（计算数学专业论文）非线性问题的混合有限元两重网格算法.pdf

摘要 论文题目：非线性问题的混合有限元两重网格算法 学科专业：计算数学 研究生：魏红记 签名：堑! ：鱼 指导教师：秦新强教授 签名：盔堑i 玺 摘要 非线性问题是微分方程的重要研究内容之一，随着实际生产和科研的不断拓宽深入， 出现越来越多的非线性问题。而且有些问题不仅需要求出函数值，也需要得到它的导数值， 因为这些导数在应用中是重要的物理量，希望其精度越高越好。针对这些要求，构造有效 的数值算法十分必要。反应扩散方程和对流扩散方程是实际生产和科研中常见的数学模 型，其应用涉及水文、物理、化学、生物学等众多方面，研究这类方程的数值解法有着重 要的现实意义。 本文将混合有限元方法与两重网格算法相结合，分别针对非线性反应扩散方程和两类 非线性对流扩散方程，构造了混合有限元两重网格算法。混合有限元方法在求解函数值的 同时得到导数值，而且精度比通过函数值差商的结果要高：两重网格算法对求解区域进行 两次剖分，将非线性迭代归结在粗网格上进行。与细网格相比，粗网格上节点少得多，求 解的运算量也小得多。然后，在粗网格解上进行泰勒展开，从而将问题化为细网格上的线 性问题。故该算法兼有混合有限元在求导数方面精度高，和两重网格算法在处理非线性问 题时运算量小的特点。 文中内容包括算法构造、误差估计及证明、数值计算与分析。收敛性分析和数值算例 表明，混合有限元两重网格算法与标准有限元方法相比，在不降低解的精度的情况下，提 高了计算速度：同时能够得到精度更高的导函数，是求解非线性问题的一种有效数值方法。 关键词：混合有限元方法；两重网格算法；反应扩散方程：对流扩散方程；误差估计 本研究得到以下基金资助：西安理工大学校基金( 1 0 8 2 1 0 6 0 3 ) a b s t r a c t t i t l e ：t w o g r l dm i x e df i n i t ee l e m e n t m e t h o d f o rn o n l i n e a r p r o b l e m s m a j o r ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s n a m e h o n g j iw e i s u p e r v i s o r ：p r o f x i n q i a n gq i n a b s t r a c t s i g n a t u r e ：炀瑟些 s i g n a t u r e ：监监细 n o n l i n e a rp r o b l e mi sa ni m p o r t a n tp a r ti nt h es t u d yo fd i f f e r e n t i a l e q u 砒i o n s m a n y n o n l i n e a rp r o b l e m sc o m eu pw i t ht h ed e v e l o p m e n to fp r o d u c t i o na n ds c i e n t i f i cr e s e a r c h i n s o m ec a s e ，t h ed e r i v a t i v ei sn e e d e da sw e l la st h eu n k n o w nf i m c f i o nv a l u e ，a si ti sa l s oa n i m p o r t a n tp h y s i c a lq u a n t i t ya n dh i g ha c c u r a c yi sr e q u i r e d s oi t i sn e c e s s a r yt oc o n s t r u c ta s c h e m et os a t i s f ys u c hr e q u i r e m e n t r e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n sa n dc o n v e c t i o nd i f f u s i o n e q u a t i o n sa r ec o m n l o nm a t h e m a t i cm o d e l si nm a n yd o m a i n s ，s u c h a s h y d r o l o g y , p h y s i c s ， c h e m i s t r ya n db i o l o g y , e t c i ti sv a l u a b l et os t u d yn u m e r i c a lm e t h o d f o rt h o s ee q u a t i o n s i nt h i sp a p e r , as c h e m eo ft w o - g r i dm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o di sc o n s t r u c t e dt os o l v e n o n l i n e a rr e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n sa n dc o n v e c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n s ，b yc o m b i n i n gt h e t w o g r i dm e t h o d 、i t i lm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d w i t hm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d t h e u n k n o w l lf u n c t i o nv a l u ei sg o t ，a tt h es a m et i m em o r ea c c u r a t ed e r i v a t i v ei sc o m eu p t h e t w o - g r i dm e t h o dd i v i d e st h ed o m a i nf o rt w ot i m e s a sar e s u l t ，n o n l i n e a ri t e r a t i o ni sd e v o t e d i n t oc o a r s eg r i dw h i c hk e e p sq u i t el e s sn o d e s o nt h ef i n eg r i d ，i tb e c o m e sal i n e a rp r o b l e m p r o f i t i n gf r o mt h et a y l o re x p a n s i o n s ot h i ss c h e m ek e e p st h eb o t ha d v a n t a g e so fm i x e df i n i t e e l e m e n tm e t h o df o rg e t t i n gh i g ha c c u r a t ed e r i v a t i v ea n d o ft h et w o - g r i dm e t h o df o rl e s s c o m p u t a t i o nw i t hn o n l i n e a rp r o b l e m s a l g o r i t h mc o n s t r u c t i o n ，e r r o re s t i m a t e ，p r o g r a n ld e s i g na n dn u m e r i c a le x a m p l e sa r e i n c l u d e di nt h ep a p e r c o n v e r g e n c ea n a l y s i sa n dt h en u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h a tt h i ss c h e m e p r o v i d e sg r e a t e re f f i c i e n c yt h a nt h es t a n d a r df e m ，w i t hn ol o s si n o r d e ro fa c c u r a c y a n d ，a m o r ea c c u r a t ed e r i v a t i v ec o m e su pa tt h es a m et i m e i ti sa ne f f i c i e n tm e t h o df o rs o l v i n g n o n l i n e a rp r o b l e m s k e yw o r d s ：m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；t w o g r i dm e t h o d ；r e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n ： c o n v e c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n ：e r r o re s t i m a t i o n 独创性声明 秉承祖国优良道德传统和学校的严谨学风郑重申明：本人所呈交的学位论文是我个 人在导师指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人的研究成果。与我一同工作的同志对本文所论述的工作和成 果的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并已致谢。 本论文及其相关资料若有不实之处，由本人承担一切相关责任 论文作者签名：巍冬鱼丑嘛? 月j 。日 学位论文使用授权声明 本人施i 兰亟在导师的指导下创作完成毕业论文。本人已通过论文的答辩，并 已经在西安理工大学申请博士硕士学位。本人作为学位论文著作权拥有者，同意授权 西安理工大学拥有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生按学校规定提交 印刷版和电子版学位论文，学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存研究生上交的 学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编人有关数据库进行检索；2 ) 为教学和 科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文作为资料在图书馆、资料室 等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。 本人学位论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权西安理工大学研究生部办 理。 ( 保密的学位论文在解密后，适用本授权说明) 论文作者签名：驭i 兰型导师签名：2 趣! 舢刁年j 月t f 日 7 f 绪论 1 绪论 1 1 有限元方法概述 有限元方法也称为有限单元法【l 羽，它是在古典的r i t z - g a l e r k i n 变分方法【4 5 】的基础 上，以分片插值多项式为工具，结合电子计算机的发展与推广而迅速发展起来的一种求解 微分方程的数值方法1 6 - 8 。此方法首先于2 0 世纪5 0 年代初由工程师们提出，并用于求解 简单的结构问题。有限元方法作为一种系统的数值方法，并奠定其数学基础，则是在6 0 年代中期，以冯康先生为代表的中国学者与西方学者独立并行的完成的。从历史上来看， 还应该提到c o u r a n t ，他在1 9 4 3 年已经提出过在三角形网格上用逐片线性函数去逼近 d i r i c h l e t 问题，这是有限元方法最原始的思想。 有限元方法不同于2 0 世纪4 0 年代二战后发明的数值求解偏微分方程的差分方法。主 要有下述三大特点：( 1 ) 从数学物理问题的变分原理出发，而不是从微分方程出发，因此 是从问题的整体描述而不是从问题的局部描述出发；( 2 ) 对所考虑的问题的区域( 以二维情 形为例) 作三角形( 或其它简单多边形) 剖分，而不是仅仅矩形剖分；( 3 ) 用剖分区域上的简 单函数( 例如分片多项式) 去逼近原问题之解，而不是只在剖分节点上的数值逼近。有限 元方法的基本思想就是将微分方程边值问题转化为相应的变分问题，然后再利用分片多项 式离散。对于同一偏微分方程边值问题，存在不同的变分形式。采用不同的变分形式，就 得到不同的有限元方法。 1 2 混合有限元法概述 混合有限元法( m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 【9 ，1 0 l ，最初是在上世纪6 0 年代由工程 技术人员提出，用于解决固体力学问题，现在已用于流体力学和弹性力学等诸多方面。 a v i a r t - t h o m a s 在1 9 7 7 年提出的k 次r a v i a r t - t h o m a s - n e d l e c 空间【1 1 1 ，此后被广泛应用于求 解椭圆型、抛物型的偏微分方程中。混合有限元法进行数值计算的优点是可将方程降阶， 求出未知数的同时还可求出伴随函数，因此该方法受到国内外研究者们的普遍关注和重 视1 2 捌。a r b o g a s t - w h e e l e r 在文【2 3 】中，讨论了一种特征混合有限元方法，但格式中包含 大量关于检验函数映像的积分，使得实际计算十分困难。文【1 9 ，2 0 1 是针对线性对流扩 散方程问题进行讨论，文【2 4 】中系统的讨论了一种线性及非线性对流扩散方程的特征混合 有限元法。 混合有限元方法是一种非标准的有限元方法，该思想第一次是由f r a e i j sd ev e u b e k e 在他的几篇论文中提出的，混合有限元方法的一般性理论最早则是由b a b u k a 和b r e z z i 在2 0 世纪7 0 年代创立的。2 0 世纪8 0 年代初。f a l k 和o s b o m 对此方法作了进一步的改 进。1 9 7 7 年r a v i a r t 和t h o m a s 将此方法用于求解二维问题的椭圆方程瞄】，1 9 8 0 年，由法 国人j c n 6 d 6 1 e e 提出了三维问题的混合有限元方法 2 6 , 2 7 1 ，在解n a v i e r - s t o k e s 方程和重调 和方程以及构造力学等问题中，经常使用这一方法。1 9 8 1 年，c l a e s 和v i d a r 将混合有限 西安理工大学硕士学位论文 元引进到抛物方程的解决方法【勰】，之后又有许多学者对抛物方程的许多非线性形式进行 了研究。 混合有限元方法在求解偏微分方程的数值解时，具有以下优点：第一，它可以使方程 降阶，适用于高阶方程；第二，求出未知函数的同时得到导函数，如果用通常的有限元方 法，必须求出未知函数以后，再作一次微分，这样会降低精度；第三，通常的有限元方法 的解一般偏小，混合有限元方法则没有这个系统误差。 几十年来，混合有限元方法的理论及其应用有了很大的发展，出现了许多问题的混合 有限元方法【9 2 9 1 。随着科学技术和实际应用的发展，方程的规模也越来越大，而同时要求 方程求解过程消耗的时间越来越少，鉴于这种情形，快速有效算法的研究成为一项重要的 研究课题。 1 。3 两重网格算法概述 非线性问题【3 刁最终转化为非线性方程组，一般采用迭代求解，非线性方程组迭代计 算是整个求解过程中花费时间最长的部分，如果能改善这部分的计算效率，无疑会显著提 高求解问题的速度。 两重网格算法( t w o g r i dm e t h o d ，简称t g m ) 是2 0 世纪9 0 年代出现的一种将非线 性问题线性化的算法，该算法能显著提高非线性问题的计算速度。它的构造思想是：先对 求解区域进行粗网格划分，在粗网格上求解非线性问题，然后利用t a y l o r 展式将粗网格 上的解外推到细网格上去，从而在细网格上求解一个线性问题。这种算法直接用于半线性 和非线性偏微分方程的求解中，是一种加速收敛的方法。 两重网格算法最先由x u p 3 , 3 4 1 提出，随后国内外均有学者将此算法与其它方法相结合， 用于求解非线性方程【3 孓4 3 1 ，根据所结合方法的不同，可分为有限元两重网格算法和有限差 分两重网格算法。 本文将该算法与混合有限元方法相结合，在详尽理论分析的基础上，给出具体编程计 算过程，提供了一种逼近流体问题的高效数值方法。 1 4 预备知识 1 4 1 正交投影与r i o s z 表现定理 定义1 1 ( 最佳逼近) 设x 是一个赋范为i h i 的赋范线性空间，m c x 是的子集， 在x 中选定一点p ，如果 i i p - y o l l l i p - y t i ，m ，v y m ， 则点m 称为m 中对p 之最佳逼近。 定义1 2 如果内积空间日的两元素x 和y 满足( x = 0 ，则称x 和y 是直交的。 设肘是内积空间的子集，用m 1 表示与m 的每个元素都直交的元素的集合，则称 m 1 为m 的直交补，显然m 1 也是的子空间。 2 绪论 下述定理是玎维矢量空间的一个重要性质在h i l b c r t 空间的推广。 定理1 i 设肘是h i l b e r t 空间目的一个闭子空间，则每一个石h ，都存在唯一的 y m 和：m 1 使得x = y + z 定理1 2 ( r i e s z 表现定理) 设日是h i l b e r t 空问，则对于任意日上的线性泛函灭即对于 任意的，h ) ，必定存在唯一的x ，h 使得 ( y ) = ( o ，y ) ，砂h ，且h = 肛几 1 4 2 广义导数与$ o b o i e v 空间 为了便于表达，先引入一些记号，如果口，o = 1 , 2 ，行) 是非负整数，则将 口= l ，口2 ，口。) 称为多重指标，再记x = ( 而，x 2 ，x n ) 为r ”空间的元素，且 矿= 茚垮诤，i 口i - + 口2 + + c l n ，d x = 凼呶丸， d 。= 研d 尹0 2 = a o + 吒”+ 斫瓦丽 a k - ；f d x l d x ：丸 对于定义在q c 震”上的函数“( ，i 己s u p p u = 瓦面丽i 百丽，称s u p p u 为“( 功的 支集。若s u p p u c q ，则称“( 功在q 中具有紧支集。用c 。( q ) 表示由在q 内具有任何次数 连续偏导数的函数构成的集合。记 c 芋( q ) = 扣c 。( f 1 ) ；s u p p ucq ) 即对任意的函数“c 孑( q ) 在q 内具有任何阶连续偏导数而且在q 的边界讹上 d 4 l 。= o ( o a l = i s 叫。记比( q ) 为在q 内的任一闭集上都可积的函数集合，称比( q ) 为 q 内局部可积的函数空间。 定义1 3 对于厂屯( q ) ，如果存在g e 比( q ) 使得 血= ( 一1 ) h 上归4 v d x ，v c f ( q ) 成立，则称g 为厂的h 阶广义偏导 数，记为g = d 。f 定义1 4 设k 为整数，l p 茎0 0 为实数，则s o b o l e v 空间咖( q ) 定义为 w k p ( 锄= 伽( q ) ；h 兰k ，d 8 u 上，( q ) ， 其中上，( q ) = 缸；上m 9 血 m j ，其范数定义为 r，l 批皿= 幢 舐f 矽钿( q ) 上的范数定义如下 ( i ) 当1 p o o 时，9 ( q ) 的范数为 3 西安理工大学硕士学住论文 i l u l l 咖n 一幽此1 9 以 i ( i i ) 当p = c o 时，矿扣( q ) 的范数为 忡= h s u 础p ，。e s s s 。u p 刚) k p ( q ) 上的半范数定义如下 ( i ) 当1 p 1 ，则w k , p ( 渤卜* 形9 ( q ) ，而且存在只与q 有关的 常数m 使得 蚰sm l l u l l 。，n 注：卜升表示紧嵌入，即对矿9 ( q ) 中的任意序列伽。) 必存在予列 “胤) = 1 2 ) ， 在w ，( q ) 中收敛。此种嵌入也称为恒同嵌入。 定理1 5 ( 嵌入定理3 ) 如果七 n i p ，l ，9 ( 囝，让区域q 被任一维数为罩 , = l - - 2 k 的平面所截，在其截形d i 上定义平方可积函数( 称为甜的迹) ，则w ( q ) hf ( q ) ，而 且 j l u 0 妣，- 0 ，使得对于任意的“e 9 ( q ) 都有 r ， 1厂 _ l ， 1 口h ，冉+ 酗( “巾i i 叱，ps h 棚+ 戮i j 推论1 9 ( f r i e d r i c h s 不等式) 对于任意的”h 1 ( q ) 都有 i l u l , - 如i l - q + l 酬) 推论1 1 0 对于任意的甜砩( q ) 都有 0 u l l 。n - o ，使得 l 矗，一“”i i + 砉，l l 足1 ，2 每：一r ”】1 2 “2 c ( 一t + l4 - h 2 k + l + 址) ( z z t ) 证明令孝”= 鳏一群，矿= f ：一f ：，0 ”= n 垂”一面：，f l j ( 2 1 6 ) ( 2 2 0 ) 式，再分别 取w h = 尸，v = 0 ”，v = 矿可得 1 2 非线性反应扩散方程的混合有限元两重网格算法 古g 。一手“，) + ) = p ”，亭“) + u ( 甜飞孝”) 一( 厂( 材；) + ，( ”品) ( 群一砧三) ，善”) ( 2 2 2 ) 加”，0 ”) 一g 4 ，v 0 ”) = 0 ( 0 ”，”) = ( m ”一西”，“) + ( k ( r 4 一哥：) 舢“) 第一个方程右端的厂在站品处泰勒展开，则存在玎有 ( ，( “”) 善”) 一( 厂( “；) + f 。( ”；) ( 群一”；) ，f ”) ：u ( ；) ( 一一露：) ，善一) + ( ，( ”二) 善一，f 一) + ( 委，。( 刃( 甜一一甜：) ：，毒一) q 2 3 3 第三个方程中 ( x ( r ”一f ：) ，”) = ( x ( r ”一 ：) ，“) + ( j ( ”，“) 代a ( 2 2 2 ) ，消去0 ”，有 1 。 古g “一一手8 ) + ( 勖“，矿) = ( s ”，f 。) + ( “品) ( “一懿) ，f ”) + u ( 甜二) 善”，f ”) ( 2 2 4 ) + e ，。( 习( 材。- u d l f ”) 一( n “一m “，”) 一( k ( r ”一f d ，1 ) ”) 用瞄和f 分别表示k 的最小和最大特征值，记f 2 1 1 ：k ，g = 1 1 ：。4 。， 因为一( 忙“1 2 - 1 1 5 4 2 ) 2 蔓七”1 ，f ”) ，( k f f , t ) n ) = l 陋“2 矿0 ，由g r o n w a l l 引理，对任意 j o 有 击( w 一川2 ) + i i k , , 2 0 1 1 2 j li f n l 2t 互1l 眵”1 1 2 + j 1f i i ”一蠡：1 1 2 + 三l 陟”0 2 + f l 陟”2 + g i l ( “”一“备) 2 2 + 三j 弦”1 2 + 去h 西“圳卜争卜2 西k 卜p ：8 2 扣”u 2 = 排”卜非”8 2 + 6 | f 1 ) ”8 2 + g 一甜洲2 + c ( 1 l n 。西”一m ”0 2 + 扩”一 ：0 2 + 陋”一簖1 1 2 i ( 2 2 5 ) 取占s 疋2 ，有 去( w i i 一眇1 1 2 ) + 妒”4 8 2 s * ”n 菲“卜g 妙一甜二) 20 2 ( 2 2 6 ) + c ( h 西”一m ”8 2 + p 一吖+ p - 蠡：1 1 2 ) 西安理工大学硕士学位论文 两边同乘以2 f ，累计疗= 1 ，2 ，n 时间层的误差， 1 1 ： 1 1 2 一l p 。1 1 2 + 粪出8 髟1 ，2 ”0 2 羹舡l p “1 1 2 + 砉，缸。亭“1 1 2 ( 2 2 0 + c 姜址8 c “一”二，2 8 2 + 姜卅“”一鳏0 2 + 砉斗。m ”一m ”2 + 粪卅r 一一以8 2 ， 其中c 是与h 无关的正数常数。其中， 妙一甜：) 2 1 1 - 1 1 “；1 1 。i i “一”圳 4 b ”一矗二| l + 0 卉品一“；l l o l p ”一鲇品0 c ( n “1 + 日川( 日纠+ f ) ) c 日+ 1 + 址) c h - 1 ( “1 + f ) 2 因为p = 0 ，由c n o n w a l l 引理，有 ( 2 2 8 ) 妙1 2 + 窆缸f 2 矿1 1 2 c 薹小 啪2 h 陋刈1 1 2 巾一 ：n 卜钟吩锄2 ( 2 - z 9 ) c ( h 2 “) 2 十c ( | i l “) 2 + c a t 2 由于i i 硭一“i 1 1 ：”0 + 肛，一“”l ，肛”2 于：一r ”) j | i 弦吖2 ”0 + 肛2 瞳：一r ”，因此 n “i i + 酗脚h ”町” s i i f b + 陲i i 州1 1 2 * 州翻嘶h 州” q 姗 s c ( 月2 + + h “+ r ) + c a “1 + c 厅“1 = c g “+ 日2 “1 + ，) 定理证明完毕。 由以上误差估计可以发现，最终误差的大小跟粗细网格划分鼠h 和时间步长，有关。 如果粗网格和细网格按一定关系划分，那么误差限将由h 和& 确定，根据误差结果( 2 2 1 ) ， 生 应使日= o ( h2 k + 1 ) 。 2 5 编程计算 对区域q 进行矩形单元划分一，结点为 ( 毛，乃) ，0 s f 坍，o ，厅 ，h 为划分细度。 分别为未知函数和其导函数建立基于色的混合有限元函数空间和。符合l b b 条件， w h 的基函数由a 上的分片双线性函数构成，b 基函数由屯上的分片不完全双二次函数 1 4 非线性反应扩散方程的混合有限元两重网格算法 构成。 无论是粗网格上的迭代还是在细网格上的求解，都需要求解一个如下形式的线性方程 组 n a ，训三m 设d 是提取a 的对角线元素构成的矩阵， 有 p = d “( d a ) p + d _ 1 n u 代入第二个式子有 在这里它是正定的，从而由方程组第一个式子 ( 2 3 2 ) b i + n d 。n ) u = f 2 一n 1 d - 1 ( d - a ) p ( 2 3 3 ) 用迭代法求解方程组( 2 3 1 ) ，算法如下： 迭代初始值为向量0 ，迭代次数记作m ， ( 1 ) 初始化m4 - l ； ( 2 ) 计算右端项c ( m ) 4 - - f 2 一n 7 d 。( d - a ) e ”1 ； ( 3 ) 由方程【m + n d _ 1 n = g ( 所) ，解得u 枷； ( 4 ) p 。4 - - d 一1 ( d a ) p ”| + d 1 n u _ ； ( 5 ) 如果误差不满足要求，所卜埘+ l 。 对于t ( o ，刀整个过程来说，计算过程如下： 1 栉= 0 ： 2 时间层= 础； 3 按照( 1 ) 一( 5 ) 的过程在粗网格上求解，得到u 备和聪； 4 根据u 备构造插值函数雄；( 善，t ) ，将细网格节点代入，得到细网格求解时所需 要的新u 备； 5 按照( 1 ) 一( 5 ) 的过程解方程组( 2 1 1 ) ，得到u ：和w ； 6 如果t 。 t ，玎= 疗+ l ，转到第2 步； 7 邪：= - k 1 吖。 2 - 6 数值算例与结论 为了验证混合有限元两重网格算法的有效性和精确性，我们对如下真解已知的二维非 线性反应扩散方程，用混合有限元两重网格算法进行数值求解： 詈一v ( v “) = - u 2 + g ( 圳，f ) ，( 劬，) q o ，叼 u ( x ，f ) = o o ，儿，) 铀( o ，1 1 u ( x ，0 ) = 0 ， ( x ，力q 1 5 西安理工大学硕士学位论文 其中，q = 【o ，1 】【o ，1 】，g ( x ，y ，t ) 由真解”( x ，y ，t ) = 缈( 1 一x ) 0 一力p ”确定，a t = 1 2 5 x 1 0 一， t = i ，计算1 0 0 0 0 层到t = 0 1 2 5 秒。为进行比较，同时也使用标准有限元方法进行了求解， 计算结果见表2 1 ( 两种方法的计算结果统一用和p 表示，不再区分玩和融) ： 表2 - 1 混合有限元两重嚼格算法与标准有限元方法比较 t a b 2 1r e s u l t sc o n t r a s to f t w o - g r i dm i x e df e ma n dt h es t a n d a r df e m 花费时间 数值算法网格划分 丛龇： ( 秒) 丛 批： 标准有限元 h = 2 - 3 1 9 2 x1 0 - 28 4 5 1 0 - 26 0 两重网格混合元h _ 2 d h = 2 _ 2 1 9 3 x1 0 2 4 2 2 l o - 25 6 标准有限元 h _ - 2 - 61 1 5 1 0 32 1 5 1 0 叫5 7 7 两重网格混合元 h - 2 6 h = 2 41 1 9 1 0 31 9 0 l o - 34 1 0 通过分析和数值算例可以看出，对非线性问题，两重网格算法在不降低计算结果精度 的情况下，大幅提高了计算速度；混合有限元方法在计算未知函数值的同时，得到了导数 值，而且精度明显好于根据函数值差商得到的结果，在解决对导数要求较高的问题时很有 用。 1 6 源项非线性对流扩散方程的混合有限元两重网格算法 3 源项非线性对流扩散方程的混合有限元两重网格算法 3 1 引言 对流扩散方程是一类基本的运动方程，它可描述质量、热量的运输过程以及反应扩散 过程等众多物理现象寻找稳定、快速实用的数值方法，有着重要的理论和实际意义i s l l 。 标准差分方法或有限元方法对它常常失效，根本原因在于“对流项”的存在，对流扩散方 程往往具有对流占优的特性，即对流项远远大于扩散项，几乎反映了双曲型方程的性质。 这时采用传统的f d m 和f e m 求解，数值解将产生严重的数值震荡和数值耗散现象。为 了消除因对流占优而引起的数值震荡现象，d o u g a l s - r u s s e l l 5 2 1 提出了解对流扩散方程的特 征线修正技术，这一方法考虑沿着特征线( 流动方向) 的离散，利用了对流扩散问题的物 理力学性质，可以有效地克服数值振荡，保证数值解的稳定，尤其对“对流占优”的问题， 这一方法有突出的优越性 5 3 1 。混合有限元法是数值逼近流体方程有效方法，它能同时高 精度逼近待求函数及其导函数。 本章在特征线方法的基础上，用混合有限元两重网格算法求解对流占优的对流扩散问 题，并针对二维非线性方程为例，给出了详细的算法构造与数值计算过程。 3 2 混合有限元解 本章讨论源项为非线性的对流扩散方程，方程的初边值问题如下： c 害+ b v u - v ( a v 班m ) ( 彬) 口， u ( x ，f ) = o ( x ，f ) a 臼j( 3 1 ) u ( x ，o ) = 0 工q 其中，q 为矩形区域q = b b 】【c ，d 】，x = ( 而，x 2 ) ，j - 【o ，t 】，c = c ( x , t ) ， b = ( b l ( x ，f ) ，b 2 ( x ，f ”7 ，对称正定矩阵曩= a ( x ，) ，八甜) = f ( u ，x ，r ) 关于”是非线性函数。 假设方程系数满足： ( 1 ) 0 厶c s c 0 0 圆削v 蚌c ( 3 ) “m 2 - y 7 缈4 + i m 2 ，r y e r 2 剐剖 c 文中c 均表示正常数，但不同位置其值可能不同。 1 7 西安理工大学硕士学位论文 令i f ，( 工，f ) = i 五再下琢历，特征方向记作r = ( 墨，) ，则特征线方向上的导数为 丝：垒盟塑十皇业v ” 问题( 3 1 ) 化为特征形式： i 秒等- v ( a v 咖似) ( 列) 口j 陋爱 监融， 令p = - a v u ，此问题的混合广义解为：求解 ( ，r ) ，p ( ，r ) ) ew xy 满足 j 妒等w + v 州= 加v w 鲫， 【”+ v u - v = o , v v 刨 ( 妒罢，们+ ( v p ，叻= ( 彳峨v w 鲫， 【( p ，v ) 一( 叠甜，v v ) = o ， v v e v 其中，空间矽= r ( q ) ，v = h 1 ( 囝h 1 ( 囝；b r ( q ) x e ( n ) , l l v i i l 且 m j 。 ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 罢) ”“y ( x ，r “) ：l ! ；兰专；i ；i 兰a ：t ) = c ( x ，r 4 ) 竺! ：_ 2 _ ：i i ；堕三= 尘( 3 s ) 口f ( x i ) 2 + ( 2 鼽一一卜黔虮 设为q 矩形剖分，呒圪c w x v 为相应的k 次r a v i a r t - t h o m a s n e d e - l e e 空间。 选取时间步长为a t ，在时间层t n = n a t 时，n = 1 ，2 , - - - , n ，问题的混合有限元解为：求 ：，p ：) 呒圪满足 ( ，丝云竽，) + ( v p ：，h ) = ( 厂( “a ) ，v e ， ( 3 7 ) 【( p ：，v ) 一( a ”“：，v v ) = o ， v v 圪 类似牛顿法解非线性方程的线性化过程，将方程的迭代线性化，则 ，( “：一) 厂( z ，：朋一) + ( ”：朋甜：一) 厂( h ：一_ )( 3 8