（计算数学专业论文）状态受限最优控制问题的谱方法.pdf

d i ss e r t a t i o nf o r d o c t o rd e g r e e ，2 0 l 巾 i i l lll 1 iti l ll lll l u l y 18 4 712 4 s c h 0 0 lc o d e ：10 2 6 9 s t u d e n ti d ：5 2 0 7 0 6 0 l o l 4 e a s tc h i n an o r m a l u n i v e r s i t y t h e s p e c t r a lm e t h o d s f o ro p t i m a l c o n t r o ip r o b l e m sw i t hc o n s t r a in t so n s t a t e d e p a r t m e n t ： m a t h e m a t i c s m a j o r ： s u b j e c t ： t u t o r ： a n t h o r ： n u m e r i c a lm a t h e m a t i c s n u m e r i c a la n a l y s i sf o rp d e s p r o f d a n p i n gy a n g j i a n w e iz h o u jl a n w e l1 1 0 u s e p t e m b e r2 0 10 s h a n g h a i 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文状态受限最优控制问题的谱方法，是在华 东师范大学攻读硕士恁( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作 及取得的研究成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发 表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作 了明确说明并表示谢意 作者签名：! 塾坦日期：砷年 ， 月7 1 ，日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 状态受限最优控制问题的谱方法系本人在华东师范大学攻读学位期间在 导师指导下完成的硕士搏( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范 大学所有本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管 部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的印刷版和电子 版；允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学 位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题 和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文 本学位论文属于。( 请勾选) () 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密学位论文木， 于年月日解密，解密后适用上述授权 本人签名：! 必 仞厶年i 月；日 事“涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过 的学位论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未 经上述部门审定的学位论文均为公开学位论文此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适 用上述授权) 周建伟博士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 马和平教授上海大学主席 陈文斌教授复旦大学 王元明教授华东师范大学 ，自、职教授华东师范大学 刘永明教授华东师范大学 摘要 摘要 偏微分方程最优控制问题的理论分析和数值方法一直是一个非常活跃的研究 领域虽然关于采用有限元方法分析控制变量受限的最优控制问题已经有了大量很 好的成果，但是，目前关于控制变量受限最优控制问题采用谱方法进行分析的研究 工作还很少，文献 3 2 】就控制变量积分受限型最优控制问题的谱方法分析进行了讨 论最近，一些学者开始考虑状态变量受限的最优控制问题这类最优控制问题在实 际问题中会经常遇到，但是非常难处理目前，大多文献都是采用有限元方法分析状 态变量受限的最优控制问题就作者所知，目前关于状态变量受限最优控制问题谱 方法分析的研究工作还很少 本文研究了状态变量积分受限最优控制问题的谱方法分析为了能在形式上便 于说明我们的方法和技巧，我们仅选择了以p o i s s o n 方程和双调和方程为状态方程 的两大类，当然，本文的方法和结论可以推广到一般的模型问题文章讨论了先验误 差估计和后验误差估计，给出了有效的梯度投影算法，并证明了其收敛性 文中通过利用l e g e n d r e 多项式的正交性就一维p o i s s o n 方程模型给出了较 3 8 】改 进型的后验误差估计子，我们推导出该后验误差估计子的显式表达式，这样为工程 问题中的实际应用提供了极大的便利特别地，我们给出的后验误差估计子中不包 含数值解的信息，只依赖于模型问题中方程的右端项按照l e g e n d r e 多项式展开系数 中的两项，并构造了p 一有限元方法的离散格式和相应的后验误差估计子 采用相似的技巧和方法，根据二维离散空间基函数的特点，我们同样得到了二 维空间中p o i s s o n 方程的显式后验误差估计子，在该后验误差估计子的显式表达式 中，仅包含模型问题状态方程的右端项按照l e g e n d r e 多项式展开系数中的四项( 事 实上，因为对称性只是三项) ，并就二维空间q b p o i s s o n 方程的p 一有限元方法给出了 离散格式及显式后验误差估计子 由于最优控制问题日益得到重视，其中大多数的文献都是采用有限元方法进行 分析如果模型问题的解具有任意光滑性，通过选择适当的谱方法就可以得到”谱精 度”，因此，我们研究了最优控制问题的谱方法分析我们给出了一维空间中状态变 量积分受限最优控制问题的谱方法分析，得到了状态变量积分受限最优控制问题的 最优性条件，讨论了相应的先验误差估计和后验误差估计，构造了近似等价的后验 误差估计子，并得到其显式的表达式 摘要 在工程应用中，有很多的模型方程可以用双调和方程来描述，因此，对于以双调 和方程为状态方程的状态变量积分受限最优控制问题如何采用谱方法来离散是我 们必须考虑的问题，利用k k t 条件，我们证明了该模型问题的最优性条件此外，在 讨论了相应的先验误差估计的同时，我们构造了有效的梯度投影算法，并证明了该 算法的收敛性 同样地，在很多的控制问题模型中，我们经常会遇到包含状态变量的二阶导数 项的目标泛函，因此，如何保证得到该项的高精度逼近在状态方程的数值模拟中显 得尤为重要混合有限元方法是通过引入中间变量来提高梯度项的逼近精度，类似 地，我们在进行谱方法分析的过程中也引进辅助变量来构造混合元谱方法从而，我 们采用混合元谱方法分析以双调和方程为状态方程的状态变量积分受限最优控制 问题，我们得到了相应的最优性条件及先验误差估计，并构造有效的梯度投影算法， 讨论了该算法的收敛速度 我们通过具体的数值算例验证了上述理论的正确性 关键词：谱方法，l e g e n d r e 多项式，最优控制问题，状态受限，先验误差估计，梯度投 影算法，后验误差指示子 a b s t r a c t a b s t r a c t t h e mi sa r ta c t i v ea n da t t r a c t i v ea r e ao ft h er e s e a r c ha b o u tt h e o r e t i c a la n a l y s i sa n d n u m e r i c a lm e t h o d sf o rt h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m sg o v e r n e d b yp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a l t h o u g ht h e r ea r el o t so fr e s e a r c ha b o u tt h ec o n t r o lc o n s g a i n e do p t i m a lc o n t r o l p r o b l e m sw i t hf i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ，n o tw i t ht h es p e c t r a lm e t h o d s i n 【3 2 ，t h ea u t h o r s i n v e s t i g a t e dt h ec o n t r o li n t e g r a lc o n s t r a i n e do p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m s r e c e n t l y , m a n yr e - s e a r c h e r sc o n c e r na b o u tt h es t a t ec o n s t r a i n e do p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m s ，w h i c ha r em e ti n a p p l i c a t i o n s ，b yt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d s h o w e v e r ，t ot h ea u t h o r sk n o w l e d g e ，i ts e e m s t h a tt h e r ea r ef e ww o r k sh a v eb e e nm a d et os y s t e m a t i c a l l yd i s c u s ss p e c t r a lm e t h o d sf o r t h e s ep r o b l e m s t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e st h es t a t ec o n s t r a i n e do p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m sw i t hs p e c t r a lm e t h o d s f o rs i m p l i c i t y , w ec h o o s et h ep o i s s o ne q u a t i o na n dt h ef i r s tb i h a r m o n i c e q u a t i o na st h es t a t ee q u a t i o n s o b v i o u s l y , t h es a m et e c h n i q u e sa n dc o n c l u s i o n sc a nb e e x p a n d e dt og e n e r a lm o d e lp r o b l e m s w ef o c u so nt h ea p r i o r ie r r o re s t i m a t e sa n da p o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t e s ，s p e c i a l l y ，ag r a d i e n tp r o j e c t i o na l g o r i t h ma n di t sc o n v e r g e n t p r o p e r t ya r ei n v e s t i g a t e d w i t ht h eo r t h o g o n a lp r o p e r t yo ft h el e g e n d r ep o l y n o m i a l s ，w eg e ta ni m p r o v e da p o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t o rt o 【3 8 1 ，w h i c hi sg i v e nw i t he x p l i c i tf o r m u l a t i o n s t h e n ，t h ee x p l i c i te r r o re s t i m a t o ri sc o n v e n i e n tf o re n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s e s p e c i a l l y , t h ei m p r o v e d a p o s t e r i o r ie l t o re s t i m a t o ro n l yd e p e n d so nt h ef i g h th a n ds i d ei t e mi nt h es t a t ee q u a t i o n i nf a c t ，t h e r ea r et h et w oc o e f f i c i e n t so ft h el e g e n d r ee x p a n s i o n s i m i l a r l y , w ed i s c u s s t h ep 。v e r s i o nf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa n di t sa p o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t o r a c c o r d i n gt ot h ep r o p e r t yo ft h e b a s i sf o rt w o d i m e n s i o na n dt h eo r t h o g o n a lp r o p e r t y o fl e g e n d r ep o l y n o m i a l s ，w es t u d yt h ep o i s s o ne q u a t i o ni nt w o d i m e n s i o na n dd e d u c et h e e x p l i c i tap o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t o r , w h i c hd e p e n d so nf o u ri t e m so ft h ec o e f f i c i e n t sf o r t h el e g e n d r ee x p a n s i o n ( w i t ht h es y m m e t r i cp r o p e r t y , t h e r ea r eo n l yt h r e ei t e m s ) e a s i l y , w eg e tt h ed i s c r e t ef o r m u l a t i o nf o rp - v e r s i o nf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa n dt h ee x p l i c i t f o r m u l a t i o nf o rt h eap o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t o ri nt w o d i m e n s i o n a ld o m a i n 。 t h e r ea r el o t so fw o r k sa p p l y i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o d st oa p p r o x i m a t et h ef a s h i o n a b l eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m s o b v i o u s l y , i ft h ei n i t i a ld a t aa r es u f f i c i e n ts m o o t h ，w ec a l l c h o o s es u i t a b l es p e c t r a lm e t h o d st oo b t a i n s p e c i a la c c u r a c y ”s o ，w ei n v e s t i g a t et h e 一1 1 1 a b s t r a c t o p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m sw i t hs p e c t r a lm e t h o d s f i r s t l y , w es y s t e m a t i c a l l ya n a l y z es t a t e i n t e g r a lc o n s t r m n e do p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m si no n e - d i m e n s i o n w ed e d u c et h eo p t i m a l c o n d i t i o n s ，t h eap r i o r ie r r o re s t i m a t e sa n dt h ea p o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t o rw i t he x p l i c i t f o r m u l a t i o n s i ne n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s ，t h es t a t ee q u a t i o n sc a nb ed e s c r i b e db yt h ef i r s tb i h a r m o n i ce q u a t i o n s s o ，i ti st h ep o i n tf o ru st o i n v e s t i g a t es t a t ei n t e g r a lc o n s t r m n e d o p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m ss u b j e c t i n gt ot h ef i r s tb i h a r m o n i ce q u a t i o n s w i t ht h eh e l po f k k tc o n d i t i o n s ，w ed e c l a r et h eo p t i m a lc o n d i t i o n se a s i l y m o r e o v e r , w ei n v e s t i g a t et h ea p r i o r ie r r o re s t i m a t e sa n dd e r i v ea ne f f i c i e n tp r o j e c t i o ng r a d i e n ta l g o r i t h m ，s p e c i a l l y , w e d i s c u s st h ec o n v e r g e n c eo ft h ea l g o r i t h m i nm a n y o p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m s ，t h eo b j e c t i v ef u n c t i o n si n c l u d et w o o r d e rd e r i v a - t i v eo ft h es t a t ev a r i a b l e s t h e n ，h o wt oe n s u r eah i g ha c c u r a c yo ft h i si t e mi st h ek e y p o i n ti nn u m e r i c a la p p r o x i m a t i o nf o rt h es t a t ee q u a t i o n s a sw ea l lk n o w n ，t h em i x e d f i n i t ee l e m e n tm e t h o d si n t r o d u c ea l li n t e r v e n i n gv a r i a b l et oe n h a n c et h ea c c u r a c yo f 印一 p r o x i m a t i o nf o rg r a d i e n ti t e m f o l l o w i n gt h es a m ei d e a l s ，w ei n t r o d u c ea l la u x i l i a r yv a r i a b l et oc o n s t r u c tm i x e ds p e c t r a lm e t h o d st oi n v e s t i g a t es t a t ei n t e g r a lc o n s t r a i n e do p t i m a l c o n t r o lp r o b l e m sw i t ht h ef i r s tb i h a r m o n i ce q u a t i o n w ed e r i v et h eo p t i m a lc o n d i t i o n s ，a p r i o r ie r r o re s t i m a t e sa n da ne f f i c i e n tg r a d i e n tp r o j e c t i o na l g o r i t h m ，e s p e c i a l l y , w eo b t a i n t h ec o n v e r g e n tr a t eo ft h ea l g o r i t h m ： w e p e r f o r mn u m e r i c a le x a m p l e st oc o n f i r mo u rt h e o r e t i c a lr e s u l t s k e yw o r d s ：s p e c t r a lm e t h o d s ，l e g e n d r ep o l y n o m i a l ，o p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m ，s t a t e c o n s t r a i n e d ，ap r i o r ie r r o re s t i m a t e ，g r a d i e n tp r o j e c t i o na l g o r i t h m ，ap o s t e r i o r ie r r o re s t i - m a t o r l v i：l，if 目录 目录 摘要 i a b s t r a c t i i i 目录v i 第一童前言1 1 1 研究背景和现状1 1 2 基石 b 知识4 1 3 本文的结构及创新点j 6 第二章一维p o i s s o n 方程的谱方法和p 一有限元方法 8 2 1 模型问题和g a l e r k i n 潜方法离散8 2 2 改进型后验误差估计1 0 2 3 p 一有限元方法o 一1 5 2 4 数值算例：1 7 2 5 结论一1 8 第三章一维状态积分受限最优控制问题的谱方法1 9 3 。l 模型问题的最优性条件和谱方法离散1 9 3 2 先验误差估计2 2 3 3 后验误差f l i 计2 8 3 4 数值算例3 6 3 5 结论3 7 第四章二维p o i s s o n 方程的谱方法3 8 4 1 模型问题及g a l e r k i n 谱离散3 8 4 2 后验误差估计3 9 4 3 p 一有限乡方法4 3 4 4 数值算例4 5 4 5 结论4 6 第五章双调和方程状态变量积分受限最优控制问题的谱方法4 7 5 1 最优控制问题模型及其谱方法离散4 7 5 2 模型问题的最优性条件5 l 5 3 先验误差估计5 3 一v 一 目录 5 4 梯度投影算法5 6 5 5 数值算例6 1 5 6 结论6 4 第六章双调和方程状态变量积分受限最优控制问题的混合元谱方法6 5 6 1 最优控制问题模型及其混合元谱方法分析6 5 6 2 梯度投影算法7 2 6 3 先验误差估计7 9 6 4 数值算例8 9 6 5 结论9 2 参考文献9 3 在学期间的研究成果1 0 2 致 射1 0 3 第一章前言 第一章前言弟一早刖百 1 1 研究背景和现状 数学的一个主要任务就是对各个应用领域中出现具体的问题给出恰当的数学 模型，通过设计高效的数值算法去求解给定的模型问题显然，对特定的模型问题， 选择什么样的数值方法能达到最好的效果是我们必须考虑的事情 近年来，谱方法、有限差分法和有限元方法一起成为偏微分方程数值求解 的重要方法谱方法从出现到现在已经走了很长的旅途早在1 8 2 0 年，n a v i e r 就 运用双重三角级数求解弹性薄板问题( 四边铰支的长方形薄板问题) ，当时称 之为”n a v i e r 方法”但是，长期以来，它却没有得到大范围的推广和使用，主要 原因是：( 1 ) 计算量大；( 2 ) 基函数难构造直至u 1 9 6 5 年出现了计算离散f o u r i e r 变 换的高效算法快速f o u r i e r 变换( f f t ) ，才给谱方法带来了生机7 0 年代初，出现 了很多研究谱方法计算、应用和算法稳定性的工作到了8 0 年代以后，q u a r - t e r o n i 、c a n u t o 、f u n a r o 、g u o 、h u s s a i n i 、m a d a y 等人对谱方法从理论上做了系统 的研究和分析( 见 2 7 ，3 0 ，3 6 ，4 1 ，3 9 ，8 5 】) ，对各类投影算子、插值算子给出了在多种 范数意义下的误差估计，并把这些理论应用到一系列的偏微分方程分析中，得到了 较好的结果 最近，g u o ，s h e n ，w a n g 就有界区域以j a c o b i 多项式为基函数的谱方法给出了 详细的理论分析和证明( 见【4 “5 】) ，对于无界区域的情况，g u o ，m a ，w a n g 和z q w a n g 在文献 4 6 ，6 8 1 q b 采用l a g u e r r e 多项式给出了相应谱方法分析h u a ，m a ，l i 给 出了采用多种谱方法离散微分方程的最优阶误差估计及奇异微分方程谱配点法 的收敛性分析( 见 5 3 - 5 5 ，6 9 - 7 1 ) x u 给出了谱方法及谱元法在流体方程中的应 用( 见 1 0 3 1 0 5 ) 在大量的实际应用中，均说明了谱方法是一种高效的数值方法近半个世纪以 来，谱方法得到了蓬勃发展，不仅被广泛地应用于物理、力学、大气、海洋等领域 的数值计算，而且它的理论分析也不断得到发展 不同于有限元方法，谱方法取全局区域上的无穷可微函数作为试探函数( 一 般是奇异s t u r m l i o u v i l l e 问题的特征函数) 根据选择的检验函数空间，谱方法分 为g a l e r k i n 谱方法( 谱方法) 、t a u 方法和配点法( 拟谱方法) g a l e r k i n 谱方法的检验函 数空间和试探函数空间取为相| 一的离散空间，并且要求相应的基函数满足原问题 的边界条件；t a u 方法对检验函数空间的基函数不要求满足原问题的边界条件，而是 利用原问题的边界条件引入相应的方程；配点法的检验函数取为以配置点为中心 第一章前言 的j 函数，仅要求原问题在配置点上精确成立 按照原问题是否具有周期性，又把谱方法分为以下几类：如果原问题是 周期的，则称为f o u r i e r 谱方法，并以三角函数为基函数；如果原问题不具有周 期性，根据基函数的选择可分为c h e b y s h e v 谱方法( 以c h e b y s h e v 多项式为基函 数) 、l e g e n d r e 谱方法( 以l e g e n d r e 多项式为基函数) 、h e r m i t e 谱方法( 以h e r m i t e 多 项式为基函数) 、l a g u e r r e ( 以l a g u e r r e 多项式为基函数) 等由于研丌技术的出现 和c h e b y s h e v 多项式与三角函数间的关系，人们对更倾向于c h e b y s h e v 谱方法的研究 但是，其权函数的弱奇性不利于理论分析 谱方法的最大魅力是它具有”无穷阶”的收敛性，即：如果原方程的解无穷光滑， 那么用适当的谱方法所求得的数值解将以- 1 的任意幂次速度收敛到精确解，这里 的为所选取离散空间基函数的个数这一优点是有限差分法和有限元方法无法比 拟的，众多的实际应用和数值算例也证实了该方法的有效性，因此，谱方法日益得到 人们的重视 为了能得到无穷阶的收敛速度，就需要原问题的解充分光滑，这又使得谱方法 具有很大的局限性其不足之处体现在：( 1 ) 要求原问题解具有高正则性；( 2 ) 要求区 域较规则，通常是乘积型区域有很多的文献在讨论如何克服这些难题，并得到了一 些较好的结果，如文献 7 8 】对于非光滑初值进行了分析和研究，文献 1 3 1 将有限元方 法与谱方法结合提出了谱元素方法，这样也削弱了对区域的要求，还有很多学者把 区域分解方法和谱方法结合，都得到了较好的结果 目前，谱方法虽然在理论研究方面已经取得了一些新的进展，但还不是很完善， 还有很多的问题需要进一步地研究 最优控制是使控制系统的性能指标实现最优化的方法，可概括为：对一个受控 的系统，从已有的控制方案中找出一个最优的控制方案，使给定的系统从初始状态 变化到给定状态后，性能指标值达到最优从经济意义上理解，是在一定的条件下， 使经济效益达到最大( 如产值、利润) ，或者在完成规定的生产或任务下，使投入的 资源最少这类问题大量的存在于科学技术领域和现实社会中，如晶体生长、材料 设计、航天器飞行轨道及着陆和最优形状设计等等 以偏微分方程为状态方程的最优控制问题是指给定的某一个优化系统必须满 足指定的偏微分方程，用数学的观点来看，很多的工程问题，如环境科学，地球科学， 医药学，大气科学等等，都能用以某个偏微分方程为状态方程的最优控制问题来描 述 我们可以通过设计恰当的数学模型去描述航天、金融、工程、医药等应用领 域中的问题，但是，在要求遵循人们设定模式前提下如何选择最优的途径去实现，成 一2 一 第章前言 为我们不得不面对的问题 从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不 等式的条件下，使系统的目标函数( 泛函) 达到最值( 最大值或最小值) 以偏微分方程 为状态方程的最优化问题是指我们的极小化模型系统满足给定的偏微分方程 在近三十年来，最优控制问题的数值方法一直是一个非常吸引人的研究领域， 关于这个问题可以参阅相关的专著 5 2 ，6 3 ，7 9 1 虽然关于采用有限元方法分析控制 变量受限的最优控制问题已经有了大量很好的成果，但是，目前关于控制变量受限 最优控制问题采用谱方法进行分析的研究工作还很少，最近，文献 3 2 】就控制变量 积分受限型最优控制问题的谱方法分析进行了讨论由于状态变量受限的最优控制 问题在实际模型中经常出现，所以一些学者开始考虑这类问题目前，大多采用有限 元方法分析状态变量受限的最优控制问题，其中包括状态变量点态受限问题，该问 题的约束形式：y 7 ，相关的细节请参阅 1 8 ，2 1 ，2 4 ，3 4 ，c a s a s 在 2 1 】中证明了在一 定条件下，l a g r a n g e 乘子在测度意义下的存在性：对于单纯的状态变量受限问题，乘 子是一个r a d o n 钡l j 度 然而在实际的工程应用问题中，人们更关心如何控制状态变量的平均值或者能 量范数，例如，在流体力学中，我们希望控制流体的浓度或者流体的动能在数学上 来说，本质上是对状态变量提积分类型的约束条件，类似地，也存在很多其它类型的 约束条件，如l 2 一范数约束，日l _ 范数约束等等 近些年来，一些学者在关注这类状态变量受限最优控制问题问题的数值方法 在 9 7 】中，t i b a 和t r o l t z s c h 使用不精确的罚方法研究了以抛物方程为状态方程，状 态变量积分受限的最优控制问题对于以半线性的椭圆方程作为状态方程，在有限 个状态变量约束下的最优控制问题，c a s a s 给出了有限元逼近的收敛性证明【2 2 】随 后c a s a s 和m a t e o s 在 2 3 】中扩展了结论：降低了对状态变量的正则性要求，并且也对 半线性分布和边界控制问题的有限元逼近给出了收敛性证明 本篇论文将对几类全局型状态变量受限的最优控制问题采用谱方法离散给出 系统的研究就作者所知，目前关于积分或l 2 范数意义下状态变量受限最优控制问 题谱方法分析的研究工作还很少 在现有的科学文献中，已经有大量关于最优控制问题的快速数值算法的研究 主要有两种方法：一种是着眼于最优性条件，直接求解最优性条件，这种方法通常需 要求解一组偏微分方程另外一种是直接离散原优化问题，使其转化成一个有限维 的问题，然后可以用现有的优化软件求解基于优化算法的思想，我们给出一个简单 有效的梯度投影算法，并且我们证明了该算法的收敛性 一3 一 rr，i 第一一章前言 1 2 基础知识 对于谱方法来说，我们通常选择适当的s t u r m l i o u v i l l e i h 题的特征函数来展开 模型问题所谓s t u r m - l i o u v i l l e 问题是指如下的特征值问题： il “= - ( p u ) + q u = a c l j m ，工( - 1 ，1 ) ， i+ u 的适当边界条件， 系数p ，q ，山是给定的三个实函数，其中u 是权函数，它们分别满足：p 是连续可微的， 在( 一1 ，1 ) 中有正下界，在工= 1 处连续；q 在( 一1 ，1 ) 中是连续的、非负的、有界的； u 在( 一l ，1 ) 上是连续的、非负的、可积的为了寻找到能使得无穷光滑函数按照其 展开时获得谱精度的基函数，我们通过对s t u r m - l i o u v i l l e 问题的研究发现，这类基函 数恰恰是特殊s t u r m l i o u v i l l e 问题的特征函数 正如 4 7 】中的注解，并不是所有的s t u r m - l i o u v i l l e i h 3 题的特征函数都能保证谱 精度下面给出一个反例： l 一“ = , t u ，x ( 一l ，1 ) ， iu 7 ( 土1 ) = 0 ， 其相应的特征值为 = ( 粤) 2 ，对应的特征值函数为咖( 力= c o s ! 雩掣，但是一个光滑 函数在( 一i ，1 ) 上按照余弦函数展开得到谱精度的必要条件是它的所有奇数阶导数 在x = 1 处为零 用正交函数系来逼近任意一个函数是数值计算中常常采用的逼近方法，其中有 两个指标值得关注，那就是逼近的精度和是否便于程序中的实现对充分光滑的非 周期函数，只要选择适当的展开函数就能达到谱精度，当然，这需要我们选择的展开 函数满足特定的边值条件 如果p 在两边界点中的一点上为零，那么我们称s t u r m - l i o u v i l l e 问题为奇异的 显然，如果s t u r m l i o u v i l l e 问题是奇异的，其特征函数就能保证展开式的谱精度，即 对于任意光滑的函数在按照奇异s t u r m l i o u v i l l e 的特征函数展开后能达到谱精度， 并且不需要边界限制值得庆幸的是，奇异s t u r m - l i o u v i l l e 问题的特征函数是多项 式，这使得进行数值积分时十分方便，在程序实现时容易得到高精度的数值积分 在实际计算中，我们通过函数在某些特殊点上的函数值与有限展开系数建立联 系，并且我们常常把这些特殊的点取为满足高精度数值求积公式的节点对某些常 一4 一 第一章前言 用的正交函数系( j z h f o u r i e r 系统、c h e b y s h e v 系统等) 离散变换可以通过快速算法来 实现，对一维情形，其计算量为d l 0 9 2 ) ，其中表示多项式的次数按照矩阵与 向量相乘的规则，则计算量应为d ( 胪) ，所以快速算法要节约很大的计算量 下面我们给出本文中用的l e g e n d r e 多项式：当p 1 - 1 一x 2 ，q = 0 ，叫= 1 时，显 然此时p ( 士1 ) = 0 ，对应的奇异s t u r m l i o u v i l l e f 司题的特征函数是l e g e n d r e 多项式，记 为 厶( 曲 蔷当f 是偶数时，厶( x ) 是偶函数；当f 是奇数时，厶( 工) 是奇函数，并满足： l i + 1 ( 力= 等圳垆丽i 如l ( 曲， 其中岛( 曲= 1 ，l l ( x ) = 五l e g e n d r e 雾；项式具有以下特性： i l i ( 圳 l l 掣，趣删， ) _ ( 毗驰1 ) - ( 1 ) 半， 工：l z ( x ) 岛( 工) 出= ( f + 三) 一1 妨， ( 2 i + 1 ) l i ( x ) = l ，+ l ( 曲一l i t _ l ( 力，i 0 ，l - i ( x ) = 0 对于任意“l 2 ( j f ) ，记z l 关于 厶( 曲 蔷的展开式为 础)=艺i旭(曲，拈(f+矩删缃溉=0 一u l g a u s s l o b a t t o 求积公式的求积节点与权： x o = - 1 ，x n = 1 ，碥( x j ) = 0 ( j = 1 ，2 ，n 一1 ) ， t o j = 而k l ，j f ：0 1 ，( l而n ( x j ) ) 2 ，2 u 1 那么，对y p 致l ，数值积分精确成立 在本文中，我们考虑状态变量积分受限的最优控制问题的模型如下： 一5 一 ，r ，地 2 r厶l 竺列讹 + 叽 、， m 卸 1 一 旷 yr如g 1 2 n l i i y ： j = “ y m 缈 彩 第一章前言 其中a 表示微分算子目标泛函，度量了从初始状态到目标状态的变化，正常数( 罚参 数) a 用来调整目标泛函中两项的比重，第二项表征了成本的大小 状态变量空间记为y ，控制变量空间记为【，假设对所有的u u ，状态方程存在 唯一解y = y ( u ) v 记s ：“( u ) 卜y ( e1 , d 为原状态方程的解算子，i 故y ( u ) = s ( “) 文中讨论的最优控制问题概述为：在所有的( 1 l ，y ) xk 中，寻找最优的u ， 使得( 矿，y ( u + ) ) 能使得目标泛函j ：uxvhr 极小，cu 是控制变量的约束集， kcv 是状态变量的约束集从而，最优控制问题即可描述为： ( 汐) y ) m i u n x y 地_ ) ，) 砒 y = s u ，( “，y ) k 我们讨论状态变量受限的最优控制问题，那么我们定义问题( 汐) 的约束集为： 呸玩耐圭 “u a a ：y = s u k 另外，我们可以利用状态方程把状态变量用控制变量表示：y = s u ，那么状态变量受 限的最优控制问题就可以转化为控制变量受限的最优控制问题： ( 汐) m i n 反“) ， “z 钿 其中只h ) 圭j ( u ，s u ) 我们始终假设铭d 非空，即 蜘使得如= s 蜘， 且是u 中的闭凸集因此，如果解算子s 具有适当的性质，并且目标泛 函以“) 在上是强制的，则最优控制问题( 汐) 存在唯一解，证明过程详见【5 9 】 1 3 本文的结构及创新点 本篇论文主要是对几类全局型状态变量受限的最优控制问题及状态方程采用 谱方法离散给出系统的研究本论文共分为六章 第