（计算数学专业论文）角点gk磨光的分片代数曲面方法.pdf

摘要 在计算机辅助几何设计和计算机图形学领域中，用代数曲面构造b l e n d i n g 曲面有着 广泛的应用。本文考虑其中个典型问题：角点磨光。 本文借助围绕一个顶点处的代数曲面b l e n d i n g 条件，利用多项式环上素模中的生 成基方法，给出i 三个坐标平面间的凸组合角点和非凸组合角点的任意阶几何连续的 b l e n d i n g 方法。利用该方法得到的结果曲面相对次数较低，几何形状可以得到直观控制， 且b l e n d i n g 区域可以自动构造和调整。文中结果结合p o t e n t i m 方法可以光滑拼接任意 三个横截交于一点的代数曲面。 本文的安排如下：在第一章，对构造光滑拼接曲面的方法做了一个简单的回顾，并 对几种常用方法做了简单介绍。在第二章，给出了关于g r s b n e r 基和合冲模的基础知识， 以及几何连续性的定义和光滑拼接条件。在第三章，简要介绍了罗钟铉教授的多项式环 上素模中的生成基理论，及求解多项式系数方程组的几种方法。在第四章，利用代数曲面 b l e n d i n g 的p o t e n t i a l 方法的思想，将横截交于一点的任意三个代数曲面间的b l e n d i n g 问题转化为参数空间中三个坐标平面间的b l e n d i n g 问题，然后分凸组合和非凸组合两种 情况给出g o b l e n d i n g 角点的分片代数b l e n d i n g 曲面的构造：首先，将围绕一顶点处的 代数曲面光滑拼接条件转化为多项式系数方程组的求解，然后利用多项式环上素模中生 成基方法求解此方程组，可得任意阶几何连续的b l e n d i n g 曲面，以及此时空问剖分需要 满足的条件，本章最后给出了利用该方法构造b l e n d i n g 角点的分片代数b l e n d i n g 曲面 的数值例子。 关键词：分片代数曲面；几何连续；光滑拼接；模中生成基；p o t e n t i a l 方法 g 2b l e n d i n go fc o r n e r sw i t hp i e c e w i s ea l g e b r a i cs u r f a c e s a b s t r a c t t h em e t h o do fc o n s t r u c t i n gas m o o t ha l g e b r a i cs u r f a c et ob l e n dt h eg i v e ns u r f a c e s w i d e l ya p p e a r si nc o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n h e r ew e c o n c e n t r a t ea ni m p o r t a n t p r o b l e m ：b l e n d i n gc o r n e r i nt h i st h e s i s w ep r e s e n ta l la p p r o a c ht ob l e n dt h ec o r n e r so ft h r e ec o o r d i n a t ep l a n e s w i t hg c o n t i n u o u sp i e c e w i s ea l g e b r a i cs u r f a c e st h eg e o m e t r i cc o n t i n u i t yc o n d i t i o nf o r a l g e b r a i cs u r f a c ep a t c hc o m p l e x e sm e e t i n ga tac o m m o nv e r t e xi sc o n v e r t e dt os o l v e8 i a l g e b r a i cs y s t e mo fe q u a t i o n so v e rp o l y n o m i a lr i n g g 2c o n t i n u o u sp i e c e w i s ea l g e b r a i c b l e n d i n gs u r f a c ep a t c h e sa t eo b t a i n e db ys o l v i n gt h es y s t e mv i at h eg e n e r a t o rb a s i sa l - g o r i t h mo fp r i m em o d u l eo v e rp o l y n o m i a lr i n g c o m p a r e dw i t ht h ek n o w nm e t h o d s ，t h e b l e n d i n gs u r f a c eo ft h i sp a p e r h a sr e l a t i v e l yl o w e rd e g r e e ，a n dt h ed e f i n i n gr e g i o na n dt h e s h a p eo ft h eb l e n d i n gs u r f a c ec a nb ee a s i l yc o n t r o l l e db ya f e wp a r a m e t e r s t h er e s u l t c a nb ec o m b i n e dw i t hp o t e n t i a lm e t h o dt ob l e n da n yt h r e ea l g e b r a i cs u r f a c e sm e e t i n ga t ac o m m o np o i n t t h et h e s i si so r g a n i z e da 8f o l l o w s i nc h a p t e r1 s o m em e t h o d so fc o n s t r u c t i n gb l e n d i n gs u r f a c e sa r e r e v i e w e da n di n t r o d u c e d i nc h a p t e r2 ，s o m ep r e l i m i n a r yk n o w l e d g ea b o u t g r s b n e rb a s i sa n ds y z y g ym o d u l ea n dt h eg e o m e t r i cc o n d i t i o nf o ra l g e b r a i cs u r f a c e sa r e p r o v i d e d i nc h a p t e r3 ，t h eg e n e r a t o rb a s i sa l g o r i t h mo fp r i m em o d u l eo v e rp o l y n o m i a l r i n gi sb r i e f l yi n t r o d u c e d ，w h i c hi su s e dt os o l v et h es y s t e mo fe q u a t i o n so v e rp o l y n o m i a l r i n gi nt h et h e s i s i nc h a p t e r4 ，t h ep r o b l e mo fb l e n d i n gt h ec o r n e ro fa n yt h r e ea l g e b r a i c s u if a c e si sc o n v e r t e dt ob l e n dt h ec o r n e ro ft h r e ec o o r d i n a t ep l a n e si np a r a m e t e rs p a c e j t h e na na p p r o a c ht ob l e n dt h ec o n v e xa n dn o n - c o n v e xc o r n e rw i t hg op i e c e w i s ea l g e b r a i c s u r f a c ep a t c h e si sp r o p o s e d t h ep r o c e s si sa sf o l l o w s a tf i r s t ，t h eg e o m e t r i cc o n t i n u i t y c o n d i t i o nf o ra l g e b r a i cs u r f a c ep a t c hc o m p l e x e sm e e t i n ga tac o m m o nv e r t e xi sc o n v e r t e d t os o l v ea na l g e b r a i cs y s t e mo fe q u a t i o n so v e rp o l y n o m i a lr i n g t h e ng 2c o n t i n u o u s p i e c e w i s ea l g e b r a i cb l e n d i n gs u r f a c ep a t c h e sa r eo b t a i n e db ys o l v i n gt h es y s t e mv i at h e g e n e r a t o rb a s i sa l g o r i t h mo fp r i m em o d u l eo v e rp o l y n o m i a lr i n g ，a n da tt h es 8 2 n et i m e t h ec o n d i t i o n sw h i c ht h es p a c ep a r t i t i o ns h o u l ds a t i s f ya r eg i v e n n u m e r i c a le x a m p l e sa r e p r o v i d e dt oi l l u s t r a t et h eb l e n d i n gm e t h o di nt h ee n do ft h et h e s i s k e yw o r d s ：p i e c e w i s ea l g e b r a i cs u r f a c e ；g e o m e t r i cc o n t i n u i t y ；b l e n d i n g ； g e n e r a t o rb a s i so fm o d u l eo v e rp o l y n o m i a lr i n g ；p o t e n t i a lm e t h o d i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的 研究工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也 不包含为获得大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明 确的说明并表示了谢意。 作者签名：羔鬈数日期：2 1 q 垒丝目 盔整里王盔兰堡主堂堡垒塞 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 ( 请在以上方框内打” ”) 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密口 作者签名 指导教师签名 2 堕年j 三月玉l 日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 在计算机辅助几何设计和计算机图形学领域中，隐式曲面 ( 其中，( z ，y ，。) 为多项式时，称为代数曲面) 受到了越来越广泛的重视和研究。相对于参 数曲面，隐式曲面具有很多的优点 1 易于判断给定的点是否在曲面上或者某一侧，同时，隐式曲面能很容易的表示半 甲面，( 。，y ，z ) 0 和，( z ，。) 0 ，这在动画尤其在物体的碰撞检测中更能发挥优势； 2 隐式曲面在求交、求并、o f f s e t 等许多几何操作之后，仍为隐式曲面，也即它在这 些操作下具有封闭性，曲面造型中经常利用这个性质，由简单的体素构成复杂的形体； 3 隐式曲面表达式简单灵活，易于表现立体形状，理论上隐式曲面可以用于表示任 何形体； 4 隐式曲面的总次数较低，参数曲面的代数次数较高，例如双三次参数曲面的代数 次数为1 8 ，而高次代数曲面使计算及几何操作更复杂。 应用隐式益面构造复杂形体始于b l i n n i l 】及w y v i l l l z 】等人的工作他们提出一种称之 为m e t a - b a l l 的隐式曲面来构造诸如人体的器官、面部、云雾等较复杂的形体。b l o o m e n t h a l 等人则提出了更为一般形式的隐式曲面即所谓卷积曲面来模拟更加复杂的形体。此 外，k a c i c a l e s i c 等则提出了用骨架的方法来构造易于变形的几何实体。 代数曲面作为一类特殊的隐式曲面，除了具有隐式曲面的大多特性之外，其简单的 多项式表示，使得它具有更直观的几何表示形式并使得计算得到简化，从而更便于应用 于实际造型中。代数曲面最重要的应用之一是用于构造b l e n d i n g 曲面，也郎光滑拼接益 面本文中方法构造b l e n d i n g 曲面时涉及到的曲面连续程度、光滑程度均由几何连续性 定义。 早在1 9 8 4 年，r o s s i g n a c 和r e q u i e h a 训用滚球法进行曲面的b l e n d i n g ，用这种方 法得到的b l e n d i n g 曲面次数很高，表达式复杂，而且在滚球半径较大的时候会出现自交 现象。r o c k w o o d 和o w e n 州利用被b l e n d i n g 曲面及其梯度函数构造光滑拼接曲面，在 b l e n d i n g 二次曲面时，出现了8 次甚至更高的b l e n d i n g 曲面m i d d l e d i t c h 和s e m - s i ，】用 l i m i n g 技巧来b l e n d i n g 初始曲面，由这种方法对原始曲面进行了o f f s e t ，也导致了较高 次数的b l e n d i n g 曲面。基于l i m i n g 方法，h o f f m a n n 和h o p c r o f t 8 9 1 1 0 提出了p o t e n t i a l 方法来b l e n d i n g 两个和三个曲面的一般法则，当被b l e n d i n g 的代数曲面次数较高或者 关爱锐：角点g 磨光的分片代数曲面方法 要求的几何连续次数较高时，得到的曲面次数也很高。而w a r r e n 【儿】给出了b l e n d i n g 两 个给定曲面的过渡曲面的形式，及其所属的理想，虽然并没有给出最低次数的b l e n d i n g 曲面的形式，但是给出了流形描述下几何连续的定义，并给出了几何连续的刻画定理。这 之后；b l e n d i n g 方法得到了进一步的发展 下面给出几种常用的构造代数b l e n d i n g 曲面的方法。为了叙述方便，我们引入记号 y ( f ) = ( o ，y ，z ) 孵i f ( x ，y ，z ) = o ) v ( f ，9 ) = ( z ，y ，z ) 豫3 ，( 。，y ，。) = 0 ，g ( z ，y ，z ) = o 则y ( f ) 代表由函数，定义的隐式曲面，而v ( f ，9 ) 表示两个曲面v ( ，) ，v ( 9 ) 的交线。 函数样条法 l ij i i 1 9 s o n g 1 2 i 介绍了用函数样条法( f l m e t i o n a ls p l i n e s ) 构造具有某种保凸性的g 1 函数样条b l e n d i n g 隐式曲面，他的方法利用了函数的乘积和幂次( e x p o n e n t ) 来构造，因 此b l e n d i n g 曲面次数也较高。文中给出了下面的定义和定理 定义ll 设f ，9 科，且为分片c 1 连续曲面。若 f i ) f n g 构成曲线r ； ( i j ) ( 厶( p ) ，矗( p ) ，厶( 尸) ) ( 0 ：0 ，o ) ，对于几乎所有点p r ( 仅有有限点除外) ； 则曲面v ( f ) ：f = ( 1 一肛) ，一肛9 2 = 0 ，0 p 1 ，七2 称为曲面y ( ，) ，y ( 9 ) 的函数 样条曲面，v ( ，) 称为其基面( b a s es u r f a c e ) ，v ( 9 ) 称为其横截曲面( t r a n s v e r s a ls u r f a c e ) ，k 称为其幂次( e x p o n e n t ) ，p 为其参数( p a r a m e t e r ) 。 定理11 假定y ( f ) 为一函数样条曲面，y ( ，) ，v ( g ) 分别为它的基面和横截曲面，为 其幂次，p fn9 ，v ( f ) 与v ( 9 ) 在点p 上c 。连续，则v ( f ) 与y ( ，) 在p 上至少 k 一1 阶几何连续。若3 ，则y ( f ) 与v ( f ) 在p 处有相同的c a u s s 曲率及d u p i n i a n 标彤。 h a r t n l a n n 在7 1 3 一文中对此方法做了改进和补充，如横截曲面的计算等，并在 1 4 一文中进一步推广了函数样条法，给出了下面两种类型的函数样条： ( 一) 抛物形函数样条 定理1 2 设y ( ，) ，v ( f o ) 为两个相交c 连续正则曲面，相关曲线( c o r r e l a t i o nc u r v e ) d = q ( c ) 在点( 0 , 0 ) 处与c _ 轴c 2 连续，即( 。) = 0 、f = 0 ，t 一，k ，则隐式b l e n d i n g 曲面 y ( f ) ：f = f 一。( o ) = 0 沿交线v ( f ，南) 与v ( f ) g o 连续。 其中y ( f ) 称为抛物形函数样条曲面，v ( f ) 称为基曲面，v ( f o ) 称为横截曲面 取d = 。( c ) = i c 抖1 ，则函数样条曲面v ( f ) 代数表示式为： f = ( 1 一弘) ，一弘对+ 1 = 0 ，0 弘 1 ，1 2 盔垄垄王盔兰堡主堂垡堡塞 即为 1 2 1 一文中的函数榉条，从而得到g k _ b l e n d i n g 曲面 定理13 设v ( f 1 ) ，v ( f l o ) 和v ( ，2 ) ，v ( ) 是两对相交c 连续正则曲面，相美曲线也2 a l ( c ) ，d 2 ：。2 ( c ) 在点( o ，o ) 处与c 轴c k 连续，即口 = o ，a = 0 ，f = 0 ，一，k ，且 i j 时，v ( k ， 。) 不能包含在v ( 厶，办o ) 中，则隐式b l e n d i n g 曲面 v ( f ) ：f = d 2 ( ，2 0 ) 一a ( k o ) = 0 沿交线 ( y ( 。 ，五o ) ，哟( 办o ) o ) m j ，i , j = 1 ，2 ) 与y ( ) c 连续。 其中v ( f ) 称为对称抛物形函数样条曲面，v u d ( i = 1 ，2 ) 称为基面，v ( 五o ) ( 。= 1 ，2 ) 称为横截曲面。 取d l = l ( c ) = ( 1 一肛) c 1 ，d 2 = d 2 ( c ) = 肛c “，则函数样条曲面y ( f ) 代数表达式 为： f = ( 1 一弘) ，1 ，著1 一p 南，封1 = 0 ，0 0 ，v ( k c ) ，v ( ，2 一d ) ，0 c c o ，0 d d o 为 两束正则曲面，相关曲线 ，( c ，d ) = 0 在( c o ，0 ) 处与c 啊轴g 2 连续，在( 0 ，d o ) 处与d - 轴 g “连续，即 旦：! ；字= o ，翌：! ：i ! 立= o ，i = 0 ，1 ，女，7 一( 白，。) o ，c ( o ，d 。) 。 则隐式b l e n d i n g 曲面v ( f ) ：f = ，y ( ，1 ，2 ) = 0 与v ( k ) 沿v ( k ，2 一d o ) g 。连续，与 v ( 危) 沿v ( l c o ，止) g 2 连续。 其中v ( f ) 称为椭固形函数样条曲面，y ( 五) ( i = 1 ，2 ) 称为基曲面。 取1 ( c ，d ) = ( 1 一卢) 丽c d l “( 1 一苦一苦) 2 “，0 1 ，r 1 ，则得到一种常用的椭 圆形函数样条曲面。 构造曲面扩( ) v ( 如) 的椭圆形函数样条曲面时，v ( k c ) ，矿( 一d ) 对于结果曲面 有着本质的影响。记1 。= f 1 一c ，2 z = ，2 d ，则用v ( ) ，v ( ，2 ) 分别代替y ( k d ，y ( 如2 ) 会有更好的结果，其中五= ( 1 一c ) k4 - c a l = 0 ，0 c 兰1 ；，2 = ( 1 一d ) k + 虢2 = 0 ，0 d + 砖 m n ! l ， 差墨望：鱼皇璺! 壁堂塑坌生垡塾堕亘查整 定理1 1 0 设如为全次数不超过竹的多项式全体，理想，cr 陋，y ，爿，矗= n 如表 示，中所有全次数不超过n 的元素全体，又假设g = 9 1 ，仉) 是理想，在分次字 典序下的g r 6 b n e r 基，g = 皿gj d e 9 ( 肌) n ) ，不妨记为o = 夕l ，g d ( t s ) 则 k = n 觋，即对任何f l 可以表示为 其中砚为多项式，且如果啦业0 ，那么d e 9 ( ，) d 8 9 ( 皿) ，i = 1 ，t 在计算理想交的g r s b n e r 基时，若m 值稍大，则由于复杂度过高而不能计算伍铁 如等人1 1 9 1 1 2 0 1 利用g 1 6 b n e r 基的性质，将构造代数b l e n d i a g 曲面转化为曲面系数的线性 方程组的求解问题，给出了存在二次g ob l e n d i n g 曲面的情况下，存在曲面g 1 - b l e n d i n g 多个二次代数曲面的充要条件： 引理11 1 不可约二次代数曲面y ( 们包含代数曲线y ( 五，) 0 = l ，一，m ) 当且仅当 = c 。厶十o 。h 。 其中q 0 为实数，饥为线性函数( i = 1 ，。一，m ) 。 定理l1 2 设存在不可约二次代数曲面v ( g ) 包含代数曲线y ( ，) 0 = 1 ，m ) ，则如 果存在实数b ；，q 0 = 1 ，m ) ，其中阢0 ，使得 0 1 h 16 1 吼= = c m h 。一扫m o 。 就有( m + 1 ) 次代数曲面y ( ，) ：u g + v h l - h 仇= 0 沿曲线y ( ，i ，) 与v ( ) 相切，其 中“= b h ，h h 1 h 。，w = e l h l 一b l 。l ( 一= e m k 一6 m ) t = 1 这种方法仅限于截曲面是平面的情况，并难以推广到高阶几何连续情形。 吴方法 吴文俊先生提出代数簇母点法【叭】，可以将b l e n d i n g 曲面问题转化为多项式方程组 的不可约升列的计算，它比c r 6 b n e r 基的计算效率会高很多。 设c 是空间中的不可约代数曲线，并有不可约升列，r r = 0 ，r 2 0 ，西 d 2 ， 则一定存在一个不可约三次代数曲面v ( ，) ，满足其与两圆柱v ( a ) ，矿( l 2 ) 分别在曲线 c l = y ( 1 ， ) ，c 2 = v ( 2 ，局) 处g 1 光滑拼接。 定理1 1 7 设空间中半径分别为r 1 0 和r 2 0 的两个圆柱彤管道v ( k = y 2 + z 2 一 ? ) ：v ( a = z 2 + 护一r ! ) ，令y ( l = z d 1 ) ，y ( b = g 一如) 为空间中两个平面，其中 d 1 0 ，d 2 0 ，则至多需要三片不可约三次代数曲面就可将管道y ( ，1 ) 与y ( 如) g 1 光滑 拼接起来。 定理11 8 设空间中两圆柱形管道分别为v ( k = ( - x s i n o 十g o o s e ) 2 一r ；) ，v ( 如= 。2 + 。2 一r ；) ，截平面分别为v ( h 1 = r r c o s p + 口s * 册d 1 ) ，v ( h 2 = y d 2 ) ，其中7 i ，r 2 ，d 1 ，d 2 都大于0 ，目是管道y ( ) 的轴线与x _ 轴正向的夹角，则只需要一片三次不可约代数曲 面就能将管道v ( k ) 与v ( 止) g 1 光滑拼接的充要条件是r + 睹= r i + 遽。 定理1 1 9 设空问中两圆柱形管道分别为v ( k = ( 一x s i n 8 + g o o s e ) 2 一r ) ，矿( ，2 = + 矿一r 1 ) ，截平面分别为v ( 1 = z c o s 口+ y s i n 目一d 1 ) ，y ( h 2 = y d 2 ) ，其中r l 、r 2 ，d 1 ，d 2 都大于0 ，目是管道y ( ) 的轴线与x 一轴正向的夹角，则最多需要三片三次不可约代数 曲面就能g 1 光滑拼接管道矿( ) 与v ( a ) 。 定理l2 0 设v ( a ) 为空间中半径为r 1 的圆柱形管道，轴线为直线l ，另一圆柱形管道 为v ( a = 一+ z 2 一r ；) ，截平面分矛j 为v ( h 】) ，y ( h 2 = y d 1 ) ，其中平面v ( h 1 ) 与直线 7 关爱锐：角点g 磨光的分片代数曲面方法 l 垂直，如果能分别在直线l 和y 一轴上找到适当的点尸1 ，p 2 ，同时在p 1 与最的连线 上找到一点pg 4 及一常数r ，点只到平面v ( h i ) 的距离为d ，i = 1 ，2 ，满足条件： ( 1 弦 + d = r 2 + l p 马1 2 ，r ；+ d ；= r 2 + p 马f 2 ( 2 ) 以r 为半径，直线p l p 2 为轴的圆柱v ( ) 与v ) ，i 一1 ，2 都不相交。则我们只 需两片三次不可约代数曲面就可将管道y ( ) 与y ( ，2 ) g 1 光滑拼接起来的。 定理l2 l 设空间中一圆柱面v ( a = 。2 + z 2 一r ) ，任意的不与v ( a ) 相交的圆柱面 v ( ，2 ) ，其半径为r 2 ，对称轴为直线工；两个截平面分别为矿( h = y d 1 ) 和v ( h 2 ) ，而 且平面v ( a 2 ) 与直线l 垂直。则至多需要5 片三次不可约代数曲面就能将管道v ( a ) 与 v ( ，2 ) g 1 光滑拼接起来。 定理1 2 2 设有两个圆柱y ( f 1 ) ，v ( 盎l 而且它们的轴线垂直( 相交或异面) ，则一定存在 两个三次代数曲面将它们g 1 光滑拼接起来， 定理12 3 平面p l ：v ( h 2 = z d 2 ) 上挖一圃洞c b ，其半径为r 2 。平面上方有一圆柱 c y ，直径为r l ，与平面v ( h 1 ：= z d 1 ) 垂直相截得圆a 。圆柱c y 的轴与平面p l 垂 直，并且恰好经过平面上圆洞的中心。则可以构造出三次代数曲面v ( 1 ，其与( 在a 处光滑拼接，与p l 在c 2 处g 1 光滑拼接的充要条件是： 一d i 一5 d l d ；一3 d 2 d i 一2 d 2 + d 2 m d i + m d i 一d 2 d ；r ；= o 上式中m 是平面p l 的法线的长度。 实际上，上述定理中光滑拼接管道y ( ) 与y ( 矗) 时求出的至多需要的代数曲面片 数都可以减少。如定理l1 7 和定理11 9 中可以减少到两片，定理12 1 中可以减少到四 片 陈发来等人i v 4 利用吴方法提供了一种构造次数尽量低的b l e n d i n g 曲面的方法。现 将其构造b l e n d i n g 曲面的算法描述如下： 算法l2 4 给定代数曲面y ( ) 及相应的辅助曲面矿( 。) ，i = 1 ，7 n ，试构造代数曲面 v ( f ) ，使得v ( f ) 沿不可约吏线g = v ( a ，) 与矿( ) k 阶几何连续。 第一步：将要求的多项式，( o ，y ，= ) 写成 ，= 如z 矿y ， o ! 件j + f ! d 其中南z 为待定系数，而d 是，的全次数。 第二步：将变元z ，y ，。适当排序，并构造多项式组 ，t ，砖+ 1 ) 关于该变元序的升列 4 。，i = 1 ，m 。 第三步：每个。用升列a 伪除，记伪除式为r ，即( r f = p r e m ( f ，a ；) ) 。这里忍 关于z ，v ，g 的系数都是 ， 的线性组合。 第四步：对i = l ，一，m ，令皿关于z ，：的系数都为0 ；于是得到关于南的线性 方程组f 。 8 大连理工大学硕士学位论文 第五步：解方程组e 如果e 只有零解，则转至第一步，并增加f 的次数d 否则， 选取适当的参数，并求出相应的解 定理12 5 设，是按上述算法得到的解，则代数曲面v ( f ) 与y ( ) 沿交线g 伊光滑 拼接，i = 1 ，m 。 此方法的缺点是：算法过于复杂。 合冲模方法 陈发来、陈长松等人1 2 5 考虑利用合冲模求解根据代数曲面之间光滑拼接的代数条 件得到的含有多项式系数的方程组，但由于他们对于稍微复杂的b l e n d i n g 问题都不能计 算出结果曲面，所以只能判断其最低次数及其自由度个数。陈发来，汤兴 蛳 利用合冲模 理论可以求解更复杂的多项式系数方程组，从而进行代数曲面拼接，能够直接得到最低 次数的曲面，且曲面方程形式比较简单，并且对参数的选取比较方便和直接，同时可以应 用于分片代数盐面的b l e n d i n g 问题。该方法是建立在下面的理论基础上： 定理12 6 设mc 碾陋，y ，o 3 为一代数模，而卜是碾k y ，z 1 3 上基于t o p ( t e r mo v s r p o s i t i o n ) 扩展的全幂序。又假设g 一( 9 l ，吼) 为m 的g r 6 b n e r 基，而g = g n p ? = 9 1 ，吼 ，这里p ：是( 元素为) 全次数不超过n 的多项式构成的m 维向量。则 螈：= m n 叼= n 吩 并且每个f 。都可以写成 t ，= f 啪 t = 1 这里o ；吼的全次数不超过n 。 构造b l e n d i n g 曲面的过程如下：利用代数曲面之间光滑拼接的代数条件得到一个含 有多项式系数的方程组，将这一方程组的系数矩阵记为，则解方程可以归结为计算 s y z ( n ) ，从而得到所求的b l e n d i n g 曲面。 此方法存在的问题：在多个曲面拼接或者高阶几何连续时，可能会因为计算量过大 而无法得到结果。因此可以考虑结合本论文3 5 节提到的中多项式系数方程组求解的方 法来改进此方法。 分片代数曲面方法 前面讨论的是如何用一张代数瞌面来构造b l e n d i n g 曲面。用单张代数曲面的缺陷是 所构造的b l e n d i n g 曲面次数可能比较高。这将导致曲面的拓扑结构复杂，并且难以控制； 也会使后续各种几何操作( 如求交) 中运算量增大。为克服这些困难，可以用分片代数曲 面构造拼接曲面。所谓分片代数曲面就是由一个个曲面片光滑拼接起来的曲面。每一个 曲面片定义在一个四面体( 或其他区域内) 。 9 关爱锐：角点g 蘑光的分片代数曲面方法 分片代数b l e n d i n g 曲面的构造主要由两部分构成第一部分是空间剖分，也就是确 定每个曲面片的定义区域。目前，还没有一个自动化的方法进行空间剖分，所以需要根据 经验确定，第二部分是求解分片代数盐面。这主要是利用b l e n d i n g 代数曲面的代数条件 得到一个含多项式系数的代数方程组，然后从代数方程组求出未知多项式，从而得到结 果曲面。 陈发来、陈长松等人 2 5 1 2 7 1 在g 1 的情况下使用三次分片代数曲面来b l e n d i n g 三 通管道，在g 2 的情况下使用四次分片代数曲面来b l e n d i n g 三通管道，取得了不错的结 果。但是，空间割分的自动化构造和调整，以及在给定的空间剖分下，如何有效的求解由 b l e n d i n g 曲面问题转化的多项式系数方程组等问题都没有得到很好的解决。 p o t e n t i a l 方法 基于l i m i n g 方法，h o f f m a n n 和h o p c r o f t l 8 1 1 9 j 1 1 0 提出p o t e n t i a l 方法来b l e n d m g 两 个和三个曲面的一般法则为了得到b l e n d i n g 两个曲面的一般方法，使j ：! | 了偏移曲面技 术i 姗。假设给定两个初始代数曲面v ( c ) 和v ( h ) ，定义两簇相应的代数曲面v ( g s ) ，v ( h t ) 与之对应。如果让( s , t ) 满足关系，( s ，t ) = 0 ，那么由空间曲线v ( a s ，h t ) 可对应一个曲面v ( f ) ：f ( x ，y ，。) = ，( g ：h ) = 0 。如果s t 空间( 即参数空间) 内的 曲线f ( s ，t ) = 0 ，和s 轴相切于( 。，0 ) ，和t 轴相切于( o ) 0b ) ，则曲面v ( f ) 就分别沿着 v ( o n j 与v ( h ) 相切，沿着v ( c ，日一6 ) 与v ( g ) 相切，即v ( f ) 就是光滑拼接 v ( c ) 和v ( h ) 的代数曲面，h o f f m a n n 和h o p c r o f t 认为b l e n d i n g 曲面可以看作是参数 空间内曲线f ( s ，t ) = 0 利用简单代换s = g ，t = h 后得到的结果。b l e n d i n g 曲面和原 始曲面的联结曲线( c o n n e c t i o nc u r v e s ) 为v ( a ) 或v ( h ) 和v ( d = g + 甘一1 ) 的交 线。b l e n d i n g 区域需要满足下面两条性质： f 1 ) 结果曲面总在d 的一侧； (