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山东大学硕士学位论文 运用起泡法求解强对流扩散问题的收敛性分析 苏园 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 我们知道，运用标准的g a l e r k i n 方法求解方程一e a u + a 审u 一， 当e _ 1 1 f n l 时，所得到的近似解将出现振荡。为得到稳定的解，除了f e m 、s u p g 等方法 外，近年来又出现了起泡法。同撵的，为得到抛物方程砘一砧+ d 审“= ， 当| i l 川时的近似解，本文运用起泡法的思想对其空问离散，而在时问上运 用常见的e u l e r - g a l e r k i n 向后差分法，在此基础上进行了对耦合方法的先验估计， 并在文末说明了将此方法迸一步拓展的可能性。 全文共分四章， 第一章通过蕴育起泡法产生的多尺度问题： k 三叫如如固嬷，恐 引入了起泡法的概念，并进一步阐明其指导忍想给出了部分后文证明中需要用 到的方程与函数，同时叙述了起泡法的发展概况及本文的进展 本章共分二节。 第一节在方程 觑= ，流q( 1 1 1 ) 【牡20 o n 酃2 的基础上，说明了由于假设e l 口l d i a m f l ，( 1 ，1 ，1 ) 实际上是个多尺度问题指 出若用标准f l g a l e r k i n 方法求解，将会发现因边界层引发的近似解波动将会影响 到整个区域n ，而原方程的精确解并不存在这种波动 i i 山东大学硕士学位论文 进而给出作为解决方案的起泡法，其思想是通过在每个小削分单元t 上引入。t 肉 非o ，刃_ 和t 外衡为0 的泡函数，从而解空问扩展为： 蛎= 圪手场 这样，( 1 1 1 ) 的离散问题可以表示为： ff i n e “ 2 l + u b ， 5 f 【e f a w h v v h 如+ f a ( a v u h ) v h e x = f a f v h d zv v h 并指出由于泡函数的特殊性，可通过推导，将离散问题转化为： ff i n di t b ， 【c f t v u a v v 舌出+ 鼻( 口v “b ) 。吾如= ( ，一d v t t l ) i t 矗u ：出 转而通过求解满足： ( 1 ，1 3 ) ( 1 - 1 4 ) 5 t 暑 ( 1 1 6 ) r 砰钿v 耳f f ：= 溉i , z ( 1 1 7 ) 的解巧i 便可节省运算量 第二节介绍了起泡法的发展现状，并指出在前人对椭圆问题研究的基础上， 本文主要的工作是将起泡法推广到抛物问题中，并对此推广给予误差的先验估 计 第二章在提出所要研究抛物问题的基础上，给予必要的符号说明，及其离散 方程 本章共分两节 第一节给出所要研究的抛物方程： l m e l x u + n v u = ， z n t 【0 ，珏】， “( 卫t ) = 0 ， ? a q t 【0 ，7 】， ( 2 1 1 ) iu ( z ，o ) = ， z o 及其参数含义，并给出了下文中经常出现的符号定义 值得一提的是，山于起泡法的解空问不同于一般的p l 元，不妨给出定义1 拟椭圆 投影p s ： i i i 山东大学硕士学位论文 ( v p b u ，v x ) = ( v u ，v x ) 呶坛 以示区别 第二节分别给出了半离教方程： f n i 嵋( ) ( 奶，机) + ( t ) ( e v 咖，v 机) ij 】j = + 墨；( ) ( o v 虹k ) ：奴) 。 ：l ，2 ，+ 1 ， ( 2 2r 3 ) 1 + q 8 ) ( 口v 奶，k ) = ( 奴) 。 。l ，2 ， + ， p 一。7 【a ，( o ) = ， = 1 ，2 ，+ 1 和全离散方程： f 苎竺2 萼芷( 咖，伙) + 曼叼扛v 也，v c k ) n = l ，2 ，n ， ij l j = l + 参n v 屯西i ) ：( f ，m 七：1 ，2 ，+ 1 。 ( 2 删 1+ n ? ( 口v 如，毋i ) = ( ，i ) ， 七= ，2 ，+ - 卜一叫 【q = 1 j ， j = 1 1 2 ，+ 1 并给出了相应的矩阵形式： a a ( t ) + 忙b + 0 d ( ) = zt 之0 ，a ( o ) = 7 ( 2 2 4 ) ( a + r b + r c ) a n = a a “一1 + 下灭t 。) ( 2 2 7 ) 第三章通过三个引理和五个定理，给出了本文方法的收敛性分析 本章共分两节 第一节首先给出了一个注解由于d i v 口= 0 ，所以有( 8 v v n ，) = - ( v a ，口 v v a ) = 一0 v v a ，珊) 辛p - v v n ，i j h ) = 0 v v n 圪 指出一个下文中常要用到的技巧并给出两个定义： 定义2 对于剖分单元t 内任意一点x ，若单元边界亍上点z 。满足： l a 扛一如) l = i l a l l l l x 一。i i 且d 0 一) 20 ，则称z 。为x 的迎风前端 定义3 令峰= m 。a ? x 。扛一工。) i 。1 2 爵= 雨1 打u t ，妇 = g o b s , ) 2 d z l g b f d 再以两个引理说明其性质： i v 山东大学硕士学位论文 引理1 对于任意取定的e ，对于每个剖分t ，其内任意一点x ，与它的迎风前 端如同成立如下关系： 0 6 ： sd 0 一z 。) l a l 2 引理2 假设剖分所得的任意三角形中，最小角的度数都大于正常值岛 o 则存在不依赖t 之选取的正常数c ，满足关系： 爵c 备i n 掣 1 ) 接着以三个定理的形式给出椭圆问题的误差估计： 定理l 假设为( 1 1 4 ) 的解，玩e 的定义分别参见( 3 1 1 0 ) ( 3 1 1 4 ) ，则有如 下估计式： e i i v i in = ( = l l v e 滩n + 确口v e l 昭) ( 3 1 i o ) f 定理2 假设地为( 1 1 4 ) 的解，瓦8 ，竹的定义分别参见( 3 1 1 0 ) ( 3 1 1 4 ) ( 3 1 1 7 ) 且假设精确解牡日。( n ) n 明( n ) ，则有： 8 v # c - r , - 婷1 雌即 ( 3 ，1 2 1 ) r l l v e t l l + j ：；l l 盯v e l i ：，r c 竹砖一1 i 让b ( 3 ，1 2 2 ) 了r 其中常数c r 依赖于五中三角形的最小顶角度数如 定理3 假设u h 为( 1 1 4 ) 的解，瓦e l ，竹的定义分另q 参见( 3 1 1 0 ) ( 3 1 1 4 ) ( 3 1 i t ) ， 且假设精确解ueh 。( q ) n h 3 ( n ) ，则有： ：j 1 i v ( u t l ) 1 1 0 l s ( c 竹碎一1 阮r ) ， ( 3 1 2 3 ) r ( e 州”札) + 确n v ( 一1 c l ) 胁) 5s ( c 竹辟一1 t ) ( 3 1 2 4 ) rr 其中常数c 只依赖于磊中三角形的最小顶角度数岛 第二节为得到对应抛物问题的误差估计，首先通过： v 山东大学硕士学位论文 引理3 假设u 日。( n ) n 硼( n ) ，其中l 8 r ，则对于任意的x 存在 如下关系： 巍8 5 i i p e v - x i i 撕i i v ( p e r - - x 肌g ( c 莩竹h 州i 纠螂i i i i ( 3 2 2 ) 给出一个适应抛物问题先验估计的，空问相对于s o b o l e v 空问的逼近关系在此 基础上给出了半离散问题的误差估计： 定理4 假设t 。和u 分别是( 2 2 2 ) 和( 2 1 1 ) 的解，则有如下误差估计式： o u 一 ( 0 l l o t h u o + c ；+ 三一5 o u 8 + “啦i f r d 夸 ， f o ( 3 2 8 ) 由此最终得到了全离散问题的误差估计： 定理5 假设护和u 分别是( 2 2 5 ) v ( 2 1 1 ) 的解，则有如下误差估计式： o ，n 一。( “) 8sj i 。i 一。o + o h 7 5 e 一； i i 。，+ 厂ko u 。i i ，d s ) + k ki l 。l i d s ，n o j od 0 【3 2 1 t ) 其中常效c 只依赖于磊中三角形的最小顶角度数如，而常数k 为时间的运用e u l e r - g a l e r k i n i 向后差分法的步长 第四章对收敛结果和可能的新拓展进行了探讨 关键词 抛物方程，起泡法，先验估计 v i 山东大学硕士学位论文 c o n v e r g e n c ea n a l y s i sf o rt h e r e s i d u a l f r e eb u b b l e sm e t h o da p p l i e dt o p a r a b o l i cp r o b l e m s s uy u a n ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s s y s t e ms c i e n c e ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t i t i sw e l lk n o w nt h a tw h e nw eu s en o r m a lg a l e r k i nm e t h o dt os o l v ea n a d v e c t i o n - d i f f u s i o np r o b l e ml i k et h i s c a u + 口v u = ，踮e h i o j ，t h e & n s w e rw i l lb et m s t a b l e t h e r ea r ev a r i o n sp o s s i b l ew a y st o8 t a b i l i z et h e8 1 1 s w e r e x c e p tf e m ，s u p ge t c ，t h er e s i d u a 【广f r e eb u b b l e sm e t h o dc o m eo u t i n t h e l a s t l o y e a r s w h e n w e 山s c l l s s t h e p a r a b o l i c p r o b l e m 地- - e a u + a v u = ， a s h l d l ，t h e r e s i d u a o f r e e b u b b l e s m e t h o d i s a l s o u s e f u l t o d i s c r e t e - - a u + d v u ；a n dt h e nw ec a nu s et h eb a c k w a r de u l e r - g a l e r k i nm e t h o dt o d i s c r e t e 撕a n dt h e n ，g i v eap r i o r ie r r o ra n a l y s i sf o rt h i sm e t h o d a tt h ee n do f t h ep a p e r ，g i v ee x t e n s i o n sf o rt h e8 a l t l em e t h o d t h i st h e s i si sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r 】，w eb e g i nw i t ht h ep r o b l e m s ： jc t = - - z a u + 8 - v u # ，i nn l = o o n 锄 w h i c ht h er e s i d u a l f r e eb u b b l e sm e t h o dc a m eo u t1 0y e a r sa g o t h e n ， d e f i n i t es o m ee q u a t i o n sa n df u n c t i o n s ，a n dt e l lw h a ti st h er e s i d u a l - f r e e b u b b l e sm e t h o di s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h e r ea r ct w op a r t s i np a r to n e , t e l lt h er e a s o nw h ye q u a t i o n ： j ，血= ， no 【t = 0 a q v i i ( 1 1 1 ) 山东大学硕士学位论文 i sam u l t i s c a l ep r o b l e m ，a n dw h yn o r m a lg a l e r k i nm e t h o di su s e l e s s t h e nd e f i n i t e t h eb u b b l ef u n c t i o n s oi n = 圪+ ( 1 1 ，3 ) t h es c a t t e r e de q u a t i o nc a nb er e w r i t ea s ： 、 等v u h v v h d x 糍。v u h ) v h d z ：厶f v h d x v 5 v 六h 魄 ( 1 “) 、l 厶+ 厶( n = 厶 ” j u s tb e c a u s et h ep a r t i c u l a r i t yo fb u b b l ef u n c t i o n ，t h ep r o b l e me q u a lt o ： if i n di t b v b ， s 1 f r v u s v u 否出+ 厶( n - v u b ) v 暑d z = ( ，一口v u ) l r 厶嵋如v 培v b ( 1 1 6 ) w h e r e ： r 巧札v 玎b r ：= 2 。_ ”， a n dn o ww ec a ng e tt h ea p p r o x i m a t ea n s w e rm o r ee a s i e r i np a r tt w o ，w i l lt e l lw h a tp e o p l eh a dd o n e ，a n dw h a t1w i l ld o i nc h a p t e r2 w es h a l lw o r ko nt h ep a r a b o l i cp r o b l e m s g i v es e v e r a ld e f i n i - t i o n s a n dt h e ns c a t t e rt h ee q u a t i o n t h e r ea r et w op a n si nt h i sc h a p t e r i np a r to n e ，p r i n to u tt h ee q u a t i o n ： i t “一e a u + 口v u = f ，z n t 【o ，t e 】， u 0 ，t ) = 0 ， 。a n t 【o ，t e l ， ( 2 1 1 ) iu ( 石0 ) = 口， n g i v ea d e f i n i t i o n ：i m i t a t e de l l i p s ep r o j e c t i o n p s ： ( v p b u ，v x ) = ( v u ，v x )敬 i np a r tt w o ，g i v et h ep a r t l ys c a t t e r e de q u a t i o nf i r s t ： i d ( 九饥) + a j ( t ) ( e v c j v 机) l ，= 1j = i + nn j ( ，) ( n v 咖础) ：( 从) ， 詹：l ，2 ，“ ( 2 卫3 ) 【q j c 0 ) = ， j = 1 ，2 ，n + 1 t h e n ，t h ef u r ys c a t t e r e d ： 山东大学硕士学位论文 塞生孚= ( 白，机) + 塞哼忙v 向，v 毋i ) n ：l ，乏， j = l 卢l 。 r + n ( 口v 南，机) = ( ，机) ，嚣 碍= ， 女：l ，2 ，n + 1 。 ( 2 2 6 ) j = 1 ，2 ，。n + 1 r e w r i t e 蠲： a a 7 ( ) + ( e b + o ( f ) = z 0 ，n ( o ) = 7 ( 斗+ i 口+ r c ) o = a a “一+ r 冗f 。) i nc h a p t e r3 ，g i v et h e c o n v e r g e n c ea n a l y s i s t h e e 舡et w op a r t si at h i sc h a p t e r i np a r t 嘲e g i v ear e m a r kf i r s t ：r e m a r k t h es k i l li sv e r yu s e f u l ： d i v a = 0 ，( 口v ，地) = 一( 口v 蝴) = - ( a v 珊，v h ) 辛( a - v ，) = 0 屹 a n dt h e at w od e f i n i t i o n s ： ( 2 2 4 ( 2 2 砖 b e c a u s e d e f m i t m n2 v z t i f t h e r e i s l r a o n t h e b o u n d a r yo 矛t ： 扭扛一工。i = | a l l l l x - = = 1 1 a n dm 伽一z 。* 0 ，t h e n w ec a l l x 。t h e u p w 自a d o f x d e f i n i 2 曲3 1 蝴2 搿8 肛一z a ) 杠p 爵= 两1j r u t 。如峰= 异( 6 d 厶6 融 t h e ng i v et w ol e m m a ： l e m m a l 垤t 比t w h e v e t 矗，i f z , i st h eu p w i m do fx ，t h e n ： 0 巧a ( r x ) l a l 2 l e m m a2 t i n 矗f t h e s m a l l e s n n g l e o f t o o w h e r e o o 0 t h e nt h e r e e x i s t ac o n s t a n c ec i n d e p e n d e n to ft s t 爵2 e 面h tm i n 掣，1 ) i x 山东大学硕士学位论文 a n dt h e nt h ec o n v e r g e n c ea n a l y s i st h e o r e m ： t h e o r e m1 i f u h s a t i s f i e d ( 1 1 4 ) ，矗，e l i sd e f i n i t eb y ( 3 1 1 0 ) ( 3 1 1 4 ) ，t h e n 锄v e i i 。f l = ( ：陬l lj 0 2 n + 确。v e l l l ；, r ) ( 3 1 1 6 ) ? t h e o r e m2 i f u h s a t i s f i e d ( 1 1 4 ) 矗，e l ，? t i sd e f i n i t eb y ( 3 1 1 0 ) ( 3 11 4 ) ( 3 1 1 7 ) a n di f u h 。( q ) n 3 ( n ) i st h ea c c u r a t ea n s w e r ，t h e n ： d v e h 0 2 皿 c 争一i ( 3 1 2 1 ) r e j i v e c + 确。v e 工| 1 3 r c 1 丁碎一1 呲r ( 3 1 ，2 2 ) r丁 w h e r ec o n s t a n c eco n l yd e p e n do n o o o f ：r t h e o r e m3 f f u a s a t i s f i e d ( 1 1 4 ) 石，e l ，竹i s d e f i n i t e b y ( 3 1 1 0 ) ( 3 1 1 4 ) ( 3 1 1 7 ) a n dm l h 。( f 2 ) n 础( n ) i st h ea c c u r a t em t s w e r ，t h e n ： 玉l l v ( u u ) ( c 竹碎一1 i u ( 3 1 2 3 ) 丁 ( d l v ( - , , l ) l 1 0 2 ，n + 再l l o v ( w l ) 嗽) 5s ( c 竹 笋一i 1 ( 3 1 2 4 ) t r w h e r ec o n s t a n c eco n l yd e p e n do n o o o f t h i np a r tt w o g i v et h ec o n v e r g e n c ea n a l y s i so ft h ep a r a b o l i cp r o b l e m s ： l e m m a3 i f u h ( q ) n 嘲( n ) ，w h e r e lss r ，v x v h t h e r ei s ： 。i ；n h fe t l l p e v - - x l l + h r i i v ( p e ”- x ) l l a ( e 竹垆1 呲r ) l c 5 i i “i i x ty一 。一 ( 3 2 2 ) t h e o r e m4 i f u n a n dni st h es o l u t i o no f ( 2 2 2 ) a n d ( 2 1 1 ) ，t h e r ei s ： i i u 一u ( t ) l l i l v h - v i i + c h 7 = 一 ( i i 。i i + 。i l u , i i ，d 。 ，f 0 ( 3 2 8 ) j 0 t h e o r e m5 i f u “a n dui st h es o l u t i o no f ( 2 2 5 ) a n d ( 2 1 1 ) ，t h e r ei s ： o u “一u ( t 。) o l l t h 一训i + c l ；= 卜 一 l 卜i i ，+ i l u 。i i ，d s + k i l u 。i l d , 九0 1。，n，h 。o。o f 32 1 7 ) x 山东大学硕士学位论文 w h e r ec o n s t a n c eco n l yd e p e n d e n to n 0 0 ，a n dc o n s t a n c ek i st h et i m es t e po ft h e b a c k w a r de m e r - g a l e r k i nm e t h o d i nc h a p t e r4 ，g i v et h ee x t e n s i o na n dr e s u l t k e y w o r d s p a r a b o l i cp r o b l e m s ，t h er e s i d u a l - f r e eb u b b l e sm e t h o d ，p r i o r ie r r o ra n a l y s i s x i 附件一： 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名：碜；! 勾日期：塑! ! 竺6 旦，!论文作者签名：望：! 型日期：塑! ! 竺6 旦i ! 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本 学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：盔鱼导师签名：日期：御珥月) 鸯 山东大学硕士学位论文 第一章引言 二十世纪中叶出现的有限元方法。引发了计算机辅助求解科学工程问题的革 命扩大了近似求解问题的范围，提高了近似解的精度，从而极大地推动了自然 科学各门类的迅速发展但是随着科技的发展，标准的g a l e r k i n 方法已不能很好 她解决所有问题 一个重要的挑战是多尺度问题，由于求解过程中出现运算量过大，计算误差 累积过快，最终结果不稳定等问题多尺度问题数值方法成为近期计算数学研究 的热点，新的方法不断涌现到了上世纪九十年代，在研究多尺度问题： c 三吒如+ o 田舻，： 的过程中，又出现了一种名为起泡法的新方法 本章共分为两节，第一节简述起泡法的思想，近似方程及其变形第二节则 介绍近十年来国内外对于起泡法的研究成果，并简述本文所要做的工作 1 1 起泡法的由来 近年对起泡法的研究源自如下椭圆问题： 篙，i 。n n ： ， 1 ；o 。n 勰 卜 其中c t l = 一+ a v u q 黔，用( 瓦k 表示对n 进行三角剖分后小三角形t 的全体并假定在求解区 域n 上口= ( d l ，“) 为常向量，在每个小三角形剖分t 上伪常函数，且有d i va = 0 ，f 口i d i a m f 2 由于假设e i a l d i a m f t ，( 1 ，1 1 ) 实际上是一个多尺度问题若用标准的g a l e r k i n 方 法求解，我们会发现，因边界层引发的近似解波动将会影响到整个区域n ，而原方 程的精确解并不存在这种波动为得到理想的近似解，在九十年代中后期，出现 了一种名为起泡法的新方法 起泡法的基本思想是： 在标准g a l e r k i n 方法的基础上，通过在每个小剖分单元t 上引入，t 内非0 ，a r 和t 外 山东大学硕士学位论文 恒为0 的泡函数，以增加离散空问v 的基的个数，从而解决近似解的振荡问题 由于泡函数选取的特殊性，起泡法可以很容易地理解为一种算子分裂方法： 也正是由于这种特殊性，在具体运算时，起泡法的运算量又较一般算子分裂方法 要小我们不妨在q r 2 的情况下了解它的算法实现： 对于方程( 1 1 1 ) ，与标准的g a l e r k i u 方法相同的是，令圪为础( 渤中在每个小 割分t 上分片线性函数组成的空问，不同的是在每个t 上追加定义一个砩( 研上的 一维子空问b r 从而得到增广空问： = o b r ( 1 1 2 ) t e 霸 从而解空问扩展为： 坛= 圪+ 临 ( 1 1 3 ) 下面我们将要看到，由于可以通过公式推导，转化为空问m 圪一 矗，所以 在( 1 i 3 ) 中不要求是直和 这样，( 1 1 1 ) 的离散问题可以表示为： 篡v u h v v h d x 5 蒜v u h ) v h & ：厶f v h d zv 豇v l h 嘶( 1 ，4 )【厶+ 厶( a = 厶 坛 、。1 由于( 1 1 4 ) 满足l a x - m n g r 锄引理的条件，所以离散问题存在唯一解 自此假定v l 为( 1 1 1 ) 的标准g a l e r k i n 线性解，满足( 1 1 4 ) 下面通过逻辑推 导，得到更易于具体求解的等价形式： 由于u 暑c ，且显然在每个t 上分片线性， 口聊( 丁) 若令( 1 i 4 ) 中 的t p h = t - b ，结合( 1 ，1 3 ) 我们有： 矾z v t , 善d c = 0 ， l 圪 将其带入( 1 1 4 ) 化简后有： er v u z v r ；如+ a v u z ) ”暑出= 上，r 暑出一a - v u l ) ”舌出( 1 1 5 ) 2 山东大学硕士学位论文 由假设条件，a 和f 在每个t 上为常值，又因为t v l 在t 上是线性函数，从而( 1 1 4 ) 可 以改写为： if i n du b v s ， s t 【e f r v u b v u 否如+ 异( o v s ) v 否d z = ( ，一口w , ) l r y r v 融v t 居v b ( 1 1 6 ) 由此想到，若令巧是方程： r n 驴v b 巧t = ：n 。_ ( 1 ) 的解显然山于满足l a x - m i l g r a m g，( 1 1 7 ) 存在唯一解，而( 1 i 6 ) 便可以改写 为： lf i n du b v s ， s 1 【矗v u s v b r d x + 厶( n w , b ) b r d x = ( f 一口v , , l ) l r 厶巧d x ( 1 1 8 ) 又假设为一维空问，若将耳作为它的基，结合( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) 便有： u s l r = ( f 一口v u l ) 巧( 1 1 9 ) 将( 1 1 9 ) 代回到( 1 1 4 ) ，最终可以得到等价方程： ff i n d t v l ， “t e f v u n v v l d x + 矗( a v u d v n d z ( 1 1 1 0 ) 【+ t 诌厶( 口+ v u l 一，) ( 口。v v d d z = 厶知如 协l v l 其中，在每个t 上常系数符的定义为： 符= 丽1 厶u t ，d x ( 1 1 ) 竹2 丽厶”z 【1 l 1 1 j 以i - 便是起泡法的基本思想及其实现方法 3 山东大学硕士学位论文 1 2国内外对起泡法的研究及本文的进展 起泡法最早是由c b a i o c c h i ，f b r e z z i 。a r u s s o ，l p n a n c a 等人在九十年 代初提出的在解决类似于方程( 1 1 1 ) 的多尺度问题时，他们发现运用标准方法 所得的近似解，在整个求解区域中发生似水波一样的扰动而运用追加自由度的 泡函数可以很好的解决这一问题 在文章f 1 】中阐明了起泡法的重要，更进一步绘出了，在所有基于方程： 馏( 。v u “h v v h 等扣v u h ) v ) d x ：矗f v d x 泌v h ( 1 2 1 ) 【厶 + 扣= 矗 讹 7 的局部稳定的有限元系统中，如果对于某个离散算子没有非常强的边界限制，可 以通过起泡法加以改进 在文章1 12 】中指出，起泡法还可以因其他目的被引入比如，可以构造细致q l 元 来实现混合问题中的最大最小条件 在文章【4 】中绘出了起泡法在p l 元的一个稳定范数意义下的先验估计它运用 新方法分析起泡法的收敛性，并得到了一个与标准方法下r 元在收敛性方面相似 的结果，更为重要的是，文【4 】第一次给出了，对于r 元，当i i n t ，起泡法的误差 估计 在文章f 4 】和【10 】中，运用类似于上一节中的过程，证明了在r 元中，起泡法 与s d f e m 方法是等价的但是，由于起泡法是一种对参数没有任何限制的自由 方法，所以比s d f e m 法在具体计算上更具普适性 在文章1 6 中，得到了规则网格剖分下起泡法的误差估计 l t 一“ l c h + li u i k + 1 , 2 。n( 1 2 2 ) 在证明过程中用至0 了文【1 7 】中出现的b e s o v 空间 在文章1 1 5 1 中，则用更标准的理论完成了局部估计和l 2 估计 而在文章【1 8 1 中，给出了对1 ( r ) 的一个含权的变形，并在l t 一u h h a n 模意 义下得到了非规则网格下的误差估计 4 山东大学硕士学位论文 既然多尺度的椭圆问题，可以通过起泡法消除振荡，得到稳定的近似解那 么，类似的抛物问题： 怪嚣踮 蚤 【0 ，t e l f 0 ，强】， 是否也可以运用起泡法的思想离散化，并得到稳定的解呢? 本文研究将起泡法与e u i e 卜g a l e r l 【i n 向后差分法耦合求解此抛物问题的解 法，并在第三章给出了此解法的先验误差估计，在第四章给出了迸一步研究的初 步设想 5 山东大学硕士学位论文 第二章离散化方程 本章中，我们将离散化所要讨论的抛物方程本章共分两节，第一节给出抛物 方程，并对将要用到的符号给予必要的说明；第二节运用起泡法，并结合向后e u l e r - g a l e r k i n 方法，得到问题的全离散形式： f 登! z 萼2 ( 如，咖。) + 苎凹g 跏，v i ) 竹；l ，2 ，n ， i j = lj = l 1+ 哼( o v 咖，妒i ) = ( ，机) ， k = 1 ，2 ，n + 1 ， l j q 。 【霹= ， j = 1 ：2 ，i v + l 2 1 问题的提出及符号说明 在这一节中我们将给出本文所要讨论的抛物型方程，并对相应的符号给予说 明 求解如下强对流扩散方程的初边值问题： i 札i e a u + 口v t = ，z q t 【o ，死】， “( z ，t ) = 0 ， z a n t 【0 ，丁翻， ( 2 1 1 ) i “( z ，0 ) = ， z q 其中q 为r 2 上的有界多边形区域，啦为1 1 关于时问t 的导数，并假设，( z ，) 在三角 剖分后的每个小三角形t 上是常函数，( ，t ) h 7 0 1 0 ，如】) ，a = ( a l ，口2 ) 在n 内 为常向量，击va = 0 ，i o f d i a m f 2 为方便下面的方程离散及先验估计特此对下文用到的符号给予统一说明 符号说明： 磊表示q 的由互不相交的三角形t 所组成的三角剖分，其中任意三角形的顶 点都不落在另外一个三角形的边或内部且所有三角形边的并集所确定的线段 族cq ，其边界顶点落在a f 2 上用p 表示t 的内部，令h t 为三角形t 的直径，令h = m a xh t ，并要求剖分五是拟一致的 圪为在孬上连续，孬外以及a n 上值为0 ，且在每个t 上分片线性的函数全体 令也( ) 为圪中在t h e - - 个节点取1 ，其他节点取。值的山形函数则 也( 。) ，“构 成圪的一组基，将t 上的函数巧加入此集合中便构成了的一组基，我们不妨记 做 破( z ) 山于hch o ( 介) ，我们自然有： 6 山东大学硕士学位论文 i i v l i - ( 厶1 j 2 如) l ，i i v i ，= ( i f d l ，( q 叫) = 矗伽出， l a l _ 0 ， 在o r _ 匕b r2o 从而山最大模原理，巧0 若令： 叫( z ) = 口( 工一z 。) n 2 6 直接计算可得： fc 枷；厶( z x a ) n 2 一c 6 f = 静一1 0 ， 【1 l ，= n ( z a a ) l a l 2 一巧= 口- ( z x a ) h 220 9 ( 3 1 2 ) 汛p ， ( 3 删 o n 卯 山东大学硕士学位论文 同样由最大模原理，我们有w 扛) 0 引理得证 为得到误差估计，还要给出几个与剖分直径h 同阶小量的定义： 定义3 令碍= m 螫口扛一x 。) l a i 2 z ? h r = 南矗玎如峰= 厶( 圩) 2 出厶巧出 由引理l ，我们有： 0 6 s 蛑 从而 上6 t 如s 碍m ， z ( 砰) 2 d x 0 则存在不依赖t 之选取的正常数k ，满足关系： h r 两h tm i n 掣，1 ) 同时注意到： v t l ，v v s 如= 一z 地”口如，铷c 圪t 信 1 0 山东大学硕士学位论文 又由于在每个t j l v l 分片线性，而”口明( r ) ，从而 v v lv v b d z = 0v v l v l b v b ( 3 1 9 ) 若令畜v h 为t l 在上的一个插值近似由的定义，耐以表示为 = u l + 而瓦v l 西b ( 3 1 1 0 ) 其中瓦为u 在磊上分片线性插值而在每个t 上面满足： e z v 扣一动v 砰如+ 上( n v ( 一司) 砰如= 。 ( 3 1 1 1 ) 结合( 3 1 9 ) ，( 3 1 1 0 ) 得到菇满足如下方程 e v 面v b r l d x = ( ，一口v 瓦) b t d x ( 3 1 1 2 ) j r j r 从而菇在每个t 上可以表示为： 面b = ( ，一口v 芘) b t ， i ne a c hr ( 3 1 1 3 ) 则对于e = h 一石v h ，同样可以表示为 进一步在每个t 上有： e = e l + e b e 工圪，e b v b ( 3 1 1 4 ) 回顾a ( w ，。) 的定义，我们有： e 口i = 一( 口v e l l r ) b ( 3 1 1 5 ) 。( e ：e ) = e f v e v e d z + z ( n v e ) e 如= s v e v e 如= e l i v e 嗑n 从而得到： 定理1 假设“ 为( 1 1 4 ) 的解，菘，e 1 的定义分别参见( 3 1 1 0 ) ( 3 1 1 4 ) ，则有如 下估计式： e 知v e = ( - w e l l 0 2 m + 爵忙v e l 嗽) ( 3 1 1 6 ) 山东大学硕士学位论文 在此基础上，如若令： 竹2i - i m 戤 1 ，齑( 3 工1 7 ) 注意到( 1 1 1 ) 的弱形式和( 1 1 4 ) 还可以写成： d ( u ，口) = f v d z ，v v 础( n ) ( 3 1 1 8 ) j n o o i h ，l 啊) = ，1 ，h d x ， 坼飞( 3 1 1 9 ) j n 将上边两式相减： n ( t 一u ，v h ) = 0 v v h ( 3 1 2 0 ) 在此基础上便可得到下面两个关于用起泡法求解( 1 1 1 ) 的精度估计定理： 定理2 假设t l 为( 1 1 4 ) 的解，瓦e ，竹的定义分别参见( 3 1 1 0 ) ( 3 1 1 4 ) ( 3 1 1 7 ) ， 且假设精确解u h ( n ) n 明( n ) ，则有： 愀嗑nc 竹 争一1 i 圳：刀 ( 3 1 2 1 ) r 慨l + 确n v e l i l 3 ，sc t h r = 1 知 ( 3 1 2 2 ) rr 其中常效c 只依赖于五中三角形的最小顶角度数如 定理3 假设u 为( 1 1 4 ) 的解，瓦e 厶竹的定义分别参见( 3 1 1 0 ) ( 3 1 1 4 ) ( 3 1 1 7 ) ， 且假设精确解t l 。( n ) nh o ( t o ，则有： 5 钏v “一) s ( c 竹 争一1 i u ， ( 3 1 2 3 ) r ( e 愀u u l ) + 确a v ( u u l