（应用数学专业论文）带时滞的反应精馏模型的数值模拟.pdf

北京化工大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：亟) ! 滥日期：趁! ! 皇! 立2 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京化工大学有关保留和使用学位论文的 规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京化 工大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分 内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在上l 年解密后适用本 授权书。非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 作者签名：童：l 遴 一 日期：丝! ! ：上：三2 导师签名：鸳注牝日期：j 也纠r j 二啡 学位论文数据集 中图分类号 0 2 4 1 8 学科分类号 11 0 8 7 论文编号 1 0 0 1 0 2 0 1 1 0 9 5 6 密级非保密 学位授予单位代码 l 0 0 1 0 学位授予单位名称北京化工大学 作者姓名刘凤梅学号 2 0 0 8 0 0 0 9 5 6 获学位专业名称应用数学获学位专业代码 0 7 0 1 0 4 课题来源自选项目研究方向偏微分方程数值解 论文题目 带时滞的反应精馏模型的数值模拟 关键词反应精馏指标时滞微分代数方程组 论文答辩日期 2 0 1 1 - 5 - 2 0 论文类型应用研究 学位论文评阅及答辩委员会情况 姓名职称 工作单位学科专长 指导教师 黄晋阳 教授 北京化工大学微分方程 评阅人1施小丁 教授 北京化工大学偏微分方程 评阅人2李竞副研究员中国科学院数学研究所偏微分方程 评阅人3 评阅人4 评阅人5 答辩委员蝴李竞副研究员中国科学院数学研究所偏微分方程 答辩委员1 许兰喜 教授 北京化工大学微分方程 答辩委员2施小丁教授北京化工大学偏微分方程 答辩委员3江新华教授北京化工大学偏微分方程 答辩委员4吴开谡副教授北京化工大学微分方程 答辩委员5 注： 一论文类型：1 基础研究2 应用研究3 开发研究4 其它 二中图分类号在中国图书资料分类法查询 三学科分类号在中华人民共和国国家标准( g b t1 3 7 4 5 - 9 ) ( 学科分类与代码中查询 四论文编号由单位代码和年份及学号的后四位组成 摘要 带时滞的反应精馏模型的数值模拟 摘要 反应精馏是一种特殊的精馏形式，它将化学反应和分离过程藕合在 一个设备中同时进行，对某些特定的精馏分离过程有一定的优势。反应 精馏已成为化工自动化领域的研究热点。本文对反应精馏技术的研究现 状及其应用进行了综述，并讨论了常用的反应精馏模型。为更好地吻合 实际的反应精馏过程，构造了带时滞的反应精馏模型，并给出了其数值 求解方法。与传统的数值解法不同，我们先将模型化为指标为1 的微分 代数方程组，然后应用m a t l a b 中的o d e l 5 s 函数来求解。 应用以上思想对m t b e 反应精馏系统进行模拟，将实验数据与上述 方法的模拟结果进行比较。结果表明：模拟结果与已有文献3 1 中的数据 吻合良好，这说明此算法是可靠的，并且计算结果能具有足够的精度。 另外，从分析时滞对实际反应精馏操作过程的影响我们可以知道该模型 考虑的条件更全面，是有其实际意义的。 关键字：反应精馏，指标，时滞，微分代数方程组 北京化工大学硕士学位论文 u 摘要 n u m e r i c a ls i m u l a t i o nf o r r e a c t i v ed i s t i l l a t i o nm o d e l s w i t ht i m ed e l a y a b s t r a c t r e a c t i v ed i s t i l l a t i o n ( r d ) i sas p e c i a ld i s t i l l a t i o nf o r mw h i c hc o m b i n e s r e a c t i v ea n ds e p a r a t i o np r o c e s si no n eu n i q u ee q u i p m e n ta n dh a s t h e a d v a n t a g e st os o m ed i s t i l l a t i o ns e p a r a t i o np r o c e s s r e a c t i v ed i s t i l l a t i o nh a s b e c o m ear e s e a r c hh o ts p o ti nt h ec h e m i c a la u t o m a t i o nd o m a i n i nt h i s p a p e r , t h ed e v e l o p m e n ta n dt h ea p p l i c a t i o n o ft h er e a c t i v ed i s t i l l a t i o ni s r e v i e w e d ，a n dt h ef r e q u e n t l y u s e dm o d e l sf o rr da r ed i s c u s s e d t om a t c h t h ea c t u a lr e a c t i v ed i s t i l l a t i o np r o c e s sb e r e r ，ar dm o d e lw i t ht i m ed e l a yi s c o n s t r u c t e d a n dan u m e r i c a lm e t h o df o rt h em o d e li sg i v e n d i f f e r e n tf r o m t h et r a d i t i o n a la l g o r i t h m s ，t h ea l g o r i t h mi sc o n s t r u c t e db yr e d u c i n gt h e m o d e l st od i f f e r e n t i a l a l g e b r a i cs y s t e mw i t hi n d e x1a n ds o l v i n gi tw i t h f u n c t i o no d el5 si nm a t l a b am t b er e a c t i v ed i s t i l l a t i o nc o l u m nm o d e li ss i m u l a t e da san u m e r i c a l e x a m p l e t h en u m e r i c a lr e s u l t sm a t c h w e l lt h ed a t ai nt h er e f e r e n c e31 t h e e x a m p l ei l l u s t r a t e st h a tt h ea l g o r i t h mi sq u i t ee f f i c i e n tf o rs t i f fi n i t i a lv a l u e p r o b l e m sa n dc o m p u t a t i o n a lr e s u l t sw i t he n o u g hp r e c i s i o nc a nb eo b t a i n e d 北京化工大学硕士学位论文 b yi t m o r e o v e r , f r o mt h ea n a l y s i so ft i m ed e l a y si n f l u e n c et ot h ea c t u a l r e a c t i v ed i s t i l l a t i o no p e r a t i o n ，w ec a nk n o wt h a tt h i sm o d e li sm o r ec o m p l e t e c o m p a r e dw i t ht h et r a d i t i o n a lm o d e l sa n dh a sp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e k e yw o r d s ： r e a c t i v e d i s t i l l a t i o n ，i n d e x ，t i m e d e l a y ， d i f f e r e n t i a l - a l g e b r a i ce q u a t i o n s i v 目录 目录 第一章绪论i 1 i 引言 i 2 相关背景 1 2 i 平衡级模型 1 2 2 非平衡级模型 1 2 3 非平衡池模型 1 2 4r d 过程的传统数值模拟 1 3 本课题研究的内容 第二章刚性问题及指标问题9 2 i 带时滞的反应精馏模型的建立9 2 2 指标问题1 0 2 2 1 降指标方法1 2 2 3 刚性问题1 3 2 4 刚性问题算法比较1 3 第三章高指标微分代数方程组的解法介绍1 5 3 1 多步法1 5 3 1 1 数值解的存在唯一性1 5 3 1 2 扰动的影响1 7 3 1 3 局部误差1 9 3 2r u n g e k u t t a 法1 9 3 2 i 非线性系统2 0 3 2 2 局部误差估计2 l 第四章数值模拟2 5 v 北京化i ：大学硕十学位论文 4 1 模型降指标及离散化2 5 4 1 1 对方程组做降指标处理2 5 4 1 2 离散化2 5 4 2 算法实现及流程图2 6 第五章算例2 9 5 1 5 2 5 3 5 4 参考文献3 7 附录3 9 致谢4 l 研究成果及发表的学术论文4 3 作者和导师简介4 5 9 2 5 5 2 3 3 3 识 一 一 一 知 一 一 一 学解析 一 化求分 一 关例果论相算结结 目录 c o n t e n t s c h a p t e r1i n t r u d u c t i o n - - 1 1 1i n t r u d u c t i o n - 1 2b a c k g r o u n d 1 2 1e q u i l i b d u ms t a g em o d e l sf o rr d 1 2 2n o n e q u i l i b r i u ms t a g em o d e l sf o rr d - 1 2 3n o n e q u i l i b r i u ms t a g ec e l lm o d e lf o rr d 1 2 4t r a d i t i o n a ln u m e r i c a ls i m u l a t i o nf o rr d 1 3r e s e a r c h c h a p t e r 2s t i f fa n di n d e x 9 2 1m o d e l l i n ga n ds i m p l i f i c a t i o n 9 2 2i n d e x 1 0 2 2 1m e t h o do f d r o p i n gi n d e x 1 2 2 3s t i f f e q u a t i o n s 1 3 2 4c o m p a r i s o no f a l g o r i t h m sf o rs t i f f e q u a t i o n s 1 3 c h a p t e r3m e t h o d s f o rd i f f e r e n t i a l - a l g e b r a i ce q u a t i o n so fh i g h e r i n d e x 1 5 3 1m u l t i s t e pm e t h o df o ri n d e x2d a e 1 5 3 1 1e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f n u m e r i c a ls o l u t i o n 1 5 3 1 2i n f l u e n c eo f p e r t u r b a t i o n s 1 7 3 1 3t 】 1 el o c a le r r o r 1 9 3 2r u n g e k u t t a m e t h o d sf o ri n d e x2d a e s 1 9 3 2 1t h en o n l i n e a rs y s t e m 2 0 3 2 2e s t i m a t i o no f t h el o c a le r r o r 2 l c h a p t e r4s i m u l i t i o n 2 5 v u 北京化工大学硕士学位论文 4 1r e d u c ei n d e xa n dd i s c r e t ee q u a t i o n s 2 5 4 1 1r e d u c ei n d e x 2 5 4 1 2d i s c r e t ee q u a t i o n s 2 5 4 2a l g o r i t h ma n df l o wd i a g r a m 2 6 c h a p t e r5e x a m p l e 2 9 5 1r e l a t e dc h e m i c a lk n o w l e d g e 2 9 5 2s o l u t i o n e x a m p l e 3 2 5 3a n a l y s i s ：；5 5 4c o n c t u s i o n ：；5 r e f e r e n c e s 3 7 a p p e n d i x 3 9 t h a n k s 4 l r e s e a r c hr e s u l t sa n dt h ep a p e rp u b l i s h e d 4 3 i n t r o d u c t i o nt ot h ea u t h o ra n dt h ei n s t r u c t o r 4 5 v i 符号说明 上角标 y 三 f 符号说明 组分数 塔板数 液相摩尔分数 汽相摩尔分数 相平衡系数 温度，k 汽相流率，m o b s - 1 液相流率，m 0 1 s 1 进料量，t o o l s 。1 进料比值 滞留量 化学计量系数 反应体积 回流比 焓值，c a l m o t l 第n 级塔板的流液量，m 0 1 s 1 反应速率，m o l ，1 m 。 活度因子 偏心因子 理想气体热容，c a l m o t l 心1 临界温度，k 蒸气压，砌 时间，j 侧线流量与级间流量的比值 汽相 液相 进料 i x c研助乃巧与乃研砺w亏尺毋g口卿。疋，咖 北京化工大学硕士学位论文 下角标 j l m 塔板号 组分号 第m 个反应 x 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 化学工艺过程一般分为三个部分：原料提纯、反应和产物精制。原料提纯及产 品精制过程通常会涉及分离工程学科的内容。尽管有化学吸附等反应过程存在，但 原料提纯和精制过程大都基本属于物质相态变化的操作过程，而反应部分则主要会 涉及到催化及反应工程学科。若将反应及精馏过程合二为一，也就是说化学( 或催化) 反应及精馏过程在一个设备中同时进行，这便产生了一个新的概念反应精馏 ( r e a c t i v ed i s t i l l a t i o n ，简称r d ) t 。反应精馏其实早在1 8 6 0 年开始就已经被广泛应 用于各种化学过程中，但直到1 9 2 1 年，r d 概念才由b a c k h a u s 首次提出【2 j 。r d 概 念自提出以来，经历了从2 0 世纪3 0 年代到6 0 年代对反应精馏工艺研究探索，但大 部分都是针对于特定体系的，并且这部分工作也都局限在板式塔中，主要是均相反 应精馏的研究，到了1 9 6 5 年以后，反应精馏的一般规律的研究才开始进入人们的视 线。与传统方法相比，反应精馏具有提高转化率，提高选择率，化学反应过程易控 制，节省资金，节省设备占用空间，避免共沸物的形成，提高产物纯度，避免热点 形成及飞温等这些优点【3 1 。r d 技术虽然有种种优点，但在使用时也同时受到了各种 各样的限制，如：催化剂寿命至少要求1 - 2 r ，要求化学反应为液相反应，要求泡点 温度与反应温度相同，反应停留时间不能过长且要求催化剂充分湿润，要求反应不 为强吸热反应，反应物与产物的分离的可行性方法应包括精馏，在反应精馏工艺的 研究和开发时，这些限制条件都是要给予从分注意的1 4 j 。 精馏与化学反应问的相互影响是非常复杂的，正因为如此，物系问所呈现的通 常是非理想性的，这便使得设备参数及操作条件的细微变化，便会对r d 的操作规 律产生很大的影响，因此，反应精馏的优势要想得到一定或者充分的发挥，设备和 工艺条件的选择是很重要的，只有选取合适的工艺条件及设备，才能达到精馏与反 应的最佳配合【5 1 。反应精馏的复杂性是其特有的，现阶段人们对反应精馏的认识也 还没有特别透彻，仍然需要进一步的提高，在反应精馏工艺的控制，设计，操作等 方面的研究也都仍然存在着很多的困难。由于反应精馏实际操作过程的复杂性及各 方面的困难，这便刺激了计算机模拟的发展，随着计算机的发展，有必要通过数学 模拟的方法来对该装置进行模拟分析，从理论上深入探讨分析r d 工艺的设备参数， 优化操作，生产规律等。1 9 7 0 年以来，反应精馏相关的研究更多的是依赖于数学模 拟的研究，而不是单纯工艺上的操作研究，就口前的研究方法及研究结果来说，r d 过程的数值模拟，大部分模型的建立都是采用反应速率方程r 与描述精馏过程的 m e s h 方程组相结合的方式。描述r d 过程的非线性方程组有很多种分类，如果是 北京化工大学硕士学位论文 根据数值求解方法的特点来分的话，大致可分为以下几种：松弛法、泡点法、简捷 法、牛顿拉夫森法、同伦连续法、分块法、解离法等。松弛法和泡点法的模型较简 单，对初值的要求不高，计算方便，占用内存也少。但在反应精馏高度非线性方程 组的求解时，经常是难以收敛的，因此近期文献则广泛采用牛顿( 或其变形) 法来对 所有的独立方程进行同时求解，s i m a n d lj t 6 】及k a i b e lg 【7 j 在其文章中都有提到用牛顿 或其变形的方法来模拟反应精馏的实例。而牛顿法具有收敛速度快，消耗内存大， j a c o b i 阵的计算耗时长且对初值要求严格等特点，所以寻求更先进的数值方法及模 型也是具有更重要的意义的。 1 2 相关背景 反应精馏按照不同的标准来分可以分为不同的类，例如：按反应物系所涉及的相 态来分，可分为均相反应精馏和非均相反应精馏；按反应和精馏的不同耦合方式来分， 又可分为如下两种结构方式：催化反应和精馏分离同时进行；催化反应和精馏分离交 替进行。而对反应精馏过程的模拟的研究一直以来都是r d 领域讨论度最高的问题之 一，模拟方法分为两种：动态模拟，静态模拟。在应用数学模型对该过程进行模拟时， 数学模型的建立是非常重要的，是对r d 过程进行理论分析及模拟的基础。r d 过程模 拟在算法与数学模型上来分目前可分为三大类平衡级模型，非平衡级模型及非平 衡池模型【8 1 。下面介绍文献资料中所出现的r d 模拟的模型及算法。 1 2 1 平衡级模型 反应精馏塔由三部分组成：自上而下依次为，精馏段，反应段和提馏段。r d 过程的平衡级模型( e q u i l i b r i u m ，简称e q ) 剧e 普通精馏过程平衡级模型【9 1 的基础上 发展而来的，所以其过程模拟也与其相似，只需把表示反应的项加入到液相物料衡 算方程中即可( 传统精馏的平衡级模型中) 。 尽管对反应精馏过程的模拟计算方法有很多种，但所用的平衡级模型在选取上是 基本一致的，即给出所有塔板上都是理想混合的汽液两相的假设，汽液两相在离开塔 板时是平衡的，并且仅有液相存在反应的发生。类似于一般的精馏过程，选取m e s h 方程组来对平衡级的反应精馏模型进行模拟。反应精馏系统中存在的各种关系如下图 所示： 2 第一章绪论 图l 一1 第，层塔板 f i g 1 1t h ee q u i l i b r i u ms t a g e 图1 - 2 精馏塔 f i g 1 - 2m u l t i - s t a g ed i s t i l l a t i o nc o l u m n 在以上提到过s j m e s h 模型中，四个字母是分别代表不同的方程。物料衡算方程 ( 峋，并且总的物料衡算方程形式如下： 等叱。心+ - ( 1 + 盱( 1 + 彳) t + 砉弘 ， q = l ，2 ，加( 1 - 1 ) 3 北京化： 大学硕士学位论文 组分物料衡算方程( 忽略汽柏滞留量) 为： 掣= _ + y i , j + i + l j - i x j , j - i + _ ( 1 瑚， 一( 1 + 彤) x “+ 哆，。见巳 其中 e 方程代表相平衡关系式： ( i = 1 ，2 ，c 了= ，z 聊( 1 2 ) r j v = s ：iv j ，r ；= s ：jl j l i ：12 m s 方程代表摩尔分数加和方程： h 方程代表总能量衡算方程： 乃，j = 墨，j 薯。j ( ，2 j ，z 2 v ) ( 1 3 ) 乃，= 1 0 0 - = 1 ，九2 v ) ( 1 4 ) f 皇l 坐旦= 巧+ 。取。+ t 砟。+ 弓彤川+ ) 巧彰_ ( 1 + 彤) 彰一g ( - - 1 ，2 j 加( 1 5 ) 上述方程中带有上角标的h 是相应相中的焓值。左侧时问导数项中的焓值代表 塔板上总的焓值，在计算中一般忽略汽相焓值而只取液相焓值即可。另外，有时会 将表示反应热的项加入到能量衡算方程中，而在实际上，如果焓值的基准态是个组 分的元素状态的话，那么反应热便不需要用单独项表示出来，而可以自动计入到焓 值中。 当反应精馏条件是稳态时，以上的方程组( 1 1 ) ( 1 5 ) 中关于时间的导数项则均 取为零。上述的m e s h 模型中还包含有反应动力学方程，而快速液相的可逆反应中 缺少动力学方程，这时通常用化学平衡方程来代替动力学方程，而在慢反应中，反 应可能会进行到的最大程度则可以用化学平衡来估计。另外，上述模型中还给出了 汽一液相焓与相平衡常数之间的关系式。 1 2 2 非平衡级模型 反应精馏的非平衡级模型( n e q ，全称n o n - e q u i l i b r i u m ) 也称为反应扩散模型， 4 第一章绪论 是朋双膜理论来描述气液两相的相界面状况。为了更完整的描述反应精馏过程，详 尽地考虑化学反应与传递过程之间的相互作用是非常必要的。反应精馏过程的非平 衡级模型是从普通精馏过程速率级模型演变发展而来的。尽管如此，r d 过程的非 平衡级模型的建立并不像该过程的平衡级模型的建立那么的直接了当，首先是反应 类型的确定，即反应是否是均相的或者非均相的。汽液相物料衡算与能量衡算方程， 归一化方程，汽液相传质和传热通量方程，汽液相焓及相平衡常数关系式，相界面 平衡关系式，汽液相传质传热系数以及反应速率的特征方程等都是完整的非平衡级 模型所应包含的方程。另外，反应精馏塔的水力学关系式也应包括在模型中。 1 2 3 非平衡池模型 与平衡级模型相比较，非平衡级模型缺少了对于平衡级的假设。这种假设在小 型设备中不会引起太大的误差，而对于大型的设备而言，会引起涡旋扩散及汽液两 相的流动不均匀等问题，从而使得传统的平衡级及非平衡级模型不能准确的描述上 述反应精馏过程，于是便产生了非平衡池模型。 反应精馏过程的非平衡池模型( n o n - e q u i l i b r i u mc e l lm o d e l ) 的概念是k r i s h n a t l o 】 等在1 9 9 9 年提出的，该模型有如下特点： i 用m a x w e l l s t e f a n 方程】来描述流体相间的传质； i i 假设化学反应仪发生在液相 i l i 扩散层内的化学反应与传质耦合在起 在多个充分混合的汽相，液相池l | ，其流动方向是任意的。 当化学反应被抑制时，非平衡池模型则动态描述了常规精馏塔的状态。非平衡 池模型的每一级塔板都被分为很多相互连通的小池子，这些小池子只描述每层塔板 上的一小部分。汽液两相进入塔中时都被分到各个小池子中去，这样有利于研究流 动方式以及分布不均匀对于反应精馏的影响，从而进一步完善了非平衡级模型模型。 1 2 4 舳过程的传统数值模拟 对于有关r d 过程模型化的稳态平衡级模型，早期文献的重点绝大多数都放在 稳态平衡级模型求解方法的开发上。并且这些方法大部分都或多或少的由传统精馏 的求解方法直接推广演化而来的，现在把基于计算机的，用于平衡级模型方程组的 求解计算方法作如下分类： s h o r t c u tm e t h o d ，简捷法是把大量简化假设作为基础的情况下，导出便于快速 计算的、形式简单的近似化方程组。但因为很多方法巾，化学反应会影响到整个过 程，所以要找到r d 过程适用的通用简捷法程序是很困难的。b o c kh 等在其文章中 5 北京化工大学硕士学位论文 表明，简捷法中常用到的化学平衡假设实际上对于大多数的反应精馏过程是不恰当 的【1 2 】。 反应精馏模拟领域的近期文献则大量广泛的用n e w t o n 或其变形法来计算，对 所有的独立方程进行同时求解，这种方法的优点是收敛速度快，可同时对于初值的 选取也是有着非常严格的限制的【l3 1 。 r e l a x t i o nm e t h o d ，松弛法的原理是用非稳态的形式来表示m e s h 方程组，并在 其达到定态之前不断对其做数值积分的处理。k o m a t s u 曾采用这种方法来计算，并 将他的一个实验结论与e q 模型的计算结果做了对比，对比的结果显示：从定性的 角度来看，平衡级模型的组成分布是正确的【1 4 】。但在实际的模拟过程中这种方法却 并不被经常的使用，因为松弛法的计算需要大量的时问。 h o m o t o p y - c o n t i n u a t i o nm e t h o d ，同伦连续法则经常被用于用其他方法( 如n e w t o n 法) 难以解决的问题上。这种方法是被c h a n g 和s e a d e r 首次应用于r d 操作f ”】。对 于这种方法的具体细节，w a y b u m 和s e a d e r 在其撰写的文献【1 6 】中有提到，可供读者 参考。同伦连续法由于其特殊性，对定位多定态及参数敏感性研究是十分有效的。 m i n i m i z a t i o nm e t h o d ，极小值法是p o w e u 开发的，1 9 8 8 年，a l e j s k i ，s z y m a n o w s k i 和b o g a e k i 应用该算法求解了m e s h 方程组，但这种算法的收敛速度很慢f 1 7 】。 除上述几种方法外，有些作者则是通过改变方程的形式来计算r d 过程，如通 过加入变量，便可将反应精馏过程发生平衡反应的模型转换为一般的精馏过程模型， 这样做的好处是参加迭代的变量个数变少了，对于反应量的计算也避免了，这样处 理后则很容易可以用处理传统精馏的方法来对该模型计算，但由于这种模型有较强 的非线性性，所以算法采用丰体为n r 法，初始值用松弛法来计算的方式米对模拟 计算r d 过程【i8 1 。 用平衡级模型的改进模型米模拟r d 过程，也是有些作者在其文章中用到的模 拟方法，但这种模型的可靠性不高，原因是模型中涉及了板效率因子( a n 入到相平衡 方程中) ，而该因子是非常复杂且化学反应对其影响很大的，所以板效率因子的估计 是很难的3 1 。 与和r d 过程有关的e q 级模型相比，n e q 级模型中的方程个数要多很多，因 为n e q 级模型中多加入了传热阻力和汽液相传质的因素，而且n e q 级模型的非线 性性也更强，所以数值求解难度也就越大。在平衡级模型的求解中提到的几种方法 对非平衡级模型也并不适用，因为若非线性方程组用对初始条件要求苛刻的n e w t o n r a p h s o n 方法进行求解，从实践中可以知道，反应精馏过程的数值模拟的初值选取 是非常难的。而若用松弛法求解，想要得到收敛的结果也是很困难的。考虑到以上 两种方法的特点，将两种方法结合起来是对r d 过程的n e q 级模型进行数值求解是 一种有效算法。另外，因为同伦连续法具有很强的全局收敛性，所以在选取适当的 初始值的情况下，可以用这种方法解出非平衡级模型的多个解甚至是全部解。虽然 6 第一章绪论 从计算效率上来说，与n e w t o n 法相比同伦连续法不如其计算效率高，但如果是从 结果的可靠性及对系统的参数敏感性研究的角度来说，同伦连续法却远远优于 n e w t o n 法，所以同伦连续法是大部分学者会采用的方法。现阶段，为了更好的研究 反应精馏过程中的传质现象，国外已经拥有了非线性、以同伦连续法为基础并借助 一定的软件来简化非平衡级模型计算( a u t o 数学软件) 的动态系统，专门用于研究 这个传质问题【l 训。 1 3 本课题研究的内容 本文建立了带时滞的反应精馏模型并选取相应算法对其进行数值求解。在前几 节所介绍的模型中，无论是平衡级模型，非平衡级模型，还是非平衡池模型，在模 型的建立过程中都没有考虑到时滞( a p 时间延迟) 的问题，即液相从上一级塔板到下 一级塔板所用的时间，及汽相从下一级塔板到上一级塔板所用的时问，但在实际反 应精馏工艺中，这部分时间是确实存在的。在以往的反应精馏模型巾，没有将时滞 因素考虑进来，但通过从模型到算法的选取的研究，模拟结果已经达到一定的精度， 所以我们有权相信，若能将时滞的因素加到已有的较好的模型中，并选取合适的算 法，模拟结果将会进一步得到改善。 7 北京化工大学硕士学位论文 8 第二章刚性问题及指标问题 第二章刚性问题及指标问题 2 1 带时滞的反应精馏模型的建立 与建立一般的精馏模型相类似，首先可对模型进行以下几点假设：i ，各层塔板 上的汽液两相浓度均一；i i 反应只发生在液相( 均相) ；i i i 化学反应达到平衡，汽相 两相达到平衡；i v 绝热操作。 设整个塔巾的平衡级( 冷凝器为第1 ，再沸器为第级) 共有n 个，有c 个组分 在整体操作中被涉及到。为了方便计算，通常会减少变量的个数，一般通过消去式 中第级塔板上第i 个组分的汽相摩尔分数j ，u 来实现，经过这样的变换后，方程及 变量个数便都v h ( 2 c + 3 ) n 降为何+ 矽个，y u = k 矽u ，其中是关于勖及问题乃的关 系式。在通常提到的m e s h 方程组中组分物料衡算方程( 忽略汽相滞留量) 选取如下 形式： 掣= ( v j + l y i , j + ! + l j _ l x i , j _ i + f j z 。一心+ r ：wj y 。 一( 1 + ) 三，x “+ v i , m r 叫s ，) 0 = 1 2 c j = i 2 n ) ( 2 - i ) 总物料衡算方程为： 等以。埠鸬_ ( 1 + 炉( 1 + 乎肾窆m = l 艺i = l 啦一 0 = 1 2 n ) ( 2 - 2 ) 摩尔分数加和方程： 总能量衡算方程： = j ，2 ，彻( 2 3 ) d ( _ u j f h j ) = 巧+ 。砟。+ 一。砟。+ c 彤一( 1 + ) l 彬一( 1 + r l 丁，l g = j ，2 ，邶( 2 4 ) 在上述模型的基础上若考虑时滞的影响，设液体从户j f 级塔板到_ ，级塔板所用的 时间为弓及汽体从+ j 级塔板到级塔板所用的时间为易，则可得到带时滞的反应精 馏模型如下： 9 ol = ， 乃 c瑚 仉 l = 薯 c阍 北京化工大学硕士学位论文 物料衡算方程( 忽略汽相滞留量) ： _ 掣钒”慨+ l ( ”帆- i ( m 钆 一( 1 + 哆) 巧咒，一( 1 + 彳) ，+ 哆，。死，o ) 0 = 1 。2 c j = 1 。2 n )q - 总物料衡算方程为： o = 巧+ ，( t - o ) + l j 一，( t - o + f j 一( 1 + 形) 巧- ( 1 ，l ) + u 朋如勺 6 = 1 ，z 一彻 ( 2 6 ) 摩尔分率加和方程： c c ，= 1 0 ，咒，= 1 0 = j ，z 彻( 2 7 ) 1 - - i扛l 能量衡算方程： 掣= ( f 鸣嵫( f 一弓) 山g 一弓域0 1 ) + 孵川) i ；髟一o 汪膨啕 ( ，2 j ，九肋( 2 - 8 ) 分开处理微分方程及代数方程，先利用组分物料衡算方程组计算出液相摩尔分 数魂，再由加和方程利用泡点法计算出各级塔板的温度的t j ，最后再将研，乃代回 到能量守恒方程及总物料衡算方程中计算出汽、液相的流率巧，。这是许多文章 2 0 , 2 1 , 2 2 1 中常用到的解决m e s h 方程的办法。本文借鉴王玉花等5 1 在其文章中曾使用 过的方法，从降低方程组的刚性入手。具体处理方法将在第四章中给出。 2 2 指标问题 2 1 中提到的m e s h 方程组( 2 5 ) - ( 2 _ 8 ) 中不仅包含了微分方程，也包含了代数方 程，所以为了更好的对其进行数值求解，给出下面的定义【2 3 】： 对于方程组 f ( t ，y ，y ) = 0 ，f c 1r m + l r ”) ，t o ，r 】 ( 2 - 9 ) i 若百o f 非奇异，则称( 2 - 9 ) 式为常微分方程组( 0 d e s ，全称。r d i n a r y d i f f e r e n t i a l u y e q u a t i o n s ) o l o 第二章刚性i u j 题及指标问题 i i 若罢奇异，则称( 2 9 ) 式为微分代数方程组( d a e s ，全称d i 腩r e n t i a l - c a l g e b r a i ce q u a t i o n s ) ： i i i 特别地，若石o f ：0 ，则称( 2 - 9 ) 式为代数方程组( a l g e b r a i ce q u a t i o n s ) 。 c 微分代数方程组与常微分方程组两者之间的联系是密切的，但同时也存在着很 大的差异。下面看一下微分代数方程组的指标1 2 4 ： 一个解y ( 0 伴随的指标是一个整数，它能描述微分代数方程组的分离程度。这 个整数是使得超定方程组 f ( t ，j ，y ) = 0 鲁c | y ，y y ”，= 。 。2 。， d 讲p ，f ( 坝y ，j ，叩= 。 能解出唯一直接依赖于y 和t 的y 的最小的正整数p 。在这个定义的基础上， 显然地，可视常微分方程组的指标为0 ，而微分代数方程组的指标都是不小于1 的。 若微分代数方程组来自于实际情况，则该系统一般情况下是有半显式形式的。即 i 半显式l 指标的h e s s e n b e r g 微分代数方程组的彤式为： 馨筠猢x力厂鬟m+k+lm0gcr m + k + lr ：j 州咿， 仁 i = g ( x o ) ，y ( f ) ，f ) 1 ) 7 4、7 其中譬是非奇异的。 i i 半显式2 指标的h e s s e n b e r g 微分代数方程组的形式为： 牌意d c l ：( r 尺m + k + ，ir。)m0gc m + l r 吲。川 【 = g ( x ( f ) ，f )2 俾，) 4、 其中，粤要是非奇异的。 i i i 半显式3 指标的h e s s e n b e r g 微分代数方程组的形式为： 北京化工大学硕士学位论文 lj ( ( f ) = 厂( x ( f ) ，y ( f ) ，z ，t ) y ( f ) = g o ( f ) ，y ( f ) ，t ) l0 = | j l ( y ( 吐f ) f c 1 ( r 槲n 1 ，r ”) g c 2 ( r m + k + lr ) t “o ，丁】( 2 1 3 ) h c 3r m + l , r 7 ) 其中，娑挈娑非奇异的。 a yo xc 弦 显然地，我们可以从以上的定义中看出2 1 中所提到的方程组为半显式2 指标 的h e s s e n b e r g 微分代数方程组。微分代数方程组的指标不仅是系统奇异程度的一个 衡量标准，更是系统的数值求解的难易度的一种体现。一般来说，方程组的指标越 高，则其刚性也就越强，系统相对也就越病态，求解其数值解的难度也就越大。所 以降低d a e s 的指标便可有效的减少它的