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日青 对策论也称竞赛论或博奕论，是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论 和方法。一般认为它既是现代数学的一个新分支，也是运筹学的一个重要分支， 对策论发展的历史并不长，但由于它所研究的现象与人们的政治、经济、军事活 动乃至一般的日常生活等有密切的联系，并且处理问题的方法又有明显特色，所 以日益引起广泛的注意，它的应用也日益广泛。 对策论分为非合作对策与合作对策两种，而非合作对策理论在其中处于基 础和核心的地位，当然也应该注意到合作对策的补充作用。在非合作对策理论中， 最重要，最核心的概念是n a s h 平衡，而不动点理论( 如b r o u w e r ，f a n b r o w d e r 等) ，变分不等式( 如f a nk y 不等式) ，还有k k m 弓【理又是n a s h 平衡存在性的 理论基础，同时，它们又都是互相等价。 本文将围绕不动点方法与变分不等式展开一系列研究，我们将着重研究 n a s h 平衡点的存在性问题。 2 n a s h 平衡的存在性 摘要 本文利用e s c a p i n g 序列的概念将f a n - b r o w d e r 不动点定理进行了推广，同 时研究了非紧策略集_ l 的n a s h x z 衡存在性问题及其若干n a s h 平衡定理之间的关 系 全文共分三章： 第一章简介在本文中将要用到的单值函数的连续性，凸分析及集值映射的一些 基础知识，主要包括单值函数的上( 下) 半连续，凸( 凹) 函数，拟凸 ( 拟凹) 函数，集值映射及其连续性等有关概念和基本结果。 第二章主要研究不动点定理和变分不等式系列，这一部分主要包括k k m 引理 及其推广形式，f a n k y 不等式及其推广形式，f a n - b r o w d e r 不动点定理等 一些基本结果和它们之间的关系。并且在此基础上通过应用e s c a p i n g 序 列的概念和f a n k y 不等式推广形式对f a n - b r o w d e r 不动点定理进行了一 个推广。 第三章研究了n a s h 平衡点的存在性问题及其若干n a s h 平衡点的存在性定理之 间的关系。首先在h a u s d o r f f 线性拓扑空问中，通过引入函数的对角拟凹， 对角转移拟凹，对角转移连续，转移上半连续等一系列概念，应用k k m 引理及其推广形式在策略集非紧的情况下，证明了两个n a s h 平衡点的存 在性结果。然后探讨t i a n 和z h o u 51 ，t a n ，y u 和v u a n 4 9 ，s i o n 4 4 等有关 n a s h 平衡点的存在性定理之间的关系，得到了以下结论：由t i a n 和 z h o u 5 1 可以分别推出t a n , y u 和y u a n 4 9 1 ，s i o n 4 4 的结果，并通过一 个例子说明了由t a n ，y u 和y u a n 的结果推不出s i o n 4 4 的结果。最后我 们指出了曹志平，曹广福( 2 0 0 2 年) 发表的“极值问题与一类具有无限 纯策略的最优混合策略”一文，所有的结果都是已有的。 关键词：e s c a p i n g 序列；n a s h 平衡点；对角拟凹；对角转移连续；殿凸 t h ee x i s t e n c eo fn a s he q u i l i b r i u m a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ed e v e l o pt h ef a n b r o w d e rf i x e dp o i n t st h e o r e mw i t ht h e s e q u e n c eo fe s c a p i n g a tt h es a n l et i m e , w ec o n c e n t r a t e o u rc o n s i d e r a t i o no nt h e e x i s t e n c et h e o r e m so fn a s he q u i l i b i ai nn o n - c o m p a c ts e t sa n dt h er e l a t i o n so ft h e e x i s t e n c et h e o r e m so f n a s he q u i l i b r i a i tc o n s i s t so ft h r e ep a r t s ： i np a r to n e ，w ei n t r o d u c es o m eb a s i ck n o w l e d g ea b o u tt h ec o n t i n u i t yo f s i n g l e - v a l u e df u n c t i o n s ，c o n y e xa n a l y s i sa n ds e tv a l u e da n a l y s i s ，i n c l u d i n gs o f t i eb a s i c n o t i o n sa n dr e s u l ta b o u tt h eu p p e r ( 1 0 w e r ) c o n t i n u i t y o f s i n g l e - v a l u e d f u n c t i o n s ，q u a s i c o n c a v e ( q u a s i c o n v e x ) f u n c t i o n s ，t h em a p p i n g so fs e t - v a l u e da n di t s c o n t i n u i t y i np a r tt w o , w ep r e s e n ts o l r l ef i x e dp o 妯tt h e o r e m sa n dv a r i a t i o ni n e q u a l i t y , t h e p a r t si n c l u d ek k ml e m m a , f a n k yi n e q u a l i t y , f a n - b m w d e rf i x e d p o i n t st h e o r e ma n d w ed e v e l o pt h ef a n b m w d e rf i x e dp o i n t st h e o r e md e d u c e df r o mt h es e q u e n c eo f e s c a p i n ga n df a n k yi n e q u a l i t y i np a r tt h r e e , w ec o n c e n t r a t eo u rc o n s i d e r a t i o no nt h ee x i s t e n c et h e o r e mo f n a s he q u i l i b r i aa n dt h e i rr e l a t i o n s i nt h eh a u s d o r f ft o p o l o g i c a ll i n e a rs p a c e ，w e i n t r o d u c es o m en o t i o n sa b o u t d i a g o n a l t r a n s f e r c o n t i n u i t y , d i a g o n a l t r a n s f e r q u a s i c o n c a v i t y , t h e no b t a i nn e w e x i s t e n c et h e o r e m so fn a s he q u l i b r i ad e d u c e d 蜘m k k ml c m m ai n n o n - c o m p a c ts e t s w e d i s c u s st h er e l a t i o no ft h ee x i s t e n c e t h e o r e m so fn a s he q u i l i b r i at i a na n dz b o u 51 ，t a n ，y ua n dv u a n 4 9 ，s i o n 4 4 】 p r o v e dt h o u g hd i f f e r e n tm e t h o d s a tl a s tt h er e s u l t si n m a x - m i nt h e o r e m sa n d o p t i m a lm i x e ds t r a t e g i e sw i t h a l li n f i n i t ep u r es t r a t e g us e t w r i t t e nb yc a o z h i - p i n g a n dc a og u a n g - f ua r eo l d k e y w o r d s ：n a s h e q u i l i b r i u m ；s e q u e n c e o f e s c a p i n g；d i a g o n a l t r a n s f e r c o n t i n u i t y ；d i a g o n a lq u a s i c o n c a v i t y ；f s - c o n v e x 4 第一章预备知识 本章我们简介本文中将要用到的凸分析，单值函数连续性和集值映射的一些 基本概念、基本性质和重要结果，主要包括单值函数的凸性与连续性概念，拓扑 空间之间的集值映射，集值映射的连续性概念。下面给出本文中经常用到的一些 基本概念和性质。( 参见文献【5 】，【6 】，【7 】，【8 】，【9 】， 1 9 ，【2 0 “4 2 】) 第一节单值函数的连续性及凸性 定义i i i ：设z 是一个线性空间，c c x ，v 五 0 , i 】x ix 2 c ，若 以+ ( 1 - a ) x 2 c ，则称c 是凸集。 定义1 1 2 ：设c 是凸集，：c 斗只是一函数，va 【o ，l 】x i , x 2 c ， 若f ( a x ，+ ( 1 一五) x ：) 矽( 了。) + ( 1 - a ) f ( x 2 ) ，称，是c 上的凸函数； f ( a x 。+ ( 1 一；0 x ：) a f ( x 1 ) + ( 1 一五) 厂( x 2 ) ，称，是c 上的凹函数。 ，是凸函数，则一厂是凹函数。 定义1 1 3 ：设c 是凸集，：c 斗月是一个函数，若v 兄【o ，1 】x 1x 2 c ， 若，( 缸，+ 0 - a ) x 2 ) r ) 是x 中的开集： ( 4 ) f 的上方图e l , i f = ( x ，r ) x r i f ( x ) r ) 是z r 中的闭集。 证明：( 1 ) j ( 4 ) 若下半连续，设网 ( x 。，以) ce p f ，且在z r 中有 o 。，乃) - - ( x o ，厶) ，n ( x o ，, z , ) z e p i f ，故厂( 屯) s 屯。又_ 而丸寸厶 于是f ( x o ) s 典里f ( x 。) l i 屯= 厶。由定义知( x 0 ，厶) e p i f ，即e p i f 是闭集。 矗斗 口 。 ( 4 ) j ( 2 ) 设e p t f g 闭集，r ，设网 x 。) c e ，且在j 中有x 。哼x o ，因 x 。c ，所以，0 。) s ，。从而o 。，) 印矿，r ( x 。，) _ ( ，r ) e p i f ，( 因e p i f 是闭集) 所以 f ( x o ) ，e ，即e 是闭集。 ( 2 ) j ( 3 ) 由g ，= x c 易得。 ( 3 ) j ( 1 ) 设 x 。) c x ，x 。哼x o ， 6 任取g 0 g s ( 。卜。= 扛z i 厂( 工) ，( ) 一占) 为中的开集( 由r 的任意 性) ，- g s ( ) 一。a 因x 。寸x o ，故存在吼，当a 时，_ g i ( 一， 即 f ( x 。) f ( x o ) 一占成立f ( x 。) 一f - f ( x o ，y o ) 一要矿( ) ，。) 一s ，即矿( 力y ( ) 一s 。故矿在蜘下 半连续。 ( 2 ) 我们证明vs o ，jy o 的邻域u ，使得vy u ，有v ( y ) v ( y o ) + s 。 因为，上半连续，故vx x ，存在x 的邻域u o ) ，y 。的邻域玑，使得 vx u ( x ) vy u x ，( x ，力f ( x ，y o ) + 占。又g ( y o ) 是紧的，故存在 _ ，x 。，使得 u 。) ，u 0 。) ) 为g ( y 。) 的覆盖。又g 在y 。上半连续，故存 在y 。的邻域u o ，使得 vy e u 。，g ( y ) 匕u ：u ( x ，) 。记u = u o n ( r 。吒) 为y 。的邻域，v y u ， vx g ( 力，j i ，使得x u ( x 。) 。所以f ( x ，y ) f ( x o ，y o ) + 占v ( y o ) + s ， 所以v ( y ) v ( y 。) + 占，故矿在y 。上半连续。 ( 3 ) 由( 1 ) 和( 2 ) 知，矿是连续的。 ( 4 ) k ( y ) = 缸x i y ( 力= f ( x ，y ) ) ，则由v ，厂连续知，g r a p h ( k ) 是闭的。 又显然m ( y ) = k ( y ) n g ( y ) 中，由g 上半连续，由引理1 2 6 知m 也是上半 连续，证毕。 1 0 第二章不动点定理及f a n b r o w d e r 不动点定理的一个推广 第一节不动点理论的发展概述 开始引人注目的不动点理论，起源于b r o u w e r 的工作，1 9 0 9 年，他创立了 不动点理论，得到了以下著名结果： 引理2 1 1 ：( b r o u w e r ) 平面内闭单位圆盘上的连续自映射至少有一个不动点。 这一结果很快被推广到有限维空间的闭单位球上，即有： 引理2 1 2 ：( b r o w d e r 不动点定理) 设ccr “是非空凸紧集，f ：cjc 连续， 贝0 jx c 使得x = f ( x + ) 。 1 9 2 2 年，b a n a c h 提出了压缩映射原理，发展了迭代思想，这一定理用处极广， 微分方程，函数方程，算子方程，隐函数理论中的许多存在唯一性问题都可 归结为此定理的推论。其结果是： 引理2 1 3 ：( b a n a e h 不动点定理) 完备度量空间中的压缩映射必存在唯一的不动 点。 作为b r o u w e r 不动点定理从有限维到赋范空间的推广，1 9 3 0 年s e h a u d e r 证明了： 引理2 1 4 ：( s c h a u d e r 不动点定理) 赋范空间中非空紧凸集上的连续自映射必有 一个不动点。 1 9 3 5 年，t y e h o n o f f 进一步将赋范空间中的s c h a u d e r 不动点定理推广到局部凸 空间是： 引理2 1 5 ：( t y c h o n o f f 不动点定理) 局部凸空间中非空紧凸集上的连续自映射 必有一个不动点。 从2 0 世纪3 0 年代起，人们开始关注集值映射的不动点问题。1 9 4 1 年， k a k u t a n i 把b r o u w e r 不动点定理推广到集值映射的情形。 引理2 1 6 ：( k a k u t a n i 不动点定理) 设c c r ”是非空凸紧集，f ：c 斗2 c 上半 连续，且vx c ，f ( x ) 是非空凸紧集，则jx + c ，使x e f ( x ) 。 1 9 5 2 年，g l i c k s b e r g 把t y e h o n o f f 不动点定理推广到集值映射的情形，成为 f a n g l i c k s b e r g 不动点定理。即： 引理2 1 7 ：设e 是局部凸的h a u s d o r f f 线性拓扑空间，k 是e 中的非空紧凸集， r ：x 斗k 是具有闭凸值得上半连续集值映射，则t 必有不动点。 以上引理及其证明参见文献【2 】， 1 4 ，【1 5 ， 1 6 1 ，【1 8 ， 3 5 ，【3 6 】。 不动点理论在数理经济学的研究中起着举足轻重的作用，b r o u w e r 不动点 定理及其等价形式是数理经济学中两个中心结果( n a s h ( 1 9 5 1 ) ，a r r o w d e b r e u ( 1 9 5 4 ) ) 的证明的关键。事实上，经济学中许多结果都依赖于不动点定理， 如t y e h o n o f f ( 1 9 3 5 ) ，k a k u t a n i ( 1 9 4 1 ) ，f a n ( 1 9 5 2 ) 和g l i c k s b e r g ( 1 9 5 2 ) 等 不动点定理均在这一领域取得了极其成功的应用。 第二节k k m 引理，f a n k y 不等式与f a n - - b r o w d e r 不动点定理 f a n k y 极大极小不等式( 参见文献 3 9 】) 是有限维空间或h i l b e f t 空间中变分 不等式在线性拓扑空间的一般形式( 参见文献【1 7 】， 2 7 】) ，这一重要的不等式以 k k m 引理( 参见文献 2 3 】) 和f a n k y 引理( 参见文献 3 8 】) 为基础，近年来已 得到了不断的发展与完善，并广泛运用于其他相关领域。 引理2 2 1 ：( 见 2 3 1 ) ( k k m 引理) 设，k ，为单纯形的力+ 1 个顶点， r ，曩，e 是中的”+ 1 个闭集，如果对任意的下标组 i 0 , ，i m 何= 0 ，1 , - - - , ”) ，有下列表达式成立： ( y “，矿“，v k ) c u ：。， 其中 气，& ，e c f 0 ，e ，只) s 疗) ，则必有r t 。只中。 1 9 6 1 年，f a n k y ( 参见文献【3 9 】) 证明了在非线性分析问题中有重要意义的 f a n - k k m 弓l 理，这一结果是著名的k k i v l 引理( 参见文献【2 3 】，【3 8 】) 在无限 维空间的推广。 引理2 2 2 ：( 见【3 9 】) ( f a n k k m 引理) 设并是缸，搬面够线性拓扑空间e 中 的非空子集，集值映射f ：x 寸2 。满足：vx x ，f ( x ) 是闭集，且| x ， 使f ( x 。) 是紧集， 又对任意 x l ，工：，h ) c x0 = 1 , 2 ，) ，有 c o x ，x ：，) cu ：，f ( x ，) ，则r 、。，f ( 功中。 而且f a n k y 还证明了如下结果： 1 2 引理2 2 3 ( 见 1 5 】) ：e 是h a u s d o r f f 线性拓扑空间，x 是e 中的非空凸子 集，集值映射f ：x 斗2 5 是非空闭值的。如果存在一非空紧凸子集j ，oc x 。 使得n 。f ( 力是昱中的非空紧凸集，则有n 。f ) 西。 在引理2 2 2 的基础上，f a n k y ( 参见文献 3 9 1 ) 给出了如下重要的极大极小 不等式，我们通常称为f a n k y 极大极小不等式。 引理2 2 4 ：( 见【3 9 】) ( f a n 9 不等式定理) 设x 是h a u s d o r f f 线性拓扑空间e 中的非空凸紧子集，f ：z 工时r 满足1 ) vx x ，y 斗f g ，y ) 是拟凹的；2 ) v y x ，x 寸厂0 ，y ) 是下半连续的，则i i 哆s u p ，( x ，j ，) s u p f ( x ，曲。 托 y e x# e x 引理2 2 4 又可等价地描述为： 引理2 2 5 ：( 见【3 9 】) 设x 是h a u s d o r f f 线性拓扑空间e 中的非空凸紧子集， 厂：x x x 斗r 满足1 ) vx x ，y _ f ( x ，力是拟凹的；2 ) vy x ，x 呻f ( x ，力是下半连续的；3 ) vx x ，功s 0 ，则 j 工，使vy x ，有， ，y ) 0 成立，则存在y x ，使得对于所有xe j 成立 1 4 庐( x ，多) 0 。 证明：对每个玎= 1 , 2 ，因g 是紧的和凸的，由引理2 3 1 ，存在n e ，使 得矿 ，_ y 。) 0 对所有毒c 。成立。 设序列( y 。) 二相对于 c 。 ：，是e s c a p i n g 的，由( i v ) 存在x 中的序列 ( 矗) 二，x n g 玎= l ，2 ，使得l i l i l 一一。 。，n ) o 。但是以g 意味着 庐( x 。，y 。) 0 ，这跟l i m 。* 。，儿) 0 矛盾，因此，序列( n ) 二不相对于 c 。 ：是e s c a p i n g 的，因此它的某子列( 儿) 二必完全包含c 、在中。因是 紧的，存在吒中的( y 。) ：- 子网( 乙) 。，和点y e 。使得乙斗ya 设 z 。= _ y 。( 。) ，当刀( 口) 斗o 。时，若x x 给定，设| i 行o ，使得x q 。对于任 何口a 。，选择，使得n 0 ) k ，则x qc c n ( 。) ，且z 。= y 。( 。) g ( 。) 。 故对所有口口o ，有声( 工，z 。) 0 。因此由( 1 1 ) 得，庐( x ，y ) ! 塾髟( x ，z 。) 0 。 定理2 3 1 ：设e 是线性拓扑空间，x 是e 中的一个子集，r x = u 二e ，( c , o ；。 是x 中非空紧凸子集的递增序列，设f ，：斗2 x 满足以下条件： ( i )对vx 置f ( x ) 是非空凸集； ( i i ) 对每个x x ，f 。( 审n g 在c 。中是开的，聆= 1 2 ； ( i i i ) 对x 中每一序列( y 。) ：i 且y 。c 。，h = 1 ，2 ，( y 。) ：相对于 g ：。是e s c a p i n g 的，存在工中序列( 矗。) ：，且h f ( n 。) n e 。， = 1 , 2 - ； 则存在x x ，使得x f ( x ) ， 证明j 用反证法，若vx x , x 诺f ( x ) 。定义f ：x x x 聿r 1 1x f ( 力 ，o ，y ) 2 ox 仨f ( ” 口) 对于所有x ，y x ，有f ( x ，y ) f ( x ，y ) 成立； b ) 对于每个聆n ，每个x 工且每个五r 集合 y e ：f ( x ，y ) 册= c 。 五s 0 o五1 是在g 中的开集，所以 f - 1 ( 功n e 1 五 0 y 寸f ，力在e 上是f 半连续的； 力若4 是z 中的一个非空有限子集，且y c o a ，我们有m i n _ f ( x ，y ) 0 ， 否则对于所有z a ， f ( x ，力 0 ，即对于所有的x a ，有，( x ，y ) ：1 成 立。 故x f ( y ) ，a c ，( j ，) ，这时有，c o ac o f ( y ) = f ( ，这与反设矛盾： d ) 若c y 。) ：t 是在x 中的序列，y 。已，对于每个甩= 1 ，2 ，且相对于e 是 e s c a p i n g 的，则由条件i i i ) 知，存在x 中的子列o 。，) ：1 ，使得 工f ( y h ) n c ，即x 。q ，且，( h ，y ) = l ，固定c c 1 。定义 i 若聊= 仇，对某些| | h 2 c若研对所楸 有1 i m 一，( ，j ，n ) o 。因此，由引理2 3 2 l 可知，存在_ y z ，对于所有的x x ，f f ： j 4 f ( x ，多) o 成立。所以对所有 x x ，有x 硭f ( 为，即f 渤：中这与i ) 矛盾。 这说明反设不成立，故jx x ，使x f ( x + 1 。 1 6 第三章n a s h 平衡存在性定理及其关系 在对策理论中，自从n a s h ( 1 9 9 4 年获诺贝尔经济学奖) 在文献 4 5 】， 4 6 】等 文中引入平衡点的概念( 后来人们把它称为n a s h 平衡点) 以来，围绕着n a s h 平衡点的存在性，进行了大量的研究工作，得到了许多结果。( 参见文献【2 1 】，【2 2 ， 3 0 。 4 3 ，【4 7 】， 4 8 】， 4 9 ，【5 0 】， 5 1 】， 5 4 】) 第一节非紧策略集的n a s h 平衡点存在性定理 对于二人零和对策中，v o nn e u m a n n 给出了极大极小点( 即鞍点) 的存在 性结果( 参见文献 5 2 1 ) ：对于n 人非合作对策，n a s h 给出了n a s h 平衡点的概念， 并利用b r o u w e r 不动点定理证明了n 人非合作有限对策n a s h 平衡点的存在性结 果( 参见文献【4 5 】，【4 6 】) ；在此基础上，1 9 5 5 年，n i k a i d o 和i s d o a 证明了策略 集合为局部凸线性空间中的紧凸集，支付函数为连续，拟凹的n 人非合作一般对 策n a s h 平衡点是存在的( 参见文献 4 7 】) 。y u ，t a n ，y u a n 等人曾对上述结果作出 了进一步的改进( 参见文献【4 9 】， 5 4 】) 。t i a n 和z h o u 等人对支付函数是非连续非 拟凹的情况证明了n 人非合作有限对策n a s h 平衡点的存在性结果( 参见文献 5 1 ) 本节将运用第二章中的有关结果，在策略集非紧，支付函数是非连续非拟 凹的情况下进一步讨论了n 人非合作有限对策n a s h 平衡点的存在性结果。 定义3 1 1 ：设n = 1 , 2 ，疗) 是局中人的集合，个蚪人非合作对策r 是一个2 疗 序组( 五，托；石，五) ，对每一个i n ，非空集合置是其策略空间且 z ：x = r l 。z ，斗置是支付函数，集合x 称为策略空间，对每个f n ，设 置2 兀卢、娜 若 x = “，x ) e x ，我们定义为 k = ( z i ，并f q ，x f + l ，一，x n ) 以 ， 若x ，x 。且x e j ， ，我竹 记 y = ( y l ，y 。) x 为 ，x ) ，且y ，= x 。和y = x 。若存在y x ，对每一个 i 和所有的x 。x ，有l ( y 4 ) ( x 。，y ：) ，则称y x 是对策r 的n a s h 平 1 7 衡点。 关于n a s h 平衡点的存在性，当然与策略集五所在空间的性质，x t 的凸性， 闭性和紧性，支付函数，的凸性和连续性等条件有关。 定义3 1 2 ：对于局中人i 而言，局中人i 的最佳回应映射定义为 b i ：x 呻x 一艿，( 砷= f 一x 。lz ( f ，x ? ) = m 。曲a x a ( r , , x d i 。最佳回应映射定 义为：曰：x 斗j b o ) = n ：，b ) 。 最佳回应映射提供了一种n a s h 平衡点存在的自然方式，下一个命题是 n a s h 平衡点定义的一个直接结果。以下引理参见文献【3 0 】： 命题3 1 1 ：策略z + x 是对策f = x 1 ，z 2 ，k ；工， ，正) 的m 平衡点， 当且仅当x 是最佳回应映射的不动点，即当且仅当x b ( x 1 。 引理3 1 1 ：设r = x 。，x ：，x 。； ， ， 是一个对策，策略集墨是有限维 欧氏空间的非空紧凸集，支付函数z 在x = n ：。x 。上是连续的，若最佳回应 映射b ( x ) 是单值的，则r 至少有一个n a s h 平衡点。 引理3 1 2 - 设f = x 。，工：，以；z ，以，正) 是一个对策，满足以下条件： ( 1 ) 置是有限维欧氏空间中的非空紧凸集； ( 2 ) 工在x = i 【：l l x 。上是上半连续的； ( 3 ) 对任何固定的“：x ，函数z ( u ，) 在工? 上是下半连续的； ( 4 ) 对任何z ，最佳回应映射e ( ) 是凸的； 则r 有n a s h 平衡点。 证明：因为每个x 。是紧的，z 上半连续的，故最佳回应映射b 。0 ) 是非空的。 现在我们证明置0 ) 也上半连续，这就等于说证明图 g 口= ( x ，y ) ，x z ，y 曰 ) ) 是闭的。反设它不是闭的，则有一个 0y o ) 硭g 8 ， 使得0 0 ，y 。) 的每个邻域都包含有瓯中的点，x oe x 。因z 是闭的，所以 y o 仨b ( x o ) ，即至少有一个局中人( 不妨设局中人1 ) 有y k x ，使得 五( y ：，x ：，矗) 一五( ”，x 2 ，) 0 。 ( ) 定义函数f ：x 2j 丑如下： f ( x ，y ) = a ( y ：，x ：，x 。) 一f ( y i ，x ：x 。) ，由假设( 2 ) 和( 3 ) ，f 是下半连续 的，因此集合c = ( x ，y ) x 2 ：f ( x ，y ) 0 是闭集，对任何 ( ；，- ) g bf ( _ ，为0 。但是，由( ) 式得，q o ，y o ) 0 ，这跟c 的闭性矛 盾。由假设( 4 ) ，e ) 是凸值，我们知道它也是非空闭的。因工是紧的，映 射b ：工满足k a k u t a n i 不动点定理的条件，因而，存在一点工x ，使 得j b ( x 。) ，由命题3 1 1 知它是一个n a s h 平衡点。 对于骂( “) 是凸值的充分性条件是，( ，x t ) 是在置上拟凹的。对于凹和 连续的支付函数，引理3 1 2 首先由n i k a i d o 和, s o d a 年证明了，通常称为 n i k a i d o - i s o d a 定理( 参见文i 缺 4 7 1 ) 。 在肫砌平衡存在性定理的证明中，我们考虑函数u ( z ，_ y ) = z ，y ：) j e ( 1 ) u ：x x _ r u ) 。我们将把广义的拟凹和连续性条件应用到这个新 的函数若以下式子成立，即存在y e z ，对所有x e j ，使得 u ( x ，y + ) u ( _ y ，y + ) 成立，这就意味着y 是一个厅平衡点。 为了证明后面的结论，我们给出以下定义( 参见文献【5 1 】) ： 定义3 1 3 ：( 对兔转移连续) 设xr ! t t a u s d o r f f 线性拓扑空间五中的一子集，且a 和c 是z 的两个非空子集，函数u ：x c _ r 称为在a 上对y 是对角转移连 续的，若对每一( x ，y ) a x cu 瓴y ) u ( y ，力，这就意味着存在某点x a 和 y 的某邻域o ) c c ，对所有= ( y ) ，使得u ( x ，z ) u ( z ，z ) 成立。当a = x 时，我们称，q ，y ) 对y 是对角转移连续的。 定义3 1 4 ：( 对角拟凹) 设是h a u s d o r f f 线性拓扑空间五中的凸子集，函数 u ( x ，y ) ：x x x 哼r ，若对z 的每一个有限子集并”，vx o c o x ”，有式子 m i n 。u ( x ，p ) s u ( z , p ) 成立，则我们称【，：x x 哼r 对x 是对角拟凹的。 定义3 1 5 ：设x 是h a u s d o r f f 线性拓扑空间五中的一个凸子集，映射g ：x _ 2 。 称为在z 上船凸的，若对x 中每一个有限子集缸1 ，x 2 ，x ”) ，有 c o x l ，x 2 ，x “) c u 罱g ( x ) 。 定义3 1 6 ：( 转移殿凸的) 一般地，若x 是h a u s d o r f f 线性拓扑空问中的任一 非空集，y 是一个h a u s d o r f f 线性拓扑空间中的一个凸子集，则映射 g ：x - + 2 。称为是在x 上转移硝凸的，若对任何有限子集 x 1 工2 ，z 。) c 7 x ，存在相应的有限子集 n ，y 2 ，y 。 cy ，使得对任何子 集 ，托，以) c y l ，y 2 ，y 。) ， o ，m ) ， 我们有 c o ( y ，以，y ) ) c 。r 。1 g ( _ ) 定义3 1 7 ：( 对角转移拟凹) 设z 是h a u s d o r f f 线性拓扑空间中的一个凸子集， a ，b 是z 的两个非空子集，b 是z 的一个非空凸子集，函数u ：z b 辛r 称 为是在a 上对x 对角转移拟凹的，若对a 中任何有限子集 x ”= “，z ：，x 。 c a ，存在相应的有限子集】，”= y l ，y 2 ，y 。) c b ，使 得对任何子集 “， c y “，( 1 z 执，x ? ) 成立，就意味着存在着点x z 和 y 的邻域( y 。) ，使得， + ) f , ( y l ，x 1 ) ，对于任何y ：n ( y ，) 成立。 定义3 1 1 0 ：( 转移闭值) 若爿和r 是h a u s d o r f f 拓扑空间中的一个非空子集，称 映射g ：斗2 。为是转移闭值，若x ，y x 且y 芒g ( 功，就意味着存在x x ， 使得y g ( x 1 。 注5 ：对角拟凹和f s - 凸，对角转移拟凹和转移f s 凸的是密切相关的，对于 u ：x x x 专r 而言，若我们定义集值映射g ( x ) = 抄x ：u ( x ，y ) u ( y ，y ) ) 。 显然g 在xi - f s - 凸的等价于 力对石是对角拟凹的；g 在羔上转移，3 凸的等价于u ( x ，力对x 是对角转移拟凹的。 引理3 1 3 ( 见【3 0 】) ：设r = 蜀，z ：，五；石， ，工) 是一个对策，满足以下条 件： ( 1 ) 对每一个i n ，x ，是一个有限维欧氏空间中的非空凸紧集； ( 2 ) ：。z 在= 兀：。x ；上上半连续； ( 3 ) 对每个f 和固定“，x ，函数工( 群，) 在x ? 上是下半连续； ( 4 对每个固定的“盖，函数：。z ( ，? ) 在盖上是拟凹的： 则f 有n a s h 平衡点。 证明：定义函数g ：x 2 一r 为：g ( x ，力= e ( 咒，砰) 一( x 。，工? ) 】。此函数满 足引理2 2 5 的所有假设，特别地，由假设( 4 ) 知道，g ( x ，) 在x 上是拟凹 的。由假设( 2 ) 知，g ( ，y ) 是下半连续的，且g ( x ，x ) = 0 。对任何x x ，由 假设( 1 ) 知z 是非空凸紧的。因此，由引理2 2 5 ，存在一点工+ x ，使得 2 l 对于所有y x ，有g ( x ，y ) o 成立，即对于所有y x ，有u ( x + ，y ) s u ( x ，x + ) 成立，则x 是一个n a s h 平衡点。 以下结果是在非紧策略集中通过应用k k m 引理得到的两个新的n a s h 存 在性结果 定理3 1 1 ：( 见 1 3 ) 设策略集置是h a u s d o r f f 线性拓扑空间e 中的非空凸子集， 设由( 1 ) 定义的u ：x x x 斗r 且满足u ( x ，y ) 对y 是对角转移连续的，u ( x ，力 对x 是对角拟凹的，设jx 0 x ，g ( x o ) = y x ，u ( x o ，力u ( y ，力 ，使得 o ( x 。) 是紧的。则对策r 有n a s h 平衡点。 证明： 对每一个x x ，设g ( x ) = y z ，u ( x ，y ) u ( y ，j ，) ) ，首先证明 n 。o - 丽_ - n 。g ( x ) ，很显然n 。，云丽3 n ，。，g o ) ，所以我们只需证 n ，。石丽c n 。，g ( 。用反证法，设y n ，。；z 丽，但是y 仨n 。g ( x ) ， 则对于某个x x ，有j ，正g ( x ) 即u ( x ，y ) u ( y ，y ) 。由u 的对角转移连续性 知，有某个x x 和y 的某邻域( y ) ，对于所有z ( 力而言，使得 u ( x ，z ) u ( z ，z ) 成立。因而y 正g ( x ) ，矛盾。 对于x z ，否i 西是闭的，由u 对x 是对角拟凹的可知g ) 在j 上是f s 凸的。即对于x 中每个有限子集 x 1 ，z ：，x ，) ，有 “，z ：，靠) c u 。g ( ) cu o - 7 9 3 , ) 又jz 。，使得g ( x o ) 是紧的，故由第二章的引理2 2 2 可得 n ，。jg ( x ) 西。又n x ；。g - - 丽= n ，。，g ( x ) 所以n ，醵g ( 中。 因此存在j ，x ，对于所有x e 肖，使得u ( x ，y ) u ( ，y ) 成立，设 x = ( t ，y ：) ，贝0 我仃 有u ( x ，y ) 一u ( y ，y ) = z ( x ，_ y ：) 一z ( y ) 0 ，即y 是 对策r 的一个n a s h 平衡点。 定理3 1 2 ：( 见【1 3 】) 设策略集x i 是h a u s d o r f f 线性拓扑空间e l 中的非空凸子集， 设由( 1 ) 定义的u ：x x 呻r 且满足u ( x ，y ) 对y 是对角转移连续的，且存在一 非空紧凸子集x oc x，使得u ( x ，y ) 在托上对x 是对角拟凹的，且 g ( x ) = y ：u ( x ，y ) s u ( y ，y ) 是一非空凸集的。则对策r 有n a s h 平衡点。 证明： 对每一个x x ，设g ( 曲= 抄x ，u ( x ，_ y ) s v ( y ，y ) ) ，首先证明 n ，。g - t j 3 = n ，。g ( x ) ，很显然n 。g - 7 ；3 d n ，。，g ( z ) ，所以我们只需证 n ，。，雨c n ，。g ( x ) a 用反证法，设y n 。乏趸五，但是y 正n 。，g o ) ，则 对于某个x e x ，有y 隹g 讧) _ f t u ( x ，y ) u ( y ，y ) 。由，的对角转移连续性知， 有某个x 。x 和y 的某邻域( y ) ，对于所有z ( y ) 而言，使得 u ( x 1 ，z ) u ( z ，z ) 成立。因而y 芒g o ) ，矛盾。所以n i o ，z 丽= n 。g ( x ) 。 由u ( x ，y ) 在诋上对x 是对角拟凹的，知g o ) 在j ，o 上彤凸，即对于鼠 中每个有限子集 鼍，x ：，x ，) ， c o x t ，x ：，靠) c u o ；。o ( x 。) c u 翟，石葡。 又在j ，0 中，g ( 功是非空的，故存在x o ，使得葡是五中的非空闭集， 所以g ( x 。) 是x o 中的紧集。根据第二章的引理2 2 2 可得n 一反而中。 - - 托 n 、 又g ( 砷在瓦上是凸集，所以石丽也是凸集，n ，。云丽也是凸集。又 硬孬是蜀中闭