（运筹学与控制论专业论文）利用倒向二叉树的组合投资模型.pdf

中文摘要 现代证券组合投资理论( m o d e mp o r t f o l i ot h e o r y ，简称m p t ) ，也有人将其 称为证券组合理论或分散投资理论，由m a r k o w i t z 首开先河。m a r k o w i t z 提出和 建立的现代证券投资组合理论，其核心思想是要解决长期困扰证券投资活动的两 个根本性问题。第一个问题是虽然证券市场上客观地存在着大量的证券组合投 资，但为何要进行组合投资，组合投资究竟具有何种机制和效应：第二个问题是 证券市场的投资者除了通过证券组合来降低风险之外，将如何根据有关信息进一 步实现证券市场投资的最优选择。 期权是一种重要的金融衍生工具。期权是一种赋予持有者在将来的某确定 时间内以某一确定的价格购买或出售标的资产的权利。标的资产可以是股票、股 票指数、外汇、期货合约和商品等。多阶段投资项目的期权可以表达为某一投资 者( 如个人、公司或科研单位) 因投资于初始阶段的某一特定的标的物，而拥有 未来时间内( 后续阶段) 如何对初始阶段成果处置的权利。对于股票而言，可以 理解为，当持有者持有股票后，在未来时间内，享有对股票是否出售的权利，而 这部分权利就可以看成股票的内在价值，其可以用期权价值的定价理论来加以量 化求得。 本文将两者有效的结合起来，并且利用期权定价中的期权的价值来衡量股票 的内在价值，把股票的内在价值作为投资者考虑的对象。这样，投资者就不会单 单地凭借股票暂时的收益来选取投资组台了，而是考虑了股票的长期投资价值。 并且，在本文中利用的是倒向的二叉树模型，是先考虑股票的多期的未来收益， 然后根据投资者所期望的收益来对现在的投资做出正确的组合，这使组合投资更 加具有实际意义。 关键词：投资组合期权倒向二叉树内在价值 a b s t r a c t t h em o d e r np o r t f o l i ot h e o r y , w h i c hs o m e o n ec a l l sp o r t f o l i ot h e o r yo r d e c e n t r a l i z ei n v e s t m e n tt h e r o y , w a sd e v i s e db ym a r k o w i t zf i r s t l y t h ep o r t f o l i o t h e o r yw a sb u i l tt o s o l v et w of u n d a m e n t a lq u e s t i o n sw h i c hh a dp u z z l e dt h e e c o n o m i s t st oi n v e s tf o ral o n gt i m e s o n ei sw h yt op o r t f o l i oa n dh o wt op o r t f o l i oi n t h es t o c km a r k e tw h e r et h e r ea r eal o to fc h a n c e st oi n v e s t t h es e c o n di sh o wt h e i n v e s t o rt or e a l i z et h eo p t i m u ms e l e c t i o ni nt h es t o c km a r k e t ，i ns p i t eo fr e d u c i n gt h e r i s ko f i n v e s t m e n tb yu s i n g p o r t f o l i o o p t i o ni s av e r yi m p o r t a n tf i n a n c ed e r i v a t i v et 0 0 1 o p t i o ng i v e st h eh o l d e rt h e r i g h tt ob u yo rs e l lt h eu n d e r l y i n ga s s e tb yac e r t a i nd a t ef o rav e r t a i np r i c e t h e u n d e r l y i n ga s s e t si n c l u d es t o c k s ，s t o c ki n d i c e s ，f o r e i g nc u r r e n c i e s ，d e b ti n s t r u m e n t s ， c o m m o d i t i e s ，a n df u t u r e sc o n t r a c t s t os t o c k ，t h eh o l d e rh a st h er i g h tt os e l lt h es t o c k o rn o ti nt h ef u t u r e t h i sr i g h tc a l lb es e e na st h ei n t r i n s i cv a l u ew h i c hc a i lb e c a c u l a t e dw i lo p t i o np r i c i n gf o r m u l a s i nt h ep a p e r , t h es t o c k si n t r i n s i cv a l u ei st h ei n c o m eo ft h es t o c k t h e n ，t h e i n v e s t o r sw o n tc h o o s et h ep o r t f o l i oo n l yb yt h et e m p o r a r yv a l u eo f t h es t o c k ，i n s t e a d ， h ew i l lc o n s i d e rt h el o n gt e r mv a l u e i nt h i sp a p e r , h eb a c k w a r db i n o m i a lm o d e li s u s e dt op r i c et h ei n t r i n s i cv a l u eo ft h es t o c k s ，w h i c hi sb a s e do nt h ef u t u r ev a l u eb u t n o tt h eh i s t o r i cv a l u e t h er e wp o r t f o l i om o d e lb a s e do nt h ei n s t r i n s i cv a l u eo ft h e s t o c k sw i l la c c o r dw i mt h en o t i o n so f t h ei r i v e s t 0 1 8m o r ei nt h ef a c t k e y w o r d s ：p o r t f o l i oi n v e s t m e n t ，b o n dp r o p e r t y ，t h eb a c k w a r db i n o m i a l m o d e l ，t h ei n t r i n s i cv a l u e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得盘洼盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名0 绿 签字日期：护年f ，月订目 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解吞壅盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权鑫星盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者始霹吲 翩签名 签字日期：知年l 了月明日签字日期：缈年， 月刀日 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 证券投资是国内外经济活动中的大热点。投资者把资金投入证券市场， 是为了追求较高的预期收益，同时尽量回避投资的风险。然而，证券投资是一种 风险较高的投资行为，通常，高的收益都是与高的风险相伴随的。因而，对证券 投资的收益率和投资风险进行综合定量分析，无疑对宏观管理决策部门、证券经 纪人和投资者都有重要的意义。 现代证券组合投资理论( m o d e r np o r t f o l i ot h e o r y ，简称m p t ) ，也有人将 其称为证券组合理论或分散投资理论，由m a r k o w i t z 首开先河。1 9 5 2 年， m a r k o w i t z 发表了一篇题为证券组合选择的论文。1 ，对充满风险的证券市场 的最佳投资问题进行了开创性的研究，虽然在当时的条件下，由于建立在 m a r k o w i t z 理论基础上的应用模型涉及到大量而复杂的计算，应用成本很高，时 效性差，极大的限制了该理论的应用，未在金融投资界引起很大的反响。但 m a r k o w i t z 的科学理论并没有因此而逊色，相反，随着时间的推移，m a r k o w i t z 理论的革命性意义在各个方面研究的推动和实践的检验下却日渐凸显出来。 在m a r k o w i t z 的均值一方差投资组合模型的基础上，其后众多经济学家都 对投资组合理论进行了完善和修改。s h a r p e 鉴于m a r k o w i t z “均值方差组合模 型”中方差与投资比例不呈线性关系，必须用二次规划法求解，且求解程序复杂， 而于1 9 6 7 年对m a r k o w i t z 模型进行改造“，使m a r k o w i t z 的组台模型得以用线 性规划的方式求解。根据s h a r p e 进行的实证研究，当股票种类达2 0 种以上时， 投资组合的非系统风险逐渐趋于零，此时风险只生剩下系统风险，从而只与市场 因素的方差有关，投资组合的标准差逐渐成为一个线性函数，因此可用“线性规 划法”迅速找出有效边界。 m a o “”继s h a r p e 的单指数模型“”后，于1 9 7 0 年将m a r k o w i t z 的组合模型加 入一个限制务件：投资组合中所包含的证券数目不能超过某个上限，并在禁止融 券、股票收益率与市场指数有关、以及当投资组合包含的股票数目足够大，则投 资组合的非系统风险可忽略等三个假设下，求投资组合的超额收益除以系统风险 的比例极大化。虽然以上的假设过于简化，但因只需估计每种股票的均值及系统 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 风险，使得运算时间大大减少，即使所选出来的投资组合稍微偏离m a r k o w i t z 的 有效边界，由予计算及估计成本较小，对投资者而言仍不失为一个有效的方法。 k o n n o “”于1 9 9 0 年提出“均值一绝对方差一偏态最适投资组合”模型，所谓 股票收益率的偏态，就是指股票收益率的三阶矩，若偏态为正值f 右偏) ，表示投 资这种股票获得的收益率可能极大，并且不大可能发生大的损失；若股票收益率 的偏态为负值( 左偏) ，则投资这种股票可能损失惨重，而获利可能仅局限于某 一范围。因此，一般理性投资者会选择具有右偏态的股票或投资组合。此模型以 投资组合的预期收益以及绝对方差作为限制条件，以投资组合的偏态最大值为目 标。可见，k o n n o 的模型将偏态纳入选股的考虑因素中，以满足投资者获利无穷、 损失极小的期望，更以绝对方差取代方差用来衡量投资组合的波动程度可使投资 组合模型线性化，不但可节省求解的时间，还可处理规模较大的投资组合模型。 还有很多中外学者提出了新的风险度量方法，主要有以下几种“： 1 ) 亏本概率模型在不确定性条件下进行投资决策时，不仅需要考虑将来 收益的期望值，也要考虑损失的可能性，这种可能性就是亏本概率。 2 ) 绝对离差模型因为将风险看作实际收益率与预期收益率的偏离程度，方 差也不是唯一的衡量标推，使用绝对离差在应用上也是有可能的。 3 ) 半方差模型马柯维茨本人也承认“除了方差之外，也存在多种风险衡量 方法的替代，其中理论上最完美的应属半方差( s e m iv a r i a n c e ) 方法”。半方差模型 分别以半方差、半协方差代替均值一方差模型中的方差、协方差，其余部分大致 相同。 4 ) 极差模型及其它一些学者以极差度量风险，建立了均值一极差模型。 虽然这样使得计算过程简化，但造成了大量有价值数据的浪费而且易受异常值的 影响。 现代证券投资组合理论通过以m a r k o w i t z 、s h a r p e 等为首的众多经济学家的 努力，在基本概念的创新、理论体系的完善、重要结论的实证和理论应用的拓展 上都取得了重大进展。但是，目前大多数的经济学家在投资组合理论上的拓展都 是建立在对风险的改进上，提出都是关于风险度量的新的方法。m a r k o w i t z 的投 资组合理论是使得投资的收益最大和风险最小，风险度量上有很多种方法，然而 在收益度量上还一直沿用以前的期望收益率作为预期收益率的做法。实际上，当 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 投资者进行投资的时候，他是有权利选择在什么时候进行交易的，这样也就使投 资者有进行交易和不交易的权利，而在一般的投资组合模型中却没有考虑到这一 点。组合投资研究主要是依据历史数据进行投资选择的，很少考虑到对未来的预 测，而利用期权定价理论的思想可以在研究中将未来的预测加以考虑，使得组合 投资研究更符合市场要求。故此，可以将投资者的这部分权利作为期权来考虑， 用来衡量证券的内在价值，这样更具实际意义。 实际上，期权在项目投资和新产品开发上已经应用很广泛了。近几年实物期 权。7 3 方法在项目投资决策。”中得n t 越来越多的应用。尤其适合于高不确定性项 目的投资决策，因为以净现值法”为代表的传统投资决策方法没有考虑投资机会 的价值，所以使用传统的投资决策方法往往会低估其潜在的价值，甚至误导投资 者的决策，丧失高不确定性项目可能带来的巨大收益，而实物期权方法能够弥补 这一缺陷，使得决策更科学、更准确。 论文工作及内容安排 本章主要介绍了现代投资组合理论的形成和发展状况，并阐述目前学术界对 投资组合理论的研究进展。介绍了学者们对风险度量的改进和完善，并且提出了 用期权的理论来确定证券的内在价值，并以其内在价值来作为新的收益度量工 具。 论文第二章主要介绍投资组合中的基本概念，以及对m a r k o w i t z 投资组合模 型的基本理论进行了简单的阐述。并且对该模型进行了分析与评价，指出改方法 的优缺点。 论文第三章介绍了期权的基本概念和期权定价的基本公式。本章选择了方 便、简单的二叉树定价模型进行分析，最后介绍了倒向二叉树模型，利用未来的 收益来确定目前的投资。因为倒向二叉树模型是离散时间的，更加符合现实生活， 并且具有多期投资的意义。 论文第四章利用第三章介绍的倒向二叉树模型，将证券的未来收益倒向推到 最初时刻，从而确定证券的内在价值。提出了新的度量收益的方法，并且在原有 的m a r k o w i t z 投资组合模型的基础上建立新的模型。 论文第五章是实证分析。通过实例分析说明了选用股票内在价值作为收益度 量是具有实际意义的。 天津大学硕士学位论文 第二章m a r k o w i t z 证券组合投资理论 第二章m a r k o w i t z 证券组合投资理论 2 1 组合证券投资的基本概念 2 1 1 收益率m 任何一项带有风险的投资，不论是证券投资还是添置新设备或改建旧厂房， 以及开发新产品的投资等等，收益与风险总是一对孪生子。如果你想获取较高的 收益，那么就得承担较大的风险；如果你对风险采取谨慎的态度，宁肯冒较小的 风险，那么获取的收益也较低。如何度量收益与风险呢? 我们首先引进收益率的 概念。 定义收益率r 为 产必， ( 2 1 ) w 0 其中w 。是期初资产，w 。是期末资产。如果在期初投资的金额为w 。，而 在期末由于这笔投资获得w 。，那么w ，一w 。就是从期初到期末这段时间内投资 的盈与亏，正值为盈，负值为亏，再除以期初投资的金额w 。，则表示每投资一 元的盈亏，即这项投资的收益率。 对于股票，如果考虑的是某家公司的每天的收益率，我们就把定义中的w 。 作为该公司股票的昨天的收盘价，w 作为今天的收盘价。其含义为：如果你以 昨天的收盘价买进一股，一天后再以今天的收盘价卖出，那么w ，一w 。就是在 一天内这笔交易的盈亏，而f 里型! 就是股票在这一天内的收益率。n f 4 n n 讹 考虑股票的周收益率和月收益率等等。 但上面说的还有一个不完全的地方，当你持有的股票在某段时间内正好公 司发红利，那么它的期末资产w ，不仅仅是期末时的收盘价，还应该加上股票的 股利以及由股票带来的其他收益。当前我国股票红利往往由三部分组成：现金股 利，送股和配股。送股和配股可以折算为现金收益。因此，收益率r 应写为： 4 天津大学硕士学位论文 第二章m a r k o w i t z 证券组合投资理论 产! 些! 出2 二出 w o ( 2 2 ) 其中w 。为期初股票收盘价，w 。为股票期末收盘价，w 。是从期初到期末 的时间周期内由股票所得得红利，包括现金红利，送股和配股折算成得现金红利。 2 1 2 收益率的期望和风险n m 收益率r 是一个随机变量，记它的数学期望“”为，或e ( r ) ，方差为盯2 ( ，) ， 标准差为盯( r ) 。期望，和标准差c r ( r ) 是投资者最关注的两个量。，是收益的一种 度量，它表示就平均而言投资者可以获得的收益率，r 越大，投资者期望得到的 收益也越高。仃( ，) 是风险的度量，它表示投资者实际获得的收益率偏离r 的程度， 盯( ，) 越大，投资者实际可能获得的收益率偏离，也越大，从而风险越大。 由概率论知道，如果r 的分布函数为f ，那么 ；= 肛( z ) 盯2 ( ，) _ e ( r _ ) 2 = b 一- ) 2 d f ( x ) 这里隐含了一个假定，那就是假定r 的数学期望和方差都存在。 在实际中，我们往往并不知道收益率r 的分布函数f 是什么，无法求出相 应的两个积分，我们所知道的只是r 的许多观察值1 ，r 2 ，它是r 的样本， 可以根据统计学的方法，作出样本均值f 和样本方差矛2 、样本标准差毋如下： 样本均值，2 丢喜 样本方差 船圭杰( 一；) 2 ”一1 智一 ( 2 3 ) ( 2 - 4 ) 样本标准差子2 j i j l 台。一2 ( 2 _ 5 ) 并把它们作为总体f 的均值、方差和标准差的估计值。 2 1 3 组合的收益 设有1 3 种证券s 。，s ：s 。，它们的收益率分别是1 ，屹，后者都是 天津大学硕士学位论文 第二章m a r k o w i t z 证券组台投资理论 r = ! 地! 出2 二地( 2 - 2 ) m 厶 其中w 。为期初股票收盘价，w 。为股票期未收盘价，w ，：是从期初到期末 的时间周期内由股票所得得红利，包括现金红利，送股和配股折算成得现金红利。 2 1 2 收益率的期望和风险”“ 收益率r 是一个随机变量，记它的数学期望“”为，或e ( o ，方差为d 2 ( r ) ， 标准差为c r ( r ) 。期望，和标准差口( r ) 是投资者最关注的两个量。r 是收益的一种 度量，它表示就平均而言投资者可以获得的收益率，r 越大，投资者期望得到的 收益也越高。口( r ) 是风险的度量，它表示投资者实际获得的收益率偏离r 的程度， 口( r ) 越大，投资者实际可能获得的收益率偏离，也越大，从而风险越大。 由概率论知道，如果r 的分布函数为f ，那么 ；= 肛f ( z ) ( t 2 ( ，) _ e ( r _ ；) 2 = 肛一- ) 2 d f ( x ) 这里隐含了一个假定，那就是假定r 的数学期望和方差都存在。 在实际中，我们往往并不知道收益率r 的分布函数f 是1 t 么，无法求出相 应的两个积分，我们所知道的只是r 的许多观察值_ ，r z ，它是r 的样本， 可以根据统计学的方法，作出样本均值，和样本方差6 - 2 、样本标准差毋如下： 样本均值，2 喜_ ( 2 3 ) 样本方差子2 丢i 喜( 一- ) 2 ( 2 - 4 ) 样本标准差占5 j i l _ 喜( 一；) 2 ( 2 _ 5 ) 并把它们作为总体r 的均值、方差和标准差的估计值。 2 1 3 组合的收益 设有n 种证券s ，s ：s 。，它们的收益率分别是，_ ，后者都是 设有n 种证券s ，s ：s 。，它们的收益率分别是，- ，后者都是 天津大学硕士学位论文 第二章m a r k o w i t z 证券组合投资理论 产! 些! 出2 二出 w o ( 2 2 ) 其中w 。为期初股票收盘价，w 。为股票期末收盘价，w 。是从期初到期末 的时间周期内由股票所得得红利，包括现金红利，送股和配股折算成得现金红利。 2 1 2 收益率的期望和风险n m 收益率r 是一个随机变量，记它的数学期望“”为，或e ( r ) ，方差为盯2 ( ，) ， 标准差为盯( r ) 。期望，和标准差c r ( r ) 是投资者最关注的两个量。，是收益的一种 度量，它表示就平均而言投资者可以获得的收益率，r 越大，投资者期望得到的 收益也越高。仃( ，) 是风险的度量，它表示投资者实际获得的收益率偏离r 的程度， 盯( ，) 越大，投资者实际可能获得的收益率偏离，也越大，从而风险越大。 由概率论知道，如果r 的分布函数为f ，那么 ；= 肛( z ) 盯2 ( ，) _ e ( r _ ) 2 = b 一- ) 2 d f ( x ) 这里隐含了一个假定，那就是假定r 的数学期望和方差都存在。 在实际中，我们往往并不知道收益率r 的分布函数f 是什么，无法求出相 应的两个积分，我们所知道的只是r 的许多观察值1 ，r 2 ，它是r 的样本， 可以根据统计学的方法，作出样本均值f 和样本方差矛2 、样本标准差毋如下： 样本均值，2 丢喜 样本方差 船圭杰( 一；) 2 ”一1 智一 ( 2 3 ) ( 2 - 4 ) 样本标准差子2 j i j l 台。一2 ( 2 _ 5 ) 并把它们作为总体f 的均值、方差和标准差的估计值。 2 1 3 组合的收益 设有1 3 种证券s 。，s ：s 。，它们的收益率分别是1 ，屹，后者都是 天津大学硕士学位论文 第二章m a r k o w i t z 证券组合投资理论 随机变量。假如你有一大笔资金，按照x ，x ：x 。的比例( 其中x ；o ， x 1 + x2 + + x 。= 1 ) ，投资于s 1 ，s2 s 。，就构成一个证券组合p = ( x i ， x ：x 。) ，要注意的是x ，是投资于s ，的资金比例，而不是股票数的比例。 这里隐含了一个假设，即股票的股数是可以任意分割的。我们知道股票的 最小单位是一股，但在组合p = ( x 。，x ：x 。) 中，这些x ，都是非负数，只要 它们的和等于1 就行了，从而购买股票的股数有可能出现非整数而是分数。因此， 在对组合作一般原理性讨论时，总是假设股数是可以任意分割的。 对组合p = ( x ，x ：x 。) ，容易知道它的收益率x 。是 x 口= x l r l 十x2r 2 + - - - + x nr x 。也是一个随机变量，它的数学期望是 x 口= x lfj + x2f2 + + x 。f 。( 2 - 6 ) 其中i ；是证券s ，的收益率r ，的数学期望。 2 1 4 组合的风险“3 一种证券的风险是用它的收益率的标准差来度量的。证券组合的风险不仅 牵涉到每种证券收益率的标准差，还牵涉到两两之间的协方差。 随机变量r ，和的协方差的定义为 盯口2 c o v ( ，0 ) 翘( ( 一再) ( 0 。弓) ) ( 2 - 7 ) 亦( r r 亏) ( 0 一弓) 的数学期望，它表示r i 和r j 之间的一种相关性a 为了求得协方差，必须知道r l 和的联合分布函数。但在许多实际应用 中，我们并不知道这个分布函数是什么，所知道的是r i 和。的一组观察值， ：和，0 ：，并作出样本协方差： 岛2 i l _ 喜 ( 一两( 一i ) 】，其中亏和弓分别是r 一和r 的样本均值： 巧= 三( + 2 + + ，k ) 弓= 丢( 。+ 。h t + ) 。 样本协方差岛是方差的一个无偏估计。 天津大学硕士学位论文 第二章m a r k o w i t z 证券组合投资理论 设证券s ，s2 s 。的风险分别是盯。，吼，盯。，由于每一种证券都是风 险证券，所以每一个q 都大于o ，又设证券s i 和s 的收益率之间的协方差为口f ， 我们便可以得到一个方差协方差矩阵 并盈o = o i l 。 仃h i 仃 2 仃n h 其中吼= 盯2 ，是方差 设组合p = ( x 。，x ：x 。) ，则这一组合的方差盯2 一和风险盯。是： 盯2 p = e ( ( 0 - ) 2 ) = e 啦，( 1 一亏) + 工：( 一五) 十+ z 。( 一i ) 】2 ) - e 窆宝一_ e 眠一亏地一弓) ) i = 1j = i = v = ( 窆窆x i x j ) i = lj = i 2 2m a r k o w i t z 模型 ( 2 8 ) 证券投资是在风险的情况下进行的，投资者把资金放在证券市场，期望追 求更高的预期收益，同时竭力避免投资风险。尽管不同的投资者投资偏好可能不 同，但投资收益心理却是一致的。一般而言，投资风险愈大，其期望收益也就要 求愈高，即是说高收益伴随着高风险。因此，对证券组合投资的预期牧益率和投 资风险进行综合定量分析，无疑对宏观管理决策部门、证券经纪人和投资者都有 重要意义。 投资者在权衡收益和风险时，以其对投资风险的偏好来进行证券资产的选 择。所以，风险测度的定义在组合证券投资的研究中就显得比较重要。以 m a r k o w i t z 模型为代表的均值方差模型，k o m m o 和y a m a z a k i 采用绝对偏差作为 风险测度建立的模型以及有些学者采用半方差作为风险测度建立模型等。本节则 主要介绍m a r k o w i t z 模型的建立。 天津大学硕士学位论文 第二章m a r k o w i t z 证券组台投资理论 假定投资者已选定n 种证券进行投资，i ( i = 1 ，2 ，3 n ) 表示第f 种证券 持有期的收益率，是一个随机变量。r ，和吼分别是收益率的期望值和方差。 即 r t = e ( i ) q 5 玩，( 1 ) 在各证券上的投资比例为国。( i = 1 ，2 ，3 n ) ，组合投资的收益率为 o = q ， 它的期望值和方差分别为 r ，= q r ， ( 2 9 ) 厂n、n p2 阮，j k i = l 吼i j2 善蔷国，q 。1 这样不允许卖空的m a r k o w i t z 模型可以表示为 m i n o ；= 盯# 国i 出j 姐擎啦( i ) ( 0 i = 1 q 0 ( i = 1 , 2 ，n ) 其中是投资者所要求的最低收益率。该模型成立的前提条件为 1 ) 疋( i = 1 ，2 ，3 n ) 服从正态分布； 2 ) 投资者是风险厌恶的，即投资者总是偏好较小的方差。 q 匕吲o n n q = 1 i l l 盯1 j r ：陋，r ：r 。r ，= p ，功：0 9 。) 7 ，尸- - 0 ，i ，1 ) 7 则m a r k o w i t z 模型写成矩阵形式为 天津大学硕士学位论文 第二章m a r k o w i t z 证券组合投资理论 m i nc r ：= 0 3 7 q s t 国7 r ，7 国：1 ( i i ) 峨o ( f = 1 , 2 ，n ) 再令4 = ( ：1r 。2 ： ，占= ( 。 则在允许卖空的条件下( 在上模型中去掉她的符号约束) ， m a r k o w i t z 模型 的最优解和最小化风险值为+ = o 一1 4 7 0 0 一1 4 7 ) - b ，盯；= 矿0 0 一1 ) - 1 曰 若记 “矿4 r ) _ 1 ：fm u m 1 2 1 、 l 2 l埘2 2 则模型( ) 在允许卖空的条件下的有效边界嘲是 仃；= m l l r ；+ 2 m 1 2 r p + m 2 2 若无风险证券加入投资组合中，其无风险证券收益率为，则组合证券的 有效边界以盯；- r ，平面上的点( o ，r 0 ) 为左端点而引出的一条开口向右的抛物线 平滑连接而成。在包含无风险证券的初始段，组合中的风险证券具有固定的构成 和比例。，“”。 本章小结 本章介绍了一些证券投资的基本概念和m a r k o w i t z 证券投资组合的基本理 论。m a r k o w i t z 证券投资组合模型是以收益率的方差来衡量证券的风险，以历史 数据的期望收益率来作为各个证券的预期收益的。这种假设具有划时代的意义， 用数量化方法确定了最佳投资组合的基本模型。在以后的岁月里，经济学家们一 直利用数量化方法不断丰富和完善组合管理的理论和实际投资管理方法，并使之 成为投资学中的主流理论。 m a r k o w i t z 提出和建立的现代证券投资组合模型是从证券的收益率出发的， 而其收益率的得到是依据股票的历史数据得来，并且，在进行投资分析时仅仅考 虑以前的股票的收益率，并没有对未来的收益进行估计。这种用历史数据得来的 股票收益率忽略了股票的不稳定性，认为其是沿着以前的收益率一直发展下去 天津大学硕士学位论文 第二章m a r k o w i 担证券组合投资理论 一一 一一_ - _ _ _ - _ - _ 。- _ - - _ _ - _ _ _ _ 。_ _ 一 的。为了弥补m a r k o w i t z 模型的这一缺点，可以引入期权的理论。因为，期权定 价可以对未来收益的进行估计，其考虑了股票价格变化的可能性，并且根据股票 价格的变化对股票期权的价值进行定价。 天津大学硕士学位论文 第三章期权的基本理论及倒向二叉树定价模型 第三章期权的基本理论及倒向二叉树定价模型 3 1 期权的基本概念“3 股票期权于1 9 7 3 年首次在有组织的交易所内进行交易。从此，期权市场发 展十分迅猛。现在，期权在世界各地的不同交易所中都有交易。银行和其他金融 机构同时也进行大量的期权合约的场外交易。期权的标的资产包括股票、股票指 数、外汇、债务工具、商品和期货合约等。 期权有两种基本类型。看涨期权( c a l l o p t i o n ) 持有者有权在某一确定时间以某 一确定的价格购买标的资产。看跌期权( p u to p t i o n ) 持有者有权在某一确定时间以 某一确定的价格出售标的资产。期权合约中的价格被称为执行价格或敲定价格 f e x e r c i s ep r i c eo rs t r i k ep r i c e ) 。合约中的日期为到期曰、执行日或期满e t ( e x p i r a t i o n d a t e ，e x e r c i s ed a t e ，m a t i i r i 动。美式期权( a m e r i c a no p t i o n s ) 可在期权有效期内任何 时候执行；欧式期权( e u r o p e a no p t i o n s ) 只能在到期日执行。在交易所中交易的大 多数期权为美式期仅。但是，欧式期权通常比美式期权更容易分析，并且美式期 权的一些性质总是可由欧式期权的性质推导出来。 需要强调的是，期权赋予其持有者做某件事情的权利。持有者不一定必须行 使该权利。这一特点使期权不同于远期和期货，在远期和期货合约中持有者有义 务购买或出售该标的资产。请注意，投资者签署远期或期货合约时的成本为零， 但投资者购买一张期权合约必须支付期权费。下面我们简单介绍一下股票期权。 股票期权口2 。卯 股票期权是一种衍生证券，其价值依赖于股票的价格。影响股票期权价格的 主要有股票的现价、执行价格、到期期限、股票价格的波动率、无风险利率等。 如果看涨期权在将来某一时间执行，则其收益为股票价格与执行价格的差 额。随着股票价格的上升，看涨期权的价值也就越大：随着执行价格的上升，看 涨期权的价值就越小。对于看跌期权来说，其收益为执行价格与股票价格的差额。 因此看跌期权的行为刚好与看涨期权相反。当股票价格上升时，看跌期权的价值 天津大学硕士学位论文第三章期权的基本理论及倒向二叉树定价模型 下降：当执行价格上升时，看跌期权的价值上升。 股票价格的波动率是用来衡量未来股票价格变动的不确定性。随着波动率的 增加，股票上升很高或下降很低的机会也随着增加。对于股票的持有者来说，这 两种变动趋势将互相抵消；但对于看涨期仅或看跌期权的持有者来说，则不是这 样。看涨期权的持有者从股价上升中获利，当股价下跌时，由于他或她的最大损 失就是期权费，所以他仅有有限的损失。与此类似，看跌期权的持有者从股价下 跌小获利，当股价上升对，仅有有限的损失。因此，随着波动率的增加，看涨期 权和看跌期权的价值都会增加。 无风险利率对期权价格的影响则不是那么直接，当整个经济中的利率增加 时，股票价格的预期增长率也倾向于增加。然而，期权持有者收到的未来现金流 的现值将减少。这两种影响都将减少看跌期仅的价值：因此随着无风险利率的增 加，看跌期仅的价格将减少。而对于看涨期权来说，前者将增加看涨期权的价格， 而后者将倾向于减少看涨期权的价格。可以证明对看涨期权来说，前者的影响将 起主导作用，即随着无风险利率的增加，看涨期权的价格总是随之增加。 看来股票的价格对股票期权的价格有很大的影响，下面分析一下股票的价格 运行情况。 3 2 股票价格的运行模式 3 2 1 马尔科夫性质“3 人们通常假设股票价格遵循马尔科夫过程。马尔科夫过程曲1 ( m a r k o v p r o c e s s ) 是一种特殊类型的随机过程。这个过程说明只有变量的当前值与未来的 预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式则与未来的预测不相 关。 假设现在i b m 股票价格为$ 1 0 0 。如果股价遵循马尔科夫过程，那么一个星期 以前、一个月以前、或是一年以前的股价并不会影响我们对将来的预测，唯一相 关的信息就是股票的现价$ 1 0 0 。对将来的预测是不确定的，必须以概率分布的方 式表达。马尔科夫性质隐含了在将来任一特定时刻股价的概率分布仅仅取决于股 票当前的价格$ 1 0 0 。 天津大学硕士学位论文第三章期权的基本理论及倒向二叉树定价模型 股价的马尔科夫性质与弱型市场有效性”( t h ew e a kf o r mo f m a r k e te f f i c i e n c y l 相一致，也就是说，一种股票的现价已经包含了所有信息，当然包括了所有过去 的价格记录。如果弱型市场有效性不正确的话，技术分析师可通过分析股价的过 去历史数据图表获得高于平均收益率的收益。事实上，几乎没有什么证据表明他 们能够做到这一点。 正是市场竞争保证了弱型市场有效性成立。有许多许多投资者紧盯着股票市 场并试图从中获利，这种实际情况导致了在任何指定时刻的股价包含了以往价格 的信息。假设已经发现以往股价中某种特殊模式总是给出6 5 的未来价格上涨 机会。这种方式一旦被观察到，众多投资者就会购买股票从而股票的需求就会 突然增加。其结果为股价骤然上涨，过去观察的效应将失效。任何可盈利的交易 机会都会如此。 3 2 2 维纳过程 股价行为模型通常用著名的维纳过程( w i e n e rp r o c e s s e s ) 来表达。维纳过程是 马尔科夫随机过程的一种特殊形式。物理学中这种观察用于描绘某个粒子受到大 量小分子碰撞的运动，有时称为布朗运动( b r o w n i a nm o t i o n ) 。 到现在为止我们讨论的基本维纳过程漂移率为0 ，方差率为1 0 。漂移率为 0 意味着在未来任意时刻z 的期望值等于它的当前值。方差率为1 0 意味着在长 度为t 的一段时间段后z 变化的方差为1 0 x t ，变量x 的一般化维纳过程 ( g e n e r a l i z e d w i e n e r p r o c e s s ) 用出定义如下： d x = a d t + b d z ( 3 - 1 ) 其中a 和b 为常数。 理解方程( 3 1 ) 较好的方法是分别考虑方程右边的两个组成部分。a d t 项说明 了变量x 单位时间的漂移率期望值为a 。如果缺省b d z 项，方程变为 d x = a d t 即 ! ；= 口或 x = 工o + d( 3 2 ) 出 其中x 为x 在零时刻的值。经过长度为t 的时间段后，x 增加的值为a t 。 方程右边的b d z 项可被看作为增加到x 的轨迹上噪声或波动率。这些噪声或波动 天津大学硕士学位论文第三章期权的基本理论及倒向二叉树定价模型 率的值为维纳过程的b 倍。短时间f 后，从上面方程可得x 值的变化缸为 h x ：口a t + b 瓜 血具有正态分布，且 缸的均值= a a t 出的标准差= 6 出 缸的方差= 6 2 a t 类似以上讨论，可得任意时间t 后x 值的变化具有正态分布，且 z 的均值= a t x s j 标准差= 6 r x 的方差= 6 2 t 因此上面方程给出的一般性维纳过程其漂移率( 即单位时间平均漂移) 的期 望值为a 。方差率( 即单位时间的方差) 的期望值为b 2 。 3 2 - 3 股票价格的行为过程“们 假定股票价格遵循一般化的维纳过程是很具诱惑力的，也就是说，它具有不 变的期望漂移率和方差率。但是，这个模型不能抓住股价的关键特性，即投资者 要求来自股票的期望百分比收益与股票价格无关，如果投资者在股价为$ 1 0 时要 求预期收益为每年1 4 ，那么他在股价为$ 5 0 时仍然要求每年1 4 的预期收益。 显然，期望漂移率为常数的假设是不恰当的，需要修正，即假设以股价的比 例表示的期望漂移为常数。这个假设意味着如果股价为s ，s 的期望漂移率为s ， “为某一恒定参数。因此，在短时间间隔垃后，s 的增长期望值为，巧，参数 是股票的期望收益率以小数的形式表示。 若股票价格的方差恒为0 ，这个模型即为： d s = 僦 或 i d s ：舻 结果是s = s o e ” 其中s 。是零时刻的股票价格。上面的方程说明了当方差率为0 时，股票价 格以“的连续复利方式增长。 当然，实际上股票价格确实存在着波动率。一个合理假设是无论股票价格如 天津大学硕士学位论文第三章期权的基本理论及倒向二叉树定价模型 何，短时间出后的百分比收益率的方差保持不变。换句话说，不管股票价格为 $ 5 0 还是$ 1 0 ，投资者认为他或她的收益率的不确定性是相同的。定义d 2 为股票 价格比例变化的方差率，即仃2 a t 是时间f 后股票价格比例变化的方差，盯2 s 2 a t 是经过f 后股票价格的实际变化的方差。因此，s 的瞬时方差率为仃2 s 2 。 从以上阐述可以得出结论：s 可以用瞬时期望漂移率为和瞬时方差率为 盯2 s 2 的i t o 过程来表达，表示啪1 为： 嬲= 肛鼢+ c r s d z( 3 - 3 ) 或 孚：础+ o d z d 上述方程是描述股票价格行为最广泛使用的一种模型。变量c l r 通常被称为股 票价格波动率( s t o c k p r i c e v o l a t i l i t y ) 。变量“为股票价格的预期收益率。 3 2 4 二叉树模型 我们将用二叉树模型作为本章讨论过的股票价格连续时间模型的离散时间 形式。假设股票价格初始为s ，在二叉树模型中，股票价格在随后时间长度为f 的时间段后的行为过程如图2 一l 所示。它以概率p 上升到s u ，以概率卜1 9 下降到 s d ：u 1 ，d l ，d 1 ，d 1 ) 。根据世界是风险中性的假设，血时间段末股票价格的 ， 、 一 、 一 一、 、 天津大学硕士学位论文 第四章利用倒向二叉树建立新的模型 期望值为脚，因此 & 曲= p s u + ( 1 - p ) s d ( 4 - 7 ) 熟知服票价格模型为 a s = s 山+ s o m 孓 其中e 为标准正态分布的随机值。由此式可推得时间段& 股票价格变化 q = s + 丛的方差为 e c q 2 ) 一e ( q ) = s 2 盯2 a t( 4 - 8 ) 则从( 如7 ) 和( 4 _ 8 ) 式得到 s 2 a2 a t = p s 2 “2 + ( 1 一p ) s 2 d 2 一s 2 e 2 衄( 4 9 ) 记a = e “，那么( 4 7 ) 和( 4 9 ) 式可改写为 ：i a 笔t + p u 黑：p ) a ：- a 。 睁 盯2 = 2 + f 1 22 、 这是确定参数p ，“，d 的基本方程。显然尚缺少一个方程或条件。如果补充另一个 方程为d = 一1 ，代人方程( 4 1 0 ) 1 j 在求解过程中采用关于f 的一阶近似( 泰勒展 开后舍去关于& 的高阶小项) ，即可得到通常的二叉树参数公式吲 p ：_ a - d ，“= p 4 伍，d = 扭，口= 严