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电予科技大学硕士学位论文 时滞细胞神经网络的稳定性 摘要 本文主要研究时滞神经网络的稳定性 在第一章中，第一节对具有变时滞与连接时滞的两类复杂系统进行了 研究，主要利用大系统的分解方法、常数变易法、以及不等式的技巧研究 了时变时滞及中立型时滞大系统的稳定条件 第二节，主要是针对非线性时滞系统的鲁棒稳定性与b i b o 稳定的研 究，采用的工具主要是g r o n w a l l 不等式、l y a p u n o v 函数方法以及不等式 的分析技巧，所得到的结果改进了文献川【3 】相应的结果 第三节，研究的对象为一般的时滞神经网络，利用d i n i 导数、积分不 等式等工具，研究了神经网络的指数渐近稳定性与指数收敛率 第四节，研究了非线性时滞神经网络在时滞不确定情况下的稳定性情 况，得到保守性较小的结果，其判据为与时滞有关 第二章，在第一章的诸多稳定性的基础上，考虑了与l y a p u n o v 稳定性 既有区别又有联系的r 一增益稳定性前人只在关注时滞扰动存在的情况 下，网络平衡点稳定性的保持，我们则从全空间范围内考察扰动对状态有 晃性的影响，应该指出l y a p u n o v 稳定并不意味着f 一增益稳定性所以研 究r 一增益稳定性有重要的意义文章用比较简单的方法得到了与文献【】 相同的结果，但证明方法更加简单在此基础上又进一步的考虑了系统的 全局指数渐近稳定性，所得到的结果大大的推广了文献【l5 】的内容 第三章，利用d i n i 导数、不等式以及l y a p u n o v 函数方法等工具对当 今研究的一类热点神经网络，( b a m ) 双向关联的神经网络的指数渐近稳 定性作了研究，得到了其指数渐近稳定的条件 关键词：h o p f i e l d 神经网络，b i b o 稳定，l y a p u n o v 函数，d i n i 导数 2 一增益稳定 第1 i 页共4 页 电子科技大学顾士学位论文 s t a b i l i t yo fd e l a y e dn e u r a ln e t w o r k s a b s t r a e t t h i sd i s s e r t a t i o nm a i n l ys t u d i e st h es t a b i l i t yo fd e l a y e dn e u r a ln e t w o r k s a n dc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，s e c t i o n1 ，t h ep r o b l e mo f a s y m p t o t i cs t a b i l i t yf o rac l a s so f t i m e v a r y i n ga n dt i m e d e l a ys y s t e mi s s t u d i e d t h em e t h o do fd e c o m p o s i t i o n f o rl a r g e s c a l es y s t e ma n dag e n e r a l i z e di n e q u a l i t ya r eu s e di nc o n c l u d i n gt h e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e s y s t e m ，a n d t h ee s t i m a t eo ft h es o l u t i o no f d i f f e r e n t i a le q u a t i o nu n d e rn e u r a lc o n d i t i o n si su s e di nt h ed i s c u s s i n go ft h e e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y o ft h es o l u t i o nf o ran e u r a l s y s t e m w i t h t i m e d e l a y a b o v e a l l ，a l lt h ed i s c u s s i n gi su n d e rt h es y s t e mw i t ht i m e d e l a y s e c t i o n2t h ep r o b l e m so fb i b oa n dr o b u s ts t a b i l i z a t i o nf o r s y s t e m s w i t ht i m e - d e l a ya n dn o n l i n e a rp e r t u r b a t i o n sa r ed i s c u s s e d f i r s tb yu s i n gt h e m e t h o do f l y a p u n o vf u n c t i o n ，r o b u s t s t a b i l i z a t i o no ft h e s y s t e m i s a n a l y z e d t h e n ，u s i n g g r o n w a l l i n e q u a l i t y ，t h e b i b os t a b i l i z a t i o ni s a n a l y z e d t w os u f n e i e n tc o n d i t i o n sf o rt h es y s t e m sa r ec o n c l u d e df r o mt h e r e s e a r c h a l lt h er e s e a r c h e sa r eo nt h eb a s eo f p r i o rr e f e r e n c ea n dt h er e s u l t s o ft h i s p a p e r i s q u i t e d i f f e r e n ta n d s u p e r i o r t ot h er e s u l t so fc o r r e l a t e d r e f e r e n c e s e c t i o n3u s i n gt h ed i n id e r i v a t i v ea n di n t e g r a li n e q u a l i t y ；t h es t a b i l i t y o f d e l a y e dn e u r a ln e t w o r k i ss t u d i e d s e c t i o n4t h ec a s eo fs t a b i l i t yo fn o n l i n e a rd e l a yn e u r a ln e t w o r ku n d e r t h ev a r i a b l ed e l a yi ss t u d i e d ，a n dw eh a v et h el e s sc o n s e r v a t i v er e s u l t c h a p t e r2 d i f f e r e n tt ot h e s t a b i l i t y o ft h ei c h a p t e r ，w e s t u d i e dt h e s t a b i l i t yo fl x g a i ns t a b i l i t y w eh a v ek n o w n t h a tt h o u g ht h es y s t e mh a v e l y a p n o vs t a b i l i t y i t m a yb en o th a v er g a i ns t a b i l i t y i t i s n e c e s s a r yt o d i s c u s st h e - - g a i n s t a b i l i t y c h a p t e r3w ed i s c u s st h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo f an e wh o p f i e l dn e u r a l n e t w o r k ：b a mn e u r a ln e t w o r k k e y w o r d s ：h o p f i e l d n e u r a l n e t w o r k ，r o b u s t ( b i b o ) s t a b i l i t y ， l y a p u n o vf u n c t i o n ，d i n id e r i v a t i v e ，p g a i ns t a b i l i t y 第j l l 页共4 页 电予科技大学项十学位论文 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得电子科 技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同 志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 签名： 萱型茎 日期：2 0 0 2 年1 2月日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许 论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存、汇编学位论文。 导师签名： 垒左童丝 日期：2 0 0 2 年1 2 月日 第1 页共4 页 b 予科技大学硕士学位论文 引言 神经网络是一门活跃的边缘性的交叉学科，研究它的发展过程和前沿 问题具有重要的理论与实际意义。神经网络既是高度的非线性动力系统， 又是自适应系统，它是可以用来描述认知，决策和控制的智能行为。他的 中心问题是智能的认识和模拟，神经网络理论是巨信息并行处理和大规模 平行计算的基础。从解剖学和生理学来看，人脑是一个复杂的平行系统， 它不同于传统的n e u m a n n 式计算机。他不但具有记忆功能而且又具有联想 功能，能从一个不完整的或模糊的模式中联想出存储在记忆中的某个完整 的清晰的模式。更重要的是它具有“认知意识”和“感情”等高级脑 功能。毫无疑问，人们以人工的方法模拟这些功能，有助于加深对思维及 智能的认识，特别对计算机产业的发展更有强烈的刺激和推动作用。美国 军方认为神经网络工程比“原子弹工程”更重要，并对它的投资兴趣非常 的大。美国国防部高级预研计划局组织了一批专家，教授进行调研，走访 了三千多位有关研究者和著名学者于1 9 8 8 年2 月完成了一份长达三百多 页的神经网络研究计划报告，并从1 1 月开始执行一项发展神经网络及其 应用的八年计划，投资4 亿美元。我国“8 6 3 ”计划，攻关计划，“攀登” 计划和国家自然科学基金等都对神经网络的研究给予资助，吸引了大量的 青年人才从事神经网络领域的研究工作【2 9 1 。 稳定概念的出现，悠久的历史了，早在1 7 世纪就出现过托里斯利原 理，即当物体仅受重力的作用，重心位置最低的时候其平衡是稳定的，反 之则是不稳定的。但在动力学方面，对应于稳定的严格的解的选择原理却 未建立。 稳定性的重要意义，可想而知。小至一个具体的控制系统，大至一个 社会系统、金融系统、生态系统，总是在各种偶然的或持续的干扰下进行 的。承受这种干扰之后，能否保持运行或工作状态，而不至于失控，或摇 摆不定，至关重要 2 0 】。 近十年来，人工神经网络的理论和应用的研究，已经形成了世界性的 热潮，其中稳定性扮演着重要的角色，利用动力系统的吸引子和电路的实 现来完成某些智能化的计算、联想记忆、学习算法，从而对稳定性理论感 性趣的已远远不止数学、力学、自动控制专业的学者。 1 9 8 2 年生物物理学家h o p f i e l d 详细阐述了这种神经网络模型的特性， 第l 页共4 6 页 l b 子科技大学硕士学位论文 他对网络存储器描述的更加精细，认识到这种神经网络的算法是将联想存 储器问题归结为某个评价函数的极值问题，适合于递归过程求解，并引入 l y a p u n o v 函数进行分析【”j 。 在网络结点之间以一种随机异步处理方式相互访问，修正自身输出值 可用神经网络来实现，从而这类网络的稳定性有了判据，其模式具有记忆， 联想和优化计算的功能，并给出了系统的运动方程即著名的h o p f i e l d 神经 网络模型 q 警= 砉巧乃( 啪一击“f + ( f = l ，2 ，棚 h o p f i e l d 神经网络研究主要研究三个问题( 1 ) 平衡点的存在性；( 2 ) 吸引 性：( 3 ) l y a p u n o v 稳定性。原始的h o p f i e l d 神经网络是不含时滞的非线性 常微分方程组，是一种理想的模型。由于神经网络中普遍存在时滞现象， 这样不仅会降低网络的传输速度，而且会导致网络的不稳定。因此，研究 具有时滞的神经网络系统的渐近行为具有更大的使用性。 本文主要研究了具有时滞的神经网络的各种稳定性，像渐近稳定、指 数稳定、r 一增益稳定等。最后考虑了一类双向关联( b a m ) 的时滞神经网 络的稳定性。 在第一章中，第一节对有变时滞与连接时滞两类复杂的系统进行了研 究，主要利用大系统的分解方法、常数变易法、以及不等式的技巧研究了 时变时滞及中立型时滞大系统的稳定条件。 第二章，在第一章的诸多稳定性的基础上，考虑了与l y a p u n o v 稳定 性既有区别又有联系的r 一增益稳定性。前人只在关注时滞扰动存在的情 况下，网络平衡点稳定性的保持，我们则从全空间范围内考察扰动对状态 有界性的影响，应该指出l y a p u n o v 稳定并不意味着r 一增益稳定性。所 以研究r 一增益稳定性有重要的意义。本章用比较简单的方法得到了与文 献”相同的结果，但证明方法更加简单。在此基础上又进一步的考虑了该 系统的全局指数渐近稳定性，所得到的结果大大的推广了文献【”】的内容。 第三章，利用d i n i 导数、不等式以及l y a p u n o v 函数方法等工具对当 今研究的一类热点神经网络一( b a m ) 双向关联的神经网络的指数渐近稳 定性作了研究，得到了其指数渐近稳定的条件。 第2 页共4 6 页 电子科技大学硕士学位论文 第一章时滞细胞神经网络的渐近稳定性、指数稳定性、 l y a p u n o v 稳定性 1 时变时滞及中立型时滞大系统的稳定条件 1 1 1 预备知识 运动系统的稳定性研究是自然科学和工程技术中很受人关心的问题 古典的例子是太阳的稳定性及旋转的星球的稳定性等。 稳定概念的出现，悠久的历史了，早在1 7 世纪就出现过托里斯利原 理，即当物体仅受重力的作用，重心位置最低的时候其平衡是稳定的，反 之则是不稳定的。 稳定性概念也早被拉普拉斯、马克斯威尔、汤母逊和德特、庞加莱等 采用过，但都无精确的数学定义。达郎贝尔、拉格郎日、马克斯威尔、魏 施涅格特斯基、茹可夫斯基及斯图多等采用过的一次近似方法研究稳定 性，但未从数学上严格证明其合理性。因此，可以说稳定性的一般理论迟 迟没有形成。 1 8 9 2 年，俄国数学力学家李雅普诺夫的博士论文“运动的稳定性的一 般问题”给出了运动稳定性的严格的数学定义和一般方法，从而奠定了稳 定性理论的基础。但人们对李雅普诺夫理论的了解，欣赏，继承和发展也 有一个漫长的过程。 近年来，运动稳定性理论在世界各国都引起了极大的兴趣，这个由著 名学者李雅普诺夫在1 9 世纪九十年代提出所开创的理论，在物理科学和 工程技术的各个部门获得了广泛的应用。 稳定性的重要意义，可想而知，小至一个具体的控制系统，大至一个 社会系统、金融系统、生态系统，总是在各种偶然的或持续的干扰下进行 的。承受这种干扰之后，能否保持运行或工作状态，而不至于失控，或摇 摆不定，至关重要2 0 1 。 李雅普诺夫直接方法是整个稳定性论的核心方法，其中李雅普诺夫 ( 1 8 9 2 ) 年提出的稳定性定理，渐近稳定性定理，奠定了运动稳定性的基础， 被誉为基本定理。相关的定理内容可以参考相应的参考书f 2 0 1 。 李雅普诺夫从能量函数中抽象出来的直接方法，思想十分丰富，内容 也十分深刻，远远不止研究平衡位置的稳定性，吸引性，大凡动态系统的 第3 页共4 6 页 i b 子科技大学顸二b 学位论文 动力学渐近行为，如动态的有界性，耗散性，收敛性，结构扰动下的r o b u s t 稳定性，还有诸如实用稳定，相对稳定，集合稳定，轨道稳定，甚至周期 解的存在性等，都可借助李雅普诺夫直接法的思想。 李雅普诺夫直接法的许多基本定理解决很多实际问题，但有些问题， 却是很棘手的，必须结合其他的方法，其中理论上最完善，应用上最广泛 的是比较方法，或称为比较原理。 车：邝，x ) ( a ) 西 。 一d v ： )( 6 ) 一d t 2 9 ( t , v )( 比较原理 2 0 】若存在正定连续的函数v ( t ，x ) c ，r ”，r + 】，且关于x 满足局部l i p s e h i t z 条件，v ( t ，0 ) ；0 ，v 沿式( 口) 的解的右上导数满足 d + n 、蔓g ( t ，v ) l ( 口) 则有以下结论 1 ) ( b ) 式的平凡解稳定，蕴涵 ) 式的平凡解稳定 2 ) 若v 还具有无穷小上界，那么) 式的平凡解一致稳定，蕴涵( n ) 式 的平凡解一致稳定 3 ) ( b ) 式的平凡解渐近稳定，蕴涵( a ) 式的平凡解渐近稳定 4 ) 若v 还具有无穷小上界，那么( b ) 式的平凡解一致渐近稳定，蕴涵( 口) 式的平凡解一致渐近稳定 5 ) 若存在m 0 ，n 0 ，使 m i n i “v ( t ，x ) 且v 有无穷小上界，则( b ) 式平凡解指数稳定，蕴涵( 口) 式的平凡解指数稳 定 6 ) 若还存在驴，y k r ，使 9 l l x l l ) v ( t ，x ) 妒( 1 k j | ) 则( b ) 式平凡解全局一致渐近稳定，蕴涵( 口) 式的平凡解全局一致渐近稳定 ( 第一比较定理) 2 0 1 设f ( t ，曲与f ( t ，z ) 都是在平面区域g 上的纯量函 数，且满足不等式 f ( t ，x ) 庐( f ) ，当t f 且f 属于两者的共同存在区间时。 ( ；g - - 比较定理) 2 0 1 设厂( f ，x ) 和f ( f ，x ) 御z ng 上连续且满足不等式 f ( t ，r ) f ( t ，x ) 设( f ，f ) g ，若工= p ( f ) ，x = 矿( f ) 分别是微分方程 像嚣 和j 堕；f ( 靠) 年口 d t 2 ，u x ) iz ( f ) = f 定义在a f 6 上的唯一解，则有 1 ) 妒( ，) 妒( f ) ，当f f b ， 2 ) 妒8 ) 妒( 0 ，当口 r f 。 近十年来，人工神经网络的理论和应用的研究，形成了世界性的热潮， 其中稳定性扮演重要的角色，利用动力系统的吸引子和电路的实现来完成 某些智能化的计算、联想记忆、学习算法，从而对稳定性理论感性趣的已 远远不止数学、力学、自动控制专业的学者。 h o p f i e l d 神经网络引人入胜的思想是利用电子电路和动力系统的吸引 子，通过微分方程的演化的模拟方法、迅速的、自动的找到神经网络的某 些平衡位置，给定一个输入，有一个确定的输出结果，或者说有一个计算 结果，而这种计算出来的结果，与传统的方法完全不同，因此仔细研究这 种稳定性，是有着深远的意义。现今已经有很多关于神经网络稳定性方面 i 乜了科技大学顾士学位论文 的文章，可以参考文献1 2 6 【”1 。 具有时变时滞的大系统有广泛的工程背景，而对中立型时滞大系统的 判定既复杂又困难，如果在此系统中考虑结构扰动下的稳定性将会使问题 更为复杂化。而中立型时滞大系统稳定性的判定是比较复杂和困难的问题 迄今为止所见到的资料还少，并且大多数的研究都是只考虑初始扰动，不 考虑系统本身的结构扰动。 本节在以前文献3 1 的基础上，继续对有变时滞与连接时滞两类复杂 的系统进行了研究，引进了关联矩阵的概念，然后应用大系统的分解方法 和一个不等式，对具有时变时滞与连接时滞的两类系统进行了研究，给出 了其渐近稳定的充分条件，并对一类复杂的具有中立型时滞的大系统进行 了讨论，利用常数变易法及对系统微分方程解的直接估计，获得了一个关 于此系统解的指数稳定的判别方法，对这两类系统的讨论都是在具有连接 时滞与变时滞的复杂情况下进行，得出了两类系统稳定的充分条件，并且 结果是与以前的文献【3 】不同的。 本节考虑如下有变时滞与连接时滞的两类系统 ， 毫o ) = i , ( t ) x ，( f ) + e a f o ) _ ( f ) + g 扩b o ( t ) x ，( r 一( f ) ) j = l，= i g 扩c 口( ，) _ ( 卜a ( f ) ) 】= j = l “，( f ) x ，( f ) + 8 7 a f ( r ) 工( f ) + e 扩b ( r ) z ，o 一o ) ) j = i= i 薯( f ) = 纸( f ) ，t o 一f - t o0 = t , 2 ，) ( 2 ) 式中墨r 4 ，以，= h ，4 r ”1 、a u , b u ，c f r ”均是连续函数矩阵。 1 e ( j ) = 0 f ) 。，g = 1 ，2 ，3 ) 为关联矩阵。其中 弘礤= 鬟：嚣 第6 页共4 6 页 电子科技大学硕士学位论文 h x i ( 卜( r ) ) 出现在e 尹q x ) 中 管k k r - 黜现连中 时滞( r ) 为非负连续函数，满足o ( f ) a ，为常数。 定义【l l 对于n n 实矩阵b = ( “) ，若 o ( i j ，i ，= 1 , 2 ，n ) 则曰称是m e t z l e r 矩阵。 引理【9 】若矩阵a = ( 口。) 是m e t z l e r 矩阵，则a 稳定( 即的特征值皆有 负实数部) 的充要条件是： 存在厅个正数q ，q ，使得 或 n 口 0 ( f 1 1 2 一，h ) j = l n a ，d 口 0 为一实数，则 讥，y r ”，有一烈t x + 缸r y 一圭“r x + 笔y 7 y 引理f 2 l 设b 为m e t z l e r 矩阵，x ( t ，o ，x o ) ，y ( r ，t o ，y o ) 分别为方程 i b x 和 多= b y 的解，若x 。= y 。，则有 x ( t ，t o ，x o ) s y ( t ，r o ，y o )( t o ) 1 1 2 主要结果 定理l 对于系统( 1 ) 如果对称矩阵m ，( f ) = ( ( f ) + 4 ( r ) ) 2 和 弓( f ) = 露( f ) 且口( f ) 的所有特征根分别满足 第7 页共4 6 页 # 冲 咿 p 矿 峨 嗡嗡 棚 咄 删 晰 取 m 电子科技人学硕：卜学位论文 ( m ，0 ) ) 0 ( t t o ) 丑( 弓( f ) ) s 吩 而一。0 f ，= 1 ，2 ，r ) 的任一元素i ( r ) 峰m ：生生芸孑，其中 扣m 。a x ， i ，肚l 搿( 乃) ，”r5 m b a 。x 吣， 则系统( 1 ) 是渐近稳定。 ， 证明 取函数矿= x j _ ，由定理条件，v 关于系统( 1 ) 的全导数为 矿i ：主曩+ x 一) ：杰 4 ( f ) + a f ( t ) l 而+ 2 主e ：l 】x j ( 小j + 圭f 1 ) 。，t e 一o ) x b j ( f ) 墨( f ) i = l j = ij = l + 窆e 5 2 ) e b f f ( f ) t ( r ) r x j ( 1 一( f ) ) j 2 l ：主 2 x ? 吖。( f ) t + 2 圭e f ，0 一。( f ) _ + 主e ：2 ) x j e a ( r ) ) 彤( f ) 薯( f ) 】 f t lj 目 ，= l + 窆e 彤( f b ，( r ) 】7 _ o 一( 酬 j t i 兰宝 2 x j m ，( f ) 一十2 妻硝，x j 爿口( f ) 置+ 妻谬，嘭1 ( f ( f ) h ，( f 一( f ) ) t = 1 户l= l + z j ( f ) 岛( f ) 磁( r ) 工膪) 】 由文献f 2 ”，有 主e 扩巧( f ) x ) 窆e 扩，巧( f 一( r ) h ，( f 一o ) ) j = l j 5 l 矿l f l ) s 2 主 工? ( r ) t ( r ) + 2 壹窆e f ，1 1 , 4 ，i i j m + i l i - ii = lj - l s 2 五窆怖| f 2 + 2 奎主【壹壹口；】x 恢i r l l x 川+ 壹。- 置+ 圭r 段，_ i - i - t 产l i = l j = l_ ll = l 第8 页共4 6 页 工 # 弓杉 ，川 ，剐 + 工巧够 ，同 ，m + ! 垒王登丝盔兰堡兰：兰竺笙苎 2 到堋+ 2 n r m p 窆忙 r tx ? + 热r x i = i t 2 i 旷+ “? x ：( 2 + 2 聆。a 打+ ，+ r p ) z 7i i x ，l i 2 ：一占| i x l | 2 f - i 此时系统( 1 ) 渐近稳定。 + 概 定理2 如果对称矩阵肘，( ，) = 圭 4 p ) + 衫( 明的所有特征根满足 ( m ，( f ) ) 蔓丑 o ，对称矩阵岛( f ) = 一j ( r ) 呜( r ) 的所有特征根五( 9 r ( r ) ) o o ， 且有 枷喜哿+ 矽+ 舻弘删， 则此时系统( 1 ) 渐近稳定。 证明 取函数v = x i ，与定理1 相同的做法可得 i l l + x ) ， = 2 x m 小) _ + 2 e ? x ? 以( f ) j i = l 尸l ， + 。扩z j ( f 一( f ) 【口i ( f ) _ ( f ) 】 产i r + p 2 弼( f ) x ( f ) 】r x ( r 一( r ) ) ) j = i 圭 2 ，f m i ( t ) ，+ 2 壹e ? ，x j 如o ) x ，+ re ：2 ) x j o 一o ) b ( r 一( r ) ) i 1 j = ij = i + 圭x ( f ) b j ( f ) t ( o j = l 壹竞。警zm2e掰南(r)1,：-zaix j + z z e 2 ) x h + z z 4 2 ，科x厶厶l - z h + 2 e z 弛( f )x h 弓z j x i = 1 ，= 1 i = l = 1f = i j = l 嘻嘉磬”箫饷tt 锄，+ 喜矽小，嘻矽帆 私+ 嘻哿+ 彩 l ，l ，- lf 7 f，- l ， + 窆e ? 驯k 研 - _ j i x j 小 t i扛l 第9 页共4 6 页 + 0 x ，川 ，h m r 撕+ 2 z ，h 飘 一 x f ， = 。矿 叱了辩披大学颂：l 学位论文 此时系统( 1 ) 渐近稳定。 定理3 如果对称矩阵m ，( r ) = = 1 爿，( f ) + 爿? ( f ) 】的所有特征根a ( m m ) ) 兄。 0 ， 0 ，使得 怯p j f o4 ，( s ) 幽忙m e x p ( 一( 卜幻) ) ， 其中k j = m l 懿a x ，k ，k f 2 8 + e + 口乳钳，：1 ，2 ， f - r a i n ( 1 一e 舅c ) o l 搿( ，j = t 则系统( 2 ) 的解为指数稳定。 证明原方程可变为 丢r ( 吩一言s 圹) c a ( f ) 州，一) ) 】= 4 9 ) h 一嘉秽巳( 咖膨一( 功】 r， + 呜( f ) _ ( f ) + 8 扩b e ( t ) x i ( t 一( f ) ) j - t= t 由常数变易法知其一般解为 x i o ) 一e 扩( f ) c d ( f ) x 口。一( f ) ) = e x p d l 。4 ，( s ) d ，) i x ( f o ) 一口扩q ( 屯) x o a ( t o ) 】+ j ：i l e x p ( 丘a ，( s ) d s ) 【杰e f l 4 。) x j ( s ) + 窆s 铲易。) x j ( 一( s ) ) y = tl = z ， + e 尹a ，o ) c f ( s ) x j ( j a ( s ) d s 户i 对上式两边取范数， 同时令怍c b ，一嘉e s ) ) ( t o ) c o ( t o ) x j ( t o - a ( t o ) ) i i m = 妒，则有 i i x ，( f ) o 妒e x p ( 一s o f 。) ) + z m i ：e x p ( 一6 ( t - s ) ) i - i 【p p 口口 i x l ( s ) o + 8 铲b fi l x y ( s a ( s ) i i + e 扩口f c 口i i x j ( j - a ( s ) ) | | d s + 第1 i 贞共4 6 页 立成 l f p l n 屈+ 硒) 使得如下的r i e c a t i 方程： a ；p + p a q 一2 p b o 醮p = - 2 q 存在正定对称解p ，则系统( 3 ) 在此分散控制下是鲁棒二次稳定的。控制 增益为 k j = 巳彰p ( ，= o ，1 ，2 ，掰) 证明：分别对m ，的大小分情况讨论 ( 1 ) m n 时，构造l y a p u n o v 函数为： v ( x ( 吐f ) = x t ( f ) a ( ，) + mj f _ t 。纠k 。) 2 d s + nj 卜r 。届撇s ) 2 d s 矿( 工( f ) ，f ) = x 7 ( a 0 7 e + p a 0 ) x + 2 x 7 p a , x ( t - r ，) + z y x 7 p b i u ( t f ) 第1 6 页共4 6 页 l u 予科技大学硕士学位论文 + 2 z 7 巧晰m + 2 x7 p b 。“( f ) + s 肛( t ) l l2 一y + l l x ( , 一z i n h 4 ) 旷 m ， ，- l i = 1 i = 1 + 兰酬p 肌州- zp , l l p l l l l x ( t n = x 7 ( 搿p + p a o n + 2 x 7 p a z o ，= l r ，) 一2 s ，7 胎，b ? p x ( t o ) ，= l + 2 兰x r 彤 z o f j ) ，f 】一2 氏x7 ，。1 瓜( f ) + 兰s i i x ( r ) | 1 2 j t l i f f i l 一兰占i i x 0 1 ) 0 2+ n 酬p 愀w 一n 川p 愀卜 i - i l ，l 一：x 7 缈+ 吉4 愀r ) 0 2 + 占善愀，一啪0 2 + 粪t i i x i l 2 + u _ 1 忙1 1 2 i i 算( f f f ) 8 2 群+ 兰卅l 川) 1 1 2 一兰舢i i 以 扭l6 lf ；l f ；i + n 刚圳x ( 邢一n 酬p l | | 1 x ( t - r i ) 1 1 2 一l 归i 令t = p , 1 e l l ，则得到 矿( z ( r ) ，f ) 一2 x r q x + 瓯x r x + 兰s 忙 t ) 1 1 2 + 2 n 卢，m x ( 师 占百百 令占：j 粤，则有 v 肘 z x 7 ( q 一去6 t l m g - ，一酗n i i p m 矿( 。( f ) ，f ) 蔓2 工r ( q 砑雨一n 删尸胁 ( 2 ) 若m n ，构造l y a p u n o v 函数 v ( x ( f ) ，r ) = x t ( f ) ( 卅mk 占) 6 z 西+ 兰k 屈i l e l l l l x ( 泖出 f = lf = l 与( 1 ) 同样的做法可以得到： 矿( z ( f ) ，f ) 0 为常数。 定义1 若帜r ) 忆=s u p 廿( f ) l l + 。o ，那么记，( f ) 圪 ，f 旬一f + j 定义2 5 1 如果对任意r ( f ) 比，都有闭环系统( 3 ) 的解满足 f p ( f ) 兰口t 肛( r ) 。十色 则称系统( 3 ) 可由局部状态反馈控制( 4 ) 有界输入有界输出( b i b o ) 稳定的， 其中o l 和0 2 为正常数。 为了书写方便，我们令 i 村 i 吖 n = 叫妒l il l + t e 。7 e l l l 。i i + z a , ) i ，b = l e 8 0 b ，r i i 。 ii - l - i ij - o c = 纠孙忡鲥 第1 8 页共拍页 ，b 予科挫大学硕士学位论文 j a ，+ b j k i 15 i m i n ( m ，n ) m 4 = m a x ( m ，) ，l ，= b i k ，m i n ( m ，) i s m ia ，m i n ( m ，) i m 定理6 对于闭环系统( 3 ) ，若r ( t ) 圪，且满足 阁l i mj j + 善屈f 姐 ，i 式中? ，a 由式( 4 ) ，确定，则系统( 3 ) 是b t b o 鲁棒稳定化的。 证明利用常数变易法，有 x ( f ) = ( 卜t 。) x ( f 0 ) + f 0 庐( 卜j ) l ，x ( s - - ) + 羔z ( s - - e i ) ，s ) + 兰b ，( s - - q r j ) 胁 i i x o l l ，l l 妒i i s - a ( z - t , , ) + l e a rf ：o e - a f t - s ) 善。三。o + 芸卢， l i x ( s ) i d s + l e ”：一，e a 【，一) l 芝她卜羔届虹( s ) 忙a r i ：o e - a ( i - s ) + l e 量慨l l | l ，。一r ，) 怯l 她8 + 届肚( s ) 0 出 “ i l b 圳，o r ，) 0 幽 l ，；l i = l j j o i i x ( ) l l e 州u s n + 6 ：。e a ( , v - t o ) d s + c j ：，i i * ) 1 e a ( s - t o ) d s 5 ( 口+ 尝e 神州) + c e 降( s ) 妒叫出 口 利用推广的g r o n w a l l 不等式，有 ) ) ( 斛b 口e a ( t - , , ) ) + ：d c ( 卅b 口e 4 ( , - t o ) ) 出 从而有 所以 ：口+ 一鱼一p 。“一，o ) + p 。( r b ) 口一c ) 阳蛐) + 圭巾刮 口+ 生+ ：2 + 生 口一c口一c 第1 9 页共4 6 页 电子科技人学顶士学位论文 我们取 0 = l a t e “2 t i ，i m 娜i ii i c i n ( 2 叶圭 a 2 m n i r e “( 忆1 1 + 届) 如= z 州c i p o t + 贸。7 ( 善l l 上川+ 羔i = l 屈， 则有 i o + 1 1 。+ 占2 ，从而定理得证。 第2 0 页共4 6 页 电子科技大学捌：j 学位论文 3 时滞神经网络的指数渐近稳定与指数收敛率 1 3 1 预备知识 大约在两个世纪前，人们就发现了第一个泛函方程。从此人们对泛函方程 逐渐有所认识。特别是近2 0 年来，随着对诸如管理系统、生态系统、电力系统、 工业系统等实际系统的建模、设计、分析和应用的深入发展，人们越来越重视时 滞现象并进行了系统的研究。取得了实质性的、全面的进展。同时，人们也发 现系统的退化现象也是实际系统的普遍现象。从6 0 年代开始，到现在关于时滞 微分系统的研究已有长足的发展。 我们先给出时滞系统的概念和分类 考虑如下形式的系统 e x ( t ) 2 ，( o 一7 ) ，工( ) ，x ( f 一7 ) ，) ，( 5 ) 1x ( t ) = 妒o ) ，t o r t 兰t o 其中x ( t ) 丑”，( ，) r m , e r ”，f r + 为时滞。 如果m = - ，则e 为方阵，如果0 ，即矩阵e 为可逆的。则上式可化为 工= e “，( 雄一f ) ，x ( f ) ，x ( t f ) ，f ) ，f 2 岛( 6 ) i 工o ) = 妒( f ) ，t o f s t t o 称( 6 ) 为正常的时滞微分系统。 当，中不含t ( f f ) 时，则系统( 5 ) 为 x ( t ) = e 一，( x ( r ) ，x ( t f ) f ) ，t or 7 、 lz ( f ) = p ( f ) ，t o f t t o 称( 7 ) 为正常的滞后微分系统。 当厂中含t ( f f ) 时，则称系统为正常的中立型微分系统。 神经网络的全局渐近稳定性意味着神经网络只有一个平衡点且所有的解都 趋于这个解，所以解的全局渐近稳定性一直是优化问题的研究者所关心的问题。 1 3 2 主要结果 本文考虑由以下非线性微分方程描述的时滞神经网络的指数渐进稳定性， 相关的资料可以参考文献口8 3 0 1 1 3 1 1 1 3 8 】 3 9 啪) = 一一x ( r ) + 巧力(