（计算数学专业论文）小波和偏微分方程在图像处理中的应用.pdf

摘要 图像处理与分析是信息科学与工程中的一个主要研究领域。图像恢复是图像 处理领域中一项基本而且重要的技术，一直是图像处理领域不可回避的研究课题。 图像去噪是图像恢复领域研究最早、最多的课题，也是进一步处理图像的必要步 骤和关键环节。在图像去噪方面涌现出了两大发展主流：一是基于小波理论的图 像去噪，另一是基于偏微分方程理论的图像去噪。 ； 本文首先对非线性各向异性的偏微分方程差分格式进行了研究，且应用 c n - a d i 方案对非线性各向异性扩散方程进行离散求解，通过与a o s 格式比较， 可看到c n - a d i 格式是很有效的差分格式；其次，本文还针对小波阂值变换与偏 微分方程在图像去噪过程中的关系进行了研究。得出了小波阈值的偏微分方程表 示形式，并在此基础上进一步研究了偏微分方程的解法，通过采用分数步的小波 阈值方法对图像去噪，能获得较高的信噪比。数值试验结果表明了该方法具有比 小波方法更好的去噪效果；最后，根据小波方法和偏微分方程方法的去噪特点， 提出了一种结合两种方法的混合去噪算法。对经过小波变换后的各高频子带进行 归一化，获得一种连续状态量，为了保护边缘对这一连续状态量进行前向一后向 扩散。由扩散后的新状态量得到由其决定的权系数，把权系数作用在小波系数上 得到去噪后的各高频子带，通过与低频子带的重构得到去噪图像。数值实验结果 表明：通过采用本方法对图像去噪，达到了既保护边缘又去除噪声的目的。 关键词：图像去噪小波变换阈值偏微分方程差分格式 a b s t r a c t i m a g ep r o c e s s i n ga n da n a l y s i si sam a j o rf i e l do f i n f o r m a t i o ns c i e n c ea n de n g i n e e r i n g ， t h ei m a g er e s t o r a t i o ni sa l li t e mb a s i cm o r e o v e rt h ei m p o r t a n tt e c h n o l o g yi nt h ei m a g e p r o c e s s i n gd o m a i n a tt h es a l n et i m e ，i ti st h er e s e a r c ht o p i cw h i c hm a yn o ta v o i d t h e i m a g ed e n o i s i n gi st h ee a r l i e s ta n dm o s tr e s e a r c hi nt h ei m a g er e s t o r a t i o nd o m a i n , i ti s t h ee s s e n t i a ls t e pa n dt h ek e yl i n ki nt h ep r o c e s so fi m a g ep r o c e s s i n g n o w , w a v e l e ta n d p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( p d e ) a r em a i nd e n o i s i n gm e t h o d si ni m a g ep r o c e s s i n g a s p e c t a tf i r s t ，t h i sp a p e rr e s e a r c h e st h ed i f f e r e n c es c h e m et h a ti sb a s e do nn o n l i n e a r a n i s o t r o p i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n i ta d o p t sat y p eo fc n - a d is c h e m et od i s c r e t e n o n l i n e a ra n l s o t r o p i cd i f f u s i o ne q u a t i o n i ti sa ne f f e c t i v es c h e m eb yc o m p a r i n gw i t h a d d i t i v eo p e r a t o rs p l i t t i n gs c h e m e s e c o n d , t h i sp a p e rr e s e a r c h e st h er e l a t i o n sb e t w e e n w a v e l e ta n dp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ni nt h ei m a g ed e n o i s i n g t h ee x p r e s s i o nf o r m o fp d et h a tb a s e do nw a v e l e tt h r e s h o l di st h e no b t a i n e d i ta d a p t st h em e t h o do f f r a c t i o n a ls t e p sw a v e l e ts h r i n k a g ef o rt h es o l u t i o no fp d eb a s e do na b o v ea p p r o a c h i t c a nr e c e i v eh i g h e rs n rt h a no t h e rm e t h o d s ，i tc a l lr e c e i v eb e t t e re f f e c to fi m a g e d e n o i s i n gt h a nw a v e l e tm e t h o d a tl a s t ，a c c o r d i n gt o d en o i s i n gc h a r a c t e f i s t i co f w a v e l e ta n dp d e am i x e dm e t h o do f c o m b i n i n gw a v e l e tw i t l lp d ef o ri m a g ed e n o i s i n g i sp r o p o s e d w en o r m a l i z et h eh i g h e rf r e q u e n c ys u b b a n d ss oa st og a i nac o n t i n u o u s s t a t eq u a n t i t y i ti si m p o r t a n tt op r o t e c te d g et h a tac o n t i n u o u ss t a t eq u a n t i t yi sd en o i s e d b ym e a n so ff o r w a r da n db a c k w a r dd i f f u s i o n w eo b t a i nt h ew e i g h tc o e f f i c i e n tt h a ti s d e t e r m i n e db yn e ws t a t eq u a n t i t ya f t e rd i f f u s i o n t h en e wh i g h e rf r e q u e n c ys u b b a n d s a r eg a i n e dw h e nw e i g h tc o e f f i c i e n ta c to nw a v e l e tc o e f f i c i e n t w ea c h i e v et h ep r o c e s s o fd e n o i s i n gt h r o u g hw a v e l e tr e c o n s t r u c t i o ni nt h ee n d i ti si n d i c a t e df r o mt h e e x p e r i m e n t a lr e s u l t st h a tn e wm e t h o dc a na t t a i nt h ep u r p o s eo fp r e s e r v i n ge d g ea n d s m o o t h i n g n o i s ea tt h es a m et i m e k e y w o r d s ：i m a g ed e - n o i s i n g w a v e l e tt r a n s f o r m t h r e s h o l d p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nd i f f e r e n c es c h e m e 西安电子科技大学 学位论文创新性声明 秉承学校严谨的学分和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人繇样 日期：递：丝 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保 留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后 结合学位论文研究课题再撰写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。( 保密 的论文在解密后遵守此规定) 本人签名： 日期：丝：! ：丝 导师签名：晷叁易日期：逝= ：孕 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 图像就是用各种观测系统观测客观世界获得的且可以直接或间接作用于人眼 而产生视觉的实体。视觉是人类从大自然中获取信息的最主要的手段。在人类获 取的信息中，视觉信息约占6 0 ，听觉信息约占2 0 ，其他方式加起来才约占2 0 。由此可见，视觉信息对人类非常重要。同时，图像又是人类获取视觉信息的 主要途径，是人类能体验的最重要、最丰富、信息量最大的信息源。在人类社会 进入信息时代的今天，图像信息的处理、存储和传输在社会生活中的作用也越来 越突出，人们对接受图像信息的要求也越来越迫切。图像源于自然景物，是连续 的模拟信号，然而当图像以数字形式进行处理和传输时，具有质量好、成本低、 小型化和易于实现等特点。图像的这种存储和传输格式已经成为该领域当前和未 来发展的主要趋势。 图像的存在方式多种多样，但就其本质来说，可以将图像分为两大类：模 拟图像。包括光学图像、照相图像、电视图像等。对模拟图像的处理速度快，但 精度低灵活性差，不易查找和判断。数字图像。数字图像是将连续的模拟图像 经过离散化处理后得到的计算机能够辨识的点阵图像。数字图像处理就是采用一 定的算法对数字图像进行处理，以获得人眼视觉或者某种接受系统所需要的图像 过程。目前，图像处理技术已经在许多不同的应用领域中得到重视，并取得了巨 大成就。根据应用领域要求的不同，数字图像处理技术可以分为许多分支技术， 重要的分支技术有：图像恢复、图像压缩、图象分割、图像识别等。 图像恢复是图像处理领域中一项基本而且重要的技术，一直是图像处理领域 不可回避的研究课题。图像去噪是图像恢复领域研究最早、最多的课题，也是进 一步处理图像的必要步骤和关键环节，去噪的好坏直接影响后续其它图像处理的 效果。在图像去噪时，存在着一个如何兼顾降低噪声和保留细节的难题。近年来， 随着一些新兴数学理论的发展和成熟，以及人们对于传统理论的重新认识和使用。 在图像去噪方面涌现出了两大发展主流：一是基于小波理论的图像处理，另一是 基于偏微分方程理论的图像处理。 1 2 小波分析的发展及小波去噪方法的研究现状 小波分析，也可以称为多分辨分析，它是f o u r i e r 分析发展史上里程碑式的进 小波和偏微分方程在图像处理中的应用 展，是近年来在国际上成为众多学科共同关注的热点。小波分析的发展历程充分 体现了辩证法思想。不同学科、不同研究者相互碰撞的火花点燃了小波分析，这 一理论是数学家和工程师完美合作的结晶，反映了大科学时代各科学之间相互综 合、相互渗透的强烈趋势【i 】【2 】。小波变换的思想来源于伸缩与平移方法。小波分析 方法的提出最早可追溯到1 9 1 0 年h a a r 提出的小波规范正交基的概念，并首次构 造了r ( 【0 ，1 1 ) 上紧支撑的正交函数系一h a a r 函数系，这是最早的小波基。到8 0 年代，s t r o m b e r g 对h a r t 系进行了改进，证明了小波函数的存在性。1 9 8 4 年，法 国地球物理学家m o r l e t 在分析地震波的局部性质时，发现传统的f o u r i e r 变换难以 达到要求，在对f o u r i e r 变换与加窗f o u r i e r 变换的异同、特点及构造做了创造性的 研究之后，首次提出了“小波分析”的概念【3 1 ，并建立了以他名字命名的m o f l e t 小波。随后，理论物理学家g r o s s m a n n 又提出了一个确定函数的伸缩、平移系， 为小波分析的最终形成奠定了基础。真正的小波热开始于1 9 8 6 年，法国大数学家 m e y e r 首次提出光滑的正交小波基，对小波理论作出了重要的贡献。1 9 8 7 年，m a l l a t 在m e y e r 的帮助下，将计算机视觉领域内的多尺度分析的思路引入到小波分析中， 研究了小波函数的构造以及信号按小波变换的分解与重构，给出了其相应的算法： 小波变换的塔式分解快速算法【4 】【5 】( 即m a l l a t 算法) ，并且把小波变换和滤波器首次 联系在一起，同时把小波变换推广到二维，成功地应用于图像处理与分析领域， 这些突破性的进展具有划时代的意义，为小波变换的实现提供了理论框架。之后， 比利时数学物理学家d a u b e c h i e s 在对m e y e r 和m a l l a t 思想充分研究后，用迭代方 法建立了著名的d a u b e c h i e s 小波，这是一种具有紧支撑的正交小波。d a u b e c h i e s 的工作对小波理论的发展作出了重要的贡献。至此，小波分析的系统理论初步建 立。1 9 9 4 年，g o o d m a n 等人建立了多重小波的基本理论框架，进一步丰富了小 波理论。 随着小波理论的日益完善，它的应用领域也越来越广泛，在图像去噪领域中， 应用小波理论进行图像去噪受到许多专家学者的重视，并取得了非常好的效果。 m a l l a t 是最早从事小波在信号处理中的应用的研究者之一，它建立了小波变换快速 算法，运用于信号和图像的分解与重构，之后又通过l i p s c h i t z 指数刻画信号的奇 异性，并给出用小波变换进行信号奇异性检测的基本原理，他的又一贡献是利用 信号和噪声经过小波变换之后在各尺度上的不同表现，提出了一种利用小波变换 模极大值原理进行信号去噪的方法【6 】，这是小波去噪的最经典的方法。1 9 9 2 年， d o n o h o 和j o h n s t o n e 提出了小波阈值收缩方法1 7 j 嗍( w a v e l e t s h r i n k a g e ) ，同时还给出 了小波收缩阈值a = 2 l n 仃，并从渐近意义上证明了它是小波收缩最佳阈值的上 限【9 】。上述小波收缩算法的一个严重的缺陷是：在去噪之前必须知道噪声的大小 仃( t y 差) 。而在实际应用中噪声大小是无法预先知道的，于是m a a r t e n 和j a s e n 等 提出了g c v ( g e n e r a l i z e dc r o s sv a l i d a t i o n ) 方法【1 0 】，这种方法无需知道噪声大小的先 第一章绪论 验知识，较好地解决了这一问题。目前，基于阈值收缩的小波去噪方法的研究仍 然非常活跃，近来仍不断有新的方法出现，而且也可以看出，人们的研究方向已 经转为如何最大限度地获得信号的先验信息】，并用这些信息来确定更合适的阈 值或阈值向量，以达到更好的去噪效果。 1 3 偏微分方程在图像处理中的发展现状 在图像处理的发展过程中，数学始终起着举足轻重的作用，并渗透到图像处 理的所有分支之中。自上世纪八十年代开始，非线性科学开始逐渐渗透到图像处 理方法之中，并取得了丰硕的成果。特别地，基于偏微分方程的图像处理方法成 为近年来图像研究的一个热点。 在图像处理中运用偏微分方程，具有很多优点：第一，将图像估计转化为一个 随时间演化的问题，演化方程的稳态解就是图像处理的理想结果；第二，给出了 分析图像的连续模型，离散的滤波表现为连续的微分算子，使得网格的划分，局 部非线性滤波分析易于实现；第三，当图像表示为连续信号，偏微分方程方法可 认为是微小邻域局部滤波的迭代，从而可以将己有的滤波方法进行形式简单的合 成，形成各种各样新的滤波方法：第四，偏微分方程方法在数值计算上不采用窗 口机制，能获得较好的图像质量，并具有一定的稳定性。由此，非线性偏微分方 程定义的非线性算子逐渐得到重视。 说起偏微分方程在图像处理中的应用，其思想根源最早可以追溯g a b o r 1 2 j 所做 的工作，实质性的飞跃要归功于k i e b d e r i n d 和w i t k i n t l 3 】引入的尺度空间概念。尺 度空间把一组图像同时在多个尺度上表述，他们的贡献在很大程度上构成了偏微 分方程进行图像处理的基础。图像的多个尺度是通过高斯平滑来获得。利用经典 热传导方程来演化图像也可以获得的图像尺度。在8 0 年代末，h u m m e l 提出热传 导方程并不是唯一可以构成尺度空间的方程，事实上，满足极大值原则的演化方 程均可以定义尺度空间，而极大值原则是因果性准则的数学表达。1 9 8 7 年，p e r o n a 和m a l i k t l 4 1 在基于热传导方程的基础提出了非线性扩散模型( p m 扩散) ，其思想是： 为了在光滑图像的同时有效的保存像边缘等特征信息，采用扩散函数随图像局部 性质变化而变化的非线性函数，取得了令人震撼的效果! 然而p m 模型在解的存 在唯一性上缺乏相应的数学理论基础，其实质上是病态的。1 9 9 2 年，c a r t ef f 1 5 1 等 人对p m 模型进行了改进，在数学上解决了解的存在唯一性，完善了其理论。p e r o n a 和m a l i k 的工作激励了偏微分方程在图象处理中的研究，1 9 9 4 年，w e i c k e r tj i ”】 提出了基于张量积的各项异性非线性扩散模型，有效的解决了纹理图像。o s h e r 1 7 】 和他的研究小组提出了基于全变差的图像消噪。2 0 0 3 年，g i l b o a 1 8 】【”】提出了复扩 散模型将p m 扩散模型从实数域扩展到复数域，扩展了范围。这些方法成功之处 4 小波和偏微分方程在图像处理中的应用 在于将图像视为由跳跃边缘连接而成的分片光滑函数，从而与某种偏微分方程的 分片光滑解相联系，但是，偏微分方法也有自身的缺点，例如，与通常的滤波方 法相比计算量是比较大，而且对于复杂非光滑的图像，模型方程解的存在唯一性 问题还需研究等。 1 4 本文主要研究的工作 偏微分方程是近年来兴起的一种图像处理方法，尤其是非线性偏微分方程定 义的非线性算子逐渐受到了人们的重视，因而对非线性偏微分方程进行离散求解 是非常关键的一步。在图像处理中，人们采用了很多离散方法来求解非线性的各 向异性扩散方程。本文研究了近年来流行的a o s 格式 2 0 l 、多重网格方法1 2 l j 和 c n a d i 方法l 等，本文采用c n - a d i 方法对非线性各向异性扩散方程进行离散求 解，a d i 方法计算量和存储量都比较小，算法也比较容易实现。 近年来，基于小波去噪的方法和基于偏微分方程去噪的方法之间的关系逐渐 受到了人们的重视。2 0 0 3 年，w e i c k c r tj 2 3 j 等人从小波萎缩系数与扩散方程离散解 的联系出发讨论了偏微分方程与小波萎缩阈值法之间的关系，得出了偏微分方程 方法一步迭代扩散的结果对应h a a r 小波去噪的一步萎缩。2 0 0 6 年，d i d a ss 1 2 4 j 等人研究了一维多尺度下连续小波阈值与积分微分方程之间的关系。但是， w e i c k e r tj 。等人的研究只是针对h a a r 小波的，具有一定的局限性。在图像处理中 我们实际观测到的是离散信号，因而d i d a ss 等人的研究缺乏现实意义。基于这一 前提，本文采用一般小波函数针对离散小波阈值变换和偏微分方程之间的关系进 行了研究。得出了小波阈值的偏微分方程表示形式，并在此基础上研究了偏微分 方程的解法，通过采用分数步的小波阈值方法对图像去噪，得到了较好的去噪效 果，达到了既保护边缘又去除噪声的目的。 从上面的讨论中我们看到偏微分方程模型都将图像视为由跳跃边缘连接而成 的分片光滑函数来处理，其结果必将属于b v 空间，即：分片光滑的函数空间，这 样做往往会丢失许多纹理细节信息；小波阈值去噪方法是一种正则化方法，小波 系数的收缩使重构图像在边缘附近产生摄动，这种摄动很接近傅立叶阈值所表现 出来的g i b b s 现象，称为伪g i b b s 现象，这种现象影响图像的可视质量。为了能在 去除伪g i b b s 现象的同时很好的保存纹理信息，人们逐渐认识到把小波去噪方法和 偏微分方程去噪方法结合起来去除图像中的噪声。2 0 0 1 年，文献 2 5 提出了基于 小波子带各向异性扩散方程的图像平滑方法，这一方法分别对由小波分解得到的 低频和高频子带的小波系数直接进行扩散去噪。2 0 0 6 年，文献 2 6 提出了基于二 维小波收缩与非线性扩散的混合图像去噪算法，该算法在图像小波分解的低频部 分采用全变差扩散，在高频部分采用小波软阈值方法，而对高频部分使用小波软阈 第一章绪论 值方法会造成去噪图像边缘模糊等失真现象，以上两种方法都是直接对小波系数 进行扩散我们称为小波域扩散方法。针对以上讨论，本文对小波变换后的高频子 带系数归一化并与各向异性扩散方程结合，提出了一种基于连续状态小波阈值的 各向异性扩散去噪方法，该方法具有较好的理论解释和实验效果。 本文在详细论述小波理论及偏微分方程理论的基础上，重点研究了离散小波 阈值变换和偏微分方程之间的关系以及结合两种去噪方法的混合去噪算法，并且 讨论了基于偏微分方程的图像恢复模型的数值离散方法。主要工作内容如下： 1 介绍了小波的基本理论和小波去噪方法； 2 总结了图像处理中的偏微分方程应用于图像恢复的基本模型； 3 研究了基于偏微分方程的图像恢复模型的数值离散方法； 4 研究了离散小波阈值变换和偏微分方程之间的关系，提出了分数步的小波 阈值方法； 5 提出了一种基于连续状态小波阈值的各向异性扩散去噪算法； 全文的结构如下：第一章为绪论部分，介绍小波分析的发展、小波去噪方法 的研究现状和偏微分在图像处理中的发展现状；第二章介绍了小波分析的基础理 论以及基于偏微分方程的图像恢复方法和模型；第三章研究了基于非线性各向异 性扩散方程的差分方法，运用c n - a d i 方法对非线性各向异性扩散方程离散去噪； 第四章通过介绍小波去噪的基本理论，重点研究了离散小波阈值的偏微分方程去 噪方法，得到了小波阈值算子和偏微分方程之间的关系；第五章研究了基于连续 状态小波阈值的各向异性扩散去噪方法；最后是总结全文，讨论了不足和对未来 工作的展望。 第二章基础理论 7 第二章基础理论 本章主要介绍了小波分析的基础理论知识：小波变换、多分辨分析、m a l l a t 算法的知识，以及基于偏微分方程的图像恢复方法和模型。 2 1 小波分析理论 小波思想最早出现在1 9 1 0 年，h a a r 提出了小波规范正交基。1 9 8 6 年m e y e r 和l e m a r i e 提出了多尺度分析的思想。后来信号分析专家m a l l a t 提出了多分辨分 析的概念，给出了构造正交小波基的一般方法，并以多分辨分析为基础提出了著 名的快速小波算法m a l l a t 算法。m a l l a t 算法的提出标志着小波理论获得了突破性 的进展，从此，小波分析从理论研究走向了应用研究。 通过小波分析，可以将各种交织在一起的由不同频率组成的混合信号分解成 不同频率的块信号，能够有效地解决诸如噪音分离、数据压缩、模式识别、非线 性化问题线性化、非平稳过程平稳化等问题。正是因为如此，小波分析在计算机 图像处理方面有着广泛的应用。 2 1 1 小波变换【2 7 】 1 连续小波变换 “波”是有振荡性的，“小波”就是在较短时间区间上有振荡的波，用来表示 小波的函数，称为小波函数，记为y ( f ) 。在数学中这样的函数可以用两个条件来 刻画： ( 1 ) 1 | f ，( f ) 具有有限支撑或是速降为零的函数； ( 2 ) iv ( t ) d t = 0 在实际中，人们总是研究能量有限的信号f ( t ) ，因而假定函数f ( t ) e r ( r ) ， 同样也有1 】f ，( f ) r ( r ) 。由于应用的需要要求由小波变换能重构原信号，对小波函 数要求它满足容许性条件1 2 s 】： g = r - 蜘- - g - ) 1 2d 啪对 z ， 这族函数中的每一个都有规范化的范数眵。j = l l v , ( o l l = 1 。 定义2 1 设f ( t ) r ( r ) ，l ! f ，( f ) 是容许小波，则称 ( 町) ( 口，6 ) ： r ，( ，妒仁皇) 西 口0(2-3) 4 a o 。 a 为函数f ( t ) 的连续小波变换。其中口称为尺度因子或伸缩因子，b 称为平移因子。 小波变换也是一种积分变换，它是将单变量的函数f ( t ) 变换成时频平面上的 二元函数( 啪( 口，6 ) 。从时频分析来看，小波变换将信号f ( t ) 的每个瞬态分量映射 到时频平面上的位置正好对应于分量的频率和发生的时间，而函数( 阶( 口，6 ) 在 0 ，6 ) 处的值反映了在时刻6 频率为二的分量的有关信息。 从( 2 3 ) 可知，小波变换可以用内积表示： ( 啪( 口，6 ) = ( 厂( f ) ，l f ，。j o ) ) ( 2 4 ) 2 离散小波变换 在实际应用中常常需要借助计算机来处理信号，需要我们要将连续信号离散 化，故而得到往往都是离散化的信号，因此研究离散小波变换对我们来说具有重 要的现实意义。 对小波函数y 。，( ，) 中的参数口，6 离散化，取口= ，b = 七，j z ，得到小波 函数： n ( ，) = 西“1 ；f ，( 酊t - k ) ，七z ( 2 5 ) 定义2 2 设厂( r ) l z ( r ) ，则称 ( 啪( _ ，j j ) = i 光e f ( t ) “7 ( a o t k ) a t ( 2 - 6 ) 为厂( r ) 的离散小波变换。 离散小波变换也可以用内积表示，即： ( 啪( ，j j ) = ( ，( f ) ，y ”o ) ) ( 2 7 ) 离散小波变换是将时间函数厂( ，) 变换到位移( 时间) 一尺度相平面上的离散 第二章基础理论 9 点处的函数( 啪( ，k ) ，这些离散点按一定的规则分布，与连续小波变换相比，少 了很多点上的值。 2 1 2 多分辨分析 多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o n - a n a l y s i s ，简称m r a ) ，是m a l l a t 和m e y e r 提出 的，它的主要思想是将l 2 ( r ) 按分辨率为 2 - ， 分解为一串嵌套子空间序列 巧 ， 再通过正交补的塔式分解，将r ( r ) 分解成一串正交小波子空间序列 。然后将 r ( r ) 中的函数厂( r ) 表示成系列近似函数的逼近，其中每一近似函数都是厂在不 同分辨率空间上的投影，通过这些投影来研究和分析厂在不同子空间上的性态及 特征。正因为用这种方法来分析和研究函数，所以人们把它成为多分辨分析2 9 1 3 0 l 。 定义2 3r ( r ) 中的空间序列 一 称为一个正交多分辨分析，如果它满足以下条 件： ( 1 ) 单调性：c 以。； ( 2 ) 平移小燹性：f ( r ) _ j f ( t k ) 巧； ( 3 ) 逼近性：n = o ，u = l 2 ( r ) ； j e jj e ： ( 4 ) 伸缩性：，( r ) 巧铮( 2 f ) 巧。w z ； ( 5 ) r i e s z 基的存在性：存在函数妒( f ) ，使得 妒( f 一七) 胁构成k 的规范正交基- 上面定义中的妒( r ) ，称为多分辨率分析的尺度函数。多分辨分析常记为： 巧) 。 由伸缩与平移性可知，函数系 2 。“妒( 2 一i t 一七) 构成了的一个规范正交基。这 、f t ： 样，对于夥( f ) l 2 ( r ) ，厂在空间巧的投影是： f v j ( t ) = ( 厂，仍 ) o ) ( 2 8 ) 再由逼近性可知：l i m l l 厂一矗0 = o 。即矗( f ) 在分辨率2 趋于佃时趋于原信号 m j j 歹 。由此可见，尺度函数9 对m r a 的构造起着关键性的作用。但因为 巧 。不是 r ( r ) 的正交分解，所以不可能由 _ ) 。中的基来合成r ( r ) 的规范正交基。因此 下面讨论如何由 _ 将空问r ( r ) 分解成小波子空间 的正交和。 由 e 的单调性可知，巧+ 。c 巧，即巧+ ，是巧的真子空间，因此，在空间的基 1 0 小波和偏微分方程在图像处理中的应用 是正交基的意义下，可以认为i 是由_ 。和l + 。在一中的正交补空间构成的，若把 这个正交补空间记成形+ l ，则有：巧= 巧。o + _ ，z 这里“o ”表示正交和，即： 巧= p u 。且巧+ ，上“( 2 - 一9 ) 显然这种分解可以对任意的_ ，进行： 巧。= _ o 形= 1 0 + ，o = 巧。o 。o 巧一o o ( 2 - l o ) 由式( 2 一i o ) 槲u 。上形，继而有形上，棚在式( 2 1 0 ) 中，令 j 一佃，得到巧一l = o 既，再令j m ，得到： 。 m oj r ( 月) = 曼( 2 - 1 1 ) 这样，就把寥 ) 分解成小波子空间的正交和。 把巧称为尺度空间( 尺度为，) ，把形称为小波空间( 尺度为_ ，) 由前面讨论 可知，由 巧) ，。可确定 形 。由多分辨分析的性质( 3 ) ，有 r ( 胄) = 酣鬯巧2 望巧 | t zj t ： 因此，我们得到p ( r ) 中的两个空间序列，一个是嵌套的闭字空间序列 巧) 。，另 一个是相互正交的子空间序列 k ： 我们知道函数系 2 。名妒( 2 r 一七) 构成了巧的一个规范正交基，即： ，e z 巧= s p a n 钙j l = 2 必妒( 2 一f _ _ j ) ，舡z ( 2 - 。1 2 ) 我们希望在中也有相应的基函数y ( f ) ，称为小波函数，由它生成的 v 0 = 2 “l ；f ，( 2 一f 一七) ，j 。z ( 2 1 3 ) 能构成形的规范正交基，即：= s p a n y ，j 。，又由于r ( 丑) = 。蔓，则 p 肚 ，j e z 构成了r ( r ) 的规范正交基。 如何寻找小波1 ；f ，( f ) 呢? 从m r a 的定义来看，尺度函数妒起着关键的刻画i d r a 构造的作用，所以可以通过尺度函数妒( r ) 来构造小波y ( r ) 。 第二章基础理论 ( 1 ) 我们可以从的r i e s z 基 g o 一七) ) 。出发，经过规范正交化构造出k 的规范 正交基 妒( f j j ) ) 。，找到正交尺度函数9 ( f ) 。 定理2 。1 ： 设 ，。为磬( 震) 的一个m i a ，则存在函数妒( 磅碥，使 妒( f 一素) j 眦构 成的规范正交基。实际上可取 矿代) = ( 憎g + 2 聊疗) f 2 ) 丁雪循) j ( 2 r r ) t ( 2 - 1 4 ) ( 2 ) 根据尺度函数9 ( ，) 可以构造出小波函数y ( f ) 。 由尺度函数9 ( r ) 可推导出传递函数g ) 满足：妒( 2 ) = ( ) 妒( 髻) ，其中 ( 眚) 2 了1 2 ，h 蛳噍2 万1e 妒( 圭) 而j 嘞( 2 - 1 5 )v 二t吖。一 二 定理2 2 ：传递函数必须满足： 肚( 刮2 + j ( 眚+ 筇) j 2 = l ( 2 - 1 6 ) 【m a o ) = 1 由传递函数( ) 可导出( 眚) ( 称为带通滤波器) ，从而给出矿。空间的特征刻画。 可得： ( ) = 啄( + 石) 或( ) = 一p 一4 嘎( 善+ 筇) ( 2 1 7 ) 定理2 3 ： ，哼1 】f ，) 设设 巧 。为r ( r ) 的一- 个m r a ，记圪= e l 。矽。，则存 在o ) ，使 y 。( t - 2 k ) 。为矽。的规范正交基。这里我们令1 1 f ，( f ) = 劲，( 2 0 ，则 l f r ， = 2 以i ( 2 - t - k ) j 乒。z 为r ( r ) 的规范正交基。 至此，我们通过m r a 从中的r i e s z 基的基函数g ( ，) 出发，一步步的构造出 了中的正交小波函数1 ；f ，( f ) ，并由y ( f ) 经过整数平移和二进伸缩得到r ( 五) 的规 范正交基小波基。 2 1 3 m a l l a t 算法 m a l l a t 以多分辨分析为基础提出了著名的快速小波算法一m a l a t 算法1 4 】【5 1 。小波 理论获得了突破性的进展，使得小波分析成为近年来迅速发展起来的新兴学科并 得到广泛应用。 1 2 小波和偏微分方程在图像处理中的应用 1 系数分解的快速算法 由于巧。c 巧，巧= 巧。o 川，因此任意厂( r ) 巧，可以用基 q ) 表示，又可以用 基 吼m ，y 川j ) 来表示： 厂= 勺，竹，= c j 。j 仍+ 坫+ t “，。j ( 2 1 8 ) 因为巧。上，所以由式( 2 1 8 ) 可得： = 僖蚴，) = 军( 乒) 而 蛳。二嚣2 - j 烈t ：- 裂t 引协扣) 陋z 2 击工妒( 石) 石j 出 由双尺度方程 可以得到： 代入上式可得： 妒( 压；州) ( 2 - z 9 ( 援一后 = 压车咖( x + n - 2 k - m ) z z ) ( 竹，仍。，) = 瓦上妒( x ) 石卜- ( m - 栉+ 2 七) 出= 五一t 从而有： o 小= o ，五一i ， k e z n e z 同理有： 呶耻= o ，。；。， 七z z ( 2 2 3 ) ( 2 - 2 4 ) ( 2 - 2 5 ) 波器 吃 和 岛= ( _ 1 ) 1 。”l ) ，由初始序列 c o ，疗) 就可以算出所有尺度系数 巳 ) 和 小波系数 t j 。其过程可用图表示： 缸。菸r _ q ”， 第二章基础理论 如果己知分解后的系数 勺，) 和 以， ，要重建原来分解前的系数 ，竹 ，则由 上面的逆过程容易得到重构公式： o j - 5 ：c , + u 嚏一2 。+ t + g k 一：。 ( 2 2 6 ) 从( 2 - 1 8 ) 式出发，可得 = ( ，) + ( 嘭m i + 1 , ) ：圭，( 吩+ 纺，) + 圭嘭+ 协川，竹，) ( 2 - 2 7 ) 类似( 2 - 2 3 ) 式有： ( 竹+ 竹，) = 玩一。 ( 1 ；f ，川，竹j ) = 。 把式( 2 2 8 ) 和式( 2 - 2 9 ) 其代入式( 2 - 2 7 ) 可得： = c ：，+ i ，嚏山+ t m g k 。 雌zm e z 此重构过程如图2 2 所示： 图2 2重构算法示意图 2 2 基于偏微分方程的图像恢复方法 ( 2 - 2 8 ) ( 2 - 2 9 ) ( 2 - 3 0 ) 图像恢复是图像处理领域中一项基本而且重要的技术，一直是图像处理领域 不可回避的研究课题。而图像去噪是图像恢复中的一个最基本的问题。图像数字 化的过程总是可能受到各种噪声源的干扰，包括光电转换过程中的噪声，照片颗 粒噪声和信息传输中的误差等。图像恢复可以抑制这些噪声的负面影响，使我们 能够从图像中获得更准确的信息，使图像质量达到符合后续处理的要求。图像恢 复包含两个方面内容：一是消除噪声，二是增强( 或保护) 图像特征。在实际中这两 点往往是结合在一起的，需要在这两者间取得良好的兼顾。 然而在经典的图像处理算法中，图像恢复技术有一个严重的缺陷，即在对图 像进行平滑去噪的同时往往也会将图像中的边缘( 图像中的主要特征) 进行一定程 度的平滑，导致平滑后的图像难以很好地保持边缘。偏微分方程可以用来解决这 个问题。由于它可以准确地对图像建模，从而很好的解决了图像处理中许多复杂 的问题，现已广泛的应用于图像处理的各个方面。偏微分方程作为图像恢复的一 1 4 小波和偏微分方程在图像处理中的应用 种手段，在这些年的研究中产生了许多重要的模型；但是，从考虑问题的出发点 来说，大体可以分为两大类：1 基于能量极小化思想的变分法；2 直接基于偏微 分方程的理论研究。 2 2 1 基于能量极小化的图像恢复方法 图像恢复就是利用导致图像退化的先验知识，建立退化图像数学模型，然后 沿着图像退化的逆过程进行重建，以获得“清晰和干净”的图像，进而能够使我 们正确理解图像蕴含的信息或被其他图像分析方法进行后处理。从数学意义上来 说，从观测的退化图像恢复原始图像u 的一般性问题可用下述模型表示： u o = r + 町 ( 2 3 1 ) 其中，叼表示附加的噪声，一般我们研究叩为加性的高斯白噪声，即： h ( x ) 出= 0 ，h ( 工) 2 d x = 仃2 ( 仃2 为图像的噪声方差) 矗矗 r 为有界线性算子，起到对原始图像“进行模糊化的作用，( 如卷积) 。特别的，当 r 为恒同算子时，模型( 2 3 1 ) 研究的问题称为图像去噪问题。图像恢复就是在满 足先验限制条件：j r ”( x ) 一t t o o ) l a x - - o 和j r “o ) - u o ( x ) 1 2 d x = o 2 下，由已知的 n n 重构u 。但是在已知，r ，仃前提下通过上面的方程求解“是典型的病态的反问题。 通常由于模糊算子r 不可逆。解决这类问题需要使用正则化技术。有效恢复图像 的正则化方法之一是全变差( t v ) 正则化方法。 近年来，全变差( t v ) 方法用于解决“分块”连续图像去噪问题已显示出极大 的优越性t v 正则化方法即带限制条件的图像全变差能量泛函的极小化问题，其中 限制条件多与边沿检测和目标匹配有关。极小化问题求解多转化为求解与其 e u l e r l a g r a n g e 方程相应的发展方程的稳态解，此即所谓的热流方法。它属于泛 函极小化问题求解的间接方法。另一方面，它也可使用变分算子的直接法求解。 1 9 9 2 年r u d i n ，o s h e r , f a t e m i 等人 3 1 j 将全变差引入图像处理领域用以解决图像 去噪问题。他们提出如下带限制条件极小化问题： 归e ( 甜) = 刚 ( 2 - 3 2 ) 其中函数“满足： l 卜o ) 一( x ) i 出= o ，l 卜( x ) 一( x ) 1 2 d x = a 2 ( 2 3 3 ) 转化为与其相应的不带限制条件的极小化问题： 第二章基础理论 1 5 r a 。i n e ( “) = l m + 争一1 2 ( 2 - 3 4 ) 其中a 0 是l a g r a n g e 乘子，与极小化问题( 2 - 3 2 ) 相应的e u l e r l a g r a n g e 方程的 发展方程的初边值问题为： 坼= 咖叫峨) u ( x ，0 ) - = u o ( x ) ( 2 3 5 ) 笔l 。一 a 为参数，并与噪声有关，如果a 较大，则对应极小解的l l v “i 较小，即球比较光 滑；当a 较小时，l l v “j 较大，“则较粗糙，这样能起到保护突变边缘信息的作用， 减小误差。 2 2 2 基于偏微分方程的图像恢复模型 基于偏微分方程图像恢复方法所利用的先验信息是图像为分片光滑的二元函 数，只是该函数在某些重要数据处不连续。根据图像分片光滑的特性可构造关于 梯度的约束，而根据图像处理目的的不同又可构造图像与原始图像之间的相似性 约束，将此两个约束组合即得到变分方程，进而由e u l e r 方程得到图像处理的抛 物方程。当然，这些约束的构造需考虑很多条件，这就决定了模型的