（运筹学与控制论专业论文）半变分不等式的上下解方法及应用.pdf

摘要 x9 9 主9 7 0 第i 页 半变分不等式的上下解方法及应用 运筹学与控制论专业 研究生t肖义彬 指导教师。黄南京 摘要t 本文讨论了一类高阶拟线性椭圆半变分不等式，定义了其上解、下 解及端解，将上下解方法推广到了此类高阶拟线性椭圆半变分不等式，并利用 上下解方法证明了其解及端解的存在性以及上下解之间的解集的紧性最后， 我们将所得结果应用到了一类含p - l a p l a c i a n 算子的半变分不等式，得到了其解 及端解的存在性以及上下解之间解集的紧性 关键词上解，下解，伪单调映象，半变分不等式，截断函数，p - l a p l a c i a n 算子。c l a r k e 广义梯度 一 厂l。h一1；。 a b s t r a c t第i i 页 s u b - s u p e r s o l u t i o nm e t h o df o rh e m i - v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e sa n di t sa p p l i c a t i o n m a j o rio p e r a t i o nr e s e a r c h g r a d u a t es t u d e n tlx i a oy i b i n s u p e r v i s o rlh u a n gn a n j i n g i nt h i st h e s i s ，w es t u d yac l a s so fh i g h e rq u a s i - l i n e a re l l i p t i ch e m i - v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s ，d e f i n ei t ss u b s o i n t i o n ，s u p e r s o l u t i o na n de x t r e m a ls o l u t i o na n dg e n - e r a l i z et h es u b - s u p e r s o l u t i o nm e t h o dt ot h i sc l a s so fq u a s i - l i n e a re l l i p t i ch e m i - v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s b yu s i n gs u b - s u p e r s o l u t i o nm e t h o d w ep r o v et h e 髀 i s t e n c eo fs o l u t i o n sa n de x t r e n m ls o l u t i o n sa n dt h ec o m p a c t n e s so fs o l u t i o n s b e t w e e ns u b s o l u t i o na n ds u p e r s o i n t i o nf o rt h eh i g h e ro r d e rq u a s i - l i n e a re l l i p t i c h e m i - v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yu n d e rd o n s i d e r a t i o n s a tl a s t ，b ya p p l y i n go u ro b - t a i n e dr e s u l t sw ep r o v et h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sa n de x t r e m a ls o l u t i o n sa n dt h e c o m p a c t n e s so fs o l u t i o n sb e t w e e ns u b s o l u t i o na n ds u p e r s o l u t i o n sf o ra c l a s so f h e m i - v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yi n v o l v i n gp - l a p l a c i a no p e r a t o r k e yw o r d s ：s u b s o l u t i o n ，s u p e r s o l u t i o n ，p s e u d o m o n o t o n em a p p i n g ，h e m i - v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y , c u 毛- o 丘缸n c t i o n ，p - l a p l a c i a no p e r a t o r ，c l a r k e 8g e n e r a l i z e d g r a d i e n t 第一章绪论 上下解方法是当今研究的一门重要课题，它在研究方程经典解。拟线性、半 线性方程及其系统的可解性以及抛物型方程的可解性都有重要的应用( 参见文 献【1 ，4 ，1 5 ，1 6 ，4 9 d 本章将介绍变分不等式，半变分不等式以及上下解方法相 关理论的发展历史 1 1变分不等式及半变分不等式 自上个世纪6 0 年代，l i o n s ，b r o w d e r ，s t a m p a c c h i a ，k yf a n ，l e m k ，c a r t e ， d a n t i z i g 等人创立了变分不等式基本理论以来，经过了半个多世纪的发展，变 分不等式理论及其应用取得了重要的进展，并日臻完善到目前为止，变分不等 式作为一门应用学科有这广泛的应用背景，它在力学，微分方程理论，非线性分 析，优化理论，控制理论，对策理论。数理经济以及非线性规划等理论中都有广 泛的应用( 参见文献【2 ，3 ，2 0 ，3 5 ，3 7 ，4 4 ，4 7 ，鸫】) 近年来，变分不等式有许多重要的推广，比如涉及集值的，非单调的，俨 单调的、强制的，非( 半) 强制的，模糊的随机的i n - 增生映象的变分不等 式，拟变分不等式，拟似变分不等式已经被研究( 参见文献f 1 8 ，1 9 ，2 3 ，2 4 】) ；与 非凸优化，均衡问题紧密相关的变分不等式也被解决( 参见文献【2 l ，2 2 ，4 4 】) 近 来，作为经典变分不等式的一种重要的推广，半变分不等式也越来越被关注 1 9 8 1 年，p a n a g i o t o p o u l o s 引入了半变分不等式的概念，由于半变分不等式涉及 非凸的能量函数，所以以非凸不可微函数的广义方向导数( 参见文献【14 】) 为基 础，半变分不等式也被广泛的研究例如在文献阳】中，p a n a g i o t o p o u l o s 研 究了强制性半变分不等式和半强制性半变分不等式；在文献f 3 6 l 中，m o t r e a n u 和p a n a g i o t o p o u l o s 研究了半变分不等式的解的极小极大理论及其定性性质；在 文献1 3 3 】中，l i u 和s i m o n 给出了发展型半变分不等式的解的存在性结果；在 文献【5 2 j 中，x i a o 和h u a n g 给出了一类广义拟似半变分不等式解的存在性结 果，关于半变分不等式更多的研究我们可以参考文献【3 0 ，3 1 ，3 2 ，3 6 ，3 8 ，3 9 ，4 1 1 第一章绪论第2 页 经过众多学者二十多年的研究，半变分不等式相关理论已经取得相当的发展， 半变分不等式在非光滑力学、结构力学、工程科学以及经济金融等领域里都被 广泛地应用【3 8 ，3 9 ，4 2 ，4 5 ，5 1 】 1 2 上下解方法 上下解方法是求解一般方程经典解( 强解) 的有效的方法，如今它在研究 方程经典解，拟线性、半线性方程及其系统的可解性以及抛物型方程的可解性 等方面都有重要的应用在文献【1 1 中，a k b 和s a t t i n g e r 运用上下解方法研 究了拟线性、半线性方程以及拟线性、半线性系统地可解性；在文献【4 l 中， b e b e r n e s 和s c h m i t t 运用上下解方法求解了一类带扰动项的抛物方程，并且扰 动项还是未知函数梯度的函数后来，d e u e l ，s w e e t s ，h e s s ，d a n c e r ，k i l r 8 ，c a r l ， h e i k k i l i ，l a k s h m i k a n t h a m ，p a p a g e o r g i o u ，l e ，s c h m i t t 以及其它学者运用上下 解方法研究了一般方程以及一般非线性方程弱解的存在性及其性质( 请参考文 献f 6 7 ，2 5 ，2 6 ，2 9 ，4 3 】) 前面上下解方法的运用都是基于一般的方程以及由方程组成的系统，方程 及其系统结构上的对称性决定了它们上解和下解的自然而直接的定义将方程 及其系统里的等式换成相应的不等式然而。跟方程及其系统不同，变分不等式 和半变分不等式结构不对称，正是其结构的不对称性阻碍了我们定义相应地上 下解并利用上下解方法研究变分不等式和半变分不等式后来，在文献【4 6 】中， p a p a g e o r g i o u ，p a p a l i n i 和v e r c i u o 研究了一类抛物型变分不等式，给出了其上 下解的定义；直到2 0 0 1 年，l e 在文献【2 7 】中定义了变分不等式的上下解，并运 用上下解方法证明了上下解之间变分不等式儡的存在性以及其极大解、极小解 和端解的存在性近来，上下解方法被广瑟地运用来研究变分不等式和半变分不 等式2 0 0 1 年，在文献【2 8 】中，l e 运用上下解方法研究了非强制性变分不等 式，证明了其端解的存在性；2 0 0 4 年，在文献【l o 】和文献 1 1 】中，c a r l ，l e 和 m o t r e a n u 运用上下解方法分别研究了拟线性半变分不等式和拟线性发展半变分 不等式解及其端解的存在性，更多的这方面的研究可以参考文献( 5 ，8 ，9 ，1 2 第一章绪论第3 页 1 3 本文主要工作 受诸多作者关于上下解方法研究的启发和激励，本文把上下解方法推广到 了一类高阶拟线性椭圆半变分不等式，证明了所考虑的高阶拟线性椭圆半变分 不等式解的存在性，解的比较性结果，解集的紧性结果，从而得出了端解的存在 性结果并将我们所得到的结果运用到了一类含p l a p l a c i a n 算子的半变分不 等式，证明了解和端解的存在性以及其解的一些性质 本文按如下方式组织在第一章里介绍了变分不等式，半变分不等式以及上 下解方法理论的发展；在第二章里回忆了本文结论中所需要的一些预备知识， 包括非光滑分析中c l a r k e 广义方向导数，c l a r k e 广义梯度以及非线性分析中 伪单调算子的一些理论，自匣b a n a c h 空间上的满射定理；在第三章里主要介绍 了上下解方法在研究变分不等式理论上的运用，包括变分不等式的上下解的定 义以及上下解之间变分不等式解，极大极小解和端解的存在性这些工作都是 v k l e 所做；在第四章里，我们把上下解方法推广到了我们所研究的一类高阶 拟线性半变分不等式，在第一节里我们介绍了一些必要的假设和定义，在第二 节里我们证明了其解的存在性和比较性结果，在第三节里我们证明了上下解之 间解集的紧性结果以及其端解的存在性结果，在第四节里我们将第一、二节的 结果运用到了一类含p l a p l a c i a n 算子的半变分不等式上，证明了解和端解的 存在性，及其解的一些性质 第二章预备知识 2 1c l a r k e 广义方向导数和c l a r k e 广义梯度 本节我们将回忆有关c l a r k e 广义方向导数和c l a r k e 广义梯度的知识，其内 容我们可以参见【1 4 】 设x 是b a n a c h 空间，x + 为其对偶空间，是空间x 上的点或者向量， 忙h 表示z 的范数，b 和豆分别表示以z 为球心的开球和闭球 定义2 1 1 设c ，是b a n a c h 空间x 的一子集，：u _ + r 是u 上的一函数。 如果对u 中的任何两点石，一，都存在某个非负实数k 使得t i ，( 功一，( 一) l 0 z 一一0 ， 那么，我们称，在u 上满足l i p s c h i t z 条件如果存在某个e 0 ，使得函数， 在z 的领域。+ e b 内满足l i p s c h i t z 条件，则称，在点z 处局部l i p s c h t t z 注2 1 1 函敷，在点。处局部l i p s c h t t z ，但是函数，在点z 处不一定可徽。 也不一定存在经典意义下的方向导数 定义2 1 2 设函敷，：x r 在点z x 是局部l i p s c h _ 。t z 的，口为空间x 中的一向量，称t 帅= h 掣丛掣型v + q o 为，在z 处沿方向口的广义方向导数 命题2 1 1 设，：x _ r 在点z x 是局部l i p s c h i t z 的，且l i p s c h i t z 常数 是k ，则t ( a ) 函数 + ，。b ，t ，) 在空间x 上是有限，正齐次，次可加的，并且满足 i ，。( 毛口) i k h ( b ) 函数，。( z ，) 关于变量( z ，口) 是上半连续的，关于变量口在空间x 上是 l z p s c h t t z 的，且l i p s c h t t z 常数仍然是 4 第二章预备知识第5 页 ( c ) ，。p ，一”) = ( 一，) 。0 ，) 定义2 1 3 设函敷，：x r 在点喾x 是局部l i p s c h i t z 的，我们称。 f 矿x + i ，。0 ，口) 伽，v ”x ， 为，在。处的广义梯度。记为a ，0 ) 命题2 1 2 设，妒：x - r 在点。x 是局部l i p s c h _ l t z 的，且i a p s c h i t 。常 数是耳，则。 ( 8 ) 甜( 习是空间x 上的非空弱紧凸子集，并且对任意的矿甜0 ) ，都有 0 矿0 k ( b ) 对任意的x 中的向量 ，都有 ，。( z ，口) = m a x “z ，口) ：z + a ，( 。) ( c ) 对任意的实数口，o ( a f ( x ) ) = 口p ) ( d ) a ( ，+ 9 ) ( 善) c 甜( z ) + 西( z ) ( e ) a ( ，9 ) ( $ ) cg ( z ) 町( z ) + ，( z ) o g ( z ) ( f ) 如果，( z ) 0 ，则a ( ) ( z ) = 一南a ，( 。) 2 2 伪单调映象及满射定理 第二幸预备知识第6 页 定义2 2 2 设x 是自反b a n a e h 空间，x 。为其对偶空问，如果x 上的映象 r ：x _ 2 0 满足条件 ( a ) 对任意的“x ，t u 为x 上的非空有界闭凸子集 ( b ) 对x 上的任意有限维子空间f 以及x 上的弱拓扑，t ：f 一2 1 是上 半连续的 ( c ) 若 是x 上的任意序列，t f i 二，“：t u n ，使得 l i m s u p ( u ：，t k t ) 0 则对任意口x 都存在与之相应的( 口) t u 使得 ( t + 扣) ，札一 ) l i m i t ( u ：，t k 一) 那么，我们称t 为伪单调映象 命题2 2 1 设x 是自反b a n a c h 空问，x 为其对偶空间，五，t 2 ：x 一2 x 为x 上的二伪单调映象，那么噩+ 乃也是x 上的伪单调映象 定义2 2 3 设x 是自反b a n a c h 空问，x + 为其对偶空问，t ：x _ 2 ”是 x 上的映象， 地 ， t ：) 分别为空间x ，x + 上的序列，且分别收敛别“和u + 如果l m s u p u ：l ，t 一“) 0 ，则有一 矿t u 且( 嵋，饥) 一( i t , ，u ) 那么，我们称t 为广义伪单调映象 命题2 2 2 设x 是自反b a n a c h 空间，x 为其对偶空间，t ：x _ + 2 p 是 x 上的伪单调映象。那么t 也是x 上的广义伪单调映象 命题2 2 3 设x 是自反b a n a c h 空问，x 为其对偶空间。如果t ：x _ 垆 是x 上的有界的广义伪单调映象并且对任何u x ，t u 都是x 上的非空闭 凸子集，那么映象t 是伪单调的 定义2 2 4 设x 是自反b a n a c h 空间，x 为其对偶空问，如果x 上的映象 t ：x 一2 ”的定义域d ( 乃有界或者d ( 乃无界但满足 螋铲一十0 0 当m 0 0 胙酮 那么，我们称异子t 为强制性映象 第二章预备知识第7 页 定理2 2 1 设x 是自反b a n o l c h 空问，x 为其对偶空间。如果t ：x 一2 x 是x 上的强制的伪单调映像，那么算子t 是满射的，即对任意的矿x 。都 存在x 使得，+ t u 第三章 变分不等式的上下解方法 本章我们将利用上下解方法讨论一类变分不等式，证明其解及端解的存在 性其内容可参见文献【2 7 】 ， 设ncj p 为一具有光滑边界a n 的有界领域， x = w 1 p ( q ) 。蜀= w 矿9 ( n ) ，1 p 0 ，p r 以及7 ( n ) 使得 a ( x ，v ) v , 1 l v l 9 i a ( z ，u ) i l v l 1 + 7 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 且a ( z ，- ) 在如下意义下是单调的对几乎所有的q ，所有的u l ，地兄 a ( z ，u 1 ) 一a ( z ，t k ) l ( u l t 乜) 0 ( 3 1 3 ) 第三章变分不等式的上下解方法第9 页 则如下定义的算子l ：x x ( l ( u ) ，垆上，v m 如, v u , vex ， 是连续有界且强制的 设t ，z ：n 一兄为n 上的函数，眠z 为定义在q 上的函数的集合，我们 定义如- f i 已号 az = m i n 伽，： ； v 。= m a x w ，。 ；w a z = 伽a z ：加 彬。z ) ；w v z = w v z ： w , z z ) ；w a z = w a z ；w v z = t w v z 定义s i 1 设函数型w 1 p ( n ) ，若堑满足 ( i ) 笪( 功0v z 触 ( i i ) f ( z ，些) ( n ) ( i i i ) ( 工，一墅) j 毛f 和，型) ( 一墼) 出，v we u a k 那么。我们称函数笪为变分不等式( 3 0 1 ) 的 f ，一下解变分不等式( 3 0 1 ) 的 任意有限个w 一下解的最大，我们称为变分不等式( 3 0 t ) 的下解，记为! 量即 墅= m a x 笪l ，勘) ， 其中，u l ，笪2 鲰为变分不等式( 3 0 1 ) 的w 一下解 定义3 1 - 2 设函数面w 1 p ( q ) ，若西满足， ( i ) 豇( 正) 0 v 。铀 ( i i ) f ( z ，豇) l f ( q ) ( i i i ) ( 工，叫一劭j 矗f 0 ，西) ( t ，一豇) 如， v t t ，面v 皿 那么，我们称函数西为变分不等式( 3 0 1 ) 的w - 上解变分不等式( 3 0 ，1 ) 的 任意有限个w 一上解的最小，我们称为变分不等式( 3 o 1 ) 的上解。记为豇即 豇= m i n 面l ，砚砒 ， 其中，面l ，- 2 砜为变分不等式( 3 0 1 ) 的w 一上解 洼3 1 1 如果集合k 满足条件髟 k c k ( k v c 的，也即是说 ，移k = t p a 臼k ( w ， k 辛t t ，v 甜k ) 则变分不等式( 3 0 1 ) 的任意解都是其下解( 上解) 第三章变分不等式的上下解方法第1 0 页 3 2 解及端解的存在性 设笪= m a x _ u l ，鲍鲰为变分不等式( 3 0 1 ) 的下解，其中乌为变分不 等式( 3 0 1 ) 的肛下解对几乎所有的。q 以及所有的t r ，扰动项f 满 足t f ( z ，u ) i a ( z ) + b l u l 4 ( 3 2 1 ) 其中，o l c ( f 1 ) ，b 为一正常数，且0 茎盯p 一1 则我们有如下的解存在性 定理t 定理3 2 1 设笪j ，j = l ，2 k 为变分不等式( 3 0 1 ) 的w 下解，且满足t 笪j v k c k l j k u = m a x _ u l ，鳓鲰 为变分不等式( 3 0 1 ) 的下解如果f 满足( 3 2 1 ) ，则变 分不等式( 3 0 1 ) 有解 i t ，且满足 n u 定理3 2 2 设弓，j = 1 ，2 k 为变分不等式( 3 0 1 ) 的w 上解，且满足。 码a k c k ，1 j k 面= m i n - l ，面2 砚 为变分不等式( 3 0 1 ) 的上解如果f 满足( 3 2 1 ) ，则变 分不等式( 3 0 1 ) 有解，且满足 面 在本章接下来的讨论中，我么们令 s = “耐9 ( n ) ：“2 笪，勘是变分不等式( 3 0 1 ) 的解 则由定理3 2 1 ，s 0 并且我们有如下的引理 引理3 2 1 集合s 在咏9 ( q ) 空间上有界 第三章变分不等式的上下解方法第1 1 页 我们考虑s c w l 9 ( n ) 上的偏序 牡口 = “( z ) 口( 每) 口e z n 郧么，对变分不等式( 3 0 1 ) 我们有如下的极大解存在定理， 定理3 2 3 如果k 满足k vkck ，kakck 且对任意的变分不等式 ( 3 0 1 ) 的w 下解u _ j ，马v kck ，则变分不等式( 3 0 1 ) 存在极大解u 也即是说“+ 是变分不等式( 3 0 1 ) 的解且如果钍u 是变分不等式( 3 0 1 ) 的 任意解，那么“矿 类似于定理3 2 3 ，对变分不等式( 3 0 1 ) 我们同样有极小解存在定理结合 定理3 2 3 ，我们有如下的极大极小懈存在定理， 定理3 2 4 如果耳满足k v kck ，k a kck 且对任意的变分不等式 ( 3 0 1 ) 的w 一下解筠，w 上解弓，有u _ jv k ck ，玛 kck ，则变分不等 式( 3 0 1 ) 存在极大解矿极小解t 使得 笪t k 札+ 面 也即是说，对任意的变分不等式( 3 0 1 ) 的解笪- ，我们有 饥“t + 第四章半变分不等式的上下解方法 设nc 舻为一具有l i p s c h i t z 边界a q 的有界领域，y 。分别为s o b l e v 空间i p p ( n ) ，w 矿p ( q ) ，m r ，1 p 0 l a l 0 i p l f m ( h 4 ) 对几乎所有的z n 以及所有的f r 肘( ，都存在c s 0 ，l 1 ( f 2 ) 使 得 a 。( z ，f ) 矗c s j p 一如o ) 1 a l _ mi # l f f i m 引理4 1 1 在假设条件( h 1 ) 一( h 4 ) 下，( 4 0 2 ) 定义的算子l ：一v o 是连 续的，有界的，严格单调的并且工还具有s 性质 第四幸半变分不等式的上下解方法第1 4 页 证明由假设h ( i ) 我们很容易得到算子的连续性和有界性算子l 的 严格单调性由假设h ( 2 ) 也很容易得到对于算子工具有g 性质的证明，我们 可以参见文献【3 4 】 口 对于局部l i p s c h i t z 函数j 以及其广义梯度乃，我们假设满足以下增长性条 件， ( h 5 ) 对所有的矗彩( s 1 ) ， = 1 ，2 以及所有的s l ，8 2 满足s l 0 由于p 1 ，那么，算子t ：一2 咐 是强翻i 的 由定理2 2 1 ，算子t 具有满射性质那么。存在“v o 使得，t ( t ) ，即 存在一f i ) j ( u ) 使得f 口( n ) ，对几乎所有的z q ，( 功( “( 。) ) ，并且 l u + a b ( u ) + f = ，i ng o 由对偶积 僖，妒) = f ( 。) 妒( z ) d z ，v 妒 i g 及c l a r k e 广义梯度的功的定义，我们有 任，妒) = z ( 。) 妒( z ) 出z 广( u ( 巩妒( z ) ) 出 ( 4 2 5 ) “2 6 ) ( 4 2 ，7 ) 第四章半变分不等式的上下解方法第1 8 页 因此，在“2 5 ) 一( 4 2 7 ) 中将妒替换为口一t ，我们有 ， ( 工r t 一，+ 日( t ) ，甜一u ) + fj 。， 一“) d 嚣2 0 ，v 盯。 j n 即札v o 是辅助半变分不等式( 4 2 4 ) 的解，从而证明了解的存在性 第二步- 对任意的辅助半变分不等式( 4 2 4 ) 的解牡，型“s - 首先，我们证明对任意的辅助半变分不等式( 4 2 4 ) 的解地 i t , s 面由上解 的定义4 1 2 ，我们有 ， ( t a t , 一， 口一- ) + j 。( 瓦口一瓦) d z 0 v 口面v v o j n 由于面v = 面+ ( 札一面) + 面v 其中， + = 硼v 1 0 ，将其代入上式可得。 ， ( 伪一，( t 一- ) + ) + j o ( _ ，( “一- ) + ) d 0 ( 4 2 8 ) j 0 由于“是辅助半变分不等式( 4 2 4 ) 的解，则有 ， t 1 i o ：( l u 一，+ a 口( “) ， 一t ) + j o ，, f f u ) d z 0 ，v v a ( 4 2 9 ) j n 在( 4 2 9 ) 中取 = i f , 一( 一- ) + v o 可得 ， ( l u 一，+ a b ( t ) ，- 0 一- ) + ) + j o ( “，- ( u 一_ ) + ) 如0 ( 4 2 1 0 ) j n 将( 4 2 9 ) 以及( 4 2 1 0 ) 两式相加可得- ( z 面一l u ，( t 一- ) + ) + a ( b ( 缸) ，- ( u 一- ) + ) + d 4 ( 面，( “一- ) + ) + j 。( t ，- ( u 一面) + ) d z 0 ( 4 2 1 1 ) j n 在接下来的证明中。我们使用以下记号 9 研 ， = ( u 一- ) 出 ( 4 2 1 3 ) j “ 碚 另外，由假设条件( h 5 ) 以及命题2 1 2 ，则存在乏( z ) 西( 面( z ) ) 以及f ( z ) 彩( t ( z ) ) 使得 。 o 。( 西，( u 一面) + ) + j 。( t ，一( 一面) + ) ) 出 ， = 0 。( 面，( u 一_ ) ) + j 。( u ，- ( u 一- ) ) ) d z j t u 耐 = 莩( z ) ( ( z ) 一面( z ) ) + f ( ) ( 一( 仳( z ) 一面( z ) ) ) c b o 扣 _ = 店( z ) 一f ( z ) ) ( u ( z ) 一豇( z ) ) 如 j q - ) 岛( t ( z ) 一面( z ) ) p 如 ( 4 2 1 4 ) o t ” j 由( 4 2 1 2 ) 一( 4 2 1 4 ) ，我们可得， ， ( a c 4 ) ( t ( z ) 一豇( z ) ) d xs0 ( 4 2 1 5 ) j “ 面 取参数a 使得 一c 0 ，那么，由( 4 2 1 5 ) 可得 ( ( t 一_ ) + ) p so j n 也即是说“一面) + = 0 ，从而1 , - 型缸的证明类似于面的证明，从而 有u 让- 口 4 3 端解结果 设s 表示半变分不等式“0 1 ) 在序区间瞳，矧内所有解的集合，相对于给 第四章半变分不等式的上下解方法第2 0 页 定的偏序，解集s 在序区间也，- 】内的最大、最小元素称为半变分不等式( 4 0 1 ) 的端解在本节，我们将证明半变分不等式( 4 0 1 ) 解集s 的紧性以及其端解的 存在性 定义4 3 1 设( r ，s ) 为一偏序集， 皿cr 为r 的一子集如果对任意的 z ，f 皿，都存在z 皿使得茁o ，z ，那么，我们称毋是上方向集如果 对任意的七，f 雪，都存在加m 使得加z ，t t ，s ，那么。我们称m 是下方 向集如果皿既是上方向集又是下方向集，那么，我们称皿是方向集 引理4 3 1 半变分不等式( 4 0 i ) 在序区间匦，司内的解集s 是一方向集 证明由定理4 2 1 ，变分不等式( 4 0 1 ) 在序区间瞳，司内的解集s o 为 了证明我们的引理，我们必须证明解集s 既是上方向集又是下方向集我们只 须证明解集s 是上方向集，解集s 是下方向集的证明雷同设“l ，t 2 s ，我们 考虑如下辅助性半变分不等式， ， 牡v o ：( 眈一，+ a ( t ) ，口一“) + j o ( u ， 一t ) 如0 ，v t ，( 4 3 1 ) ，l 其中，a 0 是待定的参数，类似于n e m y t 8 k i j 算子b ，我们定义n e m y g s k i j 算 子 ( “) = 6 ，( 口，( z ) ) ， 其中，6 ，：nx r r 为截断函数，定义为 1 ( s 一面( z ) ) 一1 ， 8 面0 ) ， 6 ，忙，8 ) = 0 ，t 0 ( z ) ss 面( z ) ， i 一( 蛳( 霉) 一s ) p - 1 ，8 ， = 7一( u o ( x ) 一t 扛) ) p 一1 ( t “一t ) 如 j “ u ， 一 ( u k ( x ) 一u c x ) ) d x( 4 3 5 ) j 。( t ，( u k 一“) + ) + j 。( u k ，- ( u k t ) + ) d z j n 兰fc 4 ( u d x ) 一“( 功) d x j 。- 由( 4 3 3 ) 一( 4 3 6 ) ，我们有 ， ( a c 4 ) “( 0 ) 一“0 ) ) p d s0 ( 4 3 7 ) j q 取参数a 使得a c a ，由( 4 3 7 ) 我们可得u k u 那么，s 是上方向集，如前 所述。s 是方向集 口 引理4 3 2 半变分不等式( 4 0 1 ) 在序区间匝，- 】内的解集s 在上是紧集 证明对任意的t es ，因为u 在序区间阻，司内，所以解集s 在妒( n ) 空 间内有界由于“s 为半变分不等式( 4 0 1 ) 的解，我们有 ， t 正v o ：( l u 一， 一“) + j 。( u ，口一1 正) d z 0 ，v t ，v o 第四章半变分不等式的上下解方法第2 2 页 特别地取口= 0 ，可得 ， ( l u ，t ) ( ，) + j o ( u ，- u ) d x j o 由y o n g 不等式( 参见【l _ 7 】) ，对任意的，存在e ( ) 使得 ( ，“) c ( e ) l l f l l l v 7 0 ，+ e 0 u 0 讫 由假设条件( h 4 ) ，我们有 ( 4 3 8 ) ( 4 3 9 ) ( 酬= z 聂讹”一，d m u 矽“出 2 缸毛酬k 删如 2c 3 0 u 0 讫一0 0 l - ( n ( 4 3 1 0 ) 而且，对某个f 国( “) ，由假设条件( h 6 ) 以及命题2 1 2 ( b ) ，我们可得 上广( u ，一q ) 如= 上一如 i 札l c 5 ( 1 - i - h 叫) 如 = 岛川t i + 川9 ) 如 sc 5j n l l 0 “0 p ( o ) + c 5 0 “8 0 ( n ) ( 4 3 1 1 ) 因此，对任意的e 0 ，由( 4 3 8 ) 一( 4 3 1 1 ) 我们有 臼。训i o 如工- ( n ) + g 忙) o ，：+ e i i , , i i ：o + c 5j q l l o 训j p ( n ) + c 5 1 1 训l 各( n ) 由于s 在p ( q ) 空间是有界的，所以取充分小的s 我们可得占在空间是有 界的 设 s ，则存在 的子序列 t 使得在空间内i t 由于 空间1 ：o 能紧嵌入到口( n ) 空间，则在空间三，( n ) 内一让，u k ( z ) 在n 内几 乎处处收敛到u ( z ) ，且阻，司由于t s 是半变分不等式( 4 0 1 ) 的解，在 ( 4 0 1 ) 中我们取口= t 可得， ( h t 一，- - u k ) + 上烈u 舭一u 渺 0 第四章半变分不等式的上下解方法第2 3 页 也即是 ( l u k ，t k 一) ( ，魄一t ) + j 。( t “，“一u s ) d z ( 4 3 1 2 ) j n 由命题2 1 1 ( b ) ，( s ，r ) 一j o ( s ，r ) 上半连续的，因此由f a t o u 引理我们可得 u m s p j 。( “h u 一“t ) 如上u m s u p j 。( b k ，b - - u s ) 如= 。( 4 3 1 3 ) 从而由( 4 3 1 2 ) 以及( 4 3 1 3 ) 可得- l i r as u p ( l u s ，饥一u ) 0 ( 4 3 1 4 ) 由引理4 1 i ，算子工具有舅性质因此，由( 4 3 1 4 ) ，i i o 中的弱收敛序列 “i 收敛到“，即讥_ t 根据f a t o u 引理，我们在如下的不等式两端取上极限 ( 饥一，”一饥) + z j 。( u s l ”- - u s ) 出。， 可得t 胁- ，”叫+ z 八“，”叫如 o ， 那么，u 为半变分不等式( 4 0 1 ) 的饵即，u s n 由引理4 3 1 以及引理4 3 2 ，我们可得如下的端解结果t 定理4 3 1 半变分不等式( 4 0 1 ) 存在端解 证明由于s o b l e v 空间是可分的，则解集s c v 0 也是可分的因此， 存在s 的可数稠密子集设为z = 钿：他 由引理4 3 1 ，s 是上方向 集，我们可以构造如下的s 中的递增序列 cs ，设m = z l ，t 件1 s ， m ， u n + l 面由引理4 3 2 ，解集s 在空间上是紧集，则存在 的子序列 t m 以及“s 使得t 在中t h u 且在q 内t 。( o ) 几乎 处处收敛于u ( o ) 而且，由于序列 是单调递增的，则t ，l 一“且缸= s u p u n 根据稠密子集z 的构造，对任意的n ，我们有 m a x z 1 ，忽，一， t ，