洞( 连通分量) ，而对x 的其他部分不作任何修改。因为它 们是以连通分量为处理的基本单元的运算，且对连通分量的填充或删除取决于分 量的小延展度及周围环境，而与结构元素和分量的形状相关甚少。 由前面的讨论知q ( x ) 、c 。( x ) 运算的这种基于延展度的以连通分量为处理 单元的性质对噪声滤波是十分诱入的。易见这些良好的性质源于c b 形态学变换对 经典形态学变换的功能重组，它使得引入原图像x 的信息后得以完全恢复c b 开、 c b 闭运算所去除的外轮廓上的信息，同时仍保持其对洞、连通分量的处理功能。 从而0 。( ) 、c 。( x ) 均完整地保留了x 轮廓上的所有细节，而在经典形态学变换 中是很难做到的。 单从d 。( x ) 、c 。( x ) 运算基于延展度的特性看，使用较大尺寸结构元素的变 换应包含使用较小尺寸结构元素变换的功能。但是事实上运算还依赖于另外一个 特性，即连通分量的周围环境，所以上述功能的单调递增性不能成立。下图是一 个c 。( x ) 运算的例子，当使用较大结构元素b 时，大噪声分量y 被c 。( x ) 删除，但 是小噪声分量】，。则由于处在尖角区域而不满足与曰相应的周围环境的条件，故它 仍保留在c 。( x ) 中。一般地讲，对小结构元素，周围环境要求较弱，但它可删除 的分量较小，而对大结构元素则相反。因此，上述情形下应使用小结构元素召。来 达到删除l ，的目的，但此时】，就不能被删除了。为此，我们引入多刻度的方法。 1 6 口 i 一 b 图4 3 尖角区域的噪声的滤除示意图 b 设给定一个多刻度的结构元素序列s = s o ，e ，吃 ，其中玩= 0 ) ，则基于s 的n 垓0 度c b 丌运算q 及n 孩0 度c b 闭运算g 如下定义： 量( 玎：0 , 1 2 ) 定义4 1 1 1 g = f l x o s ,( 刀：0 , 1 2 ) i - - 0 由定义知，联和c ：仍是以连通分量为基本单元的变换。d ：( x ) 填充x 的某些 小延展度的洞，而c ：( x ) 则删除x 的某些小延展度的连通分量，同时它们对x 的 其他内容均不作任何改变，从而保护了x 的所有细节信息。x 的一个洞( 连通分 量) 为q ( x ) ( g ( x ) ) 所填充( 删除) 当且仅当它能被某一个q ( x ) ( c 。( x ) ) 所填充( 删除) 。所以蝶( x ) 和q ( x ) 实际上就是多刻度运算q ，( x ) 和q ( x ) 的效 果的集成。 4 2 多值函数( 灰度图像) 的c b 形态学变换 多值函数的c b 形态学变换是使用平结构元素的变换，因此我们仍然采用与上 一节中同样的紧结构元素曰。对于给定的多值函数厂，厂关于b 的c b 腐蚀、c b 膨胀定义为： 定义4 2 1f 关于b 的c b 腐蚀：b = 厂o 船 定义4 2 2 厂关于君的c b 膨胀：b = 厂oa b 其中a b 的选择按照对f 的阀值集合置( 厂) 的拓扑定义进行。即如果置( 厂) 以 1 7 x u 加。 = gmt义定 八连通性定义拓扑，则c b 腐蚀对应的馏应取八连通或四连通轮廓，c b 膨胀对应 的凹应取四连通轮廓；如果z ( ) 以四连通性定义拓扑，则c b 腐蚀对应的凹应 取四连通轮廓，c b 膨胀对应的船应取八连通或四连通轮廓，并且加按照上一节 定义的方式进行计算。 定义4 2 3 厂关于召的c b 开运算：厂b = ( 徊船) o b 。 定义4 2 4f 关于曰的c b 闭运算：fq b = ( 厂oa b ) o b 。 一般情况下， b ，f q b 与经典丌、闭运算。b ，f b 它们之间不具有 相等关系，只满足下列关系： 厂叫b 厂ob ，f e ) b f b 一个最重要的关系是阀值集合关系，即 ( b ) ：z ( 吾) o b = 一( 门 曰 一( f o 曰) = 墨( 厂钞b ) o b = 墨( f ) g b o r ) 它表明可以通过二值c b 开、闭变换的性质来刻画多值c b 开、闭变换的性质。 由上式知厂 b 将填充厂表面上的某些“坑”至同样的高度( 函数值) ；f o b 将 削低厂表面上的某些“堆”至同样的高度( 函数值) 。j 下是这一特性导致了在相应 的位置出现厂 b - f ，f ( d b - f 的部分，即只会填充表面上的某 些“坑 ，而对厂的其他部分将不作任何改变；c b ( 厂) 将只保留fq b 满足条件 f o b _ f 的部分， 即只会填充厂表面上的某些“坑 ，而对厂的其他部分将不作任何的改变；c 。( ) 将 只保留f o b 满足条件f o b f 的部分，即只会削低表面上的某些“堆”，而对 厂的其他部分将不作任何的改变。这些运算不会造成图像细节的任何损失，但是 它们滤除噪声的能力又有所下降。而多刻度变换蝶( ) 和g ( 厂) 却可以灵活地解决 这个矛盾。它们既可以保护图像的细节信息，又可以很好的滤除噪声。 因此，我们用多尺度的方法结合c b 形态学的基本操作提出新的算子。 设给定一个多刻度的结构元素序列s = b i ，最，最 ，定义新的变换： m 蝶( 厂) = m a x m c b q ，( 厂) ) ( 1 ) l s f s 疗 。 m c s ( f ) = m i n m c b c , j ( 厂) ) ( 2 ) i l 仃 其中， m q ( ) = 蝶( c b c b ，( 厂) ) 】 ( 3 ) 们召q ( 厂) = 叩 g ( c b q ，( ) ) ( 4 ) 在( 3 ) 、( 4 ) 两式中，一般情况下，n 5 、b ；取b t 。采用b i 作为处理的基准 元可以得到更多的图像的边缘特征信息，从而更好地保护图像的细节信息。在( 3 ) 式中，在m c b o f ，( 厂) 中增加了喏变换，使得被c b g ，( ) 平滑掉了的图像细节可以 得到一定程度的恢复，在进行c 8 d 。运算之前，也保护了图像的细节信息，同时噪 声也得到了有效的滤除。因此，m c b q i ( 厂) 在保护图像细节信息的同时也很好的 滤除了噪声。同样地，在( 4 ) 式中，在肘c 8 g ( 厂) 中增加了g 变换，使得被c b q ( 厂) 平滑掉了的图像细节可以得到一定程度的恢复，在进行c 口c 。运算之前，也保护了 图像的细节信息，同时噪声也得到了有效的滤除。 在( 1 ) 、( 2 ) 两式中，分别取了m c b o j ( 厂) 的最大值和m c b c o ( 厂) 的最小值