（计算数学专业论文）带有非局部流量边界条件的反应扩散方程的有限差分模拟.pdf

摘要 在准静态热弹性学中，常常需要求解带有非局部流量边界条件的反应扩散方 程对这类特殊边界条件的反应扩散方程建立差分格式的分析比对通常的三类边 界条件的方程建立差分格式的分析要复杂得多尤其对各种r n b i n 型非局部流量 边界值问题建立高精度差分格式显得更加困难 本论文是研究半线性抛物型方程 警= 杀( 。忆z ) 凳) + b ( z , t ) 凳+ ，( “，叫) 的非局部流量边界值问题的数值解法对两种边界值问题分别建立了有限差分格 式，并证明了差分格式的唯一可解性和二阶收敛性 第一章研究了半线性抛物型方程的r i l b i n 型线性非局部流量边界值问题的数 值解法应用降阶法对这个问题建立了一个三层线性化差分格式，在每一时间层 上只需解一个三对角的线性代数方程组可采用t h o m a s 算法求解，并用能量法 证明了其唯一可解性和l 2 范数下的二阶收敛性最后给出的数值例子验证了理 论分析结果， 第二章研究了半缭陛抛物型方程的r o b i n 型非线性非局部流量边界值问题的 数值解法应用降阶法对这个问题也建立了一个三层线性化差分格式在每一时 间层上只需解一个三对角的线性代数方程组，可采用t h o m a s 算法求解，并用能 量法证明了其唯一可解性和l 2 范数下的二阶收敛性最后给出的数值例子说明 了差分格式的有效性 关键词；差分格式，非局部流量边界值，可解性，收敛性，半线性抛物型方程 a b s t r a c t i nt h ef i e l do fq u a s i s t a t i ct h e r m o e l a s t i c i t y , o n en e e d st os o l v et h ei n i t i a lb o u n d a r y v a l u ep r o b l e mf o rar e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o nw i t hn o n o c a b o u n d a r yc o n d i t i o n s t h e a n m y s i so ft h ef i n i t ed i f i e r e n c es c h e m e sf o rr e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n sw i t hn o n l o c a l b o u n d a r yc o n d i t i o n si sm u c hc o m p l i c a t e dt h a nt h a tf o rt h eo n e sw i t hu s u a lb o u n d a r y c o n d i t i o n s e s p e c i a l l y , i ti sm o r ed i f f i c u l tt oc o n s t r u c th i g h a c c u r a t ed i f f e r e n c es h e m e s f o rs e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o nw i t hn o n l o c a lr o b i nt y p eb o u n d a r yc o n d i t i o n s t h ep u r p o s eo ft h i sw o r ki st os t u d yt h ed i f f e r e n c es c h e m e sa p p r o x i m a t i n gt ot h e s e m i - l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n 甓= 旦o x ( a ( 州) 象) + ，t ) 是+ f ( u , z , t ) w i t hr n b i n t y p en o n l o c a lb o u n d a r yc o n d i t i o n s f o rt w ok i n d so fn o n l o c a lb o u n d a r y c o n d i t i o n s ，t h ed i f f e r e n c es c h e m e sa r ec o n s t r u c t e da n dt h e nt h eu n i q u es o l v a b i l i t ya n d c o n v e r g e n c eo ft h ed i f f e r e n c es c h e m e a r ep r o v e d i nt h ef i r s tc h a p t e r t h ef i n i t ed i f i e r e n c es i m u l a t i o ni sc o n s i d e r e df o rt h es e m i - l i n e a r p a r a b o l i ce q u a t i o nw i t hl i n e a ra n dn o n l o c a lr o b i nt y p eb o u n d a r yc o n d i t i o n s al i n - e a r i z e dt h r e e - l e v e 】d i f f e r e n c es c h e m ei sd e r i v e db yt h em e t h o do fr e d u c t i o no fo r d e r a t e a c ht i m el e v e l ，t h ef i n i t ed i f f e r e n c es y s t e mi s t r i d i a g o n a l ，w h i c hc a nb es o l v e db yt h e t h o m a s a l g o r i t l m a i ti sp r o v e dt h a tt h ed i f f e r e n c es c h e m ei su n i q u e l ys o l v a b l ea n d s e c o n do r d e rc o n v e r g e n ti n 工2 一n o r m a tl a s t lan u m e r i c a le x a m p l ei sg i v e nt ov e r i f y t h ev a l i d i t yo ft h ea n a l y t i cr e s u l t s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，t h ef i n i t ed i f f e r e n c es i m u l a t i o ni s i n v e s t i g a t e df o rt h es e m i - l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o nw i t hn o n l i n e a ra n dn o n l o c a lr o b i n t y p eb o u n d a r y c o n d i t i o n s t h e r ea r ef e ww o r k sc o n c e r n i n gd i f f e r e n c es c h e m ef o rt h ep r o b l e m al i n e a r i z e dt h r e e - l e v e ld i f f e f e n c es c h e m ei sa l s oe s t a b l m h e db yt h et h em e t h o do fr e d u c t i o no fo r d e r a t e a c ht i m el e v e l ，t h ef i n i t ed i f f e r n c es y s t e mi st r i d i a g o n a l ，w h i c hc a l lb es o l v e db yt h e t h o m a s a l g o r i t h mf u r t h e r m o r e ，t h eu n i q u es o l v a b i l i t ya n ds e c o n do r d e rc o n v e r g e n c e i nl 2 一n o r ma r ej u s t i f i e d a tl a s t an u m e r i c a le x a m p l ei sg i v e nt ov e r i f yt h ev a l i d i t y o ft h ea n a l y t i cr e s 山t s k e y w o r d s ：d i f f e r e n c es c h e m e ，n o n l o c a l f l u xb o u n d a r yv a l u e ，s o l v a b i l i t y , c o n v e r g e n c e s e m m i n e a rp a r a b o l i c 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一、学位论文独创性声明 本人声明所星交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 签名，糊瞵弛 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所迭交学位论文的 复印件和电子文档可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生 院办理 签名，蚪导师橼姓蔓啉坐 第一章带有非局部边界条件的反应扩散方程的二阶差分格式 1 1 引官 对于带非局部边界条件的反应扩散方程近年来已引起了广泛的关注在文章 1 ，2 中 d a y 考虑了带有d i r i c h l e t 型非局部边界条件的一维线性抛物型方程 丝o t = 象+ 他，咄。 z 1 ，。 t t ， ，1 “( o ，t ) = o 扣) u ( s ，t ) d s + 9 1 0 ) ，0 t r 1 u ( 1 ，t ) = 卢扣) u ( 5 ，t ) d s + 9 2 0 ) ，0 t t “( $ ，0 ) = 妒( ) ，0 曼z 茎l ， ( 1 1 ，1 ) ( 1 1 ，2 ) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 这里的，( 。，t ) ，o ( $ ) ，p ( z ) ，9 1 ( t ) ，9 2c t ) ，l p ( 。) 是已知函数此类问题存在于准静态热弹性 学中，它的解在热弹性准静态理论中表示熵这个模型的简单介绍可以参阅文 3 ，4 对 于问题( 1 1 1 ) 一( 1 1 4 ) ，如果边界的积分权函数满足 ，；z 1 圳d s 川眺1 ( 【叫) _ z 1 帆s ) 峥 1 ， ( 1 1 5 ) d a y 证明了在该条件下方程的解是存在且唯一的，并且指出解的最大模m a x ( c 。c - l “( z ，t ) i 是关于时间的单调减函数在文章 5 ，6 】中，f r i e d m a n 和k a w o h l 利用基于最大值原 理的方法把这些结果推广到了一般的n 维非局部边界值问题在文章 7 中，d e n g 利用 比较原理证明了反应项，与解u 有关的半线性方程解的局部存在性与唯一性，在证明中 只要求o ( 。) ，卢( 。) 非负对于r u b i n 型非局部边界值问题，文章【8 ，9 利用单调迭代的方 法在古典解的框架下考虑了半线性反应扩散方程在数值求解这个领域目前已经有了不 少工作，但这些工作 1 0 卜 1 6 】基本上是对d i r i c h l e t 型非局部边界条件给出的，且研究的 方程一般是线性方程e k o l i n f l 0 1 讨论了问题( l 1 1 ) ( 1 1 4 ) 的向前e u l e r 差分格式、向后 e u l e r 差分格式以及c r a n k n i c o l s o n 格式，在离散过程中他对边界条件中的积分采用复化 梯形公式，并且在条件( 1 1 5 ) 满足时，由最大值原理证明了向后e u l e r 差分格式是无条 件收敛的而向前e u l e r 差分格式在 矗时是收敛的，且收敛阶都是d 一+ h 2 ) ，此外 在条件 叫【0 l 】) 圳k ，l ” 雩 满足时，e k o l i n 应用能量方法证明了c r a n k - n i c o l s o n 格式是无条件稳定的，且收敛阶是 d ( r 2 + h 2 ) l i u 1 2 在( 1 1 5 ) 的假设下，证明了如果 a 慨( 【0 ，1 】) + 2 。( ) 2 成立，则口方法是收敛的，其中02i 1 在文 1 3 】中，b o r o v y k h 证明了 1 0 ，1 2 中的方法 只要( 1 1 5 ) 满足就是稳定的，不需要对o ，卢强加任何其它的条件至于多维问题的数值 研究目前的文献还是比较少的在文 15 】中l i n ，x u 和y i n 研究了二维带非局部边界条 件的热方程，给出了半隐与全隐向后e u l e r 差分格式对于此类非局部边界条件问题除了 差分方法的研究外，在文 1 6 中，f a i r w e a t h e r ，l 6 p e z m a r c o s 考虑了g a l e r k i n 方法，对如 下半线性抛物型方程 满足非局部边界条件( 1 1 2 ) ，( 1 1 3 ) 和初值条件( 1 1 4 ) ，给出了c r a n k - n i c o l s o ng a l e r k i n 方 法与外推c r a n k - n i c o l s o ng a l e r k i n 方法，并且在满足( 1 1 5 】时，证明了收敛性为了提高 收敛精度，s u n l l 7 对问题( 1 1 1 ) 一( 1 1 4 ) 给出了一个高阶差分格式，边界条件中的积分利 用了复化s i m p s o n 公式来逼近，并在满足条件 吲【0 ，枷+ i i z i i 酬h l 】) ：信 时，证明，差分格式是尢杀件收敛的，且在l 。范奴r 具有0 0 - 。+ h 4 ) 的收敛r 本章考虑如下更一般的带非局部边界条件的半线性抛物型方程 筹= 妄( 。( 叫) 塑a x 、；+ 6 ( 州) 赛+ ，( u ，州) ，o 。 1 ，o t 互( 1 1 6 ) 。( 叩) 券( o ，t ) 一j 1 ( ) u ( ) = 上。( s ) “( s ，t ) d s + g l ( t ) ，o 兰t 正( 1 1 7 ) n ( 1 ，t ) 瑟( 1 ，t ) + 口2 ( t ) u ( 1 ，t ) 2 0 刖( s ，。) 。8 + 9 2 ( 。) ， o 。z ( 1 1 8 ) 这类问题的数值研究到目前为止还是比较少的文 1 8 】中对系数。( $ ，t ) ，b ( z ，t ) 与时间无 关，阻尼系数为正常数的r o b i n 型非局部边界条件的半线性反应扩散方程给出了一个非 线性差分格式在定解问题的离散过程中边界导数采用了一阶偏心差商来逼近，故其逼 近精度关于时间步长与空间步长均为一阶，且在差分解的存在性与唯一性的证明中对于 边界积分项有严格的要求，即要求( 1 1 7 ) 一( 1 1 8 ) 中的a ( z ) 0 ，卢( z ) 0 且满足( 1 1 5 ) 该文用上下解的方法证明了差分解的存在唯一性，但对差分格式的收敛性未作讨论文 中还提出了用上下解序列的方法来迭代求解，这种方法的前提是必须先找到差分方程组 的上下解，因而此法有一定的局限性 本章利用了孙( 19 一【n 】的降阶法研究这一问题，对( 1 1 6 ) ( 1 1 9 ) 构造了一个三层线 性化差分格式，并且证明了差分格式的存在唯一性与三2 范数下的二阶收敛性，而且在理 论分析中对边界条件中的积分权函数不需要强加条件( 1 1 5 ) 最后给出的数值例子验证 了理论分析结果 在本章中假定问题( 1 1 6 ) - ( 1 1 9 ) 存在唯一光滑解u ( z ，t ) ：；( q t ) z 1 ，0 s t 5 t l ，并且如下条件满足 ( i ) 初值函数妒( 。) c 2 1 0 ，1 】 ( i i ) 存在正常数c o ，c l 使得对任意( z ，t ) q 7 有 a ( z ) c 2 【o ，1 ，卢( z ) c 2 o ，1 ， 3 其中q r e o c 0 a ( x ，t ) sc l ，i6 ( z ，t ) c l ，jf f l ( ) sc l ：l 盯2 ( t ) i c l ( 11 1 0 ) ( 1 1 1 1 ) ( i i i ) 函数，在解的9 0 邻域内满足l i p s c l l t i z 条件，即当i 自i se o ，i = 1 ，2 ，( z ，t ) q t 时，有 f ( u ( x ，t ) + c 1 ，茹，t ) 一，( u ( 茁，t ) + e 2 ，。，t ) i 兰c lle l e 2 | ，( 1 1 1 2 ) 其中e o 是一个小的正常数 本章安排如下，5 1 2 利用降阶法对问题( 1 1 6 ) - ( 1 1 9 ) 建立一个三层线性化差分格 式，1 3 用能量分析方法证明差分格式的唯一可解性和如范数下的二阶收敛性，l 4 给出一些数值例子以验证所得结果 1 2 差分格式的建立 为了得到边界积分的二阶离散，首先给出如下引理 引理1 2 1 1 7 令m 是一个整数，h = 1 m ，孔= i h ，0si m ，如果9 ( z ) c 2 0 ，l 】， 则 小壮一n 芝9 ( x i + 炉刍n ：辔 c o ，u o 咖“萎 ) _ 壶胪帮b 眯( 0 ，1 ) 引理1 2 2 令m 是一个整数，h = 1 m ，= i h ，o s m ，如果，( ) ，9 ( z ) c 2 【0 ，“ 则 知咖出一；篆m 叫枇) + 9 + 1 ) - 0 ( 2 ) 证明由引理1 2 1 并且利用n y l o r 展式，很显然有引理1 2 2 成立 引理证毕 下面对问题( 1 i 6 ) 一( 1 1 9 ) 建立差分格式 用两簇平行线z = 。q = o ，l ，m ) 和t = “( k = 0 ，1 ，k ) 将矩形域q t 剖分成矩 形网格饼= ( 甄，“) 10 i m ，0 兰兰) ，其中跏= i h ，“= k h = 1 _ m ，r = t k 此外记x i _ ；= ( q + 奶一1 ) 2 ，1 i m 4 对定义在诉上的网格函数u z = “ 10s m ，0sk 兰k ) 和”j = ” | 0 m ，0 兰k ) ，引进如下记号 “ = ；( “? + 1 + “；一1 ) ，a t u = ( “：t 1 一u ：一1 ) ( 2 r ) ， u ；( “ + u i ) ，如u 墨 = i ( u 一“i ，) ， 孙 如哥) = ；( 巾告，埘如 _ 0 ( 姚正 ) ， 如( “2 矿) ， = i 1 ( u ”? 一u 墨。”f _ 。) ， m 一 ( “，”) = “i ”i ，忖i i = ( 小，“) ， mm ( 刚2 ) = 6 a ( ) “o ( 蹦) = “弛一 ) “b 对于l 司题( 1 1 6 ) - ( 1 1 9 ) 建立如f 差分格式 ：( 蛳鼻l + a t u l ) 砘( 。 如哥) + 扭 如正 + 6 0 乒正 ) + ；雎 ( “) + 盘 ( u ) - ；( 。 + 一1 ) 2 磋哥， n 如一一 话= ( n ，铲) + 。 + ：f t “ 一6 如唾一，l ( “) 1 + 等( a + a ；) 如， 1s k 。k 一净也一 + 。r 2 一t t m 邓，舻) + 9 一；卜一 一嘞一 如一 一，品一 ( u ) l + 等( 口 + 磅) 如u * 一 ，1 兰k 墨k 一1 “? = 妒( ) ：0 l m ， u j = ( ) 十r 妒( 鳓】，0 t m ， 其中 。i 2 。( q 一 ，“) ，6 i = 6 ( 。 一 ，“) ，爿! 扣) = ，( u i ，。i 一 ，“) ， 时= q ( “) 劈= 鲥( 如) ，j = i ，2 ， 帅) = 姜( 巾，o ) 掣) 州邶) 掣+ ，( 出) 禹0 ) 这个差分格式的系数矩阵是一个严格对角占优的三对角矩阵，利用t h o m a s 算法很容易 求解 下面利用降阶法导出差分格式( 1 2 1 ) 一( 1 2 5 ) ” 针 对鄙 2 2 2 2 2 0 u n n q 令 ”= 嘶赛+ ( z _ 1 ) 州卅。哪) u ， 则反应扩散方程( 1 1 6 ) 一( 1 1 9 ) 等价于下列微分方程组问题 5 象= 宝十嬲”一沁m 。+ 嬲卜啪小m 酬 “ + ，( u ，；2 7 ，t ) ，0 z 1 ，0 t t ，( 1 2 6 ) 南一塞+ 南f ( 一1 ) 州c ) + 卿卜o 。 l ，o t st ，( 1 2 r 7 ) “( o ，0 ) = 妒( o ) ，0 o 1 ，( 1 2 8 ) v ( o ，) = n p ) “( s ，t ) d s + 们( t ) ，v ( 1 ，t ) = 7 卢( s ) u ( 8 ，t ) d s + 9 2 ( t ) ，0s s t ，( 1 2 9 ) 其中 b ( x ，t ) = 6 ( 叠t ) 一i 仕一1 ) a l ( t ) + z a 2 ( t ) i ， 在上述定解问题中边界条件( 1 2 9 ) 已不出现导数 定义网格函数 嘭= u ( x i ，t k ) ，时= v ( x i ，t , k ) ，0 i m ，0 k 耳 对( 1 2 6 ) - ( 1 2 9 ) 使用t a y l o r 展式，并且对边界积分利用引理1 2 2 ，可以得到 t 吨 = 如k ! + 5 i ( n i ) 一1 啦 一 。f + a + 礁 ( 。l ) _ 1 ( x - 1 ) a t + z 眈】2 ；) u 至 + ，墨 ( u ) + p ：! ， 1 至 茎m ，1sk k 1 ， ( a i ) 一1 哇 = 如疃 + ( n 生 ) 一1 ( o 一1 ) a + z 以丘j 匹；+ 锥 1 i m ，l k l ， 畔= l p ( q ) ，0 5 i m ， w = 妒( 戤) + t 妒( x d + q ，0 i 尬 语：( n ，u ) + 9 + ，6 ：话：妒，矿) + 9 5 + r ，i k k 一1 由光滑解的存在性假设，存在一个正常数c 。使得 l 爿l j c 1 ( r 2 + 2 ) ， l i s m ，lsk 曼k 一1 ， q 0 ；l 曼q ( f 2 + 2 ) ， 1 i m ，1 k k 一1 ， ie t i c 1 r 2 ，0 i m ， j 培j sc l ( r 2 + 2 ) ，jr 备j c 2 ( r 2 + 2 ) ? 11k 兰k 一1 ( 1 2 1 0 ) 2 1 1 1 2 1 2 1 2 13 1 2 1 4 1 ( 1 2 ( 1 2 ( 1 2 ( 1 2 5 ) 6 ) 7 1 8 ) 6 对于等价的方程组( 1 2 6 ) 一( l2 9 ) ，建立如下的差分格式 c u 置 = 岛”l ；+ 难 ( n l ) - i v 墨 一p + 。 + 强 ( n 生，1 ( z _ 1 ) 叶奶岛) 正 + 雎 1 i m ，1 k k 一1 ，( 1 2 1 9 ) ( n l ) 一1 正 一如正；+ ( 啦 ) 一1 【忙一1 ) 一- + 立 正 ， l 兰ls m ，1 k 一1 ， ( 1 ，2 2 0 ) “? = 妒( 戤) ，0 茎t m ， f 1 2 2 1 ) “ = 妒( 引) + t 妒( q ) ，0 i 兰m ， ( 1 2 2 2 ) u 5 = ( o ，“) + 9 ”= ( 卢，u 。) + 9 ，1 k 1 ( 1 2 2 3 ) 在第+ l 层，( l 2 1 9 ) 一( 1 2 2 3 ) 可以看作是关于 u ? “，哥，0 sm ) 的线性代数方程 组对于所建立的差分格式，有下列等价定理成立 定理1 2 1 差分格式( 1 2 1 9 卜( 1 2 2 3 ) 等价于( 1 2 1 ) 一( 1 2 5 ) 和 ”i = + 如u 矗 + ( z 一1 ) 一- + z a 。 。k u l 一i “【t u o 一嗡 2u 忡 + a 1 ) u 鼻 一曩 ( u ) j 磊= 。一乒“己一 + ( z 叫”蚴k 磊一 + ； ( t “一 一i 一 如u 己一 + ( 一f + 一) u 嚣一 一墙一 ) 1 证明由( 1 2 1 9 ) 式可以得到 如”e = t u i 一难 ( 。l ) 一1t l + f 一 + 罐+ 5 0 ( 。o ) 一1 扣一1 ) 。- 忉。k ) 正；一琅舯 s 尬1 茎耳_ l ( 1 2 2 6 ) 由( 1 22 0 ) 式可以得到 正 = 。i 如u l + ( x - 1 ) 口- + z a 。 。k “l ，l 蛆1 耳一1 ( 1 2 2 7 ) 把( 1 2 2 7 ) 式代入( 1 2 2 6 ) 式，可得 如”；k 一；2 t “l 一醉 如u i + ( a + 醴) u i 一爿! ( “) ， 1 兰l ! m1 k s k 1 ( 1 2 2 8 ) 孔 弱 2 2 l l 将( 1 2 2 s ) 式乘以；h 并与( 1 2 2 7 ) 式相加，得到 1 m ，lsks k 一1 将( 1 , 2 2 s ) 式乘以； 并与( 12 2 7 ) 式相减，得到 即 毒= 。笠 如正 + ( x - - 1 ) 一+ 咖丘 正 一； i t - 5 一强 矗u 呈 忡f + 。铷呈 一啦 ( u ) l m ，1 茎k k l ， 哥= n m 正 + 卜- ) 叶毗k 电 一； t 再 一嗡 如毒 + ( a + a 1 ) 一 0 兰 m 一1 ，1 k 耳一l 由式( t 2 2 9 ) 与( 1 2 3 0 ) 可知，对于1 i m l ，有下列等式成立 注意到 。苒 如“i s f f - - ，f + ( 。一1 ) 。- + z a 。 ：；u 嚣 一； b 磊 如瓴 + ( 一 + 一1 ) 五 一壕 ( u ) = 。警正 + ( 川”纰k 正 + ； h “ 一难 民正 + ( 一f + 砖) “曼 一世 ( 叫 啪一) o t4 - x a 2 闱一孙一胁。k 如正； + p 1 ) 。卯k 如 ) 可1 咐k 磅) ( “至；+ 每 ) = 刁1 。k ，+ a 铲6 ：哥 7 ( 1 2 2 9 ) ( 1 2 3 0 ) 和5 ( z ，t ) = 6 ( z ，t ) 一 一1 ) a t ( t ) 4 - x a 2 ( t ) ，可得( 1 2 1 ) 由( 1 2 2 3 ) 式，当 = 0 时方程 ( 1 2 3 0 ) 等价于( 1 2 2 ) ，当l = m 时方程( 1 , 2 2 9 ) 等价于( 1 , 2 ，3 ) ， 定理证毕 廿i 畦 - ， + 惹西 “ 斗 f 叽一皇 ” 水 一 一： 扣强 卜 一 啦雌 如p。h 扣 o p 1 3差分格式的唯一可解性与收敛性 8 在这一节里，讨论差分格式( 1 2 1 ) 一( 1 2 5 ) 的唯一可解性，并证明差分格式的二阶收 敛性 对于差分格式( 1 2 1 ) 一( 1 2 5 ) 的可解性有如下定理成立 定理1 3 1 差分格式( 1 21 ) 一( 12 5 ) 是唯一可解的 证明根据定理1 2 1 ，只要证明差分格式( 1 2 1 9 ) 一( 1 2 2 3 ) 有唯一解即可利用数学 归纳法进行证明设 ? “， i ，0 m ，l 墨n 玉k 1 ) 已求得，则( 1 2 1 9 ) 一( 1 2 2 3 ) 是 关于 啦k + l ，0 f m ) u ”i 0 i m ) 的线性代数方程组考虑它的齐次方程组 再1 鼍k 一+ l = 如”生 + ( n 0 ”墨 一j 1 似+ a l + 啦 ( n i ) _ 1 ( z 1 ) q + 蚴 2 ) 啦! ，l 墨 s m j ( 1 3 1 ) o = ；如“箕一( 。i ) 。1 正 + ；( n 笠 ) 。1 ( z 1 ) 一- + 叻t “墨，1 1 眠( 1 3 2 ) u ：0 ，u = 0 ， ( 1 3 3 ) 硐唯一苓觯 将式( 1 3 1 ) 与( 1 3 2 ) 的两边分别同时乘以2 u 糍与4 吐，并且将结果相加，可以得 到 ；( u 遵) 2 = 2 如( u k 。- l v k ) ， + 2 5 墨 ( n l ) 。1 “，k + l ”墨 一和+ a l + ：一心；) 。1 【( z 叫叶z a 4 2 ) 媾二扩 一4 ( 。i ( 正 ) 2 + 2 ( 。i ， ( 。一1 ) 一- + 咖岛u ；k 一+ i l ? g k 。一 ， 使用条件( 1 l 1 1 ) ，可以得到 ( “遗) 2 2 帅川”。) 叫+ 6 詈懈正j l + 2 c ( 1 + 嚣) ( 涕i - “t 、2 。 ! c 1 ( 毋 - - - 。) 2 2 如( 一- 而州+ 暑( 正 ) 2 + 鬈( “叫k + l ，2 + 2 c l ( 1 + 嚣叫k + l 户一鲁( 正 ) 2 圳小川而一一丢( u v + 暖+ 2 c l ( 1 + 孙“掣， 故可以获得 ；( 啦扩+ 丢( 正 ) 2 1 2 蹦一1 ” ) 一十 弼9 c 1 3 + 2 c - ( 1 + 嚣) ( “罐一 ( 1 “) 将式( 1 3 4 ) 的两边同时乘以 并对f 求和，记c 2 = 薯+ 2 c l ( i + 嚣) ，并且注意到 m 一 一 “蚤疋扩) _ “k m l - i 旷k k 一：l 旷k q 故有下式成立 h u m l l z + 知雨z 酬。叭f l z ，c 因而 ( 1 一t c 2 ) i i u k * l i l 2 + t i u “2 0 由上述不等式知，只要rs 熹就有 即 由( 1 3 2 ) 知 故 又由( 1 3 3 ) 知 1 1 u 1 1 2 = 渺1 1 2 = 0 u 2 啦 = 0 ，l i m 跏墨2 0 ，l i m “p 1 = 0 ，0 m ? = 0 ，0 曼t 兰m 由数学归纳法得到( 1 3 1 ) ( 1 3 3 ) 只有零解 定理证毕 由定理1 3 1 ，差分格式( 1 2 1 ) 一( 1 2 5 ) 是唯一可解的，下面给出差分格式收敛性的结 果 定理1 3 2 如果存在正常数c 3 和e 使得 则差分格式( 1 21 ) 一( 1 2 5 ) 的解 u ) 在工2 范数下收敛到问题( 1 1 6 ) 一( 1 1 9 ) 的解( z ，t ) 收敛阶为d ( r 2 + h 2 ) 1 0 注t 从实际计算考虑，最佳步长选择为r = c 3 h 此外如果，( “ t ) 关于第一个变量 u 在i t 上满足l i p s c h i t z 条件，则可去掉条件( 1 3 5 ) 证明根据定理1 2 1 ，我们只要证明差分格式( 1 2 1 9 ) 一( 1 2 2 3 ) 的解在l 2 范数下收敛 到问题( 1 , 2 6 ) 一( 1 2 g ) 的解，且收敛阶为o ( 丁2 + h 2 ) 即可 记 矗? = 嘴一u ，罅= 嘭一 ? ，0 i s m ，0 ! k 将式( 1 2 i 0 ) 一( 1 2 1 4 ) 依次和( 1 2 i 9 ) 一( 1 2 2 3 ) 相减，得到误差方程如下 t 面l = 如啦；+ ( n 卫霹一 一体+ 。l + 啦弘l 扩1 p 咖+ z 眈k ) 畦 + ，墨 ( u ) 一，墨 ( u ) + 难 ，1s tsm ，1 k 墨k i ，( 1 & 6 ) o = 如 一( n l ；) 1 最；十( 啦 ) 一1 【扣一1 ) a + z 叻 三 + 畦 ， l i 墨m ，1s s k l ，( 1 3 7 ) 前= 0 ，0 i m ， ( 1 3 8 ) 越= e ；，0 曼is m ， ( 1 3 9 ) 牙：( n ，d ) + r 0 ，i 爵= ( 卢，i ) + r ，1s k 一1 ( 1 3 i 0 ) 下面将证明 咿 jsc t ( r 2 + 2 ) ( 1 3 i i ) 对足够小的h 和r 成立，其中 。却+堕川眺。圳b+1)”+等)+2(2cl+2ci珐)co+ c 1 + 等+ 1 io o c 5 ：( 1 + 塾蔓) ( 1 i 。l f 。+ 1 1 # 1 1 l 。十1 ) + 磐( 1 f a i i l ：+ 1 1 # 1 1 l 。+ 1 ) 2 ， c 6 = 4 c ( 1 + 2 。c _ 2 。) + 等+ c 2 + 2 c 3 c ，= e 印( ；m n z ( c - + c s ，c t ) t )存+ 而南 作变换将问题( 1 3 6 ) 一( 1 3 i o ) 转化为齐次边界条件问题 令 亩i = 蠢一( 1 咱) ( ( 吼铲) + r 5 ) 咱( ( n 铲) + r j f f ) 则有 = + ( 1q 一“) + r 5 ) 怕( ( 尉) + r ) 以最 = 6 藏 一( ( 。，铲) + 墙) + ( 卢，舻) + r ) ， 西；：0 ，亩爵= 0 ，1 k 茎k 1 ( 1 3 1 2 ) ( 1 3 1 3 ) ( 1 3 1 4 ) 应用( 1 3 1 2 ) - ( 1 3 1 4 ) ，由( 1 3 6 ) 。( 13 1 0 ) ，。j 得 ：舀i = 如亩e ；一( ( a ，西。) 十r 5 ) + ( ( 卢，矗2 ) + r ；l f ) + 啦 ( n i ) 。1 陋 q - ( 1 咱一；) ( ( 蚋2 ) + r 5 ) q - x t _ ( ( 鼬) + r 豁) j 一忙+ 砖+ 毪 ( 。生 ) 一1 ( z 一1 ) a + 啦岛) “难 ( u ) 一难 ( u ) + 碓 ，l 墨m ，1 兰蔓k 一1 ， ( 1 肌5 ) o = 如正 一( a o ) “ + ( 1 一q 1 ) ( ( a ，铲) + r 古) - _ | - x i _ ( ，铲) + r ) j + ( n ，k ) 一1 忙一1 ) 一+ z a z ：；i + q i ；， 1s i m 、1 s k 一1 ，( 1 3 - 1 6 ) 硼= 0 ，0 s i m ， ( 1 3 1 7 ) 磷：el，0im，03is) 哥：0 ，商：0 ，l k 兰k - 1 ( 1 3 1 9 ) 由( 1 2 1 7 ) ，( 1 3 1 7 ) ，( 1 3 1 8 ) 知，当= 0 和= 1 时式( 1 3 i i ) 是满足的现假定 i | 豇| | c 7 ( r 2 + h 2 ) ，1 七曼z 满足 下面将证明当女= f + l 时( 1 3 i i ) 也成立 利用条件( 1 3 5 ) 可知当h 适当小时，有 i 唾舻血7 ( r 2 + 聊h ；1 t ! m ，1 。 由条件( 1 11 2 ) 有 i 难 ( u ) 一雎 ( u ) sc t l 墨 | ，11 尬1 2 墨。 ( 1 3 2 0 ) 将式( 1 3 1 5 ) 与( 1 3 i o ) 两边分别乘以2 与2 ，并且使所得结果相加可得 2 缸i t 面i = 2 如( 乎舻) ：一 一2 烀，舻) + 前) + 2 如，舻) + r 备) + 2 霹一小一 ) “ 5 + n z ；一 ) ( ( a ，带) + r 6 ) - - 2 i _ ( 口，舻) + r ) 一2 忙+ 一+ 强 ( 。l ) 。1 卜1 ) 蚴如) ( 正扩 + 2 啦 肇 ( 矿) 一难；( 叫+ 2 ( 。卫 ) 一1 陋一1 ) 一t + 。印 2 薄 - 2 ( 。i ) 1 伍e i ” 一 ) ( a ，萨) + r 3 ) 4 - 。i - - ( ( 肿) + r f ) i + 2 最! + 2 亩e q 0 ， 1st m ，l 七s f 由条件( 1 1 “) 和式( 1 3 2 0 ) ，得到 这里记 2 面生 面生 2 如( 乒舻) ；一 + 2 l 正 ( a ，铲) + 咭) l + 2 1 年 ( ( n 驴) + r f f ) l 十2 2 。e l l 陋 ”q _ ) ( ( 嘶) + r 6 ) 托一 ( ( 腑) + r 圳 + 2 ( z c + z 击) ( 正 ) 2 + 2 c l l 石划+ 2 嚣i 正 西e l 一2 去( 正扩 + 2 i 1i 卜 ) ( 则2 ) + r ) 乜一 ( ( 卢，铲) + r 圳 + 2 世 + 2 正 q f - i 剑。( 乒西) 叫+ 2 ( 1 + 等川i i + 1 1 卢1 1 删 i 刈铲i l + 2 ( 1 + 等川咭j + j r i ，川；j + 2 ( 2 c t + 2 c 珐) ( ) 2 + 2 c - l i 乍t i - i + 2 等j 西e i 一2 去( 罐 ) 2 + 2 击( 忙i i + 1 1 卢1 1 ) | 雌 i i i 矗k l l + 2 言( f r 5 i + i 嘞1 ) l 亩i l + 2 肇 + 2 锥；， r 一，一 i i a l l h = ( qa ) ，i 卢l l h = 、( 卢，卢) 由条件( 1 1 1 0 ) ，对于适当小的 ，恻i 和l i 卢l l h 满足 1 2 q i l l i d i | l 2 + 1 2 ，| | 卢l l l i 卢i i l 2 + t 2 ( 1 3 2 1 ) 稂姑( 1 2 1