（计算数学专业论文）插值小波在数值计算中的应用.pdf

插值小波在数值计算中的应用 a p p l i c a t i o n so fi n t e r p o l a t i n gw a v e l e ti nn u m e r i c a l c o m p u t a t i o n 摘要 本文回顾了插值小波在数值计算中的应用，其内容主要包括插值小波的偏微分方 程数值解的一般算法和使用插值小波解积分方程的算法。 小波基方法的基本思想是将函数在小波基下展开，对方程离散化再求解。由于小 波函数在时域和频域上都具有很好的局域性，因此特别适合逼近那些具有奇点或局部 变化十分剧烈的函数。与传统的数值方法相比，小波方法可以产生自适应网格：即仅 在方程的解变化剧烈的区域实现高分辨率。 本文在前人使用有理化h a a r b 波方法解决第二类f r e d h o l m 积分方程问题的基础 上，提出了一种新的方法。通过插值小波变换将积分方程转化成线性方程组。与传统 的方法，如n y s t r o m 方法相比，因为插值小波具有紧支集，所以转化后的矩阵是一个 稀疏矩阵，这使得计算量得到减少。与有理化的h a a r t 、波相比，插值小波具有更好的连 续性，因此更适合逼近光滑函数：此外，插值小波具有的插值特性，也使得函数的采 样变得更为简单。数值算例表明，该方法具有较高的精度。 关键词：小波分析，插值小波，偏微分方程数值解，第二类积分方程 a p p l i c a t i o n so fi n t e r p o l a t i n gw a v e l e ti nn u m e r i c a l c o m p u t a t i o n a b s t r a c t 1 1 1 i st h e s i sr e v i e w st h er e s e a r c h e so nt h ea p p l i c a t i o n so fi n t e r p o l a t i n gw a v e l e t si n n u m e r i c a lc o m p u t a t i o n ，w h i c hi n c l u d et h eg e n e r a lm e t h o d so fu s i n gi n t e r p o l a t i n gw a v e l e t t os o l v ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n da l g o r i t h m sf o ri n t e g r a le q u a t i o n so ft h es e c o n d k i n d t h eb a s i ci d e ab e h i n dt h ew a v e l e tb a s e dn u m e r i c a lm e t h o d si st or e p r e s e n taf u n c t i o n i nt e r m so fb a s i sf u n c t i o n s ，c a l l e dw a v e l e t s ，w h i c ha r el o c a l i z e di nb o t hp h y s i c a ld o m a i n a n df r e q u e n c yd o m a i n t h e r e f o r ew a v e l e t sa r ep a r t i c u l a r l ys u i t a b l ef o ra p p r o x i m a t i n g f u n c t i o n sh a v i n gs i n g u l a rp o i n t so rr e g i o n so fl a r g ev a r i a t i o n s c o m p a r e dw i t ht r a d i t i o n a l n u m e r i c a lm e t h o d s ，t h ew a v e l e tb a s e dm e t h o d s g e n e r a t ea d a p t i v e 鲥d ss ot h a t ， h i g h r e s o l u t i o nc o m p u t a t i o n sa r ec a r r i e do u to n l yi nt h o s er e g i o n sw h e r el a r g ev a r i a t i o n s o c c u r b a s e do nt h er a t i o n a l i z e dh a a rf u n c t i o nm e t h o df o rs o l v i n gt h ef r e d h o l mi n t e g r a l e q u a t i o n s ，t h i st h e s i sp r e s e n t san e wm e t h o df o rs o l v i n gt h ef r e d h o l mi n t e g r a le q u a t i o n so f t h es e c o n dk i n d n l i sn u m e r i c a lm e t h o dc o n v e r t st h ei n t e g r a le q u a t i o nt oa s y s t e mo fl i n e a r e q u a t i o n sb yu s i n gi n t e r p o l a t i n gw a v e l e tt r a n s f o r m c o m p a r e dt os t a n d a r dm e t h o d ss u c ha s n y s t r o mm e t h o d ，w eg e tas p a r s em a t r i xa f t e rt r a n s f o r m a t i o nb e c a u s ei n t e r p o l a t i n g w a v e l e t sh a v ec o m p a c ts u p p o r t t h i sp r o p e r t yr e d u c e st h ea m o u n to fc o m p u t a t i o n 。 i n t e r p o l a t i n gw a v e l e t sh a v eb e t t e rc o n t i n u i t yi nc o m p a r i s o nt or a t i o n a l i z e dh a a rw a v e l e t s ， t h e r e f o r ea r em o r es u i t a b l et o a p p r o a c hs m o o t hf u n c t i o n s i na d d i t i o n , i ts i m p l i f i e d s a m p l i n gd u et ot h ec a r d i n a lp r o p e r t y n u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h a tt h ep r o p o s e dm e t h o d h a sh i g ha c c u r a c y k e y w o r d s ：w a v e l e ta n a l y s i s ，i n t e r p o l a t i n gw a v e l e t ，n u m e r i c a ls o l u t i o no fp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，i n t e g r a le q u a t i o no f t h es e c o n dk i n d 插图清单 图2 1 多分辨空间y j 5 图2 2 小波分解算法“9 图2 3 小波重构算法1 0 图2 4 双正交小波的分解与重构示意图1 3 图2 5 提升小波的分解与重构示意图1 6 图3 1 ( a ) 测试原函数2 3 图3 1 ( b ) 用低频傅立叶级数所做的逼近函数2 3 图3 1 ( c ) 用较大尺度的d b 4 小波系数所做的逼近函数2 3 图3 i ( d ) 用菲线性小波逼近的函数2 3 图4 1 插值小波尺度函数和小波2 5 图4 2 经过提升的插值小波尺度函数和小波2 6 图4 3 插值小波二分网格2 7 图4 4b u r g e r s 方程的提升插值小波数值解31 图4 5 修正的b u r g e r s 方程的提升插值小波数值解3 2 图5 1 积分方程的精确解、数值解和误差3 6 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得一盒起：e 些厶堂 或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签字： 叶磊 i 签字日期：2 0 0 8 年5 月 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金胆王些太堂 有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘允许论文被查阅或借 阅。本人授权 金胆王些太堂 可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名： 叫磊 签字日期：7 矽暑6 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名：席分 签字日期：埘b s 电话： 邮编： 致谢 值此论文完成之际，我要向我的导师林京教授致以最衷心的感谢，他严谨的治学 态度和渊博的学识给我留下了深刻的印象。是他不断的鼓励与亲切的指导给了我信心 并帮我指引了研究方向，进而顺利完成了论文的写作，并在此过程中受益非浅。 在学习期间和论文的撰写过程中，我还受到了朱功勤教授、苏化明教授、黄有度 教授、邬弘毅教授、唐烁教授、朱晓临教授等老师所给予的关心、支持和帮助。他们 的教学思想、教学作风和高尚的品德都给我留下了深刻的印象，同时也是我学习的楷 模，我在此十分感谢他们! 在三年的学习中，2 0 0 5 级3 4 班的同学给了我很多的支持与帮助。大家共同学 习、激烈讨论，度过了难忘的三年时光，在此感谢他们。 感谢我的父母，二十多年来，他们无私地关爱、支持和鼓励，让我安心学 习，顺利完成学业。 感谢评阅、评议硕士论文和出席硕士论文答辩会的各位专家学者，感谢他们在百 忙中给予的批评指正和宝贵意见。 作者：叶磊 2 0 0 8 年5 月 第一章绪论 1 1 小波分析的起源与发展 18 0 7 年，法国数学家f o u r i e r 从热力学的角度提出傅里叶分析，这种理论对 当时的分析领域产生了极为重要的影响。f o u r i e r 分析的缺点是不能作局部分析。 为了克, q 艮f o u r i e r 分析的不足，由工程师和数学家们共同提出了小波分析。 对于小波，最早可以追溯到1 9 0 9 年a h a a r 所提出的h a a r j , 波。但h a a r d 、波 由于不能连续可微，这限制了它的应用。此后，主要是由数学家为小波分析奠 定理论基础，他们包括l i t t l e w o o d ，c a l d e r o n ，c o i f m a n 和s t r o m b e r g 等。 现代意义的小波分析始于7 0 年代后期。19 8 0 年，法国地质物理学家j m o r l e t 首先提出平移伸缩的小波公式，并提出了小波变换的概念，并取得了数值分析 的成功【l 】。随后他与理论物理学家a g r o s s m a n n 携手共同提出了连续小波变换 的几何体系，具体构造了m o r l e t 积分小波变换的反演公式。 19 8 6 年，法国纯粹数学家y m e y e r 食j 造性地构造出具有良好时频局部性的 光滑小波正交基，后被称为m e y e r 基【2j 。同年，s m a l l a t 提出了多分辨分析的概 念，并随后与m e y e r 一起建立了多分辨分析的理论框架。m a l l a t 以多分辨分析为 基础提出了著名的快速小波算法m a l l a t 算法，这是小波理论的突破性成果， 其作用和地位相当于f o u r i e r 分析中的f f t t 3 儿4 1 。几年以后，女数学家i n g r i d d a u b e c h i e s 在m a l l a t 工作的基础上，提出了具有紧支撑光滑正交的小波基 d a u b e c h i e s 基，这就是今天小波应用的基石。另一位对小波作出重要贡献 的学者是美国t e x a sa & m 大学数学与电气工程教授崔锦泰( c h a r l e sk c h u i ) 博 士，他所撰写的专著【5 】与d a u b e c h i e s 的专著【6 】成为小波理论的经典之作。 小波分析的发展十分迅速，一方面它有着深刻的理论背景，其数学思想精 美而完善；另一方面，它在工程中的应用又十分广泛。它是从f o u r i e r 变换发展 而来，但是在刻画时频局部化上又比f o u r i e r 变化有优势。它能够同时在时间和 频率上做局域变换，因而能有效地从信号中提取有用的信息，解决了f o u r i e r 变换不能解决的许多难题，所以小波变换又被誉为“数学显微镜”。小波变换受 到了科学家和工程师的广泛关注，并在在信号分析、图像处理、方程求解、分 形力学等领域取得了具有科学意义和应用价值的重要成果。在数学方面，它已 用于数值分析、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。 2 0 世纪9 0 年代中后期，小波理论和应用的发展主要有以下的特点1 4 2 j ： ( 1 ) 小波设计方法的多样性以及与其他科学的相互渗透。1 9 9 4 年，g o o d m a n 等人基于r 元多分辨分析建立了多小波理论；1 9 9 6 年d o n o v a n ，g e r o n i a m ，h a r d i n 和m a s s o p u s t 构造了紧支的d g h m 多小波，同时具有紧支、实对称、正交和高 消失矩等性质，成为小波研究的热点。l9 9 5 年s w e l d e n s t 7 1 提出了第二代小波的 提升技术( l i f t i n gs c h e m e ) ，利用这种技术可以构造非欧空间中不允许的伸缩和 平移，不再依靠f o u r i e r 变换，同时也为构造第一代双正交小波提供了有力的工 具。 ( 2 ) 与传统信号处理方法的接口研究。小波分析的一个瓶颈问题是：信号的 离散采样序列不是完美地落在某一个多分辨如果直接同信号的离散采样值代替 信号在多分辨子空间的投影，那么，在用m a l l a t 算法进行分解和重构时，除了 逼近误差外，由斜投影引起的投影误差成了影响信号重构精度的主要因素。为 了消除这种误差的，以d o n o h o 8 】为代表的学者构造出了插值小波，使信号在插 值点上实现精确重构。事实上，s w e l d e n s 提出的提升小波也受到了插值小波的 启发。 ( 3 ) 面向对象的自适应方法的研究。小波是一种面向对象的处理工具，不 同的问题可以采用不同的处理方法。例如为了刻画和检测信号的奇异性，m a l l a t 等构造一类对信号奇异点敏感的非正交小波，并将其用于信号的奇异性检测和 图像的边缘提取，提出利用小波模极大值去噪的方法。利用小波的匹配跟踪方 法现在已经发展为基于基本波形的匹配跟踪方法，在雷达、声纳信号处理中得 到初步应用。d o n o h o 提出了基于离散小波变换的非线性去噪和压缩的方法，也 已经被成功地应用于图像处理、信号检测、波形估计和高分辨谱估计等许多领 域。 1 2 小波在数值计算中的应用 小波在数值计算中的应用比在信号处理方面的应用稍晚【4 3 1 。1 9 9 1 年左右， 美国a w a r e 公司的几位研究人员，以及美国科罗拉多州立大学应用数学系的学 者b e y l k i n t 9 】f l o 】 1 1 1 最早开展小波用于数值计算的研究，计算中均采用了 d a u b e c h i e s 小波。随后j a f f a r d 论证了小波求解微分方程的优越性，并构造了周 期小波求解椭圆方程1 1 2 1 1 1 3 】。这些早期的研究产生了巨大的影响，并极大地推动 了小波在数值计算中的应用。此后很多研究机构和大学投入到这一领域的研究。 其中d a h m e n 【1 4 j 于2 0 0 1 年发表了求解微分方程的小波方法的研究进展，论述了 小波多分辨以及小波的紧支性、消失矩特性、范数等价性与求解方程的优越性 和普适性的关系。基于小波理论在数值计算中的重要性，欧盟1 9 9 7 年斥巨资联 合9 个研究所，开展了著名的为期5 年的e u t m r ( t r a i n n i n ga n dm o b i l i t yf o r r e s e a r c h e r s ) 网络研究计划，研究内容为“数值仿真中的小波多尺度方法 ( w a v e l e t sa n dm u l t i s c a l em e t h o d si nn u m e r i c a ls i m u l a t i o n ) ”，研究内容主要包括 基于小波的多分辨方法求解重要科学技术领域的微分方程和积分方程。其中 b e r t o l u z z a 在小波配点法、小波数值算法的误差估计、收敛性等问题展开的研 究f ”。18 】；纽约州立大学研究了离散小波伽辽金方法【1 9 】：美国b e l l 实验室计算科 学研究中心算法研究室负责人s w e l d e n s 进行了一系列小波在数值分析中的应 用研究【2 0 l ；此外美国密歇根州立大学、法国结构力学于耦合系统实验室等都先 后开展了小波数值计算的研究。 小波基方法( w a v e l e t - b a s e dm e t h o d s ) 主要可以分为两种【2 l 】：小波伽辽金 2 法( a w g m ，a d a p t i v ew a v e l e tg a l e r k i nm e t h o d s ) 和小波配点法( a w c m ，a d a p t i v e w a v e l e tc o l l o c a t i o nm e t h o d s ) 。这两种方法的主要不同之处在于：小波伽辽金 法是在小波系数空间内求解，因而可以认为是一种无网格方法；而小波配点法 是先生成自适应的网格，并在物理空间中求解。小波伽辽金法的主要优点是： 它能够生成一个稀疏的算子矩阵，这也是为什么在早期小波数值方法的研究主 要集中于小波伽辽金法。然而这种方法所面临的两个主要困难是处理非线性项 的和一般边值问题，而小波配点法不会有这样的困难。 小波配点法的主要优点是能够根据方程的解自动生成计算网格。在小波配 点法中，每一个小波唯一的对应一个配点，因此只要分析小波的系数便可以方 便的实现自适应网格，也就是说：在一个确定的时刻，计算网格只包括那些小 波系数大于一个给定阈值的点( 该阈值是控制方程解的精度的一个参数) 。在 给定精度的情况下，利用这种自适应方法所得到的解几乎是最优的。这也意味 着直接实现了方程解的压缩，这与在数据压缩中的预处理过程类似。而且，自 适应计算网格并不需要额外的计算量，只需要判断不同位置和分辨的那些小波 是有效还是无效即可，也不需要任何其他的假设，这点与传统的自适应网格法 不同。 1 3 本文章节安排 本文包括五章正文，安排如下： 第一章：介绍小波的起源、发展和最新的进展，简要回顾了将小波分析应用在 数值计算中的过程，阐述了两种基本的小波基方法和其各自的特点。 第二章：综述小波分析的基本理论。包括连续小波变换，多分辨分析和双尺度 方程，共轭镜像滤波器和m a l l a t 算法，双正交小波和提升小波，插值 小波。这些内容为后面的章节提供了理论基础。 第三章：介绍小波的非线性逼近和小波自适应网格。为第四章的小波求解偏微 分方程自适应网格的生成提供了理论基础。 第四章：论述插值小波在偏微分方程数值解中的一般算法。 第五章：针对第- - f r e d h o l m 积分方程，给出了使用插值小波的解法。使用插值 小波对第二类积分方程进行离散，将其转化成代数方程并求解。由于 插值尺度函数的紧支集性质，所计算的矩阵是一个带状的稀疏矩阵， 与传统方法相比，计算的复杂度得到了减少。此外，由于插值小波的 插值特性，我们之需要获得已知函数在节点处的函数值便可求得小波 系数。与h a a r j 、波方法【3 3 】相比这更加简化了计算。 第六章：总结与展望。 第二章小波分析基本理论 2 1 连续小波变换 对一般的小波，其数学定义如下： 函数y l 2 ( r ) 被称为是基本小波，如果它满足以下的允许条件： q 董上瞥如 k 形上， j 七 杉上哌， 七 r ( r ) = u 巧5 ，旦 空间 彬) 就是小波空间。与尺度函数的产生一样，若存在缈( f ) w o ，使得 y ( f 一忌) ) 胁形成空间的一个规范正交基，则肚= 2 巾y ( 2 。f 一足) 也形成r ( 灭) 的一个规范正交基。 j 如就是小波基，y ( f ) 叫做母小波。 2 2 2 双尺度方程 由m r a 的相关知识，得到： 9 ( f ) ck ( r ) w ock 所以9 ( f ) 和i f ，( f ) 都可以用k 空间的一个基 c p ( 2 t 一尼) 胁线性表示： 够( r ) 三z h k c , o ( 2 t - - k ) 量 6 q ( t ) = g i ( o ( 2 t - k ) k 称上面的两个方程为双尺度方程。由驴( f ) 的正交性，这里的分解系数仍然可以 通过内积求出： 忽= ( 伊( 咄伊( 2 卜七) ) g k = ( ( ，) ，孕o ( 2 t - k ) ) ，尼z 对双尺度方程两边取f o u r i e r 变换，可得频域上的双尺度关系： 咖脚( i c o 心 o ) ) 帅( 烈詈) z ，z ， 其中 h ( c o ) = ；l 厶一h 女p 如 g ( ) = i 1 p 诎。 从信号分析的角度看，h 是与伊对应的低通滤波器，g 是与i f ，对应的高通滤波器， 称为滤波器组。 2 2 3m a l l a t 算法 设厂( f ) 巧，则因为 巧= 巧一。w j 一。= 巧一：o 杉一：e 一。= 巧。形。杉+ 。o 一，( j j ) 这里，表示从尺度2 到2 7 进行了( j - j ) 次小波分解，所以 厂( f ) = ( 厂，仍，。舫。( ，) = ( 厂，纺，。溉 ( f ) + ( 厂，沙似溉，。( r ) k e zk e z i s i dk e z 实际计算时，是一层一层的进行小波分解，然后递推实现j - j 次小波分解，不妨 记一次小波分解的尺度系数和小波系数为 其中哆，。( f ) ：= 2 m 妒( 2 。f 一七) ， ( f ) - 2 m 缈( 2 t - k ) 7 0 纺少 ， ， p 仃 = = i 钆乃 ，f1【 由于巧c 巧+ ，则纺，。可由g j + l 的一组基 纺山) 一。：来表示： 纺 = ( 仍护纺“。) 纺扎。 由双尺度方程坟= ( 矽( f ) ，9 ( 2 f 一七) ) 可得 ( 帆。) = 疆1 ；帆。= 击莓吃诎 上式两边作用厂( f ) ，有 2 ( 厂嘞) 2 j zz 。h ( s 帆聃z t ) 2 击军吃mvzn二” 得到如下递推公式：勺 = i 1 钆。一班 二打e 2 同理，对于嘭由于c 巧小nt v j 。可由g j + l 的一组基 纺山) ，。：来表示： 土= ( 善，纺蛳) 纺勘 完全类似c 小的算法，由双尺度方程( f ) = 互既缈( 2 f 一尼) 可得： 嘭 = 去邑巳+ 1 棚七 vzn e z 通过小波分解公式，我们可以很快计算出尺度系数和小波系数 巳 ，嘭 ) ，这 就是m a l l a t 快速小波分解算法： - + c j 扎。) - + c j ，。) - + c j 吐0 一 i 嘭扎。) 乃，。) 乃吐。) 只要确定巧( j 是某一个确定的值) 空间的出示序列 勺j 杷，就可由算出任意空 间圪d ，) 的所有尺度系数和小波系数。 8 q j 一1 乃一- 图2 2 小波分解算法 又由于巧+ - = 巧。，巧上髟，因此巧上的标准正交基 纺“。) 加。：和上的标 准正交基 + 1 ，。 钌是相互正交的。他们共同构成巧+ 。上的标准正交基，则巧+ 。上 的函数 伊川。 完全可由这两个基共同表示： ，一j ，j l # z 纺+ 一，n2 车( 纺帅彤，t ) 纺乒+ ；( 纺扎一，止) 再利用分解公式，可得 纺扎。= 万1 莩吃出纺+ 击；邑磁 两边与厂( f ) 作内积，得 ，= ( 厂，纺山) 2 击莩吃础( 厂，纺。t ) + 去莓岛m ( 厂， 上) = 去吃一：。勺j + 去岛一：。嘭乒 v 么v 么 这就是m a l l a t 重构算法： _ 巳扎。 j 巳，。 一 勺一， j 乃+ 。 ) 嘭，。 嘭一， ) x ( 七) ) 胁， 曼( 尼) 括称为 x ( 七) 她的插零函数，如果 舅( 尼) ：j x ( 兰 ， 当k 为偶数 【0 ， 当k 为奇数 9 c j + i j 7 - - 忑1 ；慨诎+ 击；鼠k t 图2 3 j 、汲亘构算珐 通过上面的讨论，我们知道：巧空间的信号，可以由一系列小波系数 乃，业) 例，“( 这里j j ) 和2 - j 层上粗尺度近似表示勺乒来共同表示，因此离散小波变 换可以理解为对信号的系列分解： 勺。) ， 嘭，七) ， 嘭+ 。 ) ， 嘭也。 ， 以吐。) ) 乃，。) 脚，d 反应了信号在 2 - ：, 2 7 尺度上的“细节部分( 即各尺度上的突变部分， 对应于高频信号) ，而c i 。为2 吖尺度上的“粗糙”部分( 或称为近似部分，对应于低 频信号) 。可见借助共轭镜像滤波器，可以完全实现正交小波变换。 将信号分解为低通和高通部分，再通过逆变换来重构，这在信号处理中已 经形成了一套完整的滤波器理论，完全独立于小波分析，这套理论甚至给出了 实现信号精确重构的共轭镜像滤波器所必须满足的充分必要条件。由此可见， 多分辨分析m r a 在小波分析理论和信号处理中的滤波器技术之间架起了一座 完美的大桥。 2 3 双正交小波 人的视觉似乎对对称的东西更有舒服和自然的感觉，基于此，我们也希望 小波是对称的，然而紧支正交的小波除h a a r 小波基外，全部都是不对称的【5 】【6 】， 这也是小波基美中不足的地方，而双正交小波却可以克服这个缺点。 2 3 1 双正交小波的定义 设有缈( f ) ，驴( f ) r ( 尺) ，如果 ( 6 p ( t - k ) ，驴( f ) ) = 磊 ( v k e z ，f r ) 1 0 则称 c o , 多) 是双正交的。 若 c p , 驴 是双正交的，其伸缩平移构成的空间： l = 荪 纺肿i j 七z ) 哆= 面 纸i j ，七z ) 各自形成r ( r ) 的m r a ，则称为由p 和痧构成的双正交m r a 。 在双正交的m r a 下，双尺度方程表示为 9 ( f ) = h 。o , ( 2 e 一尼) ，= 甓( 2 f - 尼) 量 七 少( f ) = g 女c p ( 2 t - k ) ，妒( f ) = 或驴( 2 卜尼) 量七 频域表示为 多( 国) = 办( 詈) 多( 詈 ，参( 国) = 向。( i g o ) 2 ( i ( 1 ) ) 汐( 彩) = 办( 詈) 痧( 詈 ，步( 国) = 乃( 詈) 痧( 詈) 此时形成两个多分辨分析空间： 0 ) 卜cv 。c ck 一l 2 ( r ) 0 卜c 口，c 玩cl ；i 专l 2 ( r ) 并且存在空间分解( 注意不是正交分解) ； 一 _ 一 巧+ 。= 巧+ 髟，巧= 巧+ 这里算子+ 表示直接和，是巧在巧+ 。空间的补( 不是正交补) ，即巧+ 。= 巧u 髟， 且巧n = o ) 。嘭是蟛在巧+ 。空间的补( 不是正交补) 。 同样 彬= 而 吩 i j ，k sz j 嘭= 面 乃 i j ，k z ) 于是形成了两个多分辨空间的分解： 对某个，有 + 一巧一2 一+ 一巧一i 一+ 专巧一+ 一巧+ 1 一 w 3 1 17w j 、7 w j7 一 一 一 一 + j 一2 哼+ 专巧一l 专+ j 巧一+ 专巧+ l 嚼j 怠71 | i i j 、7西? 7 由双正交的定义，则有 一 _ 巧2 去形，巧。志 如渺争憎、= 6 ”。6 c 婶j j 【，9 j f ) - 6 j 。j 6 k l c 如零j 。武= 6 。6 k r 由上式知，当甩 _ 时，( ” ，统) = o 。此时，上吃( 刀 ) ，而巧= 芝，唬， 所以 上巧，同理嘭上巧 所以这两个多分辨空间就像“拉链”一样相互正交：第一个小波空间垂直于 第二个多分辨空间，而第二个的小波空间垂直于第一个多分辨空间，它们相互 补充，最实现完整的信号分解和重构。 2 3 2 双正交小波的分解和重构 双正交小波的变换与正交小波的变换是一样的，不过此时有两对滤波器： ( 吃，g 。) 和( 磊，磊) 。我们可以选择其中一对( 例如( ，) ) 进行小波变换，另外一 对( 例如( 磊，彘) ) 进行信号的重构，此时分解的滤波器称为分析滤波器，进行重 构的滤波器称为综合滤波器。 分解公式为： 1 2 重构公式： 矿1 勺，。= 喇。， 一e ： 乃 = g n 垅勺诎 勺“。= 磊一：。勺，。+ 季。一：。乃，。 七七 寸1 图2 4 双正交小波的分解与重构示意图 由于放松了对正交性的约束，所以可以构造紧支对称的双正交小波。在实 际应用中，有时双正交小波的应用效果要好于正交小波基。在2 4 节中，我可 以看到利用提升技术对双正交小波进行改进。 2 4 双正交小波的提升 经典的小波分析都是在f o u r i e r 分析的基础上发展起来的，因此不可避免地 受到f o u r i e r 分析的局限。1 9 9 6 年，s w e l d e n s 7 j 提出了一种不依赖于f o u r i e r 分 析变换的小波提升技术( l i f t i n gs c h e m e ) ，其新颖之处在于：1 ) 可以根据需要来设 计小波基( 也称为小波的用户化设计) 。例如，设计者可以选择一个具有特殊尺 度函数的一般多分辨分析，然后利用提升技术来修正该多分辨分析，直到满足 设计者所希望的性质，一般用于提高小波的消失矩、尺度函数的逼近阶，或构 造具有插值性质的小波等。2 ) 改进了小波变换算法，提高了算法的速度。 d a u b e c h i e s 和s w e l d e n s t 2 2 】证明了所有满足精确重构条件的紧支集小波变换都可 以分解成有限步简单的提升过程来实现；提升可以将m a l l a t 的快速小波变换算 法的速度提高一倍，还可以实现定位运算，整个过程无需辅助存储单元，从而 节省存储空间。同时，分解和重构关系非常直接，称分解为正交换，重构为逆 变换，正变换和逆变换之间刚好是顺序相反的关系。3 ) 将小波推广到第二代小 波，第二代小波不依赖于f o u r i e r 变换，可推广到非平移伸缩不变的情形，可以 在任意的有界区域或平面上构造小波。 2 4 1 提升小波 设有一组双正交尺度函数和小波( 9 ，痧，痧) ，相应的滤波器为( h , g ，石，喜) 。 7 1 理2 4 1 固定紧支集尺度函数痧，设后是与之相应的f i r 滤波器，h 是后对 偶的f i r 滤波器。如果f i r 滤波器h sg o ) 也是后的对偶滤波器，当且仅当存在一 个有限长的滤波器s ( 缈) ，使得 ( 缈) = 办( 缈) + 8 一由( c o + n - ) s ( 2 0 ) 由引理2 4 1 可知：若( 五，g ，左，季) 是双正交小波的f i r 滤波器，总可以构造新 的f i r 滤波器( 办5 ，g ，石，喜5 ) ，其中 厅( 缈) = 办( 国) + g ( 缈) 厕 岳( 彩) = 季( 仍) 一左( 彩) j ( 2 ) 新的滤波器( ，g ，五，季3 ) 称为提升滤波器，上式是一次提升过程，因为我们可 以选择不同的s ( 缈) 来改进提升小波的性质e 对上式做f o u r i e r 变换得到： h sm = 办m 一g - 2 七1 4 一k 】 雪5h = g 渊+ 五【聍一2 是p 定理2 4 1 令( c o , g ，多，汐) 是一组紧支集双正交尺度函数和小波，相应的滤波 器是( 办，g ，云，季) 。令 j 【尼】) 是一组有限序列。通过提升可以产生一组新的紧支集 双正交尺度函数和小波( 矿，y 5 ，痧，妒。) ，其定义如下： 矿t ) - - zh f l e 5 ( 2 t - k ) + z s 一叫少5 ( 卜k ) 5 ( t ) = z g k q 0 5 ( 2 f 一七) 痧5 ( f ) = 痧( f ) 一s 【七】痧( f k ) k e z 提升后，新的函数只是在形式上满足双正交关系，还不能保证新的对偶小 1 4 波在r ( r ) 中，也不能保证是否构成r i e s z 基。 提升的关键是通过选择s 来控制尺度函数矿，从而构造小波沙3 和对偶小波 痧5 。因此可以从一组简单的双正交小波开始，通过选择s 构造出提升的尺度函 数矿，同时使对偶小波汐。的性质发生了改变，这就是小波的用户化设计的思想。 与提升类似，可以考虑提升g 和石，得到新的提升滤波器： h 玉( 缈) = 石( 彩) + 季( 缈) i 两 9 3 ( 0 9 ) = g ( c o ) - h ( c o ) g ( 2 c o ) 其中j ( 国) 也是一个长度有限的滤波器。称( 办，g 。，矿，营) 为对偶提升。由于对 偶关系是相互的，所以提升和对偶提升也是相互的。提升和对偶提升可以交替 反复进行。直到得到满意的小波。 2 4 2 提升小波的分解和重构 设分解的低通序列和高通序列是( c 5 ，d 5 ) ，于是有下面的分解公式： e + 。= h 。【n - 2 k l c ； n 】- e 宰矿 2 k 】 = h n - 2 k c ； n + 略，m s 七一门】 = 巧木研2 叫+ 略。【甩】j 尼一疗】 哆+ ，= g - 2 q c j n l = c ；曩g 2 k 】 可以发现，提升小波的分解，完全是在原有的( 提升前的) 小波分解的基础 上，再加上提升部分而获得的，分解算法由两步组成： 步骤1 提升前小波分解： 略，嘲= c ；水研2 尼】，略。【尼】- 巧木科2 纠 步骤2 加上提升部分： c f f + 。h = 略。吲+ 略，m s 【尼一忍】- 略。纠+ 略。木s m 重构公式为 c ； n l = z ；, n - z k l c ；+ “q + z e 5 n - 2 k l d ；。【七】 类似与分解的过程，逆变换也非常容易实现，即先减去提升部分，然后再用原 滤波器重构： 步骤1 减去提升部分： c ； - i - “k 】= 巧+ 。【k - d f f - i - 。枣“尼】 步骤2 用提升前小波重构： e k 】= z h n - 2 k c j + 。 尼】+ 季5 n - 2 k 略“k 】 图2 5 提升小波的分解与重构示意图 事实上，d a u b e c h i e s 和s w e l d e n s 证明了以下定理【2 2 】：任何一个满足双正交 形式的滤波器f 乃，g ，后，季) ，都可以从l a z y 小波的滤波器开始，经过连续的m 次 提升和对偶提升后，再乘以一个常数来获得。由于l a z y 小波变换仅仅是将原始 信号分成偶数项信号和奇数项信号，所以这个定理的含义就是：任何一个双正 交小波的分解，都可以先将输入序列分成两部分( 由偶数项组成一个序列，由奇 数项组成另一个序列) ，然后对这两部分不断地加上提升部分和对偶提升部分， 经过m 次后，再乘以一个常数，就完成了一次小波分解( 正变换) 。重构的过 程与此刚好相反：先除以这个常数，然后进行m 次减去提升部分和对偶提升部 分，最后合并两个信号。 2 5 插值小波 在2 2 和2 3 节m a l l a t 的分解算法的讨论中已经知道，如果信号f ( t ) 属于 某个多分辨空间巧，那么m a l l a t 的小波分解、重构算法是精确实现的( 除截断 误差外) 。通常的做法应该是用( ) 在巧空间的投影来做小波分解。但实现做法 是在展开公式中( 取j = 0 ) f ( t ) = c k f p ( t 一七) k 我们一般取c k f ( k ) 。这里的不等号造成了误差，这个误差对小波分解、重构 算法的影响是非常大的。为了从根本上克服这个缺点，d o n o h o 8 1 引入插值小波 1 6 的概念( 为了方便，对以下讨论的插值小波，规范化玩= 1 ) 。 定义2 5 。1 尺度函数9 称为具有插值特性，如果 妒c 尼，= 瓯。= ：i3 c 尼z ， 如果p 具有插值性，则有 九) = f ( k ) ( a ( t -