（计算数学专业论文）某些非线性方程数值解的长时间性态.pdf

中文摘要 中文摘要 本文考虑的是一个拥有整体吸引子的b w g e r s 方程。 首先，对b u r g e r s 方程的初边值问题建立了一个半离散的有限差分 格式。我们先证明了这个离散系统的整体吸引子是存在的；然后，在系 统自治的情形下，得到了半离散有限差分格式的稳定性和差分解的误差 估计；最后，在系统非自治的情形下，得到了此有限差分格式的长时间 稳定性和收敛性。 其次，我们对b u r g e r s 方程的初边值问题叉建立了一个全离散的有 限差分格式。同半离散系统的讨论过程相同，在此离散系统中，得到了 与半离散系统上的理论相对应的若干理论。 关键词：整体吸引子 口r g e r s 方程 半离散有限差分格式 全离散有限差分格式 有限差分法 长时间的稳定性和收敛性 外文摘要 a b s t r a c t b u r g e r se q u a t i o np o s s e s s i n gag l o b a la t t r a c t o ri sc o n s i d e r e d f i r s to fa l l ，w ec o n s t r u c tas e m i d i s c r e t ef i n i t ed i f f e r e n c es c h e m et o b u r g e r se q u a t i o nw i t hi n i t i a lc o n d i t i o na n dd i r i c h r e tb o u n d a r yc o n d i t i o n s t h ee x i s t e n c eo fg l o b a la t t r a c t o ri sp r o v e df o rt h es e m i d i s c r e t es y s t e mf i r s t l y t h e ni nt h ea u t o n o m o u ss y s t e mc a s e ，w eo b t a i nt h es t a b i l i t y o ft h es e m i d i s c r e t ef i n i t ed i f f e - r e n c es c h e m ea n dt h ee r r o re s t i m a t eo ft h e d i f f e r e n c es o l u t i o n f i n a l l y ，t h el o n g - t i m es t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c eo ft h i s f i n i t ed i f f e r e n c es c h e m ea r ea l s oa n a l y s e di nt h en o n a n t o n o m o n ss y s t e m c a s e t h e nw ec o n s t r u c tac o m p l e t e l yd i s c r e t ef i n i t ed i f f e r e n c es c h e m et o b u r g e r se q u a t i o n b yu s i n gt h es a m ep r o c e d u r e sa st h ed i s c u s s i o no ft h e s e n f i s d i s e r e t es y s t e m ，w eg e ts o m et h e o r i e sw h i c ha r eo p p o s i t et ot h e t h e o r i e so fs e m i d i s c r e t es y s t e mi nt h i sd i s c r e t es y s t e m k e y w o r d s ：g l o b a la t t r a c t o r b u r g e r se q u a t i o n s e m i d i s c r e t ef i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e c o m p l e t e l yd i s c r e t ef i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d l o n g t i i n es t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c e i i 引言 第1 章引言 b u r g e r s 方程的初边值问题 u t 一7 u 。+ u “z = ， oen ，t 0 ，7 0 t 0 一 z n ( 1 ，1 ) ( 12 ) ( 1 ，3 ) 在物理学中有着广泛的应用，在理论上其真解也是存在的。然而，由于 问题自身的复杂性，真解通常难以获得，因此就需要通过数值的方法进 行计算。有关这一类问题的研究早在几十年前就已经开始了，特别是由 于计算机的诞生和发展，许多偏微分方程问题都获得了数值解，使人们 能够更多的认识解的种种性质及其数值特征，为许多实际问题提供了理 论和数字依据。 b u r g e r s 方程是耗散型方程中比较典型的方程。对于耗散系统而 言，吸引子的存在性是它最重要的特性之一，而且长时间的动力性质是 完全由系统的吸引子所决定的这类问题曾经被许多人研究过，如汤中 华、戴嘉尊【4 和徐岩 5 等等。但一般只是对t 在有限时间段 0 ，t 内的 情形，讨论其数值格式的稳定性、收敛性及其误差估计，对于t 在f 0 ，。) 上的情形还未作出讨论。 差分法是解偏微分方程定解问题的常用近似方法之一。在本文中， 我们利用此方法讨论了b u r g e ，s 方程初边值问题的长时间稳定性和收 敛性。首先，对非线性项进行了特殊处理；然后，对问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 建 立了一个半离散的有限差分格式，从而我们得到了比较简单且直观的理 论。在此基础上，我们对问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 又建立了一个全离散的有限 差分格式，即时间方向、空间方向都进行离散，这样使问题更具有普遍 黑龙江大学硕士学位论文 性，最终也得到了比较理想的结果。同时，在半离散和全离散两种情形 中，也对整体吸引子的存在性进行了研究 本章小结 本章主要介绍了b u r g e r s 方程初边值问题的历史背景以及近些年 来的研究状况，也指出了本文所要讨论的问题。 2 第2 章一些记号和引理 第2 章一些记号和引理 首先，用两簇平行线x = x ，= j h ( j = 0 ，1 ，j ) 和t = t 。= n v ( n = 0 ，1 ，) 将区域0 0 。= 0 ，l 】x 0 ，。) 分割成矩形网格，其中j 为正整数，j h = l ，h 和r 分别为空间方向步长和时间方向步长， 用n n ，t 札，代表定义在点集i h = z o ，z ，x j ) 上的离散函数。其中 + ，+ 一分别代表空间方向的一阶向前差分、一阶向后差分和二 阶差分 + “j = u j + l u j ， 一嘶= u j u j 一1 ， j _ 一u j 。u j + i 一2 u j + u j 一1 用正品，d 2 分别代表空间方向的一阶差商、一阶中心差商和二阶差商 我们引进离散的内积 和离散的日1 内积 导，吼，= 等 = 丁a + a _ u j 对应地，我们有离散l 2 范数和离散日1 范数 1 忆 = j 1 6 让 队= ( 5 u h ，6 u ) ； 3 h 0 舢 | | 而 0 6d ：豆 | | dd 黑龙江大学硕士学位论文 最后 2 m a 。x ，m 自然地，设鹾和砩为赋范向量空间 r n l ，i n ) 和 r 扩1 ，。，n ) 此处耐“= u n r 。+ 1 j “o = “j = 0 。经过简单计算我们容易得到 引理2 i 对于定义在h 上的离散函数“：有 n + l ，芝华h = 竖警螋+ 到氅警陇 引理2 2 对于任意的离散函数 ) 墨。，若满足“o = u j = 0 ，则有 ( 1 ) 慨sl l u h l l 加d 2 n 幢 ( 2 ) r 一三赢防 证明：f 1 ) 由于 可知 u o a + u o + u j a 一j f l d 。忆慨| | j | | 1 6 。u 。幢 ( 2 ) 由? - t o = u j = 0 显然有 j 一1 u ，= ( 坼- 一u 。) i = 0 4 勘 一 + h 埘 一 = 一 + h 吲 一 = 吩 第2 章一些记号和引理 由c a u c h y 不等式 l 。，l s 互1 j - 1f “州一。i ；i i l t i 圳 1 “，ls 石2 二f “件，一。i ；一i l d “n | l n 。i = 0 “ 因而 嗑= 2 h 扣删6 n 慨 引理2 3 对于任意的离散函数 码) 刍o ，若满足u o = u j = 0 ，则 有下列不等式成立 l | “n 怯| | u nj | l 怯n 慨 证明：由“o = u j = 0 显然有 丐2 = ( u 州+ “。) d i h ， 哼= ( u 州+ u i ) s u 。h i = j 由c a u c h y 不等式 2 = ；l ”l + l + u 。怖。i h 剑d 扎n “n 一i = 0 引理2 4 对于任意的离散函数 j j 5 0 ，记 9 ( 勘，) = v j s o u j + 如( 2 。2 。) 】， 则有如下关系成立 ( 9 ( u 。，。) ，5 2 u h ) 。s | | “。旧| d 。u 。幢 证明： ( 9 ( u ，u h ) ，5 2 u ) “ 黑龙江大学硕士学位论文 ：基扣等+ 睑吲趟) 半 = 赤( 哟+ u ，+ + 乜，一1 ) ( “，+ 1 2 。一- ) + 一奶 石1 3 i i “。j f 。j - 1l d + d t 。一，f 掣 曼；| | n n 】i 。2j i d “n | | n 1 1 , 5 , 1 1 n si i , u h 。旧f d 。札。 由引理2 2 之( 1 ) 有 ( 9 ( 仳。，u 。) ，6 2 u h ) 。i l u h 吲51 6 。峨7 引理2 5 如果，( f ) ，他) c ( r + ) nl 2 ( r + ) ，则下列不等式成立 r o o i f ( t 圳2 r 厂。i f 阳+ ( 1 川厂0 0 i f ( t ) 1 2 d t j 0 j 0 r m ) 1 2 r ( f ) j 2 出+ ( 1 + r ) 2 女= 0 证明：由分部积分公式得到 f o 女“。产k + l f f ( t ) 1 2 d t = l f ( t k ) 1 2 r 一( t t k + 1 ) 2 f ( t ) f 7 ( t ) d t ， j t kj t k 可知 f e k + lf t k + i r i ，( t ) 2sff f ( t ) 1 2 d t + r7( i f ( t ) 1 2 + i ，( t ) 2 ) d r ，t j t o ，n “t f ( t ) l 。( 1 + ，) 厂“”i f ( t ) l 。班 j “j “ 对从0 到o 。求和可得结论。 引理2 , 6 设 g ” ，( 卵 ， 鳢) ， 0 ，使得对所有n 0 ，1 一丁_ 鳢7 7 ，那么有 证明：由( 2 1 ) 式得到 y “+ 1 一y “7 - g ；+ 1 y ”+ 1 + r g y “+ r h ”，n 0 由上面的不等式我们可知 y ”+ 1s ( 1 7 _ 9 ；+ 1 ) 一1 ( 1 + r 9 7 ) 剪“+ ( 1 7 _ 9 ；+ 1 ) 一1 r h ” 设b k = ( 1 7 - 9 2 ) 一1 ，= ( 1 + 7 _ 9 ) ，则有 y 时1sb n + l a “y ”+ 6 “+ 1 t h “ sb n + l n “( 铲a ”一1 y ”一1 + b 1 t h ”一1 ) + 6 ”+ 1 v h “ 另一方面，由于 可知 ( b n + l b ”) ( o “a ”1 ) 旷。+ ( b n + l 扩) 矿r h ”1 + b n + l r h ” 1 n ( 1 一z ) 禹， n b 矿 k = i + l v x f 0 ，1 ) 1 + x e 。，v o r 7 - 9 j ) 7 计 脚 丁 “ 麟 谚 。 r t 7 “ 旺 圹 一 井 一 时 旺 幽 。斟 丁t 7 烈 雠h ：l r 州斟k 。：l 南 。 驴 州脚 k 2 9 r n 州斟 k p xe 二 0 州斟 k | | 驴 州讲自 黑龙江大学硕士学位论文 并且 因而 显然有 如p ( 委。焉) 嶙| | 队，使得球 础= “ l ；l | f u n 队p o ) 是半群& ( ) 下在l i 中的吸引集。 证明；在( 3 1 ) 式两端同乘u j ( t ) h ，并对j 从1 到j 一1 求和有 j ij一1|一1 “，( ) 一，y 6 2 u j ( t ) u j ( t ) h + 9 ( “j ( t ) ，“，( t ) ) ( t ) j = lj = lj = l 9 黑龙江大学硕士学位论文 由于 j l 9 ( 哟( t ) ，“，( ) ) 勘( t ) h j = 1 2 ；( ) 1 2 壶( u ( t ) 讪，一( t ) ) + 轰( h ，( t ) 1 2 一f “( t ) m a t ) 2 ；善i “删2 帅( 旷：h ( t ) + 著h 删2 u j _ l ( 旷；蔷1 2 u j + l ( 牡m 容易得到 ；知乱删肌7 i i 删i i a i i n i i 珏n ( t ) l l 一 利用引理2 2 之( 2 ) 及y o u n g 不等式有 翔d iu 以川2 + 糯4 m 驯睢蕊2 7m 驯1 2 + 訾毛 由上式知 珈d ( 堋+ 糯4 - ym 伽掣- - t 孑睁- - i i a l i 6 b 在不等式两边同乘e 鸟i j l lh ，对t 从0 到t 积分有 i l u h ( 堋曼e 一稚f l 札删肛丽i i l l l 2l , 1 一e 穗2 ) i i a i i i ，f r + 由引理3 1 和有穷维空间范数的等价性知，对于固定的空间步长h ， i l u ( t ) 怯对t 是一致有界的，利用解的延拓定理可知，问题( 3 ，1 ) 一( 3 , 3 ) 的解在r + 上是存在的，且解的唯一性由定理3 2 可得到。 i 0 洳疗 芦 第3 章半离散有限差分格式 f 面，证明在空司月z 中吸引集也是存在的。 引理3 2 在引理3 1 的条件下，有估计 t ) 1 1 1 2 ，。茎e 一穗。o ) 1 1 1 2 ，。+ 嵝1 6 7 白 7 一r 撑 + - 可2 i i h l l h ( 1 - e 商。1 ，t r + 此外，存在一个常数p ， 訾( ；7 ) ， 妒+ 磐| | 憾) ，使得球 b ? = “ 磁lf “h l t ， p 。) 是半群既( t ) 下在硪中的吸引集，其中皤= j f u ( o ) l l g + p ； 证明；在( 3 1 ) 式两端同乘一6 2 勘( ) ，并对j 从1 到j 1 求和得 一呓( t ) 6 2 u j ( t ) h 十，y l a 2 ( t ) 1 2 h j = i j = l 一9 ( ( t ) ，“，( t ) ) d 2 ( f ) = 一办d 2 u j ( t ) l t j = l j = l 由引理2 4 知 g ( 锄( ) ，q ( t ) ) j 2 u j ( t ) h l j = 1 s ；i i 铲u h ( 堋+ 百1 亍2 7 ) 一7 i i 吐删盼 ( 3 4 ) 又因为 一胪( t ) 护“删盼 ， ( 3 5 ) 由( ) 、( ) 式4 = 及1 引理之( ) 知 itaiil34 3 52 22 沙d 删l i ，n + 糯4 7m 洲，n 互1 ( 亍2 ，y ) 一7 础+ 孤慨( 3 6 ) 黑龙江大学硕士学位论文 再由引理3 1 我们得到 l l “n ( 0 1 1 i l | “n ( o ) 幢+ 胡= 碌t r + ， 在( 3 6 ) 式两端同乘e i 睫对t 从0 到t 积分有 驯邬e 4 i l l l l h2 忪棚川；一 訾( 涉7 卯 l f “n ( ) | 瞪。e i l u ( o ) | 瞪 + 等等导( ；，y ) 一7 础o + 炒i l f h l l ： ( 1 _ e _ 静r + 利用引理3 1 、引理3 , 2 和引理2 3 ，我们得到 推论3 1 如果f g r ( o ，纠) ，并且初值l i “ ( o ) 忆h 兰r ，那么存 在一个与h 无关的常数c ( r ) ，使得 s u pl | 札 ( t ) | | 色g ( r ) t e i 毛+ 至此，我们证明了对于砩上的离散系统，其吸引子a 是存在的。 显然，算子s h ( t ) 满足半群性质 岛( t ) 瓯( s ) = s h 0 + s ) ，v t ，8 0 ， & ( o ) = i 并且对v t r + ，s h ( t ) 是有限维空间砩到其自身的一个连续算子， 又由引理3 2 可知，在算子s h ( t ) 下，磁中的吸引集b ? 是有界的。利 用文献1 1 中定理1 1 ，我们得到 定理3 1 如果f g ( 【o ，明) ，那么离散系统拥有一个h ：空间上 的全局吸引子也，并且 a h = n u 瓯( s ) 研 3 2 差分格式的稳定性和收敛性 一1 2 第3 章半离散有限差分格式 设 u ( t ) ) ， ( t ) 是差分格式在初值 “ ( o ) ) ，m 。( o ) ) 下的两个 解，并且初值满足 u h ( o ) 1 1 1 , h 曼r ：i i h ( 0 ) 1 1 1 , hsr 由推论31 知 s u pi l “n ( ) l l 蝥e ( r ) ， s l i p | ( t ) i 銎sc ( r ) ter+ter+ 设e h ( t ) = u h ( t ) 一v h ( t ) ，那么c h ( t ) 满足 1 j j 一1 ，n 0 6 0 ( t ) = e j ( t ) = 0 ，礼0 勺( o ) = u j ( o ) 一t o ( o ) ，0 js ， 在( 3 7 ) 式两端同乘s j ( t ) h ，对j 从1 到，一1 求和有 j l j 一1 弓( t ) e j ( t ) h 一7 d 2 z j ( t ) z j ( t ) h j = l= 1 j l + b ( 哟( t ) ，u a t ) ) 9 ( ( t ) ，( t ) ) 】勺( t ) = 0 j = l 其中 j 一1 z ；( t ) c j ( t ) h j l ，y 5 2 e j ( t ) q ( t ) h = 7 慨h ( ) 眩 ，= 1 j1 囟( 嘶( ) ，( t ) ) 一g ( ( t ) ，q ( t ) ) 】勺( t ) j = l ( 3 8 ) ( 3 9 ) 黑龙江大学硕士学位论文 = b ( ( t ) ，勺( t ) ) + 9 ( ( t ) ，( ) ) 勺( t ) h = 9 ( “，( t ) ，勺( t ) ) 勺( t ) ：；篆砒吲咖舢) ) j 啪) 茎扣基删2 + 5 0 c j 制l 扣恢基郇坞坞一啪i ；ij u h ( t ) 1 t o 。( l 岛勺( f ) 晰 ( h l ( t ) + 勺( t ) + c j t ( t ) ； j = l i i l u h ( t ) l l o 。| | 6 e ( t ) i l 3 i i e h ( ) | | = l i 乱h ( t ) f l 。i l g c h ( t ) l f n l l e h ( t ) l l n 弘觯川：+ 磐驯l 乐 ( 3 1 0 ) 由( 3 8 ) 一( 3 1 0 ) 式知 珈d ( 堋挈堋，川 因而有 硼se 竿( o ) 限t 0 从而我们得到了下面的稳定性定理 1 4 第3 章半离散有限差分格式 定理3 2 设 u ( t ) ) ， ( t ) ) 是差分格式分别在初值 “n ( o ) ) ， ( o ) ) 下的两个解，并且初值满足 i | 孔 ( o ) 忆n r 、f | u n ( o ) 忆 r 则对v t r + 有 | i “h ( t ) 一” ( t ) l f e 螂2 7 。i i u ( o ) 一” ( o ) i i 。 同定理3 2 的证明过程相同，我们能得到下面的收敛性定理 定理3 3 如果方程( 11 ) 的解满足 i t l 。( o ，t ；h 4 ( q ) n 础( n ) ) ， 并且差分格式( 3 1 ) 的初值满足 | | h ( o ) 一乱( ，0 ) l i b = o ( h 2 ) 那么对y t t ，存在一个依赖于t 的常数c ( t ) ，使得 j f u ( ) 一( ，t ) l l hsc ( t ) h 2 3 3 差分格式的长时间稳定性和收敛性 在系统非自治的情形下，我们对带有边界条件( 3 2 ) 的半离散有限 差分系统的解作先验估计，此估计与时间t 无关。在( 3 ，1 ) 右边以f a t ) 代替 ，假设存在一个与h 无关的常数q 使得 ( f i f ( t ) l l xd t ) 墨c o 旧1 ) 引理3 3 对于任意的初值“ ( o ) 联且u o ( t ) = u ( t ) = 0 ，如果 ( 日1 ) 成立，那么存在一个常数k o = i i ： ( o ) 蠊+ 訾四，使得 普m 圳赢o ”圳靴茎硒 黑龙江大学硕士学位论文 翱u 删，y i i 轧删眶砩2 0 , 堋+ 百1 1 1 1 1 4 ) 愫 由引理2 2 之( 2 ) 我们可知 舢删阶佩4 7 硼茎百1 1 1 1 1 2 ) 慨 在不等式两端对t 从0 到t 积分有 驯氚知蜊憾呱叫肛1 1 4 1 7 1 1 2 小 加川细 那么可得到 器圳赢z ”驯胁蚓i “棚川2 + 1 1 4 1 7 1 1 2 c 。= 引理34如果( h 1 ) 成立，那么对于任意的初值u ( o ) 砩且 。( t ) ：。j ( t ) ：0 ，则存在一个常数k 。= | | “h ( o ) 旺 + 訾( ；7 ) 一7 砩+ ，2 c 。2 ，使得 普m 堋，n + 蒜j o l i m b a堋，n 出sk ， 一 4 0 。 证明：在( 3 1 ) 式两端同乘一d 2 哟( t ) ，并且对j 从1 到j 一1 求和 得 知删既+ 蕊4 0 洲，n s ；( ；，y ) 一7 i i “。( t ) | l + ；i i a ( t ) 眠 在不等式两端对t 从0 到t 积分有 驯瞪。+ 蒜z i i u 以) 1 1 1 2 t | | u 。( 。) 1 1 1 2 ，。+ i 1 ( 亍2 7 ) 一7 o 。i i u n ( | | d + ；z i i a ( t ) l i ：d t 1 6 第3 章半离散有限差分格式 外棚) 慨+ 訾( 涉7 硪+ 转 p “ 川巳+ 竹“妇链似固 ( 3 1 1 ) l 驯州驯j 乙+ 知州圳j 蝥蜒e ( 毗 h “ j - - 1 剥勺( t ) 丘：抬眦) l f , 1 ( 3 1 2 ) 一，y ( ( ) = 圳( t ) 限 ( 3 1 3 ) b ( 勘( 亡) ，( ) ) 一9 ( ( ) ，码( ) ) 忙，( t ) 是 = 2 2 9 ( 仳j ( t ) ，c j ( t ) ) q ( t ) h 1 7 黑龙江大学硕士学位论文 扣( 驯盼却? t h ( t ) c h ( 堋 ( 31 4 ) 由( 3 1 2 ) 一( 3 1 4 ) 式知 d l i s 一( f ) 假孙“( t ) 心6 h ( t ) 慨 再由( 3 1 1 ) 式我们有 怖( 础墨e 华o ) 慷 定理3 4 假如( h 1 ) 成立，设 u h ( t ) ) 和 ” ( t ) ) 是差分格式在初 值 “n ( o ) ) 和 ( o ) ) 下的两个解，并且初值满足 i i “h ( 0 ) 忆 r ，l i - h ( 0 ) l i i , h 曼r 那么我们有 e f r 、 1 l u h ( t ) 一 ( t ) 1 i se 苜i i “h ( o ) 一 h ( 0 ) l l h ，t 0 设r h ( t ) 代表差分格式( 3 1 ) 的局部截断误差。如果方程( 11 ) 在初 始条件( 1 3 ) 和边界条件( 1 2 ) 下的解u ( x ，t ) 充分光滑，铲i i r h ( t ) l i 2d t 收敛，且有铲i i r h ( t ) 1 2d t = o ( h 2 ) 同定理3 4 的证明过程相同，我们 能得到下面的收敛性定理 定理3 5 如果定理3 4 条件成立，并且假设方程( 1 1 ) 在初始条件 ( 1 3 ) 和边界条件( 1 2 ) 下的解满足 “l o 。( r + ；h 4 ( q ) n 嘲( q ) ) n 三2 ( r + ；h 4 ( q ) ) 且差分格式的初值u h ( o ) 满足 l l u ( o ) 一“( ，o ) l l = o ( h 2 ) 那么存在一个不依赖于h 的常数g ，使得对v t r + ， i i 牡h ( t ) 一( ，t ) l i c h 2 t 8 第3 章半离散有限差分格式 本章小结 在本章中，我们首先对问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 建立了一个半离散的有限 差分格式( 3 1 ) 一( 33 ) 。接下来，对此差分系统的长时间行为进行了分 析，知道了此离散系统在磁空间上拥有一个全局吸引子；并且在系统 自治的情形下，得到了差分格式( 3 1 ) 一( 3 3 ) 在有限时间段上的稳定性 和收敛性，即定理3 2 和定理33 ，也得到了差分解的存在唯一性。在此 基础上，我们尝试在长时间段上考虑差分格式( 3 1 ) 一( 3 3 ) ，最终在系 统非自治的情形下，得到了定理3 4 和定理3 5 ，即差分格式在长时间 段上的稳定性和收敛性。 1 9 黑龙江大学硕士学位论文 第4 章全离散有限差分格式 4 1 差分解的存在唯一性 我们对问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 建立如下全离散差分格式 u ? + = i n 一7 d z “? + - + 9 ( 喈+ - ，嵋+ - ) ：乃， 1 j j 一1 ， n 0 u “0 = “j = 0 ， 札0 “o ，= “( 茁j ) ，0 j ， ( 41 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) 下面运用l e r a y s c h a u d e r 不动点定理证明差分解的存在性对于任 意的( j + 1 ) 维向量 = ( u o ，l ，“j ) ，我们建立一个( j + 1 ) 维向 量妒h = ( 妒o ，妒l ，妒j ) 满足 字一7 学圳哟, u j ) 咄1 5j j 。 其中r j + 1 。这样我们就定义一个映射t ：玩鹾满足= t ( u h ) ，显然对于v u h 联，t 都是连续的。由l e r a y s c h a u d e r 不 动点定理，要想证明有限差分系统( 4 1 ) 在边界条件( 4 2 ) 下其解的存在 性，它的充分条件是映射a t 的所有不动点，关于参数a ( 0 茎a 1 ) 是一致有界的。当映射a t 作用于时，有 掣一研学+ 幻( ，) ：a ，j ，1sj 茎j - 1 丁九。 在上式两端同乘以仍 ，并对j 从1 到j 一1 求和有 ；i 妒n i i ；l i u ：i i n i i 妒n i i n + ) l l a l l h l l 妒h l l h 因而有 | i 妒 i i h i i 让：l | + t i i l i b 2 0 第4 章全离散有限差分格式 这说明，关于参数0 a 1 是一致有界的，因此有限差分系统( 41 ) 在边界条件( 42 ) 下的解是存在的，且解的唯一性由定理4 2 可得到。 4 , 2 差分系统的长时间行为 在这部分中，我们将带有边界条件( 4 2 ) 的方程( 4 ，1 ) 置于耗散动力 系统的框架中，对于固定的h 和r 定义算子： 满足“i = s h ，珏2 。因此，对于v n 0 由定理4 2 可知，由钍：= ( 瓯，) “让2 定义的解算子族 ( ，) “) 。o 形成了一个硪上的连续半群。接下来， 我们对带有边界条件( 4 2 ) 的有限差分系统( 4 1 ) 的解做与t 无关的先验 估计。 引理4 1 对任意的初值“2 碟且札3 = u ? = 0 ，f g ( o ，翻) ，那 么对离散系统的解有先验估计 矧胚( i h - 4 7 t i 2 幢 十烨 1 | ( 1 + 肌4 f 雌t ，r ( n 叫川觚礼 1 ( 4 4 ) j i t k l - ，存在常数砧 嶙| | 肌，使得球 豆j = “ne 三2l l u hr l h p ：) 是半群( 瓯，) “下在己i 中的吸引集。 证明：在( 4 1 ) 式两端同乘以u j 蚪1 h ，并对j 从1 到j 一1 求和有 釜笙嵋一7 , l - - ia 。丐n “妒 ，= 1 。 ，= 1 + 9 ( 矿1 ，“r 1 ) “r l h = 办哼“h 黑龙江大学硕士学位论文 由引理2 1 知 釜笙矿 j = l ：崆学+ 引掣l l 不 ( a 5 ) 0 r”f l o、7 = ；嗽“ 2 壶( 嘣一蹦) + 轰( i 札卅n + 1 1 2 一 嘣n “ ：基 矿甲嘣一百1 二, - 1 伊叩皑 + ；l 哼+ 1 1 2 v n + l 一；i 矿l j 2 啊_ 0 ( 4 7 ) 吾j 1 孵怄甜蚶i + 锋腓 ( 4 s ) 由( 4 5 ) 一( 4 8 ) 式可知 ；型竿噬圳i i 计i 最怕。n 叫盼晋不 利用引理2 2 之( 2 ) 可知 型譬噬+ 最怕幢百i p l i , 2 圳。 r 。| | 1 | | ：”“一4 7 ” 埘，舡 h m 第4 章全离散有限差分格式 设n = ( 1 + 舔) 1 1 卢2 巧, r l 4 ，我们有 | | “：+ 1 1 1 2 l i u ：| 1 i + a 卢1 1 1 i i ( q 1 u ：1 1 i + o p l l 1 i ：) + 卢1 1 1 1 ： = n 2 1 钍：一1 | i + a 2 卢l l f h l l 2 + “卢l 瞪 茎。“+ 1 i i “ o l 2 + 1 - - “j “g ( 1 一n “) i i l l ； 下面，证明在空间砩中吸引集也是存在的。 引理4 2 在引理4 1 的条件下，有估计 nh 1 2 1 此外，存在一个常数p i 訾( ；7 ) 一7 ( ) 1 。+ 紫| | 旧 ，使得球 直? = f “ 磁ji | 忆 p ；) 是半群( s h ，) n 下在磁中的吸引集，其中( ) 2 = i i u 2 峨+ ( 砧) 2 证明：在( 4 1 ) 式两端同乘一6 2 让，n 州h ，并对j 从1 到j 一1 求和得 一d - 1 孚n + l n d 。矿t + 7 d - - i1 6 。嵋+ - i 。九 j = 1 ，= l ，一1 j 一1 一g ( n t z ) 6 2 u r l h = 一乃6 2 吩n “h d = l j = l 由引理2 1 和引理2 4 知 一厶j-1_11；+1n 哪：量6 ( 芝m 矿 黑龙江大学硕士学位论文 刈! 丝：监二峻! 嵯 2丁+ 却牮幢，( 4 。) f 41 0 1 又凼为 一厶6 2 嵋“ s 护“：“| | 2 + 扣l i 乐 ( 4 1 1 ) 由( 4 9 ) 一( 4 1 1 ) 式及引理2 2 之( 2 ) 知 竖峰盟+ 氚眶，。 s 挣广卧矿n1 i i l o + 狮臣 则有 u ：+ 1 吼。n 2 + 百a t ( 。| 亍2 伊黼n1 懈+ 了2 0 。t l 2 s “2 l i 嚣一1j 瞪n + ；( ；7 ) 一7 ( 2 i l 札：l i + “懈+ 1 + 翱础( a 2 + a ) “+ 1 一n 。0 钆：。 i ；，。+ i t ( 亍2 7 ) 一7 如果初值u 2 满足| | “2 风，由引理41 知，对跏； p ；，当 咖。芝璃删侑 i l u 圳n 硝， p 0 n j 9 硝 m 筒 n 2 堑7 斗 加 卜 叶。 q 帅曲 第4 章全离散有限差分格式 n 2 矿- n o i i n 。+ f 1 1 1 。1 。1 ：( 3 ，圹( 瑞) 1 。 + 百i h i i x 旧( 1 一n 川一。) ， 因此 甄nf 2 蛐1 1 1 。1 。1 z ( _ 2 ，7 ) 一7 ( 瑞) 1 。+ 万i i l l l i k 由于硝 岛是任意的，则下列不等式也成立 戛蚓n 2h 1 1 1 1 6 1 1 1 ；( 、3 7 7 ) 一7 ( 以) 1 。+ 丽i i l l l 2 蛳 又由( 4 4 ) 式可知 f i u ：峨l i 2 幢+ ( 砧) 2 = ( 磁) 2 因而 蚓n 2 矧1 + 蒜r i i u 2 吼+ t 1 i 。1 7 1 2 ( e ，圹7 j 。 + 努4 孤，q + 淼州 ，佗 l 利用引理4 1 、g t 理4 2 和引理2 3 ，我们得到 推论4 1 如果f g ( o ，别) ，并且初值l l u g , i l l ，n r ，那么存在一 个与h 和r 无关的常数c ( r ) ，使得 s u p | i n l i 。2 e ( r ) n 兰0 至此，我们证明了对于硪上的离散系统，其吸引子a h 、，是存在 的。显然，算子族 ( 品，) ”) 。= o 满足半群性质 ( 魏，) “( s h ，) “= ( 瓯，) ”+ “，v m ，n 0 ， 黑龙江大学硕士学位论文 并且对v n 0 ，( s h ，) “是有限维空间磁到其自身的一个连续算子。 又由引理4 2 可知，在算子( ，) “下，磁中的吸引集雪 是有界的。 利用文献 1 中定理1 1 我们得到 定理4 1 如果f g ( o ，纠) ，那么离散系统拥有一个础空间上 的全局吸引子a ，并且 满足 4 3 差分格式的稳定性和收敛性 设 “：) ， z ，2 ) 是差分格式在初值 2 ) ， u 2 ) 下的两个解，并且初值 由推论4 1 知 札：忆 r ，i 怫忆hsr s u pl l 札 nj | 。2 a ( r ) ，s u pi | 嵋i l 色sc ( r ) n 0 n 0 设e z = u z u z ，那么 z ) 满足 f n + 1 一f n 1 一，- 5 2 哼+ 1 + 9 ( 哼+ 1 ，嵋+ 1 ) 一夕( 喈十1 ，喈+ 1 ) = o ， ( 4 1 2 ) e ：= ? = 0 ， g = 丐0 一嵋 1sjsj 一1 ， n 0 n 0 0 j ， 在( 41 2 ) 式两端同乘? h ，并对j 从1 到t ，一l 求和有 导璺1 二譬甜。一憾+ 1 慨一蚓限 鼍e ；“ = 监 第4 章全离散有限差分格式 7 慨n + 1 峨 = b ( 哼”，；+ 1 ) + 9 ( ，n + l ，巧n + 1 ) 矿1 j = l j 一11 2 扫“矗矿1 + 南( 札? “e ? + 1 ) 桫n j 1 + j 1 n + 1 如e ? + 1 + 如( 哼+ 1 喈+ 1 ) 】哼+ 1 。j 一1 2 ；( ? “一矿1 s ? + 1 如哼+ 1 ) 扣o 。( m 邶i j 1 危) o ( j1 i 硝+ 矿1 + 秽晰 ， 一 一 i = 1 j = 0 ；| | 札：+ 1 | | o 。| | d e ：+ 1 i i 3 l i e ：十1 j = l j “：“怯| 6 ：+ 1 ：+ 1 ； i d e ：+ 1 | | 2 + c 2 - 孚1 1 s 。n + 1 | | i 设m = 螋- - f ，则由( 4 1 3 ) 一( 4 1 5 ) 式可得 监攀 m i i s ：+ 噫佗。 ( 4 1 5 ) + n ， e + n ， ed 芦 7 m 协 啦 一1 。一 矿 哼 + + “ p 吩p 砖， 叶， 驯 船 纠似 + 嵋 咯 0 ，使得空间步长r 满足 1 一螋r 1 ， 7 g ( 【o ，l ) ，贝4 对v n 0 有 | | u ：一u ：| | se ( 2 7 7 。) - 1 c ( r ) “7 l i “：一 ： 同定理4 2 的证明过程相同，我们能得到下面的收敛性定理 定理4 3 如果方程( 1 1 ) 的解满足 丽0 2 u l