（运筹学与控制论专业论文）几类线性奇异系统的观测器设计.pdf

山东大学硕士学位论文 中文摘要 在奇异系统的设计中，经常会遇到状态反馈问题为了实现状态反馈，需要系 统所有的状态信息但在实际系统中，能直接量测的是输出，而状态通常不能直 接量测，这就造成了状态反馈在物理实现上的困难解决状态反馈的优越性和状 态反馈难于构成矛盾的基本途径是引入状态重构或状态估计采用重构状态或估 计状态作为反馈变量以构成状态反馈，即通过一个被称为状态观测器的动态系统 来获得状态反馈中的状态随着科技的发展。奇异系统的状态观测器理论和设计在 实际工程、科技、经济、生物、网络分析和教育领域中都得到了极大的重视和广 泛的应用 本文研究几类线性奇异系统的观测器设计问题，包括观测器存在的充分条件 及相应观测器的具体设计问题全文包括以下三章： 第一章介绍了奇异系统的发展，状态观测器的研究背景及数学描述，给出了 线性奇异系统的观测器设计的预备知识 第二章研究了线性奇异系统的观测器设计，针对系统的函数观测器、降阶观 测器以及全阶观测器的设计，分别给出了观测器存在的充分条件，并利用线性矩 阵不等式( l m i ) 方法得到了相应观测器的具体设计步骤，并给出设计的数值案例 第三章研究了两类特殊的奇异系统的观测器设计，一类是含干扰输入的线性 奇异系统，另一类是含有非线性反馈的奇异系统，主要研究两类系统的函数观测 器的设计，给出了观测器存在的充分条件，并利用线性矩阵不等式方法( l m i ) 得 到了相应观测器的具体设计步骤关于两类系统的降阶观测器及全阶观测器设计， 给出了类似于第二章的结论说明 关键词：线性奇异系统、函数观测器、降阶观测器、全阶观测器、干扰输入、 非线性反馈、线性矩阵不等式 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h ed e s i g no fs i n g u l a rs y s t e m s , s t a t ef e e d b a c kp r o b l e m sa 心v e r yc o m l 3 1 0 i 1 i n o r d e rt oa c h i e v es t a t ef e e d b a c k , a l lo ft h es t a t ei n f o r m a t i o ni sn e e d e d b u ti np r a c t i c a l s y s t e m s , w h a tc a l lb ed i r e c t l ym e a s u r e da 陀o u t p u t s ，n o ts t a t e s t h i sc a u s 盥t h ed i f f i c u l t y o fs t a t ef e e d b a c ki np h y s i c a la c h i e v e m e n t t h es u p e r i o r i t yo fs t a t ef e e d b a c ka n dt h e d i f f i c u l t yo fc o n s t r u c t i n g s t a t ef e e d b a c ka 他c o n t r a d i c t , w h i c hc a nb es o l v e db y i n t r o d u c i n gs t a t er e c o n s t r u c t i o n o t rs a t ee s t i m a t i o n t a k i n gr e c o n s t r u c t i o ns t a t eo r e s t i m a t i o ns t a t ea sf e e d b a c kv a r i a b l e st oc o n s t r u c ts t a t ef e e d b a c kr r l e , a l l st h a ta c h i e v i n g s t a t e si ns t a t ef e e d b a c kb yad y n a m i cs y s t e mn a m e ds t a t eo b s e r v e r w i t ht h e d e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , s t a t eo b s e r v e r st h e o r ya n dd e s i g no fs i n g u l a r s y s t e m s 锄a t t a c h e dg r e a ti m p o r t a n c ea n dh a v eg a i n e de x t e n s i v ea p p l i c a t i o n si ns u c h f i e l d s 勰p r a c t i c a le n g i n e e r i n g , s c i e n c ea n dt e e l m o l o g y , e c o n o m i c s ，b i o l o g i c a l , i n t e r n e t a n a l y s i s , e d u c a t i o na n d s oo n t h i st h e s i si n v e s t i g a t e so b s e r v e r sd e s i g np r o b l e m sa b o u ts o m l ：c a t e g o r i e so fl i n e a r s i n g u l a rs y s t e m s ，i n c l u d i n gs u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fo b s e l w e r se x i s t i n ga sw e l l 鹊 c o n c r e t ed e s i g no fc o r r e s p o n d i n go b s e r v e r s t h ew h o l et h e s i si n c l u d e st h r e ec h a p t e r sa s f o l l o w s c h a p t e r1i n t r o d u c e st h ed e v e l o p m e n to fs i n g u l a rs y s t e m s ，r e s e a r c hb a c k g r o u n d a n dm a t h e m a t i c a ld e s c r i p t i o no fs t a t eo b s e r v e r s p r e p a r i n gk n o w l e d g ea b o u to b s e r v e r s d e s i g no fl i n e a rs i n g u l a rs y s t e m si sg i v e ni nt h i sc h a p t e r c h a p t e r2s t u d i e so b s e r v e r sd e s i g no fg e n e r a ll i n e a rs i n g u l a rs y s t e m s s u f f i c i e n t c o n d i t i o n so fo b s e r v e r se x i s t i n ga f eg i v e nr e s p e c t i v e l yi na c c o r d a n c ew i t l lt h ed e s i g n o fs y s t e mf u n c t i o no b s e r v e r s ，d e s c e n d i n go r d e ro b s e r v e r sa n dw h o l eo r d e ro b s e r v e r s m o r e o v e l ，c o n c r e t ed e s i g ns t e p so fc o r r e s p o n d i n go b s e r v e r sa l eo b t a i n e db yt h e m e t h o do fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( i m o 1 1 1 e 虹 n u m e r i c a le x a m p l e so ft h ed e s i g na r c g i v e n , r e s p e c t i v e l y c h a p t e r3d i s c u s s e so b s e r v e r sd e s i g no ft w oc a t e g o r i e so fs p e c i a ls i n g u l a rs y s t e m s o n ec a t e g o r yi so b s e r v e r sd e s i g no fl i n e a rs i n g u l a rs y s t e m si n c l u d i n gd i s t u r b e di n p u t s a n o t h e ri so b s e r v e r sd e s i g no fs i n g u l a rs y s t e m si n c l u d i n gn o n l i n e a rf e e d b a c k t h i s c h a p t e rm a i n l ys t u d i e sf u n c t i o no b s e r v e r sd e s i g no ft h e s et w oc a t e g o r i e so fs y s t e m sa n d 2 山东大学硕士学位论文 g i v e ss u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fo b s e r v e r se x i s t i n g f u r t h e r m o r e , c o n c r e t ed e s i g ns t e p so f c o r r e s p o n d i n go b s e r v e r s a r eo b t a i n e db yt h em e t h o do fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) a n dn u m e r i c a le x a m p l e so ft h ed e s i g na l eg i v e n , r e s p e c t i v e l y c o n c l u s i o n sa n a l o g o u st o t h o s ei nc h a p t e r2a l eg i v e no nd e s c e n d i n go r d e ro b s e r v e r sa n dw h o l eo r d e ro b s e r v e r so f t w oc a t e g o r i e so fs y s t e m s k e y w o r d s ：l i n e a ls i n g u l a rs y s t e m ；f u n c t i o no b s e r v e r ；, d e s c e n d i n go b s e r v e r ；, w h o l eo r d e ro b s e r v e r ；, d i s t u r b e di n p u t ；n o n l i n e a rf e e d b a c k ；l i n e a rm a t r i xi n e q u a t i t y 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：壮日 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：弛导师签名： e l 期：丛生墨：乞丛 由衷大学硕圭学佼论文 1 u i li i ! 1 l , , 嚣黑詈寰量皇皇篡嬲量曼量量喇黑曾皇舅葺舞嬲璺曼_ 第一章绪论 1 1 奇异系统的产生背景 自动控制理论是科学发展到一定阶段的产物，就其本质来说，是一种方法论； 丽在众多的研究方法体系中，具有里程碑意义的是五十年代末六十年代初提出豹 状态空间法；可以说状态空间描述法是一种比较完善的描述方法，通常以微分方 程或差分方程的形式对系统盼模型进行数学攒述其一般形式秀： 八z ( 量) 茗( 玲，f ) ，材o ) f ) = o g ( 颤f ) ， ( f ) j ，( f ) ，f ) = 0 ( 1 1 a ) ( 1 1 b ) 其中：颤f ) ，材( f ) y ( f ) 分别是系统的状态、输入及输出；t ( 2 ) x ( t ) 表示x ( f ) 的 微分或差分；f 是联勾f ，雄，u ( t ) 及f 的矩阵蘧数，譬是婶) ，材( ) ，y 磅。及f 的矩 阵函数；系统的一种特殊形式为： 2 孵) 【( h 名) 坤) 】= ，( 玎力，撑( f ) 甥 灭f ) = 鬈献f ，鼯蛾f ) ( 1 2 a ) ( 薹。2 b ) 这里e ( t 是1 1 阶时变矩阵；j ，k 是x ( t ) ，籍 及t 的矩阵函数：显然，当联f ) 菲 奇异时( 对所有的t 尺) 系统( 1 2 ) 即通常所说的线性系统( 也称为正常系统) ： 誊霹) 奇异时，则称系统( 1 2 ) 为奇异系统：奇异系统在文献中又称为广义系统 ( g e n e r a liz e ds y s t e m s ) ，描述系统 ( d e s c r i p t o rs y s t e m s ) ，隐式系统 ( i m p l i c i ts y s t e m s ) ，广义状态系统( g e n e r a l i z e ds t a t e - s p a c es y s t e m s ) ， 半状态系统( s e m i s t a t es y s t e m s ) 及微分代数系统( d i f f e r e n t i a l - a l g e b r a i c s y s t e m s ) ( 文献 量】) 等奇异系统中特别引入注意的是连续时闯线性奇异系统 4 出东大学硕学位论文 f 墩) = a x ( t ) + b u ( t ) ，t o 宝( o ) 嚣而 iy 卿= c x ( t ) 和连续时间离教系统 l 蜀氓f ) = a x ( t ) + 曰) ，t o ，膏( o ) = 而 y 鳓= c x ( t ) 其中霸a 震椭，c e 太煳，誊奇异 般认为，奇异系统是于1 9 7 4 年由r o s e n b r o c k 5 首先提出的，其所描述的 实际背景是复杂的电网络系统二十多年来，入们发现，用奇异系统来描述与刻划 实际应用中经常遇到的一些系统比用正常系统来得自然、方便、精确得多例如， 在经济系统中，1 9 7 7 年l u e n b c r g c r 和a r b e l 6 发现著名的动态投入产出模型就是 一典型的奇异系统，纽曼模型也属于此类系统。另外，蒙受限机器人【7 】、核反应堆 【8 】、非因果系统【9 】等都必须用广义系统模型来进行刻划丽且，r o s c n b r o c k 与 p u g h 1 0 】指出，用奇异系统来描述交联大系统的动态方程将是方便的；因此，奇 异系统是描述与刻划实际系统的有力工具，奇异系统模型的提出具有深刻的实际 应用背景到目前为止，奇异系统理论的研究已取得了长足的进展，阶段性的研究 结果时有发表，奇异系统的领域也几乎涉及到了正常系统研究的每个方面，如观控 性的定义及判定，实现问题，观测器的设计，极点配置( 文献 1 1 - 1 8 ) 等等，并 都已取得了较理想的研究成采 1 2 状态观测器介绍 在系统控制理论中，砖综合麓题的研究逶常涉及控制系统在工程实现中的一 些理论性问题，主要包括状态反馈的物理构成等这种把控制正程中技术性问题 转化为理论性闻越加以研究是现代系统控制淫论的一个显著特色。对众多类墅性 能指标的综合问题，控制必须采用状态反馈形式，体现了状态反馈的明显优越性 在奇异系统的设计中，经常会遇到状态反馈阌题( 如状态反馈霹以实现闭环系统 的解藕和部分极点的任意配置，状态反馈还可以实现闭环系统在二次型指标下的 5 山东大学硕士学位论文 最优控制) ，为了实现状态反馈，需要系统所有的状态信息但在实际系统中， 能直接量测的是输出，而状态通常不能直接量测，这就造成了状态反馈在物理实 现上的困难解决状态反馈的优越性和状态反馈难于构成矛盾的基本途径是引入 状态重构或状态估计，采用重构状态或估计状态作为反馈变量以构成状态反馈， 即通过一个被称为状态观测器的动态系统来获得状态反馈中的状态状态观测器 的实质是：对给定确定性线性时不变被观测系统三，构造与三具有相同属性的一 个系统即线性时不变系统量，利用三中可直接量测的输出y 和输入”作为三的输 入，并使雪状态或其变换；在一定指标提法下等价于三状态工等价指标的提法通 常取为渐近等价，即 r l m 量( t ) = l i m x ( t ) f t 并且，称雪状态量为被观测系统三状态工的重构状态，所构造系统雪为被观测系统 三的一个状态观测器 在文献 1 9 】中系统介绍了奇异系统的观测器设计，指出较早系统阐述常义线性 系统观测器的是 2 0 】1 9 8 3 年e 1 - t o h a m i 在【2 l 】中考虑了如下正则系统的观测器设 计： 。f 晟= 彳砸) + s u ( t ) 1 -_、， 【y ( t ) = c x ( o 其中x ( t ) r “是状态变量，u ( t ) r “是控制输入变量，y ( t ) r 7 为可量测输出，系 统中的各矩阵为适维常数阵， r 口拧翘= 该文利用广义逆的概念，通过使用奇异 值分解最终得到阶的观测器这种方法需要强加给状态变量、输入和输出一定的 一致性条件，但该条件具有很强的限制性而且无法检验后来，v e r h a e g e n 2 2 和 s h a f a i 2 3 分别提出了刀一m 阶观测器v e r h a e g 采用的是和处理常义线性系统十分 相似的方法，而s h a f a i 则利用了矩阵广义逆很显然，如果刀一朋 刀0 ，系统三就 不存在这种观测器 而在文献【2 4 】分别讨论了因果系统和非因果系统的观测器设 计，采用的方法是广义系统的奇异值坐标变换对非因果系统引入阶观测器，并 称之为全阶观测器；而对因果系统引入( 刀。一m ) 阶观测器并称之为最小阶观测 6 山东大学硕士学位论文 器文献1 2 5 采用代数的方法设计系统的全阶观测器而【2 6 】用几何的观点考虑观 测器的设计【2 7 】也采用代数的方法给出了一类观测器的设计方法，并给出存在条 件上面所论及观测器都具有如下形式： l 三( f ) = 巨z + e 2 u + e y 【w = 互z + e “+ e y 很明显，这种观测器是常义的动力系统而且具有不同于正常系统中的 l u e n b e r g e r 观测器的形式广义系统的l u e n b e r g e r 状态观测器最早由s y r m o s 在【2 8 】 中考虑干扰解耦问题时提出并给出这种干扰解耦观测器的几何条件不含干扰的 l u e n b e r g e r 状态观测器和状态函数观测器分别在 2 9 - 3 1 提出文献 2 8 】给出的是频 域解法，而【3 0 ，3 l 】是基于所谓的s y i v e r s t e r 观测器矩阵方程来求解的 1 3 观测器设计的预备知识 考虑系统o ：j 殿= 批) + 召“( ) 【y ( t ) 2c x ( t ) 其中x ( t ) r “是状态变量，u ( t ) r ”是控制输入变量，y ( t ) r 7 为可量测输出，系 统中的各矩阵为适维常数阵， r a n k e 刀 定义1 1 3 2 系统三是 ( 1 ) 正则的，如果存在s e c 满r ：d e t ( s e - a ) 不恒等于0 对偶能正规化的，如果满足m 以饲 ( 3 ) 能控的，如果满足r a n k s e 一彳召】= 刀，v sc , s 是有限的，且 r a n k e 曰】= 刀 能观测的，如果满足朋刀4 簟彳卜，协郇是有限的，且 m 刀件玑 ( 5 ) 能稳的，如果满足朋拧七陋一彳b 】= 刀，r s v p + , j 是有限的 7 山东大字硕士字位论文 ( 6 ) 稳定的，如果满足仃佤a ) cc 一 ( 7 ) 奇异和非奇异：称行数和列数相等的方多项式矩阵q ( s ) 为奇异，如果其 行列式为有理分式域吼g ) 上零元，l 卦id e t q ( s ) 暑o ；称行数和列数相等的方多项式 矩阵q ( s ) 为非奇异，如果其行列式为有理分式域吼g ) 上非零元，d e t q ( s ) 不恒等 于0 定义1 2 3 2 考虑系统三，如果下面的系统： f 疋茸( f ) = 4 o ) + b 。u ( t ) + g y ( t ) 厶l ： 1 l 砸) = c t ( f ) + f y ( t ) + h u ( t ) 满足 h m ( w ( t ) 一x ( t ) ) = o v x ( o ) ，x a o ) 这里j r c ( f ) r ，4 ，e ，g ，c ，只日是适当维数的常数阵 我们称系统毒是三的一个状态观测器，果r a n k e 。 刀。，系统毫叫做奇异观 测器；否则，不失一般性，若厂口砝疋= 刀。，臣= l ，毒叫做常规观测器；若= 刀，称 为全阶观测器，若n 。 一霉) = o ，e 。( h b 7 ：灏7 ) 一= 疆 ( 4 ) o r ( 疋，a c ) c c 。 这里 夏= 陂 暖“1 最】，磊= 【0 厶：p q h 是的幂零指数，垦，p 由下式确定 q e p = d i a g ( i 1 ，聊，q a p = d i a g ( a l ，： ，q b = 慨岛f ，c p = h 乞】 9 壅东大学辕圭学位论文 - i t li i i i i i l l 嗽葛曼置 2 1 引言 第二章线性奇异系统的观测器 有关观测器的设计问题已经有很多结果，包括线性系统、时滞系统、奇异系 统等等( 文献p 3 】p 7 梦，但对予奇异酵滞系统的鼹测器设计报道不多，冯俊娥老搏 在其博士学位论文【3 8 】及随后的研究【3 9 】中详细讨论了线性奇异时滞系统的观测器 的设计闻题正是这篇文章辱l 发了我对于死类线性奇异系统的观测器设计闯题的 思考 本章研究了一般线性奇异系统的观测器设计，针对系统的函数观测器、降阶 观测器以及全阶观测器的设计，分别给出了观测器存在的充分条件，并利用矩阵 不等式( l m i ) 得到了糨应躐测器豹其体设计步骤 2 。2 函数观测器 考虑下面的线性奇异系统 l 戤= a x ( t ) + b u ( t ) y ；c x ( t ) ( 2 。董) iz o ) 一k x ( t ) 其中韵r 8 失状态变量，群( d r “为控制变量，雄) gr 7 为可量测输出，岩 r 声 为被估计输出，系统中的各矩阵为适维矩阵，r a n k e o ，满足下面的不等式 以+ 彳r p o ， 则系统颤f ) = a x ( t ) 是零解渐近稳定的 考虑系统如下形式的函数观测器 f = 彳f + 影地 ( 2 2 ) i三= f + 印 其中系统( 2 2 ) 的各系数矩阵为适维常阵，待定，y ，为系统( 2 2 ) 的输入， 三f 为系统输出，这里要求l i m ( 三( t ) - z ( f ) ) = o 成立 下面给出该观测器( 2 2 ) 为系统( 2 1 ) 函数观测器的充分条件 定理2 1 系统( 2 2 ) 为系统( 2 1 ) 的函数观测器的充分条件是存在矩阵m ， 满足下面条件： ( a ) 施+ 雪c ： 纠 ( b ) 歹：m b ( c ) m e + d c ：k ( d ) 善= 五f 零解渐近稳定 证明：设毛= 一m e x ，则有 善= 乎一m c f 翳) = a + b y + j u - m ( x 工+ b u ) = 彳( 孝+ m e x ) + b c x + j u - m a x - m b u 山东大学硕士学位论文 = 彳孝+ ( a m e + b c 一砌i o x + ( ，一m b ) u = 彳孝 又由于 芝一z = + d y k x = ( 孝+ m e x ) + d c x 一戤 = + ( m e + d c k ) x = 善 由定理2 1 条件知能保l i m ( 三( t ) - zo ) ) = 0 ，则系统( 2 2 ) 为原系统( 2 1 ) 的 函数观测器 记云= e 一，则由定理2 1 的条件( a ) ( c ) 知： ，l 一 彳l k d c l + b c = 倒一m e a ， 则有： - a l a k = a d c b c + i 足一d c m m e a = j 日一瞄台一五6 肘 量 一m 】圈 他 这里t = 雪一二西 由于 菩 行满秩，则r + p 刀，设，+ p 0 ，满足下甄的线性矩阵不等式： 聃+ 以r p 一乏正一r 乏r o ( 2 1 3 ) 2 。4 全酚观测器 当园判满秩时，我们还可设计系统隰董) 的全阶删器此时弘几当然 不再满怒条件： 行满跌，此时我们不失一般性，仍设e 行满跌 1 7 一 山东大学硕士学位论文 定理2 4 系统( 2 2 ) 为系统( 2 1 ) 的全阶观测器的充分条件是存在矩阵m 满足以下条件： ( a ) 五 纪+ 雪c ： 伪 ( b ) 夕= m b ( c ) m e + d c ：i ( d ) 善= 二孝零解渐近稳定 证明：设孝= f m e x ，则有 善= 乎一m ( 点动 = 彳f + 砂+ 一m ( a x + b u ) = 彳( 善+ 珏动+ b c x + j i l - m a x m b u = 彳善+ ( a m e + b c - m a ) x + ( j - m b ) u = 彳孝 又由于 芝一x = 乞七d y - - x = ( 孝+ 酞) + d c k 一工 = 专+ q 旺+ d c n x = 孝 所以有姆( 三一曲= 0 ，即系统( 2 2 ) 为系统( 2 1 ) 的全阶观测器定理证毕 注存在矩阵量，台，上a 膨满足定理2 “的必要条件是圈燃 引理2 3 【3 8 】矩阵圈列满秩的充要条件是存在矩阵n c 且矩阵e 非 奇异，使得e e + c + c = l 引理2 4r 3 8 ，若 习列满秩，则对任何与矩阵f 同维数的方阵a 都有阪4 c 】 脉冲能观 引理2 5 【3 8 】若陋彳，c 】脉冲能观，则仁彳，c ) 能观 山乐大罕坝士罕1 互化又 ii 证明：只需注意到下面的关系与e 非奇异即可 朋拧r 别 ：翻 卅 七一1 = n ，v s c 所以一定存在矩阵f ，使得 二= e 彳一f c 渐近稳定引理证毕 下面具体设计全阶观测器( 2 2 ) 由于圈列满跌，存在n c 且矩盼辅异，使知n c 乜l 令：西= c ，m = e ，j = m b 再找五雪满足：施+ 雪c = 刎，且j 渐近稳定i 由t m = f ，则 五e e + 雪c = e 彳，即j ( ，一c 。c ) + 雪c = e 彳， 所以 j = e 彳一( 雪一j c ) c ， 现在令，：台一j c ，则二= e 彳一f c 由引理2 3 与引理2 4 知仁4 c ) 能 观，所以存在矩阵f 使得五渐近稳定，再令台：f + 五c 因此我们有下面的定理 定理2 5 系统( 2 1 ) 存在形如( 2 2 ) 的全阶观测器的一个充分条件是 习列 满秩 下面给出系统( 2 1 ) 的全阶观测器( 2 2 ) 的具体设计步骤： s t e p 1 验证条件旭刀吐习= 刀，若条件满足，则进入下一步设计，否则退出； s t e p2 找矩阵e ，c 且矩阵e 为非奇异矩阵，使得e e + c c = ，； s t e p3 令膨= e ，西= c ，夕= m b ； s t e p4 找矩阵只使得j = e 彳一彤渐近稳定，令雪= f + f 4 c 1 9 山东大学硕士学位论文 第三章两类含干扰输入或非线性反馈的奇异系统的观测器 3 1 引言 本章研究了两类特殊的奇异系统：含有独立干扰的线性奇异系统以及含有非 线性反馈的奇异系统的观测器设计包括观测器存在的充分条件及相应的观测器 的具体设计问题 我们主要针对两类特殊系统的函数观测器进行了较为详细的研究，并利用线 性矩阵不等式方法给出了相应观测器的具体设计步骤对两类系统的降阶和全阶 观测器设计的情况，也同时给出其类似结论说明 3 2 含有独立干扰的线性奇异系统的函数观测器 f = 似f ) + b l u ( t ) + b 2 , k t ) j ，( f ) = c x ( t ) ( 3 1 ) lz o ) = k x ( t ) 其中善( 幻r “为状态变量，( 幻r 。为控制变量，( 幻r 7 为可量测输出， 不失一般性本章假设矩陬，c 行满秩， 荟 也行满秩因为若 菩 行满秩 不眦可烁酬考卜秩，觚僦晰黼瞄卜标 则有矩阵，使得局= j 巳 考 ，又设矩阵蜀，k ：的对应输出分别为刃= 局工，勿= 山东大学硕士掌位论文 岛工，而y 为可量测输出，z l 的估计量为主。，即! i m ( 毛一z 1 ) = o 1 则由于 铲三吲x - - 陋。厶翻啤：乃 所以历的估计量为三2 = 三乏+ 三抄 考虑系统如下形式的函数观测器 j f = 彳f + 9 + 尻 ( 3 2 ) 气一 、o ， 【三= f + 跏 其中系统的各系数矩阵为适维常阵，待定，j ，“为系统的输入，三r p 为系统 输出，这里要求h m ( 三0 ) 一zo ) ) = o 成立 下面给出该观测器为系统函数观测器的充分条件 定理3 1 系统( 3 2 ) 为系统( 3 1 ) 的函数观测器的充分条件是存在矩阵m ， 满足下面条件： ( a ) 施+ 雪c ：m a ( b ) 夕：m b ! ( c ) m e + b c = k ( d ) 乎= j f 零解渐近稳定 ( e ) m b 2 = 0 证明：设善= - m e x ，则有 舌= 舌一m ( e 力 = 彳f + 缈+ 以一m ( a x + b l “+ 曰2 w ) = 彳( 孝+ m e x ) + b c x + 妇一 m m b l u 一 以兄w = 彳孝+ ( 彳尬+ b c 一 纠) x + ( ，一m b i ) u m b 2 w = 彳孝 又由于 2 一z = 乞+ d y k x 2 l 山东大学硕士学位论文 = ( 孝+ m e x ) + ) c a - k x = 专+ ( m e + d c 一酗x = 孝 由定理3 1 条件知能保证l i m ( 三o ) 一z ( f ) ) = o 则系统( 3 2 ) 为系统( 3 1 ) 的函数 t 观测器 记豆= e i ，则由定理3 1 的条件( a ) ( c ) 知： 则有： k 一加) + 雪c = 删一廊， a e ：a d c b c + k d c k m e a = 一+ k m 一 ( 3 3 ) 这里，= 雪一枥 由于 荟 行满秩，则r + p 力，设，+ p 刀，( r + p 2 刀的情况会在降阶 删器部分予以删存一脚脚阱杯 设 薹 = 阮巨e ，则c 3 3 ，可等价于 =eaha e a h l 一陋丁 = 一眇丁 nn0们il副叫匿 d 肘 硒 材 一 r 肛 r p k y 一 一 戤 碰 山东大学硕士学位论文 邮叫圈c e l 互， 慨4 b ) e a 觑阮e 】= 瞄rm 】l l 互】 ( 3 il 由上可知寻找j ，雪，夕，西，m ， 满足定理3 1 中的条件( a ) 至( c ) 及( e ) ， 而( 3 4 b ) 及定理3 1 中的( c ) 和( e ) 有解西，t ，m 等价于下面的 ptm p = p ， ( 3 5 ) 三：嘲c a e , c 1 0 。0k 幽k 1 三= i oi ，p = i 幽础l l 巴崛e a r , e 岛j 引理3 1存在矩阵五，台，z6 ，m ，满足定理3 1 中的条件( a ) 至( c ) m 刀4 蓍季言 剖 慨6 ， 纠 证明：矩阵方程( 3 5 ) 有解的充要条件为，口刀吐司= 厂口刀肪 定义矩阵： ( 3 6 ) 式左边等价于 c e o 0以一以足crlj崩_一 玎m = o 0 0 l 0 0 l 0 0 巧o o 0 日o o 0 吼0 o e 0 o o 臣o o 0 研o o o = u 山东大学硕士学位论文 删 叫c a h 爵鼢c a = r a 叫乜蜮幽置翩互 l - 。i j 0。0 f 幽c0 = 2 ( r + p ) + 凡巩叫幽e 马l | - 脚：k 0 j ( 3 6 ) 式右边等价于 c 0 eb 2 k0 0 0 0 0 l c ac0 l m 以怛e 。牛2 ”卅r a n k 。- 幽c a f e c 兰 i i c00j 雕兰l l e a f , , e c r a n l q e = r a n l 4 l f f 兰v k0 幽岛i。l i 幽j u 由上式成立可以导出翮q 言l = r 口拧陋，从而引理成立 瞄rm = o x + + z ( ，一三z + ) ( 3 7 ) j ：k a h i p rm 】icb i 励i 一鲫+ 阱一脾l g a j 垒a z f 肛幽删+ 昏 统媳) = 似f ) 是零解渐近稳定的即为矩阵j 满足定理3 1 的条件( d ) 的个充 将j = a z 厂代入上式，且令三= p z ，即得： s t 印2 找到g 欠一p 】x j l ，使得 薹 非奇异，设 纠一= 暇五墨，求 s t e p5 令吾= 五6 + r ，j = m b l 由衷大学硕士学位论文 i i 一一 i l l l ll l qn m u u u 葛量量舅舅篡黼鼍寡量舅舅曼囊篇| 3 。3 舍有非线性反馈奇异系统的函数观测器 考虑f 面含有非线性反馈的奇异系统 f 臌= 雠) + 矽执牡) j ，o ) = q ( f ) ( 3 9 ) 【z = 戤 其中荆r “为状态变量，“( f ) r “为控制变量，灭f ) 赣r 7 为可壁测输出，z ( f ) 冬犬尹为被估计输密， w ( t ) 为干扰变量：系统中酌各矩阵为适维矩阵，特别的， 当r a n k e 军q m e + t i c = i ( d ) 善= j 孝零解渐近稳定 定理3 1 。系统( 3 9 ) 存在形如( 3 1 。) 的全阶观测器的一个充分条件是 习 列满。 全阶观测器( 3 1 0 ) 的具体设计步骤略 3 5 结语 本章研究了两类特殊的奇异系统：含有独立于扰的线性奇异系统以及含有非 线性反馈的奇异系统的观测器设计包括观测器存在的充分条件及相应的观测器 的具体设计嗣题 我们主要针对两类特殊系统的函数观测器进行了较为详细的研究，并利用线 性矩阵不等式方法给出了相巍观测器的具体设计步骤对两类系统静降阶和全阶 观测器设计的情况，也同时给出其类似结论说明 3 2 山东大学硕士学位论文 8 】 【9 】 1 0 1 【1 1 】 【1 2 】 1 3 】 【1 4 】 【1 5 】 参考文献 c a m p b e l l ，s l ，s i n g u l a rs y s t e m so f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sl , p i t m a n ，19 8 0 c a m p b e l l ，s l s i n g u l a r ss y s t e m so f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sii ，p i t m a n , 19 8 2 v e r g h e o e ，g c ，p h ，d d i s s c r t a t i o n , d c p t , o fe e ，s t a n f o r du n i v ，19 7 8 王跃云，上海交通大学博士学位论文，1 9 8 7 年 r o s c n b r o c k , h h s t r u c t u r a lp r o p e r t i e so fl i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m s i n t j c o n t r , 1 9 7 4 ，2 0 ( 2 ) ：1 9 1 - 2 0 2 l u e n b c r g c r , d qa n da r b e l ，八s i n g u l a rd y m m i c a ll e o n f i fs y s t e m s e c o n o m c t r i c a , 1 9 7 7 ，5 ，9 9 1 9 9 5 a i l o n , ko nt h ed