（计算数学专业论文）基本超几何级数及其应用.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文主要介绍了基本超几何级数的基本内容，关于r d g e * r a m a n u j a n 类型恒等式的 一些结果以及基本超几何级数在数论中的若干应用论文的主要内容如下： 第一章；简要地介绍了基本超几何级数的发展概况 第二章；主要介绍了基本超几何级数的基本知识，包括基本概念，一些重要的求和 公式以及变换公式等 第三章：在第二章内容的基础上，使用c a r l i t z 一反演公式和初文昌获得的一个级数 变换公式再次证明了许多r o g e r s r a m a n u j a n 类型恒等式接着，由个级数变换出发， 获得了若干个新的r o g e r 8 r a m a n u j a n 类型恒等式 第四章；应用第二章介绍的几个重要求和公式，证明了数论中的若干结果包括j a c o b i 二平方数定理，l a g r a n g e 四平方数定理等，然后利用这些结果结合几个t h e t a 函数恒等 式，我们获得了把任意一个正整数表示成两个三角数或四个三角数的和以及其他的二次 形式的方法数，这些方法数都是用因子函数来表示的 关键词：基本超几何级数；级数变换；r o g e r s - r a m a n u j a n 类型恒等式；平方数；三角数 基本超几何级数及其应用 b a s i ch y p e r g e o m e t r i cs e r i e sa n di t sa p p l i c a t i o n s a b s t r a c t i nt h et h e 8 i 8 ，t h eb 撕i ck n o w l e d s eo ft h eb a s i ch y p e 。g e o m e t r i cs e t i e 8 ，8 0 m er e s u l t so ft h e f 沁g e r s - r 锄a n u j a nt y p ei d e n t i t i e sa n di t sa p p l i c a t i o n si nn u m b e rt h e o r ya r es t u d j e d t h em a i n c o n t e n t 8o ft h i 8t h e s i sc a nb es u m m a r i z e da s b 1 1 0 岬8 ： i c h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n to ft h eb a s i ch y p e r g e o m e t r i cs e r i e s i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c et h eb a s i ck n a w l e d g eo f t h eb a 8 i ch y p e r g e o m e t r i cs e r i e s ，i n c l u d i n g b a s i cc o n c e p t 8 ，8 0 m es u m m a t i o nf o r m u l a 8 ，t r a n 8 f o r m a t b n 矗n l l a s ，e t c i nc h a p t e r3 ，b ym e a n so fc a r l i t zi i l v e r 8 i o nf o r m u l 私a j l dat r a n 8 f o r m a t i o no f b a s j ch y p e r g e - o m e t r i c8 e r j e 8o b t 越n e db yc h u ，w eg i v en e wp r o o 缸f 曲s e v e r a 】r o g e r s - r a 脚a n u j a nt y p ei d e n t i t i e 8 f u r t h e r m o r e ，s o m en e wr o g e r 8 - r a m a n u j a nt y p ei d e n t i t i e sa r eo b t a l n e db yat r a n s f o r m a t i o no f b a s i ch y p e r g e o m e t r i cs e r i e s i nc h a p t e r4 ，b ys o m ei m p o r t a n ts u m i n a t i o nf o r m u l 船，、v ep r o v e8 0 m er e 8 u l t 8o f 叫m b e r t h e o r y ，s u c l la sj a c o b it 、v os q u a r eh u m b e r st h e o r e ma i l dl a g r a n g ef o u rs q u a r en u m b e r 8t h e o - r e m t na d d i t i o n ，b yu t j l i z i n gj a c o b jt w os q u a r en u m b e r 8t h e o r e ma n dl a 铲a 1 唱ef o u rs q u a r e n u m b 日st h e o r e ma n d8 0 n l et h e t af u n c t i o ni d e n “t i e s ，w ea l s op r o v et h ek n o w nr e s u l t 8o fh u m b e r t h e o f y ：t w ot r j a n g u l a rn l l m b e rt h e o r e m ，f o u rt r j a “g u l a rn u m b e rt h e o r e m ，a n dt h em l m b e ro f r e p r e 8 e n t a t i o i l 8o fap o s i t i v ei n t e g e rb yv a r i o u sq u a d r a t i cf 曲m si nt e r m so fd i v i s o rf u n c t i o n s k e y w o r d s b a s i ch y p e 。g e o m e t r i cs e r i e s ；s e r i e st r a n s f o r m a t i o n ；r o g e r s r a m a n u j a n t y p ei d e n 七i t i e s ；s q u a r en u m b e r 8 ；n i a n g u l a rn u m b e r 8 i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学 或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名日期 大连理工大学硬士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了锯呔连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文 作者签名 导师躲 丕圣煎 一午 月日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 基本超几何级数的研究始于1 7 4 8 年，以e 1 ) 1 口将无穷乘积 。 ( 删) 0 = n ( 1 矿) _ = l 看作一个正整数n 的分拆数p ( n ) 的发生函数为标志，这里p ( n ) 是指把n 表示成正整数 和的无序方法数但此后一百多年的时间里，基本超几何级数的发展一直停滞不前相 反超几何级数却得到快速发展，e u l e r 相p f a 行研究了超几何级数 的许多重要性质，其中升阶乘定义为( a ，) d = 1 和( 。) k = 8 ( 口+ 1 ) ( 。+ 1 ) 1 8 1 2 年， g a u s s 在其论文中进一步对这个超几何级数( 现在我们称它为g a u s s 级数或一般超几何级 数) 进行了广泛的研究此后，包括a g d i x o n ，j d o u g a l l ，l s a a l s c h u t z 等许多大数学家 都对超几何级数作了大量的研究。 直到1 8 4 6 年，h e i n e 【1 _ 2 ) 通过引进q 一数i i q 。i ；苦= n ，对般超几何级数的旷模拟 形式g 一超几何级数进行了大量的研充现在我们称之为基本超几何级数或口一级数基本 超几何级数才获得独立地位，成为一门独立的数学研究分支h e i n e 得到了与g a u s s 的一 般超几何级数2 乃理论平行的基本超几何级数2 毋1 理论；包括h e i i l e 变换公式，二项式定 理的q 一模拟，j a c o b i 三重积恒等式等在此期间，j t h o m a e ，jr o g e r s 和s r a m u j a n 等也做了大量的工作，r o g e r 8 和r a m a n 脚a n 独立的发现了有名的r d g e r s _ r m a n u j a n 恒等 式十九世纪后期，f h j a c l c s o n 系统的研究了口一微分，口一积分理论，并得到了由d i x o n ， d o u g “1 ，s d 8 c h u t z 等人发现的超几何级数求和公式和变换公式的p 模拟形式，得到了许 多漂亮的组合恒等式 二十世纪四五十年代，w mb 缸1 e v1 3 “】在超几何级数和基本超几何级数方面都做 出了极其重要的贡献其中最重要的是其研究r o g e r s 的论文时，发现的著名的b “e y 变换，b 撕1 e y 变换现在巳成为研究基本超几何级数的基本工具此外， s e a r s 【6 | ，g m w a t s o n 【7 】和ljs l a t e rf 耻”】等都对基本超几何级数的发展做出了大量的贡献、饥8 0 n 和s l a t e r 从c o n t o u r 积分的观点发展了基本超几何级数理论与此同时，双边基本超几 何级数也逐步的成熟同一时期，g ea n d r e w s1 1 1 。q 开始了他在数论方面的研究，他 把基本超几何级数和数论结合起来，用分拆理论对许多经典的恒等式给出了新的漂亮的 组合饵释七十年代中期，他同r a s k e y 在基本超几何级数这一领域的理论上取得了丰 驴两 k 一 一k k c 一0 脚 l j 1 叫j b c d 基本超几何级数及其应用 富的成果，正是由于他们的工作使得对基本超几何级数理论方面的研究至今还是一个非 常活跃的领域 目前，研究基本超几何级数主要使用以下三种方法：即w z 方法，变换的方法和反 演的方法 1 5 - 2 目w 乐方法是h w i l f 和d ，z e i l b e r g e r 提出的借用g o s p 算法实现恒等式 的机械化证明变换的方法是用简单地恒等式导出复杂的恒等式中心思想是使用b 越l 时 变挠，他的一个最重要的应用是b 缸l e y 提出的b “1 e y 引理 1 9 1 1 年至1 9 5 2 年间，s l a t e r 使用b a i l e y 变换获得了多达1 3 0 个r o g e r s - r a m a n u j a n 类型恒等式a n d r e w s 等人发展了 b a j l e y 引理，提出了b a j l e y 链和b a i l e y 格等概念，把b 出l e y 变换推广到多维上，并且获 得了许多多维的b o g e r s r a m a n u j a n 类型恒等式反演的方法就是用反演关系来证明和发 现组合恒等式，即对一个恒等式的证明可以归结为其对偶恒等式的证明另一方面，给 出一个已知的恒等式，通过反演关系有可能导出新的恒等式其中最关键的问题是如何 找到一组反演关系以及合适的恒等式 总之，随着基本超几何级数理论的不断发展，已日趋显得它的重要性目前，它在 数论，物理学，组合学，差分方程以及李群和李代数等方面都有着重要的应用 2 大连理工大学硕士学位论文 2 基本超几何级数的基本知识 2 1 超几何级数和基本超几何级数 义 超几何级数是一个级数c n ，满足! 警是竹的有理函数，下面我们给出它的精确定 定义2 1 2 3 】设( 啦 0 0 和地) ；。是复数，对任意的n n 0 ，b 一n ，j = l ，2 ，s ，则超 几何级数由下式所定义： br 飘冀 ( r ) 一k ( 6 。) k 。 其中( 。) 为次升阶乘，定义为( n ) o = l 和( n ) = n ( n + 1 )+ 女一1 ) 我们称超几何级数l b 为平衡的或s a a l s c h u t z 的，如果l + 。o + n 1 + 6 1 + 6 2 + - - + “ 例如：( p l s a a l s 曲u t z 公式) m q o d 一n c 1 + n + 6 c 一他- = 徽 是一个重要的平衡的超几何级数恒等式，二项式定理和c h u _ 、a n d e r m o n d e 卷积公式都是 其特例 下面我们给出升阶乘的q 一模拟q 一升阶乘的定义： 定义2 2 矧以q 为基的升阶乘定义为： ( 峨q ) o = 1 ，( n ；g ) 。= ( 1 一n 矿) 如2 涨2 瑟( 卜。内，眶n 0 这里。和口为任一复数，n 为任一正整数 我们也常使用g a s p e r - r a h n 紧凑记号： i ： g 。= 黜糯糍 司。= 器慧糍 3 涨 蛐麒 l l 、11 基本超几何级数及其应用 g a u 8 s 二项式系数【2 3 】定义为： 嘲。f 磐：蟛兰坐o 。 i j 。i 五i 元可i 丽2 i i 矿“三8 “ 定义2 3 基本超几何级数【2 3 ：设 n t ) 名。和 b ) ；：o 是复数序列，对任意的n n 0 ，b g 一， j = l ，2 ，s ，于是基本超几何级数如下式所定义； 卅九卜誓j ，z = 薹镪糕涨吲现 若分子参量中有某个啦= g 一，n 0 ，则级数称为终止的；若级数是非终止的，我们总 是假定 1 对于基本超几何级数，可以对其进行如下分类，首先假定r = s ( 1 ) 若分母参量的乘积等于分子参量的乘积的q 倍，即口o o 。，= b l b 2 “，则称级数 是平衡的 ( 2 ) 若g 。o = a 1 6 l - = 嘶“，则称1 + r 办一级数是w e l l p o i s e d ，特别的，若级数是w e l l p o j s e d ， 并且有。l = 一0 2 = g 撕i ，则称级数为v e r yw e l l 呻o i s e d 定义2 4 双边基本超几何级数| 2 3 ： 设 乱) 暑。和 ) ；：o 是复数序列，对任意的n n o ，吼口”，b g ，t = 1 ，2 ，r j = 1 ，2 ，s ，于是双边基本超几何级数如下式所定义； n 2 6 2z = 。曼锱糍学糍”妒辨净气： 2 2 几个重要的求和公式 利用分拆解释不难证明 2 2 le u l 目求和公式 ；q ) 。 ( = ；g ) ；g k 塑避 ( g ；口) k “ ( q ；口) k c 叫淞 评注：( 2 2 ，1 ) 一( 2 2 3 ) 均可用t a y l o r 展开式进行形式证明 4 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 星8脚。脚 大连理工大学硕士学位论文 2 2 2 一二项式定理 耽趟儿伺敷致巾西，经典明二坝贰足理力 ，蜀卜 = 薹警钟叫 皿。删 二项式定理的旷模拟即口二项式定理可陈述如下； ，z 卜妻涨拉链 皿。司 o o = = 0 7 证明：由e u l e r 求和公式，我们有 镟= 妻锉，妻矗 ( g ；q ) o 。 台( 哦q ) t 名( q ；q ) j = 薹焘扣，协扎t台( g ；g ) n 鲁一7 川“ 。蚤涨少售( 咖) n 口 评注：显然e u l ”求和公式是q 一二项式定理的特例，在( 2 2 5 ) 中把z 换成i ，令n 趋于无 穷得到( 22 1 ) ，在( 2 2 5 ) 中令。= o 得到( 2 22 ) ，在( 22 5 ) 中把d 换成g 一，z 换成旷2 ，便 得到( 2 ：23 ) 使用口一二项式定理我们很容易士盘得到下面的】a c o b 】一三重积恒等式 2 2 3j a c o b i 兰重积恒等式 在r 二项式定理( 2 2 5 ) 中，令n = g 一( ”，。一矿z ，经过必要的化筒，有 nr、 ( g z ；g ) m ( z ；口) n = ( 一1 ) l ：i g ( ：) z ( 2 2 6 ) r = 一m 。 ( 2 2 6 ) 是j a c o b i 三重积恒等式的有限形式，令m 和n 趋于无穷，我们得到了著名的j a c o b i 三重积恒等式： 咖，口z ；g 】。= ( 一1 ) 2 口( ：) ( 2 2 7 ) 由于 ( 一1 ) 2 q ( ：) 驴= ( 一1 ) q ( ：) 矿+ ( 一l 州j 1 ) z 。 = ( 一1 ) 。g ( 孰z 一一# m ) 5 基本超几何级鼓及其应用 即 盼，g 肛；训。：妻( 一1 ) e g ( 批。一一；m ) k = 0 上式两边同除以1 一# ，令z 一1 ，使用洛必达法则取极限得极限形式 ( 矾；口) 己= ( 一1 ) ( 2 + 1 ) g ( j 1 ) = 0 由j a c o b i 三重积恒等式我们很容易地得到下面结果 22 4 几个t h e t a 函数恒等式 ( 1 ) 平方数定理( j a c o b i ) ( 2 ) 三角数定理( e u l e r ) ( 3 ) 五角数定理( g a u s s ) 2 3 两个重要的变换公式 口2 ，一q ，一g ；9 2 。= g ”2 绥：妻，o 妇9 2 ) 一鲁 札：妻n q 掣 ( 2 ，2 8 ) h e i n e 变换和s e m 变换是基本超几何级数理论中最重要的两个变换公式h e i n e 变 换也是口一级数中最基本的变换公式，从它出发几乎可以导出所有的口一级数求和公式和 变换公式；而s e a r s 变换在级数变换和恒等式的证明中也起着非常重要的作用 2 ，3 1h e i n e0 一e u l e r 受设。 。妒， 。：；a ，z = ：i 糕。- 。2 ：。；。，。 = 锇燃警。妒，r 乞6 c 纠 1nr = 絮挚。血r 0 哪叫 证明：由于 堕啦：曼粤塑l 笪：型塑 ( c ；g h( c ；g ) 。( 的”；口) o 。 ( 2 ，3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 ，3 3 ) 大连理工大学硕士学位论文 以及口一二碘式定理( 2 2 5 ) ，我们雨 。咖，舭 _ 薹黜涨扩 = 涨薹黜扩薹鬻c s ( 钊k 名( 州) n 。台( 州) r “ = 糍薹器a 薹涨忉甲( c ；g ) o 。盘( g ；g ) 。岳( 吼口) n “ ：堕! ! 塑堕盟塑子( 丛业亟业小 ( c ；q ) o 。( 。；口) 。急( 口；g ) ( 。z ；q ) k ” = 鬻。小叫( c ；q ) 。( z ；q ) 【o z ”。f 口 结合对称性，重复使用( 2 3 1 ) 即得变换( 23 2 ) 和( 23 3 ) 从h e i n e - 变换出发，我们能得到许多重要的求和公式首先在( 231 ) 中，令z ：c 。6 ， 结合g 一二项式定理( 2 25 ) ，我们得到了如下的口一g a u s s 求和公式； z 一，孙咖1 = 篙瓣 s 锄 接着在( 2 3 4 ) 中，让。= 口，我们获得了有名的c h u v a n d e r m o n d e 卷积公式的g 一模拟 形式： 。九卜6 孙扎小器； 仁ss ， 。t r 6 孙司= 器护 偿跏， 等式( 2 3 6 ) 是( 2 3 5 ) 的对偶形式，在( 2 3 3 ) 两端提取扩的系数，我们得到了重要的 g s 训目c h u t z 求和公式： 纰 。支墨蜀。孙司= 铬潍瓣3 妒2 【。，q t n 。b 。；9 叫2 二i ；i i i i i ：黹 等式( 2 37 ) 的对偶形式是下面终止的q 书i x o n 求和公式： 哦 蠢：篆，：；搿易；：一，时“，嘲= 篙穗燃 它的非终止形式为重要的q _ d o u g a l l d i x o n 求和公式； 硪 石鬟蕊麓撕。州。c d = 鼢案滁蒜赫神吖面，一讧棚6 ，。口。，。口d 杩删弦c d j2 南请亮萄葫孑面蒜 7 ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) 基本超几何级数及其应用 2 3 2s e p 变换 a 协2 荔叫啪 b 嚣警篙翻龋鬻 刊a 嚣镟鬻g 锗然鬻 它有许多重要特例，其中一个是 。t 。知，咖c = 镣砌瞄篡忍a s 删 下一章我们将利用( 2 3 1 0 ) 来证明若干个r o g e r s - 鼬m a r l u j a n 类型恒等式在这一节的最 后我们给出两个双边级数恒等式 233 两个双边级数恒等式 首先我们给出r 耵n a n u j a nl 母。级数恒等式 汕。 = 。萋涨拄器戮雕 s 圳 证明：我们首先判断级数的收敛域由于( 2 31 1 ) 可重新改写为 母，hz - 薹涨舢薹涨吲嘲 由等式右边第一个和知例 i c 。，所以有j c n l h 1 在p 二项式定理( 2 2 5 ) 中作如下替换： o o g m ，b c o # ，c c 口一m 于是( 2 2 5 ) 可 重新陈述为 薹蠕糕肚警黪， 协s 北， 等式( 2 3 1 2 ) 中求和指标作如下替换n 一+ m ，于是( 2 3 1 2 ) 可化为 。曼镪幂鼯扎。州警黪择燃 一( c 。；g ) 。( 。z ；g ) o 。 ( c ；口) 。扛；口) 。 8 堕1 2 丝! ! 坐兰盟丝 ( q 口；q ) m ( c 。导；q ) m 大连理工大学礤士学位论文 最后令m 一。取极限，便得到所求的恒等式( 2 3 ，1 1 ) 接着我们给出最重要的双边级数恒等式，e 怕级数恒等式 口币，一g 面，6 ，c ，d ，b 6 妒6 【石，一弧坤6 坤。坤d ，q 。e q ，q n ，q 加，口o b c ，口o 6 d ，舭6 e ，g o c d ，口口c e ，q 口d e 2 q b 。q f c ? d q 8 e ? q f b j q f c q d j q f e q 皆 b c 把 口 ( 2 3 1 3 a ) ( 2 3 1 3 b ) 这里j g 。2 6 c d e j 1 第四章我们将利用这两个双边级数恒等式证明数论中的几个结果，即把任意一个正 整数表示成若干个具有某种性质的整数和的方法数 9 大莲理工大学硬士学位论文 3 关于r d 鲫r m a n u j a n 类型恒等式的一些结果 十九世纪九十年代，英国数学家r d g e r s 在其发表的几篇文章中证明了几个变换公 式，通过这些变换公式队及j m o b i 三重积恒等式，他获得了许多恒等式，其中包括如下 两个著名的恒等式： 1 9 2 口3 口5 。 = t 一 l “驯。 ：幽! ! 立塑= ( 口：0 ) 。 f 3 0 1 a f 30 l b 与此同时，印度天才数学家r a m m u 拇n 也独立地发现了这两个恒等式如今，像物理学， 统计学，数论以及李代数等诸多领域都涉及到r o g e 瑁一r a m a n u j a n 类型恒等式r d g e r s - r m m u a n 类型恒等式的发现和证明一直是组合数学申非常活跃的研究课题，】9 2 9 年， w a z - 【1 证明了恒等式( 3ol a * 3o 1 b ) 可由两个基本超几何级数的变换公式取极限后得 到 1 9 4 7 _ 1 0 4 8 年间，b 础c yi 3 ，剖通过研究r 0 9 e r s 的工作，发现了非常有用的b 觚l e y 变 换，并推导出一些新的r d g e m r 舡n a n q a n 类型恒等式1 9 5 1 年至1 9 5 2 年间，s l a t e r $ q 利用b a n e y 变换得到多达1 3 0 个肋g e 件r a m a n u j 叽类型恒等式a n d r e w s 等人对b 硝1 e y 变换进行简化处理，证明rb 出l c y 变换等价于a ”匣演公式、初文昌f 1 5 】应用c ”l i t z 反演公式获得了一个级数变换公式，利用该变换公式很容易地证明了r o g e r s r a m a n u j 粕 恒等式 这一章，我们通过选择合适的互反序列，利用初嘲获得的级数变换公式以及c 雠z 反演公式，获得几个相应的变换公式，利用此变换公式我们得到了许多s l 咖r q 所列牲 的m g e r s r a m m q 台n 类型恒等式接着，使用一个级数变换公式以及一些已知的结果获 得了一些新的r 0 9 e * r a i n u j a n 类型恒等式 3 1 矩阵反演和反演关系 对于无限下三角形矩阵( ) o g g c 。和( 吣) 。匀9 ，以及无限序列 ，( 哟) 和 9 ( n ) ) 我们说矩阵( 。) o 蜓，c 。和( 畸) 。匀剑 。是互逆的充分必要条件是下面的正交关系成立t n “k 。 这里d 。表示k r 0 e 出e r 记号 这里d 。表示k r 0 e 出e r 记号 1 l 淼意 害 墨查塑些笪堡墼墨基塑 由于互逆的两个矩阵是可交换的，所以，我们也有： n h k 。= 西一 m n = o ，1 ，2 = m 由以上的正交关系，容易证明下面的反演关系成立： 引理3 1 如果( 叼) o g ( i o 。和( 6 甜) o ! 琏t 。互为逆矩阵，则，方程组 等价于方程组 n ，( n ) = 。础g ( ) ， n = o ，1 ，2 = o n 9 ( n ) = 6 。k m ) n = o ，1 ，2 = 0 ( 3 1 1 ) ( 3 12 ) 此时，我们也称 ，( n ) ) 和如( n ) ) 满足反演关系假设关联矩阵( ) 对序列g ( n ) 进行变 换，代入9 ( n ) 的表达式并交换求和j f 瞬序，则有： nnn 9 ( ) = 博) b ( 3 1 3 ) = 0 _ 0k = o 原则上讲，对任意两个由互反关系( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 所联系的给定序列 ，( n ) ) 和妇( n ) ) ，只 要( 3 1 3 ) 右端的里面一重和式具有封闭形式，我们便可得到一个级数变换公式( 3 1 3 ) ，下 一节我们将利用( 3 1 ，3 ) 来获得r o g e r s - r m a n u j 类型恒等式反演技术对于证明和发现 组合恒等式是一个十分有效的工具例如，给定关系式( 3 1 1 ) 我们立即由( 3 1 2 ) 得到另 一个等式，那么这个等式就有可能是新的恒等式 我们首先介绍一个经典的反演公式：g o u l d h s u 反演公式【2 1 】，它是由h w g o u l d 和徐利治于1 9 7 3 年发现的 定理3 1 ( g o u l d h s u 反演公式) 设h ) ， 6 ； 为两个复数数列，使得 对所有的z 及j f 负整数n 都成立且廿( 。，o ) = l ，则我们有如下反演公式 肋) = 妻( 叫( 跏m ， 肋) = ( 一1 ) 蚺n ) 9 ( ) ， = o 、7 州= 妻c “：) 磊惫m ， = 0 、77、。 同年，c a r t z 给出了g o u l d h s u 反演公式如下g 一模拟形式 ( 3 1 4 a ) ( 3 1 4 b ) o k 6$ + k o 脚 | | nz 妒 盔整堡王盔堂堡主堂垡鲨塞 定理3 2 ( c a r l i t p 反演公式) 设( 口， ，慨) 为两个复数数列，q 是任意一个复数，使得 对所有的= 矿，n 为非负整数都成立且妒( z ，0 ) = l ，则下面的反演关系式成立； 跏) = 扣) 协弩m 一懈) ， ( 3 1 5 ) g = 静，8 嘲鬻器删 c s ， 证明：由莳圆的讨论司知， ( 3 - 15 ) 和( 3 1 6 ) 只要其中一个等式成立，另一个等式必成立 因此只要能证明( 3 1 6 ) 可以推出( 3 1 ，5 ) 即可由g a u s s 一二项式系数不难证明： 跚= 嗽二刃 把( 3 1 6 ) 代入( 3 1 5 ) 有： 塞，2 翻，搬n 坝纠= 薹c 叫。翻卉蛳2 川妻c 叫；翻痞专即， 5 塾m ，淞，扣广怔i 糟，力 = 0 l ”j = 2 l 。j 、yj 。i j 、 = 静m ，静，。旧搿一， 、 = 0 l 。j f = n l 。 jy 、y。j ， 让s ( t ，n ) 表示关于2 的内部和： 一 嘶) = 蓦( 叫8 i i 卜“端，一n l 。 jv v，6 丁1 ， 显然有； 跏，啦耥= 毒 于是当t = n 时，上面的双和归结为f ( n ) 为了证明双和是f ( n ) ，只需验证s ( ，n ) ：o 对 于0 o ；任意形如饥+ 3 的素数都不能表示成两个平方数之和 定理4 2 ( l 啦a n g e 四平方数定理) 任一自然数都能表示成四个平方数的和，并且有如下g 一级数恒等式 = ( 甓卜+ 薹蔫 z 渤 基本怒几何级数及其应用 相应的表示成四个平方数的和的表示方法数如下 r 4 ( n ) 1 竹= l ，2 证明：在( 4 2 3 ) 中令6 = c = d = 一1 ，则有 。曼糍灶( 涨卜4 x 。固 删似z q s 耋 龋+ 搽) 二日s ( 4 2 ，6 ) = l + 8 热+ 器 = l 、1 、 ，。s ( 一g ) 叫+ s 圣赤务 = 1 、 ，。虽( 一g ) 。 刊+ s 器 = l 2 在( 4 2 6 ) 中把q 换成一q ，结合上面的和式， ( 4 2 5 ) 得证 注意到 ! 贮：竺堕+ 子鲤! ! 登： 孟三1 + ( 一g ) 世乏i 1 + g 趾1 毛j 1 一9 2 + 1 = 薹等+ 薹 筹一筹) 冀矿 2 备奇 所以表示成四个平方数的方法数r 4 ( 几) 为 嘣班旷 1 + 8 丢岳) 钆啦s 丢争”) = 8 4 裳 评注：二平方数定理和四平方数定理也可由胁n a n u j a n1 妒1 求和公式( 2 3 1 1 ) 来证明 口 ( 4 2 7 ) 也 q 岛咖慨簖矗 | | 矿 涨 塞一 | | 1_ 大连理工大学硕士学位论文 在l 妒i 求和公式( 4 2 7 ) 中，作如下替换 ( 1 ) 令。= 一l ，c = 一口2 ，g 9 2 ，z = g ，经过化简整理可得二平方数定理 ( 2 ) 令o = 一l ，c = 一q ，z 一一q 取极限，然后经过化筒整理可得四平方数定理 4 3 任一正整数n 表示成六平方数或八平方数和的方法数 对于六平方数，我们有定理： 定理4 3 。塾2 ) 6 = 甓) 6 = 1 薹器一a 静，“竿等。t ， 相应的，表示成六个平方数的和的方法数为 r e ( n ) = 4 (d 2 一d 2 ) + 1 6 (d 2 一d 2 ) 、 州nd 时 7、 d l nd h 7 d 三3 ( m d 以)d ；1 ( m 。以) 0 量1 ( m o d 4 )罟三3 ( ”。d 4 ) 证明：双边级数恒等式( 2 31 3 ) 重新陈述如下 融g 面，一q 伍，6 ，c ，d ，e 。旦生 6 妒6l 面，一瓶，g 。b ，g 。c ，g 。d ，g 。忍i 忑j fq ，q n ，q 口，q d 6 c ，q 口6 d q n b e ，q o c d ，q 。c e ，q n d e l g 。0 ，q 。c ，g 。d ，q o eg 加，g c ，g d ，口e ，g 铲厶c 如 这里i g 2 b c d ej 1 在( 43 2 ) 中，令b = c = d = 一1 ，e o 。，则( 4 3 2 ) 可改写为 司。 。 f 4 32 a ) ( 432 b ) 鬻静鲁龋奢撬等器鞠 蓦婴p 。憎啪，龋坩扎扩1 ，谢) 在上式中，令n l 取极限，由对数微分法以及洛必达法则，和式中被加项的极限计算 如下： s 赫， 掌+ s 嘉南+ 掣+ s 蓦南) = 然蛳e 坤蜥 ) 于是，我们有 ( 涨) 6 = l + a 薹端瑚q 川咖“) 汪s 渤 墅堕垦鱼竖墼墨型盟一 让式( 4 ，3 3 ) 右端的和式记为，( q ) ，回忆二项式系数展开式： 南= 静r 憎) 于是有 重写口一指数( 1 护) + f = k ( 1 + 2 ：+ k ) 二项式系数和可化简如下； s ( 1 ；。) 一c ，一。功( ：) 一c ，十。m ，( 2 j2 ) = e ，+ 。z ，c ，+ 。* + 。z ，= c ，+ * 十2 z ，2 一* 2 根据r 的奇偶性，我们把，( q ) 分成两个双和如下； = 17 = 0 k = 12 = 0 k = 1 i = o 一酽l q ( “：1 ) 州 一1 ) 1 + 。( 1 + 后+ 2 f ) 2 一南2 1 9 七( 1 十2 七+ 2 廿 一1 ) 1 十2 ( 1 + 女+ 2 矿一2 1 9 ( 州) _ 1 ) 下面我们分别计算( 4 3 ，4 b ) 和( 4 34 c ) ，首先让”= 女+ f ，应用几何级数，则有 e g ( 4 34 6 ) = 相似的，( 43 4 c ) e g ( 4 34 c ) = 能作如下化简： 2 一( 2 ) 2 矿1 协 1 ) 。矿( 1 + 2 ”) + ( 一 e ；1 一删刎) + 耋若象 筘 + 2 “，p 矿 嘲 口 一蝴卜 然p? 一p 卢 严 卜歹 o j 辩一时 i三等m言詈试 螂 删 埘 重 量 3 心 他 h 物。口扣彬妒 础 彤卜 h n 卜幢l h 邯钟萨 。日-l譬 等言(1 m o 商吼 l耻 矿 淞拦 鲤三 警脚 + 卜 大连理工大学硕士学位论文 经化简，得： ，( 口郴孵3 4 6 冰3 血) 嘻叫“皋( 1 删+ 4 争) ”斋 ，( 口) = 凹g ( 43 4 6 ) + e g ( 43 血) = ( 一1 ) “丁蒜晶( 1 + 2 n ) 2 + 4 ( 一1 ) ”熹 n = u = i 最后把，( 口) 的表达式代入到式( 4 3 3 ) ，并用一口替换口，我们得到了所要的口级数恒 等式( 4 3 1 ) 在( 4 31 ) 两边提取矿的系数，便得到了把正整数n 表示成六个平方数的和 的方法数( 札) 的明晰表达式、口 定理4 4 对于八个平方数的和，有g 一级数恒等式： 。塾2 ) 8 = 甓) 8 = 1 州薹南 h 蹦， 相应的，表示成八个平方数的和的方法数r 8 ( n ) 的明晰表达式为； r 8 ( n ) = 1 6 ( 一l r 4 d 3 d l ” 证明：在b 越l e y sv e r yw e l l p o i 8 e d 双边级数恒等式( 432 ) 中，令6 = c = d = e = 一1 ，于是 有： 糕薹菩龋2 n 薹等器2 广 ( g n 2 ；g ) 。( 一q ；口) ( q n ；口) 笛 。乏ll 一。( 一g 。；q ) 2 w “7 。基j l 一“ ( q n ；q ) 曼k ”7 一薹禹p “栅尹，糍彬。啪，锹 在上式中，令。一1 取极限，由对数微分法以及洛必达法贝4 ，最后一个和式中被加项的 极限计算如下： 嘶蒜 筝+ t 砉南+ 掣+ a 薹南) = 蒜 a 。可) - 于是，我们有 甓卜邶薹南扎a 1 s 脚 式( 4 3 6 ) 中关于女的和记为9 ( g ) ，注意到如下的二项式展开 蒜= 静啦。) 3 l 薹查塑些笪塑墼墨基堡星一一一 我们有： 如) ：囊熹( 4 一q 一。) 如) 2 蚤番砰( 4 叫k a “) = 薹静啦) ( t = 薹静) i 4 ( 1 ( 2 荆一 ：登妻( 叫中：登( 叫。岛= ( 1 ) 中q 肼= ( 一i ) 2 尚 这里使用了如下的二项式恒等式 ( ；) 一( 2 ；。) 舒 最后把g ( q ) 的表达式代入到式( 4 3 6 ) ，并用一q 替换g ，我们得到了所要的g 一级数恒等式 ( 4 ，3 5 ) ，接着在( 4 35 ) 两边提取矿的系数，便得到了正整数n 表示成八个平方数的和的 方法散他( ) 的明晰表达式 口 评注：对于二平方效和以及四平方数和定理的证明均可用b 姐l e y sv e r y - w e i lp o i 8 e d 双边级 璇恒等式( 4 3 2 ) 致地处理下面我们给出基本的变换： ( 1 ) 在( 4 3 2 ) 中，令o = d = l 6 = c 一1 ，e 一。，则有 ( 器) 2 = l + a 争，”黑； ( 2 ) 接着让。；b ，c = d = e = 一1 ，然后再令n 一1 ，则有如下级数恒等式： 畿) 4 = 1 + s 耋播， i ( 一g 口) 。j鲁( 1 + 俨) 2 4 4 任一正整数n 表示成萨+ 2 圹或乎+ 3 2 的方法数 引理4 ，1 对于 1 ，l b i 1 我们有 川薹器= = 二： 。刁 ( 4 4 1 ) 证明。在上一节的r a 丑u j a nl 妒l 求和公式( 4 2 7 ) 中，令o = 一l ，c = 一曲，z = o ， g 一曲即得( 4 3 1 ) 口 定义2 ：让7 1 k ( n ) 指把正整数表示成一个数的平方与另一个数的平方的倍的和的表 示方法数，即n = z 2 + r 2 ，这里z 和。为整数，n 和为正整数 大连理工大学硕士学位论文 首先我们在引理4 1 中令。= q ，b = q 3 ，则有 ，+ 。薹错= ：。z 簟二答 础艄。，= 器攀撬 ：( 二! i 贮) 塑! 贮! 2 塾f 芏j 贮) 刍! 二生j ) 塾 l 口；g 。， = ( 9 2 ；矿) 。( 一口2 ；9 2 ) 毛( 9 4 ；9 4 ) 。( 一矿；口4 ) 蝥 = 圣( q ) 画( 9 2 ) 于是，我们有如下定理 定理4 3 嘶州q 2 ) 。薹筹 ( 4 4 2 ) f 4 4 3 1 并且有r l ，2 ( n ) = 2 ( 巩，8 ( n ) + d 3 ，8 ( n ) 一d 5 ，8 ( n ) 一d 7 ，8 ( n ) ) ，这里d ，e ( n ) 如定理41 所定义 证明：对( 4 43 ) 右端用几伺级数展开 ，+ z 薹篇= 薹塾妒砷硝删_ 小t ( 4 4 4 ) 两边提取旷的系数即得到r 1 2 ( n ) 的明晰表达式 口 接下来，在引理( 4 1 ) 中令。= 一口，b = 一9 2 ，则有 ，+ 。薹警= 忐黼 ( 口；口) o 。f 矿：口3 ) o 。 。f 而正f 丽 = 圣( 一g ) 圣( 一扩) 于是我们有 定理4 ，4 a 薹 蔫一篙斋) + z 薹 禹一舄) ( 4 4 5 1 相应的，把正整数n 表示成一个数的平方与另一个数的平方的3 倍的和的表示方法数为 r 1 3 ( n ) = 4 ( d 4 ，1 2 ( n ) + d 8 ，l 2 ( n ) ) 十2 ( d 1 ，3 ( n ) 一d 2 ，3 ( n ) ) ，这