（凝聚态物理专业论文）超导约瑟夫森结和squid中的宏观量子效应.pdf

中国科学技术大学博士论文 摘要 本论文主要研究了超导约瑟夫森结和超导量子干涉器件( s o u i d ) 中的宏观 量子效应。论文首先回顾了超导体及其理论发展的历史，介绍了约瑟夫森结和高 温超导量子干涉仪的相关性质。 然后，我们引入了“结和环的概念。并给出了多结环的自由能表达式，从 而得到了多结环中自发磁化的普遍描述，讨论了在基态中环的自发磁化磁通 与屏蔽参数口的关系。 在此基础上，我们分析了无限大一维环阵列的模型在没有外磁场时的情 况。结果表明，在这种环阵列中，完全反平行的磁化磁通结构对应着基态。 接下来，论文进一步解析地研究了二维超导环阵列的自发磁化。结果表明， 虽然方形和三角形环阵有许多可能的自发磁化磁通排列，但完全反平行磁通结构 的自由能是最低的，也是最可能产生的。在六边形阵列( 三角磁通阵) 中，尽管 原则上相邻环的自发磁化磁通为反平行时自由能较低，但阵列中无法形成完全反 平行的磁通结构。为此我们通过对无限大二维六边形环阵列的分析，计算了单 个环的自由能u ，并发现环的状态可以由环中零电流( “安静的”) 结的数目n 来分类。可以解析地证明，自由能存在阶梯关系u 。c u t u ：t u ，t u 。c u ，s u 。， 这表明一个态中“安静的”结数越少，这个态的自由能就越低。 此外，通过求解一维连续超导角结阵列的位相方程，分析了角结阵列在自发 磁化状态下的电流密度和局域磁场。这些解可以用椭圆函数表达。我们对之进行 了数值计算，并给出了阵列中每个角结的磁化磁通与界面长度的函数关系。 上面这些关于大规模一维角结、一维环阵列及二维环阵列的结果都与 h h i l g e n k a m p 等人 n a t u r e ，4 2 2 ，5 0 ( 2 0 0 3 ) 最近的实验观察一致。 最后，论文计算了包含一个约瑟夫森结的超导环和包含两个结的超导环的 量子能级和波函数。并用基态波函数的形式表示了i f - s q u i d 中量子自发磁化磁 通的几率分布。还给出了量子能级的反交叉结构和磁化磁通与屏蔽参数卢的函数 关系。并且比较了傅和d c s q u i d 的量子磁化特性。 关键词：约瑟夫森结，超导环，自发磁化，宏观量子效应，量子态能级 中国科学技术大学博士论文 a b s t r a c t i nt h i s d i s s e r t a t i o n ，ag e n e r a ld e s c r i p t i o no fs p o n t a n e o u sm a g n e t i z a t i o ni n m u l t i - j u n c t i o n7 1 ；r i n g si sg i v e nb yc o n s i d e r i n gt h ef r e ee n e r g yo ft h es y s t e m t h e m a g n e t i z a t i o nf l u xo fn - r i n g si nt h eg r o u n ds t a t e sa saf u n c t i o no fs c r e e np a r a m e t e r6 i sd i s c u s s e d b a s e do nt h ed e s c r i p t i o n am o d e lw i t i li n f i n i t e l yl a r g eo n e - d i m e n s i o n a l7 c - r i n g a r r a yi nt h ea b s e n c eo fe x t e r n a lm a g n e t i cf i e l di sa n a l y z e d t h er e s u l ts h o w st h a tt h e g r o u n ds t a t ec o r r e s p o n d st ot h ef u l la n t i p a r a l l e lp a t t e mo fm a g n e t i z a t i o nf l u x g e n e r a t e di nt h ez - r i n g s ，w h i c hi si na g r e e m e n tw i t ht h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t so b t a i n e d b yh i l g e n k a m pe ta 1 n a t u r e4 2 2 ，5 0 ( 2 0 0 3 ) i nl a r g e s c a l ey b c oc o m e rj u n c t i o n a r r a y s i n a d d i t i o n ，a na n a l y t i c a li n v e s t i g a t i o no fs p o n t a n e o u sm a g n e t i z a t i o ni n t w o d i m e n s i o n a ls u p e r c o n d u c t i n g r i n ga r r a y sh a sp r e s e n t e d t h er e s u l t ss h o wt h a t t h es t r u c t u r ew i t hf u l la n t i p a r a l l e ls p o n t a n e o u sm a g n e t i z a t i o ni st h em o s tf a v o r a b l eo f a l lp o s s i b l ea r r a n g e m e n t si nb o t hs q u a r ea n dt r i a n g u l a rr i n ga r r a y s t nh e x a g o n a lr i n g ( t r i a n g u l a rf l u x ) a r r a y ，h o w e v e r ，t h e r ei sn of u l la n t i p a r a l l e l f l u xp a t t e r na l t h o u g hi np r i n c i p l et h ea n t i p a r a l l e lb o n do fs p o n t a n e o u sm a g n e t i z a t i o n f l u x e si nn e i g h b o r i n gr i n g sw o u l db e c e r t a i n l yf a v o r e di nt h e i rf r e ee n e r g y w e p r e s e n ta l la n a l y t i c a li n v e s t i g a t i o ni nt h es p o n t a n e o u sm a g n e t i z a t i o no fi n f i n i t e l yl a r g e t w o d i m e n s i o n a lh e x a g o n a lk - r i n ga r r a y t h ef r e ee n e r g i e sp e rr i n g ，u n ，i nv a r i o u s s t a t e sc h a r a c t e r i z e db yt h en u m b e ro f z e r o - c u r r e n t ( “q u i e t ) j u n c t i o n si nt h er i n ga r e c a l c u l a t e d al a d d e rr e l a t i o no ft h ee n e r g i e sh a sb e e na n a l y t i c a l l y p r o v e d a s u o u 1 u 2 u 3 u 4 i c 的情况。 通过搓板模型( w a s h b o a r dm o d e l ) ，我们可以定性得到约瑟夫森结的二矿 曲线。在电路从零开始增大时，质点静止在某一势能极小值处，结两端无电压。 在欠阻尼( 卢， 1 ) 情况下，只要势能有相对极小值，阻尼就会使质点停止 运动，所以其二矿曲线没有回滞，如图1 2 3 ( b ) 所示。 1 2 5 噪声影响 前面所说的是在无噪声的情况下约瑟夫森结的厶矿特性曲线，在实际环境中 存在许多噪声来源，例如环境的干扰，或者在有限温度下结电阻中的耗散。这些 噪声使得搓板的斜度随机抖动，由于这种抖动，搓板的平均斜度还未到1 时，质 点就会下滑，因此出现跨结电压；甚至只要电流不为零，质点就有可能从某个 势阱向邻近势阱滑移。这称为噪声变圆 2 6 ，温度越高，这种效应越显著。 我们可以在结的运动方程中加入一个噪声电流项抓f ) 来描述有限噪声问题， c d v ，( t ) ：i 一掣一s i n y + ，( f ) 。 ( 1 2 t 2 2 ) 出r 7 、7 于是结的行为就与噪声电流的统计性质有关了。如果噪声是白噪声。可以用马尔 可夫近似 ( o + f ) 厶( f ) ) ：三譬烈r ) ， ( 1 _ 2 2 3 ) 其中丁为绝对温度。方程( 1 2 2 2 ) 可以重写为哈密顿量形式，这是一个典型的 l a n g e v i n 随机微分方程。它等价于一个关于几率分布p ( v , y ，f ) 的f o k k e r - p l a n c k 方 程【2 7 】，求解此方程可以得到位相差的几率分布与时间的函数关系。在稳态和周 9 中国科学技术大学博士论文 期边界条件下可以求得电压的平均值随着电流的变化曲线。这个曲线和温度有 关，如图1 2 4 所示。从图上可以看到，温度越高，曲线越接近正常导体；温度 越低，曲线越接近图1 2 3 ( b ) 。 v v o l l a g e r e d u c e du n i t s ) 图1 2 4 热噪声对约瑟夫森结的l - v 曲线的圆化。 在存在热激发的时候，处在相对极小值的位相差有可能越过势垒，从而使约 瑟夫森结从零压态转变到电压态，如图1 2 5 。这个过程可以作如下的近似估计。 图1 2 5 极小值处的状态示意图。 在运动方程( 1 2 1 7 ) q b 略去阻尼项，得 c 卜等( ，。s 峥，) 。 在势能的极小值扎附近展开，并略去( y 一) 的二次以上的高阶项，得到 ( 1 2 2 4 ) 驾+ 吉等厢护舻。( 1 2 2 5 ， 上式可以看做简谐振动，位相差在势能极小值附近的振动频率为 誊等g毒；l13，) 中国科学技术大学博士论文 2 j 丢”矿广4 ，( 1 2 2 6 ) 而势垒高度( 相邻的极大值和极小值的差) 可以用u = ! 笋易( 1 一甜) “2 很好 的近似，其中约瑟夫森耦合能e ，= 百q v ) o i c 。 所以按经典统计方法，在温度t ，位相差y 越过势垒的逃逸率 = ( 券) e x p ( 一等) ，其中r 是结处于亚稳态( 艮口零压态) 的平均寿命，b 是玻 尔兹曼常数。 在绝对零度，虽然没有热激发，但位相差仍然可以通过量子隧道过程穿越势 垒从而件窖占m 零乐杰蛮曲电晤杰。试就县宏观量子醛道。 1 3 直流超导量子干涉仪 1 3 1d es q u i d 的r s j 模型 s q u i d 按其结构和工作方式的不同可以分为两种类型：一种是射频( r f ) s q u i d ，由电感为工的超导环和一个约瑟夫森结构成，通常采用射频电路来偏 置；另一种是直流( d c ) s q u i d ，由电感为上的超导环和两个约瑟夫森结构成， 通常采用直流偏置，两种s q u i d 均广泛用于弱磁测量。我们学习和研究的是其 中的高温d cs q u i d 。它的r s j 模型示意图如图1 3 1 所示。 我们设两个结均由理想的约瑟夫森结、正常电阻和电容并联而成，它们的电 阻分别为r 1 、岛，电容为c 】、c 2 ，临界电流为厶、止，位相差分别为y 、垤；超 导环的电感为l ，环中穿过的外磁通为o 。，穿过的总磁通为西；并设通过s q u i d 的总电流为j ，环上的环流为五。 中国科学技术大学博士论文 1 3 2 类磁通量子化 图1 3 1 一个d cs q u i d 的r s j 模型。 超导量子干涉器( s q u i d ) 是基于约瑟夫森效应和超导环内的类磁通量子化 效应而工作的。我们先来看类磁通量子化效应。 由g i n z b u r g l a n d a u 方程可得到超导波函数位相的梯度 v y = 面2 x 。( 2 十历m - 。) ， ( 1 圳 沿着双结超导环路取一个封闭的环路，上式两边沿闭环积分，考虑到在结处 的位相不连续性和在超导体内电流为零，得到关系 儿一z z 罢铊一， 上式被称为类磁通量子化条件，其中n 为整数，总磁通 1 3 3s q u i d 的临界电流 中= 巾。+ l 。 通过s q u i d 的总约瑟夫森电流( 总超流) 和环电流分别为 ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) 中国科学技术大学博士论文 ，= ( j is i n n j 2s i n z 2 ) 。 ( 1 ，3 5 ) 将类磁通量子化条件( 1 3 2 ) 和( 1 3 3 ) 代入上面两式，得 川捌m 坶i * 和删 ， ，固 l = 1 i 。s i n s - 1 2s i n 卜秘圳n n ，刀 这两个方程共有4 个变量，如果可以从中求出总电流，关于外磁通o 。和位相差丫1 的函数，就可以通过在给定外磁通下对v l 求，的极值，这就是s q u d 的临界电 流；于是我们就得到了临界电流随外磁通的变化。 ( 1 ) 当l = o 时 当电感三很小时，可以略去与之相关的项。当两个结对称时r - h - - 。，则( i 3 6 ) 式变为 卜z 。s i n ( n + 睾c o s ( 搴。 ( 1 s 8 ) 可见临界电流随外磁通周期变化，其周期是锄；由此得到s q u i d 的l j 缶界电流的 调制深度为出。= 2 i c 。 当两个结不对称时 ，2 ，应用三角公式，( 1 3 6 ) 式变为 i = ls i n ( 5 + 口) ，( 1 3 9 ) 其中匕2 卜耵“纷o s 2 ( 搴一= 等( 糕培譬) ) o 可以看出，临界电流仍然是外磁通的周期函数，周期同样是西o 。超流j 的最 大值为m a x l = + 1 2 ，最小值为m i n l = k l i ，电流调制深度为k = 2 m i n ( i l ， 五) 。 ( 2 ) 当l # o 时 方程( 1 3 6 ) 没有解析解，只能通过数值方法求解。可以注意到环路电感只影 响电流调制幅度岛，不影响厶一瓯曲线的普遍形状，卅仍为西。的周期函数，极 大点和极小点仍分别在巾刮西。和中。= ( 升l 2 ) 巾o 。同时厶的极大值m a x i 。不受工 的影响，而极小值m i nj 。随l 的增大而增大。当 = 丘爿。时的k 一中。曲线如图1 3 2 中国科学技术大学博士论文 所示。 图1 , 3 2 当，l 喝= 毛时，d es q u i d 的厶一中。曲线。 在对称结情况下，临界电流的调制深度可以很好的由下式近似给出 虬。盏，( 1 3 1 0 ) 其中屏蔽多数反= 等，它表示了s q u i d 所能屏蔽的最大磁通与量子磁通之 比。 在同时考虑结区的衍射效应和s q u i d 环的干涉效应时，它的总超流满足 。= 2 6 ( 0 ( 1 3 1 1 ) 其中蹦o ) 是单个约瑟夫森结的临界电流，由为穿过超导环的有效磁通，画为穿过 结区的磁通。由于环尺寸比结尺寸要大得多，所以在同一外磁场作用下，穿过环 的磁通变化比穿过结的磁通变化快得多。也就是说，超导环对外磁场的变化比隧 道结更敏感。 当两个结不对称时，( 1 3 1 1 ) 式中的厶( o ) 可用m i n ( i l ，仂来近似，临界电流的 调制深度主要由弱结决定。在严重不对称时，会大打折扣。 1 4 中国科学技术大学博士论文 参考文献 1 k a m e r l i n g h - o n n e sh ，l e i d e nc o m m ，( 1 9 1 1 ) ，1 2 0 b ，1 2 2 b ，1 2 4 c 【2 】m e i s s n e rw a n do c h s e n f e l dr n a t u r e w i s s ，2 1 ( 1 9 3 3 ) ，7 8 7 【3 b a r d e e nj ，c o o p e r l n a n ds c h r e i f f e rj r p h y r e v ，1 0 8 ( 5 ) ( 1 9 5 7 ) ，1 1 7 5 【4 】b e d n o r z jga n dm u e l l e rka ，“p o s s i b l eh i g h t cs u p e r c o n d u c t i v i t yi nt h e b a - l a - c u 一0s y s t e m ”，zp h y sb ，6 4 ( 1 9 8 6 ) ，18 9 5 】5 赵忠贤等，稃笋堰掘3 2 ( 1 9 8 7 ) ，1 7 7 6 】w u m k ，a s h b u mj r ，t o m g cj ，h o r p h ，m e n g r l ，g a o l ，h u a n g zj ，w a n g y qa n dc h ucw ：? h y s r e v l e t t ，5 8 ( 9 ) ( 1 9 8 7 ) ，9 0 8 9 1 0 7 1 赵忠贤等，群学遵掘3 2 ( 1 9 8 7 ) ，4 1 2 【8 d a iec h a k o u m a k o sbc ，s u ngf ，w o n gkw ，x i nya n dl udf ，p h y s i c a ( j 2 4 3 ( 1 9 9 5 ) ，2 0 1 【9 t s u e icca n dk i a l e yjrr e v m o d p h y s ，7 2 ( 2 0 0 0 ) ，9 6 9 l1 0 lw o l l m a nd a ，v a nh a r l i n g e ndj ，l e ewc ，g i n s b e r gdm a n dl e g g e aaj ，p h y s r e v l e t t ，7 1 ( 1 9 9 3 ) ，2 1 3 4 i 1 t s u e i c c ，k i r c l e yjr ，c h i c c ，y u j a h n e s ls ，g u p t a a ，s h a wt ，s u nj z a n d k e t c h e nmb ，p h y s r e v l e t t ，7 3 ( 1 9 9 4 ) ，5 9 3 【1 2 m a t h a ia ，g i my ，b l a c krc ，a m a raa n dw e l l s t o o dfc ，p h y sr e v l e t t ， 7 4 ( 19 9 5 ) ，4 5 2 3 【1 3 v a nh a r l i n g e ndj ，p h y s i c ac1 2 8 ( 1 9 9 7 ) ，2 8 2 2 8 7 【1 4 】j o s e p h s o nbd ，p h y s r e v l e t t ，1 ( 7 ) ( 1 9 6 2 ) ，2 5 1 【1 5 a n d e r s o npw a n dr o w e l ljm ，p h y sr e v l e t t ，1 0 ( 6 ) ( 1 9 6 3 ) ，2 3 0 【1 6 】s h a p i r os ，p h y s r e v l e t t ，1 1 ( 1 9 6 3 ) ，8 0 1 7 j o s e p h s o nbd ，r e v m o dp h y s ，3 6 ( 1 9 6 4 ) ，2 1 6 【1 8 j o s e p h s o nbd ，a d v p 咖s ，1 4 ( 1 9 6 5 ) ，4 1 9 1 9 】b a r o n eaa n dp a t e r n bg ，“p h y s i c sa n da p p l i c a t i o n so ft h ej o s e p h s o ne f f e c t ”， 沁h nw i l e y & s o n s ，n e wy o r k , ( 1 9 8 2 ) ，p 1 9 2 0 1z i m m e r m a n jea n ds i l v e rah ，p h y s r e v ，1 4 1 ( 1 9 6 6 ) ，3 6 7 【2 1 a n d e r s o npw a n dd a y e mah ，e h y s r e v l e t t ，1 3 ( 1 9 6 4 ) ，1 9 5 2 2 】m e c u m b e rde ，a p p l p h y s ，3 9 ( 1 9 6 8 ) ，2 5 0 3 1 5 中国科学技术大学博士论文 2 3 】m c c u m b e rde ，a t a p p l e h y s ，3 9 ( 1 9 6 8 ) ，3 11 3 2 4 s t e w a r twc ，a p p lp h y s l e t t ，1 2 ( 19 6 8 ) ，2 7 7 2 5 张裕恒，李玉芝，超导物理，中国科技大学出版社，合肥，1 9 9 1 【2 6 】a m b e g a o k a r va n d h a l p e r i n bj ，p 枷r e v l e t t ，2 2 ( 1 9 6 9 ) ，1 3 6 4 2 7 】b l a q u i e r ea ，n o n l i n e a rs y s t e ma n a l y s i s ，a c a d e m i c ，n e wy o 比19 6 6 2 8 谢飞翔，北京大学物理系，博士论文，2 0 0 0 年 2 9 刘新元，北京大学物理学院，博士论文，2 0 0 3 年 中国科学技术大学博士论文 2 1 引言 第二章 超导兀环阵列的自发磁化 对于均匀平整的结的界面，两个d 波超导体之间的约瑟夫森电流可由s i g r i s t 和r i c e 的公式【1 表示： 以= 4 c o s ( 2 0 1 ) c o s ( 2 0 j ) s i n y ， ( 2 1 1 ) 这里9 。和q 分别是两个超导体晶轴与结平面所成的夹角，4 是由结的特性决定 的常数，y 是结两侧的规范不变位相差。另一方面，当晶轴与结的界面问夹角的 偏差存在一个宽的分布时，约瑟夫森电流则应表示为 2 】 d s = 4c o s 2 ( 谚+ o j ) s i n y ， ( 2 1 2 ) 其中，= 吧一竹+ 面2 ”j f ，j - 打，这里q b o 是磁通量子( o 。2 h 2 e 2 2 0 7 1 0 舢w b ) ，j 是磁 场的矢量势，仍和妒，分别是界面两边超导体的序参量的位相。d 是积分线元， 积分从超导体i 到超导体，进行。 通过四方晶格的对称性，w a l k e r 和l u e t t m e r - s t r a t h m a n n 【3 获得了约瑟夫森 电流随晶轴夹角变化的关系。这个关系表明，约瑟夫森耦合下的g i n z b u r g - l a n d a u 自由能和约瑟夫森电流一样，在0 ，或鼠为2 时反号，具有这种特性的约瑟夫森 结称为e 结。含有奇数个结的超导环就叫做环，而不含或含有偶数个结的 超导环叫做零环。t s u e i 等人【2 、b u l a e v s k i i 等人【4 】、g e s h k e n b e i n 和l a r k i n 【5 】、 及s i g r i s t 和r i c e 1 】指出，当环的屏蔽参数声= 2 x l c l 西。较大时，在没有外场时， 环会有接近半磁通量子的自发磁化。这相当于要在环中的每个结位相上引入 一个7 c 的附加值，才可以与观察到的现象【6 - 8 】符合。等效地，我们也可以用负的 临界电流来描述结。最近，h i l g e n k a m p 等人【9 】完成了基于y b r 2 c u 3 0 7 一a u - n b 约瑟夫森连接的大尺度连续超导7 i ；结阵列 9 1 1 ，并进一步在二维六边形环阵 中国科学技术大学博士论文 列中实现了单个半磁通量子的翻转操作。对这些现象的进一步深入理解和研究可 能有助于基于约瑟夫森磁通量子的储存单元的设计 1 2 。1 6 ，还可能有助于可行的 量子计算纠错 1 7 ，1 8 】。 本章在以上结果的基础上对超导环和环阵列进行了进一步的研究。用解 析的方法给出了多结托环的自发磁化模式，计算了一维和二维兀环阵列的自由能， 并讨论了其可能的自发磁化磁通结构。 2 2 多结兀环的自发磁化 2 2 1 多结环的模型 个含有若干约瑟夫森结的电感为的超导环遵循类磁通量子化原理，即 ”似罢。之= 佩 o - 0 ，l ，) 西。是环中穿过的外加磁通，i 是表明环的磁通状态的整数，尿示各个结上的位 相差，五是环上的屏蔽电流，它们有如下关系 l = r 4s i n 卢” ( 2 2 2 ) 其中r 4 和y o ，”分别表示“零结”和“结”的l 缶界电流和位相差，临界电流r 为 正而巧为负。 图2 2 1n 结超导环的示意图。包括n p 个n 结和( n n 个。结按自由能表达式 ( 2 2 1 ) 结的顺序不重要。 设想这样一个模型，在一个超导环上共有n 个约瑟夫森结，其中有n “个a 中国科学技术大学博士论文 结，如图2 2 1 。为了简单起见，我 l f t 假设所有结的临界电流大小都相等，即? = l e = 一t 。由于我们关心的是自发磁化问题，只考虑稳态情况就可以了，此时流 过所有结的电流都相等，均为五。因此有 s i n 7 0 = 一s i n 矿。 2 2 2 多结7 c 环的基本解 ( 2 2 3 ) 方程( 2 2 - 3 ) 有如下形式的解，所有的零结和所有的结分别有相同的位相， 而零结和结之间位相差。 y o = y 4 + 口；f( m o d 2 n - ) 。 这个解被称为基本解。 将( 2 2 4 ) 式代入( 2 2 1 ) 式中，并设归一化的总磁通= p 。+ l 三) 中。，可得 r = 等( ，+ 譬一 忙o ，+ ，盟，。 在这种情况下，超导环的自由能可以写为 u ，中。) ：堡掣一訾c o s ( y 0 , x + f f l ) ， ( 2 t 2 6 ) d “1 l i n c d o n 5 其中对零结有p - 0 ，对结有妒= 。上式右边的第一项环电感上的环流贡献，第 二项为约瑟夫森耦合能。 用q g ：2 l 归一化之后的自由能为 u 0 ，九) = 一九) 2 一。p 。： c o s ( 7 吣+ 妒) ( 2 _ 2 7 ) a uu n c t i “ 其中或= o 。中。是归一化的外磁通。 由( 2 2 4 ) 式和( 2 2 5 ) 式，自由能解( 2 2 7 ) 可写成 啪枷妒硝一2 ：z n 。s 愀+ 等一 。 ( 2 z _ 8 ) 可以看出，u 是关于i 的一个周期函数，周期为n 。分别取n 个连续的整数i = 0 ， 1 9 中国科学技术大学博士论文 1 ，2 ，( n 1 ) ，就得到了解的全部分支。另外，我们还可以看到，一个多结超导 环基本解的自由能与n ”的奇偶性有关。对于结的总数n 相同的超导环而言，n ” 为奇数时的自由能全都相等；同样，为偶数时，其自由能也都相等。也就是 说，总结数n 一定的所有零环都有相同的自由能：n 一定的所有环也都有相 同的自由能。 超导环的自由能可以写成 u 白，缱，n ，n ”) = m i n u 0 ，以，n ”) ；i = o ，1 ，2 ，( 一1 ) ) ( 2 - 2 f 9 ) 其中n “取0 和1 ，分别对应零环和环。自由能有n 个分支，分别对应于i = 0 ，1 ， 2 ，f n 1 ) 。在( 2 2 9 ) 式中m i n 号表示取各分支的最小值。作为式( 2 2 8 ) 的一个 例子，图2 2 2 ( a ) 给出了没有外场的情况下，n = 4 、n 哇l 且1 0 x 时，自由能各 分支u7 与磁通庐的函数关系。图2 2 2 ( b ) 给出了整体自由能的曲线。在每一点矽处， 都取各个分支中值最小的一支，就组成了艇体自由能的曲线。 ( a ) 图2 2 2 四结环的自由能与磁通瑚函数关系。( a ) 对应于= 0 1 ，2 ：3 ，4 的4 个分蔓；( b ) 整体 自由能曲线。 由基本解出发，我们可以立即找到另一个解，这个解中所有的结位相与零 结位相相反，如 7 0 = 一y ”( m o d 2 z ) ( 2 2 1 0 ) 还有许多其他的解。但是只有( 2 2 4 ) 式给出的基本解对应的自由能最小。 中国科学技术大学博士论文 2 , 2 3 所有可能解及其对应态的自由能的比较 方程( 2 2 3 ) n 普遍解可以用如下的方法构造：把任意个( 例如k o 个) 零结的 位相差y o 变换为它们的补角，即 矿= 万一广 ( m o d 2 ，r ) ，( 2 2 1 1 ) 以及把任意个( 例如k 兀个) 结的位相差y 4 变换为 歹”= 2 1 - - y 8( m o d 2 z r ) 。( 2 2 1 2 ) 特别地，如果变换全部零结的位相差、即k o = n 时且k 毡0 ，或对称地，改变所有 托结的位相差、即k o = o 且k k ，那么我们将得到( 2 2 1 0 ) 式的解。如果我们变换 环中所有n 个结的位相差，即k o - n - n “且k 7 t = n ”，那么又会再次得到基本解。 由于主要研究对象是超导环的自发磁化，所以为了方便起见，下面的讨论都 在没有外磁场( 以= 0 ) 的条件下进行。 可以证明在方程( 2 2 3 ) 的全部解中，( 2 2 4 ) 式所给出的基本解有最低的自由 能，即对应着超导环的基态。 引理1 ：自由能q 仅与作位相差的互补变换的总结数洲+ ”( k n 2 ) 有关， 而与作位相差的互补变换的是零结还是7 c 结无关。这里“位相差的互补变换”由 ( 2 2 1 1 ) 式i 1 3 ( 2 2 1 2 ) 式定义。 证明： 由( 2 2 - 3 ) 式 s i n y o = 一s i n y 4 ，( 2 2 1 3 ) 有基本解 矿= y 5 + 刀= r ( m o d 2 z r )( 2 2 1 4 ) 这里全部的零结位相差均为，o ，结的位相差均为y ”。 将( 2 2 1 4 ) 式代入类磁通量子化条件 2 却+ 矿+ y 4 = 2 f 万 ( f = 0 , + - 1 ，也) ，( 2 2 1 5 ) 可以得 r = 等( ，+ 生2 一弘 叫回 l 7 j 、1 中国科学技术大学博士论文 取外磁通统= 0 ，并使n ( 2 2 ，1 4 ) 式和( 2 2 1 6 ) 式，n ( 2 2 7 ) 式的自由能可写为 u ；= t k = - 1 3 nc o s 胁钏 。 现在设有k o 个零结的位相差从矿变换为 歹o = z y o = 万一f ( r o o d 2 a ) ， 有k 丌个结的位相差从矿变换为 歹”= 口一，”= 一f ( r o o d 2 口) ， 则类磁通量子化条件( 2 2 1 5 ) 变为 2 删+ y 。+ y 2 + 歹。+ 尹= 2 i n 。 ( 2 2 1 8 ) ( 2 2 1 9 ) f 2 2 2 0 ) 把( 2 2 1 4 ) 式、( 2 2 1 8 ) 式和( 2 2 1 9 ) 式中的y 代入上式，注意女, v 2 ，我们得到 r = 惫( r + 竿一刁仁纠驯。 b z 埘， 再把( 2 2 1 4 ) 式中所有的y ，( 2 2 t 8 ) 式和( 2 2 1 9 ) 式中所有的歹，还有上式的f 代 入( 2 2 6 ) 式，即 q = 一2 一参 墨矿c 。s 矿一磊，c 。s 广+ 丢c 。s 尹一善c 。s 歹” ，c z 2 ：z ， 由此可以得 吲2 芬( _ 2 科k 旦n - 2 k f 。，+ t n * r - k 一一 ， b z ， 它说明巩仅与k 有关。 引理2 ：在( 2 2 3 ) 式的所有解中，基本解( k = 0 ) 给出了最低的自由能。 证明： ( 1 ) 当 n 2 时，自由能函数为 = m i n 坎；f )( 2 2 2 4 ) 其中由( 2 2 2 3 ) 给出， 中国科学技术大学博士论文 设最低的自由能u 。位于第i + 支的+ 处，可得 m 鹕妒2 一丁f l ( n - 2 k ) c o s h l n _ - - - ：“夏l + + 竿节肛参( 叭z 2 z s ) ( i )当n “为偶数时，在k = o 的基本解中取f _ 一n ”2 、= 0 ，得 蒂( o ) = 一丛2 2 2 它比f 2 2 2 5 ) 6 7 k 0 的m i n u k 小。 ( i i )当n “为奇数时，在基本解中取f = 一( 。一i ) 2 ，得 盯n * - i ( o ) 一等c o s f 翻。 u _ ( o ) 一等c o s 等i 。 不难证明对所有的自然数n 和k ，有 欲证f 2 2 2 8 ) 式，只须证 显然，当n = i 和2 时，( 2 2 2 9 ) 式成立。 当n 3 时 则 s i n 2 f l 旦2 n ) 1 时存在着站_ + i 2 的自发磁化现象。 由空间对称性知，在零外场下，可能的自发磁化磁通总是对称分布的，记为 劈，它们可由求u 0 ) 的最小值获得a 虻( o ) 处于第0 支上，而疼( 1 ) ，那么u i 0 ，) 的i = o 和= n 1 两支在矿= 0 处相交，但这两支在= o 点的一阶导数不同。而n = i 时的，函数u 瞄，：1 ) 只有 一支，它的导数处处连续，包括= 0 处。所以，环的自发磁化的条件可以写为 掣。 a 2 i 。 掣。t 0 i 8 u ( , n i ：n - o i o 。p l 正。一 2 4 ( = 1 ) ( ，1 ) 中国科学技术大学博士论文 ( a )( ” 图2 2 3 自发磁化磁通矿与脚函数关系。( a ) 4 结n 环；( b ) 单结环。 根据( 2 2 8 ) 式、( 2 2 9 ) 式和( 2 2 3 6 ) 式，可以找到自发磁化的条件 加：羔(22370 f o n1 ， 【 r 。 这个结果说明，单结环只有在屏蔽参数口比1 大时才会发生自发磁化，而 多结环在很接近0 ( 但不等于o ) 时就会自发磁化。图2 2 3 ( a ) 和( b ) 分别是4 结环和单结环的自发磁化磁通与声之间的函数关系。 实际上，超导环不可能完全对称，因此需要讨论一下非对称的情况对自发磁 化的影响。对于一个非对称的n 结环，可以推知当某个结的临界电流远大于 其他结时，环的行为类似( n 1 ) 结环。因为在结数n 2 时，环的自发磁化并不 对n 敏感，所以研究非对称双结霄环在一个结( 如“结) 的临界电流变大时的 行为变化比较有意义。假设环中零结和结的临界电流分别为r = 和 巧= 一o t ，则电流连续性变为 s i n7 o + s i n y ”= 0 。 ( 2 2 3 8 ) 结合类磁通量子化条件 2 ，r o + y o + y 4 = 0( m o d 2 x ) ， ( 2 2 3 9 ) 求得自由能 u 影一参 c o s y o _ c z o o s 广) ( 2 2 4 0 ) 此处的f l = 2 9 i c l 中。且口1 。 中国科学技术大学博士论文 可以利用数值计算求得矾力，以及自发磁化磁通矿关于薪口卢的函数。 计算表明，一个对称的双结环，在声很接近0 的时候就可以自发磁化，但 当临界电流不对称时情况就不同了。随着不对称性的增加，曲线的形状越来越接 近单结兀环的曲线，最终两者重合。使自发磁化可能发生的最小的屏蔽参数，。 可以写成 鼠= l l 口扛1 ) a ( 2 2 4 1 ) 图2 2 4 给出了厦和口的函数关系。 图2 2 4 ( a ) 非对称取结z 环的自发磁化磁通矿与卢的函数关系。参数口为不对称度- 作为对比 图上也给出了单结环的相应曲线。( b ) 无外场时，取结环的屉和口的函数关系。 图中a 表示自拉磁化区域，b 表示非自发磁化区域。 在非对称性很强的时候( 口斗o o ) ，把u 用u + f l c o s y o 2 2 2 重正化、朋够 重正化之后，式( 2 2 4 0 ) 就成为了单结环的确切的自由能表达式。 中国科学技术大学博士论文 2 3 一维7 c 环阵列的自发磁化 2 3 1 维7 1 ：环阵列模型 图2 3 1 一维环阵列磁化结构示意图。( a ) 完全反平行；( b ) 完全平 行；( c ) 部分平行一反平行。 现在考虑一个对称的一维无限长环阵列，设阵列中所有的超导环都有相同 的自感三和两个约瑟夫森结，一个是零结，另一个是结。两种结沿着阵列交替 放置，所有结的临界电流都有相同的大小厶，每个结被相邻的两个环分享。由于 我们关心的是自发磁化问题，只需考虑稳态情况，所以可以设所有环上的环流 大小都相等。并分别考虑三种磁通排列情况：全反平行、全平行和部分平行。这 三种情况分别如图2 3 1 ( a ) 、( b ) 和( c ) 所示。 下面使用的符号和设定都与2 2 节相同。 2 3 2 完全反平行排列 在完全反平行的情况中，相邻两环的环流厶方向相反，这使得流过每个结 的超流都加倍了。有 i 。s i n y 。= 一i cs i n y ”= 2 i s 。( 2 3 1 ) 用和2 2 节相同的方法，可以得到基本解 厂o = ，7 + 万( m o d 2 口) 。 ( 2 3 2 ) 中国科学技术大学博士论文 把n 宅和柑2 1 用于( 2 2 8 ) 式和( 2 2 9 ) 式，并注意到阵列中的每个结都被相 邻的两个环分享，则反平行排列状态下每个环的自由能可写为 = m i n 妖4 ；f = 0 , i j 其中 = 2 一参s i n 眇一t 纠 其中下标付表示反平行状态，r a i n 符号表示取i 支中最小的值。 ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 通过求咐峨) 在区间o c 矿c 1 2 ( - 1 2 c 一co ) 上的最小值可以得到自发 磁化磁通+ 0 一) 所满足的方程，即 2