（运筹学与控制论专业论文）具有约束控制热方程系统的能控性.pdf

摘要 迄今为止，能控性理论已经取得了很大进展，但大部分都是在无约 束的条件下讨论的由于理论和实际问题的需要，研究具有约束控制系 统的能控性是一件有用的工作关于这方面理论的研究，即使对线性系 统，仍处于刚刚起步阶段 本文讨论了带d i r i c h l e t 和n e u m a n n 边界条件的具有约束控制热方 程系统的能控性一般线性抛物系统控制加界的约束后很显然是不能控 的本文先针对两个具体的半线性热方程系统证明了控制加约束后系统 是不能控的；然后通过分析方程的解，对带位势及d 赫c h l e t 边界条件的 热方程系统，无论时间多大，都存在不能控的目标；文中还证明了满足一 定条件的目标可达最后证明了当控制区域u 是有界闭集时上述两个 系统的等时区域与控制区域是u 的凸包时的等时区域相同，推广了有限 维的结论 关键词：热方程；约束控制；等时区域 a b s t r a c t s o 衙，g r 铭tp r o g r e s s e sh 啪b e e nm a d ei nt h e 蹦do fc o n t r o l l a b t y w i t h o u tc o n s t r a i n t i ti sm e a n i n g f u lt os t u d yc o n t r 0 1 l a b i l i t yw i t hc o n s t r a i n e d c o n t r o lb e c a u s eo fr e q u i r e m e n to ft h e o r ya n dp r a c t i c a lp r o b l e m s t h e8 t u d y 0 fc o n s t r a i n e dc o n t r o l l a b m t yt h e o r y ，e v e nf o rt h e1 i n e a rs y s t e m ，i ss t 钉1a tj t s i n f a n ts t a g e t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t hc o n t r 0 1 l a b i l i t yf o rh e a te q u a t i o n sw i t h b o u n d e dc d n t r 0 1 h e a te q u a t i o n sw i t hd j “c h l e ta n dn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n sa r ed i s c u s s e d ，s e p 蛐她e l ha p p a r e n t ly 1t h ea p p r o x i m a t ec o n t m l l a b i l i t y d o e s n th o l df o rg e l l e r a l l y1 i n e 甜p 盯a b 0 1 i ce q u a t i o n sw i t hb o u n d e dc o n t r 0 1 i t d o e s n th o l df o rt h es e m i l i n e a rh e 砒e q u a t i o n sp r 韶e n t e dt h e r e ，e j t h e r t h e n ， i ti sp r a v e db ya n a l y z i n gi t s s 0 1 u t i o n 8t h a tn om a t t e rh o wl o n gt h et i m eti s ， t h e r ea r et a r g e t st h a tc a n tb ea p p r o ) i m a t e db yt h es 0 1 u t i o no fh e a te q u a t i o n w i t hd 诫c h l e tb 叫n d 雏yc o n d 她o n sj i fa 百v 帆t a r g e ts a t i s y i n gc e r t a i nc o n d t i o n sc a i lb er e a c h e db yt 1 1 es o l u t i o l lo fh e a te q u a t i o n a tl a s t ，i ti sp r o v e d f o rt h et w os v s t e m st h a tw h e nt h ec o n t r o id o m a i nui sab o u n d e d 、c l o s e ds e t ， t h er e a c h a b l es e ti st h es a m ea st h a tw l l e nt h ec o n t r o ld o m a i ni st h ec o n v e x o fu l ti s 龇la d v a n c e h l e n tf o ro r i g i n a lr e s u l t s k e yw o r d s ：h e a te q u a t i o n ；c o n s t r a i n e dc o n t r o l ；r e a c h a b l es e t i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获 得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谢意 学位论文作者签名：查企坠 日期：2 2 16 ：z 至2 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的 规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论 文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可 以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：盔盎堡指导教师签名：盔壶 日 期：qe ! 玉! ! i 日 期：理! ：! ! 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：聋超蚴 通讯地址：老恻怕1 号 电话! ! 堡堕边旷 邮编：2 蔓兰! 曼 引言 关于抛物方程能控性的研究已有半个世纪的历史人们主要研究三 种类型的能控性：精确能控性，零能控性，逼近能控性在有限维线性系统 中，原系统的能控性等价于对偶系统的能观性，系统的精确能控与逼近 能控相同对无限维线性系统的研究是从热方程开始的人们通过构造 泛函利用h a h n b a n a 曲定理及h o l l g r e n u i q u e n 8 定理证明热方程系 统是逼近能控也是零能控的，系统之所以逼近能控是因为热方程本身具 有的无限传播的性质对一般线性抛物系统，人们通常以c ”l e m m 不等 式为工具利用唯一延拓性质研究系统的能控性关于半线性热方程系统 人们通常采用不动点方法半线性项从最初的李普希兹连续到满足一定 的符号条件到可能出琨爆破的情形，其中半线性项也从包含状态到既包 含状态又包含状态的梯度，有的还包含空间变量和时间变量还有人研 究了无界区域上、非抛物柱体上的抛物系统的能控性，以及双线性控制 系统的能控性等等总体来说人们目前研究能控性主要有两种方法不 动点定理和h i l b e r t 唯一性方法， 尽管在能控性领域取得了很多进步，但人们在研究时对控制的界不 加限制若给控制加一个界的约束，例如取控制区域为 一l ，1 ) ，在这种条 件下系统是否可控i 若不可控，哪些目标可控；若牺牲时间原本不可控的 目标是否可控此外我们知道对有限维空间，当控制区域u 是有界闭集 时系统的等时区域与控制区域是u 的凸包时的等时区域相同，对无限绻 空间上述结论是否仍然成立这些是本文研究的主要内容 空间上述结论是否仍然成立这些是本文研究的主要内容 1 预备知识 设q 是邪中的n 维区域，在n 上给定方程： c u = d 伽( k ( ) v t ) 一o ( z ) u = = ，( z ) ， ( 1 1 ) n ( z ) ，( z ) 是已知的实值函数，且n ( z ) a ) ，( z ) g 1 ) ，( ) o ，( 。) 为自由硬，它是取实值的已知函数未知函数t ( 嚣) 取实值按通 常定义( 1 1 ) 是椭圆型方程对( 1 1 ) 可以给出三种主要边值条件： ( 1 ) d i r i c l l l e t 边值条件( 第一边值条件) ：“f a n 一妒( z ) ； ( 2 ) 第三边值条件：( 器+ 口( 。) u ) 1 8 n = 妒( z ) ； ( 3 ) n e u m a n n 边值条件( 第二边值条件) ：赛i 铀= 妒( z ) ， 其中妒( z ) ，口( z ) 为已知函数，口( z ) a ( a q ) ，a ( z ) o 对如下系统 c _ u ， n ， ( 1 2 ) lm “b n = o 其中 胍= 州，蓦 关于特征值有如下结论成立 引理1 【1 1 算子c = d 协( k v ) 一o ( z ) ， ( 1 ) 算子c 的第一，第三( 第二) 边值问题的特征值a l ，a 2 ，k ， 是实的，且当a 一。时，h 一一o 。； ( 2 ) 第一边值问题的所有特征值h 一m 1 再n ( z ) ； ( 3 ) 当口( z ) o 时，第三边值问题的特征值h 一m i n 。西o ( z ) ，= l ，2 ，- ； ( 4 ) 当n ( z ) c o n s t 时，第二边值问题( a ( 。) io ) 的所有特征值 沁 m h 豆0 0 ) ； ( 5 ) 当n ( z ) = g m “= m 时，第二边值问题的特征值满足不等式 h 一m ，= 1 ，2 ，并有单重特征值m ，对应的广义固有函数是 l 、丽 2 ( 6 ) 的三个边值问题的广义蹰有函数系缸1 ，u ”是驴( n ) 的正交 基，即v ，工2 ( n ) 可展成收敛的付利叶级数 引理2 【2 】设x 是可分的h i l b e r t 空间， e 。) 是x 中的一组完全标 准正交基， k ) 是满足条件s u p 竹1 r e k = u 1 o 。的复数序列，在x 上 定义算子a 为 d ( 五) = 乜x ：l h l 2 l 1 2 o ，我们考虑下面的齐次热方程 ( o ，) n ( o ，t ) ， ( z ，) a n ( o ，t ) ，( 1 3 ) 茁n 取y = l 2 ) ，( t ) ( ) = ( ，) 上2 ( n ) ，( o ，t ) 在y 上定义算子a d ( a ) = 础( n ) nh 2 ( n ) ，a ( t ) = 9 0 ) 则( 1 3 ) 可写成y 中的抽象方程： f 玑= a 可，t ( o ，t ) 1 可( 茁，o ) = 可。 一a 的特征值都是实数，它的所有特征值( 包括重数) 组成无穷数列 o o ( o ，( 2 3 ) 逼近能控不成立 例2 文献1 5 中半线性热方程系统： i 一一，( z ，v ) = x u u ，( z ，) n ( o ，t ) ， 可= o ，( z ，) a n ( o ，t ) ， ( 2 5 ) 【g ( 。，o ) 2m z n - 其中u 是q 的一个合适的子集给定t o ，( z ，t ，p ) 关于。， ，f ，p 是 可测的，对v ( z ，t ) 口t = q ( o ，t ) 关于g ，p 连续，且使得 ，( 茹，t t ，p ) i 妒( ， + ( 印l 掣ir 1 + ( 亡) | p 1 苷，n e q t ，v 可爿，p 儿“， ( 2 5 0 ) 厶，( z t ? i ，v 西) 咖出( v 一1 ) 工啊训刍n 如一酢) 上( 1 + 曲2 ) d z ，v 曲瑶( f 2 ) f 25 b ) 这里p ( t ) 是非负单调不减连续函数，” o ，p ( ) l 1 ( o ，丁) ，仔。( ) ms 口( 丁) ，妒l q ( q t ) ， n = 等【o ，- + 耠z = 等【0 ，十南) ， o q + q = 2 + ；，一= 2 一南 ( 25 c ) nn+4 ( i + 李- 1 ) ，o o ，j u l 2 ( q t ) ，j ot + 【0 ，卅，使得1 1 ( t ) 一矿1 1 l 。( n ) 曼s ，则有 | | 1 1 l ：( n 1 + i i 可l ( t ) 0 l ：( n ) 十1 1 可( t + ) 一可l ( i 哗) i i l 。( n ) 6 s + 等+ 1 1 珈| i 胪( n ) + g ( t ，“m + ，矿，m ，i i 伽l i 弘( o ) ，l i 训l 。，( n ) ) 同前面的讨论类似，有v t o ，( 2 5 ) 全局逼近能控不成立 7 3d i r i c h l e t 边界条件下热方程系统的能控性 考虑如下系统： l 可t 一可一n 可= ) ( u u ， ( 。，t ) q ( o ，t ) ， = = o ，( o ，t ) a q ( o ，t 1 ) ，( 3 1 ) 【( z ，o ) ；可o ， z n 其中n r ，“1 ，矗，k d = u l u ：n ( o ，t ) 一r 是可测的，u ( z ，t ) 一1 ，1 】 几乎处处成立) 给定t o ，记r ( ) = 曲( ，“) f “( t ) k d ，f ( ，“) 是系统 ( 3 1 ) 的温和解) 我们称r ( t ) 是系统( 3 1 ) 的等时区域有如下结论： 定理1 v n r ，j z 工2 ( n ) ，使得v 丁 o ，z 百玎巧 证明：由于我们所考虑的系统是线性系统，有r ( t ，珈) = r ( t ，o ) + s ( t ) o ，其中s ( ) 是由a 生成的岛半群，一a 的特征根为k ( n ) 由 方程的结构知，s ( ) 是压缩半群且1 s ( t ) | | se 一我们只须考虑珈= o 的情形： ( z ，) n ( o ，t ) ， ( z ，t ) 0 n ( 0 ，r ) ，( 3 2 ) o n ( a ) 当。 a 1 时，系统( 3 2 ) 的温和解在t 时刻的值可写为 可( 。，丁) = 酽f r 一5 s ( f s ) x 。“( s ) d s 1 i ( ，t ) l l c z ( n ) iz 丁e ( n a - ) ( r 5 ) d s i l 学i 当n a 1 时，b ( ，t ) 怯( n ) 若w ( 与t 无关) 说明无论t 多大，都存在 不可逼近的目标 ( b ) 当o a 1 时， m 使得a 。o o ，v e o ( e 1 ) ，假设对某个z 上2 ( n ) ，j d ，使得 1 1 一名1 l l 2 ( n 1 e ，贝4 i | 可2 一约i l l ：( o ) i j 可一名j i 胪( 锄曼 于是有 l i ：2 l | l 2 ( n ) 51 | 可2 i j l 2 ( n ) 十e e 于是 | | 掣一z | | l 2 f n 即v 7 o ，垤 o p ! 注意m 十1 与t ，u ，e 无关，于是j z l 2 ( n ) ，v t o ，。百丽 9 矗 n 彳 。脚 | f # 4 特殊目标的能达性 考虑如下系统： f 驰一矿一。= 地 可= o ， 【( q o ) ； 扛， ) n 矗+ 、 ( z ，t ) 0 n r + ，( 4 ，1 ) o n 其中n 1 ，“d 作用在整个区域n 上对给定的目标9 1 2 ( n ) ，当 f 1 满足一定条件时，扩能由( 41 ) 的解在某个时刻t 4 达到有如下结论： 定理2当n o ，存在6 o ，使得当1 t 一0 1 6 ，h 翻时， q ( t ) q ( o ) + 皿，这里b = 驯恻i 1 ) ，即q ( ) 关于包含关系具有上 半连续性，又设，：【n ，明冗一r “是连续的如果”( ) ：b 捌一r “是 可积的使得 可( ) ，( ，q ( t ) ) = z i z = ，( ，u ) ，u q ( ) ) ，( 5 1 ) 在【a ，冈几乎处处成立，那末存在可测的“( - ) ：h 倒一r “，“( ) q ( t ) ， 使得等式 ，( t ，( t ) ) = 掣( t ) ，( 5 2 ) 在h 用上几乎处处成立 1 2 注l 该引理也称为可测隐函数存在定理事实上，( 5 1 ) 表明存在 u ( t ) 0 ( t ) ，使( 5 2 ) 成立该引理说明存在“( ) 是可测的，使( 5 2 ) 成立 当q ( t ) ；q 不依赖t 时，如果q 是有界闭集，那末q ( ) 关于包含关 系是上半连续的 注2 当q 【t ) iq 时，如果，) ：q r n 连续，( ，u ) ：l a ，纠一舻 是可积的，并且存在可积的p ( _ ) ：陋，例一r ，使得| j ，( t ，u ) i i p ( t ) ，v u q ，那末引理的结论仍成立即如果( ) ，( ，0 ( t ) ) ，掣( ) 可积，那末存在 可积的“( - ) ： a ，明一q ，使得( 5 2 ) 在h 明上几乎处处成立 引理7 【7 】设e ch 用是可测集册( ) ：e f p 和( 一) ：e 一( o ，1 ) 是可积的，j ；1 ，2 ，f ， 1 ( t ) + a 2 ( ) + + ( t ) = 1 在e 几乎处处成立， 那末存在日c e 0 = 1 ，2 ，2 ) ，使得 e = e 1 u e 2 u - u e e 上。n 坼：= 毋u k ) ， 薹丘吲嘞。) d 扛著厶蜥d t 定理3 的证明：考虑如= o ，n = o 的情形： l 可一可= ) ( 。“，( z ，t ) n ( o ，t ) ， 掣= o ，( z ，t ) a n ( o ，r ) ，( 5 3 ) 【( z ，o ) = o ， z q 系统( 5 3 ) 的温和解在t 时刻的值可写为 咖= 争埘州z ) z 7 p 腻枷滕眦 扩如，t ) - 三8 丁扛) l ：上小棚嬉，洲刚汹 ( 5 4 ) 由扩定义知，扩属于三2 ) 的由z ，驴2 ，九生成的维子空间，设 为伊因为任何维实线性赋范空间必与舻同构且同胚故存在同构 映射，：一e 。，n = 1 ，2 ， e 。 ! ：1 是础的标准正交基，为线性 双射且，一1 连续也为线性映射 ，( 矿) = ：1e h t ，( “) 口矗e h 5 u ( ，s ) 西。( ) 蜓d s = ：1 ( e 一1 n t 口如e 枷u ( ，s ) 西。( ) 武d 8 ) e 。 = 譬如( ：1 ( e h ( ? 一s ) “( ) 。) ( f ，8 ) 蛮如 兰篓! 12 ：吲“) ，( = b t ( e u m ) ，显然成立 专婴鲫气功现在证明胪( t 旧即如材嚣高：蒜 圹o f 丁) 事实上t 设口舻( 刃即存在。使得 以驯= 妻e 喃z t 乒抽m 心喇淞如 慨。， “扩口一”2 z 二( 至8 “t 1 ) 锄( ) ) u ( s ) d s 若设9 ( f ，5 ) = ：1e n 盯s ( f ) e 。，则9 ：n ( o ，丁) 。m 是可积的 ，( 矿亿圳2 z 正北1 s ) 嗽1 s ) 蛐j 0j n 4 当( 8 ) n “( o ，t ) 时，u ( 8 ) c 。u ，由引理5 ，存在蚴悸s ) ，f ，： 竺垒， ：7 是中的有界闭集，不依赖于，s ，从而关于包含关系是上半 警謦整而由等式，( n ，“。，u ，) = 曷：。q 定义的函数，：。尺毒连夹 竺：塑且，( 。c 0 矿而( 5 6 ) 表明”( f ，s ) ，( q ) 因为。是可积的，磊 据引理6 可以取和( j = o ，1 ) 为可测的且满足( 5 6 ) 式从而 八以m 肛宴z 。z 枨，s ) 吣她心。域d s 妾z t z 船c 和，嘶c 即，嘶d s 一塞厶娥捌。熊。，出 设札( ，s ) = ( f ，s ) ，嬉，s ) 马0 = o ，1 ) 那么“( f ，8 ) uu 在n ( o ，t ) 上是可积的，从而u “d 妄厶贰蜘s = 以。蛾咖( ，蝴 ，( 矿( e ) ) = 9 ( ，s ) “( ，s ) 武d s ，u d j 0 n 即 ，trr “矿口，) = 上工三8 汀“。呱毛s ) 出 将上式两端用，_ 作用有 以t ，归塞e z r p ”删和愀欣d s u 进而有矿( t j ”) 。f ) 于是叮) _ 舻( 7 】因为当一o 。时( 7 j u l 在l 2 意义下收敛到g ( e t ) ，。c 。+ 1 舻c 耻“，故有 ( 丁) = u 怎l ( t ) 2 拦裴( t ) ，r ( 丁) = u 落1 r ( t ) 2 墨翌r ( 丁) 于是( t ) = r ( r ) 即如果是系统用容许控制在时刻t 能达的点那 么存在仅取值于端点的容许控制它也将系统于时刻t 达到 对系统( 3 1 ) ，令z = e 一则。满足 i 钆一：= ) ( 。e 一毗( z ，t ) n ( o ，t ) ， 泫麓珈，譬p 吲呱( 5 7 ) 豪幽 故定理3 对系统( 3 1 ) 成立 ( z ，t ) n ( o ，t ) ， ( 。，t ) a q ( o ，t ) ， ( 5 8 ) o n 设d ( 丁) = 妇( t ，u ) i u k d ，y ( t ，u ) 是系统( 5 8 ) 的温和解) 为系统( 5 8 ) 在t 时刻的等时区域，设f ( t ) = ( ? j “) “d ，( ，“) 是系统( 5 8 ) 的 温和解为系统( 5 8 ) 在t 时刻的等时区域，有如下结论： 1 5 定理4d ( t ) = e ( t ) 注仿定理3 证明即得定理4 也成立 注由定理3 证明过程可以看到：当控制区域u 是有界闭集时系统 的等时区域与控制区域是u 的凸包时的等时区域相同 1 6 参考文献 i l j 魏竞租，裳忠信，王惠三簿索伯捌夫空简写犏徽分方程嘲河南大学出版 社，1 9 9 3 1 0 8 1 2 0 麓璃满式，墨连交，缓牲算子半群疆论及裁用 蠲+ 斑东辩学技术溉艇社，t 黼4 1 2 6 。1 2 8 躞k l 斑蛰躺g 砘翦n g ，g 锄9 8 h e 珏g 璐巍粥，x 娃孙摹n 孚o n 蚀e 锻1 8 据n e e 鹾艇璜e 婶t i m a ic o n r o lo f1 i n e a re v 。l u t i o ne q u a t i o n 8 滓卜t o8 p p e 8 r f 4 2z u 船u 8e a 坤嘴i m a t e n 七r o l l 攫b n i 乞y 融s e m i h n e a rh e a tw i t h g l o b 匀l l yl i p s _ 豳i 境n o 脯n e 蕊撼档溺，( 轴测艄d 岛击掳e 汹1 9 髑，2 8 ( 3 ) ：6 6 5 鹅3 1 5 】k h 印a l o va y ac l a s 8o fg l o b a l l yc o n t r o l i a b l es e h l n i n e a rh e a te q u a t i o n sw i t h s 毽p 程l l 撕牡t 疆撼8 疆，鲥8 轰e m 8 亡耙艇五霸馥玲扭a n d 掰妇i s 2 0 ，2 莲2 ：2 7 l 一 2 8 3 瞧融n a n 畦e 弘c 黜b ，z 强躺u 氇e ，n 媳a n d 巍张r 慨l m 8 钯c 。心o l l 蹦l i 移妇w e 嬲y b l a w i n 学u ps e m i l i n e a rh e a te q u a t i o n 8 【j j a n n a k 抽s t 丑e n r jf 铆n c 枷，a n a n ，s e n o n m l e 8 l r e ，2 0 0 0 ，1 7 ：5 8 3 6 1 6 嘲强学铭，辕挺涪，率稍经最傥控稍系统静教努方程理埝狰萄商簿教育掇簸 社，1 9 9 1 5 2 5 4 ，7 5 7 9 ，3 2 3 - 3 2 5 舞& 弛g ，p n 或jp ，z u 貅珏ae 细p r 蕊獭踟c 拍蚓l 抽i i 捷yo f 魏# 8 e m i l i 黼f h e a te q u 8 t i o n f j p m c r 呵a js d c 尉f 曲u 础，1 9 眠1 2 5 a ：3 1 6 1 r