（计算数学专业论文）非线性沃尔泰拉延迟积分微分方程几类数值方法的散逸性.pdf

摘要 科学与工程的许多问题具有散逸性，即系统具有一有界吸引集， 从任意初始条件出发的解经过有限时间后进入该吸引集并随后保持 在里面散逸性研究一直是动力系统研究中的重要课题，当数值求解 此类系统时自然希望数值方法能保持系统的该重要特征 沃尔泰拉延迟积分微分方程( v d i d e s ) 广泛出现在生物学，生态 学，医学和物理学等科学领域，此类方程在各类工程学及自然科学的 各种问题建模中起到重要作用，开始引起了研究者对其数值计算及 分析的兴趣从数值角度来说，研究数值方法是否保持原方程解析解 特性的能力是很重要的 本文主要研究求解非线性沃尔泰拉延迟积分微分方程( v d i d e s ) 的几类数值方法的散逸性在第一章，对非线性沃尔泰拉延迟积分微 分方程研究背景及现状进行了综述在第二章，将g ( c ，p ，o ) 代数稳定 的单支方法应用于非线性沃尔泰拉延迟积分微分方程，获得了 g ( c ，p ，o ) 代数稳定的单支方法的有限维和无限维散逸性结论在第三 章，将( k 1 ) 代数稳定的龙格库塔方法应用于非线性沃尔泰拉延迟积 分微分方程，获得t ( k , 0 代数稳定的r u n g e k u t t a 法的有限维和无限 维散逸性结论在第四章，将( k ，1 ) 代数稳定的多步龙格库塔方法应 用于非线性沃尔泰拉延迟积分微分方程，获得了( k ，1 ) 代数稳定的多 步r u n g e k u t t a 法的有限维和无限维散逸性结论 关键词沃尔泰拉延迟积分微分方程，散逸性，r u n g e k u t t a 法， 单支方法，多步r u n g e k u t t a 法 a b s t r a c t m a n yi n t e r e s t i n gp r o b l e m si ns c i e n c ea n de n g i n e e r i n ga r em o d e l e d b yd i s s i p a t i v ed y n a m i c a ls y s t e m s t h e s es y s t e m sa r ec h a r a c t e r i z e db y p o s s e s s i n gab o u n d e da b s o r b i n gs e tw h i c ha l lt r a j e c t o r i e se n t e ri naf i n i t e t i m ea n dt h e r e a f t e rr e m a i ni n s i d e d i s s i p a t i v eo fn u m e r i c a lm e t h o d sf o r d d e si sa ni m p o r t a n ti s s u e ，w h i c hh a sb e e ns t u d i e db ym a n yp a p e r s w h e nc o n s i d e r i n gt h ea p p l i c a b i l i t yo fn u m e r i c a lm e t h o d sf o rt h e s e s y s t e m s ，i ti si m p o r t a n tt oa n a l y z ew h e t h e ro rn o tn u m e r i c a lm e t h o d s i n h e r i tt h ed i s s i p a t i v i t yo ft h eu n d e r l y i n gs y s t e m v o l t e r r ad e l a y - i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( v d i d e s ) a r i s ew i d e l y i ns c i e n t i f i cf i e l d ss u c ha sb i o l o g y , e c o l o g y , m e d i c i n ea n dp h y s i c s t h e s e c l a s s e so fe q u a t i o n s p l a y s a l l i m p o r t a n tr o l e i n m o d e l l i n gd i v e r s e p r o b l e m so fe n g i n e e r i n ga n dn a t u r a ls c i e n c e ，a n dh e n c eh a v ec o m et o i n t r i g u er e s e a r c h e r si nn u m e r i c a lm e t h o d si np r e s e r v i n gt h eq u a l i t a t i v e b e h a v i o ro ft h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n t h i st h e s i si sc o n c e r n e dw i t ht h ed i s s i p a t i v i t yo fs e v e r a lk i n d so f n u m e r i c a lm e t h o d sf o rn o n l i n e a rv o l t e r r a d e l a y - i n t e g r o - d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ( v d i d e s ) i nc h a p t e ro n e ，t h eb a c k g r o u n da n dp r e s e n ts i t u a t i o n a r ei n t r o d u c e da n ds u m m a r i z e df o rt h es t u d yo fn o n l i n e a rv d i d e s i n c h a p t e rt w o ，g ( c ，p ，o ) 一a l g e b r a i c a l l ys t a b l eo n e l e gm e t h o d sa r ea p p l i e dt o n o n l i n e a rv d i d e s t h ef i n i t e d i m e n s i o n a la n di n f i n i t e d i m e n s i o n a l d i s s i p a t i v i t yr e s u l t so fg ( c ，p ，o ) - a l g e b r a i c a l l ys t a b l eo n e - l e gm e t h o d sa r e o b t a i n e d i nc h a p t e rt h r e e ，( k ，1 ) - a l g e b r a i c a l l ys t a b l er u n g e k u t t am e t h o d s a lea p p l i e dt on o n l i n e a rv d i d e s t h ef i n i t e - d i m e n s i o n a la n di n f i n i t e - d i m e n s i o n a ld i s s i p a t i v i t yr e s u l t so f ( k ，1 ) - a l g e b r a i c a l l ys t a b l er u n g e - k u t t a m e t h o d sa r eo b t a i n e d i nc h a p t e rf o u r , ( k ，1 ) 一a l g e b r a i c a l l ys t a b l em u l t i s t e p r u n g e - k u t t am e t h o d sa r ea p p l i e dt on o n l i n e a rv d i d e s t h ef i n i t e d i m e n s i o n a la n di n f i n i t e d i m e n s i o n a l d i s s i p a t i v i t y r e s u l t so f ( k ，1 ) - a l g e b r a i c a l l ys t a b l em u l t i s t e pr u n g e k u t t am e t h o d sa r eo b t a i n e d k e yw o r d sv o l t e r r ad e l a y - i n t e g r o d if f e r e n t i a le q u a t i o n s ， d i s s i p a t i v i t y , r u n g e k u t t am e t h o d s ，o n e l e gm e t h o d s ，m u l t i s t e p r u n g e k u t t am e t h o d s 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。论文主要是自己的研究所得，除了已注明的地 方外，不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的 同志对本研究所作的贡献，已在论文的致谢语中作了说明。 作者签名： 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门的规定，送交学位论文。对以上规 定中的任何一项，本人表示同意，并愿意提供使用。 作者签名：导师签名：e l 期：- 年月一 硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 本章首先介绍了沃尔泰拉延迟积分微分方程稳定性研究现状，然后叙述了 几类微分方程系统理论解散逸性及几类数值方法的散逸性研究情况，最后总结 了本文所做的主要工作 1 1 沃尔泰拉型延迟积分微分方程稳定性研究 沃尔泰拉延迟积分微分方程( v d i d e s ) 作为延迟微分方程的一种，广泛出现在 生物学，生态学，医学和物理学等科学领域 卜3 ，此类方程在各类工程学及自 然科学的建模中起到重要作用，其算法理论研究具有毋庸置疑的重要性，开始 引起了研究者对其数值计算及分析的兴趣从数值角度来说，研究数值方法是 否保持原方程解析解特性的能力是很重要的 对于v d i d e s 的初值问题 tt f ) = ( f ，y ( f ) ，l g ( ，s ，y ( s ) ) 出) ，i 气，佃) ， ( 1 1 1 ) c止一r i ili j i y o ) = 伊o ) ，t 【气一f ，气) ， 。 1 9 9 2 年，b a k e r 和f o r d 4 研究了带有求积公式的线性多步法的线性稳定性及收 敛性 对于中立型沃尔泰拉延迟积分微分方程( n v d i d e s ) 的初值问题 北) = h ( t ，m ) + l 姒s ，夕( s ) ，y 7 ( s ) ) 出，i f o ，丁1 ， ( 1 。1 2 ) y ( f ) = 伊( f ) ，t 【气一f ，乇】 1 9 9 4 年，b r u n n e r 5 研究了连续沃尔泰拉r u n g e k u t t a 法超收敛性的可达阶 1 9 9 7 年，e n r i g h t 和h u 6 研究了显式和隐式连续r u n g e k u t t a 法的收敛性 1 9 9 7 和2 0 0 0 年，b a k e r 和t a n g 7 ， 8 将此研究推广到如下v d i d e s 和 o 卜八岛以o - 秽 几j 攀吲如删 ( 1 1 3 ) 少= 砸【i 辫卜砸) ，岛j 硕士学位论文 第一章绪论 ) = ( 啪) ，心吖( ) ) ，l g ( 郇，y ( s ”出) ，托i t o ，枷) ，( 1 1 4 ) 【少o ) = 伊o ) ，t 【。o ，气】， 获得了解析解及数值解稳定性的重要结论 2 0 0 2 年，z h a n g 和l i a o 9 研究了非线性沃尔泰拉延迟积分方程 y o ) = g ( f ) + 【厂( 善，y ( 0 ，j ，( 孝一f ) ) d f ， 给出了b d f 方法稳定性准则 2 0 0 4 年，z h a n g 和v a n d e w a l l ee 1 0 研究了带有常延迟量f 0 的复n 维空间 一类沃尔泰拉延迟积分微分方程( v d i d e s ) f ) = 巾，j ，( f ) ，g ( f ，y ( 卜f ) ，i - fg ( ，s ，j ，( j ) ) 出) ) ，i t o ，佃) ，( 1 1 5 ) 【y ) = 伊o ) t e t o f ，气) ， 其中映射f ，g ，g 和缈充分光滑，使得系统( 1 1 5 ) 存在唯一光滑解y o ) 并且满 足以下条件： 吼 ( 厂( y ，z ) - f ( t ，此，z ) ，y 。一咒) - 口l l y 。一y ：1 1 2 ( 1 1 6 ) i i f ( t ，y ，z 。) - f ( t ，y ，z ：) 1 1 - 0 当彳是奇异矩阵时，此系统变为延迟积分微分 代数方程获得了线性中立型沃尔泰拉延迟积分微分方程( n v d i d e s ) 一致稳定性 的充分条件并证明了对线性中立型沃尔泰拉延迟积分微分方程( n v d i d e s ) ，满 足0 ( 1 2 ，1 】的线性秒一方法和彳一稳定的b d f 方法保持了系统精确解的延迟独立 稳定性 1 2 几类系统及数值方法的散逸性研究 科学与工程的许多问题具有散逸性，即系统具有一有界吸引集，从任意初 始条件出发的解经过有限时间后进入该吸引集并随后保持在里面散逸性研究 是系统研究中的重要课题，当数值求解此类系统时自然希望数值方法能保持系 统的该重要特征 1 9 9 4 年，h u m p h r i e s 和s t u a r t 1 5 ，1 6 首次考察了尺”中的散逸动力系统 3 硕士学位论文 第一章绪论 ) = 八y ( ) ) ，o ， ( 1 2 1 ) l y ( o ) = y o ，y o w ， 其中日是实或复的希尔伯特空间，( ，) 是日中的内积，i i i 是该内积导出的范数， w 是日一无限子集。f ：w 专矿是一局部l i p s c h i t z 条件的连续映射，满足以 下条件： r e ( y ，f ( y ) ) 0 是实常数 h u m p h r i e s 和s t u a r t 1 5 ，1 6 研究了r u n g e k u t t a 方法求解以上散逸动力系 统时数值解是否继承真解具有的散逸稳定性，并表明代数稳定且不可约的 r u n g e k u t t a 方法是散逸稳定的且有一有界吸引集 1 9 9 6 年，肖爱国 1 7 把这一工作推广到了两类特殊的一般线性方法 1 9 9 7 年，h i l l 1 8 研究了希尔伯特空间上a 一稳定的单支方法的有限维和无 限维散逸性并把文献 1 5 ，1 6 的工作推广到了h i l b e r t 空间中的散逸动力系统 ( 1 2 1 ) ，( 1 2 2 ) 2 0 0 0 年，肖爱国 1 9 把散逸性的相关结论推广到一般线性方法和希尔伯特 空间上的散逸动力系统 考虑求解系统( 1 2 1 ) ，( 1 2 2 ) 的s 级r 值一般线性方法： 阳= 五c ；1 厂( 墨帕) + 一”n ，i = l ，2 ，j ， 产1户1 ( 1 2 3 ) “帕= h e 4 1 厂( 匕扣) + 弓2 一”n ，i = l ，2 ， 其中h o 是步长，系数是实常数，i 佃和z “分别是系统真解y ( f ) 的信息 y ( 厶+ 鸬 ) 和日( 乞+ k 矗) 的逼近，这里鸬，m 是实常数，乞= n h ，真解信息e ( f ) 通常是函数值、导数值或者它们的某种组合为方便计，可以把( 1 2 3 ) 写成更 紧凑的形式 瞄y 麟f ( y 未墨y m2 4 ， = j i l c 2 。抽) + g ：n 叫， 、。 其中一 ，”= ( x m ，k m ，r 月) 2 x ，y = ( y ，以，z 4 ) 7 x 7 ， f ( y ) = ( 厂( o + p , h ，k n ) ，厂( 乞+ 鸬 ，艺n ) ，厂( 气+ 段| j i ，【 ) ) x 5 ， c u ( i ，j = 1 ，2 ) 是与矩阵c 0 = i 1 相应的线性算子 4 硕士学位论文 第一章绪论 表明不可约且代数稳定的一般线性方法关于h i l b e r t 空间动力系统是散逸 稳定的且有一有界吸引集同时也表明弱a n 一稳定是一般线性方法散逸稳定的 一个必要条件 2 0 0 0 年，h u a n g 2 0 研究了带有常延迟量的延迟微分方程( d d e s ) y 缸) = 厂( j ，( f ) ，y ( 一f ) ) ，f o ，( 1 2 5 ) 【y o ) = 伊o ) ，t 0 ， 其中f 是一正常数，伊( f ) 连续，日是实或复的希尔伯特空间，( ，) 是h 中的内 积，洲是该内积导出的范数，x 是日中稠密的连续嵌入子空间映射 f ：x x x h 是一局部l i p s c h i t z 连续函数，满足以下条件： r e ( u , 厂( “，o - o 是步长，令= 驴( o ) ，y 。是系统真解在f 。= n h 的值j ，( 厶) ( 刀= o ，1 ，2 ，) 的逼近，( ，霉n 分别逼近j ，( 乙+ q j l l ) ，y ( o + 勺 一f ) 并且获得了( j j ，) 一代数稳定的r u n g e k u t t a 方法对系统( 1 2 5 ) ，( 1 2 6 ) 在 有限维空间日= x = c 上的散逸性结论，同时证明了当h 是无限维复希尔伯特 空间时，( 七，) 一代数稳定的r u n g e k u t t a 方法对系统( 1 2 5 ) ，( 1 2 6 ) 具有无限 维散逸性 同年，h u a n g 2 1 考虑求解系统( 1 2 5 ) 的k 步单支方法( p ，仃) ： ，p ( e ) 只= h f ( o ( e ) y ，或) ，刀= o ，l ，2 ，：“， ( 1 2 8 ) 其中 9 是步长，e 是位移算子，蛾= j ，州，p ( f ) = 哆f 7 ( o ) 和 盯( f ) = 窆岛f 7 是生成函数，设二者无公因子，且满足节( 1 ) = o ，( 1 ) = 盯( 1 ) = 1 y 。是系鲩真解在f 。= n h 的值y ( 乙) 的逼近，或逼近) ，( 盯( 昱) 乞一f ) 并且获得了o ( c ，p ，o ) 一代数稳定的单支方法( p ，仃) 对系统( 1 2 5 ) ，( 1 2 6 ) 在有限维空间日= x = c 上的散逸性结论，同时证明了当日是无限维复希尔伯 特空间时，o ( c ，p ，o ) 一代数稳定的单支方法( p ，盯) 对系统( 1 2 5 ) ，( 1 2 6 ) 具 有无限维散逸性特别地，不可约的单支方法( p ，仃) 是有限维散逸的当且仅当 该方法是爿一稳定的：不可约的单支方法( p ，仃) 是无限维散逸的当且仅当该方法 5 硕士学位论文第一章绪论 是强a 一稳定的 同年，黄乘明和陈光南 2 2 考虑求解系统( 1 2 5 ) 的线性0 一方法： 儿+ 。= 以+ o h f ( y 死t ) + ( 1 + 秒) 矽( 以，五) ，n = 0 ，l ，2 ，( 1 2 9 ) 其中j 1 1 0 是步长，y 。是系统真解在f 。= n h 的值j ，( f 。) 的逼近，秒【o ，i i ，只逼 近少( 厶一f ) 设f = ( m - 8 ) h ，m 为正整数，j o ，1 ) 证明了线性0 一方法对于有限维系统( 1 2 5 ) ，( 1 2 6 ) 是散逸的充要条件是 1 2 0 1 ，从而表明代数稳定并不是方法散逸的必要条件 同年，h u a n g 和c h a n g 2 3 考虑求解系统( 1 2 5 ) 的多步r u n g e k u t t a 法： i o = z a i ，只+ 川+ 厂( 巧扣，髟o ) ，i = 1 ，2 ，j ， 产17 “ ( 1 2 1 0 ) y 。+ ，= g 儿+ 一+ j l 乃厂( 巧n ，e 阳) ， = l产i 其中h o 是步长，系数，够和7 ，是实常数，儿是系统真解在f 。= n h 的值 y ( e 。) ( ，l = o ，1 ，2 ，) 的逼近，弓o 逼近y ( o + c ，五) ，e “逼近y ( 乙+ 勺i l l f ) 并 假设o c ，1 ( 扣l ，2 ，s ) ，设f ：( m - 6 ) h ，m 为正整数，万 o ，1 ) 巧可 由下面线性插值程序获得： = 万巧”肿1 ) + ( 卜万) 巧”，j = l ，2 ，j ， ( 1 2 1 1 ) 其中当乙+ c y h o 时，巧4 ) = 伊( 乙+ 巳 ) ，t “= 乙+ 勺 ，j = 1 ，2 ，s h u a n g 和c h a n g 2 3 研究了带有约束网格和线性差值程序( 露，z ) 一代数稳定的 多步r u n g e - k u t t a 法的散逸性，并且获得了( 尼，z ) 一代数稳定，不可约的多步 r u n g e - k u t t a 法对系统( 1 2 5 ) ，( 1 2 6 ) 在有限维空间h = x = 口上的散逸性 结论另外，由单支方法和线性多步法的关系得到了a 一稳定的线性多步法的 散逸性结论。 2 0 0 1 年，余越听和李寿佛 2 4 研究了多延迟微分方程线性口一方法的散逸 性 考虑带有常延迟量的双延迟微分方程( d d e s ) 初值问题 j y 7 0 ) = ( y o ) ，y o 一) ，y ( t - 乞) ) ，0 ， ( 1 2 1 2 ) 【y o ) = 伊o ) ，一f t 0 ， 其中l ，吃是一正常数，f = m a x r i ，巳 ，缈( f ) 是已知连续函数，日是实或复的 希尔伯特空间，( ，) 是日中的内积，| f | f 是该内积导出的范数，映射 f ：x x x x x 专h 是一局部l i p s c h i t z 连续函数，并满足以下条件： r e ( u ，f ( u ，v l ，v 2 ) ) o ，掰，v 。，v ：x ，( 1 2 1 3 ) 其中7 ，口，声是实常数，r y o ，属o ，殷o 给出了此类延迟动力系统理论 6 硕士学位论文 第一章绪论 解散逸性的充分条件 考虑求解系统( 1 2 1 2 ) 的线性口一方法： 只+ 。= 儿+ 口矿( 只以n l ，一2 ) + ( 1 + 口) 矽( 儿，y ，一2 ) ，l = o ，l ，2 ，( 1 2 1 4 ) 其中h o 是步长，y 。是系统真解在f 。= n h 的值y ( f 。) 的逼近，口1 0 ，1 1 ，z ”逼 近y ( 乙一1 ) ，y ( n 逼近y ( 乙- r 2 ) 卵，以2 可由下面插值程序获得： z ”= 巧只一叫+ ( i - s z ) y 嗍， 一2 = 吒咒一j i l 2 + l + ( 1 - 8 2 ) y 一j ，1 2 证明了当且仅当1 2 0 1 时，双延迟微分方程线性秒一方法是g d 一散逸 的 2 0 0 3 年，t i a n 2 5 研究了带有有界变延迟项的奇异摄动延迟微分方程： j 占) ，o ，占) = 厂( ，j ，o ，y ( ，f ) ) ，y o f ( f ) ，s ) ) ，f 0 ， ( 1 2 1 5 ) 【y ( f ，g ) 2 矽( f ) ，t o f ts t o , 其中f ：r + = l t o ，) xc c 5 专c 5 ，充分可微，0 f ( f ) f ，f 是常数，初值函 数f k ( t ) 对t o f 掌f o 使得 系统( 1 2 i 5 ) 对充分小的s ( o ，】是一致散逸的 同时，t i a n 2 5 考虑了线性0 一方法： 占y 二= 占+ h ( 1 - o ) f ( t ，( 乙一f ( 乙) ) ) + 五秒厂( 乙+ 。，y l 。，硝( 乞+ 。一r ( t 。+ 。”) ， 其中h 占 0 当f o 当f f o 时，蝣( f ) = 识( f ) ：当f - t o 时，所( f ) 由分片线性差值程 序( 1 2 1 8 ) 给出证明了线性9 一方法及单支0 一方法的数值解对充分小的占 0 是一致散逸的和一致指数稳定的当且仅当秒= 1 2 0 0 5 年，范利强，张嫒颖，项家祥等 2 6 研究了应用于延迟微分方程的二 级0 一方法数值散逸性 考虑二级0 一方法： u n + l = u n + f 【( 1 一g ) f ( u 。，u 。一。) + 曰厂( “。+ i ，u 。一。+ i ) 】， ( 1 2 1 9 ) 这里，n = 1 ，2 ，数值逼近于甜( 刀出) ，步ma t 满足约束条件f = m a t ，m 是正 整数 i 正h b t - 级口一方法对系统( 1 2 5 ) ，( 1 2 6 ) 是耗散的当且仅当口【= i ，1 1 2 0 0 6 年，文立平，余越昕和李寿佛 2 7 研究了分片延迟微分方程的散逸 性 考虑初值问题( i v p ) jj ，2 2 厂( ( 嘎y ( ，晓o ( 1 2 2 0 ) 【j ，( o ) = y o ， 其中：l o ，+ o o ) x x x x 专x 是一局部l i p s c h i t z 连续函数，满足 r e ( u ，厂( f ，甜，力) y ( f ) + 口( f ) 2 - , - 夕 ( t ) l l v l 2 ，“，v e x ，t 1 0 , + o o ) ，( 1 2 2 1 ) 这里口( f ) ，f l ( t ) 和7 ( f ) 是连续函数，t 表示取不超过t 的最大整数我们恒设初 值问题( 1 2 2 0 ) 在区间【0 ，佃) 上有唯一解y ( f ) 考虐求解系统( 1 2 2 0 ) 的一类特殊的线性多步法( p ，仃) ，其中 户( f ) = 吩f 7 ( 吼o ) 和盯( f ) = 6 f 7 是两个实系数多项式且没有公因子，且满 足 = 0 p ( 1 ) = o p ( 1 ) = 仃( 1 ) = 1 ，咏= 1 ，b o ， 由于问题( 1 2 2 0 ) 的真解的导数在整数点处间断，为了减少计算误差，我们取 积分步长j j l = 一1 ，这里朋为正整数，并记么= e l a , l ，应用线性多步法( 办盯) 于 m ，一n 问题( 1 2 2 0 ) 得到 巳只+ = h b f ( t + ，儿+ 。，圪r 1 ) 这里y 。是问题的真解在节点0 = n h 的值y ( t 。) 的逼近，n = 0 ，1 ， 8 硕士学位论文第一章绪论 得到了此类求解分片延迟微分方程线性多步方法( 户，o r ) 的数值散逸性结果， 此结果表明所考虑的数值方法继承了方程本身的散逸性并且数值试验迸一步 验证了理论结果的正确性 同年，w e n 和l i 2 8 研究了希尔伯特空间上沃尔泰拉范函微分方程的散逸 性 考虑沃尔泰拉范函微分方程 ) = 厂( ，j ，( f ) ，y ( ”，f o ，( 1 2 2 2 ) 【少( f ) = 缈o ) ，彳t o 其中f 是一正常数，伊( f ) g - r ，0 】是给定的初始函数，日是实或复的希尔伯 特空间，( ，) 是日中的内积，1 1 1 | 是该内积导出的范数，x 是日中稠密的连续嵌 入子空间对任意给定的闭区间，cr ，令q ( ，) 表示由所有连续映射石：，一x 组成的巴拿赫空间，l i x l l 。= m a x 倒f i x l i 是该空间上的范数 f ： o , + o o ) x x xo l - r ，佃l 一日是一局部l i p s c h i t z 连续函数，满足以下条件： 2 孵( “，( f ，材，y ( ) ) ) 厂( f ) + 口( 雌0 2 + 艄。罂鉴一) 1 1 2 ， x ，少c i 卜f ，+ l ，t i o ，+ ) ， 其中y ( f ) ，口( f ) ，( f ) 在区间【o ，佃) 上是有界连续函数。( f ) ，鸬( f ) 满足条件 o o 煦l ( t ) z t ( t ) l z z ( t ) t + r v t e l 0 ，佃) l i m ( t 一“o ”= + 。0 ： i + w e n 和l i 2 8 给出了此类沃尔泰拉范函微分方程理论解散逸性的充分条件，并 将此结果应用于延迟微分方程和积分微分方程 考虑延迟微分方程 砂) 。g ( ，y ( ) ，y ( 删，r 6 ( ) ，仉( 枞o ，佃 ( 1 2 2 3 ) 【j ，o ) = r p ( t ) ，t 卜_ ，0 】， 其中7 7 f c r 【0 ，佃) ，i = 1 ，2 ，满足条件 一f 仇( f ) 0 映射g ：【o ，- 卜o o ) x x 一1 - 9 , x 满足 2 孵( “，g ( f ，“，五，屯，) ) 八f ) + 口( f ) 1 2 + o ) m 。a ；，x 卜1 1 2 ，( 1 2 2 5 ) v t 【o ，佃) ，“，五，屯，x 考虑积分微分方程的初值问题： 9 硕士学位论文第一章绪论 ) = 酏，y ( f ) ，麟聊，劬( o ) d o ，f 【0 惘) ( 1 2 2 6 ) 【y o ) = 伊( ) ，t 【一f ，o ) ， 其中矾，仉g 【o ，佃) 满足条件 f 强( t ) o 连续映射g ：l o ，+ o o ) xx xx x 满足 2 吼( 甜，g ( t ，“，x ) ) y o ) + 口( f ) l k 0 2 + 矽( f ) l l x 0 2 ，v te 0 ，+ ) ，材，z x ( 1 2 2 9 ) 获得了比以前文献所得相关结论更一般更深刻的散逸性结果 2 0 0 6 年，g a n 2 9 研究了希尔伯特空间日上积分微分方程的散逸性，并得到 线性0 一方法的散逸性结论 考虑积分微分方程( i d e s ) ： f y ( f ) = ( 少( f ) ，g o ，s ，j ，( j ) ) 出) ，f 。， ( 1 2 3 0 ) 【y o ) = 伊o ) ，f so 其中f 是一正常数，( ，) 是日中的内积，1 f f j 是该内积导出的范数，x 是片中稠 密的连续嵌入子空间，妒( f ) 连续，厂：x x x 专日是一局部l i p s c h i t z 连续函数， g ： o ，佃) 卜f ，佃) xx 专x 是连续函数，和g 分别满足以下条件： r e ( u ，f ( u ，v ) o ，只是系统真解y ( f ) 的逼近，q 逼近i ，g ( t ，j ，y ( s ) ) 凼q 可由下面 插值程序获得 3 0 ： l o 硕士学位论文 第一章绪论 g 。：j 垒! ! ；_ ! 1 2 二g ( r 。，f 。一，。，y 。一。) + 华gt n t n - m + l , y n - m + i ) + j i l m - ig ( t n , t n - m + ky 。一肺+ i ) + i hg ( f 。，f 。，z 。) ， 12 厶一 厶 ( 3 4 ) 其中当， o ， ( 1 2 3 5 ) 【y ( f ) = 缈( f ) ，t 9 是步长，e 是位移算子，巩= 只”p ( f ) = 吁f ( 吼o ) 和 仃( f ) = 廖f 7 是生成函数，二者无公因子，且满足p ( i j o - o ，( 1 ) = 盯( 1 ) = 1 y 。是系统真解在f 。= n h 的值少( f 。) 的逼近，或和或分别逼近j ，( 盯( e ) 乙一f ) 和 怠，咖( e ) ”删) 凼 讨论了应用于非线性沃尔泰拉延迟积分微分方程的后步单支方法( p ，仃) 的 数值散逸性，获得了g ( c ，p ，o ) 一代数稳定的单支方法的有限维和无限维散逸性 结论 第三章研究了( 后，z ) 一代数稳定的r u n g e k u t t a 法( 么，b ，c ) ： z 帕= 儿+ j j z 厂( o ，霉加，q n ) ，i = 1 ，2 ，s ， 州 ( 1 3 2 ) t 虼+ 。= 圪+ 矗6 1 ，厂( 弓加，霉加，q “) ， j = l 其中4 = r 蹦s ，6 = 【6 l ，6 2 ，包】r ，c = 【q ，c 2 ，q r ，并假设o c ，- o 是步长，令= 伊( o ) ，y 。是系统真解在f 。= n h 的值y ( 乇) ( n = o ，1 ，2 ，) 的逼近，z 月逼近j ，也+ q j 1 ) ，e “g j ”分别逼近j ，( o + c j h - r ) 和群，g ( 乙+ q 如，y ( s ) ) 出 讨论了求解非线性沃尔泰拉延迟积分微分方程的r u n g e k u t t a 法( 彳，b ，c ) 的 数值散逸性，获得了( 后，) 一代数稳定的r u n g e k u t t a 法的有限维和无限维散逸 性结论 第四章研究了( k ，z ) 一代数稳定的多步r u n g e - k u t t a 方法 i 伽= z a o y + 一+ ( 艺n ，z 细，g n ) ，i = i ，2 ，j ， 7 2 1 7 爿 ( 1 - 3 3 ) 只+ ，= 杰够n + 川+ 主乃厂( c ，巧c ，gr ，) ，= lj = l 其中h o 是步长，系数，岛，g 和乃是实常数，y 。是系统真解在f 。= n h 的值 1 2 硕士学位论文 第一章绪论 j ，( 乞) ( 胛= o ，1 ，2 ，) 的逼近，弓 逼近y ( 乙+ c y h ) ，e n g j ( n ) 分别逼近 ) ，( 乙+ 勺h ) 和瞄，g ( 乙+ 巳如，y ( s ) ) 凼 讨论了求解非线性沃尔泰拉延迟积分微分方程的多步r u n g e - k u t t a 法的数 值散逸性，并获得了 ，) 一代数稳定的多步r u n g e k u t t a 法的有限维和无限维 散逸性结论 硕士学位论文第二章非线性沃尔泰拉延迟积分微分方程多步方法的散逸性 第二章非线性沃尔泰拉延迟积分微分方程单支方法的散逸 性 本章将g ( c ，p ，o ) 一代数稳定的单支方法应用于非线性沃尔泰拉延迟积分微 分方程，讨论了该方法的数值散逸性，并获得了o ( c ，p ，o ) 一代数稳定单支方法 的有限维和无限维散逸性结论 2 1 非线性沃尔泰拉延迟积分微分方程的散逸性 设日是一实或复的希尔伯特空间，( ，) 是h 中的内积，是该内积导出的 范数，x 是日中稠密的连续嵌入子空间考虑沃尔泰拉延迟积分微分方程 垆厂) ，m 吖) ，f - ，g ( f ，叫( 呦凼) ，晓o ，( 2 1 1 ) 【j ，( f ) = 缈( f ) ，f o ， 其中_ f 是一正常数，伊( f ) 是连续函数，f ：x xx xx 专h 是一局部l i p s c h i t z 连续函数，g ：【o ，佃) 卜f ，栖) x 寸x 是连续函数，厂和g 分别满足以下条 件： r e ( u ，f ( u ，v ，川) 厂+ 口l k 0 2 + l i y 0 2 + 缈i i 叫1 2 ，“，y ，w ex ，( 2 1 2 ) i i g ( f ，s ，“) 0 uj i “i ，t 【o ，佃) ，se - r ，佃) ，“x ， ( 2 1 3 ) 其中7 ，口，缈和d 是常数 定义2 1 1 2 0 方程( 2 1 1 ) 称为是散逸的，如果存在一有界集bch ，使得 对所有闭集ch ，存在一时间t o = f o ( ) ，使得对所有包含于中的初始函 数妒( f ) ，对所有f t 。，相应的解y ( f ) 包含于b b 称为h 中的吸引集 命题2 1 2 1 3 1 假设某函数厂满足( 2 1 2 ) ，则厂2 0 ，0 ，国0 定理2 1 3 1 3 1 设j ，( f ) 是满足条件( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) 的系统( 2 1 1 ) 的解， 1 4 硕士学位论文第二章非线性沃尔泰拉延迟积分微分方程多步方法的散逸性 口+ + f2 c 2 0 ，存在f = f ( 歹，f ) ，一= s u p 脚i i 缈( f ) n 使得 当t f 时有 i l y o ) 1 1 2 一：i 南+ 所以系统是散逸的，对任意占 o ，开球b = b ( o ，一厂 + + 国丁2 c 2 ) + s ) 是其 吸引集 推论2 1 4 1 3 1 假设系统 ij ，( f ) = 厂( y o ) ，j ，o f )