（计算数学专业论文）线性刚性延迟系统的数值稳定性理论.pdf

华中科技大学硕士学位论文 籀要 延迟微分方程( d d e s ) 常常出现乎靛空，艘天，自动控剑，生鑫科学，电子 羼终等一系列与现代化建设霄关瓣态科技镁域。由予延迟微分方程蓉统的复杂性， 很难得到理论勰的表达式，阑此人们就致力予惩迟微分方程数值解的研究。 ， 延迟徽分方程系统的早期文献致力于算法的线性稳定性，并取得了一系列重 、 要的成果。1 9 7 5 华b a r w e l l 提出了p _ 稳定性及g p - 稳定性，随后w a t a n a b e 和 z e n n a r o 以及i n th o u t l m z 。l i u 等人对上述稳定性又进行了十分细致深刻的研究， 国内匡蛟勋，张诚坚，黄乘明等人也散了大量的工作。至此其所获结果均属延迟 不依赖稳定惶结果，鞠其稳定往条件哥延遴无关。1 9 9 7 华，n c o l a 等入提出了一 种殛迟依赖稳定性概念，称之为f 稳定性，对秽方法及楚格霹塔( r u n g e ，k u t t a ) 等 萃多方法逶雩亍了验证，获褥7 理论上豹突教。声勺 本文讨论7 一种块方法求解广义惩透檄分方程及产义中立缝廷透檄分方程静 数俊稳定性，在系统澎近稳定及筹法a - 黎定煞条传下对上述嚣方程豹数篷结果进 行了分爨。 本文还讨论了线姓多步法( l m m s ) 期多步龙 鍪霹塔方法( 秣黑) 求解延迟 微分方稷的数值稳定性。分析了标量娥迟微分方程系统濒近稳定性的不同条传， 给出了与延迟量f 有关及不依赖延迟量f 的不闶渐：i 敞稳寇域在渐近稳定域与f 有关的条件下，对多步龙格霹塔方法及线性多步法的渐近稔定性进行了分析，定 义了一种新的稳定性，即f1 稳定性，在不同的条件下，验证了该稳定性。 关镰词：广义延迟系统线性多步法多步龙梅- 岸港方法 决方法渐遥穗定性f 1 稔定彀 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t d e l a yd i f 凳r e n t i a l 冁u a t i o n s 圆a r i s ew i d e l ym a n yf i e l d s w h i c hp l a y 躺 i m p o r t a n t r o l e i n s o c i e t y s u c h 黼a v i a t i o n , a u t o m a t i cc o n t r o l , b i o l o g y s c i e n c e ，e l e c t r o n i c sa n ds o0 1 3 h o w l e r ，b e c a u s eo f t h ec o m p l e x i t yo f t h es y s t e m s i ti s q u i t ed i 西i c u l tt oo b t a i nt h ea n a l y t i cs o l u t i o n s i nv i e w o ft h i s , o n e sb e g a nt os t u d yt h e n u m e r i c a ls o l u t i o n sf o r d e l a y d i f f 班 e n t i a le q u a t i o m i nt h ee a r l y 搿e a r c h , t h e 咖蹴瓣a n a l y s i s r e l e v a n tt od e l a yd i 傣孵施a le q u a t i o n s c o n s i d e r sal i n e a rs y s t e m s i nl 钾s n k b a 俐硪i n t r o d u c e dt h ec o n c e p t so fp - s t a b i h t y a n dg p - s t a b i l i t y i nt h ef o l l o w i n gy e a r s ，w a n t a n a b e ，z e n n a r o ，i n th o u ta n dm z l i u m a k en l o r e c o m p r e h e n s i v e d i s c u s st ot h e a r g u m e n tw er e f e r t ot h er 制t d e r , i n c i v i l ，k u a n gj i a o x u n , z h a n _ _ _ gc h e n g j i a n ，h u a n gc h e n g n 遮a l s o d oe x t e n s i v e l yi nt h i s 煎e l d b u tm o s to ft h ew o r k0 1 1t h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fn u m e r i c a lm e t h o d sr e f e r st o t h e 锵w h o s e c o r r e s p o n d i n g 赫a l 蛳c a ls o l u t i o n sa s y m p t o t i c a l v a n i s hi n d e p e n d e n t l yo f t h e d e l a y t i n1 9 9 7 ，n i c o l as t u d yt h e s t a b i l i t y o f0 一m e t h o da n dr u n g e k u t t a m e t h o d sw h o s es t a b i l i t yr e g i o n sa 砖d e p e n d e n to naf i x e dd e l a yt 稍瓣s t a b i l i t y o fi m p l i c i to n e - b l o c km e t h o d sf o rt h en u m e r i c a ls o l u t i o n so f g e n e r a l i z e dd e l a y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa n dg e m - a t t 戚n 娌h a l 酗鑫y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw 戳d i s c u s s e di n 粕st h c s i $ 。w i t ht h es m b m 移o f t h et w os y s t e m s ，妇 i m p l i c i t o n e - b l o c k m e t h o d i ss t a b l e i f i t i s a - s t a b l e f o r o r d i n 趔d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s 。 糯s t a b i l i t yo fl i n e a r 珊融i 跚m e t h o d sa n dm u l t i s t e pr u n g c - k u t m m e t h o d sf o r t h en u m e r i c a ls o l u t i o n so fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r ea l s od i s c u s s e d 黜p a p e r d e a l sw i t ht h es m b i l i t yc o n d i t i o n sf o r 龇s o l u t i o no fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 。t h e n g a i n d i f f e r e n tr e g i o n so f a s y m p t o t i cs t a b i l i t yw h i c ha 弛i n d e p e n d e n t o rd e p e n d e n to f t h e v a l u eo fz 懒t h ec o n d i t i o nw h i c h 黼嫩t h es t a b i l i t yr e g i o n sa r ed e p e n d e n to f t ，w ei n v e s t i g a t et h ea s y m p t o t i cm b i l 静o fm u l t i s 协pr u n g e - k u t mm e t h o d sa n d 娃 华中科技大学硕士学位论文 l i n e a rm u l f i s t e pm e t h o d s t h i sk i n do fs t a b i l i t yi sc a l l e d 1i - s t a b i l i t y a tl a s t , w e p r o v e a b o v et w om e t h o d sa 砖s t a b l eu n d e rd i f f e r e n tc o n d i t i o n s k e yw o r d s ：g e n e r a l i z e dd e l a ys y s t e m s ，l i n e a rm u l f i s t e pm e t h o d ， m u l t i s t e pr u n g e - k u t t am e t h o d ,i m p l i c i to n e - b l o c km e t h o d , 8 s y m p t o t i cs t a b i l i t y ,为一s t a b i l i t y m 华中科技大学硕士学位论文 1 1 问题的提出 1 绪论 自然界和实际工程的许多现象，例如生态中的种群增长，飞行器的运动，电 力系统的运行。及自动控制系统的运行，都可以归纳成为一个常微分初值问题 徽? 贝麓0 (111)y【灭r o ) = o ，y oe c “， 、。 这里) r ( t ) 表示与时间变量有关的物理量 然而在实际过程中，时间常常出现延滞，为了更加逼真地描述实际情况，有时需 要修改( 1 1 1 ) 中的右端函数项，使之不仅仅只依赖于当前的状态，还要依赖于物理量 y ( i ) 的一些以前数据，经修改后得到新的模型 i y 冀) 2 ( o ，) ，o ) ，y ( f 一7 ) ) ，t - t o ,( 1 1 2 ) i 灭f ) = 尹( f ) ，t o f r s t o ， 、 7 这里f ，o 是延迟量系统( 1 1 2 ) 称为延迟微分方程初值问题 在较早的年代里，人们往往认为延迟微分方程的数值处理，与常微分方程的数 值处理没有什么分别，没有必要加以特别的研究然而事实并非如此，用一般的线性 多步法或龙格库塔方法去求解延迟微分方程，若步长h 譬二( 其中m 为一给定的正 整数) ，刚其不仅涉及网格点y 。处的计算，也涉及离步点y 一f 处的计算此外，其 数值分析也要比相应的常微分方程问慝复杂的多例如，用线性多步法 口j y 。叫= _ i l 岛 彬 瓤o ，毹+ 厨0 ， ( 1 1 3 ) 求解方程( 1 1 1 ) 时，为了考察它的稳定性周( 1 i 3 ) 去解试验方程 徽攀x 鼬劣0 (114)yy c 【y ( f o ) o ，oe 4 ， 华中科技大学硕士学位论文 _ = = = _ t _ ；_ _ a _ 自_ _ ；_ 自_ _ 目_ _ _ - _ _ _ i _ _ _ _ _ 目 = 目目 得 i b j y 州：h 态8 j y 。j j 柚j l o 式“1 5 ) 也称为关于只静线往差分方程这个差分方程盼解满足 ( 1 1 s ) l i m 儿2 0 m 的充要条件怒( 1 1 5 ) 的特征多项式 p ( z ) = 从：) 一j l 口( z ) h = 2 h , h 0 ， ( 1 1 6 ) 是s c h u r 多项式，即多项式的每个零点学位予单位匿内邦，其中 户( z ) t q 二，暖母* 雳：。 j 柙j - o 为了判定户( = ) 是否为s c h u r 多项式，由予p ( z ) 的次数是固定的，因此可以使用 s c h u r 准则，逐步降低联力的次数，最蜃只要判定一令低次多矮式是否失s c h u r 多矮 式朝霹。 下露我们赐线性多步法( 1 。l 。3 ) 去瓣延迟擞分方疆鳃一令标纛模擞阕题 f y = a y ( t ) + b y ( t - r ) ，t t u ， 【y ( f ) = 妒( f ) ，t o f sr g t o ， 其中f o ，蚓 o o = 1 ，2 ，d ) ， 定义2 2 。1 游( 2 。2 。1 ) 的解y ( f ) 满足 浆罗8 2 0 华中科技大学硕士学位论文 强日称该累统是渐遥稳定的。 秀7 确建绉。2 1 ) 嚣涛 逅稳定愁，我稍定义一个添数 斑劬一d 畦【也- ( l + 删) 】， 逡撵( 2 2 。1 ) 瓣特翟方程麓毒霉必 f ( z e ”= 0 。 其中 # 。硼鑫鬈 e ”，e ”“，。，g ”， 孳l 爨2 2 , 1 z 6 1 系缆( 2 。2 。1 ) 为溉近稳定的巍是仅当其特征方程 f ( z ，# 4 ) = 0 。 瓣掇蠢爨实髂。 下嚣绘照系统( 2 2 1 ) 澈避稳定熬一个态给条移 弓l 瑗2 2 2 戮1 如莱矩箨l , m 满足祭羚 焖一丢疆+ 互) ， 嬲系统( 2 ，2 ，t ) 称失是濒避椽定豹， 其孛r 凳三翁矩簿，k p ) 袭承燎# 疑) 懿聂犬褥髹蓬。 2 2 2 隐块方法 对予常擞分方程秘值闻题 f 少国= 武y ) ) ，t 毽 l y 鹃) = 7 0 ，确c ， 臻2 5 我们考虑豫浃方法器7 d 辩 z j “= 蠢z j 十女e i ；编+ 矗x 毛+ l ， 稼0 婶 箕串 a ，煞d e 震”， 氛l = 瓴j ，甄2 ，。魏，) 7 矗 华中科技大学硕士学位论文 = = # = _ # ；目= 自目目_ = t _ 目日。_ 口# # j | 目；_ ：口l ； f 一= n r h ，j k y ( + 口矗) 口 o ，盘。球j o # ，) ， g 酬= ( 厂( ) ，( 以2 ) ，f ( y 。) ) 柏为块的长度 将( 2 2 6 ) 应用于线性方程 y ( f ) = 砂( f ) ， 我们褥判差分方稷 z 州= ，( 冉) 乏( 2 j 2 7 ) 这里 r ( h ) g h d ) 。( 蔗+ h b ) 弓l 疆2 2 3 渊当? 勋哥逆豆辩任意的r e ( 弱 ：”+ 丹孝4 ”q 一口 ， ，气( 以) z ”+ “孝耐) 7 力- q 记d 维辩角阵为 = d i a g ( k ( 焉) z 一 “，气( 以) z 嘶+ 一) ， 韪z 一譬尹t 扣譬 捌缝对是瘁必 得到 t = ( 焉，疋，。，曩) ， 匕一州f ) = z n t x ， l 华中科技大学硕士学位论文 = = _ = _ = 目_ _ _ _ 目_ * l l _ ：_ _ 将其代入( 2 2 8 ) 得 【( k | j i ( d 0 三) ) z ”1 一( a o l + 矗( 晨固三) ) z “ 一( j i l ( 曰0 f ) r ) z 一一( 矗( d 固 ，) 聊z 一1 】x ：0 ( 2 2 1 3 ) 欲使z 毋0 有如下特镊方程 d e t ( i , d | l l ( d 固) 一h ( d o m ) t ) z 一 ( 彳固l + 1 l ( 0 固) + ( 嚣9 肘) r ) 】= 0 ( 2 2 1 4 ) 即 。 d e t ( l d - h ( d 圆( l + 硝瓦) 弦一 ( 蠢圆力+ 矗( 召o ( + 霸乙) 】：0 。( 2 2 a 5 ) 2 2 3 主要缎果 定义2 2 3 设广义醚迟系统8 2 。1 ) 满足条释( 2 。2 妨，魏莱数傻解以瀵是：对任意 h 0 ，m ，h = t ，朋。1 是磁整数，有 麴只；0 ( 2 2 1 6 ) 则称该数值方法为乓一稳定的， 然_ l 嚣条传掰。h = t 在实际诗舞孛不一宠成立。必髭嚣零l 避 定义2 0 4 设广义延邂系绕g 2 1 ) 瀵怒条件( 2 2 4 ) ，鲡巢数值辩以满足：对任意舞 o 有 。 嫩只= o 则称该数值方法为( 醌一稳定的 由微分方程瑷论f 3 舶可知若 ( 2 2 。1 5 ) o lzl 1 ，( 2 2 1 7 ) 贝i j 喜 华中科技大学硕士学位论文 z _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ l i m 】：= 0 h 嘲。 更进一步 ( 2 2 1 7 ) 龄l i i i l n = 0 m 为了得剿本文的主要定理，首先介绍以下几个引理 引理2 2 4 u 1 v h c “，g c ，存在排列阵 使褥 p ( i ，p ) c 社9 ，p ，q ) e c 内啊， g 谚h - - p ( i , 谐辑毽钠 心。哙 这摄矩阵p ( t d 仪依赖于维数，。，且满足 p ( 1 ，) = p ( ，d 7 p ( j ，d ”1 引理2 2 5 1 3 5 j 6 】多项式 有如下性质 嵌磊奶； z 舭o g g 艿譬溉l 羚， q u o ( z ，笛1 ( | ：睁i , s e 【o 1 ) ) 亡争r s 甜r + 2 引璁2 2 6 1 若条件( 2 2 4 ) 满足且对任意的有删， f ，则当1 时，矩阵 联三+ i 瓦的赝富特征根具有受实郝，即些矧l 时，蹦丑 故三+ l 咒) ) ) 0 | = 毛2 ，d 。 定壤2 2 ，1 设条侮0 。2 瞒怒豆，s 甜sr + 2 ，薅么求馨广义延迟系统( 2 2 1 ) 熬块方 法( 2 2 、1 3 ) ：是g p o 一稳定靛充分登簧篆件惩裰寂懿耱努 j 釜稼2 。建如稳定戆 证明：设块方法建a - 稳定豹，为了证鞠( 2 2 1 3 ) 趣g p o 一稳定的，我们只须证明对任 耋艘互量哦! 三! t 呈：= ：= ：g t 鳖堑直踅g ：兰：! 墅盟堡遭墨圈三! ： i 华中科技大学硕士学位论文 在途里特征方程( 2 2 1 5 ) 可以写为 p ( z ，回= z 耐d e t m ( z ) d 眦( ( 枷= 0 ( 2 2 1 9 ) 其中 m ( 力= 岛- h ( d 囝( + 打- ) ) ， ( ：) = z t - ( i 耐一j i l ( d 固( 上+ 畋) ) ) 叫( 4 够，d + ( 口p ( + f 乙) ) ) 。 设特征方程臻。2 。1 9 ) 的蔑令掇z 对任意浆氆1 ) ，i = 1 名，矗有喇l 。善先我嬲涯明 对任意的淘l ，掰( z ) 是菲奇异静鞠 d e t m ( z ) 】棼0 事实上， m ( z ) 一如- h ( d 囝( l + i 咒) ) 。疆d e t l - d ，磊肇+ 磊群二) 】 i - i 利用引联2 2 6 及a - 稳定的条件，我们得( 2 2 2 0 ) 成立 由此特征方程( 2 2 1 9 ) 等价予：对任意的| 爿l d e t 【豇一( k 一矗( d 固( 上+ 蛾) 的“1 ( 爿固，童+ h ( s 固( 三十肘瓦) ) ) 】* 0 而 d e t z i 一( 乙一h ( d oc l + m i ) ) ) 。( 彳固j 一 联丑( 三十掰写) 疆 d 。兀d c t z l 一 一 d ) 4 ( 一+ 鼻瑚 抽l d 。n d e t z , 一r ( ) 】锄 岙，= ( j l ( 五+ 磊娌羚 f 2 2 2 0 ) 华中科技大学硕士学位论文 由弓i 理2 2 6 及方法的a 稳定性知 矧肿( ) 】 0 = 1 , 2 ，彩为拳数延迟蠢 失了求褥广义串藏鳌黧迟微分方程嵇3 1 ) 懿特鬣方稷，设冀指数形式的祥 y ( f ) = # “x ，x = ( 五，吗，x d ) 7 芒c 8 ， 为待定淘重，予是，我们宥 y ( f ) = ( 五，e 4 x 2 ，矿，) 7 ， y ( t ，) 攀( e s ( t - r o x l ，p h 。心x 2 ，p 1 ，) r 嚣e - , r e “x ， 代入( 2 。3 。1 ) 缮 ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) y ( f ) = s ，南 y 9 ，) = 鼯1 矿墨2 ”7 = d i a g e - , e ”，。，。 ， ( 2 。3 4 ) 0 j l - m e 。灯一娥。7 扭= 0 ， ( 2 3 5 ) 华中科技大学硕士学位论文 = = = # = _ = = _ = = = _ = 自目：= 为了使得( 2 3 1 ) 有非平凡的指数解，我们得如下特征方程 d e t ( s i 一三一 疵。7 一m 一”) = 0 ，( 2 3 6 ) 其中 e - s t = d i a g e - , e ”。，_ ，e - s 。 为了下顾定理( 2 3 1 ) 的论 芷需要，我们弓i 进矩阵的对数范数的定义 定义2 3 1 d 7 1 对予任一复矩阵妙c 出。，其对数范数从) 定义必 从鳓= l i r a ( 1 i + a w 卜d a ( 2 7 ) 反形) 严格壤依羧子掰选麓鼢麓阵蔫数，我嚣j 麓声。( 矽) e r 示( 2 3 7 ) 式孛焉翡是 p 一范数，p = 1 , 2 ， 引理2 3 1p 以w 的每个特征值五( 形) ( f = l ，2 ，d ) 满足 一s ，( 一形) r e ( ( 矿) ) 乒( 矽) ，( f = l ，2 ，d ) ( 2 3 。8 ) 弓l 疆2 3 。2p 弹对数蒸数琏( 扩) 满足 令 以( 蠢+ b ) t ，( 一) + 饰( 嚣) ， 以( 4 ) 1 1 4 ， 。缈) = 峄 r ) + k 1 ) ， | 棘 或) = 妄k ( 妒+ 彤。) ， 缈) = 峄 r 魂) + 陬| 。 p ( s ，z ) = d e t s ! 一l 一( 掰+ s n ) z ， 为参数s 的溺数，其中z = d i a g z l ，z 2 ，z d ) 为对角阵显然 p ( s ，e ”7 ) = 0 ( 2 3 9 ) f 2 3 1 0 ) ( 2 + 3 。1 1 ) f 2 3 1 2 ) 1 3 华中科技大学硕士学位论文 便是( 2 3 1 ) 的特征方程 定义2 3 2 广义中立型延迟系统( 2 3 1 ) 称为渐逝稳定的，倘使其任解y ( ，) 满足 ! i m y ( t ) = 0 ( 2 3 1 3 ) 弓l 理2 3 3 口射，设4 ( 善) 是爿( 0 ) 的扰动矩疼，4 9 ) 的每个元素是的烬析两数 则 ( a )装& 是蠢( o ) 鳇单羹特征篷，2 ( 势是量( 癸的一令特征 篷，五) 一五g _ o ) 予憝，五( 毒) 憝翘羽菜邻城内融解析灏数，郎 ( 毋= 五( o ) + q 善“ ( 2 。3 1 4 ) ( b ) 著名，是( o ) 的m 黧特征值，五( 亭) 怒( 害) 豹将征裰， 五( 国_ 乃( 孝呻o ) 意= ，j 2 ，l 于是，五( 亭) 怒循的解析函数，这里 ，t n ，走g ) 是多值遁数孝的菜分支之一 此时 五g ) = t ( + 。孝) “ ( 2 + 3 i 5 ) 引理2 3 4 耻协】对于下面的四个陈述 0 l 卅l l ， “b ( 州川i i n i k l u l 卅i i + 删i i m i l 2 。 l p ( 善) l ，v 善，蚓s l ， ”。i r e ( ，一心) 。1 ( 五+ 鹏) 】 o v 盏悯l l 。 ( c ) p 0 ，譬讲) 0 r e ( s ) o , u i 搿；g 歹) ， 识+ ；= ( ，( 以；) ，魄 2 ) i ，f ( y 。) ) 施为块豹长度 将f 2 3 。1 7 ) 应惩予线性方程 j ，( 砖= 桫g ) ， 我粕缛戮差分方耧 z 。= r ( 是) z ：。 ( 2 。3 1 9 ) 这蓬 r ( 矗) 滓g 一是动。( 么+ h s ) + 弓l 理2 3 $ 1 3 4 1 当，一劾 可逆且对任j 鼓翡联两 o 寿 墼y 。= o 则称该数值方法为g 名一稳定的。 则 由微分方程理论f 3 孵可知若 ( 2 3 2 7 ) = izi 1 ，( 2 3 2 8 ) 嫩】：= 0 更迸一妒 ( 2 3 2 8 ) 等避儿2 0 ( 2 3 2 9 ) 定理2 3 1 若条件 f ，则当吲l 对，筑阵 ( 毛一鬈) 。掘- 三+ 膨夏) 豹所窍特征撤兵富受实部，郎当涮l 辩， 联五代屯一l v 乙) “矗( 五+ 矗f 乙) ) u + l 。辩 阮睁p 枷( k ( 4 ) = ”卜 ，三山慨弦叫 慵1 ( 2 3 3 2 ) # 一- # 爨以当堋 骞 烈噱) ) ) ( a i d + j | ( 丑固( ( 厶一j v k ) 。( 五+ 蛾) ) 必 设特征方程( 2 3 3 3 ) 的某个根z 对任意骢正尊d b 1 ) ，i = l 一2 。a ：骞n - l 。首先我嬲涯弱 鼹援意驰翻l ，彭疆) 是j 奄募瓣鞠 事实上， d e t m ( z ) 0 ( 2 3 3 4 ) 村( 力= j ，固( i d n t ) 一知( d 0 ( 工十 戤- ) ) = = 耐 d e t ( 1 a 一疋) 7d e t ( 1 耐一 d 0 ( f d l v l ) 一 ( + f 囊) ) 1 d = = 耐( d e t ( i d 一l ) 1 - i d e t 1 , 一 f _ l d ( ( l l v 瓦) 。 ( 上+ i 巧) ) 】 利用定理( 2 3 1 及a - 稳定的条件，我们褥( 2 。3 3 4 ) 成立 由此特征方稔( 2 3 。2 5 ) 等价予：对任意的捌l d e t z l , 一( 1 a 一联d o 矮屯一甄) q ( 二+ 鑫f 乙 ) 势一 ( 2 3 3 5 ) ( 一固，d + ( 曰固“厶一蠢) 4 ( 三+ m t ) ) ) ) 】= 0 而 d e t z i 耐一( k 一 ( d 够“j 一气) - 1 ( 上十坂) ) “ ( 彳o ，d + 联矗圆“l j v l ) 。( 上十 4 l ) ) ) ) 】 2 0 华中科技大学硕士学位论文 这羹 = d e t z l , 一( 一 婵。1 ( _ + 丑b ) 】 d = v i d e t z l , 一，( ) 】 m 司 奄。z ( 】j | ( 厶一j v ) 。( 五+ 露二) ) 由定理2 3 1 及方法的a 稳定性知翻l ，这与假设翻芝l 矛盾，麸丙定理得证 华中科技火学硬士学键论文 3 1 萼l 畜 3 多步龙格- 库塔方法的f ，一稳定性 美手延迟锨分方程豹濒透稳定性，谗多专家皴了大量戆王传，毽主簧是鏊予 岛延迟量r 炙关匏蓉统澎避稳定域。近几年寒，n i c o l a 等人搿始对基子与f 寿笑黪 系统稳定域来研究方法的数值稳定牲闻越1 3 州。谯文献f 3 轴巾，我们考虑毋蠢渡并 狻谨? 对子a - 稳定鹣方法逛f ( o ) 稳定鲍。文献【锵1 绘融了f ( o ) 稳定性的一个必要条 终，劳诞鳙tl o b a t t o i l i c 方法苓怒f ( 蛰稳定嚣。文麸渊孛轿瓷7 对称方法豁及二， 三级r a d a u i i a 方法悬o ) 稳定的。2 0 0 0 每n i c o l a 褒义漱转1 j 审绘爨了一静凝熬稳 定性定义f 稳定性，并验诋了隐斌欧撒方法是f 稳定的。 毽绝稻酶骈究仅仅褥黻予单疹方法奁这一节书，我们考虑多疹龙鞯靡塔方 法，在毒f 有关粒系统稳定缄豹萋磷上，薅箕羲数篷稳定疆遴蠢了分辑。 3 2 系统的灏遗豫是性 近年= 謇，基于试验方程 j y ( ) 。缈o ) + b y ( t - t ) , 0 ， f 3 。麓1 ) l y e , ) = g x f g t 墨识 、 其中甜，西岛r 0 ，g 是一个连续煦实德磷数。人们对藏掊_ 撵：塔法戆数毽 稳定性进行了太量的研究，但其渐近稳定域是与f 无关的，嗣巾给如了一秘灏近 稳定竣与r 裔关的萃步算法，本文将该结聚攉广翔多步龙格律塔方法，并褥出 了在不同祭搏下的数值稳定壤。 零苓考意f = l 嚣枣懿耩形，瑟 华中科技大学硕士学位论文 ；鬻卜- 篓1 盘b 0 z 固 【j 稚) = g ( 玲， s f o ， 7 定义3 2 1 幕系统( 3 2 2 ) 满足 i i m y = 0 则称该系统为渐近稳定的 命遂3 2 1 1 4 2 1 若 a - a - b e = 0 奢r e ( a ) 0 ，( 3 2 3 ) 则方程( 3 2 2 ) 悬渐近稳定的。 命遂3 2 2 勰】若 r e ( a ) 0 均成立。 3 3 数燕方法疑a - m 定性 对鼍： f y 。( f ) 。f ( t ，j ，9 ) ) ，t 0 ， 1 ) ，( o ) m y o ， 我们考虑多步龙格库塔方法 = i l ，以+ l z h ，删) + 嘞h ， 扣lj - ! f = 1 , 2 ，甜 ( 3 3 1 ) 魏。= f l j f ( t 。+ l z j h , y l 扣) + t t j y , + 坤 式中h 0 为步长；，y 。分潮为麦瓣y ( t 。+ 鞠蠢) 等y ( t 。) 鹃遥近值。 乖j 瓣秘中遥近延迟项的技搿，我稍将( 3 。3 1 ) 应用到( 3 2 2 ) 褥猁 2 3 华中科技大学硕士学位论文 z 协- - - 口( h e 正枷1 + e a 口) k 川) + 6 ( | i l 岛工m 州+ 吩) k 。+ 川) j 耐j 越，越p,i i = l ，2 ，“ ( 3 3 ，2 ) y 。- - h e 廖兀加+ ，； ，埘，l l 式孛h = l m ；x ，六触分嗣为真解地) ，y 以+ z j h ) 的遥近值。 将方法( 3 3 1 ) 应用予标重试验方程 瞅y ( 咿t ) - 魏2 y ? y o 冀锄 ( 3 - 3 3 ) l 强w = 魏， 嚣尊，有 e 。= o ( f i ) y ( 3 3 4 ) 其中 i = 矗毒，= ( 只，“+ i ，霸+ 。i ) 7 ， 且 岍离鼎 ， 口= l ，口2 ，a ，) 7 ， 声= ( 属，展，成) ， a = ( 口口) ，曰= ( 6 9 ) 定义3 3 1 装多步龙揍库塔方法应用予系统( 3 3 3 ) 所褥到的嫠分方程的解苁潢 是 怒只2 0 爨称该算法楚渐：l 茬稳定静。 定义3 3 。2 多步热楱露堪方法螅激近穗定壤为集会 s = f i e cl 多步毙格痒塔穷法是渎避稳定戆 华中科技大学硕士学位论文 若 ，蛰c = 秽c i r e ( 石) o ， 则称多步龙格库塔方法是a 稳定的 由i 3 8 l 及( 3 3 4 ) 我们有 l h n y 。= 0 营l i m y = 0 p i e ( h ) 】1 ， h 从而有 命m 3 3 1 【1 棚方法( 3 ，3 1 ) 为a 稳定的当晨仅当r e 石 i 将多步龙格摩塔方法应用予系统( 3 2 2 ) 得差分方稷 1 铲淞曙昝+ 瞄舡+ ：昝， 定义3 4 1 若多步龙格库塔方法应用于系统( 3 2 2 ) 所得到的差分方耩( 3 4 1 ) 灌怒 ! i r a y 。= 0 员| j 称该算法麓渐近稳定的， 由串迩瑾3 1 翔，如果 d e t 瓯一毫( d + 争) 】_ o j 1 ， ( 3 _ 4 2 ) 则多步炫搭壤塔方法题渎邋稳定憋。 定理3 4 2 条馋( 3 ，4 。2 ) - - 下述条传 抽一志2 。等卜p 嗉刮钆 4 固 是等价豹其中五【由( 为为( ) 的特征值。 证明：j 令 名。口+ 立 害8 又 d e t 溉一中e ( 口+ 砉) ) 】= 0 d e t 溉一中仁( 口+ 鲁) ) 】= 肼亡一 褥 华中科技大学硕士学位论文 , t - a 一o = o 眠【o ( 一五) j r m 从而由条件( 3 4 2 ) 可推出条件( 3 ，4 3 ) 仁因为 睁( ) l 为( ) 的特徽僮，令毒。焉p 0 盖) 】，则 融f 擎。一番p 翎= 瓴 1 义 五一a 一志2 。纸雕二童) 】) 4 刘由条件( 3 4 3 ) 可推出条件( 3 4 2 ) 这样定理得证 定义3 4 2 若多步龙格库塔方法是肛稳定的，并且对任意的口，6 ec 及m = l 时由( 3 4 。3 ) 确定的稳定域包含( 3 2 3 ) 确定的稳定域，则称算法( 3 ，3 2 ) t 一稳 定的。 对于任意的口0 ，我们定义集合 皿譬f e c l 对v v c ，弛c ，使r e ( ：) 叫且= + 诹一垤。- - o 定疆3 蠢3 器j i | 锓意c e ，气孟高p e ，r e ( 舶= 曲矾且多步统格一库塔方法 是a 稳定的t 则算法( 3 。3 2 ) 是气一稳定的。 其中d = ：骐苣c 峪【。 五理 l ，d 是d 戆余褰 涯瓣；瓣任意的夯c ，我餐定义 瓯：= 五- b e “2 陋c ，r 烈丑) o ) 蕊娟一赢b 拶 华中科技大学硕士学位论文 要证算法( 3 3 2 ) 是i 一稳定的，由定义2 可知只要证蟊s b 即可。也就是说 对v 五e d ，v b c 血e c 使 令 我们得 与 等价。从而定理得证。 定理3 4 4 1 4 2 如果 ( 1 ) c 2 ，则 ( 2 ) l s c 2 ，则 ( 3 ) 0 c 1 ，则 a 一l ：工一6 p z 丑。【o ( a ) 】 z = x 一五，v = b e 。4 a 一l ；x 一6 p z 甜( 见) 】 z + v j l 一：0 v e z 十v 一一一= a j 【m ( a ) 】 皿= 陀坤l o s ，p 。) 日。= 阳”1 0 g 。o 一1 ) l 纠s 1 一c ， e c h 。= 陀坤l o ，p 。，e 。( 1 - c ) 且 华中科技大学硕士学位论文 嘲点 赋磊 楚壤3 4 1 5 粒氆慈鼹0 s o 2 ，我稍定义灏数 织，。叫赢) ，劬= b 矧 且满足条件 c + 纱毯d 。，y 0 。 若 ( 1 ) l g c 2 射，有 ( 必c l 诗强e 乏+ 觳p ) 一2 酬墨 叫矧一丽两虿 ( 2 ) o c l 对，鸯r o ( y ) 1 一c 并且j 素z 搜 睁蔹捌s 瓣。s ( 翱一面两虿 则冀法( 3 。3 ，2 ) 是气一稳定躲 涯骥：令 磊= c + 争诊。，y 毽 爨 茗e d 又漆敝是关予实鞭对称静，胃辩 志芒哎婚葡蕞蓊爆 ( 3 4 4 ) 五涨穰。毒泓芫) 】 、 黯予磊= c + i y 毫，y 0 ，寄 华中科技大学硕士学位论文 ；i ；燕= e c r c ( y 弦“，+ o n ；e 。( j ，) e j ( ” 卜2 t ) ：i ：。i ；：；：i j i 嚣 y “”= 2 。( j ，) 。1 + 。 警0 o 1 嚣曩，鸯条徉( 2 ) 及定毽3 4 。4 嚣得 ( 力学“燃毫娥， 酆 。 赢琏。 这样威( 3 瘁| | ) 帮氟辩予v 磊= 。+ 秽， 赢g 琏 麸嚣翻定理3 4 3 知当o 。 l 辩，冀法( 3 3 2 ) 是一稳是豹 当i s o 2 瓣彝遴可琵算法戆一稳定嫂。 从嚣慰理缛涯。 华中科技大学硕士学位论文 4 1 号l 言 4 线 生多步法的0 一稳定性 单步法是在计算时只用前颟一步的近似值的方法，但是正闲为它只周翦甏一步 的结果所以鬻提高精度时搿要增加中间函数值的计算，这就加大了计算量。本节介 绍多步法，多步方法是利用前谳几步得到关于微分方程解的信息来构造解农新的 节点上的近似值。这熙讨论了延迟微分方程的线性雾步方法的数值稳定性，取得 一系列新的成果。 4 2 线性多步法 对于誊微分方程的拐傻闯题 l y ( f ) = f ( t ，力， 【j ，( o ) ；y o ， 想应的线性多步方法为 嘶以“+ 。l y + + n = ( 反丘+ l + 展1 丘h l + 4 - 孱正) ， 将方法应用予任意标量试验问题 1 y ( f ) 一矽( ，) ， 【y ( o ) 。y o ， 时有 吼y 础+ 吼i n 小l + 府o y _ = h g ( p i y 柑4 - 尻一l y m 1 + + 风虬) 令 尹 = 鬈孝。，寸辔) = 或善， 剜( 4 ) 的特征方程为 d 芍 势 2 2 2 2 华中科技大学硕士学位论文 p ( 孝) 一矗吠善) 。o ( 4 2 5 ) 宙前面a - 稳定的定义，得铡下獗定理： 定理4 2 1 方法( 4 2 2 ) 为a - 稳定的当且仅当r e 石o 时，慨( 酬 l ，i = 1 2 ，七。 其中量( f i ) 为( 4 2 5 ) 的根。 舍 只= ( 以，残+ l ，y | l + i 以，y | l + l _ 1 ) ， 则( 4 2 4 ) 变失 l = a 是) 艺。转2 6 ) 其孛 0 ( | 1 1 ) 端 o o l o o l e o 一0 00 一 1 成一球。矗a 一口l 反一口2向展1 一群1 i a k 一莪参ka k h p k 找i h 参ta t h p k 定义4 2 。1 若线性多步方法应溺于系统( 4 2 3 ) 所得到的差分方耧的解n 满足 触n 。0 则称该算法悬渐近稳定的 定义4 2 2 线性多步方法的渐近稳定域为集合 j = 石cl 线性多步方法是渐近稳定的 若 s c = 筘c i r e ( i ) 0 则称线性多步方法是a 稳宠的。 由矩阵理论f 3 0 】有 华中科技大学硕士学位论文 熙k = o 触儿= o “o ( 两1 1 故得定理4 2 1 的一个等价定理 定理4 2 2 方法( 4 2 6 ) 为小稳定的当且仅滥r e h o 时，烈4 ( 硒】 t 这里碰】为矩阵豹谱半径。 剥建文欺f 4 】孛h o u r s 熬捶毽技巧，将( 4 。2 2 ) 寂用予( 3 2 2 ) 得 掰，y 州= 岛【缈。+ 咖。卅+ ，】， j - ol 。 则( 4 2 。7 ) 的特缝方稷先 p ( ：) = 夕拓) 一玎( ：