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构造一元二次方程解题的常用方法 某些非一元二次方程的问题，如果能抓住特征，那么可以通过构造一元二次方程来解决，例说如下 一、利用已知等式构造一元二次方程 例1 若a，b，c为实数，且a2b2c2abbcca0，求证：abc 证明 由已知等式，可构造关于c的一元二次方程c2（ab）c（a2b2ab）0 c为实数， （ab）24（a2b2ab）（ab）20 a，b为实数， （ab)20，3(ab)20， 3（ab）20， ab 同理可证bc， abc 二、利用方程根的定义构造一元二次方程 例2 设a22a10，b4 2b210，且1ab0，求的值 解 由a22a10，知a0， 又 b42b210， (b2)22b210， 由1ab0知b2， 故，b2可视为方程x12x10的两个不相等的实数根根据根与系数的关系，得三、利用求根公式构造一元二次方程例3 若x，则分式的值是_解 x4 x4是方程的一个根，当时，原式 四、利用根与系数的关系构造一元二次方程 例4 已知实数a，b，c满足ab6，c2ab9，求证：ab 证明 ab6，c2ab9， ab6，c2ab9， a、b是方程x26xc290的两根， 36 4(c29)4c20而c为实数，4c20 4c20，即0 此时，方程有两个相等的实数根，所以ab 五、利用根的判别式构造一元二次方程 例5 已知n2(pm)24mp(mn)(np)，求证： 证明，由已知n2(pm)24mp(mn)(np)， 得n2(pm)24mp(mn)(np)0 方程p(mn)x2n(pm)xm(np)0(mn)有两个相等的实数根p(mn)n(pm)m(np)0，方程的两个实数根为x1x21根据根与系数的关系，得化简得
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