（运筹学与控制论专业论文）双曲lévy模型下有交易费时的最优投资问题.pdf

摘要 厂 一b l a c k s c h o l e s 市场模型已被广泛地应用于金融市场的交易操作。在此模型中， 假定股票的价格过程服从几 可b r o w n 运动。然而，由几何b r o w n 运动模型得出的股票 价格与实际数据之间存在较大的误差，其原因可能是假设了市场的随机性来源于 b r o w n 运动所导致的。e b e r l e i n k e 1 e r 试图改变随机性的根源。他们引入了所谓的 双曲l v y 模型，即在所谓的中心对称双曲l 6 v y 过程的基础上建立起股票价格的模 型。与几何b r o w n 运动不同的是，中心对称双曲m v y 过程是一个带跳的过程。许多实 证表明这种模型与实际股票价格的拟合要比几何b r o w n 运动来得好。需要一提的是 m e r t o n 也曾经研究过带跳的市场模型，但那是在几何b r o w n 运动的基础上加上一个 p o s s i o n 过程，与中心对称双曲l 6 v y 过程是不同的。 双曲l 6 v y 模型的发展历史，至少可以追朔到1 9 7 7 年。那一年b a r n d o r f f n i e l s e n 第一次引入双衄分布( 因其分布密度函数的指数部分为双曲线而得名) ，并且证明了 它的无限可分性。1 9 9 5 年，e b e r l e i n k e l l e r 考虑了由中心对称双曲分布生成的l v y 过程。1 9 9 7 年，e b e r e i n k e l l e r 又利用中心对称双曲膳v y 过程建立了所谓的双曲 h 、 l 6 v y 模型，并用鞅的方法讨论了欧式期权定价问题。彳 | 本文运用最优控制理论的思想方法，考虑了双曲l 6 v y 模型下的最优投资问题。 我们假定在市场上有一种股票上市交易，股票价格满足双曲l 6 v y 模型；假设市场对 股票的交易按金额的一定比例收取交易费用；假定投资者有一银行帐户，其存款利 率和借款利率不相同；并且假定投资者的效用函数为风险中性的。在市场上，投资 者通过存借款以买卖股票，其投资目的是使自己在将来的某个时刻的期望财富值达 到最大。 本文的第一节是引言，第二节给出与本文有关的一些预备知识。 第三节给出市场模型与问题的提法。与d a v i s 运用效用定价理论讨论连续时间 有交易费时的欧式期权定价问题不同的是，本文讨论的是存借款利率不同，且市场 服从双曲l d v y 模型情形下的最优投资问题。与刘道百的有交易费时的欧式期权定价 也有模型的区别。 第四节证明值函数的连续性。通过一个合理的假设条件，虚拟一个存借款利率 相同，且无交易费要求的市场，来证明值函数的有界性，并证明了期望意义下买入股 票总财富和卖出股票总财富的有界性及值函数的连续性。 第五节给出最优性原理。 第六节讨论h j b 方程的粘性解。在本节中，我们讨论t h j b 方程粘性解的存在性， 粘性解是否唯一尚不知道。 附录中补充了一些有关的结果。 关键词：最优投资，交易费，双出t l 6 v y 模型，h j b 方程，粘性解。 a b s t r a c t t h eb l a c k s c h o l e sm o d e lh a sb e e nw i d e l ya p p l i e dt oe v e r y d a yt r a d i n go p e r a t i o n si n t h ef i n a n c em a r k e t i nt h a tm o d e l ，i tw a sa s s u m e dt h a tt h es t o c kp r i c ep r o c e s si ss u b j e c tt o ag e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o n h o w e v e r , i th a sb e e nf o u n dt h a tt h e r ei sab i gd i f f e r e n c e b e t w e e nt h er e a ls t o c kp r i c ed a t aa n dt h o s ed e r i v e df r o mt h eg e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o n m o d e l t h ep o s s i b l er e a s o ni st h a to n eh a sa s s u m e dt h er a n d o m n e s so ft h em a r k e ti sf r o m b r o w n i a nm o t i o n e b e r l e i n k e l l e ri n t r o d u c e dt h es o c a l l e dh y p e r b o l i cl 6 v ym o d e lb a s e d o nt h ec e n t e rs y m m e t r i ch y p e r b o l i cl 6 v yp r o c e s s i nc o n t r a s tt ot h eg e o m e t r i cb r o w n i a n m o t i o n ，t h eh y p e r b o l i cl 6 v yp r o c e s sp a t h sa r ed i s c o n t i n u o u s w ew o u l dl i k et om e n t i o n t h a tm e r t o na l s os t u d i e dt h ed i s c o n t i n u o u sm o d e l b u th eo n l ya d d e dp o s s i o nj u m p st o t h eg e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o nm o d e l ，w h i c hi sd i f f e r e n tf r o mt h eh y p e r b o l i cl 6 v y m o d e l t h eh y p e r b o l i cd i s t r i b u t i o nw a sf i r s ti n t r o d u c e db yb a r n d o r f f - n i e l s e ni n19 9 7 ( t h e n a m e ”h y p e r b o l i cd i s t r i b u t i o n ”i sd u et ot h ef a c tt h a ti t sl o g d e n s i t yi sah y p e r b o l a ) a c c o r d i n gt ob a r n d o r f f - n i e l s e n ，h y p e r b o l i cd i s t r i b u t i o ni si n f i n i t e l yd i v i s i b l e i n19 9 5 ， e b e r l e i n k e l l e r ，i n t r o d u c e dl 6 v yp r o c e s sg e n e r a t e db yc e n t e rs y m m e t r i ch y p e r b o l i c d i s t r i b u t i o n i n19 9 7 ，t h e yf u r t h e rc o n s t r u c t e dah y p e r b o l i cl 6 v ym o d e lb a s e do nt h e c e n t e rs y m m e t r i ch y p e r b o l i cl 6 v yp r o c e s sa n ds t u d i e dt h eo p t i o np r i c i n gp r o b l e mv i at h e m a r t i n g a l ea p p r o a c h i nt h i st h e s i s ，u n d e rt h eh y p e r b o l i cl 6 v ym o d e l ，b yu s i n gt h es t o c h a s t i co p t i m a lc o n t r o l a p p r o a c h , w es t u d yt h eo p t i m a li n v e s t m e n tp r o b l e mw i mt r a n s a c t i o nc o s t sa n dw i t h d i f f e r e n ti n t e r e s tr a t e so fd e p o s i t i n ga n dl e n d i n g ，w ea s s u m et h a tu t i l i t yo ft h ei n v e s t o ri s n e u t r a l t h eg o a lo f t h ei n v e s t o ri st om a x i m i z et h ee x p e c t e dw e a l t ha tf u t u r et i m e s e c t i o n1i sa ni n t r o d u c t i o n s e c t i o n2c o l l e c t ss o m ep r e l i m i n a r ym a t e r i a l i ns e c t i o n3 ，am a r k e tm o d e li sc o n s t r u c t e d ，a n dt h ep r o b l e mi sp o s e d i nc o n t r a s tt o d a v i s r e s u l t s ，w es t u d yn o to n l yt h ep r o b l e mw i t hd i f f e r e n ti n t e r e s tr a t e so fd e p o s i t i n g a n dl e n d i n g ，b u ta l s ou n d e rt h eh y p e r b o l i cl 6 v ym o d e l t h i sm a r k e tm o d e li sd i f f e r e n t f r o ml i u s ，a sw e l l s e c t i o n4p r e s e n t st h ec o n t i n u i t yo ft h ev a l u ef u n c t i o n w i t har e a s o n a b l ea s s u m p t i o n ， b yc o n s t r u c t i n gam a r k e tw i mn ot r a n s a c t i o nc o s t sa n dw i t ht h es a m er a t e so fd e p o s i t i n g a n dl e n d i n g ，w ep r o v et h eb o u n d e d n e s so ft h ev a l u ef u n c t i o n ，a n dt h eb o u n d e d n e s so ft h e t o t a le x p e c t e dv a l u e so fs t o c k sb o u g h ta n ds o l d ，w h i c hl e a d st ot h ec o n t i n i t yo ft h ev a l u e f u n c t i o n i ns e c t i o n5 ，w ep r e s e n tt h es t o c h a s t i cv e r s i o no fb e l l m a n sp r i n c i p l eo fo p t i m a l i t y i ns e c t i o n6 ，v i s c o s i t ys o l u t i o nt ot h eh j be q u a t i o ni si n t r o d u c e da st h et o o lt oh a n d l e t h ei n h e r e n tn o n s m o o t h n e s so ft h ev a l u ef u n c t i o n s t h eu n i q u e n e s so ft h ev i s c o s i t y s o l u t i o nt os u c ha nh j b e q u a t i o ni sn o tk n o w n s o 胁 a p p e n d i xc o l l e c t ss o m er e s u l t sw h i c hs u p p l e m e n t i n gt h o s ei ns e c t i o n2 k e yw o r d s ：o p t i m a li n v e s t m e n t ，t r a n s a c t i o nc o s t s ， h y p e r b o l i cl 6 v ym o d e l ，h j be q u a t i o n ， v i s c o s i t ys o l u t i o n 一引言 b l a c k - s c h o l e s 市场模型已被广泛地应用于金融市场的交易操作( 5 ) 在此模 型中，假定股票的价格过程& 服从几何b r o w n 运动，即： d & = p s t d t + & d t 仉( 1 1 ) 这里眠为标准的b r o w n 运动( 2 ) 但由几何b r o w n 运动模型( 1 1 ) 得出的股票 价格与实际数据之间存在较大的误差( 5 ) 其原因可能是假设了市场的随机性来 源于b r o w n 运动所导致的 e b e r l e i n k e l l e r 试图改变随机性的根源他们引入 了所谓的双曲三g ”9 模型，即在所谓的中心对称双曲l d v y 过程的基础上建立起股 票价格的模型( 【5 ) 与几何b r o w n 运动不同的是，中心对称双曲l d v y 过程是一 个带跳的过程许多实证表明这种模型与实际股票价格的拟合要比几何b r o w n 运动来得好( 5 ) 需要一提的是m e r t o n ( 8 ) 也曾经研究过带跳的市场模型，但 那是在几何b r o w n 运动的基础上加上一个p o s s i o n 过程，与中心对称双曲l d v y 过程是不同的 在文献( 5 】) 中，e b e r l e i n k e l l e r 假定股票价格过程p ( s ) 满足如下的随机微 分方程 fd p ( s ) = v ( 8 一) ( 6 如+ c r d x 。+ e 4 x 一x x 。一1 ) ( 1 2 ) ip ( t - ) = p ，0 t ss t 这里，p ( t 一) 表示p ( ) 在t 点的左极限，6 ，a 是给定的常数，墨是一个所谓的 中心对称双曲l d v y 过程( 详见下一节) ，定义于给定的概率空间( q ，f ，p ) 此模 型即是所谓的双曲三”! ，模型 下面我们来介绍一下有关双曲l d v y 模型的发展历史1 9 7 7 年b a r n d o r f f n i e l s e n ( 1 ) 引入了双曲分布( 因其分布密度函数的指数部分为双曲线而得名) ，并 且证明了它的无限可分性他们引入的双曲分布的密度函数为 ，( a p 1 6 v ( z ) = i ：j i ；褊e 一a 网+ p ( z p ) ) ( 1 3 ) 。 、7 2 a 6 1 ( 6 、n 2 一卢2 ) 、。 这里a ，6 ，卢，v 均为给定的实常数，且 6 0 ，o t 0 ，0 1 卢lsa t y p e s e tb y 蛳s - t e x 而k ，( - ) 由下式给出 t ，十广_ t 2 甄( r ) 2 乏万- 。e z p 一n 6 2 + z 2 + 。、。2 一磊) 如，( r r ) ( 1 4 ) 1 9 9 5 年，e b e r l e i n k e l l e r ( 4 ) 考虑了由双曲分布生成的l d v y 过程即假设 x = ( 托) 。 o 是一可分的右连左极的平稳独立增量过程，使得x 。= 0 ，且x 1 具 有的分布密度由( 1 3 ) 确定此时，可以证明( 见 5 1 ) e x t = r e x l , 蹦，+ 南嬲 s ， 其中，k 2 ( - ) 是多类b e s s e l 函数的复杂组合( 见附录) 当v = p = o 时，我们称 x = ( x t ) ， o 为中心对称双曲l d v y 过程 当= p = 0 时，由( 1 5 ) 可见e x l = o ，此时，若记x l 的分布密度函数为 ，1 ( a p ( z ) ，则 小( 。) = 产n 6 ，。( z ) = 丽丽1 e a 厢 ( 1 6 ) 假如五为相应的中心对称双曲l d v y 过程，则可以证明( 见 5 ) ，对任何t o ，x 。 的分布密度函数为 其中 ，t ( a ，( z ) = 妻f 0 - k 。c o s ( p z ) 妒( p ；n ，6 ) d p ( 1 7 ) 妒c p ；a ，a ，= ；：；糌 ( s ， 1 9 9 7 年，e b e r l e i n k e l l e r ( 5 ) 利用中心对称双曲工g y 过程建立了所谓的双 曲工”可模型( 1 2 ) ，并用鞅的方法讨论了欧式期权定价问题 本文运用最优控制理论的思想方法考虑双曲l d v y 模型下的最优投资问题 假定在市场上有一种股票上市交易，股票价格p ( s ) 满足方程( 1 2 ) 与 1 3 】一样 我们假设市场对股票的交易按金额的一定比例收取交易费用设买入费用的比例 为a ( o a 1 ) ，卖出费用的比例为p ( o o ) 并且假定投资者的效用函数为风险中性 的在市场上，投资者通过存借款以买卖股票，其投资目的是使自己在t 时刻的 期望财富值达到最大 本文的余下部分是这样安排的： 第二节给出与本文有关的一些预备知识 第三节给出市场模型与问题的提法与d a v i s 运用效用定价理论讨论连续 时间有交易费时的欧式期权定价问题不同的是，本文讨论的是存借款利率不同， 且市场服从双曲l d v y 模型的情形下的最优投资问题与刘道百的有交易费时的 欧式期权定价也有模型的区别 第四节证明值函数的连续性通过一个合理的假设条件，虚拟一个存借款利 率相同，且无交易费要求的市场，来证明值函数的有界性，并证明了期望意义下 买入股票总财富和卖出股票总财富的有界性及值函数的连续性 第五节给出最优性原理，并导出值函数所满足的h j b 方程 第六节讨论h j b 方程的粘性解在本节中，我们讨论了h y b 方程粘性解 的存在性，粘性解是否唯一尚不知道 附录中补充了一些有关的结果 二预备知识 定义于基本概率空间( n ，f ，p ) 上的一簇随机变量x = ( x t ，z i 、) 叫随机过 程，参数集r 可以是r 中的有限集，可数集或一个区间当t 固定时，五( ) 是 基本概率空间( q ，f ，p ) 上的随机变量，当u 固定时，x ( u ) 是定义于f 上的实 函数，x ) 叫样本函数或轨道( 1 4 】) 为了研究当t 变动时，随机变量簇x = ( 噩，t r ) 的分析性质，需要随机 变量的收敛概念三种主要的收敛概念是依概率收敛，以概率1 收敛及r ( r 0 ) 阶矩收敛( 1 4 1 ) 设有两个随机过程x = ( x t ，t r ) 与y = ( k ，t r ) ，我们称x ，y 为等价 的，如果对每一个t r ，存在零概率集t ，使得对一切u 毛肌成立托( c ，) = k ) 注意，如果r 是不可数集，那么n = u n t 不见得是零概率集，它还有可能是 不可测集( 1 4 】) 随机过程的概率性质是借助概率分布来确定的，因此等价随机过程的概率性 质是相同的但随机过程的分析性质则不然，当我们一般地考虑随机过程等价类 时，不能保证类里每个成员都具有同一分析性质，因为分析性质不能单用它们的 共同分布来描述所以我们要对等价类加以限制，即考虑等价类里的子类，使得 在r 中取极限的结果仍然是可测的，从而所有的分析性质可以用它们的共同分 布来描述这样的限制条件是d o o b 所给出的，它要求参数集f 为不可数集且当 t t o 时，五的上下极限仍应是随机变量，这就要求可以把形如rnj ( 其中， 为开区间) 的集合换成sn ，但不影响上下确界，此处s 是r 的某个可数子集 此限制条件叫可分性( 1 4 1 ) 定义2 1 设i 、是不可数集，x = ( x t ，t f ) 为一随机过程，如果存在r 的一个可数子集s = s j ) 例，使得对任意开区间x ( rn ，a ) ，恒有 i 。n 。f 。，x 。! 靠，巳，。，：要，x q2 。：；：，x t 则称x 是可分的，集s 叫x 的分离集( 1 4 】) 下面我们考虑随机过程x = ( 五，t r ) 的样本性质设存在一个零概率集 ，若当u 时，样本x ( “，) 为r 上的连续函数，则称x 为a m 样本连续如 果存在一个零概率集t 。，使得当u 芒i v , 。时，噩( u ) 一五。( u ) ，( z t o ) ，那么我 们称随机过程x 在t o 处以概率1 连续如果对每个t o r ，随机过程x 都在t o 处一连续，那么称x 在r 上。一连续显然一样本连续必然是a 一连续， 但反之不必然为了把n m 样本连续与o m 连续刻划清楚，我们引入如下定义 定义2 2 若当t t o 时，五譬x 如不成立，即 p j i 砰五= 五。) 。，p ) ，我们定义 乒。= 。￥。于t ， 五+ 2 。9 。只，220 ， 兀一= 。￥。只= “。芝。只) ，2 o _ 且约定五一= 7 0 ，兀。一= 兀。流 五) 。 o 称为右连续的，如果对每个t 0 ，五= 兀+ 定义2 4 设( n ，) 上的一个取值在五+ 竺( 0 ，+ o o 】上的随机变量r ，如果对 每一个z 0 ，有扣i r ) 。一宽停时 定义2 5 设x 为一鞅，若s u p o t 0 ，存在( e ) 0 ，对任意的t 0 ，t 使得 m l ( 。) ) i x t l p ( 幽) s ，则我们称x 为一致可积鞅 定义2 6 一过程称为增过程，如果它的几乎所有轨道为r + 上非降有限右 连续函数 定义2 7 右连左极 兀) 。 。- 适应过程a 称为一个有限变差 五 。 。一适应 过程，如果在任意有限时间上，它的轨道以概率1 是有界变差函数 容易知道，任一有限变差 五) 。 。- 适应过程可表示为两个增过程之差 定义2 8 设m = m d 。 o 一停时h ，且t + o 。使得地“竺尬n n 为一致可积 鞅，则称m 是一个局部鞅如果x = m + a ，其中m 为局部鞅，a 为适应的 有限变差过程，则称x 为一半鞅( 1 5 ) 定义2 9 给定可测空间( q ，) 上取值于 0 ，+ o o ) 的随机变量一和r 记 f 【矿，下) ) = ( t ，) ( 0 ，+ o o ) q ：盯( c ，) t r ( ，) ) ， 【 【吒r 】= 0 ，u ) 【0 ，+ ) n ：盯( u ) st r ( w ) + o 。 我们分别称陋，r ) ) 和【h r 】为左闭右开随机区间和闭随机区间特别地，我们 记 【， = 【，】，称它为一的图 定义2 1 0 设置为中心对称双曲l d v y 过程，其分布密度函数，t 忸一( ) 由 ( 1 7 ) 给出，则我们称 g ( ，t ) 垒e 【e 口五 = 2e 口2 ，t ( n ，6 ( z ) d z ，i ，i 0 为任意，b ( r ) 为r 上的b o r e l 集全体， 则有结论：存在一个几乎所有样本为连续的过程蜀。和与之独立的定义在1 3 。上 的随机测度旷( t ，) ，使得x 有下面的分解： x t = 托。+ z 9 5 ( t ，d z ) 一f 。( t ，d z ) 】+ z 旷( t ，d 。) ( 2 4 ) j 1 2 i 1 这里f 。( t ，b ) = e q 8 ( t ，b ) ，任意的b b 。 进一步，若设召。竺，( 4 。掣。b r ) ) ，这里a 包含满足下列条件的集合 里。b ： 其中b k b 。( e lo ) ，且l i r as u p f 。n ( t ，0 鼠) 。的特征函数讥 ) 竺e e m 量具有下述的 l d v y k h i n t c h i n e 表示 其中 姒p ) ：e x p i i z m t - - 譬以t ) + q ( 刖) ) ，p r ( 2 5 ) q o , ，t ) = ( e “。一1 一i p z 工( j z i 茎1 ) ) f ( t ，d z ) ( 2 6 ) j o o 从而，m t = e x t 。，口2 ( t ) = z ( x t 。一e x , 。) 2 人们通常称形如( 2 5 ) 的特征函数所对应的分布为无限可分律；对任意固定 的t 0 ，称这种特征函数所对应的随机变量是无限可分的，而称f 为三面g 测 度 命题2 1 6 设x = 五，t 【0 ，卅 为可分的依概率连续的独立增量过程， x o = 0 ，则x 平稳的充要条件是其增量咒+ t 一墨作为一个随机变量，其特征函 数形如( 2 5 ) ，其中m t = m t ，0 1 2 ( t ) = 0 1 2 t ，f ( t ，b ) = t f ( 1 ，b ) 可以证明，若 矾h o 为一个标准b r o w n 运动，则对任何t 0 ，w t 是一个 无限可分的随机变量，其l d v y 测度f 为0 ，且m t = 0 ，0 2 ( t ) = t 若置是中心对称双曲l d v y 过程，则对任何t 0 ，x 。也是一个无限可分的 随机变量，特别当t = 1 时，x 1 的l d v y k h i n t e h l n e 表示为 其中 ，十。 妒( p ；n ，6 ) = e z p ( e 。”。一1 一i p x ) g ( z ) d x ( 2 7 ) ，一 夕(z)：高z+”；j；i了；i；i；淼d，+ealzi) ( z s ) 这里j 1 和h 分别为第一类和第二类b e 。s e z ( 见附录) 函数( 4 ，5 ) 下面我们用可分的依概率连续的独立增量过程的特征函数的表示式( 2 5 ) 与 中心对称双曲l d v y 过程的特征函数的表示式( 2 7 ) 来分析中心对称双曲l d v y 过 程的具体性质，记x 的几乎样本连续过程为x ；，则由( 2 7 ) 与( 2 8 ) 知，对中心 对称双曲l d ! v y 过程x 而言，有 m t = e 五。= 0 ，o - 2 ( t ) = e ( 五。一e x t 。) 2 = 0 ( 2 9 ) 所以存在确定性的连续函数，( t ) ，使得 x t 。= ，( t ) 从而若记x 的二次变差为陋，x 】，则由( 2 1 0 ) 可知 x 。，x 。 t = 0 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 命题2 1 7 中心对称双曲上g 口过程x = x d t o 是 0 ，t 】上一个右连续平 方可积鞅并且若是有界停时列，t + o 。，则 噩h ) 。 。 t 是一致可积鞅 ( 这里五晶兰五s 。) 本文下面用到的积分f 均包括端点，即f 竺正如】 命题2 1 8 设x 。为一半鞅，为一r 上的连续凸函数，则，( 五) 为半鞅 ( 1 5 ，p 7 4 d 若y ( ) 为有限变差适应过程，x 与可的二次协变差为 x ，掣 ，则( 见 1 1 ，p 4 5 3 ) x ，引。= 5 x r 句c r ，+ c x ，y t ，。， h = f 。y ( r 一飓+ f s x r 的) + 剐班 卜 h3 陋， 仁 h = 。砷柏+ 小椰朋州啦 卜 命题2 1 9 ( n 6 公式) 令蜀= ( x 。1 ，五2 ，x t 8 ) 为d 维半鞅，若b 为r 4 其中 ，t 引置) _ 甄弱) + 薹z 功酬咒- j d x * j + 帅e 。r l 。) + 主a t l ( b ) ( 2 “) 仉( 曰) = b ( 托) 一b ( x ，) 一d j b ( x ，) a x 。 ( 2 1 5 ) j = l a ) _ i 毛z 或洲五- ) d 僻o 。“) c h ( 2 1 6 ) 功曰= 瓦o b ，d i j b - 瓦0 2 面b ( 2 1 7 ) 且( 2 1 4 ) 中级数o 。! t 仉( b ) 绝对收敛( 见( 1 1 ，1 2 ，1 5 ) ) 命题2 2 0 ( 导数极限定理) 设函数，在点z o 的某邻域u ( x o ) 内连续，且在 矿( z o ) z o 上可导若墨m 0 ，( z ) 存在则，( z o ) 也存在，并且 ，( z 。) 2 撬，( z ) ( 2 1 8 ) 上述命题的证明见附录下面我们来叙述并证明本文要用到的两个定理 定理2 2 1 随机微分方程( 1 2 ) 的解p ( s ) 是一个半鞅，并且由下式给出 p ( 8 ) = p ( t 一) e 5 ( 一2 ) + 9 ( x 一一丑一) ，fs8 t ( 2 1 9 ) 证明设五为中心对称的双曲工”可过程，对固定t 0 ，我们在空间 ( q ，p ( 1 五一) ) 中考虑 d 。= 6 ( 8 一t ) + 口( x 。一x t 一) ， s t 则d 。为 t ，t 】上的一个半鞅，定义p ( 3 ) = p e n 由命题2 1 8 ，它也是一个半鞅 再对这个半鞅用i t 5 公式得 如( 。) = p ( t 一) e d d d ，+ ( p ( t 一) e d 一p ( t 一) e d 一一p ( t 一) e d 一a d 。) + 互1 p ( t e d , - d d 。c ，d 。 利用i x c , x 。 。= o ( 见( 2 1 1 ) ) ，我们容易求得i d a , d 。 。= 0 再将p ( s 一) = p e d $ 代入上式可得 却( s ) = p ( s 一) 6 d 占+ a d x 。+ e 。x 一o a x 。一1 故p ( s ) = p ( t 一) e 6 ( 。一) + 9 ( x - x , - 为( 1 2 ) 的解 定理2 2 2 设 五) 。 11 , x e q ，t 】( 3 ) ，m ( s ) = j 1r a j x e o , ，司( 。) ，其中t ，如为 兀) ， t 一停 时，相应的如，m j 分别为，一和乃，一可测的正值随机变量记纠 z ，t 为 f t 上容许控制全体 对于t 0 ，t ) ，对任何控制( 三( - ) ，m ( ) ) “ t ，t 及( 可，p ，z ) r r + r 相 应的状态变量( ( s ) ，z ( ) ，p ( 。) ) 满足： ( s ) = y + 三( s ) 一m ( s ) ， p ( s ) = p + 卜( r 一) ( 协+ d x r ) + p ( r 一) ( e 兆矗一a a x ，一1 ) ， 。( s ) = z + 。曲( z ( r 一) ) z ( r 一) d r + 8 p ( r 一) ( 1 一p ) d m ( r ) 3 1 一p ( r 一) ( 1 + a ) d 三( 1 - ) 这里，b 与口均为确定的正常数，a ( o a 1 ) ，u ( o p 1 ) 分别为买入和卖 出股票按金额收取交易费用的比例系数，而函数妒( ) 由下式给出： f7 1 ， z 0 妒( z ) = 【r 2 ， z 0 ( 3 2 ) 这里的r ，r z 分别为存款利率和借款利率需要指出的一点是，( 3 1 ) 中第二个 方程是( 1 2 ) 的积分表示形式，并且由( 1 2 ) 解存在唯一，可以得知( 3 1 ) 的解存 在且唯一下面我们假设方程( 3 1 ) 中的b ，满足 0 r 1 6 + l n g ( 盯，1 ) r 2 ，0 口 c 1 ( 3 3 ) 这里的n 由( 1 6 ) 给定，g ( q ，1 ) 由( 2 1 ) 给出 如果股票的价格过程& 服从几何b r o w n 运动，即& 满足( 1 1 ) ，则 舅= 岛e ( 6 一孚) 计。w t ，t20 此时，相应的假设( 3 3 ) 变为0 r 1 b r 2 它的意义为“股票的平均回报率 b ”，高于存款利率低于借款利率协 通过这样的对比，我们容易发现当x 。为中心对称双曲三”，过程时，我们 提出的假设即是说“股票的平均回报率b + l n g ( ，1 ) ”，高于存款利率低于借 款利率r 2 当五为中心对称双曲三”! ，过程时，x 1 的密度函数由( 1 6 ) 给出，对比标 准的几何b r o w n 运动( - n 的密度函数为e 一等) ，可见x 1 的密度函数较腑衰 减慢( 一o o 时) ，从而这一模型描述了股票收益的某种程度上的“厚尾”性，也 就是说“厚尾”问题得到一定程度的表达另外，条件0 0 i a ( ! ，) = 1 ， 可= 0 i i1 + a ，y 0 时，他按市场价格全部抛出y ( t ) 股股票；当y ( t ) 0 时，他通过 运用他在银行中的存款，或向银行借款来平仓从而我们考虑的问题可表述为， 在甜 t ，t 】中寻找最优的( 工( ) ，m ( ) ) 使得指标函数j ( t ，d ；三( - ) ，m ( ) ) 达到最大 我们定义值函数为 矿( t ，d ) =s u pj ( t ，d 工( ) ，m ( ) ) ( 3 6 ) ( l ( ) ，m ( ) ) “ t ，邪 1 2 我们注意到状态z ( - ) 所满足的方程( 即( 3 1 ) 中的第三式) 的系数是随机的， 为了避免这一困难，我们考虑了用增加维数的方法，即考虑状态( z ( - ) ，g ( - ) ，p ( ) ) 从而使我们的问题变为确定性系数的问题 则有 四值函数的连续性 引理4 1 设函数( ) 由( 3 2 ) 给出，则对任意的a o ，b o ( 一o 。，+ o 。) 有 i ( a o ) a o 一( b o ) b o ls7 2 l a o b 0 1 证略 引理4 2 定义函数 g o ( s ) = e ( r ) 如( r ) ，t 。st s j t ( 4 1 ) ( 4 2 ) e z 8 咖) d p ( r ) = 州扣ez 。( b + l n g ( 叫) ) 咖) 咖圳r ( 4 3 ) 证明 由( 2 1 9 ) 和( 2 2 0 ) 及可( ) 的可料性，可得 ，0，j e j ( 小) 却( r ) 2g o ( 。) 2 鼬( r ) 如( r ) )j tj t = e ( e ( ! ，( u ) 畦p ( u ) i ，气一) )( 4 4 ) = e ( y ( u ) e ( d p ( u ) | 兄一) ) 我们不难发现，对任意的s 【u ，t 】有 删8 ) = 酬t 一) e 6 “m x 一兀 f 4 5 1 = p ( t 一) e 6 g ( 仃，1 ) 】5 一“ 对上式关于。在s = u 处求微分可得 e ( d p ( u ) i j 巳一) = p ( u 一) ( 6 + l n g ( ，1 ) ) 也( 4 6 ) 联立( 4 4 ) 与( 4 6 ) 式得 1 3 e ：。如) d p ( r ) = g 小) = e 。( b + l n g ( 叫) ) 灯) 卅- ) d r ( 4 _ 7 ) 证毕下面我们来叙述和证明本节中的主要结果 定理4 3 值函数v ： 0 ，t r 丑r + 一丑是连续的，且存在常数瓯， 使得 v ( t ，z ，p ) l c o ( i = l + i u l p ) ( 4 8 ) 证明( 1 ) 先证y 满足( 4 8 ) 为此，我们先考虑无交易费且存借款利率均为b + h g ( a ，1 ) 时的情形设在 此情形下，投资者在s 时刻的存款为z 6 ( s ) ，财富为z 6 ( s ) ，则 记 d z 6 ( s ) = ( b + i n g ( c r ，1 ) ) z 6 ( 5 一) d s p ( 5 一) d y ( s ) ， z b ( s ) = z b ( s ) + p ( 5 一) 可( 。) ， ( 4 9 ) z 6 ( t 一) = 毋 j b ( t ，d ；工( ) ，l 彳( ) ) = e 睁6 ( t ) + p ( t 一) 可( t ) ( 4 1 0 ) 且记相应的值函数为v 6 ( t ，d ) 记a p ( s ) = p ( s ) 一p ( s 一) ，由分部积分公式( 2 1 3 ) 有 ，a，8 = z + 卯+ ( 6 + l n g ( a ，1 ) ) z 6 ( 1 _ 一) 打一p ( r 一) d ，( r ) j t d t + 。y ( r ) d p ( r ) + j ( 5 p ( t - - ) 旬( r ) 一掣(