（计算数学专业论文）多小波的平衡性理论及其应用.pdf

中山大学博士学位论文：多小波的平衡性理论及其应用 论文题目： 专 业： 博士生： 指导教师： 多小波的平衡性理论及其应用 计算数学 江力 关履泰教授 摘要 本论文首先基于不规则小波框架的稳定性理论，结合不规n ) j n 权小波框架算子，提出 了非均匀采样信号重建的不规则加权小波框架共轭梯度算法，并进行了数值仿真实验， 和目前已有的较好的同类重构算法进行了比较，结果显示新算法在逼近误差与重构速度 等方面有较大优势；与单小波相比较，已有的成果表明多小波可同时满足对称性、紧支 撑性、高阶消失矩和正交性等性质，这使多小波在信号处理等应用方面比单小波更有优 势，因此，在已有的多小波理论研究成果的基础上，我们接着研究了尺度因子等于a 的 多尺度函数有m 逼近阶的时域条件与有m 平衡阶的时频域条件，通过例子对理论结果进 行了验证。特别地，研究了a 尺度a 重紧支撑插值正交多尺度函数的逼近性与平衡性之 间的关系，即a 尺度a 重紧支撑插值正交多尺度函数的平衡阶与逼近阶是相同的；并基 于插值正交多小波的采样性质及图像的多小波变换后保留了图像的全局结构特征和高频 信息等特点，利用插值正交多小波分解与重构算法对灰度图像进行了缩放实验，对实验 结果的定量分析说明了这种算法在非实时静态图像的缩放应用中有一定的实用价值；此 外，证明了在尺度因子口与重数? 的乘积为奇数时有相同对称中心的正交滤波器组咒( u ) 是不存在的，对尺度因子a 分别等于3 与4 的情形，根据参数化结果讨论了有相同对称中 心的正交平衡多小波的存在性问题，并对后一情形给出了参数化定理和构造算例。 最后，根据信号经过经验模式分解算法分解之后得到的各个本征模式函数的时频特征 以及噪声的频谱特性，融合经验模式分解与小波闽值滤波去噪算法，我们提出了一种基 于经验模式分解的小波阂值去噪算法，通过仿真实验，从视觉效果和定量分析等方面验 证了算法的有效性与普适性。 关键词：框架，多分辨分析，经验模式分解，多小波，逼近性，平衡性 中山大学博士学位论文：多小波的平衡性理论及其应用 t i t l e ： m a j o r - n a m e ： b a l a n c i n gt h e o r yo fm u l t i w a v e l e t sa n di t sa p p l i c a t i o n s c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s j i a n gl i s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rg u a n l i 2 - t a i ab s t r a c t b a s e do nt h es t a b i l i t yt h e o r yo fi r r e g u l a rw a v e l e tf r a m e ，c o m b i n e dw i t ht h ei r r e g u l a r w e i g h t e dw a v e l e tf r a m eo p e r a t o r ，t h ed o c t o r a ld i s s e r t a t i o np r o p o s e sa l li r r e g u l a rw e i g h t e d w a v e l e tf r a m ec o n ju g a t eg r a d i e n ta l g o r i t h mf o rt h er e c o n s t r u c t i o no fn o n - u n i f o r m l ys a m - p i e ds i g n a lf i r s t l y , a n ds o m en u m e r i c a ls i m u l a t i o ne x p e r i m e n t sh a v eb e e nd o n e ，c o m p a r e d w i t ht h eb e t t e rc o n g e n e r i cr e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m ，t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o w st h a t t h en e wa l g o r i t h mh a sm o r ea d v a n t a g e si nr e d u c i n gt h ea p p r o x i m a t i o ne r r o ra n dq u i c k e n i n g t h es p e e do fr e c o n s t r u c t i o n h o w e v e r ，c o m p a r e dw i t ht h es i n g l e - w a v e l e t ，t h ek n o w n r e s u l t ss h o wt h a tm u l t i w a v e l e t s s h a r ep r o p e r t i e so ft h es y m m e t r y 、c o m p a c t l ys u p p o r t 、h i g h e rv a n i s h i n gm o m e n t 、a n do r - t h o n o r m a l i t ye t c ，w h i c hl e a d st os o m ea d v a n t a g e si ns i g n a lp r o c e s s i n g t h e r e f o r e ，b a s e d o nt h ek n o w nt h e o r i c a lr e s e a r c hr e s u l t so fm u i t i w a v e l e t s ，t h ed i s s e r t a t i o ns t u d i e st h et h e o r y o fa p p r o x i m a t i o na n db a l a n c i n gt h e o r yo fo r t h o n o r t m a lm u l t i w a v e l e t sw i t hs c a l ef a c t o ri s e q u a lt oa s o m ee x a m p l e sa r eg i v e nt os u p p o r tt h et h e o r i c a lr e s u l t s e s p e c i a l l y , t h ed i s s e r - t a t i o ns t u d i e st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ea p p r o x i m a t i o no r d e ra n db a l a n c eo r d e ro ft h e c o m p a c t l ys u p p o r t e di n t e r p o l a t i n go r t h o n o r m a lm u l t i w a v e l e sw i t hs c a l ea n dm u l t i p l i c i t ya l l a r ee q u a lt oa ，i e ，t h ec o m p a c t l ys u p p o r t e di n t e r p o l a t i n go r t h n o r m a lm u l t i s c a l i n gf u n c - t i o nw i t hs c a l ef a c t o ra n dm u l t i p l i c i t ya l la r ee q u a lt oah a st h es a m eb a l a n c eo r d e ra n d a p p r o x i m a t i o no r d e r ；b e n e f i t e df r o mt h ei n t e r p o l a t i n go r t h o n o r m a lm u l t i w a v e l e t s s a m - p i i n gp r o p e r t i e sa n dt h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h em u l t i w a v e l e t st r a n s f o r m a t i o no fi m a g et h a t c a nr e s e r v eg l o b a ls t r u c t u r a lc h a r a c t e r i s t i ca n dh i g h e rf r e q u e n c yi n f o r m a t i o no fi m a g e ，a n a l g o r i t h mf o rg r a yi m a g ez o o m i n gb a s e do ni n t e r p o l a t i n go r t h o n o r m a lm u l t i w a v e l e t sd e - c o m p o s i t i o na n dr e c o n s t r u c t i o ni sp r o p o s e d ，t h eq u a n t i t a t i v ea n a l y s i so ft h ee x p e r i m e n t a l r e s u l t ss h o w st h a tt h ea l g o r i t h mi so fs o m ep r a c t i c a lv a l u ei nt h ea p p l i c a t i o no fn o n r e a l t i m e s t a t i ci m a g ez o o m i n g ；b e s i d et h e s e ，t h ed i s s e r t a t i o np r o v e dt h a tt h e r ed o e sn o te x i s ta n o r t h o g o n a lm u l t i c h a n n e lf i l t e rb a n kw i t ht h es a m es y m m e t r i cc e n t e ra st h ep r o d u c to ft h e 中山大学博士学位论文：多小波的平衡性理论及其应用 s c a l ef a c t o raa n dm u l t i p l i c i t yri so d d ，a n da c c o r d i n gt ot h ep a r a m e t e r i z a t i o nr e s u l t ，t h e e x i s t e n c eo fo r t h o n o r m a lb a l a n c i n gm u l t i w a v e l e t sw i t ht h es a m es y m m e t r i cc e n t e rf o rt h e s c a l ef a c t o ri se q u a lt o3o r4i sd i s c u s s e d a np a r a m e t e r i z a t i o nt h e o r e ma n dac o n s t r u c t i o n e x a m p l ea u r eg i v e nf o rt h el a t t e rc a s e i nt h ee n d ，a c c o r d i n gt ot h et i m e - f r e q u e n c yc h a r a c t e r i s t i c so fe a c hi n s t r i n s i cm o d ef u n c - t i o np r o d u c e db yt h ee m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o nf o ras i g n a la n dt h ef r e q u e n c ys p e c - t r u mc h a r a c t e r i s t i c so fn o i s e ，b l e n d e dt h ee m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o na n dt h ew a v e l e t t h r e s h o l d i n gf i l t e r i n gd e n o i s i n ga l g o r i t h m ，t h ee m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o nb a s e dw a v e l e t t h r e s h o l dd e n o i s i n ga l g o r i t h mi sp r o p s e d ，t h ev a l i d i t ya n dc o m m o n l ya d a p t i b i l i t yo ft h e a l g o r i t h mi sv e r i f i e db yt h eq u a n t i t a t i v ea n a l y s i sa n de x p e r i m e n t s k e yw o r d s ：f l a m e ，m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ，m u l t i - w a v e l e t s ，a p p r o x i m a t i o no r d e r ，b a l a n c i n go r d e r u 1 论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论 行研究工作所取得的成果。除文中 含任何其他个人或集体己经发表或 出重要贡献的个人和集体，均已在 到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规 权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论 质版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允 图书馆、院系资料室被查阅，有权将学位论文的内容编 行检索，可以采用复印、缩印或其他方法保存学位论文。 学位论文作者签名：钞为 日期：川年厂月7 ，e t 导师 日期 日 进包作识立不究意独文研全，论的完下本文人导，本本 指外对。 的容。明币勾裂示师内果标导的成式在用品方人引作确本明的明是注过以，经写中文已撰文 日月为p必年翳者期作日 有纸校进校和学库学版入据：子进数即电文关了参u11寻，的论有 定文许入 中山大学博士学位论文：多小波的平衡性理论及其应用 第一章绪论 在信息计算科学领域中信号处理特别是图像信号处理发展很快，其中，小波变换与 h i l b e r t - h u a n g 变换理论近期得到广泛的应用。本论文正是针对信号处理特别是图像信号 处理中小波变换与h i l b e r t h u a n g 变换理论及其应用的研究展开的。 1 1 小波分析理论的产生 小波分析是一门迅速发展起来的应用数学的一个重要分支，它包含了丰富的数学内 容，它同时具有理论深刻与应用领域十分广泛的双重意义。它的应用范围包括数学领域 本身的许多学科，以及信号分析、图像处理、量子力学、电子对抗、计算机模式识别、 地震勘探数据处理、音乐与语音人工合成与机械故障诊断等方面。例如数学方面已用于 数值分析、微分方程求解、控制论等；在信号分析方面，信号的分解与重构、去噪声、滤 波等；图像分析与处理方面的图像压缩、残损图像恢复、c t 成像、核共磁成像、彩色复 印；通信方面的信号调制与解调、数字水印的嵌入与提取。世界各国的学者和工程技术人 员都在努力研究它，并已取得了显著的效果。学者们预言，这种技术将把信息工业推向 一个新时代。 自1 8 2 2 年法国数学家约瑟傅里叶( f o u r i e r ) 首先发表“热传导理论论文开始，由 他提出的f o u r i e r 分析方法使数理学科的发展发生了很大的变化。f o u r i e r 分析得到广泛 应用是因为它具有三大优点：一是 e 派z ) 七z 是函数( 或信号) 空间己2 _ 丌，丌】的_ 组正交 基，而f o u r i e r 系数在l 2 【一7 r ，7 r 内完全刻划了厂l 2 f 一丌，7 r 的特征；二是使许多在时域 内难看清的问题在频域内一目了然；三是许多常见运算在f o u r i e r 变换下性质变得很好 ( 例如微商运算变成多项式乘法，卷积变成普通乘法等) 。但傅里叶分析并不完善，它存在 以下不足【l j ：1 ) 在三2 一7 r ，7 r 以外的空间，f o u r i e r 系数的大小并不能刻划出，所在的空 间；2 ) 用傅里叶分析只能获得信号，的整个频谱，而难以获得信号的局部特性，对于突 变信号和非平稳信号难以获得希望的结果。 考虑到f o u r i e r 的利与弊，人们开始寻求新的正交展开系，使其既具有傅里叶分 析的优点，又可弥补傅里叶分析的缺点，于是小波分析就应运而生了。早在1 9 1 0 年 h a a r h 建立了历史上的第一个小波：h a a r 小波，自h a a r 小波建立后的几十年里，数 学工作者又建立了许多小波，但小波的概念首先由地球物理学家j m o r l e t 等在处理地 震数据时引进的【卜川，并在信号分析中获得了成功，他们的杰出结果吸引了法国数学家 y 。m e y e r 的注意，他从理论上对小波作了系列的研究。1 9 8 5 年，y m e y e r 成功地构 造了正交小波基1 9 8 7 年，t c h a m i t c h i a n 构造了第一个双正交小波基b a t t l e 1 0 j 在 1 9 8 7 年、l e m a r i e 1 1 j 在1 9 8 8 年运用不同的方法构造了具有指数衰减和任意有限阶可导 1 中山大学博士学位论文：多小波的平衡性理论及其应用 的正交小波基；后来，s m a u a t 与y m e y e r 在总结前人工作的基础上将计算机视觉领域 内的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨分析的概念，为小波基的构造 提供了一个好的框架l 比j 纠。1 9 8 8 年，i d a u b e c h i e s 运用多分辨分析构造了光滑的紧支 撑正交小波基【上4 j 1 9 9 0 年，c k c h u i 等基于样条函数构造了半正交小波基及其对偶半 正交小波基【均，埘j ；1 9 9 2 年，a c o h e n 等构造了具有紧支撑的双正交小波基1 1 7 ，坫j ；1 9 9 4 年，a c o h e n 等构造了有限区间上的正交小波基和双正交小波基i 埘】；2 0 0 1 年，李建平等 提出了一种小波滤波器的统一解析构造方法pu | 。正是众多数学家、学者的不断努力，小 波分析的发展已进入了一个新的里程。 如前所述，早期小波分析的发展历史就是小波基的发展历史。这是因为小波基有许多 优美的性质，例如，小波基不仅仅是2 僻) 空间的正交基，而且还是许多重要的函数空 间的无条件基【虬j 。此外，小波尺度函数和小波基函数具有时频局部性，对信号的高频成 分采用逐渐精细的时域或空域取样步长，可以聚焦到对象的任一细节，解决了t m r i e r 变 换不能解决的许多困难问题，正是小波变换的这一“变焦距”特性使得小波变换被誉为 “数学显微镜”，成为调和分析发展史上里程碑式的进展，除此之外，小波基函数还满 足两尺度方程，还有消失矩等，这一系列的特性使小波基无论是在理论上还是在实际应 用中比f o u r i e r 分析中的基f e l b ) 七z 更方便实用。 1 2 多分辨分析 所谓小波基是指如果函数簇 奶，岛( z ) ，j ，k z ) 构成l 2 限) 的基，其中奶，k ( x ) = 2 妒( 2 j x 一七) ，且矽( 。) 满足允许性条件，即 邬：哗必 帆( 1 - 1 ) 则称矽( z ) 为基本小波， 奶，七0 ) ，j ，k z ) 称为l 2 畔) 的小波基。 构造小波基的主要工具是多分辨分析。 定义1 。l1 2 1 】称l 2 ( r ) 的一列闭线性子空间 巧，j z 及一个函数妒( z ) 构成一个多 分辨分析，如果它们满足： 1 ) 巧c 巧q - 1 ，j z 2 ) n j z k = o ) ，呵= l 2 ( r ) 3 ) f ( x ) k = 争f ( 2 x ) 巧+ 1 4 ) f ( x ) = 争f ( x 一詹) v o ，k z 5 ) 存在函数妒( z ) v o 使得 妒( z 一七) ，k z ) 构成k 的r i e s z 基，即存在两个常数 0 a b o ，如果存在常数l ，6 使 弘l ， ( 1 - 6 ) i a n a m i 6 0 ，佗m ( 1 7 ) v q 0 ，记l 2 【一q ，q 】= ，口( 酞) ：s u p p fc 卜q ，q 】。 定义1 3 2 3 】称 e 口。= e t 口t z i 尼z ) 为2 一q ，q 】中具有界0 a b 0 的实数序列，则 e a * ) 七z 为 l 2 一q ，叫的一个f o u r i e r 框架，这里0 q 7 r d 。 1 3 2 框架 定义1 4 2 3 称一个函数序列 厶) 靠z 是一个可分h i l b e r t 空间的框架，若存在常数 0 a b 1 ，b 0 。 定理1 2 f 2 1 】若 ，n ( z ) ：= 口警妒( 口m z 一如) m ，n z 构成三2 ( r ) 的框架，框架界为 a ，b ，则有 等a z 半嫩等君， 以及 等4 芈等曰 定理1 3 【2 1 】若矽，o 使得 蚓i n 妪fn 三i 级扩钏2 0 ， s u p f 级矿钟 0 ， 则存在b o ，使得当b b o 时，( ，n ( z ) ) m ，n z 构成l 2 ( r ) 的框架，框架界为 a = 钒i n f s 口三i 仅。吲萎归( 釉( 一釉 b 2 讯s u p s 口三i 觚) | 2 + k # 0 咿( 铷( 一釉 4 中山大学博士学位论文：多小波的平衡性理论及其应用 1 4 小波阈值滤波去噪 1 4 1 小波阈值滤波去噪概述 在信号去噪应用中，传统的去噪方法主要基于f o u r i e r 分析法，如带限滤波、维纳滤 波等方法。带限滤波去噪方法是直接进行低通或带通滤波，这种方法虽然简单、易于实 现，但由于噪声本身常常并不完全是高频成分，因此简单的滤波方法一般难以获得理想 的去噪效果，尤其是当噪声成分比较复杂时，更是如此。滤波带宽选得过窄，达不到去 噪的目的，选得过宽，噪声虽然滤去的多，但同时信号的非噪声成分也损失了，不但带 宽内的信噪比得不到改善，某些突变点的信息也可能被模糊掉了。实际中常遇到的非平 稳信号的频谱特性沿时间轴无限延伸，利用傅里叶变换的基函数很难与其匹配。所以， 这不是高精度分析的有效方法；维纳滤波参数是固定的，也只适于平稳随机信号，其滤 波器的设计与信号的统计特性有关，在实际问题中，常常无法得到这些统计特性的先验 知识。为了克服固定带宽和固定形状滤波器的缺点，人们提出了自适应滤波。基于这种 自适应算法而形成的自适应干扰对消，是去噪的一种相对优越的手段，在大多数情况 下，都能完成减小噪声的作用，而不产生太大的信号畸变。上世纪八十年代以来，小波 分析方法因其优良的时频局域化特性为信号去噪提供了一种新的解决途径，比起经典的 频率域滤波方法更具有灵活性。小波分析方法也因其优良的时频局域化特性而在信号滤 波去噪领域中得到了广泛的应用，d l d o n o h o 等提出了非线性小波变换阈值法去噪， 并证明了在高斯白噪声环境下对信号的光滑是渐近最优的，是其它各种小波去噪方法的 基础【4 _ o i 。在此基础上已经开发出了一些其它类型的小波去噪方法，例如r r c o i f m a n 在阈值法的基础上提出了平移不变量小波去噪法1 2 7 ，t g n 2 s = j 、朱丽【2 9 j 等提出了一种 自适应的小波去噪算法，费佩燕等提出了一种能消除g i b b s 效应的高效的小波变换去噪 方法 3 0 | 。此外，s c h e n 提出了原子分解的基追踪去噪算法【3 1 i ，之后文莉 32 l 、杨春玲【3 3 对基于小波去噪的几种方法进行了比较研究，认为基于非线性阈值小波去噪算法具有 原理简单、计算量小、实现方便、适应性强等优点。自从b k a l p e r t u 4 j 提出了多小波 的概念之后，将多小波应用于去噪也见诸于一些文献f 3 5 3 8 1 ，文献f 3 9 1 通过分析和比较 g h m 、c l 3 及正交平衡多小波的频谱等特点，并通过实验验证了正交平衡多小波有较 好的频谱特性。尽管如此，对于非平稳时变信号，噪声可能很大程度上淹没了有用的信 号，尤其是在信号的尖锐陡峭处，或者噪声为能量有限的有色噪声时，此时，信号的突 变成分的能量分布于频率轴的个较宽的部分，对有用的信号频谱产生严重的污染，使 用小波滤波也不能获得十分理想的效果，因此，对于非平稳信号的去噪依然是一个具有 挑战性的问题。 5 中山大学博士学位论文：多小波的平衡性理论及其应用 1 4 2 信号局部奇异性的小波刻画 定义1 5 4 0 l 称一个函数，( z ) 在z o 点处是一致l i p s c h i t z 口的，如果存在常数k ，使 得在z o 的某邻域内的任意一点z ，均有 i ( z ) 一f ( x o ) i g l x x o l q ( 1 1 0 ) 如果( 1 1 0 ) 式对所有z ，x o ( a ，b ) 都成立，则称f ( x ) 在区间( a ，6 ) 上一致l i p s c h i t z a 。 由定义1 5 可知，如果函数f ( x ) 在x o 处不是l i p s c h i t z1 的，则称函数f ( z ) 在知处 是奇异的；如果函数，( z ) 在知是连续可微的，则q = 1 ；如果函数f ( x ) 在z o 不连续但 有界，则q = 0 。在某点的o l 越大，函数在这点越光滑，q 越小，函数在这点处的变化越 尖锐。 对允许小波矽( z ) ，定义f ( x ) 的连续小波变换为 = 。e 弛) 击万( 宰) d t ( 1 - 1 1)w妒f(s，z ) = ，( t ) 矽( 摹 ，v 。 。 则下面的定理说明函数f ( x ) 在区间上的l i p s c h i t z 指数能通过小波变换模极大值随尺度8 的变化而测定。 定理1 4 3 3 】设0 o 1 ，矽( z ) 是具有紧支撑的实的连续可导的小波函