（应用数学专业论文）边界条件带有特征参数的2×2sturmliouville问题的研究.pdf

原创性声明 y 1 8 3 。岑芝岑芗。 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者： 关徉 日期：动p 年岁月媚 学位论文使用授权声明 本人在导师指导下完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属郑州大 学。根据郑州大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留或向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权 郑州大学可以将本学位论文的全部或部分编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或者其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。本人离校后发表、 使用学位论文或与该学位论文直接相关的学术论文或成果时，第一署名单位仍 然为郑州大学。保密论文在解密后应遵守此规定。 学位论文作者： 吴辟 日期：训年朗汐日 摘要 本文讨论了一个边界条件带有特征参数的2x2s t u r m - l i o u v i l l e 问题即 其中 ( e ) l y= a y ，0 z 7 r ， u ( o )= 剪7 ( o ) ， 入秒( 7 r ) = ! ，( 7 r ) ， 三= 1 - 1 - 。1 净( 葛斟y = ( 抛y 1 ) 乱( z ) ，伽( z ) ，v ( x ) c 2 o ，丌】首先利用l y = a 秒初值问题解的渐进估计，找出一个整函 数u ( 入) 其零点集合与边界条件下l 耖：蛔的特征值问题的特征值集合重合，进一 步又证明了该问题的特征值的秩和其作为u ( 入) 零点的重数一致，该结论在迹公 式的计算及特征展开定理中有非常重要的作用。然后采用留数方法，得到了边 界条件含特征参数的2 2s t u r m l i o u v i l l e 问题的迹公式最后通过计算该问题的 预解式，利用泛函分析的方法得到该问题的特征展开。 关键词：特征值；特征值的秩；迹公式；全连续算子；留数方法 a b s t r a c t t h ep r e s e n tp r o b l e mo na2 2s t u r m l i o u v i l l ep r o b l e mw i t he i g e n p a r a m e t e rb o u n d a r y t h e r e 牡( z ) ， ( z ) ，v ( x ) f 切 i ( e ) ( o ) l 【( ，r ) = a y ，0 z 7 r ； = ( o ) ， = 可( 丌) 三= - 1 二p 斟y = ( 抛y 1 ) c 2 1 0 ，7 r 】 b ya n a l y s i s i n ga n dc a l c u l a t i n g ，a ne n t i r ef u n c t i o nu ( a ) o ft h i sp r o b l e mi so b t a i n e d ，w h o s e l z e r os e tc o i n c e d e n t st h es e to fe i g e n v a l u eo ft h ec o r r e s p o n d i n ge i g e n v a l u ep r o b l e m o nt h i sp r e m i s e ， f u r t h e r m o r et h er a n ko ft h ee i g e n v a l u ee q u a l st h eo r d e ro ft h ez e r oi sp r o v e d ，w h i c hi si m p o r t a n t f o rt h et r a c ef o r m u l aa n dt h ee x p a n s i o nt h e o r e m t h e nu s i n gt h er e s i d u em e t h o d ，at r a c ef o r m u l af o ra b o v ep r o b l e mi so b t a i n e d f i n a l l yt h e e x i s t e n c eo fr e s o l v e n ti sp r o v e dt h r o u g hg r e e nf u n c t i o n m a d 出n gu s et h et h e o r yo fc o m p l e t e l y c o n t i n u o u s ，t h ee x p a n s i o nt h e o r e mi so b t a i n e d k e yw o r d s ：e i g e n v a l u e ；r a n ko fe i g e n v a l u e ；t r a c ef o r m u l a ；c o m p l e t e l yc o n t i n u o u so p e r - a t o r ；r e s i d u em e t h o d 目录 1 引言1 2 特征值与一个整函数零点的关系5 3 特征值问题的迹公式1 2 4 特征值的秩1 3 5 特征函数系的完备性1 7 参考文献2 5 个人简介2 7 i 致谢2 8 1 引言 线性算子的谱理论从结构上描述了算子作用的本质特征，它独特的处理方 式完美地体现了数学结构在代数、分析和几何上的和谐与统一。不管是在物理 学理论中，还是在数学理论中，一维线性微分方程的边值问题都具有非常深刻 的应用背景和应用价值，实际上，微分算子理论是解决量子力学中许多问题的 基本工具，量子力学的快速发展也大大地推动了微分算子理论的研究，在核物 理学，电子学以及许多其它数学分支中，微分算子理论也起到了极其重要的作 用。 常微分算子谱理论的研究主要是围绕谱的定性、定量分析两个方面进行 的。它的研究方法大致可分为分析法和算子法。这两种方法的起源可追溯到经 典的在有限区间上s t u r m l i o u v i l l e 问题的研究：即l i o u v i l l e 的渐进估计方法和c o u r a n t 的变分方法。 。 分析方法是根据解析函数理论分析预解式，g r e e n 函数和常微分方程解的渐 进性质来判断微分算子谱的性质。这方面的工作以e c t i t c h m a r s h 和b m l e v i - t a n 为代表，在他们的经典著作中 3 1 1 2 8 ，我们可以看到，在谱的定性分析中这种 硬分析的方法表现出高度的技巧性和工作的艰巨性。即使对于高阶微分算子， 分析法也是能奏效的。 s t u r m l i o u v i l l e 特征值问题是指下面的方程在某种边界条件下的特征值问 题 一七q ( x ) y = x y 它在量子力学，振动，工程以及数学本身都有非常重要的应用价值。对于这个 特征值问题的研究通常有两种情形：第一种是有限区间上口( z ) 具有一定光滑性 的情形，称为“常型 问题；第二种是无穷区间或虽是有穷区间但q ( z ) 无界的情 形，称为“奇型 问题。常型问题主要研究特征值的存在性，分布和个数，以及 特征展开定理，这些目前都有了非常完整的结果。奇型问题虽然还有很多没有 解决的问题，但其理论也己比较完整，主要有l e v i s o n l e v i t a n 理论【7 】，w e y l 的极限 点和极限圆理论和t i t c h m a r s h 理论，【3 】【z 7 j 除此之外，人们还研究了反问题，也有 相当丰富的结果。【a 卜【1 1 】 上世纪六十年代人们发现s t u r m l i o u v i l l e 理论与著名的非线性波动方程k d v 方 程的密切关系，后来发展成为一种解线性偏微分方程的重要方法一一反散射 方法。上世纪八十年代以来曹策问教授由q l ：z ) 的特征函数表示出发，提出了一 种l a x 对的非线性化方法【1 2 】一f 1 4 】，由此获得了一系列新的l i o u v i l l e 意义下的有限维 可积系统。这些新的发现使得人们去研究更为广泛的特征值问题。 微分算子特征值的迹恒等式揭示了微分算予的谱结构，在特征值的计算及 其反问题以及孤子理论和可积系统理论中都有非常重要的作用但是微分算子 的单个特征值很难求在矩阵理论中，我们知道，全体特征值的对称函数能用 矩阵的元素( 算子量) 直接表示出来例如，特征值之和入f 与矩阵的对角线元 素之和o ，( 即矩阵的迹) 相等那么微分算子的所有特征值的对称函数是否也 可以用算子量直接表示出来呢? 我们知道，最简单的对称函数是a ，不过因 为微分算子的无界性，它是发散的一个非常自然地想法是将它正则化，即从 每项减去发散部分( 正则量) ，看剩下的是否能用算子量表出其和i m g e l f a n d 和 b m l e v i t a n 于1 9 5 3 年首次获得成功 2 1 ，他们研究了如下s t u r m - l i o u v i l l e 问题 一+ q ( x ) y = a y ，剪( o ) = 可( 7 r ) = 0 并证明了特征值的迹恒等式 薹c k - - 1 1 2 - - x 如m = 掣一去尉帕 随后，对于迹公式的研究出现了大量的论文f 2 1 】一【2 6 】，特别是在1 9 8 1 年曹策问教 授提出了一个计算常型二阶微分算子的特征值的迹公式的普遍性的方法【，】，而 且计算出了s t u r m - l i o u v i l l e 问题特征值的幂的正则迹恒等式 目前，关于s t u r m - l i o u v i l l e 方程的迹恒等式的研究，已经积累了大量的文 献，1 9 8 1 年，杨振德教授用【1 】的方法考察了两点边界条件中带参数的s t u r m - l i o u v i l l e 问题： 并获得了它的迹公式 2 0 1 y ”+ ( s 2 一口( z ) ) 秒= 0 ， 剪7 ( 0 ) = 0 ， a y ( 7 r ) + s 耖( 7 r ) = 0 2 微分算子的正则化迹能够用算子量有限表示出来，这是一个事实。在各种 特定的边界条件下，各类微分算子的迹恒等式的计算，仍是然一个极其困难而 复杂的问题，其研究绵延至今，方法上进步仍然不大。一般说来，微分算子的 迹与其他对象的关系，还没有被充分揭示，从迹公式的应用方面来看，目前最 有效的还只限于特征值反问题与孤子方程的周期解的研究，更进一步的应用还 有待研究。 作为s t u r m l i o u v i l l e 问题的推广一般有两个方向。一个是向高阶微分方程发 展，研究高阶微分算子的谱理论；一个是向一阶微分方程组发展，研究矩阵微 分算子的谱理论。由于应用的原因，人们更注重后一种情况。例如著名的d i r a c 特 征值问题【8 】，它是研究下面d i r a c 方程的各种边值问题的特征值理论 l y = a y ， 其中 三= ( ! 1 1 三) 罢+ ( p ：q 三，) ，y = ( 抛y 1 ) 关于它的研究，有- - l ：j s t u r m l i o u v i l l e 特征值问题完全平行的结论。 近年来有人综合s t u r m - l i o u v i l l e 问题的两个推广方向，研究一种2 2s t u r m l i o u v i l l e 特征值问题，所考虑的是以下方程的特征值问题 l y = 入剪， 其中 三= ( i l 二净斟秒= ( 抛y 1 ) 实函数札( z ) ，叫( z ) ，t ，( z ) c 2 0 ，丌】 关于它的研究较少，应该说关于它的相应的常型问题和奇型问题都是可以 研究的。本篇论文主要讨论在一种特殊的边界条件下的2 2s t u r m l i o u v i l l e 特征 值问题即边界条件含有特征参数的2 2s t u r m l i o u v i i i e 问题的迹公式与特征展 3 开，即讨论了下述问题 ( e ) l y= 入，0sz 7 r ； y ( o )= 矽( 0 ) ， a 剪( 丌) = 暑，( 7 r ) 其中 l = - 1 二净( 葛 实函数u ( z ) ，枷( z ) ? u ( z ) c 2 o ，丌】 ，、 一( ：) 因为该问题的边界条件中含有特征参数，问题变的比较复杂。本文运用常 用的分析方法找到了整函数u ( 入) ，并讨论了特征值的秩和其作为u ( 入) 零点的重 数之间的关系，这样就沟通了微分算子的特征值的渐近迹和整函数零点的渐近 迹之间的关系。在特征展开问题中，本文先将该问题转化为一个特殊的微分算 子丁的特征值问题，在平方可积函数系中定义了一种新的内积，并记其产生的 内积空间为h 2 0 ，丌1 ，从而使得微分算子t 成为对称算子，然后我们找到了微分 算子t 的逆算子，证明了它是h 2 0 ，丌1 中的一个自伴的全连续算子，从而其特征 函数系是h 2 0 ，丌1 中的正交完备系。最后我们利用逆算子返回到丁，证明了该问 题的特征函数系在h 2 0 ，丌1 中是正交完备的。 2 特征值与一个整函数零点的关系 2 1 初值解的渐进式 考虑以下c a u c h y i n 题：其中锄( z ，a ) = ( 咖1 ( z ，a ) ，咖2 ( z ，入) ) t ( c 1 ) l 西1 = 入砂1 ，西1 1 ( 0 ，入) = 1 ，i 1 ( o ，a ) = 0 ，1 2 ( 0 ，a ) = 0 ，咖i 2 ( o ，入) = o ； ( c 2 ) l 砂2 = 入抛，也1 ( o ，入) = 0 ，2 1 ( o ，a ) = 一1 ，砂2 2 ( o ，入) = 0 ，乏( o ，入) = o ； ( c 3 ) l 妒3 = a 咖3 ，3 1 ( 0 ，a ) = 0 ，砖1 ( o ，a ) = 0 ，加2 ( 0 ，a ) = 1 ，以2 ( o ，a ) = o ； ( c 4 ) l 西4 = 入加，曲4 1 ( 0 ，入) = 0 ，文1 ( o ，入) = 0 ，饥2 ( 0 ，入) = 0 ，苁2 ( o ，入) = - 1 显然w r o n s k i 行列式川。，屯，九，机】- 1 ，所以四个c a u c h y 解线性无关，因而可以 构成一个基础解系 引理1 若方程+ s 2 y = ，( z ) ，且秒( n ) = a ，耖( o ) = b 则方程的解为 y ( z ) = a c o s 5 ( z n ) + - s 1b s i n s ( z n ) + z z 掣，( ) 诞 引理2 若i u ( z ) l i a i + ei g ( o u ( o i d 芒，其中z n ，a 0 则有 i u ( z ) isi a i e e 佻) 陂 命题2 1 记入：s 2 ，s ：口+ 打，则当a - o o 时，下面的渐近式在0 z 丌上一致 地成立： “z ，a ) = c o s s z + i s k l ( z ) s i n s x + 刍( z ) c o s s z + d ( 刍e 卜i z ) ， 咖，z ( z ，入) = 三七2 ( z ) s i ns x + 刍幻( z ) c o ss z + d ( 刍e i r k ) ， 五。( z ，入) = 一s s i n s z + 七( z ) c 0 s s z + 昙【七：( z ) 一( z ) 】s i ns z + d ( 去e z ) ， 矗2 ( z ，入) = 乜( z ) c o ss z + 三【七：( z ) 一是7 ( z ) 】s i ns x + o ( 刍e l f l 2 ) ； 5 其中 如1 ( z ，a ) =一j 1s l n s xj ri s ：k 1 ( 小0 s s z + d ( 嘉e 卜陋) ， 锄( z ，入) = 刍乜( z ) c o ss z + d ( 刍e 卜k ) ， 无如，a ) = 一c o s s i s k - ( z ) s i n s x + d ( 刍e ， 咖：2 ( ) = 一s 1 _ k 2 ( 咖i ns x - t - d ( 击e ； 加l ( z ，a ) = 三七2 ( z ) s i ns z + 刍七5 ( z ) c o s s z + d ( 1e r b ) ， 加2 ( z ，a ) = c o s s z + s 1 - k 3 ( z ) s i ns z + 壶( z ) c 0 8s z + o ( 刍e h z ) ， 以。( z ，入) = 幻( z ) c o s 5 z + 争七：( z ) 一蚝( z ) 】s i n s x j r d ( 主e i f i ) ， ：( z ，a ) = 一ss i n s x + 乜( z ) c o s s z + 三f 七：( z ) 一( z ) js i n s z + o ( 主e h z ) ； a ，( z ，a ) = 刍乜( z ) c o ss z + d ( 刍e 卜k ) ， 抛( 柚) = 一三s i ns z + ：1 ：k 3 ( 小o s 5 z + d ( 当e 卜k ) ， 出，a ) = 一s 1 _ k 2 ( 咖i ns z + d ( 刍e ， 西：2 ( z ，入) =一c o s $ x - - 三坼) s i n s x + d ( q 后1 ( z ) = 劈仳( ) 呔，后2 ( z ) = 厝伽( ) ： k 3 ( x ) = 1 劈”( ) 蜓， 乜( z ) = ；【牡( z ) 一t t ( o ) 1 一【七 ( z ) + 砖( z ) 】， ( z ) = 陋( z ) 一 ( o ) 】一 后【札( ) 七2 ( ) + 伽( ) b ( f ) 】成， ( z ) = 【u ( z ) 一口( o ) 】一 孑f 叫( f ) 后2 ( ) + u ( ) 后3 ( ) j d 毒， 七7 ( z ) = 【u ，( z ) 一( o ) 1 一；j 孑【叫( ) 七1 ( 专) + 移( ) 七2 ( ) 】d 6 证明以c a u c h y i 、n q 题( c 3 ) 的解的渐近式为例进行证明 由( c 3 ) 可得 即 ， 一九l + u 6 3 1 + 加2 ， 一西3 2 + w 加1 + v c b 3 2 = a 加1 ，加1 ( o ) = 0 ，矗1 ( o ) = o ； = 入九2 ，九2 ( o ) = 1 ，以2 ( o ) = 0 3 1 ( 0 ) = 0 ， 3 2 ( 0 ) = 1 ， 磊1 ( o ) = o ； 砖2 ( o ) = 0 冉由引理1 得 f 如t = o z 掣【t 上( ) 加- ( ) + ( 善) 加2 ( 钏武； 刊 【如2 = c o s 卅r 掣雠m 燃戕 令咖3 1 = f l e l r 陋，抛2 = 2 e l r 扭- 且1s i ns z ise l r l z ，i s i n s ( x 一) ise l r l ( z a 现把如，西3 2 代入式得 即 f i 川e l r i z i 专1 【啡卜k e 川z 一) 【 f z1 + 厶两 i 乱( f ) 1 1 f 1l e l 叫+ l ( 荨) i i f 2 1 e 1 7 晦 e l r l ( 。一铷加( ) i i f l l e l 7 k + i u ( ) i z z 扣| 1 川+ | 1 + f o 眺) i i f l t + l u ( 令m = m a z l u ( 跳i 伽( 钒i 口( ) i ) ，把上面两式左右分别 ，2 i 】； ) i i ，2 l 】必 相加得 | ，1 | + i f 2 1 _ 1 + 高+ 酱z z ( i t 1 + 1 2 1 ) d 7 必； i 2 1 e 1 7 k 1 武 锄 抛 可 + 惋 慨 u l i | i 1 2 如 仇 尊 # + + ； ”驼 ，ili，、i【 z r r e e 办 ，lii_i_，、-il_l z s f 瞄 厶 e ：0 f 驴o z 掣护缈q 佃( e i 水黻； i 加2 s 卅f 掣d ( e i r 一刊分缈- 心 爿4 v a l = o ( 1 e m x 、 和q 心， e = 凳h 可邻， ，3 l 2 三七2 ( z ) s i ns z + 刍七5 ( z ) c 。6s z + 。( 南e i 7 - i 。) ； k ：啷s z + 知坶+ 刍坼炯s 外。赤扩一 同理可证其它的渐近式 下面再以妒：2 ( z ，入) 的渐近式为例进行证明 8 现对九= c o s s z + r 掣陋( ) 惋( ) + ( ) 九2 ( ) 】磁两边求导得 如= - s s i n s x + z z c d s s ( z 一) ( ) 加1 ( ) + u ( ) 加2 ( 钏武 我们把九，4 , 3 2 的渐近式代入上式整理即得 咖3 2 = 一s s i ns x + ( z ) c o s 跗+ j 1 t 互1 u ( z ) s i ns z 一扣( z ) 一t ，( o ) 】) 一互1s i n s x ，f 。z ( ) 乜( f ) + 口( ) b ( ) 1 武+ d ( 当e z ) = 一s s i n s z + b ( z ) c o s s z + 昙【七：( z ) 一( z ) s i ns x + d ( 刍e l r i z ) 同理可证明其它的渐近式 2 2整函数u ( 入) 命题2 2 设 u ( a ) ：l 入1 1 ( 7 r ) 一a 2 1 ( 7 r ) 一：1 ( 7 r ) - t - 如l ( 7 r ) a 九1 ( 丌) 一a 也1 ( 丌) 一以1 ( 丌) + 4 1 ( 7 r i ， a 1 2 ( 7 r ) 一a 赴2 ( 7 r ) 一：2 ( 7 r ) + 乞( 7 r ) a 加2 ( 丌) 一入幽2 ( 丌) 一镌2 ( 丌) + 庐：2 ( 7 r ) l 则问题( e ) 的特征值集合与u ( a ) 的零点集合重合 证明令y ( x ，a ) = c 1 1 ( z ，入) - i - c 2 忱( z ，入) - i - c 3 3 ( x ，a ) + c 4 4 ( x ，入) ，则妙( z ：入) 是( e ) 的通 解，入是特征值由( e ) 的边界条件得 c l 咖1 1 ( o ) + c 2 加l ( o ) + c 3 3 1 ( o ) + c 4 4 1 ( 0 ) = c l 西l ( o ) + c 2 如l ( o ) + c 3 以1 ( o ) + c 4 以1 ( o ) ； c l 1 2 ( o ) + c 2 锄2 ( o ) + c 3 加2 ( o ) + c 4 4 2 ( 0 ) = c 1 西2 ( o ) + c 2 庐；2 ( o ) + c 3 以2 ( o ) + c 4 庐：2 ( o ) ； c 1 a 1 1 ( 7 r ) + c 2 a 西2 1 ( 7 r ) + c 3 a 3 l ( 7 r ) - 4 - c 4 a 年) 4 l ( 7 r ) = c 1 妒：1 ( 7 r ) + c 2 三 1 ( 7 r ) + c 3 咖：1 ( 7 r ) + c 4 咖：1 ( 丌) ； c l 入1 2 ( 7 r ) + c 2 a 晚1 ( 7 r ) + c z a 咖3 2 ( n ) + c 4 入4 2 ( 7 r ) = c 1 武2 ( 7 r ) + c 2 磊1 ( 7 r ) + c 3 戎2 ( 7 r ) + c 4 吐2 ( 7 r ) 扫c a u c h y 条件得 i c 1 【入1 1 ( 7 r ) 一入加1 ( 7 r ) 一i 1 ( 丌) + ：1 ( 7 r ) 】+ c 3 p l 加l ( 7 r ) 一a 幽1 ( 7 r ) 一以1 ( 7 r ) + 旌1 ( 7 r ) 】= o ； i c 1i x 1 2 ( 7 r ) 一入2 2 ( 7 r ) 一：2 ( 丌) + 砂；2 ( 7 r ) 】+ c 3 【a t 抛2 ( 7 r ) 一a 驴4 2 ( ，r ) 一3 2 ( 7 r ) + 庐：2 ( 7 r ) 】= 0 因为c 。，c 3 不全为零，所以有 | 入1 1 ( 仃) 一a 锄1 ( 丌) 五l ( 丌) + ；1 ( 丌) a 砂3 1 ( 丌) 一a 加l ( 丌) 一以1 ( 丌) + 1 ( 丌) l 入咖1 2 ( 7 r ) 一a 晚2 ( 7 r ) 一7 1 2 ( 丌) + ：2 ( 7 r )a 加2 ( 7 r ) 一4 2 ( f f ) 一砖2 ( 7 r ) + 旌2 ( 7 r ) 9 即问题( e ) 的特征值集合与u ( a ) 的零点集合重合 下面利用命题2 1 计算u ( a ) 的渐近式 由于 a 咖1 1 ( 丌) 一a 锄1 ( 7 r ) 一西l ( 7 r ) + ：1 ( 7 r )= 8 2 c o s 8 7 1 + s 【七l ( 丌) + 2 】s i n s r + 【乜( 7 r ) 一2 k l ( 丌) 一1 c o s s 7 r + d ( l ”) ， a 加2 ( 7 r ) 一a 九2 ( 7 r ) 一：2 ( 7 r ) + t 2 ( 7 r ) = 8 2c o s8 7 1 4 - s 【b ( 7 r ) + 2 s i ns i r + 【( 7 r ) 一2 k 3 ( 7 r ) 一1 c o s8 7 1 + d ( l ”) ， 入1 2 ( 丌) 一a 2 2 ( 万) 一：2 ( 7 r ) + 妒：2 ( 丌) = s 后2 ( 丌) s i ns 7 r + 【七7 ( 丌) 一乜( 丌) 】c o s8 丌+ oc l e ir | 霄) ， a 3 1 ( 7 r ) 一a 4 1 ( 7 r ) 一五3 l ( 7 r ) + ：1 ( 7 r ) = s 后2 ( 丌) s i ns 7 r + 【地( 7 r ) 一2 七2 ( 7 r ) 】c o ss 丌+ o ( e l r i ”) 所以 u ( 入) = 【入1 1 ( 7 r ) 一a 锄l ( 7 r ) 一：1 ( 7 r ) + 如1 ( 7 r ) 】【3 2 ( f f ) 一入机2 ( 7 r ) 一咖：2 ( 7 r ) + 硝2 ( 7 r ) 】 一【a 1 2 ( 7 r ) 一a 加2 ( 7 r ) 一西2 ( 7 r ) + 砂：2 ( 7 r ) 】【a 3 1 ( 7 r ) 一入加1 ( 7 r ) 一妒3 1 ( 丌) + l ( 7 r ) 】 = s 4c o s 2s 7 r + s s k 1 ( 7 r ) + 如( 7 r ) + 4 s i n s t r c o ss t r - i - s 2 【( 7 r ) 4 - 乜( 7 r ) 一2 k 1 ( 7 r ) 一2 k 3 ( 7 1 ) 一2 lc o s 2s 7 r + s 2 f 后1 ( 7 r ) + 2 k 3 ( t r ) + 2 】一砖( 丌) ) s i n 2s 7 r + o ( s e 2 1 7 i 霄) 令 p l = 【七l ( 7 r ) 4 - b ( 丌) + 4 】， p 2 = ( 7 r ) + 乜( 丌) 一2 七1 ( 7 r ) 一2 ( 7 r ) 一2 ， p 3 = f 七1 ( 7 r ) + 2 k 3 ( 1 r ) + 2 】一礓( 7 r ) ， 则 u ( a ) =s 4c o s 28 7 r4 - s 3 p 1s i n2 s i r + s 2 p 2c o s 28 7 r + s 2 p 3s i n 28 1 + o ( s e 2 1 7 i ”) 引理3 当盯= n ，或l 丁i 酝1 时，有 i 苎i 1 6 1c o s 2s 丌i2 证明因为 c o s 2 ( s 7 r ) = c o s 2 ( 口丌+ i r t r ) = c d s 2 1 7 r 所以i 关l = | 熹| _ 甬e 2 1 r l 。 = 羔4 1 0 当i r i 万1 时，有e - 2 h ” s i n h 2 r 7 r 4 e 2 1 r l _ ，r 2 硒f i 羽予 =e21r。尚1 e -=南1 e - - 2 1 r 1 。) 2 1 6 =。_-_。!?。=。_一=一l _ i ( 一2 i r i ”) 2 ( 一 综上可知，当盯= ，或川磊1 时，有 生(10s28 1 1 卜l 。 命题2 3 令q ( a ) = 8 4c o s 2 ( s 7 r ) 则有 器= 1 + 了p l 而s i n 2 s t r + p 2 + p 3 蕊s i n 2s r + d ( 袅) ：1 + p 了l 而s i n2 s t r + 1 ( p 2 + p 3 而s i n 2s t r + 。( 刍) ， h 丽w ( 0 9 = p 了l 而s i n2 s i r + 击卜+ p 丙3 s i n 2s ，r 一缝2 垒c o s 48 7 1 j 1 + d ( 我们在s 平面上取折线l ：e f g h ，其中e = n ，f = n ( 1 + i ) ， g ：( 一1 + i ) ，h ：一n 变换入：8 2 把s 平面上的折线l 变成了a 平面上的单闭 迥路c n q ( a ) ：s 4 c o s 2 s 丌在嘶内有一个四重零点，2 n 个二重零点，分别是入o = 0 7a 。= ( 礼一万1 ，2 ，( n = 土1 ，士2 ，士) 故u ( 入) 在c n 内有2 ( 2 n + 2 ) 个零点，分别记它们 为k ，k ，( n = 0 ，士1 ，- t - 2 ，士) 命题2 4 当n 充分大时，u ( a ) 与q ( 入) 在翰内有相同个数的零点 证明由引理3 知，当 r 充分大时，在嘶上有l 揣一1 f + 。( 嘉) ) 烈 由 o 2 z t a n 一军雨z 2 午一【学】2 o ，州( z 3 - 一1 ) r s e c z2军(一1户雨z ， 1一l 百l l 通过留数计算并化简得 2 蓦n 曲一三) 2 + p i l 】= - 2 + p 3 - 2 p + d ( 专) 4 特征值的秩 命题4 1 记 m ( a ) ：f 入1 1 ( 7 r ) 一入晚1 ( 7 r ) 一磊1 ( 7 r ) + 2 1 ( 7 r ) 入加1 ( 7 r ) 一a 加l ( 7 r ) 一以1 ( 7 r ) + 矗1 ( 7 r 1 ， a 咖1 2 ( 丌) 一a q 场( 7 r ) 一咖i 2 ( 丌) + 妒之( 7 r ) a 九2 ( 丌) 一a 加2 ( 霄) 一咖：2 ( 丌) + 以2 ( 7 r ) u ( 入) = i m ( 入) i ，r ( 知) 是特征值知的秩，则r ( a o ) + r ( m ( 沁) ) = 2 证明：由线性方程组的知识，如果r ( m ( 知) ) = r ，则基础解系解的个数为2 - r 相应地，这2 - r 个解对应2 - r 个特征函数，即r ( 知) = 2 一r 证毕 命题4 2 设皿i ( z ，入) ( 江1 ，2 ) 是两个满足( e ) 第一式的解，记为 ( ： 二：；) = a ( ： 二：二；二耋 二：二；) ，a = ( ：口a 2 1 2 2 ) 记啦= a m 口1 2 ) 丁( i = 1 ，2 ) ，其中啦0 如果u ( 抽) = 0 且m ( a o ) a = o ，则 ( 1 ) 皿；( z ，知) 是问题( e ) 的特征函数，且满足 雯巧( o ，知) = 皿0 ( o ，知) 和a m i j ( r r ，知) = 霍0 ( ，r ，a o ) ( i = l ，2 ，j = 1 ，2 ) ； ( 2 ) 皿。( z ，a ) ，皿2 ( z ，a ) 中极大线性无关组中解的个数为r ( a ) 证明( 1 ) 因为f 2 t a ：0 ，则由命题4 1 ，可以生成一个特征函数，边界条件也 显然成立 ( 2 ) 由线性变换知识可得证 由分部积分法易证以下引理： 1 ( z ) ，赴( z ) 舄恒等式： ) t a c t ( l ) d x - f a b 矿c l 矽，d z = l 三 二；： 三；l ：+ l 褒：二；芝 三；l ： 引理5 设皿f ( z ，知) 是命题4 2 中所给的特征函数( i = 1 ，2 ) ，a o 是特征值，简记 虫 ( z ，a o ) 为皿t ；记一元函数皿争1 ( 丌，a ) 在a = 知处的取值虫 巧k - 1 ( 7 r ，知) ( i = 1 ，2 j = l ，2 k = l ，2 ) ；记两个矢量函数砂，咖的内积为( 妒，) ，其定义为( 妒，毋) = j ：；rc t ( x ) 砂( x ) d x 1 3 0 一 尹拈竺舻 “， 巩o o 够 _ o 任厂叫一 引 i i 理 “ 孙 式算对 可以得到4 个恒等式，写成矩阵形式如下： ( ：兰：； 三：兰：；) =(三耋：二耋：耋：二兰芝)(：二：知；皿ti2122(丌，r,知to)ao)入皿2 1 一雪la 皿2 2 一m 2 雪1 2 ( 7 r ， ) 证明仅以其中一个等式为例， ( a 一知) j ；r 尘；( 圣，a ) 皿1 ( z ，抽) 如= 皿2 1 ( 7 r ，a )皿1 1 ( 7 r ，a o ) 皿1 ( 7 r ，入) 皿j l ( ，r ，a o ) + t l j 2 1 ( 2 ：，入) 皿1 1 ( z ，a o ) 皿1 ( z ，a ) 霍：1 ( z ，a o ) t l j 2 2 ( f f ，a ) 皿1 2 ( 7 r ，a o ) 皿2 ( 7 r ，a ) 皿j 2 ( 7 r ，a o ) 皿2 1 ( 7 r ，a ) 一1 1 2 1 ( 7 1 ，a o ) t i i l l ( 7 r ，a o ) 皿；1 ( 丌，入) 一皿l ( 7 r ，知) 丑：1 ( 7 r ，知) ( 霍2 ，皿1 ) = l i m a _ + 知不( a 一 = l i m a _ + 沁 + 0 + t i 2 2 ( x ，入) 雪1 2 ( z ，a o ) 皿2 ( z ，入) 皿1 2 ( z ，a o ) 虫2 2 ( 7 r ，a ) 一虫2 2 ( 1 1 ，a o )皿1 2 ( 7 r ，a o ) 雪2 ( 7 r ，入) 一皿乞( 7 r ，a o ) 皿i 2 ( 7 r ，a o ) 知) j ：；r 雪；( z ，a ) 皿l ( z ，知) 如 t i l l l ( 7 r ，a o ) q 1 ( 7 r ：a o ) + l i m a _ a o = 霍2 l ( 7 r ，入o ) 皿：1 ( 7 r ，a o ) 一皿l ( 7 r ，a o ) 皿1 1 ( 7 r ，a o ) - t - t i 2 2 ( 7 r ，a o ) 皿：2 ( 7 r ，a o ) 一皿乞( 7 r ，a o ) 皿1 2 ( 7 r ，a o ) 雪1 2 ( 7 r ，a o ) 叫2 ( 丌，知) = 皿1 1 ( r ，知) 队血2 1 ( 7 r ，知) 一由1 ( 7 r ，知) 】+ 量1 2 ( 7 r ，a o ) 盼毒2 2 ( 丌，知) 一垂乞( 丌，知) 】 同理可证其它三个等式 令 1 4 - o 、lii 、l，、j o o 九 入 丌 丌 ，f， 1 2 2 2 i i i 、l，、l， 加 加 丌 丌 ，f、，-、 n ： l l i i ，ii一 = 8 定理2 设沁为问题( e ) 的特征值，其秩记为r ( a o ) ，则r ( 入o ) = 2 的充分必要 条件是u ( 知) = 白( 知) = 0 ，且o ( 知) 0 证明因为 i b i ：卜何 ”2 “亿i l 皿1 2 ( 7 r ，知) 虫2 2 ( 7 r ，a o ) i 1 口1 l ( 丌，入。) 2 i i 口2 l ( 7 r ，x o )| | ： 二：；二耋： 二：芝；篡芝= 划 3 2 ( 7 r ，知) 一九2 ( 7 r ，入o ) i 所以吲0 月= ( 沁) = 2 ，知对应两个特征函数皿t ( z ，知) ，r = 1 ，2 a 1 w ( a ) = l a m ( a ) i = l二三：二：二；二兰：二：三； 显然，i a l w ( a o ) = 0 同样，l a p ( 知) = o ，因为求导之后展开的每个行列式中至少有 一行没有被求导，即使得至少有一行为零 下面讨论i a i & ( a o ) 0 i a i c = , ( a ) ：l 入霍1 1 一皿；1 + 皿1 1 ( 7 r 入) 入皿1 2 ( 7 r 入) 一雪i 2 ( 7 r 入i ia 皿2 1 一田1 + 皿2 1 ( 7 r ，a ) 入皿2 2 ( 7 r ，入) 一尘乞( 丌，入) i 。l 入皿1 1 ( 7 r ，a ) 一皿：l ( 7 r ，入)入霍1 2 一雪：2 + 、i 1 2 ( f f ，入) l l 入皿2 1 ( 7 r ，a ) 一皿l ( 7 r ，入) 入壶2 2 一童乞+ 皿2 2 ( 7 r ，a ) i 所以川o ( 知) = 0 经计算 ，、 a 霍1 1 一皿j 1 + 田1 l a i 白( 入) = l 一 “ 一 a 皿2 1 一田；l + 霍2 1 1 5 、l，、， 入 入 丌 丌 ， 2 2 ，1 ，2 i i i i 一 一 、j、， 入 a 丌 丌 ，i、，i 2 2 l 2 里 皿 入 入 2 2 l 2 皿 i + + 2 2 ，l ，2 皿 皿 一 一 2 2 1 2 皿 皿 a 入 又r ( 5 特征函数系的完备性 5 1 微分算子丁 令d = ，( z ) = ( ( z ) ，尼( z ) ) t 旷( z ) l 2 0 ，订】，f ( o ) = ，( 0 ) ) 定义微分算子t 如下： ，( z ) - 专一，”( z ) + q ( z ) ，( z ) ，z 【0 ，7 r ) ， ，( 丌) h ( 丌) ， 则问题( e ) 的特征值问题与d 上的算子丁的特征值问题相一致。 记h 2 f o ，丌】= ，( z ) i ，( z ) l 2 【o ，丌】) ，则dch 2 【o ，丌】，在h 2 0 ，丌】内定义内积如下： v f ( x ) 日2 【o ，丌1 ，v g ( z ) 月曙【o ，7 r 】， ，霄 ( ，( z ) ，9 ( z ) ) = f t ( z ) 9 ( z ) d z + f t ( 7 r ) 9 ( 7 r ) j 0 命题5 1t 是d 上的对称算子。 证明：v ( z ) e d ，v g ( z ) e d ，f ( o ) = ( o ) ，9 ( o ) = 9 ( o ) ， ( t f ，9 ) = j ；r ( 一片+ u ( x ) f l ( x ) + 硼( z ) ，2 ( z ) ) 9 l ( z ) + ( 一e + w ( x ) f l ( x ) + 口( z ) ，2 ( z ) ) 9 2 ( z ) ) 如+ ，( 7 r ) t 9 ( 7 r ) 经过分部积分计算，上