（计算数学专业论文）奇摄动方程和分数阶方程的计算方法.pdf

摘要 本文由二部分组成，第一部分研究奇摄动问题的数值方法，第二部分研究分数 阶微分方程的数值方法 本文主要考虑边界层型奇摄动问题，当小参数s 一0 时，奇摄动问题的解作为 小参数的函数，在边界层区域内变化很大，具有边界层奇性 传统的差分方法不适合于这类问题的计算特别地，基于中心或迎风差分方法 的逐点误差在一致网格上是与e 的负次幂成正比，因此人们更感兴趣于与g 无关的 数值方法，即一致收敛的数值方法 近十年来最流行的差分方法是s h i s h k i n 网格法，为了提高其收敛阶，人们采用 b a k h v a l o v 思想，构造了b a k h v a l o v - s h i s h k i n 网格法本文在s h i s h k i n 网格法的基础 上提出了多过渡点方法多过渡点方法是完全不等距的差分格式，具有b a k h v a l o v - s h i s h k i n 格式相同的计算精度，而计算复杂性与s h i s h k i n 格式相当，因此它是一个 实用有效的方法多过渡点方法的主要思想是；根据奇摄动问题边界层的性质，提 出多过渡点的选取方法，然后构造多逐段离散网格函数作为闸函数，进一步估计截 断误差，证嘎中采用了一些传统s h i s h k i n 网格法所没有的技巧 整数阶微分方程数值方法的种种技巧早已应用于求解分数阶微分方程然而直 到最近3 年，分数阶微分方程数值方法的理论证明才得到发展，尤其是稳定性和收 敛性，其证明工作刚刚开始，有一定难度，急需进一步发展和完善 目前分数阶偏微分方程数值解的工作皆以抛物型方程为主要研究对象，数值方 法全部采用有限差分方法，并且要求分数阶导数项前的系数与时间t 无关本文的 证明方法完全不同于前人，分数阶导数项前的系数可以是变量z 和t 的函数，差分 格式按无穷大范数稳定和收敛由于证明方法不同，本文数值方法的稳定性是指按 初值稳定和按右端稳定，而前人所证明的稳定性是指按初值稳定 第一章介绍了奇摄动问题常见的数值方法，介绍了分数阶微分方程在理论和数 值方法的研究情况，并将本文的工作与前人的工作做了全面的比较 第二章研究奇摄动对流一扩散问题，选取了多过渡点，构造多过渡点格式并证 明格式是o ( n q ) 阶一致收敛，这里是指网格削分数目 第三章研究奇摄动对流一扩散弱奇性r o b i n 问题和强奇性r o b i n 问题对弱 奇性r o b i n 问题构造s h i s h k i n 格式，证明格式是o ( n - 1 i n n ) 阶一致收敛；对强奇 性r o b i n 问题构造多过渡点格式并证明格式是o ( n _ 1 ) 阶一致收敛 第四章研究二类奇摄动抛物型方程，一类是在空间导数项前含有小参数，我 们在空间z 上选取多过渡点；另类是在时间导数项前含有小参数，我们在时间 t 上选取多过渡点对这二类奇摄动问题分别采用多过渡点格式并证明格式是一致 收敛的，改进了前人的结果 i 第五章考虑n + 1 项线性时不变分数阶连续时间方程，引入多个变量将高阶方 程转化为a 阶( 0 q 1 ) 分数阶微分方程的方程组，利用解耦方法构造了数值 逼近表达式，并证明数值方法的相容性，稳定性和收敛性 第六章研究r i e s z 空间分数阶反应一扩散方程，构造了显式格式和隐式格式。 证明了显式格式是有条件按初值稳定和按右端项稳定，有条件收敛；隐式格式是无 条件按初值稳定和按右端项稳定，无条件收敛 关键词，奇摄动；一致收敛性；多过渡点；分数阶微分方程；稳定性；收敛性 i i a b s t r a c t t h ec o n t r i b u t i o no ft h i sp a p e ri st w op a r t s t h ef i r s tp a r to ft h i sp a p e ra d d r e s s n u m e r i c a ls o l u t i o no f s i n g u l a r l yp e r t u r b e dp r o b l e m s i nt h es e c o n dp a r t ，w ec o n s i d e r t h ef p d ea n di t ，sn u m e r i c a la p p r o x i m a t i o n s i n g u l a r l yp e r t u r b e dp r o b l e mw i t hb o u n d a r yl a y e rw a sm a i n l ys t u d i e di nt h i s p a p e r i nt h en e a rr e g i o no fb o u n d a r yl a y e r ，t h es o l u t i o no fs i n g u l a r l yp e r t u r b e d p r o b l e mc h a n g e sr e p i d l yw h e ns o t h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o nh a ss i n g u l a r i t y r e l a t e dt ob o u n d a r yl a y e r c l a s s i c a ld i f f e r e n c es c h e m en s u a h yg i v e su n s a t i s f a c t o r ym u n e r i c a lr e s u l t sf o rs i n - g u l a r l yp e r t u r b e dp r o b l e m i np a r t i c u l a r ，t h ep o i n t w i e se r r o r so fn u m e r i c a lm e t h o d s b a s e do nc e n t e r e do ru p w i n d e dd i f f e r e n c es c h e m eo nu n i f o r mm e s h e sd e p e n di n - v e r s e l yo nt h ep o w e ro ft h es m a l lp a r a m e t e r t h e r e f o r e ，t h ei n t e r e s ti nd e v e l o p i n g a n da n a l y z i n ge f l l c i e n tn u m e r i c a lm e t h o d s ，e s p e c i a u yt m i f r o mc o n v e r g e n c en u m e r i c a l m e t h o d ，w h i c hi sn o td e p e n do nt h es m a l lp a r a m e t e re ，h a si n c r e a s e de n o r m o u s l y s h i s h k i nm e t h o dh a sb e c o m ep o p u l a ri nr e c e n t1 0y e a r s i no r d e rt oi m p r o v et h e r a t eo fc o n v e r g e n c e ，s h i s h k i nm e t h o dw i t hb a k h v a l o v st e c h n i q u e ，w h i c hi sc a l l e d b a k h v a l o v - s h i s h k i nm e t h o d ，i sp r e s e n t e d b a s e do i ls h i s h k i nm e t h o d ，m u l t i - t r a n s i t i o np o i n t sm e t h o di sc o n s t r u c t e di n t h i sp a p e r t h en e wm e t h o di sn o n e q u i d i s t a n tm e s hp a r t i t i o n i th a st h en u m e r i c a l a c c u r a c y 嬲b a k h v a l o v - s h i s h k i nm e t h o d 。w h i l ei th a ss i m p l ec o m p u t a t i o np r o c e d u r e a ss h i s h k i nm e t h o d t h i sn o v e ln u m e r i c a lm e t h o di s 她p r a c t i c a la n de f f i c i e n t c o m p u t a t i o n a lm e t h o d t h em a i ni d e a so fm u l t i - t r a n s i t i o np o i n tm e t h o da r ea sf o l l o w f i r s t l y , t h e c h o i c eo fm u l t i - t r a n s i t i o np o i n t si sp r e s e n t e da c c o r d i n gt ot h ep r o p e r t yo fb o u n d a r y l a y e r s e c o n d l y , m u l t i 懈m e n td i s c r e t em e s hf u n c t i o n s8 8b a r r i e rf u n c t i o n sf o rn u - m e r i c a ls o l u t i o no ft h es i n g u l a rc o m p o n e n ta r ec o n s t r u c t e d t h i r d l y , t h ee s t i m a t e o ft r u n c a t i o ne r r o r ，e s p e c i a l l yt r u n c a t i o ne r r o ri nt r a n s i t i o np o i n t s ，i sg i v e n t b e p r o o fi sd i f f e r e n tf r o mp r o o fi nt r a d i t i o h a ls h i s h k i nm e t h o d t h e r ea r es o m en e w t e c h n i q u e si no u rw o r k n u m e r i c a lt e c h n i q u e sb a s e do ni n t e g e r - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nh a v eb e e n a p p l i e dt os o l v ef r a c t i o n a l - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n h o w e v e r ，t h e o r e t i c a lr e s u l t s f o rn u m e r i c a ls o l u t i o no ff r a c t i o n a l - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nh a v en o tb e e nd e v e b o p e du n t i lr e c e n t3y e a r s i ti sj u s tb e g i n n i n gi nt h ep r o o fo fn u m e r i c a ls o l u t i o n ， e s p e c i a l l yi nt h es t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c e t h e r ea r em a n yd i f f i c u l t yi nn u m e r i c a l s o l u t i o n t h i si s 蚰f i e l du n d e rf u r t h e rd e v e l o p e da n di m p r o v e d i i i t h en u m e r i c a ls o l u t i o no ff r a c t i o n 吐_ o r d e rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nc o n s i d - e r e dm a i n l ya b o u tp a r a b o l i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o nu pt ot h ep r e s e n t t h ef i n i t e d i f f e r e n c em e t h o dw a ss t u d i e do n l y t h ec o e f f i c i e n ti nf r a c t i o n a l - o r d e rd e r i v a t i v e t e r mw a sr e s t r i c t e dt ob ec o n s t a n t o rt ob ef u n c t i o no fs p a c ev a r i a b l ez i e t h e c o e f f i c i e n tw a su n d e p e n d e n to nt i m ev a r i a b l et 0 u rp r o o fm e t h o di sd i f f e r e n tf r o m p r e v i o u sw o r ki nt h i sp a p e r t h ec o e f f i c i e n to ff r a c t i o n a l - o r d e rd e r i v i t i v et e r mm a y b et h ef u n c t i o no fza n dt t h ef i n i t ed i f f e r e n c es c h e m ei ss t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c e b yn o r n l1 1 | i s i n c et h ep r o o ft e c h n i q u ei sd i f f e r e n tf r o mp r e v i o u sw o r k ，t h es t a b i l - i t yo fn u m e r i c a ls o l u t i o ni nt h i sp a p e rm e a n st h es t a b ew i t hr e s p e c tt oi n i t i a lv a l u e a n dr i g h th a n ds i d e ，w h i l et h es t a b i l i t yi np r e v i o u sw o r ko n l y l e a n st h es t a b l ew i t h r e s p e c tt oi n i t i a lv a l u e i nc h a p t e r1 ，s o m en u m e r i c a lm e t h o d si ns i n g u l a r l yp e r t u r b e dp r o b l e mw e r e i n t r o d u c e d t h et h e o r e t i c a la n dn u m e r i c a la c h i e v e m e n to ff r a c t i o n a l - o r d e ro r d i n a r y d i f f e r e n t i l a le q u a t i o na n dp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nw e r ep r e s e n t e d c o m p a r i s o n s o fo u rw o r kb e t w e e np r e v i o u sw o r kw e r eg i v e n i nc h a p t e r2 ，s i n g u l a r l yp e r t u r b e dc o n v e c t i o nd i f f u s i o np r o b l e mw a sa n a l y s e d m u l t i - t r a n s i t i o np o i n t sm e t h o dw a sp r e s e n t e d m u l t i t r a n s i t i o nf i n i t ed i f f e r e n t i a l s c h e m ew a sc o n s t r u c t e d t h en e wm e t h o du n i f o r m l yc o n v e r g e n tw i t hr e s p e c tt o s m a l lp a r a m e t e ri no r d e ro ( n - 1 1 ，w h e r en i sn u m b e ro fi n t e r v a l i nc h a p t e r3 ，s i n g u l a r l yp e r t u r b e dc o n v e c t i o nd i f f u s i o np r o b l e mw i t h l e s ss e - v e r e r o b i nb o u n d a r yc o n d i t i o na n d ”s t r o n g r o b i nb o u n d a r yc o n d i t i o nw e r es t u d - l e d f o rs i n g u l a r l yp e r t u r b e dp r o b l e mw i t h ”l e s ss e v e r e r o b i nb o u n d a r yc o n d i t i o n ， s h i s h k i nm e t h o dw a sc o n s t r u c t e da n dw a sp r o v e dt ob eu n i f o r m l yc o n v e r g e n c ew i t h r e s p e c tt os m a l lp a r a m e t e ri no r d e ro ( n - 1 i n n ) f o rs i n g u l a r l yp e r t u r b e dp r o b l e m w i t h ”s t r o n g r o b i nb o u n d a r yc o n d i t i o n ，m u l t i - t r a n s i t i o nf i n i t ed i f f e r e n t i a le q u a - t i o ny e a sc o n s t r u c t e da n dw a sp r o v e dt ob eu n i f o r m l yc o n v e r g e n c ew i t hr e s p e c tt o s n l a l lp a r a m e t e ri no r d e ro ( n - 1 ) ， i nc h a p t e r4 t w ol 【i n do fs i n g u l a rp e r t u r b e dp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nw e r e s t u d i e d o n ei sp a r a b o l i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hs m a l lp a r a m e t e rgi ns p a c e z w h i l em u l t i - t r a n s i t i o np o i n t si nzw e r ei n t r o d u c e d a n o t h e ro n ei sp a r a b o l i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hs m a l lp a r a m e t e rei ns p a c et ，w h i l em u l t i - t r a n s i t i o np o i n t s i ntw e r ei n t r o d u c e d w h i c hi 8d i f f e r e n tf r o mp r e v i o u se q u a t i o n m u l t i - t r a n s i t i o n p o i n t sd i f f e r e n c es c h e m e w h i c hw e r eu n i f o r m l yc o n v e r g e n c e 祈t hr e s p e c tt os m a l l p a r a m e t e r ，w e r ec o n s t r u c t e df o rb o t ht w oe q u a t i o n si n d i v i d u a l l y o u rw o r ka r e b e t t e rt h a np r e v i o u sr e s u l t s i v i nc h a p t e r5 n + 1t e r mf r a c t i o n a l - o r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t h c o n s t a n tc o e i h c i e n tw a sc o n s i d e r e d m u l t i p l ev a r i a b l e sw e r ei n t r o d u c t e di no r d e r t ot r a n s f e rh i g h - o r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni n t os y s t e m so foo r d e r ( 0 口 1 1f r a c t i o n a l - o r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n af r a c t i o n 如r d e rd i f f e r e n c e a p p r o x i m a t i o ni sc o n s t r u c t e db yd e c o u p l e dt e c h n i q u e t h ec o n s i s t e n c e c o n v e r g e n c e a n d8 t a b i l i t yo ft h en u m e r i c a la p p r o x i m a t i o na r ep r o v e d i nc h a p t e r6 ，t h es p a c ef r a c t i o n a l - - o r d e rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nw a ss t u d i e d r e a c t i o n 删o nw i t hf r a c t i o n a l - o r d e rd e r i v a t i v ei nr i e s z 咖8 ew a sc o n s i d e r e d 叽l ee x p l i c i ta n di m p l i c i ts c h e m ew e r ec o n s t r u c t e d e x p n c i td i f f e r e n c es c h e m ei s c o n d i t i o n a ls t a b ew i t hr e s p e c tt oi n i t i a lv a l u ea n dr i g h th a n ds i d ea n dc o n d i t i o n a l c o n v e r g e n c e i m p l i c i td i f f e r e n c es c h e m ei su n c o n d i t i o n a ls t a b ew i t hr e s p e c tt oi n i t i a l v a l u ea n dr i p ：b th a n ds i d ea n du n c o n d i t i o n a lc o n v e r g e n c e k e yw o r d s ：s i n g u l a r l yp e r t u r b e dp r o b l e m ，u n i f o r m l yc o n v e r g e n c e ，m u l t i - t r a n s i t i o n p o i n t s ，f r a c t i o n a l - o r d e rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，s t a b i l i t y , c o n v e r g e n c e v 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成 果。本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在 文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利 和责任。 声明人( 签名) ：荔； 66 年亏月2 6 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦 门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸 质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允 许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关 数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密 的学位论文在解密后适用本规定。 本学位论文属于 1 、保密( ) ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ) ( 请在以上相应括号内打“4 ”) 作者签名：镩4 1 - - 垂i 导师签名： 日期：口年万月彩e t e t 期：年月日 厦门大学博士学位论文 第一章绪论 1 1 奇摄动问题介绍 在物理，化学反应、半导体设备模型和工程技术等实际问题中存在大量含有小 参数的微分方程，这类问题的解t 除了与变量z 有关外。还与小参数s 有关， 因此问题的解t 通常表示为( z ) ，这类问题统称为摄动问题摄动问题的小参数 有的包含在微分方程的高阶导数项，有的包含在方程的低阶导数项和右端项，有 的包含在定解条件和所讨论区域的边界中由于包含小参数的形式不同，相应定 解问题的解也有不同的性质 摄动问题( 只) ；在n 维空间的有界区域q + r 内求方程 l 。u e ( x ) = ，( z ) ，z = ( x l ，z 2 ，x n ) q ，( 1 1 ) 在一定边界条件下的解，r 是区域q 的边界 = 0 时摄动问题( 只) 成为退化问题( 岛) ，在q + r 内求方程 l o u o ( x ) = ，( z ) ，z = ( x l ，x 2 ，z 。) q ，( 1 2 ) 在一定边界条件下的解 摄动问题( 足) 的渐近解可写为 他p ) = 咖 ) + 地o ) ， ( 1 3 ) 其中t i ( z ) 与e 无关 令余项j k ( 而e ) = ( 功一t 0 ( z ) 一一q ( z ) ，这里是任意正整数 定义1 1 若展开式( 1 3 ) 在q + r 内一致有效成立，即余项鼢( z ，) 在q + r 内关于z 一致满足r n ( x ，) = d ( + 1 ) ，e 一0 ，则称展开式( 1 3 ) 为( z ) 在 q + r 内的一致有效渐近展开，此时摄动问题称为正则摄动 定义1 2 若摄动问题的解( z ) 当e 一0 时不存在关于变量z 一致收敛的极 限，剐称摄动问题为奇异摄动问题 可见奇异摄动问题比正则摄动问题困难，如果用正则摄动方法处理奇异摄动问 题，必将会产生错误 奇异摄动问题产生于流体力学、弹性力学、量子力学、光学，化学反应、生物学 和最优控制领域【3 4 ，5 8 ，5 9 ，9 2 ，1 3 9 ，1 4 0 ，1 4 3 ，最著名的是流体力学中的高雷诺数 1 2绪论 n a v i e r - s t o k e s 问题 a s ，1 4 3 1 例如p r a n d t l s 边界层方程组就是由n a v i e r - s t o k e s 方程组当雷诺数趋于无穷时导出的，它是n a v i e r - s t o k e s 方程在固体表面附近的简 化。但是问题有更强的奇性 小参数e 在微分方程中出现的形式多种多样，其中小参数s 包含在微分方程的 高阶导数项是人们最关心的情况 定义1 3 最高阶导数项含有小参数的奇异摄动问题属于边界层型奇异摄动问 题 若无特殊说明。奇异摄动问题一般是指边界层型奇异摄动问题，本文主要讨论 的也是这类问题 边界层型奇异摄动问题由于小参数在微分方程的最高阶导数项，当s o 时 方程或者降阶或者改变类型方程降阶是指方程降低阶数如从二阶降为一阶，方程 改变类型是指方程从一种类型退化为另外一种不同的类型，如椭圆型方程当小参数 一0 时退化为抛物型方程总之奇异摄动问题将失去部分或全部定解条件，导致 边界层现象，问题的解作为小参数的函数，在失去定解条件的边界附近。即所谓 的边界层区域内变化很大，具有边界层奇性( 参考图2 6 - 图2 9 ) 奇异摄动问题最早的研究者是p r a n d t l 1 0 1 1 ，他在1 9 0 5 年t h et h i r di n t e r - n a t i o n a lc o n g r e s so fm a t h e m a t i c i a n si nh e i d e l b e r g 上提出了著名的文章f l u i d m o t i o nw i t hv e r ys m a l lf r i c t i o n 。然而。奇异摄动这一名词的首次出现是由 f r i e d r i c h s 3 4 在1 9 4 6 年提出的 在我国，许多科学家对奇异摄动理论和应用作出了重要的贡献，如钱伟长【1 3 9 在1 9 4 8 年解圆板大挠度问题时，开创了现在称为合成展开法的重要方法；郭永怀 【6 1 l 在1 9 5 3 年把p o i n c a r d - l i g h t h i l l 方法应用到有边界层效应的粘性流问题，钱学 森【1 1 7 在1 9 5 6 年深入阐述该方法重要性时称之为p l k 方法i 还有林家翘【6 5 】在 1 9 5 4 年对双曲型微分方程问题提出了被称为解析特征法的奇异摄动理论 奇异摄动问题的解一般无法求出，处理奇异摄动问题的方法之一是渐近解法 渐近解法的研究已有6 0 多年的历史，有大量的文献和专著【3 8 ，4 2 ，1 4 2 ，著名的有 l y u s t e r n i k - v i s h i k 方法( 亦称为边界层校正法) 和匹配方法，还有多重尺度法等 奇异摄动问题的数值解法比渐近解法更加直接有效，特别是计算机技术快速发 展的今天，数值解法显得非常重要随着奇异摄动问题的广泛应用和工程技术的迫 切需要，奇异摄动问题的数值解法越来越受到学术界的广泛关注，在计算数学，应 用数学和力学等领域众多研究者的共同努力下，这领域得到快速发展，尤其是近 二十年来取得许多好成果，奇异摄动问题已经成为国际上科学界研究的热门课题 厦门大学博士学位论文 3 在传统的数值方法中，数值解u 与精确解u 按范数i 误差估计常表达为 u 一“j | s l 呻，( 1 4 ) 其中是网格剖分数目，p 是收敛阶，常数己与精确解u 及其导数有关 在奇异摄动问题中，小参数0 1 ，传统的数值方法得不到令人满意的计 算结果这主要原因是奇异摄动问题的精确解的k 阶导数往往是d 0 ) ，因 此当小参数一0 时，式( 1 4 ) 中的常数l 趋于无穷大，这就要求网格捌分数目很 大，随着小参数的变小，阿格割分数目要相应增大，这种计算方法是不合实际要 求的因此人们更注重于与小参数无关的收敛方法，即所谓的一致收敛方法( 参 考 9 2 1 页1 2 ) 定义1 4 一致收敛( e - u n i f o r mc o n v e r g e n e e ) 设魄是奇异摄动问题的准确解，玩是的个数值逼近，若存在与小参数 和网格剖分数目无关的正整数、c 和p ，使得当网格剖分数目n n o 时，以与的差按某一范数满足 以一魄| i c 1 ，( 1 5 ) 则称数值解以为p 阶一致收敛0 一致收敛) 于，p 是e 一致收敛阶，c 是 一致误差常数 式( 1 5 ) 中的范数一般为最大逐点误差，即 i l 以一i l = m 8 蔓i u e ( x i ) 一以) i ， ( 1 6 ) q n ： 其中- - s k v = z o ，z 1 ，z ) 注1 1 本文的e 是指远远小于1 的正的小参数。即0 0 ，( 1 8 ) 在譬= 0 处失去一个边界条件，即在z = 0 附近产生边界层现象k e l l o g g 4 1 】在 等距网格上构造了拟合因子法 rl ，u e ( x , ) = e 盯铲以( 戤) + n ( 盈) d 0 以( 墨) + b ( x i ) v e ( x , ) r ，r n 、三! ( 黎0 汉 ( 1 9 ) 1 以( o )= ( o ) ， 卜。7 【以( 1 )= 魄( 1 ) ， 其中铲以慨) = 鲥妣止型磐世必，d o 以( 戤) = 到臼止2 h _ 旦虹尘， 拟合因子盯= ! 学c d 砘驾产或盯= 譬c d 饶磐，h 是等距网格的步长 拟合因子法是一阶一致收敛然而拟合因子法不容易推广到高维问题。近年来 研究工作进展缓慢 奇异摄动问题在边界层内变化剧烈( 参考图2 6 _ 图2 9 ) ，即在边界层内是大梯 度问题，传统的计算方法不能用于计算；而远离边界层则变化缓慢因此采用等距网 格计算这类问题是不合适的【4 3 】。因为边界层的宽度往往很小，网格步长有可能一 下子就跨过边界层，或者说等距网格方法在边界层内的计算量相当少，无法体会边 界层的性质拟合网格法根据奇异摄动问题的这性质。在边界层区域内加细网格 ( 如采用5 0 的计算量来计算) 。而在边界层外采用粗网格拟合阿格法的思想已经 成为近二十年的主要计算方法之一，目前最普遍的拟合网格法有3 种t b a k h v a l o v 网格法s h i s h k i n 网格法和b a k h v a l o v - s h i s h k i n 网格法 厦门大学博士学位论文 5 1 2 2b a k h v a l o v 网格法 计算方法中对于这类问题常采用两个坐标空间；欲构造的非均匀网格的物理空 间和相应的均匀网格计算空间，通过生成函数建立两个坐标空间的关系为了说明 拟合网格法。引入下面定义 定义1 5 网格生成函数( t h em e s hg e n e r a t i n gf u n c t i o n ) 设妒是【o ，1 】一f o 。1 】严格单调的算子，将均匀网格映射到非均匀网格z 上， 则称映射z = 妒( f ) 是网格生成函数 这样只要在均匀网格上构造合适的网格生成函数就可得到非均匀网格 b a l c h w a l o v 7 第个采用这种方法解决奇异摄动问题如对于奇摄动问题( 1 7 ) ， 边界层在z = 0 。即边界层函数为牡( z ) = e 印( 一等) ，z = 0 对应于 = 1 b a k h v a l o v 网格法的思想是在t = 1 附近采用均匀网格( 车网格) ，通过边界层函数 映射到非均匀网格0 网格) ，即z = 0 处附近的网格点墨定义为 e 印( 一警) 一1 一斋， ( 1 1 0 ) 戤2 一三a i n ( 1 一斋) ( 1 1 1 ) a v b a k h v a l o v 原文【7 】中网格生成函数是 昧，= 缌三端旅叫，；：船 ( 1 1 2 ) 其中a 和r 是可选正数，通常取a = 五1 。r = ；过渡点盯满足 ( ) + ) ( 1 一f ) = 1 ( 1 1 3 ) 考虑到式( 1 1 3 ) 是非线性方程。人们无法得到精确结果，为了克服这一弱点， v u l a n o v i d 1 2 5 ，1 2 6 采用下列网格生成函数来代替式( 1 1 2 ) 中的对数函数 绯) = 驾三a ( 群- - 俐印) ，；：黼 其中过渡点盯满足 u ( 1 ) = 1 由b a k h v a l o v 网格生成函数构造的网格法称为b a k h v m o v 网格法， 为一阶一致收敛，即 i i 以一i i o n ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) 其误差估计 ( 1 1 6 ) 6绪论 1 2 3s h i s h k i n 网格法 目前最流行的拟合网格法是s h i s h k i n 网格法。s h i s h k i n 1 1 1 ，1 1 3 引入个过渡 点将区间分为2 个子区间如对于问题( 1 7 ) ，s h i s h k i n 网格法选取过渡点 盯= m i n t 了e l n n ，尹1 ( 1 1 7 ) 区间【o ，1 】被分为小区间【o ，司和大区间p ，1 】，在这2 个子区间采用等距网格 剖分，各有r n 和( 1 一r ) n 个网格点其中参数r ( 0 ，1 ) 是边界层内的网格剖分 数目与之比，一般取r = 5 0 s h i s h k i n 网格可以认为是由下面的网格生成函 数产生 州= ，；_ ( 1 l n n 叫, 州蔷，；酚( 1 1 8 ) 关于s h i s h k i n 网格法的网格生成函数，可进一步参考r o o s 1 0 4 】m i u e r 9 2 】和 s h i s h k i n 1 1 2 】 简单地说，r = 5 0 时s h i s h k i n 网格是 面= x t x i = 2 i a n , i n 2 ；翰= 黾一1 + 2 ( 1 一a ) n , 2 i ， ( 1 1 9 ) 当盯= 时，s h i s h k i n 网格法是等距的差分格式 s h i s h k i n 网格法巧妙地选取一个过渡点实现了细网格到粗网格的过渡，其误差 估计为 i l 以一i i c n 。f n ( 1 2 0 ) 与b a k h v a l o v 网格法相比，s h i s h l d n 网格法的收敛阶多了因子i n n 也许是这 一原因，s h i s h k i n 网格法开始并没引起人们的注意，直到1 0 年后才引起重视， 如保加利亚边界层和内部层9 8 年国际会议上大部分文章采用s h i s h k i n 网格法 1 2 4b a k h v a l o v - s h i s h k i n 网格法 将上面2 种网格法的基本思想相结合成为b a k h v a l o v - s h i s h k i n 网格法 b a k h v a l o v 网格法需要解非线性方程来确定过渡点，这是b a k h v a l o v 网格法不 容易推广的一面而b a k h v a l o v - s h i s h k i n 网格法直接采用s h i s h k i n 网格法的过渡 点盯= m 伽 5 警，i ) ，在大区间p ，1 】采用等距网格剖分，有( 1 一r ) n 个网格点； 在小区间【0 ，卅有r 个网格点，使得戤( o i r n ) 的i 是满足e - 警的线性函 数关于b a k h v a l o v - s h i s h k i n 网格法的网格生成函数，可参考t l